Solución de Otras Integrales de Trayectoria por el Método de Duru

Acribus, ut ferme talia, initiis, incurioso fine
As is usual in such matters, keen in commencing, negligent at the end
Tacitus (58–120), Annales, Book 6, 17
14
Solución de Otras Integrales de Trayectoria
por el Método de Duru-Kleinert
La combinación de una trayectoria dependiente de la reparametrización temporal y
la transformación compensadora de las coordenadas, utilizada por Duru y Kleinert
para transformar la integral de trayectoria de Coulomb en la integral de trayectoria
del oscilador armónico, se puede generalizar para asociar entre sı́ varias integrales
de trayectoria. Ası́, se pueden resolver muchas integrales de trayectoria desconocidas por medio de su relación con integrales de trayectoria conocidas. En este
Capı́tulo se explica el método para un ejemplo tı́pico de integrales de trayectoria
uni-dimensionales, ası́ como también para sistemas tri-dimensionales más complicados. El último describe una generalización del sistema de Coulomb, consistente de
dos partı́culas que poseen cargas tanto eléctricas como magnéticas. Este sistema es
comúnmente conocido como el átomo de dionio (en analogı́a con el átomo de positronio, i.e., el estado ligado entre un electrón y un positrón). También discutiremos
posibles generalizaciones adicionales del método.
14.1
Sistemas Uni-Dimensionales
En un espacio de una dimensión, la relación general a ser introducida es la siguiente:
Sea Ĥ el operador Hamiltoniano
Ĥ = T̂ + V̂ ,
(14.1)
donde el término cinético es T̂ = p̂2 /2M, y definimos el operador Hamiltoniano
auxiliar
ĤE = Ĥ − E,
(14.2)
junto con la amplitud de evolución temporal asociada
hxb |ÛE (t)|xa i ≡ hxb |e−itĤE /h̄ |xa i.
(14.3)
Una integración de esta amplitud para todo t > 0 dará la amplitud de energı́a fija
(xb |xa )E =
Z
∞
ta
dtb hxb |ÛE (tb − ta )|xa i
1028
(14.4)
1029
14.1 Sistemas Uni-Dimensionales
[recordemos la Ec. (12.8)]. Esta expresión se puede escribir formalmente como una
integral de trayectoria
(xb |xa )E =
Z
∞
dtb
ta
Z
Dx(t)eiAE [x]/h̄ ,
(14.5)
donde la acción es
AE [x] =
Z
tb
ta
M 2
ẋ (t) − V (x(t)) + E .
dt
2
(14.6)
Como en el sistema de Coulomb, se puede hallar otra representación en términos de
integrales de trayectoria de la amplitud (14.5) utilizando la representación más general del operador resolvente, la Ec. (12.21). Escogiendo dos funciones reguladoras
arbitrarias fl (x), fr (x) cuyo producto es f (x), introducimos el operador Hamiltoniano auxiliar modificado
ĤE = fl (x)(Ĥ − E)fr (x).
(14.7)
La amplitud de evolución pseudo-temporal asociada
hxb |ÛE (S)|xa i ≡ fr (xb )fl (xa )hxb |e−iS ĤE /h̄ |xa i
(14.8)
dará como resultado, después de integrar para todo S > 0, la misma amplitud de
energı́a fija que la Ec. (14.4):
(xb |xa )E =
Z
0
∞
dShxb |ÛE (S)|xa i
(14.9)
[recordemos la Ec. (12.30)]. Por lo tanto, la amplitud se puede calcular de la integral
de trayectoria
(xb |xa )E =
Z
∞
0
dS fr (xb )fl (xa )
Z
f
Dx(s)eiAE [x]/h̄ ,
(14.10)
donde la acción modificada es
AfE [x]
=
Z
0
S
)
(
M
x′2 (s) − f (x(s))[V (x(s)) − E] .
ds
2f (x(s))
(14.11)
Como se observó en la Ec. (12.37), esta acción se obtiene de la Ec. (14.6) por medio
de una reparametrización de la trayectoria dependiente del tiempo, la cual cumple
con la relación
dt = ds f (x(s)).
(14.12)
La introducción de f (x) ha transformado el término cinético en una forma incoveniente que contiene una masa dependiente de las coordenadas espaciales, M/f (x).
Esta dependencia espacial se elimina por medio de la transformación de coordenadas
1030
14 Solución de Otras Integrales de Trayectoria por el Método de Duru-Kleinert
x = h(q).
(14.13)
Ya que los diferenciales de las coordenadas están relacionados por
dx = h′ (q)dq,
(14.14)
requerimos que la función h(q) cumpla la relación
h′2 (q) = f (h(q)).
(14.15)
Entonces, en términos de las nuevas coordenadas q, la acción (14.11) será
Af,q
E =
Z
0
S
ds
M ′2
q (s) − f (q(s))[V (q(s)) − E] ,
2
(14.16)
donde hemos usado la notación
f (q) ≡ f (h(q)),
V (q) ≡ V (h(q)).
(14.17)
En la acción transformada (14.16), el término de energı́a cinética tiene la forma
usual.
El hecho importante a probar y explorar a continuación es el siguiente: La amplitud inicial de energı́a fija (14.5) se puede asociar con la amplitud de pseudo-energı́a
fija cuya acción transformada está dada por la Ec. (14.16), si antes complementamos
la acción con el potencial efectivo

h̄2  h′′′ 3
Veff (q) = −
−
4M h′
2
h′′
h′
!2 
.
(14.18)
La cantidad entre paréntesis cuadrados es la derivada de Schwartz {h, q}, dada en
la Ec. (14.18), encontrada para el coeficiente q2 (x) del desarrollo semi-cásico. El
potencial efectivo se origina por el efecto de la partición temporal y será deducido
en la siguiente sección. Ası́, en lugar de utilizar la acción (14.16), la amplitud de
pseudo-energı́a fija (qb |qa )E se obtiene usando la acción extendida
ADK
E,E [q]
=
Z
0
S
M ′2
q (s) − f (q(s))[V (q(s)) − E] − Veff (q(s)) + E ,
ds
2
(14.19)
mediante el cálculo de la integral de trayectoria
(qb |qa )E =
Z
0
∞
dS
Z
DK
Dq(s)eiAE,E [q] .
(14.20)
La relación a derivarse y que conduce a la solución de muchas integrales de trayectoria no triviales es
(xb |xa )E = [f (xb )f (xa )]1/4 (qb |qa )E=0 .
(14.21)
1031
14.1 Sistemas Uni-Dimensionales
El procedimiento es una generalización obvia de la transformada de DuruKleinert de la integral de trayectoria del sistema de Coulomb dado en la Sección 13.1,
como se indica por medio del superı́ndice DK en la acción transformada. De manera
correspondiente, las acciones AE [x] y ADK
E,E [q], cuyas integrales de trayectoria (14.5)
y (14.20) producen la misma amplitud de energı́a fija (xb |xa )E via la relación (14.21),
son llamadas equivalentes–DK .
El prefactor en el lado derecho tiene su origen en las propiedades de normalización
de los estados. Usando dx = dq h′ (q) = dq f (h(q))1/2 , la relación de completes
Z
dx|xihx| = 1
(14.22)
dq f (q)|h(q)ihh(q)| = 1.
(14.23)
toma la forma
Z
q
Ahora, queremos que los estados transformados |qi cumplan la relación de completes
Z
dq|qihq| ≡ 1.
(14.24)
Esto implica la siguiente relación entre los nuevos estados y los anteriores:
|xi = f (q)−1/4 |qi.
(14.25)
Aunque a primera vista puede parecer que el factor de normalización de la Ec. (14.21)
deberı́a tener la potencia opuesta a −1/4, sin embargo, se encuentra que el signo
actual es correcto. La razón está, hablando a grosso modo, en el factor [f (xb )f (xa )]1/2
por el cual difieren los pseudo-tiempos dt y ds de las integrales (14.4) y (14.20). Esto
da lugar a que la amplitud de energı́a fija ya no sea proporcional a las dimensiones
de los estados, en cuyo caso la Ec. (14.21) deberı́a tener el factor [f (xb )f (xa )]−1/4 .
El factor extra [f (xb )f (xa )]1/2 que surge de la integración pseudotemporal invierte
el prefactor esperado.
En la práctica, generalmente la situación es como sigue: Si tenemos la solución
de una integral de trayectoria para un sistema con un potencial singular, la partición
temporal de la acción no es la partición clásica de la acción, sino una acción regularizada más complicada, la cual está libre de los problemas del colapso de la trayectoria.
El ejemplo más importante es la integral de trayectoria radial (8.36) que involucra
el logaritmo de una función de Bessel en lugar de una barrera centrı́fuga. Otros
ejemplos son las integrales de trayectoria (8.174) y (8.207) de la partı́cula cerca
de la superficie de una esfera en D = 3 y D = 4 dimensiones, donde las barreras
angulares se regularizan por medio de funciones de Bessel. En esos ejemplos, la
forma explı́cita, sin colapso, de la partición temporal de la integral de trayectoria
ası́ como su solución, se obtienen de la proyección angular del momentum de una
integral de trayectoria Euclideana sencilla. En el primer paso de la solución, eligiendo
apropiadamente las funciones reguladoras f (x), la introducción de una trayectoria
dependiente de un nuevo tiempo s, mediante la relación dt = ds f (x(s)), elimina
1032
14 Solución de Otras Integrales de Trayectoria por el Método de Duru-Kleinert
las singularidades peligrosas. El sistema transformado tiene un potencial regular y
posee una partición temporal de la integral de trayectoria, pero tiene un término
cinético no convencional. En el segundo paso, la transformación de coordenadas lleva el término cinético a la forma convencional. La amplitud final de pseudo-energı́a
fija (qb |qa )E , evaluada en E = 0, coincide con la amplitud conocida del sistema
inicial, excepto por el factor antes discutido, el cual está inversamente asociado con
la normalización de los estados. Nótese que con la Ec. (14.15), la relación (14.21)
también se puede escribir como
(xb |xa )E = [h′ (qb )h′ (qa )]1/2 (qb |qa )E=0 .
(14.26)
Esta fórmula de transformación se usará para encontrar varias integrales de trayectoria. Sin embargo, como se prometió, primero derivaremos el potencial efectivo
(14.18).
14.2
Derivación del Potencial Efectivo
Para derivar el potencial efectivo (14.18), consideremos la partición pseudotemporal
de la integral de trayectoria asociada con el operador regularizado de evolución
pseudo-temporal (14.8):
hxb |ÛE (S)|xa i
fr (xb )fl (xa )
donde
AN =
n=1
(

Z
 q
(14.27)
M
(∆xn )2
+ ǫs [E − V (xn )]fl (xn )fr (xn−1 ) .
2ǫs fl (xn )fr (xn−1 )
(14.28)
n=1
dxn

i N
A ,
h̄
≈q
2πiǫs h̄fl (xb )fr (xa )/M
N
+1
X
N
Y
2πiǫs h̄fn /M
 exp
)
En la norma hemos usado la abreviatura fn ≡ f (xn ) = fl (xn )fr (xn ). De aquı́ en
adelante se omite el potencial V (x), ya que no es esencial en la discusión. Cambiando
el ı́ndice del producto y los subı́ndices de fn por una unidad, y compensando esto
con un prefactor, la norma de integración en la Ec. (14.27) adquiere la forma de
postpunto
[f (xb )f (xa )]1/4 fr (xa )
q
fr (xb )
2πiǫs h̄/M
"
#−5/4 "
fl (xa )
fl (xb )
#1/4 N +1 Z
Y
n=2
d∆xn
q
2πiǫs h̄fn /M
,
(14.29)
donde las integrales sobre ∆xn = xn − xn−1 se hallan de manera descendente desde
los valores superiores de n hasta los valores menores, cada uno en una posición fija
del postpunto xn .
Veamos ahora la nueva coordenada q la cual, mediante la función de transformación x = h(q), que cumple con la Ec. (14.15), convierte al término cinético
dominante a la forma:
AN
0 =
N
+1
X
n=1
M
(∆qn )2 .
2ǫs
(14.30)
1033
14.2 Derivación del Potencial Efectivo
El desarrollo postpunto de ∆xn en cada n será (donde omitimos los subı́ndices)
1
1
∆x = x(q) − x(q − ∆q) = e1 ∆q − e2 (∆q)2 + e3 (∆q)3 + . . . ,
2
6
y los los coeficientes del desarrollo, evaluados en el postpunto qn , serán
(14.31)
e1 ≡ h′ = f 1/2 , e2 ≡ h′′ , e3 ≡ h′′′ , . . .
(14.32)
El desarrollo (14.31) es el análogo uni-dimensional del desarrollo (11.56), los coeficientes se corresponden con la base trı́ada ei µ de la Ec. (10.12) y sus derivadas
(e1 =e
ˆ i µ , e2 =e
ˆ i µ,ν , . . .). Introduzcamos también el análogo de la trı́ada recı́proca ei µ ,
definida en la Ec. (10.12):
ē ≡ 1/e1 = 1/h′ = 1/f 1/2 .
(14.33)
Con esto, desarrollamos el término cinético de la Ec. (14.28) como
1
(∆q)2
1
(∆xn )2
1 − ēe2 ∆q + ēe3 + (ēe2 )2 (∆q)2 + . . .
=
2ǫs fl (xn )fr (xn−1 )
2ǫs
3
4



fr′
fr′

× 1 + ∆q +

fr
fr
!2



1 fr′′ 
(∆q)2 + . . . ,
−

2 fr
(14.34)
donde fr′ ≡ dfr /dq. De la Ec. (14.31) vemos que la transformación de la norma tiene
el Jacobiano
1
∂∆x
= f 1/2 1 − ēe2 ∆q + ēe3 (∆q)2 + . . .
(14.35)
J=
∂∆q
2
[siendo este un caso especial de la Ec. (11.59)]. Puesto que el álgebra subsecuente es
tediosa, restringimos las funciones de regularización fl (x) y fr (x) a las expresiones
dadas en la Ec. (13.3), suponiendo que son potencias diferentes de una sóla función
f (x), fl (x) = f (x)1−λ y fr (x) = f (x)λ donde λ es un parámetro arbitrario de la
partición. Entonces, la norma (14.29) se convierte en
3λ/2 (1−3λ)/2 N +1 Z
Y
fa
fb
q
n=2
3λ/2
fb fa(1−3λ)/2
1/4
fb fa1/4
2πiǫs h̄/M
d∆xn
q
2πiǫs h̄fn /M
,
(14.36)
con la notación obvia fb ≡ f (xb ), fa ≡ f (xa ). Ahora distribuimos el prefactor
3λ/2
fb fa(1−3λ)/2 igualmente sobre todo el intervalo temporal, escribiendo
=
NY
+1
n=1
fn−1
fn
!1/4−3λ/2
.
(14.37)
Luego, la integral de trayectoria (14.27) será
1/4
fb fa1/4
hxb |ÛE (s)|xa i ≈ q
2πiǫs h̄/M
N
Y
n=1

Z
 q
d∆qn
2πiǫs h̄/M


(14.38)
+1
M
i NX
(∆qn )2 + ǫs f (qn )[E − V (qn )] + . . .
× exp
h̄ n=1 2ǫs
(
"
#)
[1 + C(qn , ∆qn )],
1034
14 Solución de Otras Integrales de Trayectoria por el Método de Duru-Kleinert
donde 1 + C es un factor de corrección que surge de la transformación de tres pasos
1 + C ≡ (1 + Cnorma )(1 + Cf )(1 + Cact ).
(14.39)
Omitiendo términos superiores irrelevantes en ∆q, las tres contribuciones en el lado
derecho tienen el siguiente origen:
La transformación de la norma (14.35) da lugar a la corrección de la partición
temporal
1
Cnorma = −ēe2 ∆q + ēe3 (∆q)2 + . . . .
2
(14.40)
El reajuste de los factores f en la Ec. (14.37) da origen a
1 3λ
−
4
2
Cf =
f′
1 f ′′
− ∆q +
(∆q)2
f
2 f
!"
3 3λ
+
4
2
1
−
2
!
1 3λ
−
4
2
!
f′
f
#
!2
(∆q)2 + . . . .
(14.41)
La transformación de la partición pseudotemporal del término cinético (14.34) será
Cact
f′
i (∆q)2
− ēe2 − λ
∆q
= M
h̄
2ǫs
f
(
!


