Dinámica del sólido r´ıgido con un punto fijo

H
A C
L U C
E
UNIVERSIDAD DE A CORUÑA
Dinámica del sólido rı́gido
con un punto fijo
Ana Jesús López Dı́az
Objetivo
Desarrollar los conceptos y técnicas necesarias para abordar el movimiento general del sólido rı́gido.
Esquema
1. Ecuaciones del Movimiento
Ecuaciones del movimiento con un punto fijo
Energı́a cinética y teorema de la energı́a
2. Ecuaciones de Euler
Elección del sistema de referencia
Expresión del momento cinético en el sistema móvil
Obtención de las ecuaciones de Euler
3. Movimiento por Inercia. Construcción de Poinsot
Reducción de las ecuaciones del movimiento a una integral
Construcción de Poinsot
4. Trompo Pesado y Simétrico: Trompo de Lagrange
Importancia de las simetrı́as
Determinación del momento del peso: magnitudes que se conservan
Reducción al problema unidimensional equivalente
Determinación de los ángulos de Euler en función del tiempo
Análisis caulitativo del movimiento a partir del potencial efectivo
5. Conclusiones
Ana J. López Dı́az
1.
2
Ecuaciones del Movimiento
Las ecuaciones del movimiento de un sólido rı́gido libre son:

d
p

= F ext 

dt
G

dL
ext 

=M
G
dt
G = [IG ] ω . Estas ecuaciones permiten obtener las
donde G es el centro de masas, p = mvG y L
componentes del grupo cinemático y con ellas el movimiento quedarı́a determinado.
Si el sólido tiene un punto fijo O, tomando momentos respecto a él, se tiene que
O
dL
Oext
=M
dt
O = [IO ] siendo L
ω . Ecuación que permite determinar ω en función del tiempo y en consecuencia el
grupo cinemático en O, que en este caso se reduce a la velocidad de rotación (tres grados de libertad).
Por otro lado, la energı́a cinética puede expresarse como
T =
1
ω [IO ] ω
2
y su variación viene dada por
dT
Oext
= ω · M
dt
2.
Ecuaciones de Euler
Sea Oxyz un sistema de referencia fijo en el espacio y consideremos otro sistema de referencia
Ox1 x2 x3 que se mueva con el sólido y cuyos ejes coincidan con las direcciones principales. En este
sistema de referencia el tensor de inercia es diagonal y sus componentes no cambian con el tiempo


I1 0 0
[IO ] =  0 I2 0 
0 0 I3
En este sistema de referencia el momento cinético se expresa como:
O = I1 ω1 û1 + I2 ω2 û2 + I3 ω3 û3
L
y su derivada viene dada por
O
dL
dt
=
fijo
O
dL
dt
O
+ω
×L
móvil
que igualada al momento de las fuerzas da lugar a un sistema de tres ecuaciones diferenciales

I1 ω̇1 + (I3 − I2 )ω2 ω3 = M1 

I2 ω̇2 + (I1 − I3 )ω1 ω3 = M2


I3 ω̇3 + (I2 − I1 )ω1 ω2 = M3
Estas ecuaciones se denominan ecuaciones de Euler y permiten determinar la evolución temporal de
ω
respecto de los ejes móviles conocidas las componentes M1 , M2 y M3 de los momentos aplicados.
Ana J. López Dı́az
3.
3
Movimiento por Inercia
O = 0. Las ecuaciones de Euler quedan
Comenzamos resolviendo el caso M

