4.2 Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales

4.2 Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones iniciales por medio de la trasformada de Laplace
340
4.2 Solución de un sistema de ecuaciones diferenciales lineales con condiciones
iniciales por medio de la trasformada de Laplace
Sistemas de Ecuaciones Lineales
Si se especifican los valores iniciales en sistemas de ecuaciones diferenciales lineales con
coeficientes constantes estos se convierten en un sistema que también puede resolverse ,
El procedimiento es similar al que ya que se ha empleado. De esta manera se utiliza la
transformada de Laplace para convertir un sistema de ecuaciones con valor inicial en un
sistema de ecuaciones algebraicas.
Una vez resuelto el sistema de ecuaciones algebraicas para la transformada de Laplace de
las variables dependientes, se utilizan las tablas de transformadas inversas de Laplace para
obtener una solución explícita.
Las ventajas de la transformada de Laplace incluyen tener automáticamente satisfechas las
condiciones iniciales y evitar la necesidad de hallar soluciones particulares. El
procedimiento se ilustra con los siguientes ejemplos.
En los siguientes problemas aplique la transformada de Laplace para resolver el sistema
respectivo de ecuaciones diferenciales lineales.
Ejemplo 4.2.1 Resolver el sistema de ecuaciones formado por
x´(t ) − 2 y (t ) = 4t
(1)
−4 x(t ) + 2 y (t ) + y´(t ) = −4t − 2
(2)
Bajo condiciones iniciales x(0) = 4, y (0) = -5 . [11]
Calculando la transformada de ambos lados de (1) y (2)
sX ( s ) − x(0) − 2Y ( s )
=
4
s2
−4 X ( s) + 2Y ( s ) + sY ( s) − y (0) = −
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4 2
−
s2 s
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341
Sustituyendo las condiciones iniciales y dejando las incógnitas del lado izquierdo
sX ( s ) − 2Y ( s ) =
4
+4
s2
(3)
−4 X ( s) + ( s + 2 ) Y ( s ) = −
4 2
− −5
s2 s
(4)
Factorizando y reacomodando (3) y (4) tenemos
4s 2 + 4
s2
(5)
⎛ 5s 2 + 2 s + 4 ⎞
−4 X ( s ) + ( s + 2 ) Y ( s ) = − ⎜
⎟
s2
⎝
⎠
(6)
sX ( s ) − 2Y ( s ) =
Multiplicando (5) por
( s + 2)
y multiplicando (6) por ( 2 ) obtenemos
⎛ 4s 2 + 4 ⎞
s ( s + 2 ) X (s) − 2 ( s + 2 ) Y ( s) = ⎜
⎟ ( s + 2)
2
⎝ s
⎠
(7)
⎛ 5s 2 + 2 s + 4 ⎞
−4 ( 2 ) X ( s ) + ( s + 2 )( 2 ) Y ( s ) = −2 ⎜
⎟
s2
⎝
⎠
(8)
Sumando (7) y (8) nos queda
⎛ 4 s 3 + 8s 2 + 4 s + 8 ⎞
s ( s + 2 ) X (s) − 2 ( s + 2 ) Y (s) = ⎜
⎟
s2
⎝
⎠
2
⎛ −10 s − 4s − 8 ⎞
−4 ( 2 ) X ( s) + ( s + 2 )( 2 ) Y ( s) = ⎜
⎟
s2
⎝
⎠
4s3 − 2s 2
( s + 2s − 8) X (s) = s 2
2
Simplificando y despejando
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⎛ ( 4s − 2 ) ⎞
X ( s) = ⎜⎜
⎟⎟
⎝ ( s + 4 )( s − 2 ) ⎠
342
(9)
Descomponiendo en fracciones parciales
( 4s − 2 ) = A + B , o bien 4s − 2 = As − 2 A + Bs + 4 B , agrupando
( s + 4 )( s − 2 ) s + 4 s − 2
4 s − 2 = ( A + B ) s + ( −2 A + 4 B ) por lo que A + B = 4 y −2 A + 4 B = −2 ,
2 A + 2B = 8
Resolviendo −2A + 4 B = −2 , de tal manera que B = 1 y A = 3
6B = 6
Separando los términos de (9), X ( s ) =
3
1
+
, antitransformando
( s + 4) ( s − 2)
x(t ) = 3e −4t + e2t
(10)
De la ecuación (1), podemos despejar y (t ) , obteniendo
y (t ) =
1
x´(t ) − 2t
2
(11)
Derivando (10), nos queda
x´(t ) = −12e −4t + 2e 2t
(12)
Por lo que sustituyendo (12) en (11), obtenemos
y (t ) =
1
−12e −4t + 2e 2t ) − 2t , finalmente y (t ) = −6e −4t + e2t − 2t
(
2
Ejemplo 4.2.2 Determinar la solución del siguiente sistema de ecuaciones iniciales
formado por (13) y (14)
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343
x' = 2 x − y
(13)
y' = − x + 2 y
(14)
Bajo condiciones iniciales x(0) = 2 y y ( 0 ) = 0
Transformamos cada término de la ecuación diferencial
L { x´} = 2L { x} − L{ y}
L { y´} = −L { x} + 2L { y}
Obteniendo
sX ( s ) − x ( 0 ) = 2 X ( s ) − Y ( s )
(15)
sY ( s ) − y ( 0 ) = − X ( s ) + 2Y ( s )
(16)
Sustituyendo las condiciones iniciales en (15) y (16) obtenemos
sX ( s ) − 2 = 2 X ( s ) − Y ( s )
(17)
sY ( s ) = − X ( s ) + 2Y ( s )
(18)
Factorizamos los valores que contienen X ( s ) y Y ( s ) de (17) y (18), reacomodamos las
ecuaciones.
