CI Más ejercicios de transformada inversa de Laplace

CI_UII Más ejercicios de Transformada de Laplace y Transformada inversa de Laplace
511
Apéndice CI_UIII Más ejercicios de Transformada de Laplace y Transformada
inversa de Laplace
Ejemplos de la Sección 3.6, propiedades de la trasformada de Laplace (linealidad,
teoremas de traslación)
Ejemplo CI.1 L {te5t } = L {t} s → s −5 , entonces F ( s ) =
Ejemplo CI.2 L {t 3 e − t } = L {t 3 }
{
Ejemplo CI.3 L t ( e −t + e−2t )
2
s → s +1
entonces F ( s ) =
} = L{t ( e
L {t} s → s + 2 + 2 L {t} s → s +3 + L {t} s → s + 4 =
−2 t
=
s → s −5
}
1
( s + 2)
2
+2
s → s +1
1
( s − 5)
2
3!
6
=
4
s s = s +1 ( s + 1)4
+ 2e−3t + e −4t )
Ejemplo CI.4 L {e − t sen ( 2t )} = L {sen ( 2t )}
F (s) =
1
s2
1
( s + 3)
2
entonces
+
1
( s + 4)
2
entonces
2
2
=
s + 4 s → s −1 ( s + 1)2 + 4
2
Ejemplos de la sección 3.14, transformada inversa
Ejemplo CI.5 Determinar f (t ) siendo F ( s ) =
1
s +9
2
De tal manera que de acuerdo a la tabla 3.1 podemos utilizar la fórmula
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 k 
L−1  2
= sen(kt )
2 
s + k 
Siendo k 2 = 9 , entonces k = 3 , observamos que no tenemos ese valor en el numerador, por
lo que podemos multiplicar y dividir entre 3 , recordemos que una transformada es una
integral, de tal manera que podemos multiplicar y dividir entre una constante, y no se
altera.
 1  1 −1  3 
Así L−1  2
= L  2

s + 9 3
s + 9
Por lo que antitransformando f (t ) =
1
sen ( 3t )
3
 1 
Ejemplo CI.6 Determinar L−1  2

s + 7
Observando que k 2 = 7 por lo que k = 7 , debemos multiplicar y dividir por esa
constante, para completar la función y así aplicar la fórmula directa.
 1  1 −1  7 
L−1  2
L  2
=

7
s + 7
 s + 7 
1
 k 
= sen(kt ) , por lo que f (t ) =
Al antitransformar aplicamos L−1  2
sen
2 
7
s + k 
( 7t )
Ejemplos de la sección 3.16, propiedades de la trasformada inversa (linealidad,
traslación)
Ejemplo CI.7 Encontrar la transformada inversa de Laplace
{
(1 − e
−t
+ 3e 4t ) cos ( 3t )
}
L (1 − e − t + 3e 4t ) cos ( 3t ) = L {cos ( 3t )} − L {e− t cos ( 3t )} + 3L {e 4t cos ( 3t )}
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F (s) =
s
− L { cos ( 3t )}
+ 3L {cos ( 3t )}
s → s +1
s→s−4
s + 32
F (s) =
( s + 1)
( s − 4)
s
−
+3
2
2
s + 9 ( s + 1) + 9
( s − 4) + 9
2
2
Ejemplo CI.8 Determinar la transformada inversa de
 1 
−1  1
=
L−1 
L

 3
3
s
 ( s + 3) 
F (s) =
513
 1 −1  2
= L  3
2
s→s +3 
s
1
( s + 3)
3

 entonces
s → s +3 
1 2 −3t
t e
2
Ejemplo CI.9 Determinar
1


L−1  2

 s − 4s + 10 


1
1


−1 
entonces
Haciendo L−1  2
=L 

2
 s − 4 s + 10 
 ( s − 2 ) + 6 
 1
 1 −1  6  2t
1
L−1  2
L  2
sen ( t ) e3t
=
 e , o sea f ( t ) =
6
6
 s + 6 
 s + 6 s→s −2 
Ejemplo CI.10 Determinar la transformada inversa de
s
s + 6s + 10
2


s
s


−1 
L
Reacomodando el denominador L−1  2
=

 2

 s + 6s + 10 
 ( s + 6s + 9 + 1) 
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