I1 ω̇1 + (I3 − I2 )ω2 ω3 = 0

I2 ω̇2 + (I1 − I3 )ω1 ω3 = 0


I3 ω̇3 + (I2 − I1 )ω1 ω2 = 0
y existen dos constantes del movimiento
→
O = −
L
cte
T = cte
que nos van a permitir expresar dos de las componentes de ω en función de la tercera, reduciendo de
este modo la resolución de las ecuaciones de Euler a una integral.
O = cte,
lo serán cada una de sus componentes en
Hay que tener en cuenta, sin embargo, que si L
O · L
O
el sistema fijo Lx , Ly , Lz , no ası́ sus componentes en el sistema móvil L1 , L2 , L3 . Dado que L
es un escalar y no depende de la orientación de la base, tomamos como constantes
L2 = I12 ω12 + I22 ω22 + I32 ω32
2T = I1 ω12 + I2 ω22 + I3 ω32
Considerando el caso más general en que los tres momentos de inercia son distintos y redefiniendo
los ejes principales de manera que I1 > I2 > I3 , se tienen dos ecuaciones que permiten expresar ω1 y
ω3 en función de ω2 :
2T I1 − L2 = I2 (I1 − I2 )ω22 + I3 (I1 − I3 )ω32
L2 − 2T I3 = I1 (I1 − I3 )ω12 + I2 (I2 − I3 )ω22
Ası́, la segunda ecuación de Euler se reduce a:
I2 ω̇2 + (I1 − I3 ) ω1 (ω2 ) ω3 (ω2 ) = 0
que conduce a una integral elı́ptica y permite obtener ω2 = ω2 (t) y con ello ω1 = ω1 (t) y ω3 = ω3 (t).
3.1.
Construcción de Poinsot
La construcción de Poinsot es un método geométrico alternativo que permite deducir las caracterı́sticas más importantes del movimiento sin necesidad de obtener una solución completa. En ella se
sigue el movimiento del sólido a través de su elipsoide de inercia y se basa en dos propiedades:
P1. La normal al elipsoide en el punto en el que éste es atravesado por el eje instantáneo de rotación
(E.I.R.) es paralela al momento cinético. El plano tangente al elipsoide en ese punto es, por lo
tanto, perpendicular al momento cinético.
√
P2. La distancia del centro del elipsoide al plano tangente en ese mismo punto es 2T /L.
En el movimiento por inercia tanto el momento cinético como la energı́a son constantes y por tanto
el plano tangente tiene una orientación fija y se mantiene a una distancia constante del punto fijo O.
Se denomina por ello plano invariable.
Podemos representar el movimiento del sólido en ausencia de pares considerando que es el movimiento de su elipsoide de inercia que rueda y pivota sobre le plano invariable manteniendo su centro
a una distancia constante del plano. Como el punto de contacto pertenece al E.I.R. la velocidad de
deslizamiento será nula, con lo que la rodadura y el pivotamiento se realizan sin deslizamiento.
La curva que describe el punto de contacto sobre el elipsoide se denomina polodia y la curva descrita
sobre el plano invariable se denomina herpolodia. La unión de los puntos de la herpolodia y la polodia
con el centro del elipsoide da lugar a los axoides fijo y móvil, respectivamente.
Analizando la forma de las polodias se puede extraer mas información acerca del movimiento:
Ana J. López Dı́az
4
x
3
x1
x
2
Figura 1: Polodias para un elipsoides asimétrico I1 > I2 > I3
Las polodias son curvas cerradas lo cual indica que las componentes de ω
en el sistema móvil
son periódicas.
Los ejes principales son ejes permanentes.
Si el elipsoide es de revolución los axoides son conos de revolución.
Permiten establecer criterios de estabilidad.
4.
Trompo Pesado y Simétrico: Trompo de Lagrange
Consideraremos ahora el movimiento de un sólido con un punto fijo O bajo la acción del par
producido por el peso. Las dos hipótesis que simplifican el problema son:
1. Sólido con simetrı́a de revolución.
a) El eje de simetrı́a es principal y cualesquiera dos ejes perpendiculares también son principales y sus momentos de inercia iguales.
b) El centro de masas G está sobre el eje de simetrı́a.
2. El punto fijo pertenece al eje de simetrı́a.
Tomando un sistema de referencia fijo, Oxyz con el eje Oz vertical y un sistema móvil Ox1 x2 x3
tal que Ox3 coincida con el eje de simetrı́a del trompo, se tiene que I1 = I2 .
Expresando la orientación del sólido mediante los ángulos de Euler (ψ, θ, ϕ) la rotacion ω en
función de las rotaciones de Euler es
ω = ψ̇ k̂ + θ̇ ûn + ϕ̇ û3
El mometo del peso en O tiene la dirección de la lı́nea nodal
O = û3 × (−mg k̂) = mg sin θûn
M
Por tanto Mz = 0 y M3 = 0. De la primera de ellas se obtiene:
Lz = cte
Ana J. López Dı́az
5
x3
L
ω
P
A
x1
x
2
Figura 2: Elipsoide de inercia, plano invariable, polodia y herpolodia.
la segunda, junto con el hecho de I1 = I2 , conduce a :
L3 = cte
Utilizando estas dos constantes junto con la energı́a, que también es constante, se puede resolver
completamente el problema reduciéndolo a una integral.
