Función de Transferencia de los Sistemas Fisicos

REGULACIÓN AUTOMATICA (2)
(FUNCIÓN DE TRANSFERNECIA DE LOS SISTEMAS FÍSICOS)
Escuela Politécnica Superior
Profesor: Darío García Rodriguez
1
1-1.-Calcular la función de transferencia de los sistemas, mecánico (xo(s)/xi(s) ) y
eléctrico Eo(s)/Ei(s) ) de las figuras siguientes y establecer sus analogías:
R2
xi
k1
b1
+
+
C2
ei (t )
b2
xo
k2
−
R1
eo
C1
−
y
Sistema mecánico:
sup oner
x0 ( s ) > xi ( s )
xi
y ( s ) > xo ( s )
y(s) > 0
( k1 + s·b1 )·( x o ( s ) − xi ( s ))
b2 ·s ( y ( s ) − x o ( s ))
k 2 · y(s)
k1
b1
A
b2
xo
B
y
k2
Si xo > xi el resorte k1 y el amortiguador b1 se estiran, luego la fuerza de ambos
extremos iran hacía dentro ver figura.
Sí y > xo ocurre lo mismo que en el caso anterior.
Sí y>0 el resorte k2 se comprime luego las fuerzas irán hacía fuera en los extremos del
resorte.
En A podemos escribir:
(k1 + s·b1 )·( xo ( s ) − xi ( s )) = b2 ·s ( y ( s) − xo ( s ))
En B
b2 ·s( y ( s) − xo ( s )) + k 2 · y ( s) = 0
Sí despejamos en B la y(s) y la sustituimos en A llegamos a:
2
En
B
y ( s) =
xo ( s )(k1 + s·b1 + b2 ·s −
b2 ·s
x0 ( s )
b2 ·s + k 2
en
A
(b2 ·s) 2
) = (k1 + b1 ·s )·xi ( s)
b2 ·s + k 2
Dividiendo por k1·k2 ambas expresiones y simplificando se llega a:
 b1
b

 s + 1· 2 s + 1
xo ( s )
 k1
  k2

=
xi ( s )  b1
  b2
 b2
 s + 1· s + 1 + ·s
 k1
  k2
 k1
Sistema eléctrico:
R2 y C2 en paralelo su equivalente en transformada de Laplace:
1
C 2 ·s
R2
Z2 =
=
1
R2 ·C 2 ·s + 1
R2 +
C 2 ·s
R1 y C1 serie su equivalente en transformada de Laplace:
R2 ·
Z1 = R1 +
R ·C ·s + 1
1
= 1 1
C1 ·s
C1 ·s
Su función de transferencia nos viene expresado por:
R1 ·C1 ·s + 1
Eo ( s )
Z1
C1 ·s
(R1 ·C1 ·s + 1)(· R2 ·C2 ·s + 1)
=
=
=
R
·
C
·
s
+
1
R
Ei ( s ) Z 1 + Z 2
(R2 ·C2 ·s + 1)(R1 ·C1 ·s + 1) + R2 ·C1 ·s
1
1
2
+
C1 ·s
R2 ·C 2 ·s + 1
Comparando las funciones de transferencias, se observa, que los sistemas eléctrico y
mecánico son análogos donde se cumple que:
R1 ·C1 =
b1
,
k1
R2 ·C 2 =
b2
k2
y R2 ·C 1=
3
b2
k
2-1.- En, el esquema de la figura A calcular cual sería su circuito eléctrico análogo
fuerza-voltaje
sup ongamos
x1 > 0
x2 > x1
k1
m1s 2 x1 ( s )
x1 ( s )(k1 + b1s )
b1
k1
m1
m1
b2
k2
b1
x1
b2
k2
x1
(x2 (s ) − x1 (s))(· k2 + sb2 )
m2
m2
m2 s 2 x2 ( s )
x2
x2
figA
FigB
En este tipo de analogía el desplazamiento x es equivalente a intensidad I.
d 2x
Reacción de la masa m 2 equivalente a una autoinducción L, k resorte equivalente a
dt
la inversa de un condensador y b amortiguador equivalente a la resistencia.
En la fig B hemos expresados todas las fuerzas del sistema.
Donde podemos escribir las siguientes ecuaciones:
x1 ( s )(k1 + b1s ) ) + m1s 2 x1 ( s ) − ( x2 ( s) − x1 ( s ) )(
· k 2 + b2 s ) = 0
m2 s 2 x2 ( s ) + ( x2 ( s) − x1 ( s ) )(
· k 2 + b2 s ) = 0
observando ambas ecuaciones tenemos un valor de (k2+b2s) común a ambas mallas:
Luego la rama común esta compuesta por un condensador y una resistencia.(C2 y R2).
Los demás elementos son independiente en cada malla. En la primera malla tendría L1,
C1 y R1 además de la rama común y en la segunda malla L2
Luego el Esquema sería el siguiente:
R1
L1
C1
C2
I1 ( s)
I 2 ( s)
L2
R2
Sus ecuaciones de mallas en transformada de Laplace son:


