apunte2_operadores_diferenciales

Métodos Matemáticos de la Física.
Operadores y Diferenciales.
2014
Operadores y Diferenciales.
¿Cuándo EL CAMPO ES CONSERVATIVO?
Campo Escalar: supongamos que nos encontramos en una parte del espacio
cuyos puntos quedan determinados por las coordenadas (x,y,z) del sistema
coordenado rectangular. Una función escalar (x,y,z) definida en la región
determina un campo escalar, ya que a cada punto del espacio le corresponde un
valor escalar, que es el valor de la función en dicho punto.
Si (x,y,z) es una función escalar y derivable en sus coordenadas que tiene
derivadas parciales:
 Ә/Әx , Ә/Әy, Ә/Әz,
donde se puede definir en cada punto del espacio de este campo escalar “un
vector” cuyas componentes son iguales a las respectivas derivadas parciales,
dicho vector se denomina Gradiente (grad).
Def: grad = (Ә/Әx)i + (Ә/Әy)j + (Ә/Әz)k
Interpretación: El grad expresa como varía la función  en un punto;
considerando que grad es un vector con magnitud, dirección y sentido, se puede
decir lo siguiente:
El sentido del grad en un punto es el sentido en que debemos movernos para
hallar el incremento más rápido de la función . Si en este espacio trazamos una
superficie cualquiera, ésta contendrá depresiones y elevaciones, de tal manera
que si nos instalamos en un punto cualquiera de esa superficie (por ejemplo, H),
ella se va a elevar en cierta dirección y va a descender en el sentido opuesto.
H
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Hay una dirección en la cual un pequeño incremento de la función nos dará una
mayor elevación que un incremento en la misma cantidad en cualquier otra
dirección.
“El gradiente de la función escalar es un vector en la dirección de la máxima
pendiente, siendo la magnitud de dicho vector la pendiente medida en aquella
dirección”.
Ejemplo 1: Siendo  = 2xz4 – x2y, hallar grad y grad en el punto (2,-2,-1). Dar
la interpretación de los resultados.
Derivada Direccional: La componente de un grad en la dirección de un
vector unitario â dado es igual a: grad â, y se llama la derivada de  en la
dirección de â ó derivada de  según â.
Si (x,y,z) es una función escalar continua derivable en una región R en el espacio
que contiene el arco de la curva C desde P hasta Q, la derivada direccional en P
de la función , en la dirección del vector unitario tangente Ť, se define como:
d/ds.
P
Q
Donde: d/ds = grad Ť = derivada direccional.
Tarea 1: Demostrar la expresión anterior.
“La derivada direccional máxima es igual a la magnitud del grad y existe en la
dirección del grad”
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Ejemplo 2: Si  = 3x2 – yz es una función escalar, determinar:
(a) Su derivada direccional según la dirección del vector que va desde P(1,1,0) a
Q(2,1,1).
(b) El valor máximo de la derivada direccional y su dirección en (1,1,0).
Superficies de Nivel: cuando la función escalar  está igualada a una
constante, ella representa superficies de nivel:
(x,y,z) = K1 = K2 = K3
En una superficie de nivel, el grad es perpendicular a la superficie (Tarea 2:
demostrar ésta afirmación) de nivel.
Ejemplo 3: Encontrar el vector unitario normal de la superficie:
2x2 + 4yz – 5z2 = -10 en el punto (3,-1,2).
Ejemplo 4: Hallar la ecuación del plano tangente a la superficie:
2xz2 - 3yx – 4x = 7 en el punto (1,-1,2).
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El Operador Nabla ():
Def:  = i(Ә/Әx) + j(Ә/Әy) + k(Ә/Әz)
Es un operador y puede considerarse como un vector simbólico aunque no lo es.
Para que  opere, se le tiene que asignar la función por el lado derecho, de tal
manera que:
 = i(Ә/Әx) + j(Ә/Әy) + k(Ә/Әz) = grad : Operación
 = i(Ә/Әx) + j(Ә/Әy) + k(Ә/Әz) : Operador
Para las funciones vectoriales: f = f1i + f2j + f3k,
Es posible realizar el producto punto:
f = [i(Ә/Әx) + j(Ә/Әy) + k(Ә/Әz)]( f1i + f2j + f3k)
f = (Әf1/Әx) + (Әf2/Әy) + (Әf3/Әz), escalar.
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También se puede realizar el producto cruz:
xf =
i
j
k
Ә/Әx
Ә/Әy
Ә/Әz
f1
f2
f3
Nota:
f: operador; fx: operador
Multiplicando  a la izquierda de la función vamos a tener la posibilidad de realizar
operaciones, como producto punto y cruz.
Multiplicando  a la derecha de operadores,  opera sobre lo que sigue.