Las constantes L3 y Lz en función de las componentes de ω en el sistema móvil quedan:
L3 = I3 ω3
· k̂ = L1 sin θ sin ϕ + L2 sin θ cos ϕ + L3 cos θ
Lz = L
= I1 ω1 sin θ sin ϕ + I2 ω2 sin θ cos ϕ + I3 ω3 cos θ
Sustituyendo las relaciones entre las componentes de ω y las rotaciones de Euler
ω1 = ψ̇ sin θ sin ϕ + θ̇ cos ϕ
ω2 = ψ̇ sin θ cos ϕ − θ̇ sin ϕ
ω3 = ϕ̇ + ψ̇ cos θ
se tiene
L3 = I3 (ϕ̇ + ψ̇ cos θ)
Lz = I1 ψ̇ sin2 θ + L3 cos θ
de manera que la rotación de precesión y la rotación propia se pueden expresar en fucnión del ángulo
de nutación y de las constantes Lz y L3 :
Lz − L3 cos θ
= ψ̇(θ)
I1 sin2 θ
L3 Lz − L3 cos θ
cos θ = ϕ̇(θ)
−
ϕ̇ =
I3
I1 sin2 θ
ψ̇ =
Ası́, para resolver el movimiento del trompo, en primer lugar se resolverá el movimiento de nutación.
Ana J. López Dı́az
6
Figura 3: Trompo de Lagrange con los ángulos y las rotaciones de Euler.
La energı́a E = T + V es constante puesto que la única fuerza que trabaja es el peso. La energı́a
cinética es:
1
1
1
ω [I] ω = (I1 ω12 + I2 ω22 + I3 ω32 ) =
I1 (ω12 + ω22 ) + I3 ω32
T = 2
2
2
1
2
2
2
2
I1 (ψ̇ sin θ + θ̇ ) + I3 ω3
=
2
y la energı́a potencial
V = mg cos θ
con lo cual
L23
1 2 (Lz − L3 cos θ)2
+
mg
cos
θ
+
I1 θ̇ +
2
2I3
2I1 sin2 θ
Ası́, definiendo el potencial efectivo:
E = T + V = cte =
Vef (θ) = mg cos θ +
L23
(Lz − L3 cos θ)2
+
2I3
2I1 sin2 θ
las constantes del movimiento Lz , L3 reducen el problema a un grado de libertad, θ. La otra constante
del movimiento E permite integrarlo:
θ(t)
dθ
2
dθ
⇒ t=
(E − Vef ) =
θ̇ =
I1
dt
2
θ(0)
I1 [E − Vef (θ)]
La solución para el movimiento de nutación θ = θ(t) permite obtener las rotaciones de Euler ψ̇(t) y
ϕ̇(t) que nuevamente integradas permiten obtener ψ(t) y ϕ(t) con lo que el problema dinámico estarı́a
formalmente resuelto.
Se pueden obtener las caracterı́sticas más relevantes del movimiento sin necesidad de realizar las
integraciones, analizando el potencial efectivo.
Para Lz = L3 el potencial efectivo tiene dos ası́ntotas verticales en θ = 0 y θ = π y un mı́nimo en
θ = θ0 .
Si la energı́a coincide con el mı́nimo del potencial efectivo E = Vef (θ0 ) se tiene que el ángulo de
nutación es constante y con él la rotación propia y la rotación de precesión. El movimiento consiste
en una precesión uniforme del eje del trompo que describe un cono circular.
Ana J. López Dı́az
7
Para E > Vef (θ0 ), la ecuación E = Vef (θ) tiene dos raı́ces θ1 y θ2 que limitan la inclinación del
eje de simetrı́a con la vertical,
θ1 ≤ θ ≤ θ2
estos puntos de retroceso se llaman ángulos absidales. Se tiene para la coordenada θ un movimiento
unidimensional y acotado y por lo tanto periódico. Si el ángulo θ oscila, también lo hará la precesión
que además puede cambiar de signo cuando
θ = θ3 = arc cos
Lz
L3
y θ1 ≤ θ3 < θ2
Se suele representar el movimiento trazando la curva que describe la intersección del eje del trompo
con una esfera de radio unidad centrada en el punto fijo O, como se muestra en la figura 4 para los
diferentes casos comentados.
z
z
(a)
x3
x3
z
(b)
(c)
x3
Figura 4: Representación de diferentes movimientos del trompo: (a) θ3 < θ1 , (b) θ3 = θ1 y (c)
θ1 < θ3 < θ2
5.
Conclusiones
La elección de un sistema principal solidario al sólido permite obtener expresiones más sencillas
del momento cinético, la energı́a cinética y las ecuaciones del movimiento.
En ausencia de pares, la existencia de constantes del movimiento permite la reducción del problema a una sola coordenada y la determinación del movimiento mediante una integral.
Las construcciones geométricas como la de Poinsot permiten la determinación de la cinemática
ası́ como la obtención de otra serie de propiedades.
La existencia de constantes del movimiento permite reducir el problema del trompo de Lagrange
a una sola coordenada y la determinación del movimiento mediante una integral.
El análisis del potencial efectivo permite obtener las caracterı́sticas del movimiento sin necesidad
de integrarlo.
Es de destacar la importancia que revisten los temas presentados ya que se establece la metodologı́a para el estudio del movimiento general del sólido rı́gido.
Por último el movimiento con un punto fijo tiene notables aplicaciones en sistemas de Ingenierı́a
(sistemas de navegación, estabilizadores, etc).
Ana J. López Dı́az
Bibliografı́a recomendada
1. Curso de Mecánica. José M. Bastero y Joaquı́n Casellas. EUNSA, 4ed. (1991).
2. Mecánica Clásica. Herbert Goldstein. Reverté, 2ed. (1996).
3. Mecánica del Sólido Rı́gido. Carlos F. González Fernández. Ariel (2002)
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