Taller 8 - Universidad Nacional de Colombia : Sede Medellin

Escuela de Matemáticas. Universidad Nacional de Colombia, Sede Medellı́n.
Álgebra Lineal – Taller No 8
Instrucciones. Recuerde que los ejercicios marcados con * indican un mayor nivel de dificultad que el resto y es
importante que el estudiante ataque una razonable cantidad de ellos por sı́ mismo.
Espacios Vectoriales
1.
Establezca si los siguientes son espacios vectoriales
x
(i) El conjunto de todos los vectores
de R2 con x, y ≥ 0.
y
x
(ii) El conjunto de todos los vectores
de R2 con x y ≥ 0. Esta es la unión del primer y tercer cuadrante.
y
x
(iii) El conjunto de todos los vectores
de R2 con x ≥ y.
y
(iv) El conjunto de todos los números racionales con la suma y multiplicación usuales.
(v) El conjunto de todas las matrices triangulares superiores.
a
(vi) El conjunto de todas las matrices de 2 × 2 de la forma
c
b
d
, tales que ad = 0.
(vii) El conjunto de todas las matrices antisimétricas de n × n.
2.
Determine si W es un subespacio de V .



 a

(a) V = R3 , W =  0  : a ∈ R


a



a


(c) V = R3 , W =  b  : a, b ∈ R


a+b
a b
2×2
(f ) V = R , W =
: a, b ∈ R
b 2a
(b) V
(d) V
(e) V
(g) V = Rn×n , W = matrices diagonales de n × n
(h) V



a


= R3 , W =  −a  : a ∈ R


2a




 a
= R3 , W =  b  : a, b ∈ R


|a|
a b
2×2
= R ,W =
: ad ≥ bc
c d
= Rn×n , W = A ∈ Rn×n : A2 = A
3.
Sea B una matriz fija de n × n y considere el conjunto W = {A ∈ Rn×n : AB = BA}. ¿Es W un subespacio de
Rn×n ?
4.
Determine si W es subespacio de V .
5.
(a) V = P2 , W = {bx + cx2 : b, c ∈ R}
(b) V = P2 , W = {a + bx + cx2 : a + b + c = 0}
(c) V = P2 , W = {a + bx + cx2 : abc = 0}
(d) V = P3 , W = P2
(e) V = P, W = P3
(f ) V = Pn+k , W = Pk
(g) V = F, W = {f ∈ F : f (−x) = f (x)}
(h) V = F, W = {f ∈ F : f (−x) = −f (x)}}
(i) V = F, W = {f ∈ F : f (0) = 1}
(j) V = F, W = {f ∈ F : f (0) = 0}
Sea V un espacio vectorial con subespacios U y W
(i) Demuestre que U ∩ W es un subespacio.
(ii) Provea un contraejemplo con V = R2 para ilustrar que no necesariamente se cumple que U ∪W es un subespacio.
(iii) ¿Bajo qué condiciones sobre U y W se tiene que U ∪ W es un subespacio?
6.* Sea V un espacio vectorial con subespacios U y W , defina la suma de U y W como el conjunto
U + W = {u + w : u ∈ U, w ∈ W }
(i) Suponga que V = R3 , que U es el eje x y que W es el eje Y . ¿Qué es U + W ?
(ii) Si U y W son subespacios de V demuestre que U + W es un subespacio de V .
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7.
¿Es R2×2 generado por el siguiente conjunto?
1 1
0 1
0 1
1 0
8.
¿Es P2 generado por 1 + x, x + x2 y 1 + x2 ?
9.
Sean f (x) = sin2 (x) y g(x) = cos2 (x)
1
1
0
1
−1
0
0
1
(i) Demuestre que las funciones constantes pertenecen a gen(f, g).
(ii) Demuestre que la función cos(2x) pertenece a gen(f, g).
Indicación. Mantenga presentes las identidades trigonométricas.
Transformaciones Lineales
10.
Determine si T es una transformación lineal
a b
a+b
0
(i) T : R2×2 → R2×2 , T
=
.
c d
0
c+d
w x
w+x
1
(ii) T : R2×2 → R2×2 , T
=
.
y z
0
y−z
(iii) T : Rn×n → Rn×n , T (A) = AB, donde B ∈ Rn×n es una matriz fija.
(iv) T : Rn×n → Rn×n , T (A) = AB − BA, donde B ∈ Rn×n es una matriz fija.
(v) T : Rn×n → R, T (A) = tr(A). Indicación. Se recuerda que la traza de una matriz cuadrada A ∈ Rn×n viene
dada por tr(A) = a11 + a22 + . . . + ann ; es decir la suma de los elementos de la diagonal.
Qn
(vi) T : Rn×n → R, T (A) = a11 a22 . . . ann = i = 1 aii ; es decir el producto de los elementos de la diagonal.
(vii) T : Rn×n → R, T (A) = rank(A) = dim(col(A)) = dim(ren(A)).
11.
Determine si T es una transformación lineal.
(i) T : P2 → P2 , T (a + bx + cx2 ) = a + 1 + (b + 1)x + (c + 1) x2 .
(ii) T : P2 → P2 , T (a + bx + cx2 ) = a + b(x + 1) + b(x + 1)2 .
12.
Determine si T es una transformación lineal. Se recuerda que F es el espacio de las funciones f : R → R
(i) T : F → F, T (f )(x) = f (x2 ).
(ii) T : F → F, T (f )(x) = (f (x))2 .
(iii) T : F → R, T (f )(x) = (f (c)), donde c ∈ R es un número real fijo.
(iv) T : F → R, T (f )(x) = f (c))x2 , donde c ∈ R es un número real fijo.
13.
Sea T : R2 → R3 una transformación lineal para la cual se cumple que