Ejemplo 5: Si A = 3xy2zi + 2xy3j – x2yzk,  = 3x2 – yz, hallar: (a) A; (b) A ;
(c) ( f); (d) , en el punto (1,-1,1)
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La Divergencia:
Def: divf = f = (Әf1/Әx) + (Әf2/Әy) + (Әf3/Әz)
Si f = f1i + f2j + f3k
Interpretación: Si consideramos un elemento diferencial de volumen podemos
hablar de flujo. Cuando el flujo:
que entra = que sale  divergencia cero: En este punto el campo carece de
fuentes escalares.
que entra < que sale  divergencia positiva: En este punto el campo radia hacia
el exterior, se dice que en esa posición el campo vectorial posee un manantial
(fuente).
que entra > que sale  divergencia negativa: El campo converge hacia dicho
punto, se dice que el campo es un sumidero.
Ejemplo 6: Determinar para el punto (1,-1,1) si el campo vectorial:
F = 3xyz2i + 2xy3j – x2yzk,
se comporta como un manantial o como un sumidero.
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El Laplaciano:
Si  es una función escalar, entonces a la divergencia del gradiente se le
denomina Laplaciano de .
 = divgrad
 [i(Ә/Әx) + j(Ә/Әy) + k(Ә/Әz)] = (Ә2/Әx2) + (Ә2/Әy2) + (Ә2/Әz2)
 = 2
Def: 2  (Ә2/Әx2) + (Ә2/Әy2) + (Ә2/Әz2): Operador Laplaciano.
El operador Laplaciano (2: nabla dos), aparece frecuentemente en los estudios
de los campos; el valor del Laplaciano de un campo escalar en un punto particular
es una medida del grado en que el valor del campo en ese punto difiere del valor
promedio del campo en la vecindad del punto. Es una operación de carácter
estadístico que se estudia en los campos.
Si 2 es negativo en un punto, entonces  en ese punto es mayor que el promedio
de  en la vecindad del punto. En otras palabras un valor negativo de 2 en un
punto indica una tendencia de  a ser mayor o a concentrarse en ese punto.
Si  en un punto es diferente del promedio de  en la vecindad de ese punto, algo
debe existir allí para causar un cambio de . Ese algo en el punto que causa que 
crezca o decrezca puede ser considerado como una fuente o como un sumidero
de .
Propiedad: A una función escalar  se le llama armónica si es continua, tiene
segundas derivadas continuas y satisface la ecuación de Laplace.
Ejemplo 7: Calcular  (1/r), siendo r = (x2 + y2 + z2)0,5.
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Rotacional:
Sea una función vectorial f = f1i + f2j + f3k, entonces:
xf: es el rotacional de f, el cual es un vector.
xf =
i
j
k
Ә/Әx
Ә/Әy
Ә/Әz
f1
f2
f3
Interpretación física: si consideramos un campo vectorial (por ejemplo, un campo
de velocidades de un río corriendo) y si sumergimos una rueda de aspas en el
mismo, podremos observar que la rueda no gira cuando el campo de velocidades
es el mismo para los dos lados y que la rueda gira cuando el campo de
velocidades sea más intenso sobre un lado que sobre el otro (se produce torque).
No
gira.
Gira.
El vector que representa a la rueda, es perpendicular a las líneas del campo de
velocidades.
o Si la rueda gira, se llama un campo rotacional.
o Si la rueda no gira, se llama campo irrotacional, es un campo constante,
no sufre sobresaltos.
o Los campos no uniformes siempre producen rotación sobre la rueda.
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Propiedad: Se dice que el campo f es irrotacional si la función vectorial f es
diferenciable y cumple con:
xf = 0,
cuando esto ocurre, significa que f es irrotacional.
1. rot(f + g) = rotf + rotg
2. div(f x g) = grotf - frotg
3. divrotf = 0
4. rotgrad = 0
5. rotf = rotf + gradxf
6. rotrotf = graddivf - Laplacf
Tarea 3: Demostrar la propiedad 4.
Ejemplo 8: Determinar el rotacional de: g = (x2 + yz)i + (y2 + zx)j + (z2 + xy)k
Ejemplo 9: Determinar si la función vectorial:
A = (6xy + z3)i + (3x2 –z)j + (3xz2 –y)k,
es irrotacional. Si así lo fuera, hallar una función escalar que permita A = .
Ejemplo 10: Si  = 3x2eysenz hallar rotgrad.
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Tarea 4: Ocupando las expresiones correspondientes a los campos eléctricos y
gravitacionales de esferas, láminas, hilos, anillos, cilindros y cargas puntuales,
determinar si son rotacionales o no. Si son irrotacionales, determinar su función
escalar asociadas.
Campos Eléctricos:
Anillo: E = Qa/40(R2 + a2)3/2
Disco: E = a/20(1/a – 1/(R2 + a2)1/2)
Cilindro macizo: E = /20[((L+a)2 + R2)0,5) – (a2 + R2)0,5 – L]
Cilindro hueco: E = Q/40L(1/(L + a)0,5 – 1/(a)0,5]
Esfera: E = Q/40r2
Lámina: E = /20
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