1c: Gradiente Divergencia

Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Tema 1: Introducción
Concepto de campo
Repaso de álgebra vectorial
Sistemas de coordenadas
Cartesiano
Curvilíneas generalizadas: cilíndrico y esférico.
Operadores vectoriales.
Gradiente
Divergencia
Rotacional
Derivada temporal
Combinación de operadores: Laplaciana
Expresiones con operadores
Teorema de Helmholtz: fuentes de los campos
J.L. Fernández Jambrina
Elmg 1C-1
Operadores Vectoriales
• Los operadores vectoriales describen el comportamiento de los campos en
un entorno del punto en que se particularizan.
• Fundamentalmente hay dos formas de trabajar con campos:
– Expresiones integrales: circulaciones y flujos.
» son más intuitivas.
» permiten las discontinuidades de los campos.
» requieren elementos adicionales: contornos, superficies y volúmenes
– Expresiones diferenciales: gradientes, divergencias y rotacionales.
» son más manejables.
» requieren la continuidad y existencia de derivadas de los campos.
» se basan en los operadores vectoriales.
• Comentarios sobre las discontinuidades
– se deben a cambios en la composición del medio.
– Los puntos en los que no hay discontinuidades de los medios se denominan
puntos ordinarios.
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
Elmg 1C-2
1
Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Desarrollos en serie de Taylor
• Conviene recordar como se aproxima una función en las
proximidades de un punto, x=a, siempre que la función y sus
derivadas sean continuas:
– Para una función escalar de una variable:
( n −1)
2
f ′′(a )( x − a )
f ( n −1) (a )( x − a )
f ( x ) = f (a ) + f ′(a )( x − a ) +
+ ⋅⋅⋅ +
+ ⋅⋅⋅
2!
(n − 1)!
– Si la diferencia ∆x=x-a es pequeña, se puede obtener una buena
aproximación con sólo los dos primeros términos:
f (a + ∆x ) ≈ f (a ) + f ′(a )∆x ⇔ ∆f = f (a + ∆x ) − f (a ) ≈ f ′(a )∆x
– En la práctica el punto alrededor del que se realiza el desarrollo se suele
llamar x y el punto en el que se aplica x+∆x:
∆f = f ( x + ∆x ) − f ( x ) ≈ f ′( x )∆x
» Y si el incremento es infinitesimal:
df
dx
df ( x ) = f ( x + dx ) − f ( x ) =
dx
J.L. Fernández Jambrina
Elmg 1C-3
Desarrollos en serie de Taylor
(2)
• Para funciones escalares de tres variables (las coordenadas) e
incrementos pequeños alrededor de un punto P(u1,u2,u3):
∂U
∂U
∂U
U (u1 + ∆u1 , u2 + ∆u2 , u3 + ∆u3 ) ≈ U (u1 , u2 , u3 ) +