( s − 2 ) X ( s ) + Y ( s) = 2
(19)
( s − 2 ) Y ( s) + X ( s) = 0
(20)
Resolvemos (19) y (20), multiplicando por ( −1) la ecuación (19) y por ( s − 2 ) la ecuación
(20) y posteriormente sumamos ambas ecuaciones.
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− ( s − 2) X ( s )
344
− Y ( s ) = −2
( s − 2 ) X ( s) + ( s − 2 )
2
Y ( s ) = 0 , despejamos el resultado
⎡( s − 2 )2 − 1⎤ Y ( s ) = −2
⎣
⎦
Y (s) = −
Y (s) = −
2
⎡( s − 2 ) − 1⎤
⎣
⎦
2
, o bien Y ( s ) = −
2
, por lo que factorizando
( s − 4 s + 3)
2
2
(21)
( s − 3)( s − 1)
Descomponiendo en fracciones parciales
−
2
( s − 3)( s − 1)
=
Quedaría Y ( s ) =
A
B
+
s − 3 s −1
(22)
A
B
+
s − 3 s −1
(23)
Multiplicando a (22) por el denominador de lado izquierdo del igual, obtenemos
−2 = A ( s − 1) + B ( s − 3)
(24)
Haciendo s = 3 , y sustituyendo en (24), obtenemos −2 = A ( 3 − 1) + B ( 3 − 3) , resulta
A = −1
(25)
Haciendo s = 1 , y sustituyendo en (24), obtenemos −2 = A (1 − 1) + B (1 − 3) , resulta
B =1
(26)
Sustituyendo (25) y (26) en (23) y aplicando la antitransformada
⎧ 1 ⎫ −1 ⎧ 1 ⎫
L−1 {Y ( s )} = −L−1 ⎨
⎬+L ⎨
⎬ , por lo que
⎩ s − 3⎭
⎩ s − 1⎭
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y (t ) = −e3t + et
345
(27)
Si derivamos (27), obtenemos
y´(t ) = −3e3t + et
(28)
Entonces sustituyendo (27) y (28) en (14), obtenemos
−3e3t + et = − x + 2 ( −e3t + et ) , por lo tanto
x ( t ) = 2 ( −e3t + e− t ) + 3e3t − et , o bien x ( t ) = et + e3t
Ejemplo 4.2.3 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales lineales
x´= 3x − 2 y
(29)
y´= 2 x − 2 y
(30)
Para x ( 0 ) = 2 y y ( 0 ) = 0
Transformamos cada término del sistema
sX ( s ) − x ( 0 ) = 3 X ( s ) − 2Y ( s )
(31)
sY ( s ) − y ( 0 ) = 2 X ( s ) − 2Y ( s )
(32)
Sustituyendo condiciones iniciales en (31) y (32), y reacomodando
( s − 3) X ( s ) + 2Y ( s ) = 2
(33)
−2 X ( s ) + ( s + 2 ) Y ( s ) = 0
(34)
Multiplicamos por 2 la ecuación (33) y por ( s − 3) la ecuación (34), y posteriormente las
sumamos
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2 ( s − 3) X ( s ) +
346
4Y ( s ) = 4
−2 ( s − 3) X ( s ) + ( s − 3)( s + 2 ) Y ( s ) = 0 , por lo que
⎡⎣( s − 3)( s + 2 ) + 4 ⎤⎦ Y ( s ) = 4
Y (s) =
Y (s) =
Donde
4
s −s−2
(35)
2
4
(36)
( s + 1)( s − 2 )
4
( s + 1)( s − 2 )
=
A
B
, por lo que 4 = ( A + B ) s + ( −2 A + B )
+
s +1 s − 2
2A + 2 B = 0
Haciendo A + B = 0 y −2 A + B = 4 , por lo tanto −2 A + B = 4 , así
3B = 4
A=−
4
4
y B=
3
3
(37)
Sustituyendo la fracción parcial en (36), y los valores de (37),
4
4
Y (s) = 3 + 3
s +1 s − 2
−
(38)
Por lo tanto antitransformando (38)
4
4
y (t ) = − e − t + e 2t
