Introducción a la Probabilidad y Estad´ıstica Curso 2012

Introducción a la
Probabilidad y Estadı́stica
Curso 2012
Universidad de la República
Facultad de Ciencias
Centro de Matemática
Práctico 6
1. Verificar las siguientes afirmaciones.
a) Si X ∼ N µ, σ 2 entonces E (X) = µ, V (X) = σ 2 .
b) Si X ∼ U (a, b) entonces E (X) =
a+b
2 ,
(b−a)2
12 .
= 1/λ2 .
V (X) =
c) Si X ∼ Exp (λ) entonces E (X) = 1/λ , V (X)
d ) Si X ∼ Ber (p) entonces E (X) = p, V (X) = p (1 − p) .
e) Si X ∼ Bin (n, p) entonces E (X) = np, V (X) = np (1 − p) .
f ) Si X ∼ P oisson (λ) entonces E (X) = λ, V (X) = λ.
g) Si X ∼ Geo (p) entonces E (X) = 1/p, V (X) =
2. Sea fX,Y la siguiente densidad:
kxy
si
fX,Y (x, y) =
0
en otro caso.
1−p
.
p2
0≤x≤y≤1
a) Hallar k.
b) Hallar la esperanza y varianza de X y de Y y la covarianza entre
X e Y.
3. Sea X una variable aleatoria con función de densidad fX (x) = kx+1/2,
para todo x ∈ [−1, 1].
a) Determinar los valores de k para los cuales fX (x) es ciertamente
una función de densidad.
b) Calcular la esperanza y la mediana de X.
c) ¿Para qué valores de k se minimiza la varianza de X?
4.
a) Probar que si X e Y son v.a. independientes entonces cov(X, Y ) =
ρ(X, Y ) = 0.
b) Mostrar con un ejemplo que el recı́proco no es cierto en general.
(Sugerencia: Sean U y V dos v.a. independientes pero con la
misma distribución. Considerar X = U + V e Y = U − V ).
5. Sea (X, Y ) un vector aleatorio con distribución uniforme en la región:
0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ x + h para algún 0 < h < 1.
a) Calcular E(X), E(Y ), E(XY ).
b) Hallar ρXY .
1
c) ¿A qué tiende ρXY cuando h tiende a cero? ¿Por qué?
6. Un ladrón de Bagdad fue encerrado en un calabozo con tres puertas.
Una de las puertas da a un túnel que lo devuelve al calabozo después
de un dı́a de viaje. Otra puerta conduce a un túnel análogo, el túnel
largo, cuyo recorrido requiere tres dı́as en lugar de uno. La tercera
puerta lo lleva a la libertad.
Supongamos que el ladrón tiene la misma probabilidad de elegir cada
puerta, es decir, cada vez que elige una puerta no sabe a dónde lo
lleva. Hallar el número medio de dı́as que el ladrón estará encerrado
desde el momento en que elige por primera vez una puerta hasta que
consigue la libertad.
Ejercicios optativos
7. Sean X e Y variables discretas. La Esperanza condicional de X dado
el evento (Y = yj ) se calcula como sigue
E(X|Y = yj ) =
n
X
xi P (X = xi |Y = yj ).
i=1
Este es un número que depende del evento (Y = yj ). Podemos considerar entonces que este valor está en función del número yj , o bien considerar que tenemos una función del espacio muestral Ω de la
siguiente forma. Sea ω en Ω tal que Y (ω) = yj . Definimos entonces
E(X|Y )(ω) = E(X|Y = yj ). De este modo hemos construido una
variable aleatoria E(X|Y ) : Ω → R.
a) Probar que si X e Y son independientes E(X|Y ) = E(X).
b) Probar que E(E(X|Y )) = E(X).
8. (Continuación) Sea (X,
R RY ) un vector absolutamente continuo
R ∞con densidad p(x, y), tal que
|x|p(x, y)dxdy < ∞. Dada p2 (y) = −∞ p(x, y)dx,
la densidad de la variable Y , se define la densidad condicional de X
dada Y como r(x|y) = p(x, y)/p2 (y) definida para los y para los cuales
p2 (y) > 0. La esperanza condicional de X dada Y se define como
Z ∞
E(X|Y ) =
xr(x|y)dx.
−∞
Probar las mismas afirmaciones del ejercicio anterior para este caso.
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