1. Ganancia en cuadripolos

1.
Ganancia en cuadripolos
S
ZS
VS
L
(S)
Zo
out
in
Zin (Gin)
ΓS =
Γin = s11 +
ZL
Zo
Zout (Gout)
ZS − Zo
ZS + Zo
ΓL =
s12 s21 ΓL
Zin − Zo
=
1 − s22 ΓL
Zin + Zo
ZL − Zo
ZL + Zo
Γout = s22 +
s12 s21 ΓS
Zout − Zo
=
1 − s11 ΓS
Zout + Zo
Sea:
- PL = Potencia entregada a la carga
- Pin = Potencia entregada al cuadripolo cargado
- Pas = Potencia disponible en el generador: Pas = Pin |Γin =Γ∗S
- Pan = Potencia disponible a la salida del cuadripolo: Pan = PL |ΓL =Γ∗out
Definimos (demostración en Pozar, pág. 606):
Ganancia de potencia:
G=
PL
|s21 |2 (1 − |ΓL |2 )
=
Pin
(1 − |Γin |2 )|1 − s22 ΓL |2
ß Depende de ZL y (S)
Ganancia disponible:
GA =
|s21 |2 (1 − |ΓS |2 )
Pan
=
Pas
|1 − s11 ΓS |2 (1 − |Γout |2 )
ß Depende de Zs y (S)
Ganancia de transducción:
GT =
PL
|s21 |2 (1 − |ΓS |2 )(1 − |ΓL |2 )
=
Pas
|1 − ΓS Γin |2 |1 − s22 ΓL |2
1
ß Depende de Zs , ZL y (S)
1.1.
Casos particulares
1) Adaptación para reflexión nula: ΓL = ΓS = 0
GT = |s21 |2
2) Ganancia de transducción unilateral GT U : cuando s12 = 0 (ó es un valor muy pequeño)
⇒ Γin = S11
GT U = |s21 |2
2.
(1 − |ΓS |2 )(1 − |ΓL |2 )
|1 − s11 ΓS |2 |1 − s22 ΓL |2
Amplificador de una etapa
GS
GL
ZO
VS
Adaptador
Entrada
(S)
Zo
Gin
Adaptador
Salida
Zo
ZO
Gout
+ La definición más útil es la de Ganancia de Transducción, que tiene en cuenta las
desadaptaciones de genrador y carga
+ Definimos de manera separada las ganancias:
GT = GS · Go · GL
GS =
1 − |ΓS |2
|1 − ΓS Γin |2
Go = |s21 |2
GL =
1 − |ΓL |2
|1 − s22 ΓL |2
donde GS y GL dependen de las adaptaciones
+Si el transistor es unilateral (Γin = s11 ; Γout = s22 ):
GS =
1 − |ΓS |2
|1 − s11 ΓS |2
Go = |s21 |2
GL =
1 − |ΓL |2
|1 − s22 ΓL |2
2
2.1.
Estabilidad
Cuando la impedancia de entrada o de salida de un cuadripolo tienen parte real negativa
pueden aparecer oscilaciones. Esto equivale a la condición (que depende de la frecuencia):
|Γin | > 1
|Γout | > 1
Como Γin y Γout dependen de ΓS y ΓL , definimos dos tipos de estabilidad:
