Examen Parcial 1 ´Algebra lineal Problema 1. Considera la

Examen Parcial 1
Álgebra lineal
Problema 1. Considera la transformación lineal T : R2 → R3 dada por T x = Ax, donde A
es la matriz


1 0
A = 4 −2 .
1 −1
1. Describe ker T .
2. Describe im T .
3. Indica si la transformación T es inyectiva, sobreyectiva o un isomorfismo.
1
x
Solución.
1. Si
∈ ker T , entonces
x2


 
1 0 1
0
4 −2 x2 = 0 ,
x
1 −1
0
es decir
x1
= 0
4x1 − 2x2 = 0
x1 − x2 = 0.
La única solución a esta sistema es x1 = x2 = 0, por lo que entonces ker T = 0.
 1
1
y
x
2

2. Si y
∈ im T , entonces existe
∈ R2 tal que
2
x
y3


 1
1 0 1
y
4 −2 x2 = y 2  ,
x
1 −1
y3
es decir
x1
= y1
4x1 − 2x2 = y 2
x1 − x2 = y 3 .
Restando la primera ecuación 4 veces a la segunda, y restándola a la tercera, obtenemos
el sistema equivalente
x1
= y1
− 2x2 = y 2 − 4y 1
− x2 = y 3 − y 1 .
1
Este sistema sólo puede tener solución si y 2 −4y 1 = 2(y 3 −y 1 ), o sea sea y 2 = 2(y 1 +y 3 ).
Por lo tanto, la imagen de T está dada por

(
)
y1
im T = 2(y 1 + y 3 ) : y 1 , y 3 ∈ R .
y3
 
1

3. Como ker T = 0, T es inyectva. Como, por ejemplo, 0 6∈ im T , entonces im T 6= R3 ,
0
ası́ que T no es sobreyectiva. Por lo tanto T no es un isomorfismo.
Problema 2. Indica si los vectores x + 1, x2 + 2 y 2x2 − x + 3 son linealmente independientes
en P3 .
Solución. Los vectores no son linealmente independientes: Por ejemplo,
(x + 1) − 2(x2 + 2) + (2x2 − x + 3) = 0.
Problema 3. Sean U, V, W espacios vectoriales sobre K y T : U → V y S : V → W dos
transformaciones lineales. Muestra que la composición S ◦ T : U → W es una transformación
lineal. (Recuerda que la composición está definida por S ◦ T (u) = S(T (u)).)
Solución. Tenemos que mostrar que, para u, v ∈ U y λ ∈ K,
S ◦ T (u + v) = S ◦ T (u) + S ◦ T (v)
y
S ◦ T (λu) = λS ◦ T.
Primero,
S ◦ T (u + v) = S(T (u + v)) = S(T u + T v) = S(T (u)) + S(T (v)) = S ◦ T (u) + S ◦ T (v),
donde hemos usado le hecho de que T y S son lineales.
De la misma forma,
S ◦ T (λu) = S(T (λu)) = S(λT (u)) = λS(T (u)) = λS ◦ T (u).
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