Gradiente de un campo vectorial

Campo conservativo :
Se dice que un campo vectorial
es conservativo si la circulación del
campo a lo largo de una curva es independiente del camino, solo depende de los
puntos inicial y final de la circulación.
Los campos conservativos se pueden expresar como gradiente de una función
escalar, es decir existe una función escalar de punto V(x,y,z) que cumple:
por lo que el cálculo de la circulación se convierte en:
La circulación de un campo conservativo por una línea cerrada es por tanto cero:
Si un campo vectorial es conservativo cumple además estas condiciones:
;
;
Principal
Rotacional y Divergencia de un campo vectorial F y sus propiedades :
Rotacional: Definición y propiedades :
Propiedades del Rotacional :
1. Si el campo escalar f (x, y, z) tiene derivadas parciales continuas de segundo orden
entonces el rot (∇f ) = 0 (vector nulo ).
2. Si F (x, y, z) es un campo vectorial conservativo entonces rot (F ) = 0
(vector nulo ).
3. Si el campo vectorial F (x, y, z) es una función definida sobre todo ℜ3 cuyas
componentes tienen derivadas parciales continuas y el rot (F ) = 0 (vector nulo)
entonces F es un campo vectorial conservativo.
El rotacional de un campo vectorial tiene su principal interpretación física cuando la
función vectorial F (x, y, z) representa el flujo de un fluido, el rotacional en este caso se
interpreta como la circulación que presenta el fluido alrededor de un punto
(x0,y0.z0)
Si el campo vectorial F representa el flujo de un fluido y rot (F ) = 0 (vector nulo)
entonces se dice que el fluido es irrotacional.
Divergencia: Definición y propiedades :
Propiedades de la Divergencia :
Gradiente :
En cálculo vectorial, el gradiente
de un campo escalar es un campo vectorial. El vector
gradiente de evaluado en un punto genérico del dominio de ,
( ), indica la dirección en
la cual el campo varía más rápidamente y su módulo representa el ritmo de variación de en la
dirección de dicho vector gradiente. El gradiente se representa con el operador diferencial nabla
seguido de la función (cuidado de no confundir el gradiente con la divergencia, ésta última se
denota con un punto de producto escalar entre el operador nabla y el campo). También puede
representarse mediante
, o usando la notación
. La generalización del concepto de
gradiente a campos vectoriales es el concepto de matriz Jacobiana.
Definición
Si se toma como campo escalar el que se asigna a cada punto del espacio una presión P
(campo escalar de 3 variables), entonces el vector gradiente en un punto genérico del
espacio indicará la dirección en la cual la presión cambiará más rápidamente. Otro ejemplo
es el de considerar el mapa de líneas de nivel de una montaña como campo escalar que
asigna a cada pareja de coordenadas latitud/longitud un escalar altitud (campo escalar de 2
variables). En este caso el vector gradiente en un punto genérico indicará la dirección de
máxima inclinación de la montaña. Nótese que el vector gradiente será perpendicular a las
líneas de contorno (líneas "equiescalares") del mapa. El gradiente se define como el campo
vectorial cuyas funciones coordenadas son las derivadas parciales del campo escalar, esto
es:
Esta definición se basa en que el gradiente permite calcular fácilmente las derivadas
direccionales. Definiendo en primer lugar la derivada direccional según un vector:
Una forma equivalente de definir el gradiente es como el único vector que, multiplicado por
el vector unitario, da la derivada direccional del campo escalar:
Con la definición anterior, el gradiente está caracterizado de forma unívoca. El gradiente se
expresa alternativamente mediante el uso del operador nabla:
Interpretación del gradiente :
De forma geométrica el gradiente es un vector que se encuentra normal (perpendicular) a la
curva de nivel en el punto que se está estudiando, llámese (x,y), (x,y,z), (tiempo,
temperatura), etcétera. Algunos ejemplos son:

Considere una habitación en la cual la temperatura se define a través de un campo
escalar, de tal manera que en cualquier punto

, la temperatura es
. Asumiremos que la temperatura no varia con respecto al tiempo.
Siendo esto así, para cada punto de la habitación, el gradiente en ese punto nos dará
la dirección en la cual se calienta más rápido. La magnitud del gradiente nos dirá
cuán rápido se calienta en esa dirección.
Considere una montaña en la cual su altura en el punto (x,y) se define como H(x, y).
El gradiente de H en ese punto estará en la dirección para la que hay un mayor
grado de inclinación. La magnitud del gradiente nos mostrará cuán empinada se
encuentra la pendiente.
Propiedades
El gradiente verifica que:





Es ortogonal a las superficies equiescalares, definidas por =cte.
Apunta en la dirección en que la derivada direccional es máxima.
Su módulo es igual a esta derivada direccional máxima.
Se anula en los puntos estacionarios (máximos, mínimos y puntos de silla).
El campo formado por el gradiente en cada punto es siempre irrotacional, esto es,
Gradiente de un campo vectorial
En un espacio euclídeo tridimensional, el concepto de gradiente también puede extenderse
al caso de un campo vectorial, siendo el gradiente de un tensor que da el diferencial del
campo al realizar un desplazamiento:
Fijada una base vectorial, este tensor podrá representarse por una matriz 3x3, que en
coordenadas cartesianas está formada por las tres derivadas parciales de las tres
componentes del campo vectorial. El gradiente de deformación estará bien definido sólo si
el límite anterior existe para todo y es una función continua de dicho vector.
Técnicamente el gradiente de deformación no es otra cosa que la aplicación lineal de la que
la matriz jacobiana es su expresión explícita en coordenadas.
Campos Vectoriales. :
Las funciones, ampliamente empleadas en la ingeniería, para modelar
matemáticamente y caracterizar magnitudes físicas, y cuyo dominio podría ser
multidimensional, pueden tener un rango unidimensional o multidimensional. El primer
tipo de funciones (rango unidimensional) se define como campo escalar, y esta se
corresponde a una magnitud física que requiere sólo de un número para su
caracterización. Un campo escalar, por tanto, es una función, escalar, cuyo valor
depende del punto que se estudie. Un ejemplo de este tipo de funciones puede ser la
distribución de temperaturas dentro de un cuerpo, la presión ejercida sobre un cuerpo
por un fluido, o un potencial eléctrico. Por otro lado, un campo vectorial se corresponde
con el segundo tipo de funciones (rango multidimensional) en donde una magnitud
física requiere de un vector para su descripción, como puede ser, por ejemplo, el flujo
de un fluido o un campo de fuerzas gravitacionales o eléctricas.
Definición :