f ′′
1
1
f′
1
+  ēe3 + (ēe2 )2 + −λ + λ(λ + 1)
3
4
2
f
f
!2 
M 2 (∆q)4
f′
− 2
ēe
−
λ
2
f
2h̄ 4ǫ2s



f′
 − λēe2  (∆q)2

f
!2
(∆q)2 + . . . .
(14.42)
Ahora calculamos un núcleo equivalente de acuerdo a la Sección 11.2. Los términos
de corrección se evalúan perturbativamente usando los valores esperados
2n
h(∆q) i0 =
ih̄
M
!n
(2n − 1)!!.
(14.43)
Primero encontramos los valores esperados (11.70). Usando solamente los términos
relevantes a orden ǫs , obtenemos
hC∆qi0 = ih̄ǫs
"
1 3λ
−
−ēe2 −
4
2
!
f′
f′ 3
ēe2 − λ
+
f
2
f
!#
.
(14.44)
Los términos en λ se cancelan idénticamente entre sı́. El residuo se anula usando la
relación (14.15), la cual en la presente notación será
e21 = f,
(14.45)
1035
14.2 Derivación del Potencial Efectivo
lo cual implica que
2e1 e2 = f ′ ,
2ēe2 = f ′ /f,
(14.46)
de donde obtenemos hC∆qi0 ≡ 0.
Ahora nos enfocamos en el valor esperado hCi0 , el cual determina el potencial
efectivo mediante la Ec. (11.47). Diferenciando la segunda ecuación de la relación
(14.46), vemos que
h
i
f ′′ /f = 2 (ēe2 )2 + ēe3 .
(14.47)
De las Ecs. (14.41) y (14.42), expresando f y f ′′ en términos de las funciones e,
obtenemos
!
o
1 3λ n
−2ēe2 ∆q + [(ēe2 )2 + ēe3 ] (∆q)2
−
4
2
!
!
1 3λ
3 3λ
(ēe2 )2 (∆q)2 + . . . ,
+
−
−2
4
2
4
2
Cf =
(14.48)
M (∆q)2
− (1 − 2λ)ēe2 ∆q
h̄ 2ǫs
1
1
2
2
2
2
+ ēe3 + (ēe2 ) − λ(ēe2 + ēe3 ) + 2λ(λ + 1)(ēe2 ) − 2λ(ēe2 ) (∆q)
3
4
M 2 (∆q)4
(1 − 2λ)2 (ēe2 )2 (∆q)2 + . . . .
(14.49)
− 2
2h̄ 4ǫ2s
Cact = i
Después de formar el producto (14.39), el término total de la corrección será
1
iM
C = ēe2
− λ ∆q −
(∆q)2 − 3
2
h̄ǫs
1
1
7
7 M
9
2
2
2
λ−
λ−
(∆q) + i 4λ − λ +
(∆q)4
+(ēe2 )
2
6
2
2
8 h̄ǫs
#
1
1 2 M2
6
−
λ−
(∆q)
2
2 h̄2 ǫ2s
1
1
1 M
3
2
4
(14.50)
(∆q) −
λ−
i
(∆q) + . . . .
+ēe3 − λ −
2
2
2
3 h̄ǫs
Usando la Ec. (14.43) encontramos que, a orden relevante en ǫs , el valor esperado
es:
ǫs h̄ 1
3
hCi0 = −
ēe3 − (ēe2 )2 .
M 4
8
(14.51)
El cual equivale al potencial efectivo
Veff
ih̄2 1
3
= −
ēe3 − (ēe2 )2 .
M 4
8
(14.52)
1036
14 Solución de Otras Integrales de Trayectoria por el Método de Duru-Kleinert
Sustituyendo las Ecs. (14.32) y (14.33) esto se convierte en la expresión (14.18),
expresión que querı́amos derivar.
En resumen hemos demostrado que el núcleo, en la Ec. (14.38),
+1
i NX
M
exp
(∆qn )2 + ǫs Ef (qn )
K (∆q) = q
h̄
2ǫ
s
2πiǫs h̄/M
n=1
(
1
ǫs
)
[1 + C] (14.53)
se puede reemplazar por un núcleo equivalente más sencillo
+1
i NX
M
K (∆q) = q
exp
(∆qn )2 + ǫs Ef (qn ) − ǫs Veff
h̄
2ǫ
s
2πiǫs h̄/M
n=1
(
1
ǫs
)
, (14.54)
en el cual el factor de corrección 1 + C se recupera mediante el potencial efectivo
Veff de la Ec. (14.18). Este resultado es independiente del parámetro de la partición
λ [1]. El mismo resultado se obtiene, luego de un álgebra extensa, para una partición completamente general de la función reguladora f (x) mediante el producto
fl (x)fr (x).
14.3
Comparación con la Mecánica Cuántica
de Schrödinger
La transformación DK que cambia la acción (14.11) a la acción (14.19) tiene obviamente una correspondencia con la mecánica cuántica de Schrödinger. En analogı́a
con la introducción de la amplitud de evolución pseudotemporal (14.8), multiplicamos la ecuación de Schrödinger
h̄2 2
−
∂ − E ψ(x, t) = ih̄∂t ψ(x, t)
2M x
"
#
(14.55)
a la izquierda por una función de regulación arbitraria fl (x), y obtenemos
h̄2
fl (x)∂x2 fr (x) − Ef (x) ψf (x, t) = f (x)ih̄∂t ψf (x, t),
−
2M
#
"
(14.56)
donde hemos hallado la función de onda transformada ψf (x, t) ≡ fr (x)−1 ψ(x, t).
Después de introducir la transformación de coordenadas (14.14), obtenemos

h̄
1
−
fl (q) ′ ∂q
2M
h (q)
!2

fr (q) − Ef (q) ψf (q, t) = f (q)ih̄∂t ψf (x, t),
(14.57)
donde hemos usado la notación f (q) ≡ f (h(q)), al igual que en la Ec. (14.17).
Sustituyendo h′2 (q) = f (h(q)) = fl (h(q))fr (h(q)) obtenido en la Ec. (14.15), la
ecuación de Schrödinger se convierte en
"
h̄2 −1
h′′
−
fr (q) ∂q2 − ′ ∂q fr (q) − Ef (q) ψf (q, t) = f (q)ih̄∂t ψf (q, t). (14.58)
2M
h
!
#
1037
14.4 Aplicaciones
Ahora, luego de transformar la función ψf (q, t) a la nueva función de onda
−1/4
φ(q, t) = fr3/4 (q)fl
(q)ψf (q, t),
asociada con la función de onda inicial por ψ(x, t) ≡fr (q)ψf (q, t)= f 1/4 (q)φ(q, t), la
ecuación de Schrödinger toma la forma
h̄2 ′ −1/2 2 h′′
−
∂q − ′ ∂q h′ (q)1/2 − Ef (q) φ(q, t)
h (q)
2M
h
1 2
∂ + Veff − Ef (q) φ(q, t) = f (q)ih̄∂t φ(q, t),
= −
2M q
"
!
#
(14.59)
donde Veff es el potencial efectivo de la Ec. (14.18).
Usando la transformación especial de coordenadas r = h(q) = eq , obtendremos
Veff

h̄2  h′′′ 3
−
= −
4M h′
2
h′′
h′
!2 

=
h̄2 1
,
2M 4
(14.60)
como fue señalado por primera vez por Langer [2], al correguir la aproximación WKB
de las ecuaciones de Schrödinger con barreras centrı́fugas h̄2 l(l + 1)/2Mr 2 . Esta
barrera es muy singular como para ser tratada en una aproximación semi-clásica.
La transformación r = h(q) = eq conduce a un problema de potencial suave en todo
el eje q, en el cual la barrera centrı́fuga se reemplaza por h̄2 [l(l + 1) + 14 ]/2M. Langer
concluyó de esto que, la ecuación radial original de Schrödinger se puede tratar
semi-clásicamente si l(l + 1) se reemplaza por l(l + 1) + 41 . El término adicional 14 se
conoce como la corrección de Langer .
El operador f (q)∂t en el lado derecho de la Ec. (14.59) tiene el papel de ser la
derivada parcial con respecto de pseudotiempo ∂s .
14.4
Aplicaciones
Presentamos ahora algunas soluciones tı́picas usando el método DK. Todas las amplitudes de energı́a constante inicial tendrán una acción genérica de la forma
AE =
Z
M 2
dt
ẋ (t) − V (x) + E ,
2
(14.61)
con diferentes potenciales V (x), los cuales usualmente no aceptan una partición
temporal trivial. Las integrales de trayectoria asociadas se conocen a partir de
ciertas proyecciones de las integrales de trayectorias Eucliadianas. Por brevedad, en
lo que sigue omitimos el subı́ndice E (ya que en su lugar usaremos otro subı́ndice que
haga referencia al potencial bajo consideración). La solución sigue el procedimiento
general de dos pasos descrito en la Sección 13.4.
1038
14.4.1
14 Solución de Otras Integrales de Trayectoria por el Método de Duru-Kleinert
Oscilador Armónico Radial y Sistema de Morse
Consideremos la acción de un oscilador armónico en D dimensiones con momentum
angular lO y con energı́a fija EO :
AO =
Z
µ2 − 1/4 M 2 2
M 2
dt
ṙ − h̄2 O
− ω r + EO .
2
2Mr 2
2
"
#
(14.62)
Aquı́ µO es una abreviatura de
µO = DO /2 − 1 + lO
(14.63)
[recordemos la Ec. (8.138)], DO denota la dimensión, y lO el momentum angular
orbital del sistema. El subı́ndice O indica que estamos tratando con el oscilador
armónico. En la acción, el lı́mite ω → 0 describe a la partı́cula libre.
Debido a la barrera centrı́fuga la partición temporal de la integral de trayectoria,
la cual involucra funciones de Bessel, asociada a la amplitud de evolución temporal
es muy complicada. De acuerdo a la regla (8.140), la barrera centrı́fuga requiere de
la regularización
ǫ h̄2
µ2O − 1/4
M
−
−
−→ ih̄ log I˜µO
rn rn−1 .
2
2Mrn
ih̄ǫ
(14.64)
Esto suaviza las pequeñas fluctuaciones en r y evita el colapso de la trayectoria en la
integral de trayectoria Euclidiana, donde µO = 0. Ahora, usando la fórmula (8.14)
podemos hallar la solución de la partición temporal de la integral de trayectoria. Sin
embargo, la amplitud final se puede obtener más fácilmente si usamos la solución del
oscilador armónico en DO coordenadas Cartesianas, proyectando luego el resultado
en un estado de momentum angular fijo lO . El resultado fue obtenido en la Ec. (9.32),
y para rb > ra tiene la forma
1 1 Γ((1 + µ)/2−ν)
Mω 2
Mω 2
(rb |ra )EO ,lO = −i √
Wν,µ/2
rb Mν,µ/2
r , (14.65)
ω rb ra
Γ(µ + 1)
h̄
h̄ a
donde los parámetros en el lado derecho son
ν = νO ≡
EO
,
2ωh̄
µ = µO .
(14.66)
Los valores propios de la energı́a estarán dados por los polos: ν = n/2 + D/4 =
nr + l/2 + D/4, donde n = 0, 1, 2, 3, . . . .
Hallaremos una amplitud de evolución pseudotemporal estable, luego de transformar la trayectoria dependiente del tiempo con la función reguladora
f (r) = r 2 .
(14.67)
El Hamiltoniano temporal transformado,
HO = r 2
µ2 − 1/4 M 2 4
p2
+ h̄2 O
+ ω r − EO r 2 ,
M
2M
2
(14.68)
1039
14.4 Aplicaciones
está libre de las singularidades de la barrera. Ası́, en la partición temporal de la
acción
2
AfO=r
=
Z
S
0
M r ′ 2 µ2O − 1/4 M 2 4
ds
−
− ω r + EO r 2
2
2 r
2M
2
!
(14.69)
asociada con HO , no necesitamos de ninguna función de Bessel.
Nótese que el factor 1/r 2 que acompaña al factor r ′2 = [dr(s)/ds]2, no da origen a problemas adicionales. Simplemente disminuye las fluctuaciones para valores
pequeños de r. Sin embargo, es poco deseable la dependencia en r del término
cinético en la evaluación de la partición temporal de la integral de trayectoria. Por
lo tanto usaremos una nueva coordenada x, mediante la trasformación
r = h(x) ≡ ex ,
(14.70)
donde la función de transformación h(x) está relacionada con la función reguladora
f (x) mediante la Ec. (14.15):
h′2 = e2x = f (r) = r 2 .
(14.71)
El potencial efectivo resultante (14.18), es una constante:

h̄2  1 h′′′ 3
= −
−
M 4 h′
8
Veff
h′′
h′
!2 

h̄2
.
=
8M
(14.72)
Con esta constante, la acción radial del oscilador transformado DK se convierte en
ADK
O
=
Z
S
0
µ2O
Mω 2 4x
M ′2
x −
−
e + EO e2x .
ds
2
2M
2
#
"
(14.73)
El potencial efectivo (14.72) cambia el término de la barrera centrı́fuga de la forma
(µ2O − 1/4)/2M a la forma µ2O /2M . Hemos omitido la pseudoenergı́a E, ya que se
ha considerado igual a cero en la relación final DK (14.26). Identificando
M 2
ω ,
2
B = EO ,
h̄2 µ2O
C =
+ EM ,
2M
(14.74)
A =
(14.75)
(14.76)
observamos que la acción (14.73) tendrá la forma
AM =
Z
0
S
M ′2
x − (VM − EM ) ,
ds
2
(14.77)
donde el potencial de Morse estará dado por la expresión:
VM (x) = Ae4x − Be2x + C.
(14.78)
1040
14 Solución de Otras Integrales de Trayectoria por el Método de Duru-Kleinert
Mediante la relación DK (14.26), hallamos que la amplitud de energı́a fija
(xb |xa )EM =
Z
0
∞
dS
Z
Dx(s)eiAM /h̄ ,
(14.79)
es equivalente a la amplitud radial del oscilador (14.65), la cual tendrá la forma
(rb |ra )EO ,l = e(xb +xa )/2 (xb |xa )EM ,
(14.80)
donde r = ex .
Para hallar las energı́as de estado estacionario del potencial de Morse utilizamos
las relaciones (14.74)–(14.76). Para lo cual, de la relación (9.110) podemos reescribir
B en la forma
B = h̄ω(µO + nr + 1/2),
nr = 0, 1, 2, 3, . . . ,
(14.81)
con ayuda la Ec. (14.74), obtenemos
q
B = h̄ 2A/M(µO + nr + 1/2).
(14.82)
q
Cuya solución estará dada por µO = B/h̄ 2A/M − (nr + 1/2), que al ser sustituida
en le Ec. (14.76) nos permite obtener
EM

B2 
h̄
= C−
1−
4A
B
s
2
q
2A
(nr + 1/2) , (0 ≤ nr ≤ MB 2 /2Ah̄2 − 1/2. (14.83)
M
En el caso de las vibraciones moleculares, es común utilizar la expresión VM =
V0 [e−4x − 2e−2x ] para el potencial de Morse, en cuyo caso el espectro de energı́as será

