Ingeniería de Control

Dr. Virgilio Vásquez L
Depto de Mecatrónica y Automatización
ITESM-CEM
Ingeniería de Control
Virgilio Vásquez López
Mayo del 2005
Dr. Virgilio Vásquez L
Depto de Mecatrónica y Automatización
ITESM-CEM
Resumen
.
Dr. Virgilio Vásquez L
Depto de Mecatrónica y Automatización
ITESM-CEM
Índice general
1. Introducción a los sistemas de control
1.1. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Teoremas de la Transformada de Laplace . . . . . . . . .
1.3. Transformada Inversa de Laplace . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Método de Fracciones Parciales . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Solución de ecuaciones diferenciales lineales e invariantes
tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1. Clasificación de la función de transferencia . . . .
. .
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. .
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en
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el
. .
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3
4
5
8
8
10
12
2. Diagrama a bloques
15
2.1. Gráfica de flujo de señales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.2. Algebra de Bloques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3. Modelado matemático
21
3.1. Sistemas Eléctricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.2. Sistemas Mecánicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4. Respuesta transitoria
4.1. Sistemas de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1. Respuesta al escalón unitario . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2. Respuesta a la rampa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.3. Respuesta al impulso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.4. Propiedad de los sistemas lineales invariantes en el tiempo
4.2. Sistemas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1. Sistemas subamortiguados . . . . . . . . . . . . . . . . . .
26
26
26
28
29
29
31
32
5. Estabilidad
37
5.1. Criterio de Routh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
5.1.1. Casos especiales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
5.2. Rango de estabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
6. Lugar de las raíces
42
6.1. Condición de magnitud y ángulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
6.2. Reglas para el trazado del lugar de las raíces . . . . . . . . . . . 43
6.3. Obtención detallada del lugar de las raíces . . . . . . . . . . . . . 44
1
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7. Análisis de error en estado estable
50
8. Tecnicas de diseño y compensación
52
8.1. Efectos de la adición de polos y ceros . . . . . . . . . . . . . . . . 52
8.2. Diseño usando el método del lugar de las raíces . . . . . . . . . . 53
9. Controladores PID
9.1. Reglas de sintonización de Ziegler-Nichols
9.1.1. 1ra. Regla de Ziegler-Nichols . . .
9.1.2. 2da. Regla de Ziegler-Nichols . . .
9.2. Método análítico utilizando el lugar de las
.
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58
59
59
61
64
10.Análisis en frecuencia
10.1. Diagramas de Bode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.1.1. Trazas de Bode de factores básicos . . . . . . . . . .
10.1.2. Sistemas de fase mínima y de fase no mínima . . . .
10.2. Criterio de Nyquist . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2.1. Margen de ganancia y margen de fase . . . . . . . .
10.3. Diseño de compensadores utilizando el análisis en frecuencia
.
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67
67
68
75
76
78
80
2
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. . . .
. . . .
raíces
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Capítulo 1
Introducción a los sistemas
de control
Un sistema de control es una interconexión de componentes que proporciona
una respuesta deseada. La base para el análisis de un sistema es el fundamento
proporcionado por la teoría de los sistemas lineales, que supone una relación
causa-efecto en sus componentes. Por tanto, un componente o proceso que vaya
a ser controlado puede ser representado por un bloque tal y como se muestra
en la figura 1.1
Figura 1.1: Proceso a controlar
Un sistema de control en lazo abierto utiliza un regulador o actuador de
control para obtener una respuesta deseada, tal como se muestra en la figura
1.2Un sistema de lazo abierto es un sistema sin retroalimentación. En contraste,
un sistema de control en lazo cerrado utiliza una medida de la salida real, para
compararla con la señal deseada. La lectura de la salida se denomina señal
de retroalimentación. En la figura 1.3 se muestra un sistema de control con
retroalimentación en lazo cerrado Un ejemplo de un sistema de control en lazo
abierto es un tostador eléctrico en la cocina. Un ejemplo de un sistema de control
en lazo cerrado es una persona que conduce un automóvil al mirar la posición
del coche en la carretera y realizar los ajustes necesarios para no chocar [4]
3
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Figura 1.2: Sistema de control en lazo abierto
Figura 1.3: Sistema de control en lazo cerrado
1.1.
Transformada de Laplace
En esta sección se realizará un breve repaso de la transformada de Laplace
y se discutirá su aplicación en la solución de ecuaciones diferenciales invariantes
en el tiempo.