1 
1 
 + (I1 ( s ) − I 2 ( s) )· R2 +
=0
I1 ( s )· L1s + R1 +
C1s 
C 2 s 


4

1 
=0
I 2 ( s)·L2 s + (I1 ( s ) − I 2 ( s) )· R2 +
C 2 s 

Si en ambas ecuaciones multiplicamos por s ambos miembros obtenemos:


1 
1 
=0
I1 ( s )· L1s 2 + R1 s +  + (I1 ( s) − I 2 ( s ) )· R2 s +
C1 
C 2 



1 
=0
I 2 ( s)·L2 s 2 + (I1 ( s ) − I 2 ( s ) )· R2 s +
C 2 

ahora podemos comparar ambos sistemas:
L1 y L2 a las masas m1 y m2 repectivamente.
R1 y R2 a los amortiguamiento b1 y b2.
1/C1 y 1/C2 a los resortes k1 y k2.
5
3-1.- Obtenga una representación en el espacio de estado del sistema mecánico de la Fig
A en donde u1 y u2 son las entradas e y1 y y2 son salidas.
supongamos :
y1 > 0
k2 y2 (s)
y2 > y1
u1
k1· y1(s)
k1
m1
m1
k2
k2
y1
y1
b1
k1
m1s2 y1(s) u1
b1s( y2 (s) − y1(s))
u2
m2s2 y2 (s) b1
m2
k2 y2 (s)
m2
u2
y2
y2
FigB
FigA
Su ecuación en m1 nos viene expresada por:
m1 s 2 y1 ( s) + k1 y1 ( s) − b1s ( y 2 ( s ) − y1 ( s) ) = u1 ( s)
Su ecuación en m2 nos viene expresada por:
m2 s 2 y 2 ( s ) + k 2 y 2 ( s ) + b1 s( y 2 ( s ) − y1 ( s ) ) = u 2 ( s )
Hacemos los diferentes cambios para pasarla a variables de estado:
y1(s)=x1(t)
dy1 (t )
dx1 (t )
d 2 y1 (t ) dx 2 (t )
y2(s)=x3(t)
,
= x 2 (t ) =
= sy1 ( s )
=
= s 2 y1 ( s)
2
dt
dt
dt
dt
dx (t )
dy 2 (t )
= x 4 (t ) = 3 = y 2 ( s )
dt
dt
d 2 y 2 (t ) dx 4 (t )
=
= s 2 y(s)
2
dt
dt
Todas las condiciones iniciales son ceros, y la igualación de funciones del tiempo con
transformada de Laplace no son correctas, lo que nos indica es la relación entre tiempo
y s.
La primera ecuación la podemos escribir de la siguiente forma:
dx 2
k
b
b
= − 1 x1 − 1 x 2 + 2 x 4 + u1 (t )
dt
m1
m1
m1
La segunda ecuación la podemos escribir de la siguiente forma:
6
dx 4
b
k
b
= 1 x 2 − 2 x3 − 1 x 4 + u 2 (t )
dt
m2
m2
m2
dx1
= x2
dt
y con las expresadas:
dx3
= x4
dt
y
podemos expresar las ecuaciones de variables de estado en forma matricial:
0
dx1 / dt
dx 2 / dt − k1 / m1
=
dx3 / dt
0
0
dx 4 / dt
1
− b1 / m1
0
b1 / m2
0
0
0
− k 2 / m2
0
x1
0
0
b1 / m1 x 2 1 / m1
0 u1
· +
·
1
x3
0
0 u2
0
1 / m2
− b1 / m 2 x 4
x1
y1 1 0 0 0 x 2
=
·
y 2 0 0 1 0 x3
x4
7
4-1.- Calcular la función de transferencia del motor de C.C. de la figura 1.
L
θ ( s)
Ei ( s )
.
R
Tm
+
is
i
ei (t )
θm
N1
Jm