2
h̄
EM = −V0 1 − q
(nr + 1/2) ,
MV0 /2
14.4.2
(0 ≤ nr ≤
q
MV0 /2h̄2 − 1/2. (14.84)
Sistema Radial de Coulomb y Sistema de Morse
Por argumentos similares se puede mostrar que la integral de trayectoria radial del
sistema de Coulomb es un equivalente DK a la integral de trayectoria del potencial
de Morse. En este caso la acción es
AC =
Z
µ2 − 1/4 e2
M 2
ṙ − h̄2 C
+ + EC ,
dt
2
2Mr 2
r
#
"
(14.85)
donde
µC = DC /2 − 1 + lC .
(14.86)
En particular si e2 = 0, la acción corresponde a la de una partı́cula libre moviendose
en una barrera de potencial centrı́fuga. Como en el ejemplo anterior, la acción
1041
14.4 Aplicaciones
(14.85) no conduce a una partición temporal de la amplitud del tipo Feynman, sino
que involucra las funciones de Bessel. Nuevamente debemos de eliminar la barrera
de potencial mediante una transformación dependiente del tiempo de la trayectoria,
donde
f (r) = r 2
(14.87)
e introducimos el pseudotiempo s, el cual cumple con la relación dt = ds r 2 (s). De
aquı́ obtenemos la trasformacion temporal de la acción
2
AfC =r
=
S
Z
0
2
M r ′2
2 µC − 1/4
−
h̄
+ e2 r + EC r 2 .
ds
2
2 r
2M
#
"
(14.88)
Para escribir el término cinético en la forma estándar, cambiamos la variable r a la
variable x, con la transformación
r = ex .
(14.89)
Con esta transformación obtenemos el mismo potencial efectivo hallado en la
Ec. (14.72),
Veff =
h̄2 1
,
2M 4
(14.90)
con lo cual cancelamos el término 1/4, hallado anteriormente en la barrera centrı́fuga
del potencial [2]. Ası́ obtenemos la transformada DK de la acción radial de Coulomb
ADK
C
=
Z
S
0
2
M ′2
2 µC
ds
x − h̄
+ e2 ex + EC e2x .
2
2M
"
#
(14.91)
Un cambio trivial de variables
x = 2x̄,
M = M̄ /4,
µC = 2µ̄,
(14.92)
nos permite reescribir la acción en la forma
ADK
C
=
Z
0
S
µ̄2
M̄ ′2
x̄ − h̄2
+ e2 e2x̄ + EC e4x̄ ,
ds
2
2M̄
"
#
(14.93)
con lo cual tenemos una conección con la acción de Morse (14.77). Reemplazando
x̄ por x vemos que
1
(rb |ra )EC ,lC = e(xb +xa ) (xb |xa )EM ,
2
(14.94)
1042
14 Solución de Otras Integrales de Trayectoria por el Método de Duru-Kleinert
donde r = e2x . El factor 1/2 tiene en cuenta el hecho de que la relación entre estados
normalizados será |xi = |x̄i/2. Ahora, los parámetros son
A = −EC ,
B = e2 ,
µ2
C = h̄2 C + EM .
2M
(14.95)
(14.96)
(14.97)
Esto se puede corroborar fácilmente sustituyendo el resultado para EM hallado
previamente en la Ec. (14.84), donde A y B estarán dadas por las Ecs. (14.74) y
(14.75), con lo cual obtenemos
2
Me4
1
2 α
EC = − 2
= −Mc
,
2n2
h̄ 2(µC + nr + 21 )2
(14.98)
donde n = nr +lC +(DC −1)/2, nr = 0, 1, 2, . . . . Para el caso DC = 3, este resultado
concuerda con lo hallado en la Ec. (13.212).
14.4.3
Equivalencia del Sistema Radial de Coulomb
y el Oscilador Radial
Puesto que el oscilador radial y el sistema radial de Coulomb son ambos equivalentes
DK al sistema de Morse, tales sistemas serán equivalentes DK entre sı́. La relación
entre los parámetros es
MO = 4MC ,
µO = 2µC ,
EO = e2 ,
(14.99)
MO 2
ω = EC ,
−
2
√
rC .
rO =
Hemos agregado los subı́ndices O, C, incluso a las masas M, para enfatizar los sistemas a los cuales pertenecen. La relación µO = 2µC implica
DO /2 − 1 + lO = 2(DC /2 − 1 + lC )
(14.100)
para todas las dimensiones y momenta angulares de los dos sistemas. Debido a la
√
relación de la raı́z cuadrada rO = rC , el momentum angular orbital cumple con la
expresión
lO = 2lC .
(14.101)
En cuanto a las dimensiones, esto implica que
DO = 2DC − 2.
(14.102)
1043
14.4 Aplicaciones
En el caso DC = 2 y 3 hallamos un acuerdo total con el Capı́tulo 13, donde las
dimensiones de los osciladores equivalentes DK fueron 2 y 4, respectivamente.
Para ver la relación entre las amplitudes, es apropiado mantener la notación tan
cercana como sea posible a la del Capı́tulo 13 y denotar la coordenada radial del
oscilador con u. Entonces la relación DK para la amplitud de evolución pseudo–
temporal establece que
(rb |ra )EC ,µC =
1√
ub ua (ub |ua )EO ,µO ,
2
(14.103)
donde el lado derecho estará dado por la Ec. (14.65) (luego de reemplazar r por u,
MO por 4MC y MO ωu2/h̄ por 2κr).
Note una vez más que el prefactor en el lado derecho tiene una dimensión opuesta
a la que uno esperarı́a de la relación de completes mecánico-cuántica
Z
∞
0
dr|rihr| = 1,
(14.104)
Z
(14.105)
donde la versión en el espacio u es
Z
∞
0
du 2u|rihr| =
du|uihu| = 1.
Como se comentó en la Sección 14.1, la razón de esto está en la diferencia de dimensiones de los pseudotiempos (los cuales difieren por un factor r) sobre los cuales
se integran las amplitudes de evolución cuando hallamos las amplitudes de energı́a
fija. El factor adicional 1/4, contenido en la Ec. (14.103), se debe a la relación entre
las masas MO = 4MC .
Revisemos la relación (14.103) para el caso DC = 3. La amplitud de energı́a fija
del sistema de Coulomb tiene el siguiente desarrollo en ondas parciales
(xb |xa )EC =
∞
X
lC
X
lC =0 m=−lC
1
(rb |ra )EC ,lC YlC m (θb , ϕb )YlC∗ m (θa , ϕa ).
rb ra
(14.106)
Por otra parte, la amplitud de energı́a fija del oscilador cuatro-dimensional tiene el
desarrollo
(~ub|~ua )EO =
×
∞
X
(ub|ua )EO ,lO
(14.107)
lO =0
l /2
O
X
lO + 1
lO /2 ∗
D lO /2 (ϕn , θn , γn )Dm
(ϕn−1 , θn−1 , γn−1).
1 m2
2π 2 m1 ,m2 =−lO /2 m1 m2
Ahora, en la Ec. (13.127),
(xb |xa )EC =
Z
0
∞
dSeie
2 S/h̄
1
16
Z
0
4π
dγa(~ub S|~ua 0),
(14.108)
1044
14 Solución de Otras Integrales de Trayectoria por el Método de Duru-Kleinert
observemos que la integral
l /2
R 4π
0
dγa sobre la suma de las funciones de onda angulares
O
X
lO + 1
dlO /2 (θb )dlmO1/2m2 (θa )eim1 (ϕb −ϕa )+im2 (γb −γa )
2π 2 m1 ,m2 =−lO /2 m1 m2
(14.109)
da origen a la suma
lO /2
8
X
YlO /2,m,0 (θb , φb )Yl∗O /2,m,0 (θa , φa ),
(14.110)
m
donde hemos usado los armónicos esféricos
YlO /2,m (θ, φ) =
s
lO + 1 imφ lO /2
e dm,0 (θ).
4π
(14.111)
En la integración sólo los valores pares de lO son distintos de cero, por lo cual
identificamos lC = lO /2.
Recordando la expresión (9.32) para la amplitud radial del oscilador armónico,
de la Ec. (14.103) encontramos la amplitud radial del sistema de Coulomb para todo
valor de la dimensión DC , donde rb > ra :
(rb |ra )EC ,lC = −i
MC Γ(−ν + lC + (DC − 1)/2)
Wν,lC +DC /2−1 (2κrb )Mν,lC +DC /2−1 (2κra ),
h̄κ
(2lC + DC − 2)!
(14.112)
q
q
y donde κ = −2ME/h̄2 y ν = −e4 MC /2h̄2 EC , tal como en las Ecs. (13.39) y
(13.40). Para DC = 3 este resultado concuerda con el hallado en la Ec. (13.211).
La amplitud completa DC -dimensional está dada por la suma sobre las ondas
parciales
(xb |xa )EC ,lC =
1
(rb ra )
(DC −1)/2
∞
X
l=0
(rb |ra )EC ,lC
X
∗
Ylm (x̂b )Ylm
(x̂a ),
m
junto con la Ec. (8.126), este resultado se convierte en
(xb |xa )EC ,lC =
1
(rb ra )
(DC −1)/2
∞
X
lC =0
(rb |ra )EC ,lC
2lC + DC − 2 1 (DC /2−1)
C
(cos ∆ϑn ).
DC − 2 SDC lC
(14.113)
Es fácil hallar la suma si hacemos uso de una representación integral de la amplitud
radial obtenida por la transformación DK de la amplitud radial del oscilador, es
decir, usamos la representación integral (9.25). Reemplazando el tiempo imaginario
por la nueva variable de integración ̺ = e−2ω(τb −τa ) , la variable radial r por u y la
masa del oscilador M por MO , para obtener la notación del Capı́tulo 13, la amplitud
(9.25) se puede reescribir como
√ !
Z 1
1+̺
2 ̺
d̺ −ν −κ(u2b +u2a ) 1−̺
MO √
ub ua
IlO +DO /2−1 2κub ua
,(14.114)
(ub |ua )EO ,lO = −i
̺ e
h̄
1−̺
0 2̺
1045
14.4 Aplicaciones
donde
κ≡
MO ω
,
2h̄
ν ≡ EO /2h̄ω.
(14.115)
Recordando la expresión (9.35), sabemos que los polos de esta amplitud estarán en
ν = n/2 + DO /4 = nr + lO /2 + DO /4, donde n = 0, 1, 2, 3, . . . , de tal forma que los
valores propios de la energı́a serán
EO n = 2h̄ω
n DO
+
2
4
= h̄ω 2nr + l +
DO
.
2
(14.116)
De la relación DK (14.103), obtenemos (rb |ra )lC ,EC y la sustituimos en la
Ec. (14.113). Ahora, recordando la fórmula
1
kz
2
DC /2−1/2
IDC /2−3/2 (kz) = k
DC −2
∞
X
1 Γ(l + DC − 2)
(2l + DC − 2)
l! Γ(DC /2 − 1/2)
l=0
×F (−l, l + DC − 2; DC /2 − 1/2; (1 + k 2 )/2)(−)l I2l+DC −2 (z),
(14.117)
para ν = D/2 − 3/2 y µ = D − 2, la cual se obtiene de la Ec. (13.205). Después de
D/2−1
expresar el lado derecho en términos de los polinomios de Gegenbauer Cl
, con
ayuda de la Ec. (8.106), la fórmula para la suma será
1
1
2 (2π)DC /2−1/2
DC −2
z
IDC /2−3/2 (kz)/(kz)DC /2−3/2
2
∞
X
2lC + DC − 2 1 (DC /2−1)
ClC
((1 + k 2 )/2)I2lC +DC −2 (z).
=
DC − 2 S D C
lC =0
(14.118)
Utilizando
√
2 ̺
z ≡ 2κub ua
,
1−̺
k ≡ cos(ϑ/2),
(14.119)
es fácil hallar la suma sobre las ondas parciales expresada en la Ec. (14.113). Ahora,
de la amplitud de energı́a fija del sistema de Coulomb en DC dimensiones, obtenemos
la generalización de las integrales (13.43) y (13.133) en dos y tres dimensiones:
Z 1
d̺
M
κDC −2
̺−ν
h̄ (2π)(DC −1)/2 0 (1 − ̺)2
√ !(DC −3)/2
1+̺
2 ̺
e−κ 1−̺ (rb +ra ) IDC /2−3/2 (kz) /(kz)DC /2−3/2 , (14.120)
1−̺
(xb |xa )E = − i
×
donde
√
2 ̺q
kz = 2κ
(rb ra + xb xa )/2,
1−̺
κ y ν son los parámetros de Coulomb dados en las Ecs. (13.39) y (13.40).
(14.121)
1046
14 Solución de Otras Integrales de Trayectoria por el Método de Duru-Kleinert
Cambiando la variable de integración a ζ = (1+̺)/(1−ρ), como en la Ec. (13.49),
la integral en la Ec. (14.120) se transforma a una integral de contorno que circunda
la singularidad, desde ζ = 1 a ∞, en el sentido positivo de las manecillas del reloj.
Luego la amplitud será [3]
(xb |xa )E = −i
×
Z
C
κDC −2
πeiπ(ν−DC /2+3/2)
M
2h̄ (2π)(DC −1)/2 sin[π(ν − DC /2 + 3/2)]
(14.122)
dζ
(ζ − 1)−ν+DC /2−3/2 (ζ + 1)ν+DC /2−3/2 e−κζ(rb +ra ) IDC /2−3/2 (z) /z DC /2−3/2 .
2πi
Esta expresión generaliza las representaciones integrales (13.53) y (13.135) para
DC = 2 y DC = 3, respectivamente. Los polos de esta amplitud estarán en los
enteros ν = nr + lC + (DC − 1)/2, que corresponden a las energı́as
EC = −
Me4 1
,
h̄2 2n2
donde n = nr + lC + (DC − 1)/2, nr = 0, 1, 2, . . . ,(14.123)
en total acuerdo con la Ec. (14.98), mientras que para DC = 3 hallamos también el
acuerdo correspondiente con la Ec. (13.212).
Finalmente, notemos que utilizando una relación DK, al nivel de la partición temporal, no hay forma de hallar una trasformación directa para cambiar del problema
radial de Coulomb al problema radial del oscilador, esto debido a lo catastrófico de
la barrera centrı́fuga. Reportes anteriores, los cuales pueden hallarse en la literatura
[4], han intentado encontrar esta relación. Una forma de hacerlo es utilizando un
potencial intermedio de Morse, ver Apéndice 14A.
14.4.4
Barrera Angular cerca de una Esfera y Potencial de
Rosen-Morse
En otra aplicación del método, consideremos la integral de trayectoria de una masa
puntual cerca de la superficie de una esfera en tres dimensiones proyectada en un
estado de momentum angular azimutal fijo m = 0, ±1, ±2, . . . . La proyección
genera una barrera angular ∝ (m2 − 1/4)/ sin2 θ, la cual es un potencial del tipo
Pöschl-Teller. Con µ = Mr 2 , la acción para el tiempo real es
APT =
Z
µ 2 h̄2
h̄2 “ m2 − 1/4 ”
dt θ̇ +
−
+ EPT .
2
8µ 2µ
sin2 θ
"
#
(14.124)
Las comillas están definidas en analogı́a con la barrera centrı́fuga de la Ec. (8.140).
El significado concreto está dado por la expresión propia de la partición temporal
de la Ec. (8.175), cuyo lı́mite para pequeñas particiones temporales está dado por la
Ec. (8.177). Luego de una continuación análitica del parámetro m a números reales
arbitrarios µ, la amplitud resultante está dada por la Ec. (8.187). En lo que sigue, y
para evitar confusiones con el parámetro de masa µ, evitaremos el uso del sı́mbolo
µ para los valores no enteros de m.
1047
14.4 Aplicaciones
Es fácil hallar la representación espectral de la amplitud de energı́a fija asociada,
se obtiene integrando la Ec. (8.187) sobre −idτb y tiene la forma
(θb |θa )m,EPT =
q
∞
X
ih̄
(14.125)
2
n=0 EPT − h̄ L2 /2µ
2n + 2m + 1 (n + 2m)! −m
−m
×
Pn+m (cos θb )Pn+m
(cos θ a ),
2
n!
sin θb sin θa
donde L2 = l(l + 1) y l = n + m [recordemos la Ec. (8.225) para D = 3]. Podemos
hallar la suma sobre n usando la transformación de Sommerfeld-Watson [5]. La suma
se re-expresa como una integral de contorno en el plano complejo n, deformado la
trayectoria de tal manera que obtenemos la contribución sólo de los polos de Regge,
1
n + m = l = l(EPT ) ≡ − +
2
s
1 2µEPT
+
,
4
h̄2
(14.126)
para ambos signos de la raı́z cuadrada. El resultado para θb > θa es [6]
(θb |θa )m,EPT =
q
sin θb sin θa
−iµ
Γ(m − l(EPT ))Γ(l(EPT ) + m + 1)
h̄
−m
−m
× Pl(E
(−cos θb )Pl(E
(cos θa ).
PT )
PT )
(14.127)
Aquı́ consideraremos a m como un parámetro libre, el cual determina la magnitud
de la interacción del potencial de Pöschl-Teller [7]
VPT (θ) =
h̄2 m2
.
2µ sin2 θ
(14.128)
La función reguladora que elimina la barrera angular es
f (θ) = sin2 θ,
(14.129)
usando dt = ds sin2 θ(s), la transformación temporal de la acción tiene la forma
f =sin2 θ
APT
=
Z
0
S
µ
h̄2 2
h̄2 2
′2
ds
sin θ −
(m − 1/4) + EPT sin2 θ . (14.130)
θ +
8µ
2µ
2 sin2 θ
"
#
Ahora escribimos el término cinético en la forma convencional por medio del cambio
de variable
sin θ =
1
,
cosh x
cos θ = − tanh x,
(14.131)
el cual transforma el intervalo θ ∈ (0, π) en el intervalo x ∈ (−∞, ∞). Luego,
tenemos
h′ (x) = sin θ =
1
.
cosh x
(14.132)
1048
14 Solución de Otras Integrales de Trayectoria por el Método de Duru-Kleinert
Hallando las derivadas de orden superior
h′′ (x) = −
tanh x
,
cosh x
h′′′ (x) = −
1 1 − 2 tanh2 x ,
cosh x
(14.133)
encontramos que el potencial efectivo es
Veff
1
h̄2
.
1+
=
8µ
cosh2 x
(14.134)
Por lo tanto, la acción transformada DK es
ADK
PT =
Z
S
0
µ ′2 h̄2 m2
1
ds x −
.
+ EPT
2
2µ
cosh2 x
"
#
(14.135)
Esta acción describe el movimiento de una masa puntual en un pozo de potencial
suave conocido como potencial de Rosen-Morse (también llamado potencial modificado de Pöschl-Teller ) [8]. La parametrización estándar es1
h̄2 s(s + 1)
VRM (x) = −
.
2µ cosh2 x
(14.136)
Este resultado corresponde al parámetro l(EPT ) de la Ec. (14.126), usando el valor
s. Para la acción (14.135), la energı́a del potencial de Rosen-Morse determina el
parámetro m, de donde tenemos
m = m(ERM ) =
q
−2µERM /h̄2 .
(14.137)
Es obvio que la partición temporal de la amplitud del potencial de Rosen-Morse
no tiene problemas asociados con el colapso de la trayectoria. Ası́, su amplitud
de energı́a fija es un equivalente DK a la amplitud del potencial de Pöschl-Teller
(14.127), donde la relación completa será
(θb |θa )m,EPT =
q
sin θb sin θa (xb |xa )m,ERM ,
(14.138)
y donde tanh x = − cos θ, θ ∈ (0, π), x ∈ (−∞, ∞). Sustituyendo en este resultado
la Ec. (14.127), la amplitud del sistema de Rosen-Morse será explı́citamente
−iµ
Γ(m(ERM ) − s)Γ(s + m(ERM ) + 1)