Considere una función f (t) definida para toda t ≥ 0. La transformada de
Laplace de f (t) denotado por F (s), se define como
F (s) = £ {f (t)} =
Z∞
e−st f (t)dt
(1.1)
0−
donde s es una variable compleja, llamada también variable de la transformada
de Laplace. El límite inferior de la integral 0− significa que el límite se aproxima
a cero desde un valor negativo1 .
1 Se considera que el problema de existencia y unicidad se satisfacen para todas las funciones
a utilizar en este curso, es decir, que todas las funciones tiene transformada de Laplace
4
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Ejemplo 1 Determine la transformada de Laplace de la función escalón unitaria u(t), definida como
½
1 t≥0
u(t) =
0 t<0
Solución 2 Utilizando la ec. (1.1)
£ {u(t)} =
Z∞
−st
e
u(t)dt =
0
Z∞
e−st dt = −
0
Recuerde que
lı́m e−st = 0
y
t→∞
1 −st ¯¯∞ 1
e
=
0
s
s
lı́m e−st = 1
t→0
Ejemplo 3 Determine la transformada de Laplace de la función u(t − α)
½
1 t≥α
u(t − α) =
0 t<α
Ejercicio 4 Solución 5 Utilizando la ec. (1.1)
£ {u(t − α)} =
Z∞
−st
e
u(t−α)dt =
0
Zα
−st
e
α
0
Recuerde que
lı́m e−st = 0
t→∞
Z∞
¯∞ e−αs
1
·0·dt+ e−st dt = − e−st ¯α =
s
s
lı́m e−st = e−αs
y
t→α
Ejercicio 6 Determine la transformada de Laplace de la función f (t) = t
1.2.
Teoremas de la Transformada de Laplace
No es conveniente usar la definición (1.1) cada vez que deseamos determinar la transformada de Laplace de una función f (t), por ejemplo, el calculo
de £{et t sin(t)} es sin exagerar, extremadamente laboriosa. En la siguiente discusión presentamos varios teoremas que permiten ahorrar el trabajo de obtener
la transformada de Laplace de una función.
Propiedad de la linealidad
La transformada de laplace es lineal
£ {α1 f1 (t) + α2 f2 (t)} = α1 £ {f1 (t)} + α2 £ {f2 (t)}
donde α1 y α2 son constantes
5
(1.2)
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Traslación compleja
Si α es un número real cualquiera, entonces
ª
©
£ e−αt f (t) = F {s + α}
(1.3)
donde £ {f (t)} = F {s} . Este teorema también es conocido como primer teorema de la traslación
Ejemplo 7 Determine la transformada de Laplace de la función en el tiempo
g(t) = e−2t (t + 3)
Solución 8 Por el teorema de la linealidad (1.2)
ª
©
ª
©
ª
©
G(s) = £ e−2t (t + 3) = £ e−2t t + 3£ e−2t
Considérese únicamente el primer término del lado derecho y note que de acuerdo al teorema de la traslación compleja f (t) = t, α = 2 y F (s) = s12 , por lo
tanto
©
ª
1
£ e−2t t = F {s + 2} =
(s + 2)2
Ahora considere el segundo término del lado derecho y note que f (t) = 1, α = 2
y F (s) = 1s , por lo tanto
Finalmente
©
ª
£ e−2t = F {s + 2} =
ª
©
G(s) = £ e−2t (t + 3) =
1
(s + 2)
1
2
(s + 2)
+
1
(s + 2)
Ejercicio 9 Determine la trasnformada de Laplace de las siguientes funciones
1.
g(t) = e−αt sen(ωt)
2.
g(t) = e−αt cos(ωt)
Derivada de una transformada
Para n = 1, 2, 3, ..
£ {tn f (t)} = (−1)n
dn
F (s)
dsn
donde F (s) = £ {f (t)} . Por ejemplo, para n = 1, se tiene
£ {tf (t)} = (−1)
d
F (s)
ds
Ejercicio 10 Determine la transformada de Laplace de la función f (t) = te−t ,
utilizando
6
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1.
Teorema de la traslación compleja
2.