θ
JL
−
Figura1
N2
Ei (s )
+
−
Tm (s) Tm (s )
I (s ) I (s )
1
Ls + R
k1
Eb (s )
1
J eq s 2 + beq s
θm
θm
figura 2
θm
Eb (s )
k2 s
Ei ( s )
+
−
Tm ( s )
I (s)
1
Ls + R
k1
1
J eq s + beqs
2
Eb ( s )
n
θ
figura 3
θm
Eb ( s )
θm
k2s
En la figura 2 hemos expresado los diferentes bloques que definen las diferentes
ecuaciones del motor de C.C.
a.Ei ( s ) = I ( s)[Ls + R ] + Eb ( s)
contraelectromotriz).
I (s) =
Eb(t) es la pila que opone el motor (fuerza
1
[Ei (s) − Eb (s)]
Ls + R
primer bloque
b.- El par del motor vine expresado por:
Tm = kI s ( s ) I ( s) = k1 I ( s )
segundo Bloque
c.- El par motor actúa sobre el elemento mecánico rotor (supongamos que tiene
momento de inercia equivalente y fricción equivalente )
Tm ( s) = J eq s 2θ m ( s ) + beq sθ m ( s )
θ m (s) =
1
Tm ( s )
J eq s + beq s
2
luego podemos escribir
es el tercer bloque
8
n
θ
N1
=n
Jeq = n2JL+Jm y beq = n2bL+bm.
N2
d.- el bloque de realimentación viene de la siguiente expresión:
en donde en nuestro esquema
Eb(s)=k2sθ(s)
luego podemos escribir
Eb ( s )
= k2 s
θ m (s)
e.- y por último la relación del ángulo girado
N
θ ( s)
= 1 =n
θ m ( s) N 2
Con todos estos bloques hemos originado el esquema de bloques de la figura 3, cuya
función de transferencia nos viene expresada por:
k1 n
( Ls + R)( J eq s 2 + beq )
k1 n
θ ( s)
=
=
k1 k 2 s
Ei ( s )
( Ls + R)( J eq s 2 + beq s ) + k1 k 2 s
1+
( Ls + R)( J eq s 2 + beq s )
Luego sería equivalente al siguiente diagrama de bloque:
Ei (s)
nk1
( Ls + R )( J eq s 2 + beq s) + k1 k 2 s
Ei (s )
θ (s)
Gm (s )
donde Gm(s) nos viene expresado por:
Gm (s) =
nk1
( Ls + R)( J eq s 2 + beq s ) + k1 k 2 s
9
θ (s )
5-1.-En el servomotor de posición de la figura calcular la función de transferencia,
suponiendo que la entrada y salida del sistema son la posición del eje de entrada y
salida. (equivalente a una tensión Ei y Eo).
Ei (t )
+
Ei (t ) − Eo (t )
−
Eo (t )
L
R
Tm
+
ei (t )
i
θm
is
N1
Jm
JL
−
θ
N2
Si tenemos presente el problema anterior el diagrama de bloque de la figura queda
reducido a:
Ei
Eo
θ
+
−
Gm (s )
A
k3
En donde A es la ganancia de amplificador y k3 es la relación entre la tensión de salida
Eo y el ángulo girado θ.
Luego la función de transferencia nos viene dada por:
G(s) =
Ei
E0