h̄
× Ps−m(ERM ) (tanh xb )Ps−m(ERM ) (− tanh xa ).
(xb |xa )m(ERM ) =
(14.139)
Los estados ligados se encuentran de los polos de la primera de las funciones Gama,
donde
m(ERM ) = s − n,
1
n = 0, 1, 2, . . . , [s],
No hay riesgo de confundir este parámetro con el pseudotiempo s.
(14.140)
1049
14.4 Aplicaciones
y donde [s] denota el mayor de los números enteros ≤ s. De los residuos obtenemos
las funciones de onda normalizadas [6]
ψn (x) =
q
Γ(2s − n + 1)(s − n)/nPsn−s(tanh x).
(14.141)
Para valores no enteros de s, las funciones de onda no están dadas en términos de
polinomios. Sin embargo, la siguiente identidad entre las funciones hipergeométricas
(1.453)
F (a, b; c; z) = (1 − z)c−a−b F (c − a, c − b; c; z)
(14.142)
nos permite usar la relación:
Psn−s (tanh x) =
2n−s
1
F (−n,1 + 2s − n;s − n + 1;(1−tanh x)/2) .
Γ(s − n + 1) coshs−n x
(14.143)
Las funciones de onda continuas se obtienen de la Ec. (14.141), por medio de una
contiuación análitica apropiada de m a −ik. Esto equivale a reemplazar n por s+ik.
14.4.5
Barrera Angular cerca de una Esfera CuatroDimensional y Potencial General de Rosen-Morse
Extendamos la integral de trayectoria de un masa puntual moviendose cerca de la
superficie de una esfera de D = 3 a D = 4 dimensiones. Proyectando la amplitud en
un estado de momentum angular azimutal fijo m1 y m2 , se genera una barrera angular para el ángulo de Euler θ proporcional a (m21 + m22 − 1/4 − 2m1 m2 cos θ)/ sin2 θ.
Nuevamente, este es un potencial del tipo Pöschl-Teller, aunque de una forma más
general, el cual será denotado por PT ′ . Usando µ = Mr 2 /4, la acción (8.212) es
APT ′ =
Z
µ 2
h̄2
h̄2 “ m21 + m22 − 2m1 m2 cos θ − 1/4 ”
dt θ̇ +
−
+ EPT ′ , (14.144)
2
32µ 2µ
sin2 θ
"
#
donde las comillas indican la necesidad de regularizar la barrera angular mediante
las funciones de Bessel, como se comentó en la Ec. (8.208). La amplitud proyectada
se obtuvo en la Ec. (8.203), y se continuó analı́ticamente para valores arbitrarios
reales de m1 = µ1 , m2 = µ2 , donde µ1 ≥ µ2 ≥ 0, en la Ec. (8.213). Como en la
subsección 14.4.4, usaremos también los parámetros m1 , m2 aún cuando no tengan
valores enteros.
El potencial más general de Pöschl-Teller
h̄2 s1 (s1 + 1) s2 (s2 + 1)
,
VPT ′ (θ) =
+
2µ sin2 (θ/2)
cos2 (θ/2)
"
#
(14.145)
puede transformarse fácilmente en la barrera angularanterior,
donde s1 (s1 + 1) =
q
(m1 +m2 )2
(m1 −m2 )2
1
1
1
3
− 16 , s2 (s2 + 1) =
− 16 o s1 = − 2 1 − 4 + (m1 + m2 )2 , s2 =
4
4
− 12 1 −
q
3
4
+ (m1 − m2 )2 .
1050
14 Solución de Otras Integrales de Trayectoria por el Método de Duru-Kleinert
La amplitud de energı́a fija se obtiene directamente de la Ec. (8.213) por medio
una integración sobre −idτb . Para m1 ≥ m2 , la expresión será
(θb |θa )m1 ,m2 ,EPT ′ =
×
q
sin θb sin θa
∞
X
n=0
EPT ′
ih̄
2n + 2m1 + 1 n+m1
1
dm1 ,m2 (θb )dn+m
m1 ,m2 (θa ), (14.146)
2
2
− h̄ L2 /8µ
donde L2 está dado por L2 = (l + 1)2 −1/4 y l = 2n+ 2m1 [recordemos la Ec. (8.220)
y la Ec. (8.225)].
Como en la Ec. (14.125), se puede hallar la suma sobre n con ayuda de una
transformación de Sommerfeld-Watson, reescribiendo la suma como una integral de
contorno en el plano complejo n. Luego de deformar el contorno de manera tal que
sólo los polos de Regge contribuyan, tendremos que
2n + 2m1 = l = l(EPT ′ ) ≡ −1 + 2
s
2µEPT ′
1
+
,
16
h̄2
(14.147)
con ambos signos de la raı́z cuadrada, y encontramos la siguiente relación para
θb > θa :
(θb |θa )m1 ,m2 ,EPT ′ =
q
sin θb sin θa
−2iµ
h̄
(14.148)
1 l(EPT ′ )/2
l(EPT ′ )/2
(θb − π)dm
(θa ),
× Γ(m1 −l(EPT ′ )/2)Γ(l(EPT ′ )/2−m1 +1) dm1 ,−m
2
1 ,m2
2
donde m1 , m2 son parámetros reales arbitrarios que caracterizan la intensidad de la
interacción. Los valores propios de las energı́as discretas están dados por los polos
de la primera función Gama:
EPT ′ =
h̄2 h
(m1 + n + 21 )2 −
2µ
1
16
i
,
n = 0, 1, 2, . . . .
(14.149)
La función reguladora que elimina la barrera angular es
f (θ) = sin2 θ,
(14.150)
y la transformación temporal de la acción será, donde dt = ds sin2 θ(s),
f =sin2 θ
APT
′
=
Z
0
S
µ
h̄2
′2
ds
sin2 θ
2 θ +
32µ
2 sin θ
#
2
h̄
2
2
2
−
(m + m2 − 1/4 − 2m1 m2 cos θ) + EPT ′ sin θ . (14.151)
2µ 1
"
Ahora escribimos el término cinético en la forma convencional por medio del cambio
de varible
sin θ = ±
1
, cos θ = − tanh x.
cosh x
(14.152)
1051
14.4 Aplicaciones
Como en el caso previo, esto conduce al potencial efectivo
Veff
h̄2
1
.
=
1+
8µ
cosh2 x
(14.153)
Entonces, la acción trasformada DK es
µ
3h̄2
h̄2 2
ds x′2 −
(m1 + m22 + 2m1 m2 tanh x) + EPT ′ −
2
2µ
32µ
"
!
#
1
=
.
0
cosh2 x
(14.154)
Esta acción contiene un pozo de potencial suave cerca del origen conocido como el
de potencial general de Rosen-Morse [8].
ADK
PT ′
Z
S
VRM′ (x) = − EPT ′
3h̄2
−
32µ
!
h̄2
1
+
2m1 m2 tanh x.
cosh2 x 2µ
(14.155)
Una parametrización estándar para este potencial es2
s(s + 1)
h̄2
−
VRM′ (x) =
+ 2c tanh x ,
2µ
cosh2 x
"
#
(14.156)
la cual equivale a utilizar la relación
EPT ′ =
h̄2
[s(s + 1) + 3/32],
2µ
m1 m2 = c,
(14.157)
en la Ec. (14.154). Sustituyendo este resultado en la Ec. (14.147) obtenemos que
l(EPT ′ )/2 debe ser igual a s.
La energı́a del potencial general de Rosen-Morse estará definida por la acción
hallada en la integral de trayectoria de energı́a fija [comparemos con la Ec. (14.77)]
ARM′ =
Z
S
0
ds
µ ′2
x − (VRM′ − ERM′ ) .
2
(14.158)
Una comparación con la Ec. (14.154), muestra que las energı́as del estado fundamental tienen los siguientes valores propios
ERM′ = −
h̄2 2
h̄2
(m1 + m22 ) = − (m21 + c2 /m21 ).
2µ
2µ
(14.159)
La solución a esta ecuación será una función de la forma m1 (ERM′ ). De manera
correspondiente, definimos m2 (ERM′ ) ≡ c/m1 (ERM′ ).
Para este potencial es posible hallar una partición temporal de Feynman de la
amplitud y además encontramos que la amplitud de energı́a fija estará dada en
términos de la amplitud de la proyección angular (14.148), i.e. la amplitud de una
2
Sobre las caracterı́sticas del parámetro s, ver la Nota 1.
1052
14 Solución de Otras Integrales de Trayectoria por el Método de Duru-Kleinert
masa puntual cerca de la superficie de una esfera, misma que describe el movimiento
en un potencial general de Pöschl-Teller. La relación es [9]
(θb |θa )m1 ,m2 ,EPT ′ =
q
sin θb sin θa (xb |xa )m1 ,m2 ,ERM′ ,
(14.160)
donde tanh x = − cos θ, θ ∈ (0, π), x ∈ (−∞, ∞). En forma explı́cita tendremos
−2iµ
(14.161)
Γ(m1 (ERM′ ) − s)Γ(s − m1 (ERM′ ) + 1)
h̄
1
× dsm1 (ERM′ ),−m2 (ERM′ ) (θb (xb ) − π)dsm1 (ERM′ ),m2 (ERM′ ) (θa (xa )).
2
(xb |xa )m1 ,m2 ,ERM ′ =
Dado que s − m1 ≥ 0, los estados ligados se encuentran de los polos de la primera
función Gama. Definiendo la función dependiente de la energı́a m1 (ERM′ ) por medio
de la Ec. (14.159), los estados ligados están dados por las soluciones de la ecuación
m1 (ERM′ ) = s − n,
n = 0, 1, . . . , [s] .
(14.162)
Los residuos de la Ec. (14.161) darán las funciones de onda normalizadas
Ψn
v
u 2
um
(x) = t 1
− m22
Γ(s + 1 − m1 )n!
m1 Γ(s + 1 − m2 )Γ(s + 1 + m2 )
(14.163)
× [ 21 (1 + tanh x)](m1 −m2 )/2 [ 12 (1 − tanh x)](m1 +m2 )/2 Pn(m1 −m2 ,m1 +m2 ) (− tanh x),
expresadas en términos de las funciones hipergeométricas serán
Ψn (x) =
v
u 2
u m1
t
− m22 Γ(s + 1 + m1 )Γ(s + 1 − m2 )
m1 n!Γ(1 + m1 − m2 )2 Γ(s + 1 + m2 )
× [ 12 (1 + tanh x)](m1 −m2 )/2 [ 21 (1 − tanh x)](m1 +m2 )/2
× F (2s − n + 1, −n; 1 + m1 − m2 ; 12 (1 + tanh x)) ,
(14.164)
donde m1 = s − n y m2 = c/m1 [10]. Las funciones de onda continuas se obtienen de
estas funciones hipergeométricas por medio de una apropiada continuación análitica
de m1 a los valores complejos −ik, los cuales satisfacen la relación k 2 = (m21 +c2 /m21 )
[comparemos con la Ec. (14.159)].
Al sustituir la expresión (14.161) en la Ec. (14.160), debemos asegurarnos de
utilizar la correcta expresión s(EPT ′ ), obtenida de la solución de la Ec. (14.157).
14.4.6
Potencial de Hulthén y Potencial General
de Rosen-Morse
Para una posterior aplicación del método, consideremos la integral de trayectoria
de una partı́cula moviendose a lo largo del eje r positivo en el potencial singular de
Hulthén
VH (r) = g
1
,
−1
er/a
(14.165)
1053
14.4 Aplicaciones
donde g y a son los parámetros de energı́a y longitud. Note que en el lı́mite a → ∞,
y para ag = e2 = constante, este potencial contiene al sistema de Coulomb.
La amplitud de energı́a fija es regulada por la acción
AH =
Z
M 2
ṙ − VH (r) + EH .
dt
2
(14.166)
El potencial es singular en r = 0, y para g < 0 la partición temporal de la amplitud
Euclideana no existe debido al colapso de la trayectoria. La función reguladora que
estabiliza las fluctuaciones es
f (r) = 4(1 − e−r/a )2 .
(14.167)
Por lo tanto, la transformación temporal de la acción es
AfH
=
Z
0
M
r ′2
ds
− g 4e−r/a (1 − e−r/a )+ EH 4(1 − e−r/a )2 . (14.168)
−r/a
2
2 4(1−e
)
∞
"
#
La transformación de coordenadas que conduce a la energı́a cinética convencional,
en términos de la nueva varible x, se encuentra resolviendo la ecuación diferencial
dr
= h′ (x),
dx
(14.169)
donde
h′ =
La solución es
q
f = 2(1 − e−r/a ).
r
= x + a log[2 cosh(x/a)] = log(e2x/a + 1),
a
de tal manera que tendremos
h′ (x) = 2
ex/a
e2x/a
=
.
e2x/a + 1
cosh(x/a)
(14.170)
(14.171)
(14.172)
El semi-eje r ∈ (0, ∞) se proyecta a todo el eje x.
Para encontrar el potencial efectivo calculamos las derivadas
1 ex/a
1
1
=
[1 − tanh(x/a)],
a cosh2 (x/a)
a cosh(x/a)
2
ex/a
2 sinh x
=
−
[tanh(x/a) − tan2 (x/a)], (14.173)
h′′′ (x) = − 2
a cosh3 x
a2 cosh(x/a)
h′′ (x) =
y obtenemos
h′′
1 e−x/a
1
=
= [1 − tanh(x/a)],
(14.174)
′
h
a cosh(x/a)
a
2
h′′′
2 e−x/a sinh(x/a)
= − 2 tanh(x/a)[1 − tanh(x/a)],
=
−
2
′
2
h
a
a
cosh (x/a)
1054
14 Solución de Otras Integrales de Trayectoria por el Método de Duru-Kleinert
de tal forma que el potencial efectivo será
Veff
h̄2
4
.
=
2 − 2 tanh(x/a) −
2
2
8Ma
cosh (x/a)
#
"
(14.175)
Luego de sumar este resultado a la transformación temporal del potencial, se encuentra que la acción transformada DK es
ADK
H
=
Z
0
S
h̄2
M ′2
ds
x − g + EH −
2
2Ma2
(
!
1
cosh (x/a)
h̄2
+ 2EH +
tanh(x/a) +
4Ma2
!
2
h̄2
2EH −
4Ma2
!)
.
(14.176)
Esta es la acción que regula a la amplitud de energı́a fija del potencial general de
Rosen-Morse (14.156)
s(s + 1)
h̄2
−
VRM′ (x/a) =
+ c tanh(x/a) .
2
2Ma
cosh2 (x/a)
"
#
(14.177)
Puesto que este potencial es suave, existe una partición temporal de la integral de
trayectoria de Feynman. La relación entre las amplitudes de energı́a fija es
(rb |ra )EH = e(xb +xa )/2a [cosh(xb /a) cosh(xa /a)]−1/2 (xb |xa )ERM′ ,
(14.178)
donde r/a = log(e2x/a + 1) ∈ (0, ∞), x ∈ (−∞, ∞). La amplitud en el lado derecho
se conoce de la sección anterior y está asociada con la amplitud de una masa puntual
moviendose sobre la superficie de una esfera en cuatro dimensiones, proyectada en un
estado de momentum angular azimutal fijo m1 y m2 . Para mostrar explı́citamente
la relación sólo se necesita de un simple reescalamiento de x/a a x.
Del espectro de energı́as dado en la Ec. (14.159), donde utilizamos la expresión
(14.162), del potencial generalizado de Rosen-Morse y la anterior transformación
DK, para el caso g, 0, obtenemos el espectro discreto del potencial de Hulthén [7]:
EH n
n2g − n2
=g
2ng n
!2
=−
h̄2 1 2
2 2
n
−
n
,
g
2Ma2 4n2
1 ≤ n < ng ,
(14.179)
donde n2g = −2Mga2 /h̄2 .
En la literatura se ha intentado una solución a la integral de trayectoria usando
la acción (14.166) y la función reguladora [11]
f = a2 (er/a − 1).
(14.180)
Esto implica utilizar las nuevas variables
r
= −2 log cos(θ/2),
a
(14.181)
1055
14.4 Aplicaciones
de tal manera que
2
2
2
f = a tan (θ/2) = a
"
#
1
−1 .
2
cos (θ/2)
(14.182)
Nótese que esto no conduce a la solución de la partición temporal de la integral
de trayectoria, ya que el potencial trasformado aún es singular. De hecho, con
h′ = a tan(θ/2), h′′ = a/2 cos2 (θ/2), h′′′ = a sin(θ/2)/2 cos3 (θ/2), encontrarı́amos
el potencial efectivo
h̄2
1
h̄2
3
1
(1
+
2
cos
θ)
=
−
Veff (θ) =
,
2
2
2
2
2
8Ma sin θ
32Ma sin (θ/2) cos (θ/2)
#
"
(14.183)
y una acción transformada
ÃDK
H
=
Z
0
S
1
Ma4 ′ 2
θ − g + EH
− 1 + Veff (θ) ,
(ds/a )
2
2
cos (θ/2)
2
"
(
#
)
(14.184)
la cual es del tipo general de Pöschl-Teller (14.145). Debido a la presencia del
término 1/ cos2 (θ/2), no podemos hallar la partición temporal de la amplitud de
evolución temporal Euclidiana. Sólo partiendo del caso de la partı́cula cerca de
la superficie de una esfera y utilizando la función reguladora particular de Bessel
dada en la Ec. (8.208), podemos hallar una partición temporal bien definida de la
amplitud cuya acción, en el lı́mite continuo, se parezca a la expresión (14.184). Sin
embargo, serı́a imposible construir esta función reguladora partiendo de la acción
continua (14.184).
14.4.7
Potencial Extendido de Hulthén
y Potential General de Rosen-Morse
El lector alerta habrá notado que la función reguladora (14.167) elimina en exceso
la singularidad ga/r del potencial de Hulthén (14.165). De hecho, podemos sumar
al potencial el término
g′
(er/a − 1)2
∆VH =
(14.185)
sin perder la estabilidad de la integral de trayectoria. En el lı́mite a → ∞ y haciendo
ga = −e2 = const y g ′ a2 = h̄2 l(l + 1)/2M, el potencial extendido describe al sistema
radial de Coulomb más una barrera centrı́fuga. El potencial (14.185) agrega a la
transformación temporal de la acción (14.168) el término
∆AfH
=−
Z
0
S
ds g ′4e−2r/a ,
(14.186)
con el cual, la acción trasformada DK final será
∆ADK
H
=−
Z
0
S
"
#
1
ds g 2 − 2 tanh(x/a) −
.
2
cosh (x/a)
′
(14.187)
1056
14 Solución de Otras Integrales de Trayectoria por el Método de Duru-Kleinert
Por lo tanto, el potencial extendido de Hulthén es de nuevo un equivalente DK al potencial general de Rosen-Morse, con la misma relación (14.178) entre las amplitudes,
pero con relaciones diferentes para las constantes.
El espectro discreto de energı́as del potencial extendido de Hulthén será
EH′ n
n(n − 1) + n2g
1
h̄2
−n+
=−
2
2Ma
2(n − s2 )
2
"
#2
,
1 ≤ n < n̄,
(14.188)
q
donde n2g′ ≡ 2Mg ′ a2 /h̄2 , y s2 ≡ − 21 1 − 1 + 4n2g′ es solución de s2 (s2 + 1) = n2g′ .
Para el caso g ′ = 0, obtenemos la expresión (14.179).
14.5
Sistemas D-Dimensionales
Hallemos ahora la transformación dependiente del tiempo de la trayectoria en D
dimensiones. La amplitud de energı́a fija está dada por la integral
(xb |xa )E =
∞
Z
0
dShxb |ÛE (S)|xa i,
(14.189)
donde la amplitud de evolución pseudo-temporal es
i
hxb |ÛE (S)|xa i = fr (xb )fl (xa )hxb | exp − Sfl (x)(Ĥ − E)fr (x) |xa i. (14.190)
h̄
La partición temporal de la integral de trayectoria será
hxb |ÛE (S)|xa i ≈
(14.191)
fr (xb )fl (xa )
q
2πiǫs h̄fl (xb )fr (xa )/M
D
N
Y
n=1