Multiplicación por t
Ejercicio 11 Obtenga la transfromada de Laplace de g1 (t) = t2 ; g2 (t) = tsen(t);
g3 (t) = t2 sen(t)
Ejercicio 12 Obtenga la transformada de Laplace de g(t) = te−t cos(t)
Segundo teorema de traslación
Si α > 0, entonces
£ {f (t − α)u(t − α)} = e−αs F {s}
donde F (s) = £ {f (t)}
Ejemplo 13 Para comprender este teorema, obtenga las gráficas de estas funciones:
1.
f (t) = t
2.
f (t − 1)
3.
f (t)u(t − 1)
4.
f (t − 1)u(t − 1)
Ejercicio 14 Determine la transformada de Laplace de los incisos anteriores
¿Son iguales?
Ejercicio 15 Determine la Transformada de Laplace de u(t − 2)
Ejercicio 16 Determine la transformada de Laplace de las siguientes funciones
7
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1.3.
Transformada Inversa de Laplace
El proceso matemático de pasar de la expresión en variable compleja a la
expresión en función del tiempo se denomina Transformacion Inversa. Como
notación para la transformación inversa se utiliza£−1 , de modo que
£−1 {F (s)} = f (t)
Existen diversos métodos para determinar la transformada inversa de Laplace,
por ejemplo, utilizar una tabla de transformada de Laplace. En este caso, la
transformada de Laplace debe aparecer en forma inmediatamente reconocible.
Frecuentemente la función buscada puede no aparecer en las tablas de las que
se disponen, en este caso se puede simplificar utlizando la técnica de fracciones
parciales y escribir F (s) en términos de funciones simples de s, para los cuáles
las transformadas inversas sean facilmente identificables
1.4.
Método de Fracciones Parciales
En problemas de teoría del control, la transformada de Laplace de la función
f (t), frecuentemente es de la forma
F (s) =
N (s)
D(s)
donde N (s) y D(s) son polinomios en s y el deg N (s) < deg D(s)2 . Si F (s) se
descompone en sus componentes
F (s) = F1 (s) + F2 (s) + ... + Fn (s)
sus transformadas inversa de Laplace pueden ser obtenidas más fácilmente
£−1 {F (s)} = £−1 {F1 (s)} + £−1 {F2 (s)} + ... + £−1 {Fn (s)}
= f1 (t) + f2 (t) + ... + fn (t)
Raíces reales y diferentes
Sea F (s) escrita en su forma factorizada
F (s) =
N (s)
N (s)
=
D(s)
(s + p1 )(s + p2 )...(s + pn )
donde p1 , p2 ,...,pn son cantidades reales o complejas, pero para cada complejo
p debe aparecer su respectivo conjugado. Si p1 6= p2 6= ... 6= pn , es decir F (s)
contiene raíces distintas, puede expandirse como:
F (s) =
2 deg
a1
a2
an
+
+ ... +
s + p1 s + p2
s + pn
(degree) grado del polinomio
8
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donde las ai son constantes y se denominan residuos de la raíz s = −pi . La
fórmula para obtener el residuo es
¸
·
N (s)
ai = (s + pi )
D(s) s=−pi
Ejercicio 17 Determine la transformada inversa de Laplace de
F (s) =
1
s(s + 1)(s + 2)
Raíces Repetidas
Sea F (s) escrita en forma factorizada
F (s) =
N (s)
N (s)
=
r
D(s)
(s + p1 ) (s + pr+1 ) + ... + (s + pn )
es decir, existen r raíces múltiples y n − r raíces diferentes. la expansión de F (s)
en fracciones parciales es
F (s) =
br
br−1
b1
ar+1
an
+
+ ... +
+
+
(s + p1 )r
(s + p1 )r−1
s + p1 s + pr+1 s + pn
donde br , br−1 , b1 están dados por
h
i
(s)
br = (s + p1 )r N
D(s)
s=−p
n h
io 1
d
r N(s)
br−1 = ds (s + p1 ) D(s)
s=−p1
br−j =
b1 =
n
n
1 dj
j! dsj
dr−1
dsr−1
..
h .
io
(s)
(s + p1 )r N
D(s)
..
.
s=−p1
h
io
(s)
(s + p1 )r N
D(s)
s=−p1
Ejercicio 18 Determine la transformada inversa de Laplace de la siguiente función
1
F (s) = 2
s (s + 1)(s + 2)
Ejercicio 19 Determine la transformada inversa de Laplace de la siguiente función
s2 + 2s + 3
F (s) =
(s + 1)3
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Raíces complejas y conjugadas
Si la función F (s) incluye un par de raíces complejas y conjugadas, es conveniente no expandir F (s) en las fracciones parciales usuales, sino en una suma
de una función seno y una función coseno amortiguadas
Ejercicio 20 Determine la transformada inversa de Laplace de la siguiente función
s+6
F (s) = 2
s + 2s + 2
Caso General
Este se elustrará con un ejemplo:
Ejercicio 21 Determine la transformada inversa de Laplace de la siguiente función
1
F (s) =
s (s2 + 2s + 2)
1.5.
