L NMM O QPP - Centro Herrera

2.- Análisis de líneas
Una línea de transmisión puede verse como un dispositivo de dos puertas cuya
matriz de dispersión, referida un valor R0 para ambas puertas es:
S=
LM 0
MNe
−γl
e −γl
0
OP
PQ
R0 es la impedancia característica de la línea (que en líneas de bajas pérdidas es un
valor real), l es la longitud de la línea y g es una constante compleja que depende de
sus características físicas: γ=α + jβ
En una línea terminada en ambas puertas con una impedancia igual a la
característica se tiene que:
l
R0
V1
+
+
R0
V2
al ser s11 = s22 = 0, resulta que b1 = a2 =0 y b2 = e-γla1
V1 =
como
R 0 (a1 + b1 ) =
V2 = R 0 (a 2 + b2 ) =
R 0 a1
R 0 b2 =
R 0 e −γl a1 = V1e −γl
la relación entre
tensiones entrada/salida será:
V2 = V1e −γl = (V1e −αl )e − jβl
a es la constante de atenuación de la línea (Np/mt) y β , la constante de fase (rad/mt
o grados/mt)
β=
2π
λ linea
=
2πf
v linea
donde llinea es, a la frecuencia de operación, la longitud de onda de
la OEM en la línea y vlinea su velocidad de propagación.
Normalmente, las líneas utilizadas en aplicaciones de circuitos de RF son de bajas
pérdidas, lo que significa que α −> 0 y γ = jβl = jθ , donde θ (rad. o grad.) es la
longitud eléctrica de la línea. En todo lo que sigue se supone esta característica.
Si la impedancia de carga de la línea es Zc, diferente a R0, se tiene que:
Γe = s11 +
s12s21Γc
= s12s21Γc = e − j 2θ Γc
1− s22Γc
donde
Γc =
Zc − R0
Zc + R0
La impedancia de entrada a una distancia (angular) θ de la carga vale:
1+ Γe
1 + Γ c e − j 2θ
= R0
Zent = R0
1− Γe
1 − Γ c e − j 2θ
Notar que, en el ábaco de Smith, Γe resulta de girar Γc en sentido horario un ángulo
2θ (de la carga hacia el generador), es decir, el doble de la longitud eléctrica de la
línea.
hacia generador
2θ
En plano r-x, ze
En plano u-v, Γe
Γc
En plano r-x, zc
En plano u-v, Γc
Γe=Γce-j2θ
-j2θ
o
si θ = 90 (línea de cuarto de onda) , e
si θ=180o (línea de media onda)
= -1
, e-j2θ = +1
y
y
Ze = R0
1 − Γ c R 02
=
1+ Γ c Zc
Ze = R0
1+ Γc
= Zc
1− Γc
Para el caso particular que Zc = 0 (cortocircuito) se tiene que Γc = -1 y:
Ze = R0
1− e − j 2ϑ
1+ e − j 2ϑ
Si Zc = ∞ (circuito abierto), Γc = +1
= R0
e jϑ − e − jϑ
e jϑ + e − jϑ
= jR0 tan(ϑ)
Ze = R0
1+ e−j 2ϑ
1− e−j 2ϑ
= R0
e jϑ + e−jϑ
e jϑ − e−jϑ
=−j
R0
tan(ϑ)
Para algunas aplicaciones en frecuencias de UHF y superiores, se utilizan líneas en
cortocircuito y circuito abierto como inductancias o capacitores en derivación.
Normalmente de longitud θ < 90o. También se pueden utilizar segmentos de línea en
ramas serie para sintetizar redes de acoplamiento o adaptación.
3.- Diseño de amplificadores lineales de pequeña señal
Diagrama en bloques de un amplificador de una etapa:
Red adap.
entrada
Dispositivo
Activo
Red adap.
salida
[S]
X
X
Z1
ref Ro
Z2
Γ2 = (Z2-Ro)/(Z2+Ro)
Γ1 = (Z1-Ro)/(Z1+Ro)
Γg
Zg
Γe
Ze
Γs
Zs
Γc
Zc
Normalmente, las impedancias de generador y carga (Zg y Zc) que se deben
presentar al dispositivo activo son diferentes a las reales (Z1 y Z2), por ello la
necesidad de incluir redes de adaptación de entrada y salida. Si el dispositivo activo
está caracterizado por su matriz [S], referida a un determinado valor (R0=50Ω
generalmente), pueden definirse los coeficientes Γ correspondientes tomando el
mismo valor de referencia.