Z
donde la acción será
N
A =
N
+1
X
n=1
(
dxn
q
2πiǫs h̄fn /M

 exp
i N
A ,
h̄
(∆xn )2
M
+ ǫs [E − V (xn )]fl (xn )fr (xn−1 ) ,
2ǫs fl (xn )fr (xn−1 )
)
(14.192)
y donde la norma de la integración contiene la abreviatura fn ≡ f (rn ) =
fl (xn )fr (xn ). La transformación temporal de la norma de la integral de trayectoria
será
fr (xb )fl (xa )
q
2πiǫs h̄fl (xb )fr (xa )/M
D
N Z
Y
n=1
dD xn
q
2πiǫs h̄fn /M
D.
(14.193)
Cambiando el ı́ndice del producto y los subı́ndices de fn en una unidad, y compensando esto con un prefactor, la norma de la integración en la Ec. (14.27) adquire la
forma de postpunto
fr (xb )fl (xa )
q
2πiǫs h̄fl (xb )fr (xa )/M
D
v
D
u
+1 Z
u f (xb ) NY
t
f (xa )
n=2
dD ∆xn
q
2πiǫs h̄fn /M
D.
(14.194)
14.5 Sistemas D -Dimensionales
1057
Las integrales sobre cada diferencia de las coordenadas, ∆xn = xn − xn−1 , se hallan
en las posiciones fijas de los postpuntos xn .
Para simplificar la discusión subsecuente es preferible trabajar solamente con la
regularización de postpunto, en la cual fl (x) = f (x) y fr (x) ≡ 1. Entonces la norma
será simplemente
f (xa )
q
2πiǫs f (xa )h̄/M
D
NY
+1 Z
n=2
dD ∆xn
q
2πiǫs h̄fn /M
D.
(14.195)
Ahora introducimos la siguiente transformación de coordenadas en D dimensiones
xi = hi (q).
(14.196)
Como en el Capı́tulo 10, la transformación diferencial se puede escribir en la forma
dxi = ∂µ hi (q) = ei µ (q)dq µ .
(14.197)
La transformación de un sólo sector temporal en la integral de trayectoria se puede
hacer siguiendo la discusión de las Secciones 10.3 y 10.4. De esto encontramos la
siguiente integral de trayectoria
(xb |xa )E ≈ q
f (qa )
2πiǫs f (qa )h̄/M
D
Z
∞
0
dS