∆u1 +
∆u2 +
∆u3
u
u
∂u1 u
∂u2 u
∂u3 uu
1
2
u3
1
2
u3
1
2
u3
– de forma más compacta:
U (P + ∆P ) ≈ U (P ) +
∂U
∂U
∂U
∆u +
∆u +
∆u
∂u1 P 1 ∂u2 P 2 ∂u3 P
– Y si los incrementos son infinitesimales:
dU =
∂U
∂U
∂U
du +
du +
du
∂u1 1 ∂u2 2 ∂u3 3
• En el caso de funciones vectoriales, no sólo hay que considerar cada
componente como una función escalar sino que también los vectores
unitarios son susceptibles de cambio.
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
Elmg 1C-4
2
Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Gradiente
• El gradiente caracteriza el comportamiento de un campo escalar en
el entorno de un punto.
• Expresión en curvilíneas generalizadas ortogonales:
– Suponiendo un entorno infinitesimal alrededor de un punto ordinario y
suponiendo las derivadas particularizadas en dicho punto:
dU =
∂U
∂U
∂U
du1 +
du2 +
du
∂u1
∂u2
∂u3 3
– Recordando la expresión del diferencial de longitud:
r
dl = h1du1uˆ1 + h2 du2uˆ2 + h3du3uˆ3
– Y con un poco de habilidad:
1 ∂U
1 ∂U
1 ∂U
dU =
h1du1 +
h2 du2 +
h3du3 =
h1 ∂u1
h2 ∂u2
h3 ∂u3
 1 ∂U
1 ∂U
1 ∂U 
= 
uˆ1 +
uˆ2 +
uˆ3  ⋅ (h1du1uˆ1 + h2 du2uˆ2 + h3du3uˆ3 )
42r44444
3
∂
∂
h
u
h
u
h
2
2
3 ∂u3
 1 1
 14444
dl
Gradiente de U
J.L. Fernández Jambrina
Elmg 1C-5
Definición de Gradiente
• El gradiente de un campo escalar suele representarse por una de las
dos expresiones siguientes:
grad(U )
∇U
– En estas transparencias se utilizará la segunda: ∇U
– ∇ es un símbolo denominado nabla.
• Definición:
(
)
r
– De la transparencia anterior:
dU = ∇U ⋅ dl = ∇U ⋅ lˆ dl
– Por otro lado, si l es una coordenada definida
∂U
a propósito en la dirección del desplazamiento: dU = ∂l dl
– Reuniendo ambas expresiones se obtiene la expresión que se utiliza
para definir el gradiente:
El gradiente de un campo escalar es un campo
∂U
vectorial cuya componente en cualquier dirección
= ∇U ⋅ lˆ
∂l
es la derivada del escalar en esa dirección.
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
Elmg 1C-6
3
Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Expresiones del Gradiente
• Partiendo de la expresión general de curvilíneas y particularizando:
– Curvilíneas:
– Cartesianas:
– Cilíndricas:
∇U =
1 ∂U
1 ∂U
1 ∂U
uˆ1 +
uˆ2 +
uˆ3
h1 ∂u1
h2 ∂u2
h3 ∂u3
∇U =
∂U
∂U
∂U
xˆ +
yˆ +
zˆ
∂x
∂y
∂z
hx = hy = hz = 1
∇U =
∂U
∂U
1 ∂U
ρˆ +
ϕˆ +
zˆ
∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
hρ = hz = 1