AG m k 3
=
E i 1 + AG m k 3
AGm k3
1 + AGm k3
10
Eo
6-1.- Calcular la función de transferencia de la figura, que corresponde a un PID.
C1
R4
C2
R2
R3
vo (t )
vi (t )
1
2
R1
En la entrada del primer A.O. tenemos una resistencia y un condensador en
paralelo, R1 y C1 , su equivalente en transformada de Laplace:
1
C1 ·s
R1
Z1 =
=
1
R1 ·C1 ·s + 1
R1 +
C1 ·s
En la realimentación del mismo A.O. tenemos R2 y C2 en serie, su equivalente en
transformada de Laplace:
R1 ·
Z 2 = R2 +
R ·C ·s + 1
1
= 2 2
C 2 ·s
C2 s
La ganancia del primer A.O. es:
R2 ·C 2 ·s + 1
(R ·C ·s + 1)(· R1 ·C1 ·s + 1)
Z
C 2 ·s
Av1 = − 2 = −
=− 2 2
R1
Z1
R1 ·C 2 ·s
R1 ·C1 ·s + 1
La ganancia del segundo A.O. nos viene expresada por:
R4
, Luego la ganancia total, que es la función de transferencia, viene
R3
expresada por:
Av 2 = −
Avt =
vo (s)
(R ·C ·s + 1)(· R1 ·C1 ·s + 1)· R4 = R4 ·R2 · (R2 ·C 2 ·s + 1)(· R1 ·C·s1 + 1)
= Av1 · Av 2 = 2 2
vi ( s )
R1 ·C 2 ·s
R3 R3 ·R1
R2 ·C 2
11
7.1.- Calcular la función de transferencia de la figura, que corresponde a un
compensador en adelanto o atraso.
C2
C1
R4
R2
R3
vo (t )
vi (t )
1
2
R1
En la entrada del primer A.O. tenemos una resistencia y un condensador en
paralelo, R1 y C1 , su equivalente en transformada de Laplace:
1
C1 ·s
R1
Z1 =
=
1
R1 ·C1 ·s + 1
R1 +
C1 ·s
En la realimentación del mismo A.O. tenemos R2 y C2 en paralelo, su equivalente en
transformada de Laplace:
R1 ·
1
C 2 ·s
R2
Z2 =
=
1
R2 ·C 2 ·s + 1
R2 +
C 2 ·s
R2 ·
La ganancia del primer A.O. es:
R2
Z
R ·C ·s + 1
R ·(R ·C ·s + 1)
=− 2 1 1
Av1 = − 2 = − 2 2
R1
Z1
R1 ·(R2 ·C 2 ·s + 1)
R1 ·C1 ·s + 1
La ganancia del segundo A.O. nos viene expresada por:
Av 2 = −
R4
, Luego la ganancia total que es la función de transferencia viene expresada
R3
por:
Avt =
vo ( s )
R ·(R ·C ·s + 1) R4 R2 ·R4 (R1 ·C1 ·s + 1)
= Av1 · Av 2 = 2 1 1
·
=
·
vi ( s )
R1 ·(R2 ·C 2 ·s + 1) R3
R1 ·R3 (R2 ·C 2 ·s + 1)
12
8.1.- Calcular la función de transferencia de la figura, que corresponde a un
compensador en adelanto atraso.
C2
R2
R6
R1
C1
R4
R5
v o (t )
vi (t )
1
2
R3
En la entrada del primer A.O. tenemos una resistencia en serie con un
condensador, R1 y C1 , y estas en paralelo con una resistencia R3, su equivalente en
transformada de Laplace:
 1
 

