Pr á ctico 3 Ejercicio 1.- Considere un potencial arbitrario, localizado

Curso de Mecánica Cuántica
2014
Instituto de Física
Facultad de Ciencias
Práctico 3
Ejercicio 1.- Considere un potencial arbitrario, localizado en una zona
acotada del eje x. Las soluciones de la ecuación de Schrödinger del lado
izquierdo y derecho del mismo estarán dadas, respectivamente, por:
Demostrar que si escribimos
C=S11 A + S 12 D ,
B=S21 A + S22 D ,
o sea, que las ondas “entrantes” y “salientes” están relacionadas de forma
lineal,
C S11 S12 A ,
B S21 S22 D
( )(
)( )
se verificán las siguientes relaciones:
|S11 2|+|S212|=1,
|S21 2|+|S222|=1,
S11 S21* + S21 S22* =0.
S11 S12
y su traspuesta
S21 S22
son unitarias. (Sugerencia: Utilice la conservación del flujo, considerando A y D
como constantes complejas arbitrarias)
Use estas propiedades para probar que la matriz
(
)
Ejercicio 2.- Calcule los elementos de la matriz de dispersión (scattering
matrix), S11, S12,S21 y S22, para el siguiente potencial:
V ( x )=0 si x <−a,
V ( x )= V 0 si −a< x < a,
V ( x )=0 si x > a .
Demuestre que las condiciones generales probadas en el Ejercicio 1, se
satisfacen en este caso particular.
Ejercicio 3.- Los coeficientes S11, S12,S21 y S22 son funciones de k. Demuestre
que
S11 (−k )=S11* ( k ) ,
S22 (−k )=S22* ( k ) ,
S12 (−k )=S21* ( k ) ,
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es decir, que la matriz, S, tiene la propiedad de que S (−k )=S + ( k ) .
Ejercicio 4.- Sin resolver formalmente la ecuación de Schrödinger, escribir la
forma de la función de onda, para las siguientes situaciones:
a) El flujo ℏk/m sería incidente desde la izquierda si el potencial no estuviera
presente; considere E<V0.
b) El flujo ℏk/m sería incidente desde la derecha si el potencial no estuviera
presente; considere E<V0.
Ejercicio 5.- Hallar la matriz de dispersión (scattering matrix) para el potencial
2
ℏ λ
V ( x )=
δ( x −b ) . Probar que es unitaria y que lleva a las condiciones para
2 ma
estados ligados cuando los elementos de la matriz tienden a infinito.
Ejercicio 6.- Considere el oscilador armónico perturbado por un pequeño
1
x3
término de tercer orden, V ( x )= m ω2 x 2 −
.
2
a
1/ 2
ℏ
Si a es grande comparado con la dimensión característica
, los
mω
estados serán todos metaestables, pues no puede existir un estado con
energía mínima (cuando x→∞ la energía tiende a -∞). Estimar la probabilidad
de tunelado desde el estado fundamental hacia la región lejana a la derecha.
(
)
( )
Ejercicio 7.- Considere el potencial de la figura:
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ℏ 2 L ( L +1)
, para x >R. Estimar la vida media de una partícula de
2 mx2
energía E en este potencial. (El potencial externo representa la barrera
centrífuga en el mundo tridimensional). Exprese sus resultados en términos del
cociente adimensional L/kR, donde E=ℏ2 k 2 / 2 m, y L ≫1.
con V ( x )=
Ejercicio 8.- Considere el potencial de doble pozo de la figura:
Demostrar que las condiciones para los autovalores se pueden escribir de la
forma:
q α (1+tanh (α b ))
tan( q ( a−b ))= 2 2
,
q −α tanh(α b )
y
q α(1+ coth(α b ))
tan( q ( a−b ))= 2
,
q −α2 coth(α b )
para las funciones pares e impares, respectivamente, donde
−E =ℏ 2 α2 /2 m, y E + V 0 =ℏ2 q2 /2 m.
Ejercicio 9.- Considere el sistema del problema anterior.
a) Demuestre que la condición para los autovalores tienden a las del pozo
simple cuando b→0.
b) Considere el caso donde la separación entre los pozos se vuelve grande, con
el ancho de cada pozo fijo. Demuestre que al crecer la separación entre los
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pozos los autovalores pares e impares tienden a ser iguales. Estime la
diferencia de energía entre los respectivos autoestados correspondientes a
menores valores de energía para el caso par y el caso impar.
(Sugerencia: Para z grande, tanh z ≈1−2 e−2 z . Aproxime al primer orden en
e−2 z . )
Ejercicio 10.- Pruebe el Teorema del Virial, que en una dimensión toma la
forma:
p2
1 dV
⟨
⟩= ⟨ x
⟩.
2m 2
dx
Para hacer esto, siga los siguientes pasos:
a) Demuestre que para funciones de onda reales, Ψ( x ) , se verifica:
+∞
dV ( x )
dΨ
dx Ψ ( x ) x
Ψ( x )=−⟨ V ⟩+ 2 ∫ dx
x V ( x) Ψ ( x ) .
∫
−∞
dx
−∞
dx
+∞
b) Use la ecuación de autovalores de la energía para probar que:
2
ℏ +∞
dΨ
dΨ 2
2 ∫ dx
x V ( x) Ψ ( x )=E +
∫ dx d x .
−∞
dx
2 m −∞
+∞
( )
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