1
−1
1
0
T
= 2 
T
= 1 
0
1
3
0
5
a
Encuentre T
yT
.
2
b
14.
Sea T : P2 → P1 una transformación lineal que cumple que T (1) = 1 + x, T (x) = 3 − 2x y T (x2 ) = 4 + 3x. Encuentre
T (4 − x + 3x2 ) y T (a + bx + cx2 ).
15.
Sea T : P2 → P2 una transformación lineal que cumple que T (1 + x) = 1 + x2 , T (x + x2 ) = x − x2 y T (1 + x2 ) =
1 + x + x2 . Encuentre T (4 − x + 3x2 ) y T (a + bx + cx2 ).
16.
Sea T : R2×2 → R una transformación lineal para la cual
1 0
1 1
T
=1
T
=2
0 0
0 0
1 2
a b
Encuentre T
yT
.
3 4
c d
T
1
1
1
0
=3
T
1
1
1
1
=4
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17.* Demuestre que no existe una transformación lineal T : R3 → P2 tal que




2
3
T  1 =1+x
T  0  = 2 − x + x2
0
2


0
T  6  = −2 + 2x2
−8
18.
Sea T : V → V una transformación lineal y v1 , v2 , . . . , vn una base de V . Demuestre que si T vi = vi para todo
1 ≤ i ≤ n entonces T es la transformación identidad en V .
19.
Defina las transformaciones lineales S : R2 → R2×2 y T : R2 → R2 mediante
a
a+b
0
c
2c + d
S
=
T
=
b
0
a−b
d
−d
Calcule S ◦ T
2
1
y S◦T
x
y
. ¿Se puede calcular T ◦ S? De ser asi, hágalo.
20.
Defina las transformaciones lineales S : P1 → P2 y T : P2 → P1 mediante S(a + bx) = a + (a + b)x + 2bx2 y
T (a + bx + cx2 ) = b + 2cx. Calcule (S ◦ T )(3 + 2x − x2 ) y (S ◦ T )(a + bx + cx2 ). ¿Se puede calcular T ◦ S? De ser
asi, hágalo.
21.
Verifique que S y T son transformaciones inversas
x
4x + y
2
2
(a) S : R → R
S
=
y
3x + y
(b) S : P1 → P1
2
T :R →R
2
T : P1 → P1
S(a + bx) = (−4a + b) + 2ax
x−y
T
=
−3x + 4y
b
T (a + bx) = + (a + 2b)x
2
x
y
Nucleo e Imagen
22.
Sea T : R
2×2
→R
2×2
definida por T
1
−1
2
3
a
c
b
d
=
a 0
. Considere las siguientes matrices
0 d
0 4
3 0
−2 0
0 −3
(1)
(i) ¿Cuáles de las matrices (1) están en ker(T )?
(ii) ¿Cuáles de las matrices (1), de haber alguna, están en el rango de T ?
(iii) Describa el rango de T y ker(T ).
23.
Sea T : R2×2 → R definida por T (A) = tr(A). Considere las siguientes matrices
0 1
3 −2
1 0
2 1
−1
0
2
1
(i) ¿Cuáles de las matrices (2) están en ker(T )?
(ii) ¿Cuáles de los siguientes escalares están en el rango de T ?
0
−
5
√
2
(iii) Describa el rango de T y ker(T ).
24.
Sea T : P2 → R2 la transformación lineal definida por
2
T (a + bx + cx ) =
(i) ¿Cuáles de los siguientes vectores están en el rango de T ?
0
1
0
0
a−b
b+c
0
1
(2)
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(ii) ¿Cuáles de los siguientes polinomios están en ker(T )?
x − x2
1+x
1 + x − x2 .
(iii) Describa el rango de T y el ker(T )?
25.
Sea T : P2 → P2 , definida por T (p(x)) = xp0 (x) y considere los polinomios
x2
2
1 − x.
(3)
(i) ¿Cuales de los polinomios (3) pertenecen a ker(T )?
(ii) ¿Cuales de los polinomios (3) pertenecen al rango de T ?
(iii) Describa el rango de T y el ker(T ).
26.* Sea T : R2×2 → R2×2 definida por T (M ) = AM , donde A =
1
3
2
5
. Demuestre que T (R2×2 ) = R2×2 y que
ker(A) = {0}, es decir:
(i) AM = B tiene solución para todo B ∈ R2×2 .
(ii) AM = 0 si y solo si M es la matriz nula en todas sus entradas.
1 2
27.* Sea T : R2×2 → R2×2 definida por T (M ) = AM , donde A =
.
3 6
(i) Demuestre que la matriz identidad I no pertenece al rango de T . Es decir, no existe solución a la ecuación
matricial AM = I.
(ii) Encuentre una matriz M no nula tal que AM = 0, es decir M ∈ ker(T ).
28.* Suponga que la transformación T : R2×2 → R2×2 es lineal. ¿Cuales de las siguientes afirmaciones son verdaderas?
(i) T 2 es la transformación identidad.
(ii) ker(T ) = 0.
(iii) T (R2×2 ) = R2×2 .
(iv) T (M ) = −M no es posible.
29.* Sea T : R2×2 → R2×2 definida por T (M ) =
1
0
0
0
M
0
0
0
1
.
(i) Describa todas las matrices tales que T (M ) = 0, es decir M ∈ ker(T ).
(ii) Describa todas las matrices de la forma T (M ), es decir, describa el rango de T .
30.* Sea θ ∈ (0, 2π) un ángulo cualquiera y defina las matrices
A=
cos θ
sin θ
− sin θ
cos θ