s
−1  s + 3 − 3 
Completando el numerador L−1 
=
L



2
2
 ( s + 3) + 1 
 ( s + 3) + 1 

3
3
 ( s + 3)
 −1  s
Separando términos L−1 
−
− 2
= L  2

2
2
 s + 1 s → s +3 s + 1 s →s +3 
 ( s + 3) + 1 ( s + 3) + 1 
1  −3t
 s  −3t
−1 
Aplicando el teorema de traslación f ( t ) = L−1  2
 e − 3L  2
e
 s + 1
 s + 1
Transformando inversamente f ( t ) = cos ( t ) e −3t − 2 sen ( t ) e −3t
Ejemplos de la sección 3.16.1, determinación de la trasformada inversa mediante el
uso de las fracciones parciales
Ejemplo CI.11 Determinar la transformada inversa de F ( s ) =
s
( s + 2)
2
Descomponiendo en fracciones parciales
s
( s + 2)
2
=
A
( s + 2)
2
+
B
( s + 2)
(1)
Multiplicando por el denominador del lado derecho del igual resulta s = A + Bs + 2 B
Factorizando s = ( A + 2 B ) + Bs , Asociando coeficientes de potencias iguales obtenemos
B =1
(2)
A + 2B = 0
(3)
Entonces sustituyendo (2) en (3) resulta
A = −2
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(4)
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Sustituyendo (2) y (4) en (1), obtenemos
 s 
 −2 
 1 
−1 
L−1 
L
=
+ L-1 



2
2 
s + 2
 ( s + 2 ) 
 ( s + 2 ) 
(5)
Aplicando a (5) el teorema de traslación en s
 s 
1
L−1 
= −2L-1  2
2 
s
 ( s + 2 ) 

-1  1 
+L 

s + 2
s→s+2 
 s 
1
 1 
−2 t
−2 t
L−1 
= −2L-1  2  e −2t + L-1 
 Resultando f (t ) = −2te + e
2 
s 
s + 2
 ( s + 2 ) 
Ejemplo CI.12 Resolver la transformada inversa de F ( s ) =
2s − 2
s
2
( s + 1)
3
Descomponiendo en fracciones parciales
2s − 2
s
2
( s + 1)
3
=
A B
C
D
E
+ +
+
+
2
3
2
s ( s + 1) ( s + 1)
s +1
s
Multiplicando por s 2 ( s + 1)
(6)
3
2s − 2 = A ( s + 1) + B ( s )( s + 1) + Cs 2 + Ds 2 ( s + 1) + Es 2 ( s + 1)
3
3
Haciendo s = −1 , sustituyendo en (7) -4 = C ( −1)
2
(7)
2
C = -4
(8)
Haciendo s = 0 y sustituyendo en (7), obtenemos -2 = A , o bien
A = -2
(9)
Desarrollando los binomios al cubo y al cuadrado
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2s − 2 = −2s 3 − 6s 2 − 6s − 2 + Bs 4 + 3Bs 3 + 3Bs 2 + Bs + −3s 2 + Ds 3 + Ds 2 + Es 4 + 2 Es 3 + Es 2
Agrupando
2s − 2 = s 4 ( B + E ) + s 3 (−2 + 3B + D + 2 E ) + s 2 (−6 + 3B − 3 + D + E ) + s (−6 + B) − 2
Reduciendo términos
Para s 4 : Bs 4 + Es 4 = s 4 ( B + E )
(10)
Para s 3 : − s 3 + 3Bs 3 + Ds 3 + 2 Es 3 = s 3 (−2 + 3B + D + 2 E )
(11)
Para s 2 : −3s 2 + 3Bs 2 − 3s 2 + Ds 2 + Es 2 = s 2 (−9 + 3B + D + E )
(12)
Para s : −3s + Bs = s (−6 + B)
(13)
De (13) −6 + B = 2 , por lo que
B =8
(14)
De (10) B + E = 0 por lo tanto E = − B entonces
E = −8
(15)
De (11) −2 + 3B + D + 2 E = 0 , o bien
3B + D + 2 E = 2
(16)
De (12) −9 + 3B + D + E = 0 o bien
3B + D + E = 9
(17)
De tal manera que sustituyendo (14) y (15) en (16)
3 ( 8 ) + D + 2 ( −8 ) = 2 obtenemos
D = −6
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(18)
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Sustituyendo los valores encontrados( (8), (9),(14), (15), (18)) en (6), obtenemos
2s − 2
s 2 ( s + 1)
3
−2 8
−4
−6
−8
+ +
+
+
2
3
2
s ( s + 1) ( s + 1)
s +1
s
=
(19)
Aplicando la inversa a (19) tenemos
1
 2s − 2 
1
1 
L−1  2
= −2L−1  2  + 8L−1   − 4L−1  3
3 
s 
s
 s ( s + 1) 
s

