3.2 Condiciones suficientes de existencia para la trasformada de

3.2 Condiciones suficientes de existencia para la trasformada de Laplace
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3.2 Condiciones suficientes de existencia para la trasformada de Laplace
Teorema 3.2.1 Si f (t ) es de orden exponencial α y es seccionalmente continua en todo
intervalo finito 0 ≤ t ≤ T entonces la transformada de Laplace de f (t ) , L { f (t )} existe
para toda s > α .[5]
Debemos indicar que la hipótesis de este teorema garantiza la existencia de la transformada
de Laplace. Sin embargo si estas condiciones no se satisfacen no quiere decir que la
transformada de Laplace no exista, de hecho puede o no existir.
{ }
2
1 
Como es el caso de L   , L et que no existen. En situaciones como éstas, las
t 
condiciones se dicen que son suficientes pero no necesarias para la validez de las
conclusiones.
f(t)
f (t)
15
e
10
t
40
t
20
5
10
5
2
0
5
t
10
10
0
10
t
.
Figura 3.2.1 a)
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Figura 3.2.1 b)
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f(t)
2
sen(t)
1
t
10
0
10
1
2
Figura 3.2.1 c)
Figura 3.2.1 Ejemplos ilustrativos
Las funciones anteriores, et , sent , t 2 , figura 3.2.1. a),b),c) presentan condiciones
suficientes por que presentan saltos finitos
1
f(t)
5
10
t
0
10
5
t
Figura 3.2.2 Ejemplo Ilustrativo 4
La figura 3.2.2 no garantiza la existencia de una transformada por que el exponente de la
función debe de ser mayor a 0.
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Definición 3.2.1 Función de orden exponencial
Se dice que una función
α , M > 0, N > 0 , tales que
f es de orden exponencial α si existen constantes
f (t ) ≤ Meα N ∀ t > N , podemos observar las siguientes
gráficas.
10
10
8
e
e
t
1
2
t
6
− 2t
5
4
e
2
t
10
5
0
5
10
2
0
2
t
5
t
a)
b)
5
2e
t
2 sin( t )
5
0
5
5
t
c)
Figura 3.2.5
Las figuras 3.25 [a), b) y c) ] son funciones de orden exponencial ya que f (t ) es menor
en cualquier segmento de (0, ∞) para valores de α = 1 y t>0 .
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