cos θ
B =  sin θ
0
− sin θ
cos θ
0

0
0 
1
Considere las transformaciones lineales S : R2 → R2 y T : R3 → R3 definidas por Su = Au y T v = Bv.
(i) Utilice conceptos para describir el efecto que las transformaciones S y T tienen sobre un vector cualquiera
u ∈ R2 y v ∈ R3 repectivamente.
(ii) Demuestre que no existe u ∈ R2 no nulo, tal que Su = u.
(iii) Demuestre que existe v ∈ R3 tal que T v = v.
31.
En los siguientes ejercicios determine si la transformación lineal T es inyectiva y si es sobreyectiva. Indicación.
Mantenga presente el teorema de la dimensión o “Teorema del Rank”.
x
2x − y
(i) T : R2 → R2 , definida mediante T
=
.
y
x + 2y
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(ii) T : P2 → R2×2 definida mediante
2
T (a + bx = cx ) =
(iii) T : P2 → R3 definida mediante
a+b
2a + c
a + 2c
b−c


2a − b
T (a + bx = cx2 ) =  a + b − 3c 
c−a
p(0)
(iv) T : P2 → R2 , definida mediante T (p(x)) =
.
p(1)
(v) T : R3 → R2×2 definida mediante


a
a−b b−c


b =
T
a+b b+c
c
(vi) T : R3 → W definida mediante


a
a+b+c
T b =
b − 2c
c
b − 2c
a−c
Donde W es el subespacio de todas las matrices simétricas de R2×2 .
32.
Determine si los siguientes espacios V y W son isomorfos. Indicación. Mantenga presente el teorema de la
dimensión o “Teorema del Rank”.
(i) V es el espacio de las matrices diagonales de R3×3 , W = R3 .
(ii) V es el espacio de las matrices simétricas de R3×3 y W es el espacio de las matrices triangulares superiores de
R3×3 .
(iii) V = P2 y W = {p(x) ∈ P3 : p(0) = 0}.
(iv) V = {A ∈ R2×2 : tr(A) = 0}, W = R2 .
(v) V = {A ∈ R2×2 : tr(A) = 0}, W = R3 .
33.* Demuestre que las siguientes transformaciones lineales T : Pn → Pn son isomorfismos.
(i) T (p(x)) = p(x) + p0 (x).
(ii) T (p(x)) = p(x − 2).
1
(iii) T (P (x)) = xn p
x
34.* Sean S : V → W y T : U → V transformaciones lineales
(i) Demuestre que si S y T son inyectivas, también lo es S ◦ T .
(ii) Demuestre que si S y T son sobreyectivas, también lo es S ◦ T .