+ R1 ·R3 

 Cs
  = (1 + C1 ·R1 ·s )·R3
Z1 =   1

1
1 + C1 ·s(R1 + R3 )

+ R1 + R3 
 C1 s



En la realimentación del mismo A.O. tenemos una resistencia en serie con un
condensador, R2 y C2 , y estas en paralelo con una resistencia R4, su equivalente en
transformada de Laplace:
 1
 

+ R2 ·R4 

 C s
  = (1 + C 2 ·R2 ·s )·R4
Z2 =   2

1
1 + C1 ·s (R2 + R4 )

+ R 2 + R4 
 C2 s



La ganancia del primer A.O. es:
Av1 = −
Z2
Z1
(1 + R2 ·C 2 ·s )·R4
R ·(R ·C ·s + 1)·[1 + C1 s·(R1 + R3 )]
1 + C 2 s·(R2 + R4 )
=−
=− 4 2 2
(1 + R1 ·C1 ·s )·R3
R3 ·(R1 ·C1 ·s + 1)·[1 + C 2 ·s·(R2 + R4 )]
1 + C1 ·s ( R1 + R3 )
La ganancia del segundo A.O. nos viene expresada por:
R6
, Luego la ganancia total, que es la función de transferencia, viene
R5
expresada por:
Av 2 = −
13
Avt = Av1 · Av 2 =
R6 R4 ·(R2 ·C 2 ·s + 1)·[1 + C1 s·(R1 + R3 )]
·
R5 R3 ·(R1 ·C1 ·s + 1)·[1 + C 2 ·s·(R2 + R4 )]
14
9.1.- En servomecanismo se suelen utilizar trenes de engranajes, para cambiar
velocidad, pares y potencia. En el diagrama de la figura se ha representado un engranaje
y su equivalente reducido. Calcular los valores de su equivalente.
J1 b1
Tm θ1
N1
T1
(1)
N2
T2 θ 2
J2
b2
N3
T3
(2)
(3)
T4 θ 3
N4
J3
b3
TL
J eq beq
TLeq
Tm θ1
El significado de los elementos de la figura son:
J momento de inercia.
b coeficiente de fricción viscosa.
θ ángulo girado.
T par aplicado (Tm par del motor).
En un engranaje se cumple las siguientes relaciones:
N1 T1 θ 2
=
=
N 2 T2 θ 1
N 3 T3 θ 3
=
=
N 4 T4 θ 2
y
Es decir el par transmitido es directamente proporcional al número de dientes y
el número de dientes es inversamente proporcional al ángulo girado.
En el tramo (1) de la figura podemos escribir la siguiente ecuación (después
realizando la transformada de Laplace).
Tm (t ) = J 1
d 2θ 1
dθ
+ b1 1 + T1 (t ) ecuación temporal del tramo (1).
2
dt
dt
(
)
Tm = θ 1 J 1 s 2 + b1 s + T1
en el tramo (2).
(
)
T2 = θ 2 J 2 s 2 + b2 s + T3
en el tramo (3)
15
(
)
T4 = θ 3 J 3 s 2 + b3 s + TL
De las ecuaciones de engranajes tenemos:
T2 =
N2
T1
N1
T4 =
N4
T3
N3
θ2 =
N1
θ1
N2
θ3 =
N3
θ2
N4
La ecuación del tramo (3) la podemos expresar en función de θ 2 y T3.
2
N 
N
T3 =  3  θ 2 ( J 3 s 2 + b3 s ) + 3 TL
N4
 N4 
N
N4
T3 = 3 θ 2 ( J 3 s 2 + b3 s ) + TL
N3
N4
Sustituimos la ecuación del tramo (3) en la del tramo (2) obtenemos:
2
2
2
 
 
 N3 
 N3 
 N 3   N 3
N3
2
2


 θ 2 J 3 s + b3 s +
 J 3 + s b2 + 
 b3  +
T2 = θ 2 J 2 s + b2 s + 
TL = θ 2  s J 2 + 
TL
 
N4
N 4 
N 4   N 4
 
 N4 


 


(
2
)
(
)
Si hacemos la misma operación del tramo (2) al (1) obtenemos:
2
2
2
2
 
N 
N   
N 
 N   N N
Tm = θ1  s 2  J1 +  1  J 2 +  3  J 3  + s b1 +  1  b2 +  3  b3  + 3 1 TL
 
 N2 
 N 4   
 N2 
 N 4   N 4 N 2

Si comparamos esta ecuación con la segunda figura que es su equivalente.
Tm = θ 1 J eq s 2 + beq s + TLeq
(
)
Tenemos que:
2
J eq
N 
N 
= J 1 + J 2  1  + J 3  3 
 N2 
 N4 
2
 N1 


 N2 
2
2
N 
N 
beq = b1 + b2  1  + b3  3 
 N2 
 N4 
 N  N 
TLeq = TL  3  1 
 N 4  N 2 
16
2
 N1 


 N2 
2