Solución de ecuaciones diferenciales lineales
e invariantes en el tiempo
En esta sección estamos interesados en el uso del método de la transformada de Laplace para solucionar ecuaciones diferenciales lineales e invariantes
en el tiempo (EDLIT). Este método lleva a la solución completa (solución homogénea y solución particular) de EDLIT. Los métodos clásicos para encontrar
la solución completa de una ecuación diferencial requieren la evaluación de las
constantes de integración a partir de las condiciones iniciales. En el caso del
método de la transformada de Laplace, este requisito es innecesario debido a
que las condiciones iniciales se incluyen automáticamente en la Transformada
de Laplace de la ecuación diferencial
Remark 22 Si todas las condiciones iniciales son cero, entonces la transford
mada de Laplace de la ec. diferencial se obtiene simplemente reemplazando dt
2
d
2
por s, dt
y así sucesivamente.
2 por s
Teorema de la diferenciación en el tiempo
Sea F (s) = £ {f (t)} . Entonces
©d
ª
£ dt
f (t) = sF (s) − f (0)
o
d2
£ dt
= s2 F (s) − sf (0) − f (1) (0)
2 f (t)
..
.
ª
© dn
£ dtn f (t) = sn F (s) − sn−1 f (0) − sn−2 f (1) (0) − . . . − f (n−1) (0)
n
donde f (i) (0) denota la i − th derivada de f (t) en t = 0
10
¥
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La respuesta de un sistema lineal e invariante en el tiempo se descompone
en:
1. Respuesta a entrada cero
2. Respuesta a edo. cero
Ejemplo 23 Solucione la ec. diferencial
d2 y(t)
du(t)
dy
− u(t)
+ 3 + 2y(t) = 3
2
dt
dt
dt
(1.4)
3s − 1
(s + 3)y(0) + ẏ(0) − 3u(0)
+ 2
U (s)
2
s + 3s + 2
s + 3s + 2
(1.5)
Solución 24
Y (s) =
Esta ecuación revela que la solución de (1.4) es parcialmente excitada por la
entrada u(t), t ≥ 0, y parcialmente excitada por las condiciones iniciales y(0),
ẏ(0) y u(0). Estas condiciones iniciales son llamados el estado inicial. El estado
inicial es excitado por una entrada aplicada antes de t = 0, la forma en que la
ecuación diferencial adquiere el estado inicial, es inmaterial para el estudio de
la ecuación diferencial.
Respuesta a entrada cero. Polinomio característico
Considere la cuación (1.4). Si u(t) = 0 para t ≥ 0, entonces (1.4) se reduce a
d2 y(t)
dy
+ 3 + 2y(t) = 0
2
dt
dt
(1.6)
la cual es llamada la ecuación homogénea. La solución de la ecuación diferencial
(1.6) es
y(t) = k1 e−t + k2 e−2t
No importa como sean las condiciones iniciales, la respuesta a entrada cero
es una combinación de las dos funciones e−t y e−2t . Las dos funciones son la
1
1
transformada inversa de Laplace de s+1
y s+2
. Las dos raíces −1 y −2 son
llamados modos del sistema. Los modos gobiernan la forma de la respuesta a
entrada cero del sistema
Caso general Considere una ecuación diferencial de orden n
an y (n) (t) + an−1 y (n−1) (t) + ... + a1 y (1) (t) + a0 y(t) =
bm u(m) (t) + bm−1 u(m−1) (t) + ... + b1 u(1) (t) + b0 u(t)
(1.7)
i
di y(t)
d
, u(i) (t) = ddtut)
(i) . Se define el operador diferencial p = dt ,
dt(i)
2
dy
d y
2
dt , p y(t) = dt2 , ...Utilizando esta notación, la ecuación (1.7)
donde y (i) (t) =
es decir py(t) =
puede escribirse como
D(p)y(t) = N (p)u(t)
11
(1.8)
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donde
D(p) = an p(n) + an−1 p(n−1) + ... + a1 p(1) + a0
N (p) = bm p(m) + bm−1 p(m−1) + ... + b1 p(1) + b0
(1.9)