La ganancia de transducción del dispositivo vale:
2
g T = s 21 .
donde:
(1 − Γ c
2
).(1 − Γ g
2
2
1 − Γ e . Γ g . 1 − s 22 . Γ c
Γ e = s11 +
Γc =
s12 . s21. Γ c
1 − s22 . Γ c
Zc −R0
Zc +R0
2
)
2
o
gT = s 21 .
y
Γ s = s22 +
y
Γg =
2
(1 − Γ c ).(1 − Γ g )
2
2
1 − Γ s . Γ c . 1 − s11. Γ g
s12. s21. Γ g
1− s11. Γ g
Z g − R0
Z g + R0
Normalmente, el diseño se debe realizar para obtener un determinado valor de
ganancia de transducción.
a) Dispositivo incondicional estable
2
Se define la máxima ganancia disponible del dispositivo cuando Γg = Γe* y Γc = Γs*,
es decir, existe adaptación conjugada a la entrada y salida. Para encontrar los
valores de Γg y Γc adecuados, se deben solucionar las ecuaciones complejas:
F
= Gs
H
s12. s21. Γc
11 +
1− s22. Γc
Γg
IJ
K
∗
Γc
y
F
= Gs
H
22
+
s12 . s21. Γ g
1 − s11. Γ g
I
JK
∗
Puede demostrarse que las soluciones, para cargas pasivas, existen únicamente si
se cumplen las siguientes condiciones de estabilidad :
2
K=
o
2
1 − s11 − s22 + ∆ s
2. s12. s21
1 − s22
µ=
2
>1
y
∆s <1
(condiciones de Rollet)
2
s11 − s22∗ .∆ s + s12 .s21
>1
(condición de Edwards)
Si se cumplen las condiciones de arriba, se dice que el dispositivo activo es
incondicional estable: cualquier valor de |Γc|<1 (Zc con parte real positiva), se
reflejará en la entrada como |Γe|<1 y, viceversa, cualquier valor de |Γg|<1 (Zg con
parte real positiva), se reflejará en la salida como |Γs|<1.
Las soluciones para Γg y Γc son:
Γ
donde:
g
=
B1 −
B 12 − 4 . C 1
2
Γc =
2.C 1
2
2
B1 = 1+ s11 − s22 − ∆s
C1 = s11 − ∆s .s2∗2
2
B2 − B22 − 4. C2
2
2.C2
2
2
,
B2 = 1+ s22 − s11 − ∆s
,
C2 = s 22 − ∆ s . s1∗1
2
Usualmente, los programas de simulación de circuitos de RF, dan las soluciones
para Γg y Γc o Zg y Zc que permiten adaptación conjugada en entrada/salida y se
dispone de los parámetros K y ∆s y µ.
La ganancia de transducción de un dispositivo incondicional estable puede ponerse
s21
s
.( K − K 2 − 1 ) . La relación 21 es un factor de mérito
también como : gT =
s12
s12
del dispositivo que indica la máxima ganancia de transducción disponible en
condiciones estables (MSG, también disponible en los programas de diseño de RF)
b) Dispositivo potencial inestable
Si |s11| y |s22| son menores que 1, pero no se cumplen las condiciones de estabildad
(Rollet o µ), se dice que el dispositivo es potencial inestable, es decir, pueden existir
valores de |Γg|<1 que hagan |Γs|>1 (Zs con parte real negativa) o valores de |Γc|<1
que hagan |Γe|>1 (Ze con parte real negativa).
s12.s21.Γc
= 1 da los valores de Γc que
La solución de la ecuación compleja s11 +
1− s22.Γc
hacen |Γe| =1. Puede demostrarse que representando Γc en el ábaco de Smith
(plano de carga), la solución de la ecuación anterior define un círculo de centro Ccar
y radio Rcar :
Ccar =
∗
s22
− ∆ ∗s .s11
2
s22 − ∆ s
Rcar =
2
s12 .s 21
s 22
2
− ∆s
2
El círculo representa la frontera de valores de Γc que hacen |Γe| =1, valores de Γc
que estén dentro del círculo harán |Γe| mayor o menor que 1 mientras que si están
fuera de él, |Γe| será menor o mayor que 1. El lado que hace |Γe| >1 es la zona
inestable y prohibida para Γc. Si Γc =0, entonces Γe =s11, si |s11|<1 el centro del
ábaco de Smith representando al plano de carga pertenece a la zona estable (caso
normal). En el caso de un dispositivo incondicional estable, el círculo de
inestabilidad no se superpone con el plano de carga.