Z
D
1/2
 d ∆qn g (qn )  iAtot /h̄
,
 q
D e
NY
+1
n=2
(14.198)
2πiǫs h̄fn /M
donde la partición temporal de la acción total será
Atot =
N
+1
X
n=1
Aǫtot .
(14.199)
Cada segmento contiene tres términos
Aǫtot = Aǫ + AǫJ + Aǫpot .
(14.200)
En la forma postpunto, los primeros dos términos están dados en las Ecs. (13.163)
y (13.164). Estos términos son iguales a
Aǫ + AǫJ =
M
h̄
h̄2
gµν (q)∆q µ ∆q ν − i Γµ µ ν ∆q ν − ǫs f
(Γµ µ ν )2 .
2ǫf
2
8M
(14.201)
El tercer término contiene el efecto de un potencial escalar y de un potencial vectorial
como se derivó en la Ec. (10.183). Después de la transformación DK, obtenemos
Aǫpot = Aµ ∆q µ − iǫs f
h̄
(Aν Γµ µν + Dµ Aµ ) − ǫs f V (q).
2M
(14.202)
1058
14.6
14 Solución de Otras Integrales de Trayectoria por el Método de Duru-Kleinert
Integral de Trayectoria del Átomo de Dionio
Ahora aplicamos la transformación generalizada de Duru-Klinert, en D dimensiones,
a la integral de trayectoria del átomo de dionio en tres dimensiones. Este es un
sistema de dos partı́culas, ambas con carga eléctrica y magnética (e1 , g1 ) y (e2 , g2)
[12]. El Lagrangiano para el movimiento relativo será
L=
M 2
ẋ + A(x)ẋ − V (x),
2
(14.203)
donde x es el vector dirigido de la primera a la segunda partı́cula, M es la masa
reducida, V (x) el potencial de Coulomb
V (x) = −
e2
,
r
(14.204)
y A(x) el potencial vectorial
A(x) = h̄q
ẑ × x
1
1
−
r
r−z r+z
= h̄q
(xŷ − yx̂)z
.
r(x2 + y 2)
(14.205)
Las constantes de acoplamiento son q ≡ −(e1 g2 − e2 g1 )/h̄c y e2 ≡ −(e1 e2 + g1 g2 ).
El potencial vectorial (14.205) es una generalización de la interacción del monopolo
magnético (8.300) para una carga eléctrica. Si en la Ec. (14.205) escribimos las constantes de acoplamiento como e2 ≡ −e1 e2 − g1 g2 permitimos que las dos partı́culas
tengan una mezcla de carga eléctrica y magnética de ambas partı́culas, escribimos
entonces el potencial V (x) como
V (x) = −
e2
.
r
(14.206)
El átomo de hidrógeno es un caso especial del átomo de dionio, donde e1 = −e2 = e,
q = 0 y l0 = 0. Un electrón alrededor de un monopolo magnético puro tendrá e1 = e,
g2 = g, e2 = g1 = 0.
En el potencial vectorial (14.205), hemos usado la libertad de norma A → A(x)+
∇Λ(x), para forzar la norma transversal ∇A(x) = 0. Además, hemos hecho uso
de la invariancia de norma monopolar extra, la cual nos permite escoger la forma
de la cuerda de Dirac que importa al flujo magnético hacia los monopolos. En la
Ec. (14.205), el campo A(x) tendrá dos cuerdas de igual magnitud, las cuales son las
responsables de importar el campo magnético, una a lo largo de la parte positiva del
eje x3 , desde menos infinito hasta el origen, y la otra a lo largo de la parte negativa
del eje x3 , desde más infinito al origen. Lo cual representa el promedio del potencial
vectorial de las Ecs. (10A.59) y (10A.60).
Por generalidad, supondremos que el potencial V (x) contiene un término potencial 1/r 2 extra:
V (x) = −
h̄2 l02
e2
+
.
r
2Mr 2
(14.207)
1059
14.6 Integral de Trayectoria del Átomo de Dionio
El potencial extra está parametrizado como una barrera centrı́fuga con momentum
angular efectivo h̄l0 .
A un nivel formal, i.e., sin preocuparse respecto al colapso de la trayectoria y de
las correcciones de la partición temporal, la amplitud se dedujó en la Ref. [13]. A
continuación reproducimos la deducción y demostramos, además, que la partición
temporal no contiene correcciones.
14.6.1
Solución Formal
Extendemos la acción dada en la Ec. (14.11) mediante una cuarta coordenada muda,
como en el sistema de Coulomb, y la expresamos en
√ términos de las coordenadas ~u,
las cuales dependen de la coordenada radial u = r y los ángulos de Euler θ, ϕ, γ,
tal como en la Ec. (13.102). Entonces la acción será
h̄q
e2
h̄2 l02
M 2 2 M 4 2
4u u̇ + u θ̇ + ϕ̇2 + γ̇ 2 +2 γ̇ +
ϕ̇
cos
θ
−
−
+E .
A = dt
2
2
Mu4
u2 2Mu4
(14.208)
"
(
Z
!
#
)
Haciendo uso de la reparametrización temporal de Duru-Kleinert dt = ds r(s) y
cambiando la masa a µ = 4M, la acción toma la forma
A
DK
=
Z
S
0
µ ′2 u2 ′2
4h̄q
4h̄2 l02
ds
u +
θ + ϕ′2 + γ ′2 +2 γ ′ + 2 ϕ′ cos θ −
+ Eu2 .
2
4
µu
2µu2
(14.209)
(
"
!
)
#
La cual se puede escribir en la forma canónica
A=
Z
S
0
ds(pu u′ + pθ θ + pϕ ϕ′ + pγ γ ′ − H),
(14.210)
donde el Hamiltoniano es
H =
+
4
1 2
1
2
p2u + 2 p2θ +
p
+
(p
+
h̄q)
−
2(p
+
h̄q)p
cos
θ
γ
γ
ϕ
2µ
u
sin2 θ ϕ
i
4 h
2 2
2
−2h̄qp
+
h̄
(l
−
q
)
.
γ
0
2µu2
(14.211)
En la integral de trayectoria canónica los momenta son variables mudas de integración, de tal manera que podemos reemplazar pγ + h̄q por pγ . Entonces la acción
se convierte en
A=
Z
S
0
y el Hamiltoniano será
ds[pu u′ + pθ θ + pϕ ϕ′ + (pγ − h̄q)γ ′ − H̄],
(14.212)
1060
14 Solución de Otras Integrales de Trayectoria por el Método de Duru-Kleinert
1
4
1 2
2
H̄ =
p2u + 2 p2θ +
p
+
p
−
2p
p
cos
θ
γ ϕ
γ
2µ
u
sin2 θ ϕ
+
i
4 h
2 2
2
−2h̄q(p
−
h̄q)
+
h̄
(l
−
q
)
.
γ
0
2µu2
(14.213)
Con respecto al caso de Coulomb, este resultado difiere en los tres puntos siguientes:
Primero, el Hamiltoniano tiene una barrera centrı́fuga extra, proporcional al
parámetro de carga 4q:
V (r) =
−8h̄q(pγ − h̄q)
.
2µu2
(14.214)
Segundo, hay otra barrera centrı́fuga extra
V (r) =
2
h̄2 lextra
,
2µu2
(14.215)
cuyo número cuántico efectivo para el momentum angular está dado por
2
lextra
≡ 4(l02 − q 2 ).
(14.216)
Tercero, la acción (14.212) contiene el término adicional
∆A = −h̄q
Z
0
S
dsγ ′ .
(14.217)
Afortunadamente, este es un término puro de superficie
∆A = −h̄q(γb − γa ).
(14.218)
En el caso q 2 = l02 , la barrera centrı́fuga angular extra se anula, con lo cual
obtenemos directamente la amplitud de energı́a fija (xb |xa )E del sistema. Esta amplitud se obtiene mediante una simple modificación de la relación (13.127), la cual
expresa la amplitud de energı́a fija del sistema de Coulomb (xb |xa )E en términos de
la amplitud del oscilador armómico cuatro-dimendional (~ub S|~ua0). De la relación
(14.217) encontramos que la modificación consiste en agregar un factor de fase extra
e−iq(γb −γa ) en la integral sobre γa , de tal forma que
(xb |xa )E =
Z
0
∞
dSeie
2 S/h̄
1 Z 4π
dγa e−iq(γa −γb ) (~ub S|~ua 0).
16 0
(14.219)
La integral sobre γa forza al momentum pγ , en la acción canónica (14.212), a aceptar
sólo el valor h̄q. Esto elimina el término proporcional a pγ − h̄ en la Ec. (14.213).
En el caso general donde l0 6= q, la amplitud será
(xb |xa )E =
Z
0
∞
dSeie
2 S/h̄
1
16
Z
0
4π
dγa e−iq(γa −γb ) (~ub S|~ua0)lextra ,
(14.220)
1061
14.6 Integral de Trayectoria del Átomo de Dionio
donde el subı́ndice lextra indica la presencia de una barrera de potencial centrı́fugo
extra en la amplitud del oscilador armónico. Para cualquier dimensión D, esta
amplitud está dada por las Ecs. (8.133) y (8.144). En el caso actual donde D = 4,
tenemos el siguiente desarrollo en términos de ondas parciales [comparar con la
Ec. (8.162)]
(~ub S|~ua 0)lextra =
∞
X
lO + 1
1
(ub S|ua0)l̃O
3/2
(ub ua ) lO =0
2π 2
(14.221)
lO /2
×
dlmO1/2m2 (θb )dlmO1/2m2 (θa )eim1 (ϕb −ϕa )+im2 (γb −γa ) ,
X
m1 ,m2 =−lO /2
donde la amplitud radial es
√
MO ωubua
MO ω ub ua i(MO ω/2h̄)(u2 +u2a ) cot ωS
b
.
(14.222)
e
Il̃O +1
(ub S|ua0)l̃O =
ih̄ sin ωS
ih̄ sin ωS
La diferencia entre este resultado y el hallado para la amplitud del oscilador armónico
[ver la Ec. (8.142) para D = 4], está en el hecho de que, en las funciones de Bessel,
hemos reemplazado el ı́ndice de la raı́z cuadrada del “cambio cuadrático”, dado en
la Ec. (8.146), por el ı́ndice lO + 1:
˜lO + 1 ≡
q
2
(lO + 1)2 + lextra
=
q
q
(lO + 1)2 + 4(l02 − q 2 ) = 2 (jD + 1/2)2 + l02 − q 2 .
(14.223)
Ahora, sustituimos el desarrollo (14.221) en la Ec. (14.220), donde reemplazamos
√ √
las variables ub , ua por rb , ra . Tal como el caso de Coulomb en las Ecs. (14.110)
R
y (14.111), hallamos que la integral 04π dγa e−iq(γb −γa ) sobre la suma de las funciones
de onda angulares
l /2
O
X
lO + 1
dlmO1/2m2 (θb )dlmO1/2m2 (θa )eim1 (ϕb −ϕa )+im2 (γb −γa )
2
2π m1 ,m2 =−l/2
(14.224)
se puede obtener de inmediato, y encontramos
lO /2
X
8
m
lO /2
lO /2 ∗
Ym,q
(θb , ϕb )Ym,q
(θa , ϕa ),
(14.225)
lO /2
donde Ym,q
(θ, ϕ) son los armónicos esféricos monopolares (8.278). Estos armónicos
coinciden con las funciones de onda del trompo simétrico rotatorio que posee un espı́n
q a lo largo del eje del cuerpo. Fı́sicamente, este espı́n se obtiene de la densidad
de momentum del campo = (E × B)/4πc, el cual circunda al vector radial x. El
espı́n es proporcional al vector de Poynting, el cual nos dará la densidad de energı́a,
S = E×B/4π. Si una partı́cula cargada magnéticamente se ubica en el origen y otra
partı́cula cargada eléctricamente orbita alrededor de la primera en x, el momentum
angular total del campo es [14]
J=
Z
1
d x x × (x ) =
4πc
3 ′
′
′
Z
g x′
e(x′ − x)
eg
dxx ×
×
= x̂.
′
3
′
3
|x |
|x − x|
c
3 ′
′
"
#
(14.226)
1062
14 Solución de Otras Integrales de Trayectoria por el Método de Duru-Kleinert
La cuantización del momentum angular
h̄
eg
=n ,
c
2
n = entero
(14.227)
es la famosa condición de cuantización de Dirac [16] [ver también la Ec. (8.304)].
Tenemos ahora la amplitud de energı́a fija del átomo de dionio, etiquetada por
el subı́ndice D,
(xb |xa )ED =
jD
X
1 X
jD
jD ∗
Ym,q
(θb , ϕb )Ym,q
(θa , ϕa ),
(rb |ra )ED ,jD
rb ra j D
m=−jD
(14.228)
donde la suma sobre jD = lO /2 será sobre valores enteros y semi-enteros dependiendo de los valores de q, y donde la amplitud radial estará dada por la integral
pseudotemporal
sobre la amplitud radial del oscilador de masa MO = 4M y frecuenq
cia ω = −E/2MC [recordemos la Ec. (13.123)]:
(rb |ra )ED ,jD
1
=
2
Z
∞
0
!
√
√
MO ω rb ra
MO ω rb ra
dSe
I
ih̄ sin ωS l̃O +1
ih̄ sin ωS
iMO ω
× exp
(rb + ra ) cot ωS ,
2h̄
ie2 S/h̄
(14.229)
q
q
donde κ = −2MED /h̄2 y ν = −e4 M/2h̄2 ED , tal como en las Ecs. (13.39) y
(13.40). Note que el átomo de dionio se puede tratar como un fermión, aún cuando
las partı́culas que lo forman son ambos bosonos (o ambos fermiones).
Luego de los cambios en las variables e2 /h̄ = 2ων y ωS = −iy, hacemos la
integral en S como en la Ec. (9.29), y para rb > ra encontramos la amplitud radial
del átomo de dionio
(rb |ra )ED ,jD = −i
M Γ(−ν + j̃D + 1)
Wν, j̃D +1/2 (2κrb )Mν, j̃D +1/2 (2κra ), (14.230)
h̄κ (2j̃D + 1)!
q
donde j̃D = ˜lO /2 = (jD + 12 )2 + l02 − q 2 − 12 . Para q = 0 y l0 = 0, esto se reduce
apropiadamente a la amplitud DC -dimensional de Coulomb, Ec. (14.112).
Los valores propios de la energı́a se obtienen de los polos de la función Gamma,
ν = νnr ≡ j̃D + nr + 1,
nr = 1, 2, 3, . . . ,
(14.231)
de donde hallamos
1
En = −Mh̄2 e4 h
q
i2 .
2 nr + 21 + (jD + 12 )2 + l02 − q 2
(14.232)
De los residuos en los polos y la discontinuidad en el corte ED > 0 de la
Ec. (14.230), usando las Ecs. (13.217)–(13.229), obtenemos la función de onda del
estado ligado y las funciones de onda radiales continuas por el mismo método visto
en la Sección 13.8.
1063
14.6 Integral de Trayectoria del Átomo de Dionio
14.6.2
Ausencia de Correcciones de la Partición Temporal
Mostraremos ahora que las manipulaciones formales anteriores no tienen correcciones en un
tratamiento adecuado de la partición temporal [15]. Debido a la presencia de las barreras centrı́fuga
y angular, el colapso de la trayectoria se puede evitar mediante una regularización apropiada de
ambas singularidades. Esta regularización se logra por medio de una transformación dependiente
del tiempo de la trayectoria dt = ds f (x(s)), donde las funciones reguladoras postpunto son
fl (x) = f (x) = r2 sin2 θ,
fr (x) ≡ 1.
(14.233)
Después de la extensión de la integral de trayectoria mediante una dimensión muda extra x4 , la
transformación depediente del tiempo de la partición temporal de la amplitud de energı́a fija a ser
estudiada es [ver las Ecs. (14.189)–(14.195)]
Z
Z ∞
1
1
(xb |xa )E ≈
dx4a 2 2
dS
(2πih̄ǫs /M )2
ra sin θa 0
N
+1 Z
Y
N
d4 ∆xn
×
eiA /h̄ ,
(14.234)
4
2
4
(2πih̄ǫs /M ) rn sin θn
n=2
donde la partición postpunto de la acción es
N
A
=
N
+1 X
n=1
h̄
M (∆xin )2
2
2
i
− ǫs rn sin θn [V (xn ) − E] +Ai (xn )∆x − ǫs
Ai,i (xn ) .
2ǫs rn2 sin2 θn
2M
(14.235)
Ahora, sobre esta acción realizamos la transformación de coordenadas de dos pasos. Primero
hallamos la transformación no holonómica de Kustaanheimo-Stiefel como en la Sección 13.4, y
expresamos el espacio cuatro-dimensional ~u en términos de r = |x| y los ángulos de Euler θ, ϕ, γ.
Explı́citamente,
x1
x2
x3
dx4
= r sin θ cos ϕ,
= r sin θ sin ϕ,
= r cos θ,
= r cos θdϕ + rdγ.
Sólo la última ecuación es no holonómica.
matriz de transformación será

sin θ cos ϕ
 sin θ sin ϕ
∂xi
i
eµ= µ =
 cos θ
∂q
0
Si q µ = 1, 2, 3, 4 denota a las componentes r, β, ϕ, γ, la
r cos θ cos ϕ
r cos θ sin ϕ
−r sin θ
0
−r sin θ sin ϕ
r sin θ cos ϕ
0
r cos θ
Cuya métrica es
gµν = ei µ eiν
mientras que la inversa es

g µν
1
 0
=
 0
0
0
1/r2
0
0

1
 0

=
0
0
(14.236)
0
r2
0
0
0
0
r2
r2 cos θ
0
0
1/r2 sin2 θ
− cos θ/r2 sin2 θ

0
0 
.
0 
r

0

0
,
2
r cos θ 
r2

0

0
.
− cos θ/r2 sin2 θ 
1/r2 sin2 θ
(14.237)
(14.238)
1064
14 Solución de Otras Integrales de Trayectoria por el Método de Duru-Kleinert
La función reguladora f (x) = r2 sin2 θ remueve las singularidades en g µν y ası́ en la parte libre del
Hamiltoniano (1/2M )g µν pµ pν ; de tal forma que ya no hay peligro de colapso de la trayectoria en
la amplitud Euclidiana.
En un segundo paso utilizamos las nuevas coordenadas
r = eξ ,
sin θ = 1/ cosh β,
cos θ = − tanh β,
(14.239)
como en el tratamiento de las barreras angulares para para D = 3 y D = 4 de la Sección 14.4.
Con q µ = 1, 2, 3, 4 representando a las coordenadas ξ, β, ϕ, γ, respectivamente, la matriz de transformación combinada será


sinh β
−eξ cosh−1 β sin ϕ 0
eξ cosh−1 β cos ϕ −eξ cosh
2 β cos ϕ
 ξ

sinh β
 e cosh−1 β sin ϕ −eξ cosh
eξ cosh−1 β cos ϕ 0 
2 β sin ϕ
ei µ = 
(14.240)
,
−2
 −eξ tanh β
−eξ cosh β
0
0 
0
0
−eξ tanh β
eξ
donde la métrica es
gµν
e2ξ
 0
=
 0
0

0
e2ξ cosh−2 β
0
0
0
0
e2ξ
−e2ξ tanh β
y su determinante será

0

0
,
2ξ
−e tanh β 
e2ξ
g = e8ξ / cosh4 β.
La métrica inversa es completamente regular:
 −2ξ
e
0
0
2
−2ξ
 0
e
cosh
β
0
µν
g =
 0
0
e−2ξ cosh2 β
0
0
e−2ξ sinh β cosh β
(14.241)
(14.242)