En el estudio de la respuesta a entrada cero, se asume que u(t) = 0. Entonces
(1.8) se reduce a
D(p)y(t) = 0
(1.10)
Esta es llamada la ecuación homógenea, su solución es exclusivamente excitada
por las condiciones iniciales. Al aplicar la transformada de Laplace a (1.10) se
obtiene
I(s)
Y (s) =
D(s)
donde D(s) es definido en (1.9) con p reemplazado por s e I(s) es un polinomio
en s que depende de las condiciones iniciales. Al polinomio D(s) le denominamos
polinomio característico, debido a que gobierna la respuesta libre, natural o no
forzada del sistema. Las raíces del polinomio D(s) son llamados los modos del
sistema
Respuesta a estado cero. Función de transferencia
Considere nuevamente la ecuación (1.4), es decir
d2 y(t)
du(t)
dy
− u(t)
+ 3 + 2y(t) = 3
dt2
dt
dt
(1.11)
sabemos que la respuesta de este sistema es parcialmente excitada por las condiciones iniciales y parcialmente excitada por la señal de entrada. Si todas las
condiciones iniciales son iguales a cero, la respuesta es excitada exclusivamente
por la entrada y es llamada respuesta a estado cero. En el dominio complejo, la
respuesta de (1.11) es gobernada por
Y (s) =
3s − 1
U (s) := G(s)U (s)
s2 + 3s + 2
donde G(s) = s23s−1
+3s+2 es denominada función de transferencia. La función de
transferencia se define como la relación entre la transformada de Laplace de la
salida con respecto a la transformada de Laplace de la entrada, considerando
las condiciones iniciales igual a cero
¯
¯
Y (s) ¯¯
£ {salida} ¯¯
G(s) =
=
U (s) ¯c.i.=0
£ {entrada} ¯c.i.=0
La función de transferencia describe únicamente la respuesta a estado cero.
1.5.1.
Clasificación de la función de transferencia
Considere la función
G(s) =
12
N (s)
D(s)
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donde N (S) y D(s) son dos polinomios con coeficientes reales. Sí
deg N (s) > deg D(s)
G(s) es llamada función de transferencia impropia.
Si
deg N (s) ≤ deg D(s)
G(s) es llamada función de transferencia propia. Es estrictamente propia si
deg N (s) < deg D(s), bipropia si deg N (s) = deg D(s). Las funciones de
transferencia propias, incluyen las estrictamente propias y las bipropias.
Ejemplo 25 Clasifique las siguientes funciones de trasnferencia
2
1
s2 − 1 s − 1
s
s+1
s+2 s+1
POLOS y CEROS
Considere la función de transferencia
G(s) =
N (s)
D(s)
donde N (s) y y D(s) son dos polinomios con coeficientes reales y deg N (s) ≤
deg D(s).
Definición 26 Un número complejo o real λ es un polo de G(s) si |G(λ)| = ∞,
donde |·| denota valor absoluto. Es un cero de G(s) si G(λ) = 0.
Ejemplo 27 Considere la siguiente función de trasnferencia
¡
¢
2 s2 + 4s + 3
G(s) =
(s − 1) (s + 1) (s + 2)
Se tiene que
¡
¢
2 (−2)2 + 4(−2) + 3
−2
G(−2) =
=
=∞
((−2) − 1) ((−2) + 1) ((−2) + 2)
0
Por lo tanto −2 es un polo de G(s). Claramente −2 es una raíz de D(s). ¿Toda
raíz de D(s) es un polo de G(s)? Para contestar esta pregunta determine G(−1)
G(−1) =
0
0
el cuál no está definido. Utilizando la regla de L´Hopital, tenemos
¯
¯
N (s) ¯¯
N 0 (s) ¯¯
4
G(−1) =
6= ∞
=
=
D(s) ¯s=−1
D0 (s) ¯s=−1 −2
13
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Por lo tanto, no todas las raíces de D(s) son los polos de G(s). Factorizando
N (s) y cancelando factores comúnes se tiene
G(s) =
2 (s + 3)
2 (s + 3) (s + 1)
=
(s − 1) (s + 1) (s + 2)
(s − 1) (s + 2)
G(s) tiene un cero en −3 y dos polos en 1 y −2.