-1  1
 − 6L  2
s → s +1 
s


-1  1
 − 8L 

s → s +1 
 s s → s +1 
Resultando f (t ) = 8 − 2t − 8e− t − 6te− t − 2t 2 e− t
El resultado en MathCad sería
L
2.s
1
2.
s (s
2
1)
3
2.t
8
2
2 . t . exp( t )
6 . t . exp( t )
8 . exp( t )
2
O sea f( t ) 2 .t 8 2 .t . exp( t ) 6. t . exp( t ) 8. exp( t )
Ejemplo CI.13 Encontrar la transformada inversa de F ( s ) =
Factorizando el denominador
Separando los términos
6s + 3
6s + 3
=
2
s + 8s + 16 ( s 2 + 4 )2
4
6s + 3
(s
2
6s + 3
s + 8s 2 + 16
4
+ 4)
2
Aplicando fórmula L {tsen ( kt )} =
=
6s
(s
2
+ 4)
2
2ks
(s
2
+ k2 )
2
+
3
(s
2
+ 4)
2
y L {sen ( kt ) − kt cos ( kt )} =
2k 3
(s
2
+ k2 )
2
Completando








s
1


 6 −1  4 s  3 −1  16 
−1 
Por lo que
+ 3L 
= L 
+ L 
6L 
2 
2 
2 
2 
2
2
2
2
 ( s + 4 ) 
 ( s + 4 )  4
 ( s + 4 )  16
 ( s + 4 ) 
−1
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3
3
tsen ( 2t ) +  sen ( 2t ) − 2t cos ( 2t ) 
2
16
f (t ) =
3
3
3
Simplificando f (t ) = − t cos ( 2t ) + tsen ( 2t ) + sen ( 2t )
8
2
16
La solución en MathCad sería
L
6s
1
s
4
8s
3
2
3. .
t cos ( 2 . t )
8
16
3. .
t sin ( 2 . t )
2
3.
sin ( 2 . t )
16
Ejemplo CI.14 Determinar la solución de y '' − 4 y ' + 4 y = te 2t con condiciones iniciales de
y (0) = y ' (0) = 0
Transformando cada término
s 2Y ( s ) − sy (0) − y ' (0) − 4sY ( s ) + 4 y (0) + 4Y ( s ) =
1
(20)
( s − 2)
Sustituyendo condiciones iniciales en (20) y simplificando
s 2Y ( s ) − 4sY ( s ) + 4Y ( s ) =
Despejando Y ( s ) =
 1
Y (s) = 
 ( s − 2 )4

1
( s − 2)
1
( s − 2)
2
2
2
, factorizando Y ( s ) ( s 2 − 4s + 4 ) =
 1

 ( s − 2 )2

1
( s − 2)
2








 1
Antitransformando y ( t ) = L−1  4
 s
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(21)

 , aplicando el teorema de traslación
s →( s − 2 ) 

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y (t ) =
519
1 −1  3!  2t
1
L  4  e , simplificando y (t ) = t 3 e2t
9
3!
s 
Ejemplo CI.15 Determinar la transformada Inversa de Laplace de F ( s ) =
1
s −9
4
1
 1 
Descomponiendo el denominador en factores  4
= 2
 s − 9  ( s − 3)( s 2 + 3)
Desarrollando fracciones parciales
1
As + B Cs + D
= 2
+ 2
s −9 s −3
s +3
(22)
4
Multiplicando ambos lados del igual por el denominador obtenemos
1 = ( As + B ) ( s 2 + 3) + ( Cs + D ) ( s 2 − 3)
Desarrollando 1 = As 3 + 3 As + Bs 2 + 3B + Cs 3 − 3Cs + Ds 2 − 3D
Agrupando 1 = ( A + C ) s 3 + ( B + D ) s 2 + ( 3 A − 3C ) s + ( 3B − 3D )
Asociando coeficientes de igual potencia obtenemos
A+C = 0
(23)
B+D=0
(24)
3 A − 3C = 0
(25)
3B − 3 D = 1
De (23) y (25), resolviéndolas simultáneamente
3 A − 3C = 0
(26)
3 A + 3C = 0
6A
=0
Obtenemos A = 0 , C = 0
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3B − 3D = 1
De (24) y (26), resolviéndolas simultáneamente 3B + 3D = 0
6B
=1
Obtenemos B =
1
1
y D=−
6
6
Sustituyendo en (22) obtenemos
1
1 1  1 1 
=  2
− 

s − 9 6  s − 3  6  s2 + 3 
4
1 −1  3 
1 −1  3 
 1 
Por lo que completando L−1  4
L  2
L  2
=
−

s − 9 6 3
 s − 3  6 3
 s + 3 
Transformando inversamente
f (t ) =
1
6 3
senh 3t −
1
6 3
sen 3t f (t ) = −
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3
3
senh 3t −
sen 3t
18
18
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