hϕ = ρ
∇U =
∂U
1 ∂U ˆ
1 ∂U
rˆ +
θ+
ϕˆ
∂r
r ∂θ
r sen θ ∂ϕ
hr = 1

hθ = r
h = r sen θ
 ϕ
– Esféricas:
J.L. Fernández Jambrina
Elmg 1C-7
Propiedades del gradiente
• Es un campo vectorial.
• Es normal a las superficies isotímicas
del campo escalar.
– Si el desplazamiento se realiza sobre
una superficie isotímica, dU=0 y:
r
r
0 = dU = ∇U ⋅ dl ⇒ ∇U⊥dl
• Su módulo coincide con la derivada
direccional máxima del campo escalar.
∂U
= ∇U ⋅ lˆ ⇒
∂l
∇U
r
dl
r
dl
U3
U2
U1
U1 < U2 < U3
 ∂U 
∇U = max 

 ∂l l
• Su sentido es el de máximo crecimiento del campo escalar.
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
Elmg 1C-8
4
Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Circulación de un Gradiente
• La circulación entre dos puntos P y Q del gradiente de un campo
escalar es el valor del campo escalar en Q menos su valor en P:
∫
Q
P
r
Q
∇U ⋅ dl = ∫ dU = U (Q ) − U (P )
Q
P
– La circulación de un gradiente sólo depende
de los puntos extremos: Es independiente del
P
camino seguido.
– La circulación de un gradiente a lo largo
de un camino cerrado es nula.
P
r
r
r
Q
P
∫ ∇U ⋅ dl = ∫ ∇U ⋅ dl + ∫ ∇U ⋅ dl = [U (Q ) − U (P )] + [U (P ) − U (Q )] = 0
C
P
Q
Q
• Si la circulación de un vector entre dos puntos cualesquiera es
independiente del camino seguido, entonces existe un escalar tal que
el vector es su gradiente:
r
P r
– Escogiendo un punto de referencia, O: U (P ) − U (O ) = A ⋅ dl
∫
O
– El escalar queda determinado excepto una constante aditiva:
r r
U = ∫ A ⋅ dl + K
J.L. Fernández Jambrina
Elmg 1C-9
Flujo de un vector a través una superficie
r
dS
• Definiciones:
r r
– El flujo de un campo vectorial a
∫∫SA ⋅ dS
través
r de una superficie se define como:
»dS es un vector de módulo dS y dirección
normal a la superficie. Sentido por convenio.
S
r
dS
r r
– Si la superficie es cerrada, el ∫∫ A ⋅ dS
S
flujo se representar como:
d
S
S
» Por convenio
es saliente del volumen
encerrado por la superficie.
s r
s r
∫∫SA ⋅ dS = 0
∫∫ A ⋅ dS > 0
• Interpretación:
S
s
r
∫∫ A ⋅ dS < 0
S
– El flujo de un vector a través
de una superficie cerrada
mide si las líneas de campo
tienen su origen o su fin en el
volumen encerrado:
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
Elmg 1C-10
5
Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Divergencia
• Definición:
r r
A ⋅ dS
r
r
∫∫
div A = ∇ ⋅ A = lim S
S →0
V
V →0
()
– V es el volumen encerrado por la superficie cerrada S.
– La normalización respecto de V es necesaria para obtener resultados
finitos.
• La divergencia caracteriza el comportamiento punto a punto del
campo vectorial respecto del flujo del mismo a través de superficies
cerradas:
– Si es positiva, el punto es origen de líneas de campo.
– Si es negativa, el punto es sumidero, final, de líneas de campo.
– Si es nula, el punto no es ni principio ni final de líneas de campo.
J.L. Fernández Jambrina
Elmg 1C-11
Expresión en curvilíneas ...
• Tomando un volumen muy pequeño limitado por superficies del tipo
ui=cte y cuyo centro es el punto de estudio, P(u1,u2,u3), ver figura, el
flujo será la suma del flujo a través de las caras.
– Al calcular el flujo a través de la superficie superior, como corresponde a
u3=cte y nˆ ≡ uˆ3 , resulta que sólo
contribuye la componente A3:
n$ ≡ u$3
r r
r
ˆ
A
⋅
d
S
=
A
⋅
u
dS
=
∆u2
∫∫S (u3 + ∆u3 2 ) ∫∫S (u3 + ∆u3 2) 3 3
∆u1
= ∫∫
A3 (u1 , u2 , u3 + ∆u3 2 )dS3
S (u 3 + ∆u 3 2 )
– Si la superficie es pequeña, se puede
suponer constante A3 sobre ella y tomando
el valor en su centro:
r
r
∫∫ A( ⋅ dS
S u 3 + ∆u 3 2 )
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
∆u3
P
= A3 (u1 , u2 , u3 + ∆u3 2)S3 (u3 + ∆u3 2)
Elmg 1C-12
6
Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Expresión en curvilíneas ...
r
r
∫∫ A( ⋅ dS
S u 3 + ∆u 3 2 )
(2)
= A3 (u1 , u2 , u3 + ∆u3 2)S3 (u3 + ∆u3 2)
– Partiendo del valor del flujo a través de
la superficie u3=cte que contiene el punto P:
r r
∫∫ A ⋅ dS = A3 (u1, u2 , u3 )S3 (u3 ) = A3h1h2∆u1∆u2
n$ ≡ u$ 3
∆u1
∆u2
∆u3
S (u 3 )
P
es posible realizar la siguiente aproximación:
r r
∫∫ A ⋅ dS
S ( u 3 + ∆u 3
n$ ≡ u$ 3

∂A h h ∆u 
=  A3h1h2 + 3 1 2 3  ∆u1∆u2
2)
∂u3
2 P

∆u1
∆u2
∆u3
donde todos los términos están particularizados en P.
P
– Trabajando con la cara inferior se obtendría:
∆u2
∆u1

