TEMA 2. CUESTIONES Y PROBLEMAS

TEMA 2. CUESTIONES Y PROBLEMAS
Campos escalares. Gradiente
1. Obtener la ecuación de las superficies isoescalares de la función U y representar dos de ellas.
a) U=Kz , K=cte >0.
b) U=K/r2 donde r=(x 2+y2+z2)1/2 y K=cte >0.
2. Indicar cómo serían las superficies isotermas (igual valor de la temperatura) en el caso de una
fuente de calor:
a) Plana,
b) Puntual.
3. En la figura se representan 3 superficies equipotenciales del campo escalar U, donde
U1>U2>U3. Dibujar el vector gradiente en los puntos A, B y C, resaltando la diferencia entre los
módulos.
U3
A
B
C
U2
U1
4. a) Dada la función U=xy+z, calcular: la expresión del vector gradiente, grad U, y el gradiente de
U para el punto P(1,1,1), grad Up .
r r
r
b) Sí, a partir del punto P, nos desplazamos en la dirección a = 2i + j , ¿cuanto varía la f.e.p. U
por unidad de longitud? (Esta variación se conoce como derivada direccional de la función U en la
r
dirección de a ).
r
r r
r r r
Sol.: a) ∇ U = yi + x j + k ∇ U = i + j + k b) 3/√5
p
2
5. Dado el campo escalar U=3x
y-y3z2, calcular su gradiente en el punto P(1,-2,-1).
r
r
r
Sol.: ∇ U = −12 i − 9 j − 16k
Campos vectoriales
r
6. Dibujar algunas líneas de campo de la f.v.p. F
r
r Kr
r r r
2
a)F = 2 u r donde ur = y|r |= x 2 + y + z 2
r
r
1
r
r
b)F = Kzk
r
r
c)F = Kxj
r
d)F = ∆U donde U = Kz
Z
r
r
Y
X
7. Indicar cuáles de las siguientes afirmaciones son ciertas:
-La tangente a la línea de campo en un punto es paralela al vector
campo en ese punto.
-El gradiente de una función escalar es tangente a las superficies de nivel.
-En todos los puntos de una superficie de nivel, la función escalar toma el mismo valor.
-Las superficies de nivel de un campo vectorial son normales a la función vectorial en todos los
puntos.
Circulación. Campos conservativos
r
r
8. En el plano xy, calcular la circulación de la función F = xi entre los puntos (0,0) y (2,4) a lo
largo de la curva y = x 2.
Sol.: 2
r
r
r
r
2
2
F
=
(
2yz)i
+(y
+
xz)j
+(1
2
)k
xyz
x
9. Calcular la circulación de
entre los puntos O(0,0,0) y
P(1,1,1).
a) a lo largo del segmento que une O y P.
b) a lo largo de la curva x=t; y=t2; z=t3.
Sol: a) 11/10 b) 4/3
10. Deducir si las siguientes funciones
derivan
r
r de potencial.
r
r
r
r
r r
2
2
a ) F = 2 xy i + 2 x yj + xyk
b ) G = 2 xy 2 i + 2x 2 yj + k
Sol.: a) No , b) Si.
r
r
11. Calcular la f.e.p. U(x,y,z), sabiendo que su gradiente es ∇U = Kr , siendo K una cte >0 y r
el vector de posición. En el origen O(0,0,0), U = 0. Dar la solución en función de r.
Kr
r
Idem si ∇ U2 = 2 ur y ∇ U3 = Ke−2 r ur (U 2 ( ∞ ) = 0, U3 ( 0 ) = −1 / 2 )
r
1
k
1
Sol: U = k r 2 , U2 = , U 3 = − e −2 r
2
r
2
2
12. La temperatura en los puntos del plano xy sigue la ley T = 4x 2y + 2y.
a) ¿Cuánto vale su gradiente (∇T) en los puntos (0,0) y (1,1)?
y
b)¿Cuánto vale la circulación del grad T a lo largo de todo el contorno
(0,1)
cerrado de la superficie de la figura? ¿Por qué?
(1,1)
r
r r
Sol.: a) ∇ T(0,0) = 2j ∇ T(1,1) = 8i + 6j b) cero
x
(1,0)
(0,0)
Flujo
r
r
13. Calcular el flujo de la f.v.p. F = Kj ,
figura.
K > 0, de la superficie plana de la
z
Sol.: Kab/2
b
y
a
30o
x
r
r
14. Calcular el flujo de F = Kyi , K > 0, a través de la superficie plana de la figura.
z
2
Sol.: Kb(a +2ac)/2
c
b
a
y
x
z
r
r
15. Calcular el flujo de F = Kj , K > 0, a través de la superficie
cerrada de la figura.
b
a
Sol.: cero
c
r
r
16. Calcular el flujo de F = Krur a través de la superficie esférica
centrada en el origen de coordenadas y radio R.
Sol.:K4πR3
3
y
x