Dispositivo condicional estable
Frontera |Γe|=1
zona prohibida
para Γc
Círculos de estabilidad
Dispositivo incondicional estable
Plano de Carga
|s11|<1
Igualmente, la solución de s22 +
s12.s21.Γg
1− s11.Γg
= 1 determina los valores de Γg que hacen
|Γs| = 1 y se representa en el plano de Γg (plano de generador) como un círculo de
centro Cgen y radio Rgen:
C gen =
s11∗ − ∆ ∗s .s22
2
s11 − ∆ s
R gen =
2
s12 .s 21
2
s11 − ∆ s
2
Como antes, el círculo representa la frontera para los valores admisibles de Γg. Si
|s22|<1, el centro del ábaco de Smith representando al plano de generador,
pertenece a la zona estable.
En aquellos casos en que el diseño no se hace utilizando la matriz S del dispositivo
sino p.ej. un modelo físico, el modelo lineal pi híbrido, etc., el control de la potencial
inestabilidad del amplificador se debe hacer analizando las impedancias de entrada
y salida en el rango de frecuencias mas amplio posible. Se debe comprobar que
ambas presenten parte real positiva. Aunque la existencia de impedancias
entrada/salida con parte real negativa no significa que el amplificador será inestable
(depende de las condiciones de carga), si marca una tendencia hacia la oscilación
que se debe tratar de evitar.
Dispositivo condicional estable
Frontera |Γg|=1
zona prohibida
para Γg
Círculos de estabilidad
Dispositivo incondicional estable
Plano de
Generador
|s22|<1
El amplificador será estable mientras Γg y Γc se mantengan fuera de las zonas
prohibidas de los planos de generador y carga respectivamente en todo el rango útil
del dispositivo.
Si el dispositivo activo es incondicional estable, es posible hacer Γg = Γe* y Γc = Γs* y
diseñar las redes de entrada/salida para que las impedancias terminales Z1 y Z2
presenten al dispositivo activo los valores correctos Ze y Zc establecidos:
Si el dispositivo activo es potencial inestable, la adaptación conjugada de entrada y
salida simultáneamente no es realizable. Sin embargo, puede diseñarse un
amplificador estable siguiendo tres caminos: (a) adaptación conjugada a la salida,
entrada desadaptada para lograr estabilidad. (b) adaptación conjugada de entrada,
salida desadaptada y (c) no utilizar adaptación conjugada en ninguna puerta fijando
valores de Γg y Γc que, estando dentro de la zona estable de los planos de
generador y carga, permitan obtener la ganancia especificada. Si el dispositivo
ofrece mayor ganancia que la especificada, puede intentarse una cuarta variante:
(d) reducir la ganancia del dispositivo con una carga resistiva para hacerlo
incondicional estable y recién intentar adaptar conjugadamente entrada/salida.
En todos los casos es necesario comprobar la estabilidad del amplificador en su
rango útil de frecuencia.
Las dos últimas alternativas: (c) y (d), permiten llegar relativamente rápido a
resultados razonables. Es preferible intentar siempre primero con (d).
a) Adaptación conjugada de salida: Γc = Γs* , en éste caso:
2
(1 − Γ c ).(1 − Γ g
2
g T = s 21 .
2
2
2
)
1 − Γ s . Γ c . 1 − s 11. Γ g
(1 − Γ s ).(1 − Γ g
2
2
= s 21 .
1 − Γ s .Γ s
∗
2
2
)
. 1 − s 11. Γ g
2
2
gT ( Γ c =
Γ s∗ )
(1 − Γ g )
2
= g av ( Γ g ) = s 21 .