0

0
.
−2ξ
e
sinh β cosh β 
e−2ξ cosh2 β
(14.243)
Ahora calculamos las acciones transformadas (14.201) y (14.202). Las cantidades relevantes que
podrı́an contener las correcciones de la partición temporal son Dµ Aµ y Γµ µν . La primera es igual
a ∂i Ai , la cual se anulará en la norma transversal bajo consideración. El cálculo de Γµ µν es algo
más tedioso (ver el Apéndice 14B), pero da un resultado sorprendentemente simple:
Γµµν = (−1, 0, 0, 0).
(14.244)
Debido a esta simplicidad, es fácil hallar la expresión de la acción transformada. La cual se puede
separar en dos partes,
Aǫtot = Aǫξβ + Aǫϕγ ,
(14.245)
una contiene solamente las coordenadas ξ y β,
Aǫξβ =
ih̄
M
[(∆ξ)2n cosh2 βn + (∆βn )2 ] + ∆ξn
2ǫs
2
2
e2 eξn
h̄2 (lextra
+ 1/4)
Ee2ξn
− ǫs −
,
+
−
cosh2 βn
2M cosh2 βn
cosh2 βn
(14.246)
y la otra contiene las variables ϕ y γ,
Aǫϕγ =
M cosh2 βn
[(∆ϕn )2 + (∆γn )2 − 2∆γn ∆ϕn tanh βn ]
2ǫs
h̄2 q 2
.
+ h̄q tanh βn ∆ϕn − ǫs
2M cosh2 βn
(14.247)
1065
14.6 Integral de Trayectoria del Átomo de Dionio
Por lo que la amplitud de energı́a fija será
(xb |xa )E
≈
Z
∞
dS
Z
dγa
0
0
N Z
Y
1
drn dβn
2πih̄ǫs ra2 /M cosh βa n=1
2πih̄ǫs /M cosh2 βn+1
!
N +1
i X ǫ
A
(ϕb γb S|ϕa γa 0)[β] .
(14.248)
× exp
h̄ n=1 ξβ
4π
El último factor es una amplitud de evolución pseudo-temporal para los ángulos ϕ, γ, la cual es
aún una funcional de β(t), como se indica por el subı́ndice [β],
X
X
(14.249)
(ϕb γb S|ϕa γa 0)[β] ≈
ϕN +1 =ϕb +2πlϕ
γN +1 =γb +4πlγ
b
b
N Z
Y
dϕn dγn
1
×
exp
2πih̄ǫs /M cosh βb n=1
2πih̄ǫs /M cosh βn
N +1
i X ǫ
A
h̄ n=1 ϕγ
!
.
Para la coordenada fija xb , las sumas sobre lbϕ , lbγ tienen en cuenta las propiedades cı́clicas de los
ángulos ϕ y γ, cuyo periódo es 2π y 4π, respectivamente, (tal como se vio en los ejemplos de la
Sección 6.1).
γ
Ahora, introduzcamos las variables auxiliares del momentum angular pϕ
n , pn y veamos la forma
canónica de la amplitud (14.249):
(ϕb γb S|ϕa γa 0)[β] ≈
× exp
"
i
h̄
N Z
Y
dϕn
NY
+1 Z
n=1
n=1
N
+1 X
NY
Y
+1 Z
N Z
dpϕ
dpγn
n
dγn
2πh̄ n=1
2πh̄
n=1
γ
pϕ
n ∆ϕn + pn ∆γn
(14.250)
n=1
pγn h̄q
ǫs
2
γ
2
ϕ γ
[(pϕ
−
n ) + (pn + h̄q) + 2pn (pn + h̄q) tanh βn ] + ǫs
2M
M cosh2 βn
.
Los momenta pγn son variables mudas de integración y se pueden reemplazar por pγn − h̄q. Las
integrales sobre dϕn , dγn se hallan en el esquema de zona extendida ϕn , γn ∈ (−∞, ∞) y forzan a
la igualdad de todos los pγn . Al final, sólo quedan las integrales sobre un solo momentum común
pϕ , pγ y obtenemos
(ϕb γb S|ϕa γa 0)[β]
∞
X
≈ e−iq(γb −γa )
(14.251)
∞
X
dpϕ
2πh̄
dpγ ipϕ (ϕb +2πlϕ −ϕa )/h̄ ipγ (γb +4πlγ −γa )/h̄
b
b
e
e
2πh̄
γ
=−∞
=−∞
l
lϕ
b
b
(
)
N
+1 X
i
1
(p
−
h̄q)h̄q
γ
.
× exp −
(p2 + p2γ + 2pϕ pγ tanh βn ) − ǫs
h̄ n=1 2M ǫs ϕ
M cosh2 βn
Z
Z
Ahora, mediante la fórmula de Poisson, podemos hallar las sumas sobre lbϕ , lbγ las cuales forzan a
los momenta pϕ a aceptar sólo valores enteros, mientras que pγ sólo aceptará valores semi-enteros,
de tal forma que
(ϕb γb S|ϕa γa 0)[β] = e−iq(γb −γa )
X
m1 ,m2
1 im1 (ϕb −ϕa ) 1 im2 (γb −γa )
e
e
2π
4π
)
N +1 h̄2
ǫs h̄2 (m2 − q)q
i X
2
2
.
(m + m2 + 2m1 m2 tanh βn ) −
× exp −
h̄ n=1 2M ǫs 1
M cosh2 βn
(
(14.252)
1066
14 Solución de Otras Integrales de Trayectoria por el Método de Duru-Kleinert
Con este resultado la expresión para la amplitud de energı́a fija (14.248) del átomo de dionio tendrá
la carga magnética sólo en tres lugares: en la barrera centrı́fuga extra del término Aǫξβ , en el factor
de fase remanente de la integral sobre γa y en el último término en la Ec. (14.252). Sin embargo,
este último término se puede omitir, ya que la integral sobre γa forza a los números semi-enteros
a ser iguales a h̄q. La integral sobre γb , en la funcional restante de β(t), será
Z
0
4π
X 1
eim1 (ϕb −ϕa )
2π
m1
(
)
N
+1 X
i
h̄2
2
2
× exp −
.
[m + q + 2m1 q tanh βn
h̄ n=1 2M ǫs 1
dγa (ϕb γb S|ϕa γa 0)[β] =
(14.253)
La expresión de la partición temporal tiene el parámetro q precisamente en los mismos lugares
donde los tiene la expresión formal previa. Esto prueba que la fórmula (14.220), junto con la
Ec. (14.221), queda inalterada por las correcciones de la partición temporal. Con lo cual terminanos
el tratamiento de la integral de trayectoria del átomo de dionio.
Nótese que después de sustituir la Ec. (14.253), la partición temporal de la integral de trayectoria (14.248) es una combinación de un sistema general de Rosen-Morse, para la variable β, y un
sistema de Morse, para la variable ξ.
Terminemos esta discusión notando que, como en el sistema de Coulomb, el átomo de dionio
se puede estudiar utilizando sólo la teorı́a de grupos, para lo cual necesitamos únicamente las
operaciones del grupo dinámico O(4,2). Esto último se explica en el Apéndice 14C.
14.7
Transformación de Duru-Kleinert Dependiente del
Tiempo
Generalizando la transformación anterior a funciones reguladoras dependientes del
tiempo podemos deducir otras relaciones entre las amplitudes de diferentes sistemas fı́sicos. En la transformación de la trayectoria dependiente del tiempo
dt = ds fl (x)fr (x), que regulariza las integrales de trayectoria, podemos permitir
que las funciones fl (p, x, t) y fr (p, x, t) dependan de la posición, los momenta y el
tiempo. Tales funciones complican la subsecuente transformación hacia las nuevas
coordenadas q, para las cuales, con respecto al pseudo-tiempo s, el término cinético
de la amplitud (12.47) tiene la forma estándar (M/2)q′2 (s). En particular, si fl y
fr dependen del momentum, obtendremos fórmulas complicadas. Esa es la razón de
porque este caso no ha sido investigado a fondo (igual que el caso aún más general,
donde el lado derecho de la transformación dt = ds f contiene términos proporcionales a dx). Si restringimos la transformación sólo a una dependencia temporal,
y usamos el caso especial donde las funciones reguladoras son fl = f y fr = 1, o
fl = 1 y fr = f , en una dimensión espacial el resultado es relativamente simple.
Usando lo visto en la Sección 12.3, encontramos la siguiente relación [en lugar de la
Ec. (14.26)] entre la amplitud de evolución temporal del sistema inicial y la amplitud
de energı́a fija de los sistemas transformados, para E = 0:
(xb tb |xa ta ) = g(qb , tb )g(qa , ta ){qb tb |qa ta }E=0 ,
(14.254)
1067
14.7 Transformación de Duru-Kleinert Dependiente del Tiempo
donde {qb tb |qa ta }E=0 denota la extensión espacio-temporal de la amplitud de pseudoenergı́a fija. La cual se puede hallar de la partición temporal de la expresión hallada
en el lado derecho de la Ec. (12.55),
∞
Z
0
dS{xb tb |ÛE (S)|xa ta },
(14.255)
transformando las coordenadas x a q, y adapatando la normalización a la relación
de completes de los estados
Z
dx
Z
dt|q t}{q t| = 1.
(14.256)
De esto obtenemos la siguiente representación de la integral de trayectoria
{qb tb |qa ta }E =
Z
0
∞
dS
Z
dEe−iE(tb −ta )/h̄
Z
DK
Dq(s)eiAE,E /h̄ ,
(14.257)
donde la transformación DK de la acción es
ADK
E,E =
Z
0
S
ds
nM
2
q ′2 (s) − f (q(s), t(s))[V (q(s), t) − E] + E
o
−Veff (q(s), t(s)) − ∆Veff (q(s), t(s)) .
(14.258)
Note que el potencial inicial puede depender explı́citamente del tiempo. La función
t(s) está dada por la ecuación diferencial dependiente del tiempo
dt
= f (x, t).
ds
(14.259)
La transformación de coordenadas también depende del tiempo,
x = h(q, t),
(14.260)
h′2 (q, t) = f (h(q, t), t),
(14.261)
y cumple con la ecuación
donde h′ (q, t) ≡ ∂q h(q, t) [comparar con la Ec. (14.15)]. La función f (q(s), t(s))
usada en la Ec. (14.258) es una abreviación para la función f (h(q, t), t), la cual ha
de ser evaluada en el tiempo t = t(s).
Además del potencial efectivo Veff , determinado por la Ec. (14.18), ahora hay una
contribución potencial adicional que se debe a la dependencia temporal de h(q, t)
[17]:
∆Veff = Mh′2
Z
dq h′ ḧ ∓ ih̄ḣ′ h′ .
(14.262)
El signo superior debe usarse si la relación entre t y s se calcula de la partición
temporal de la relación de recurrencia de postpunto
tn+1 − tn = ǫs f (qn+1 , tn+1 ).
(14.263)
1068
14 Solución de Otras Integrales de Trayectoria por el Método de Duru-Kleinert
El signo inferior se cumple cuando se resuelve la relación de prepunto
tn+1 − tn = ǫs f (qn , tn ).
(14.264)
Note que el primer término de ∆Veff contribuye aún en el lı́mite clásico. Si se
encuentra una función h(q, t) que cumpla con la ecuación de movimiento de Newton
M ḧ = −
∂V (h, t)
,
∂h
(14.265)
donde V (h) ≡ V (x)|x=h , entonces el primer término elimina el potencial de la acción
(14.258), y el sistema transformado es clásicamente libre. Esto pasa si la nueva coordenada q(t) asociada con x, t se identifica con el valor inicial, para algún tiempo t0 ,
del recorrido de la órbita clásica a través de x, t. Estas coordenadas son claramente
independientes del tiempo y por lo tanto se comportan como las coordenadas de una
partı́cula libre (ver el ejemplo siguiente).
El factor de normalización g(q, t) se determina de la ecuación diferencial
g′
1 h′′
M ′
=
+
i
h ḣ.
g
2 h′
h̄
(14.266)
Cuya solución es
g(q, t) = e
q
M
Λ(q, t) = ±
h̄
Z
iΛ(q,t)
donde
h′ (q, t),
q
(14.267)
dq h′ ḣ.
(14.268)
Ası́, adicionalmente al factor de normalización de la Ec. (14.26), la relación DK
dependiente del tiempo (14.254) también contiene un factor de fase.
Como un ejemplo [18], transformemos la amplitud del oscilador armónico a la amplitud de una partı́cula libre. Las órbitas clásicas están dadas por x(t) = x0 cos ωt,
por lo que la transformación x(t) = h(q, t) = q cos ωt conduce a una coordenada
q(t) que se mueve sin aceleración. Por brevedad, escribimos cos ωt como c(t). Obviamente, f (q, t) = c2 (t) es una función que depende únicamente del tiempo [19],
integrando la relación diferencial entre el tiempo t y el pseudotiempo s obtendremos
S=
1 sin ω(tb − ta )
.
ω c(tb )c(ta )
(14.269)
Podemos resolver esta ecuación para ta (S) dejando tb fijo, o para tb (S) dejando ta fijo.
La solución ta (S) se obtiene de la partición temporal de la relación de recurrencia de
postpunto (14.263), mientras tb (S) surge de la relación de recurrencia de prepunto
(14.264). En los dos casos, la acción DK (14.258) se simplifica a la forma
ADK
E,E
M (qb − qa )2
c(tb )
[tb − ta (S)]
=
+ ES.
± ih̄ log
+E
2
S
c(ta )
[tb (S) − ta ]
(
)
(14.270)
Notas Sobre la Transformación DK de la Partición Temporal . . . 1069
Apéndice 14A
En el primer caso, la integración de la Ec. (14.257) con respecto a E será
{qb tb |qa ta }E =
Z
0
2
∞
dS δ(tb − ta (S))
c(ta ) e(i/h̄)M (qb −qa ) /2S
q
,
c(tb )
2πh̄iS/M
(14.271)
y usando −dta (S)/dS = c2 (ta ), la integración sobre S resulta ser
2
{qb tb |qa ta }E =
1
e(i/h̄)M (qb −qa ) /2S
q
.
c(tb )c(ta )
2πh̄iS/M
(14.272)
La misma amplitud se obtiene para el signo inferior de la Ec. (14.270), donde
dtb (S)/dS = c2 (tb ). Luego de sustituir este resultado, junto con las Ecs. (18.671)
y (14.268), en la Ec. (14.254) [en ese caso la integración será Λ(q, t) =
(M/h̄)q 2 c(t)ċ(t)/2], obtenemos
(i/h̄)M [qb2 c(tb )ċ(tb )−qa2 c(ta )ċ(ta )]/2
(xb tb |xa ta ) = e
2 /2S
e(i/h̄)M (qb −qa )
1
q
c(tb )c(ta )
q
2πh̄iS/M
. (14.273)
Puesto que qb y qa son iguales a xb /c(tb ) y xa /c(ta ), respectivamente, y luego de usar
las identidades trigonométricas apropiadas obtenemos la expresión (2.175) para la
amplitud del oscilador armónico.
Es obvio que una combinación de esta transformación con una transformación
de Duru-Kleinert independiente del tiempo permite reducir también la integral de
trayectoria de un sistema de Coulomb al de una partı́cula libre.
Por ende será interesante encontrar integrales de trayectoria no resueltas, que
se puedan integrar por medio de las transfomaciones generalizadas DK. Algunas
aplicaciones a problemas estadı́sticos pueden hallarse en la Ref. [21].
Apéndice 14A
Notas Sobre la Transformación DK de la
Partición Temporal del Problema Radial
de Coulomb
Mostraremos aquı́ que, en las integrales multiples de la partición temporal de la formulación,
para poder transformar la amplitud radial del problema de Coulomb al problema del oscilador
armónico, debido a lo catastrófico de la barrera cetrı́fuga, la relación DK tiene que utilizarse dos
veces. Para evitar las integrales divergentes necesitamos un potencial de Morse intermedio. El uso
de la trasformación DK con la función reguladora f (r) = r y un pseudotiempo s, el cual cumple
la relación dt = ds r(s) (mismos que han sido satisfactorios en dos y tres dimensiones), elimina la
singularidad de Coulomb, aunque no debilita lo suficiente la barrera centrı́fuga y tenemos aún la
singularidad catastrófica 1/r.
Veamos cual es el origen del error en la transformación directa. El punto de partida es la
partición pseudo-temporal de la amplitud (13.8),
rbλ ra1−λ
hxb |ÛE (s)|xa i ≈ p
DC /2
2πǫs h̄r1−λ rλ /M
"Z
N
Y
n=1
dDC ∆xn
#
N
e−AE /h̄ ,
p
DC
2πǫs h̄rn /M
(14A.1)
1070
14 Solución de Otras Integrales de Trayectoria por el Método de Duru-Kleinert
donde la acción es
AN
E
2
= −(N + 1)ǫs e +
N
+1
X
n=1
"
#
M (xn − xn−1 )2
1−λ λ
+ ǫs Ern rn−1 .
λ
2ǫs rn1−λ rn−1
(14A.2)
A diferencia de lo hecho en el Capı́tulo 13, trabajaremos aquı́ con un tiempo imaginario. Para
toda dimensión DC , la amplitud tiene la siguiente composición angular
hxb |ÛE (s)|xa i =
X
1
∗
hrb |ÛE (s)|ra il Ylm (x̂b )Ylm
(x̂a ).
D
−1/2
C
(rb ra )
En la amplitud radial, la acción se obtiene de la siguiente separación
"
#
N
+1
X
M
2
2
AN
(rn2 +rn−1
−2rn rn−1 cos ϑn ) + ǫs Ern ,
E = −(N + 1)ǫs e +
1−λ λ
2ǫ
r
r
n
s
n−1
n=1
(14A.3)
(14A.4)
λ
donde ϑn es el ángulo entre xn y xn−1 , también hemos utilizado el reemplazo de Ern1−λ rn−1
por
2
Ern ya que el orden de la diferencia es igual a ǫs y, por lo tanto, es despreciable.
Ahora, usaremos lo hallado en la Sección 8.5. Para un único segmento temporal, la contribución
ϑn a la exponencial tiene el siguiente desarrollo
exp
M λ 1−λ
r r
cos ϑn
ǫs n n−1
= eh
∞
X
ãlC (h)
lC =0
X
YlC m (x̂b )Yl∗C m (x̂a ),
(14A.5)
M λ 1−λ
r r
h̄ǫs n n−1
(14A.6)
m
donde
alC (h) =
2π
h
(DC −1)/2
I˜DC /2−1+lC (h),
h=
[recordemos las Ecs. (8.130) y (8.101)]. Luego, la parte radial del propagador es
"
#
−1/2
N
+1 Z
Y
d∆rn rn−1
N
rbλ ra1−λ
p
hrb |ÛE (s)|ra ilC ≈ q
e−AE /h̄ ,
1−λ λ
2πh̄ǫ
/M
s
2πh̄ǫs rb
ra /M n=2
(14A.7)
donde la acción radial es
2
AN
E = −(N +1)ǫse +
N
+1
X
n=1
"
M (rn − rn−1 )2
− h̄ log I˜DC /2−1+lC
λ
2ǫs rn1−λ rn−1
#
M λ 1−λ
−ǫs Ern .
r r
h̄ǫs n n−1
(14A.8)
Ahora, simplificamos el cálculo utilizando un parámetro simétrico de separación, λ = 1/2. Usando
la raı́z cuadrada de las coordenadas
un =
√
rn ,
(14A.9)
hallamos
∆rn
∂∆rn
∂∆un
−1/2
rn−1
= (un + un−1 )∆un ,
= 2un (1 − ∆un /2un)∆un ,
= 2un (1 − ∆un /un ),
−1
= u−1
,
n (1 − ∆un /un )
(14A.10)
Notas Sobre la Transformación DK de la Partición Temporal . . . 1071
Apéndice 14A
con lo cual, la norma de la integración se transforma en
√
N Z
Y
ub ua
d∆un
p
p
.
2πh̄ǫs /M n=1
2πh̄ǫs /M
(14A.11)
Nótese que no hay términos correctivos de orden superior en ∆un . La energı́a cinética es
4ūn2 (∆un )2
1 (∆un )4
4
(∆un )2 +
=
+
.
.
.
.
(14A.12)
2ǫs un un−1
2ǫs
4 un2
El término (∆un )4 se puede reemplazar de inmediato por su valor esperado y dará lugar al potencial
efectivo
Veff (un2 ) = ǫs h̄2
3
1
.
2 · 4M 4un2
(14A.13)
La amplitud radial será simplemente
√
ub ua
hrb |ÛE (s)|ra ilC ≈ p
2πh̄ǫs /M
donde
AN
E
= −(N + 1)ǫs +
N
+1 X
n=1
N
+1
Y
n=2
"Z
0
∞
#
N
dun 2
p
e−AE /h̄ ,
2πh̄ǫs /M
4M (∆un )2
+ Veff (un2 ) − h̄ log I˜DC /2−1+lC
2
2ǫs
M
un un−1
h̄ǫs
(14A.14)
.
(14A.15)
Debido a la singularidad 1/un2 en el potencial Veff (un2 ), no existe la partición temporal de la
integral de trayectoria. Como se discutió en la Sección 8.2, además del término ǫs /un2 , deberı́a
de haber un número infinito de términos de orden creciente del tipo (ǫs /un2 )2 , . . . , cuya suma es
necesaria para obtener el umbral correcto de la amplitud para valores pequeños de un . Para hallar
el término cinético usual del oscilador armónico MO (∆un )2 /2ǫs , debemos identificar el término
4M con la masa del oscilador MO [llamada µ en la Ec. (13.27); ver también la Ec. (14.99), donde
MC ≡ M ],
MO = 4M.
La barrera centrı́fuga de la Ec. (14A.15) se encuentra en
MO /4
3
−h̄ log I˜DC /2−1+lC
un un−1 + ǫs h̄2
+ ... ,
h̄ǫs
8MO u2n
(14A.16)
(14A.17)
y está dada por
4
h̄2
ǫs
2MO un un−1
"
DC
− 1 + lC
2
2
#
3
1
+ ǫs h̄2
−
+ ... .
4
8MO u2n
Esto se puede reescribir explı́citamente como
h̄
1
1
2
ǫs
,
(DC − 2 + 2lC ) −
2MO un un−1
4
(14A.18)
(14A.19)
La expresión entre paréntesis puede identificarse con el parámetro µO del oscilador armónico, el
cual aparece en el subı́ndice de la función de Bessel de la Ec. (8.140). Esto implica que
µO = 2µC ,
(14A.20)
1072
14 Solución de Otras Integrales de Trayectoria por el Método de Duru-Kleinert
en completo acuerdo con la relación (14.100). De hecho, en la partición temporal de la amplitud
radial del oscilador armónico, todos los términos de orden superior del desarrollo (14A.18) deben
contribuir a compactar la barrera centrı́fuga, regulada por las funciones de Bessel,
MO
˜
(14A.21)
un un−1 .
−h̄ log IDC −2+2lC
h̄ǫs
Aunque esto es lo que se espera, es muy difı́cil verificarlo término por término.
Estas dificultades se pueden evitar usando una función reguladora más estricta, f = r2 . Ası́,
en lugar de la amplitud de evolución pseudotemporal (14A.1), tenemos
"Z
#
N
Y
fN
rb2 ra2−2λ
dDC ∆xn
hxE |Ûe (s)|xa i ≈ q
e−AE /h̄ ,
(14A.22)
p
DC
DC /2
2 /M
2−2λ 2λ
2πǫ
h̄r
n=1
s
n
2πǫs h̄rb
ra /M
donde la partición temporal de la acción transformada es
#
"
N
+1
X
M
fN
2
(rn2 + rn−1
− 2rn rn−1 cos ϑn ) − ǫs Ern2 .
AE = −(N + 1)ǫs e2 +
2λ
2ǫs rn2−2λ rn−1
n=1
(14A.23)
Para λ = 1/2, ahora el término cos ∆ϑn no contiene las variables radiales rn , rn−1 , rn , rn−1 , y la
descomposición angular de la amplitud, como en las Ecs. (14A.3)–(14A.8), dará la amplitud radial,
donde la partición temporal de la acción es
AfEN = −(N +1)ǫse2 +
N
+1 X
n=1
M (rn −rn−1 )2
−h̄ log I˜DC /2−1+lC
2ǫs rn rn−1
M
−ǫs Ern2 .
h̄ǫs
(14A.24)
Puesto que rn y rn−1 no aparecen en la función de Bessel, en las variables de integración rn el
lı́mite para ǫs pequeño es uniforme y el término logarı́tmico de la energı́a se puede reemplazar por
i
h̄ h
2
(DC /2 − 1 + lC ) − 1/4 ,
(14A.25)
ǫs
2MC
donde, por claridad, hemos agregado los subı́ndices C. Para llevar cabo la integración sobre las
variables rn , usamos las nuevas coordenadas x, donde
r = h(x) = ex .
(14A.26)
La norma de la integración es
√
rb ra
p
N +1
2πh̄ǫs /M
N
+1 Z
Y
n=2
d∆rn
.
rn−1
El desarrollo de 1/rn−1 alrededor del postpunto rn será
e∆xn
1
rn
1
= xn .
=
rn−1
rn rn−1
e
(14A.27)
(14A.28)
Ahora, con ayuda de la relación
∆r = ex − ex−∆x = ex (1 − e−∆x ),
(14A.29)
(y eliminando los subı́ndices n), hallamos el Jacobiano
∂∆r
= ex e−∆x .
∂∆x
(14A.30)
Apéndice 14B
1073
Conección Afı́n del Átomo de Dionio
Para las coordenadas x, la norma será simplemente
e(xb +xa )/2
p
N +1
2πh̄ǫs /M
N
+1 Z
Y
d∆xn .
(14A.31)
n=2
El término cinético en la acción será
N
+1
X
M
(1 − cos ∆xn ),
ǫs
(14A.32)
M
1
4
2
(∆x) − (∆xn ) + . . . .
2ǫs
12
(14A.33)
AN
E =
n=1
y tiene el desarrollo
AN
E
=
N
+1
X
n=1
Los términos de orden superior contribuyen uniformemente a la variable x, con potencias de orden
superior en ǫs , estos términos se pueden tratar en la forma usual. Esta es la razón por la cual
usando la función reguladora f = r2 , no tenemos problemas con la transformación de la trayectoria
dependiente del tiempo de la parte radial del sistema de Coulomb y en su relación con el caso del
oscilador radial.
Apéndice 14B
Conección Afı́n del Átomo de Dionio
De las matrices de transformación (14.240) [usando q µ = (ξ, β, ϕ, γ), además de la abreviatura
f,ξ ≡ ∂ξ f ], calculamos las derivadas
ei µ,ξ = ei µ ,
ei µ,β
ei µ,φ
=
=