Del ejemplo anterior, si los polinomios N (s) y D(s) no tienen factores comúnes,
todas las raíces de N (s) y D(s) son, respectivamente, los ceros y los polos de
G(s). Si N (s) y D(s) no tienen factores comúnes se dice que son coprimos y
G(s) es irreducible.
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Capítulo 2
Diagrama a bloques
Un sistema de control puede tener varios componentes que muestren las
funciones que cada uno de ellos realiza en un sistemas de control. Debido a
que se puede calcular la respuesta de una función de transferencia, es deseable
representar otros sistemas más complicados por la interconexión de numerosos
subsistemas como una sola función de transferencia. En esta sección se analizará
las técnicas para convertir cada representación en una sola función de transferencia.
Los diagramas a bloques son usados para describir las partes que conforman
a un sistema. Un bloque es usado para indicar una relación entre las señales de
entrada y de salida de un sistema. Un sumador es usado para mostrar la adicción
y sustracción de señales. Un sumador puede tener una infinidad de señales de
entrada, pero una única salida. Una unión indica que una señal se distribuye en
varios caminos.
(a) Diagrama a bloques, (b) Punto suma, (c) Punto de derivacin
2.1.
Gráfica de flujo de señales
Las gráficas del flujo de señales son una alternativa a los diagramas de bloques. A diferencia de ellos que estan formados por bloques, señales, puntos suma
y puntos de derivación, una gráfica de flujo de señales está formado solo por ramas y nodos que representan sistemas y señales respectivamente. Un sistema
está representado por una línea con una flecha que muestra la dirección del flu-
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jo de las señales en el sistema. Adyacente a la línea escribimos la función de
transferencia.
Ejemplo 28 Obtenga la representación en gráfico de flujo del siguiente diagrama a bloques
Regla de Mason
La regla de Mason para reducir una gráfica de flujo de señales a una sola
función de transferencia requiere la aplicación de una fórmula. La fórmula de
Mason tiene varios componentes que deben evaluarse, para lo cuál se estudian
algunas definiciones básicas y después de esto, se expresa la fórmula de Mason
y algunos ejemplos.
Definición 29 Trayecto directo. Trayecto que va de un nodo de entrada a un
nodo de salida sin pasar por ningún otro nodo más de una vez,y siguiendo la
dirección dirección del flujo de señales
Definición 30 Ganancia de trayecto directo. Es el producto de ganancias de
las ramas encontradas al recorrer el trayecto directo
Definición 31 Malla o lazo. Trayecto que inicia en un nodo y termina en el
mismo nodo sin pasar por ningún otro nodo más de una vez, y siguiendo la
dirección del flujo de señales
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Definición 32 Ganancia de malla. Es el producto de ganancias de las ramas
encontradas al recorrer la malla o lazo
Definición 33 Mallas o lazos que no se tocan. Son lazos que no tienen nodos
en común.
Ejemplo 34 Determine el número de trayectos directos, la ganancia del trayecto directo, los lazos, lazos disjuntos de dos en dos, lazos disjuntos de tres en tres,
etc., así como las ganancias correcpondientes del siguiente diagrama
La función de transferencia
gráfica de flujo de señales es
Y (s)
R(s)
de un sistema sistema representado por una
Y (s)
=
R(s)
X
Tk ∆k
k
∆
(2.1)
Donde:
k = Número de trayectos directos
Tk = k-ésima ganancia del trayecto directo
∆k = Cofactor
trayecto directo
X del
Xk-ésimo
X
∆=1−
la +
lbc −
ldef + ...
X
l = Ganancias de malla simple
X a
l = Ganancias de malla dobles
X bc
ldef = Ganancias de malla triples
Nótese los signos alternados para los componentes de ∆.
Ejercicio 35 Obtenga la función de transferencia del ejemplo 28
2.2.
Algebra de Bloques
Un sistema se representa como un bloque con una entrada, una salida y una
función de transferencia. Diversos sistemas están compuestos de subsistemas
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múltiples. A continuación analizaremos algunas formas de interconexión y deducción de representaciones únicas de la función de transferencia que servirán
como base para convertir sistemas más complicados en un solo bloque
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Ejercicio 36 Determine la función de transferencia de lazo cerrado del diagrama a bloques del ejemplo 28
Ejercicio 37 Obtenga la función de transferencia del siguiente diagrama a bloques
Ejercicio 38 Obtenga la función de transferencia del siguiente diagrama a blo-
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