2
(1 − Γ s ). 1 − s11. Γ g
2
como Γs = Γs(Γg), resulta que gT = gT(Γg) = gav(Γg) , que se define como la ganancia
disponible (available gain) del amplificador, función del coeficiente (o impedancia) de
reflexión del generador. Resolviendo la expresión de gav en función de Γg , es
posible llegar a un conjunto de valores de Γg que suministran la ganancia
especificada. Los valores obtenidos, forman un círculo en el plano de entrada de
centro y radio Cav y Rav
C av =
2
∗
g .( s11
− ∆ ∗s .s 22 )
2
2
1 + g .( s11 − ∆ s )
donde
g=
Rav =
1 − 2.K . s12 .s21 .g + s12 .s21 .g 2
2
2
1 − g .( s11 − ∆ s )
gav
s21
2
En algunos casos, los fabricantes de semiconductores proveen en las hojas de
datos, curvas de gav en función de Γg .
Fijado un valor de Γg, por conveniencia o recomendación del fabricante, es posible
determinar Γs y luego Γc = Γs* . Si el valor de Γc no cae dentro del círculo de
inestabilidad del plano de carga, es una solución correcta.
Este es el caso normal que se presenta cuando el amplificador debe cumplir con
especificaciones sobre el ruido máximo que puede aportar al sistema al que debe
integrarse, normalmente existe, como dato, un conjunto de valores para la
impedancia de generador o coeficientes Γg que deben respetarse para lograr los
resultados deseados.
b) Adaptación conjugada de entrada: Γg = Γe* , en éste caso:
2
2
(1 − Γ c ).(1 − Γ g )
2
gT = s 21 .
gT ( Γ g =
2
1 − Γ e . Γ g . 1 − s 22 . Γ c
Γ e∗ )
2
= g p ( Γ c ) = s 21 .
2
2
2
(1 − Γ c ).(1 − Γ e )
2
= s 21 .
2
1 − Γ e . Γ e ∗ . 1 − s 22 . Γ c
2
2
(1 − Γ c )
2
(1 − Γ e ). 1 − s 22 . Γ c
2
como Γe= Γe(Γc), resulta que gp = gT(Γc) = gp(Γc) , que se define como la ganancia de
potencia del amplificador, función del coeficiente de reflexión de la carga (o
impedancia) . Igual que en el caso anterior, una ganancia de potencia especificada
gp determina en el plano de carga un círculo de centro Ccar y radio Rcar dados por:
C car =
donde
2
∗
g .( s 22
− ∆ ∗s .s11 )
1 + g .( s 22
g=
gp
s21
2
2
2
− ∆s )
Rcar =
1 − 2.K . s12 .s 21 . g + s12 .s 21 . g 2
2
2
1 − g .( s 22 − ∆ s )
Como antes, el valor a seleccionar de Γc debe estar dentro de
la zona permitida en el mismo plano. Fijado un valor de Γc , es posible determinar Γe
y luego Γg = Γe* . Si el valor de Γg no cae dentro del círculo de inestabilidad del plano
de generador, es una solución correcta.
c) Es posible determinar valores de Γg y Γc que estén dentro de las zonas permitidas
de los planos de generador y carga respectivamente y permitan obtener valores de
ganancia admisibles aunque no exista adaptación en ninguna puerta. Un método de
diseño, ayudado por programas CAD, que generalmente da buenos resultados es el
siguiente:
c1) Analizar el dispositivo dentro del rango de frecuencia de trabajo. Observando
|s21|2, variando las impedancias de normalización R01 y R02 se puede determinar
rápidamente la combinación que aproxime |s21|2 al valor de ganancia de
transducción buscado. Obtenidos R01 y R02 quedan determinados Γg y Γc
(reales) que deben estar dentro de la zona permitida.
c2) Diseñar las redes entrada/salida para transformar Z1 y Z2 a R01 y R02
c3) Controlar la estabilidad del circuito completo (esto es muy importante) y
confirmar la ganancia obtenida.
d) En algunos casos, es posible transformar un dispositivo potencial inestable en
incondicional estable cargando resistivamente la entrada y/o salida con el objeto de
disminuir su ganancia. Generalmente, los mejores resultados se obtienen
incorporando una resistencia de valor adecuado en paralelo o serie con la salida del
dispositivo.