- Amplificador incondicionalmente estable: si |Γin | < 1 y |Γout | < 1 para toda
impedancia de generador y carga pasiva (|ΓS | < 1 y |ΓL | < 1)
- Amplificador condicionalmente estable: si |Γin | < 1 y |Γout | < 1 sólo para
determinado rango de impedancias de carga y generador
Matemáticamente:
s12 s21 ΓL <1
|Γin | = s11 +
1 − s22 ΓL s12 s21 ΓS |Γout | = s22 +
<1
1 − s11 ΓS + Notar que si s12 = 0 para conseguir estabilidad incondicional, basta con que se cumpla:
|s11 | < 1
|s22 | < 1
+ En caso contrario tendremos regiones sobre la carta de Smith (para la entrada y la
salida). Se demuestra que estas regiones son cı́rculos
Definición: Cı́rculos de estabilidad:
Son las regiones de ΓL (ó ΓS ) para los cuales |Γin | ≤ 1 (ó |Γout | ≤ 1). Las circunferencias
que los delimitan tienen como centro y radio los siguientes:
Carga:
Generador:
(s22 − ∆s∗11 )∗
CL =
|s22 |2 − |∆|2
s12 s21
RL = |s22 |2 − |∆|2 (s11 − ∆s∗22 )∗
CS =
|s11 |2 − |∆|2
s12 s21
RS = |s11 |2 − |∆|2 donde ∆ = det(S) y falta por determinar cuál es la región estable
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Caso 1:
Si |s11 | < 1, para ZL = Zo ⇒ Γin = s11 por lo que |Γin | < 1. Entonces ΓL = 0 está dentro
de la región estable
Estable
Caso 2:
Si |s11 | > 1 ⇒ al contrario
Estable
Alternativamente, un amplificador es incondicionalmente estable ⇐⇒
k=
1 − |s11 |2 − |s22 |2 + |∆|2 |2
>1
2|s12 ||s21 |
|∆| < 1
k se conoce como Factor de estabilidad o k de Rollet
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2.2.
Diseño para máxima ganancia (Adaptación Conjugada)
+ Después de determinar la región de estabilidad para ΓS y ΓL diseñamos las redes de
adaptación de entrada y salida para que se cumpla:
Γout = Γ∗L
Γin = Γ∗S
GS
GL
ZO
VS
Adaptador
Entrada
(S)
Zo
Adaptador
Salida
Zo
Gin
ZO
Gout
+ Esto equivale a maximizar la ganancia de transducción global (suponiendo redes de
adaptación sin pérdidas):
GT max =
1
1 − |ΓL |2
2
·
|s
|
·
21
1 − |ΓS |2
|1 − s22 ΓL |2
+ En el caso bilateral, hay que adaptar entrada y salida simultáneamente (ambas se
influyen entre sı́):