∂A h h ∆u 
= − A3h1h2 − 3 1 2 3  ∆u1∆u2
S ( u 3 − ∆u 3 2 )
∂u3
2 P

– Y sumando estas dos contribuciones:
r r
r r
∂A h h
∫∫SA(u3⋅+d∆Su3 2) + ∫∫SA(u3⋅−d∆Su3 2) = ∂3u13 2 ∆u1∆u2∆u3
P
r r
∫∫ A ⋅ dS
∆u3
P
n$ ≡ − u$3
J.L. Fernández Jambrina
Elmg 1C-13
Expresión en curvilíneas ...(3)
∆u2
• Repitiendo el proceso con las dos caras de la figura,
∆u1
u1=cte:
r
r
∫∫ A( ⋅ dS
S u1 + ∆u1 2 )
r r
∂A h h
+ ∫∫ A ⋅ dS = 1 2 3 ∆u1∆u2 ∆u3
S (u1 − ∆u1 2 )
∂u1 P
∆u3
P
• Y con las dos restantes, u2=cte:
r
r
∫∫ A( ⋅ dS
S u 2 + ∆u 2 2 )
r r
+ ∫∫ A ⋅ dS
S (u 2 − ∆u 2 2 )
=
∂A2h3h1
∆u1∆u2 ∆u3
∂u2 P
∆u2
∆u1
∆u3
• Combinando los resultados:
r
r
 ∂A1h2 h3 ∂A2 h3h1 ∂A3h1h2 
 ∆u1∆u2∆u3
+
+
∂u1
∂u2
∂u3  P
∫∫S A ⋅ dS = 
∆V = h1h2 h3 ∆u1∆u2 ∆u3
• Y la divergencia:
r
∇ ⋅ A = lim
S →0
V →0
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
r r
∫∫ A ⋅ dS
S
V
P
=
1  ∂A1h2 h3 ∂A2 h3h1 ∂A3h1h2 


+
+
h1h2 h3  ∂u1
∂u2
∂u3 
Elmg 1C-14
7
Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Expresiones de la Divergencia
• Curvilíneas:
r
∇⋅ A =
• Cartesianas:
1  ∂A1h2 h3 ∂A2 h3h1 ∂A3h1h2 


+
+
h1h2 h3  ∂u1
∂u2
∂u3 
r ∂A ∂A ∂A
∇⋅ A = x + y + z
∂y
∂z
∂x
• Cilíndricas:
r 1 ∂ρAρ 1 ∂Aϕ ∂A
∇⋅ A=
+
+ z
ρ ∂ρ
ρ ∂ϕ
∂z
• Esféricas:
r 1 ∂r 2 A
1 ∂Aθ sen θ
1 ∂Aϕ
r
∇⋅ A= 2
+
+
r ∂r
r sen θ ∂θ
r sen θ ∂ϕ
J.L. Fernández Jambrina
Elmg 1C-15
Teorema de Gauss
• Enunciado:
El flujo de un campo vectorial a través de una superficie cerrada S
es igual a la integral de la divergencia del campo extendida al
volumen V encerrado por S, suponiendo que el volumen V
contenga únicamente puntos ordinarios.
r r
r
∫∫ A ⋅ dS = ∫∫∫∇ ⋅ AdV
S
r
dS
S
V
V
J.L. Fernández Jambrina
Grupo 25.1
Elmg 1C-16
8
Electromagnetismo
Curso 2012/2013
Teorema de Gauss (2)
• Demostración:
– El volumen se puede dividir en un número arbitrario,
N, de subvolúmenes.
– El flujo a través de la cara común de dos subvolúmenes
contiguos se cancela: la suma de los flujos a través de
las superficies asociadas, Si, a los subvolúmenes es el
flujo a través de la superficie externa.
r r N
r r
∫∫ A ⋅ dS = ∑ ∫∫ A ⋅ dS
S
– Si las Si son suficientemente pequeñas (N→∞),
a partir de la definición de divergencia:
r r
A ⋅ dS
r
r r
r
∫∫
S
∇ ⋅ A = lim
⇒ lim ∫∫ A ⋅ dS = ∇ ⋅ A Vi
Si
S →0
S →0
V
V →0
V →0
(
)
i
– Por tanto:
r
Grupo 25.1
r
N
r
V
S
+
=
r
∫∫ A ⋅ dS = lim ∑ ∇ ⋅ AV = ∫∫∫∇ ⋅ AdV
S
J.L. Fernández Jambrina
n$
Si
i
N →∞
i
i
V
Elmg 1C-17
9