sinh β
−eξ cosh
2 β cos φ
(14B.1)
2
β
−eξ 1−sinh
cos φ
cosh3 β
sinh β
eξ cosh
2 β sin φ
0
2

sinh β
β
sinh β
 −eξ cosh
−eξ 1−sinh
sin φ −eξ cosh
0
2 β sin φ
2 β cos φ
cosh3 β

sinh
β
−2
 −eξ cosh β
2eξ cosh3 β
0
0
−2
ξ
0
0
−e cosh β
0

−1
−1
ξ
ξ
ξ sinh β
−e cosh β cos φ
−e cosh β sin φ e cosh2 β sin φ
 eξ cosh−1 β cos φ −eξ sinh2β cos φ −eξ cosh−1 β sin φ

cosh β
 0
0
0
0
0
0
ei µ,α = 0.



,


0
0 
,
0 
0
(14B.2)
(14B.3)
(14B.4)
De estas derivadas encontramos que Γµνλ = ei λ ei ν,µ , por contracción con ei λ :
Γξµν = gµν ,
Γβµν
Γφµν
=
=
0
 −e2ξ cosh−2

 0
0

0
 0


 −e2ξ cosh−2
0

(14B.5)
e2ξ cosh−2 β
sinh β
−e2ξ cosh
3β
0
0
0
0
sinh β
e2ξ cosh
3β
0

0 0

0 0
,
−2
2ξ
0 −e cosh β 
0 0

2ξ
e cosh−2 β 0
sinh β
−e2ξ cosh
0 
3β

,
0
0 
0
0
(14B.6)
(14B.7)
1074
14 Solución de Otras Integrales de Trayectoria por el Método de Duru-Kleinert
Γαµν = 0.
(14B.8)
Una contracción con la métrica inversa g µν , dará Γµ µ ν = (−1, 0, 0, 0), como se ha dicho en la
Ec. (14.244).
Apéndice 14C
Aspectos Algebraicos de los Estados
del Dionio
En el Apéndice 13A hemos mostrado que ciertas combinaciones de los operadores xµ y ∂µ satisfacen
las reglas de conmutación del álgebra de Lie del grupo O(4,2) [ver las Ecs. (13A.11)]. Esto nos
permite resolver todos los problemas dinámicos mediante las operaciones del grupo. En el caso
l0 = q (i.e., lextra = 0), la aproximación teórica del grupo se puede extender para incluir el átomo
de dionio. De hecho, es fácil ver [20] que el álgebra de Lie de O(4,2) queda intacta si los generadores
LAB (A, B = 1, . . . , 6) de la Ec. (13A.11) se extienden a (xi ≡ xi )
L̂ij
L̂i4
L̂i5
L̂i6
L̂45
L̂46
L̂56
r
i
= − (xi ∂xj − xj ∂xi ) + q 2 xk⊥ ,
2
x⊥
1
r
i 2
i
δi3 2 xi
=
−x ∂x − x + 2∂xi x∂x + 2iq 2 (x⊥ × ∇)i − (−) q 2 ,
2
x⊥
x⊥
1
r
i 2
i
δi3 2 xi
=
−x ∂x + x + 2∂xi x∂x + 2iq 2 (x⊥ × ∇)i − (−) q 2 ,
2
x⊥
x⊥
q
= −ir∂xi − 2 (x × x⊥ )i ,
x⊥
= −i(x∂x + 1),
1
z
2
2 r
=
−r∂x − r + 2iq 2 (x × ∇)3 + q 2 ,
2
x⊥
x⊥
1
z
2 r
2
=
−r∂x + r + 2iq 2 (x × ∇)3 + q 2 .
2
x⊥
x⊥
(14C.1)
La representación espacial está ahora caracterizada por los valores propios del operador L̂05 =
−ir∂x4 = −i∂γ = − 21 (↠â − b̂† b̂), el cual es igual a q. Para q = 0, las funciones de onda son
generalizaciones de las funciones de onda del sistema de Coulomb.
Notas y Referencias
[1] El caso especial λ = 1/2 ha sido estudiado también por
N.K. Pak y I. Sokmen, Phys. Rev. A 30, 1692 (1984).
[2] R.E. Langer, Phys. Rev. 51, 669 (1937);
W.H. Furry, Phys. Rev. 71, 360 (1947);
P.M. Morse y H. Feshbach, Methods of Theoretical Physics, McGraw-Hill, 1953, pp. 1092ff.
[3] L.C. Hostler, J. Math. Phys. 11, 2966 (1970).
[4] F. Steiner, Phys. Lett. A 106, 256, 363 (1984).
[5] A. Sommerfeld, Partial Differential Equations in Physics, Lectures in Theoretical Physics,
Vol. 6, Academic, New York, 1949;
T. Regge, Nuovo Cimento 14, 951 (1959);
F. Calogero, Nuovo Cimento 28, 761 (1963);
A.O. Barut, The Theory of the Scattering Matrix , MacMillan, New York, 1967, p. 140;
P.D.B. Collins and E.J. Squires, Regge Poles in Particle Physics, Springer Tracts in Modern
Physics, Vol. 49, Springer, Berlin 1968.
Notas y Referencias
1075
[6] H. Kleinert y I. Mustapic, J. Math. Phys. 33, 643 (1992) (http://www.physik.fuberlin.de kleinert/207).
[7] G. Pöschl y E. Teller, Z. Phys. 83, 1439 (1933). Ver también S. Flügge, Practical Quantum
Mechanics, Springer, Berlin, 1974, p. 89.
[8] N. Rosen, P.M. Morse, Phys. Rev. 42, 210 (1932); S. Flügge, op. cit., p. 94. Ver también
L.D. Landau y E.M. Lifshitz, Quantum Mechanics, Pergamon, London, 1965, §23.
[9] Esta relación DK entre las amplitudes fue hallada primeramente por
G. Junker y A. Inomata, in Path Integrals From meV to MeV , Edited by M.C. Gutzwiller,
A. Inomata, J.R. Klauder, and L. Streit, World Scientific, Singapore, 1986, p. 315, y por
M. Böhm y G. Junker, J. Math. Phys. 28, 1978 (1987).
Tener cuidado con los errores. Por ejemplo, en la Ec. (3.28) del primer artı́culo, los autores
pretenden haber calculado la amplitud de energı́a fija, pero sólo presentan la parte imaginaria, restringida a los polos de los estados ligados. El resultado (3.33) carece de los estados
continuos. En la nota de pie de página 20 del Capı́tulo 8, se señalaron errores adicionales
observados en la Sección V.
[10] La obtención explı́cita de las funciones de onda puede verse en la Ref. [6], Sección IV B.
[11] J.M. Cai, P.Y. Cai, y A. Inomata, Phys. Rev. A 34, 4621 (1986).
[12] J. Schwinger, A Magnetic Model of Matter, Science, 165, 717 (1969).
Ver también el artı́culo de revisión
K.A. Milton, Theoretical and Experimental Status of Monopoles, (hep-ex/0602040).
[13] H. Kleinert, Phys. Lett. A 116, 201 (1989).
[14] J.J. Thomson, On Momentum in the Electric field , Philos. Mag. 8, 331 (1904).
[15] Esta demostración se hizo en colaboración con mi estudiante J. Zaun.
[16] P.A.M. Dirac, Proc. Roy. Soc. A 133, 60 (1931); Phys. Rev. 74, 817 (1948), Phys. Rev. 74,
817 (1948).
[17] A. Pelster y A. Wunderlin, Zeitschr. Phys. B 89, 373 (1992).
Ver también la generalización similar de la transformada DK en las ecuaciones diferenciales
estocásticas por
S.N. Storchak, Phys. Lett. A 135, 77 (1989).
[18] Otros ejemplos pueden verse en:
C. Grosche, Phys. Lett. A 182, 28 (1952).
[19] Este caso especial fue estudiado por
P.Y. Cai, A. Inomata, y P. Wang, Phys. Lett. 91, 331 (1982).
Nótese que la transformación a partı́culas libres está basada sobre una observación general
dada en
H. Kleinert, Phys. Lett. B 94, 373 (1980) (http://www.physik.fu-berlin.de/~kleinert/71).
[20] A.O. Barut, C.K.E. Schneider, y R. Wilson, J. Math. Phys. 20, 2244 (1979).
[21] A. Young and C. DeWitt-Morette, Ann. Phys. (N.Y.) 169, 140 (1984);
H. Kleinert and A. Pelster, Phs. Rev. Lett. 78, 565 (1997);
L.Z.J. Liang, D. Lemmens, J. Tempere, (arxiv:1101.3713);
M. Decamps and A. De Schepper, (2008) (http://ssrn.com/paper=1279363);
M.
Decamps
and
A.
De
Schepper,
Physica A
389,
3179
(http://ssrn.com/abstract=1503698).
(2010)