s12 s21 ΓL 
∗

ΓS =s11 +

1 − s22 ΓL
s12 s21 ΓS 


Γ∗L =s22 +
1 − s11 ΓS
que tiene como solución:

p
B12 − 4|C1 |2 


ΓS =

2C1
p
B2 ± B22 − 4|C2 |2 


ΓL =

2C2
B1 ±
donde:

B1 =1 + |s11 |2 − |s22 |2 − |∆|2 



B =1 + |s |2 − |s |2 − |∆|2 
1
C1 =s11 −
C2 =s22 −
22
11
∆s∗22
∆s∗11





+ En el caso unilateral, con s12 = 0 (más sencillo):
)
ΓS = s∗11
1
1
⇒
GT U max =
· |s21 |2 ·
∗
2
1 − |s11 |
1 − |s22 |2
ΓL = s22
+ Por último determinamos las redes de adaptación mediante la carta de Smith
+ Se demuestra que en este caso: G = GA = GT
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2.3.
Diseño para ganancia especificada (Cı́rculos de ganancia
constante)
+ A veces es deseable trabajar con una ganancia menor a la máxima para:
- Conseguir un determinado ancho de banda
- Fijar un valor necesario (saturación)
⇒ Diseñamos las redes de entrada y salida para conseguir una GT especificada. Para ello
usamos los cı́rculos de ganancia constante. Estudiamos sólo el caso unilateral ⇒ El error
que cometemos al despreciar s12 está acotado por:
1
1
GT
<
<
2
(1 + U )
GT U
(1 − U )2
donde U es la Figura de Mérito Unilateral, que se define como:
U=
|s12 ||s21 ||s11 ||s22 |
(1 − |s11 |2 )(1 − |s22 |2 )
y se tolera un error de hasta décimas de dB
+ Cı́rculo de ganancia constante: lugares geométricos de ΓS y ΓL que dan lugar a unos
valores fijos de GS y GL
GS =
1 − |ΓS |2
|1 − s11 ΓS |2
GL =
1 − |ΓL |2
|1 − s22 ΓL |2
La solución viene dada por:
√
gS s∗11
CS =
1 − (1 − gS )|s11 |2
CL =
1 − gS (1 − |s11 |2 )
1 − (1 − gS )|s11 |2
√
1 − gL (1 − |s22 |2 )
RL =
1 − (1 − gL )|s22 |2
RS =
gL s∗22
1 − (1 − gL )|s22 |2
donde:
GS
1 − |ΓS |2
=
(1 − |s11 |2 )
GSmax
|1 − s11 ΓS |2
0 ≤ gS ≤ 1
1 − |ΓL |2
GL
(1 − |s22 |2 )
gL =
=
2
GLmax
|1 − s22 ΓL |
0 ≤ gL ≤ 1
gS =
ya que:
GSmax =
1
;
1 − |s11 |2
GLmax =
6
1
;
1 − |s22 |2
Comentarios:
ß Los centros de cada familia de cı́rculos se encuentranen la recta dada por la fase de s∗11
y s∗22
ß Si gS = 1 (ó gL = 1) ⇒ RS = 0 (RL = 0) y el centro se reduce a s∗11 y s∗22 (lo esperado,
ya que GS = GSmax y GL = GLmax )
ß Los cı́rculos de ganancia 0 dB (GS = 1, GL = 1) pasan por el centro de la Carta de
Smith (se demuestra). Esto puede usarse para trazar los cı́rculos
GSmax
s11*
GS=0 dB
Ejemplo: Cı́rculos de ganancia constante de entrada (generador)
+ Por último elegimos ΓS y ΓL dentro de los cı́rculos correspondientes para conseguir la
ganancia especificada
+ Notar que la elección no es única, pero es preferible elegir los puntos más próximos al
centro de la Carta para minimizar la desadaptación
+ Alternativamente podemos elegir una desaptación que proporcione el mı́nimo ruido
(apartado siguiente)
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2.4.
Diseño para mı́nimo ruido
+ Importante cuando se diseñan receptores
+ Domina el primer amplificador (Fórmula de Friis)
+ Normalmente no se puede conseguir a la vez máxima ganancia y mı́nimo ruido
⇒ COMPROMISO
+ Empleamos dos familias de cı́rculos:
- Cı́rculos de ganancia constante
- Cı́rculos de Figura de ruido constante
+ Para un amplificador de 2 puertos, un modelo equivalente para el ruido es:
E
+
-
I
donde:
E 2 = 4kTo RN ∆f
I 2 = 4kTo GN ∆f
siendo la figura de ruido es:
F = Fmin +
RN
|YS − Yopt |2
GS
donde:
- YS = GS + jBS = Admitancia del generador
- Yopt = Valor óptimo de la admitancia del generador (proporciona mı́nimo ruido)
- Fmin = Figura de ruido mı́nima (dato)
- RN = Resistencia equivalente de ruido del amplificador (dato)
Estos valores dependen del punto de trabajo y la frecuencia
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+ Otra versión de esta fórmula (más práctica) es:
F = Fmin +
4RN
|ΓS − Γopt |2
Zo (1 − |ΓS |2 )|1 + Γopt |2
+ Si introducimos el parámetro N (=parámetro de figura de ruido) definido como:
N=
|ΓS − Γopt |2
F − Fmin
|1 + Γopt |2
=
2
1 − |ΓS |
4RN /Z0
Entonces, los lugares geométricos en ΓS para ruido constante son circunferencias definidas
por:
Γopt
CF =
N +1
p
N (N + 1 − |Γopt |2 )
RF =
N +1
+ Comentarios:
- Notar que sólo es para la entrada
- Normalmente la admitancia de generador de mı́nimo ruido no coincide con la de
máxima ganancia
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