3
3
(39)
4
⎡
⎤
Sustituimos (36) en la ecuación (31), resulta ( s − 3) X ( s ) + 2 ⎢ 2
=2
⎣ s − s − 2 ⎥⎦
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347
⎛ 2 ( s + 2 )( s − 3) ⎞
8
⎛
⎞⎛ 1 ⎞
X (s) = ⎜ 2 − 2
⎟⎟
⎟⎜
⎟ , o bien X ( s ) = ⎜⎜
s − s − 2 ⎠⎝ s − 3⎠
⎝
⎝ ( s + 1)( s − 2 )( s − 3) ⎠
Simplificando X ( s ) =
2s + 4
( s + 1)( s − 2 )
2s + 4
A
B
=
+
( s + 1)( s − 2 ) s + 1 s − 2
Donde
2s + 4
A
B
, por lo que 2 s + 4 = ( A + B ) s + ( −2 A + B )
=
+
( s + 1)( s − 2 ) s + 1 s − 2
De tal manera que A + B = 2 y −2 A + B = 4 , resolviéndolas
− A − B = −2
2
8
−2 A + B = 4 , por lo que A = − , entonces B = , por lo tanto
3
3
−3 A = 2
2
8
2
8
X ( s ) = − 3 + 3 , antitransformando x ( t ) = − e − t + e 2t
3
3
( s + 1) ( s − 2 )
Manejando otro método quizá más sencillo para encontrar el valor de x ( t ) .
4
4
4
8
Derivando y (t ) = − e − t + e 2t , y´(t ) = e − t + e 2t , sustituyendo esos valores en la
3
3
3
3
ecuación (30)
Obtenemos
4 −t 8 2t
4 ⎤
⎡ 4
e + e = 2 x − 2 ⎢ − e − t + e 2t ⎥
3
3
3 ⎦
⎣ 3
4 ⎤ ⎡2
4 ⎤
2
8
⎡ 4
x = ⎢ − e− t + e2t ⎥ + ⎢ e− t + e 2t ⎥ , simplificando x ( t ) = − e− t + e 2t
3
3
3 ⎦ ⎣3
3 ⎦
⎣ 3
Ejemplo 4.2.4 Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales
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x´− y´= e −t
(40)
2 x´−2 y´− y = 8
(41)
Para x ( 0 ) = −1 y y ( 0 ) = −10
Transformando las ecuaciones (40) y (41)
sX ( s ) − x ( 0 ) − sY ( s ) + y ( 0 ) =
1
s +1
2sX ( s ) − 2 x ( 0 ) − 2sY ( s ) + 2 y ( 0 ) − Y ( s ) =
8
s
Sustituyendo condiciones iniciales en las ecuaciones anteriores
sX ( s ) + 1 − sY ( s ) + 10 =
1
s +1
2 sX ( s ) + 2 − 2sY ( s ) + 20 − Y ( s ) =
(42)
8
s
(43)
Resolviendo
−2
+ 22
s +1
8
− 22
2 sX ( s ) − ( 2s + 1) Y ( s ) =
s
8
2
−Y (s) = −
s s +1
−2sX ( s ) +
2sY ( s ) =
Por lo que Y ( s ) =
2
8
−
s +1 s
Transformando inversamente y (t ) = 2e− t − 8
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(44)
(45)
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349
8⎤
1
⎡ 2
− ⎥ − 10 =
Sustituimos (44) en la ecuación (42), sX ( s ) + 1 − s ⎢
, despejando
s +1
⎣ s +1 s ⎦
⎡ 1
8 ⎞⎤ ⎛ 1 ⎞
⎛ 2
X (s) = ⎢
+9+ s⎜
− ⎟⎥ ⎜ ⎟
⎝ s + 1 s ⎠⎦ ⎝ s ⎠
⎣ s +1
⎡ 1
1
2 ⎤
+ +
O bien X ( s ) = ⎢
⎥ , simplificando
⎣ s ( s + 1) s s + 1 ⎦
X (s) =
3s + 2
s ( s + 1)
(46)
3s + 2
A
B
, 3s + 2 = As + A + Bs
= +
s ( s + 1) s s + 1
Por lo que 3s + 2 = ( A + B ) s + A , de lo que A + B = 3
Así A = 2 , y B = 1 , por lo que X ( s ) =
x ( t ) = 2 + e−t
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2
1
, antitransformando
+
s s +1
(47)
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