Documento 2834722

Tema 2
I.E.S. COMPLUTENSE
Tema 2. INTRODUCCIÓN AL NÚMERO REAL
Conjuntos numéricos:
p

Q=
p, q ∈ Z , q ≠ 0 
q

N⊂Z⊂Q⊂R
N = {1, 2, 3, …}; Z = {… −2, −1, 0, +1, +2, ….};
R = Q∪I, con Q∩I = ∅


 Naturales
RacionalesEnteros

 Negativos
Reales
 Fraccionarios


 Irracionales
Propiedades del orden
Si a < b ⇒ a + c < b + c;
a · c < b · c cuando c > 0; a · c > b · c cuando c < 0
Intervalos. Los intervalos son subconjuntos de la recta real.
abierto (a, b) = {x ∈ R  a < x < b}
cerrado [a, b] = {x ∈ R a ≤ x ≤ b}.
Intervalos infinitos: (– ∞ , + ∞ ) = R; (– ∞ , a) = {x ∈ R x < a}; (a, + ∞ ) = { x ∈ R a < x}.
•
Valor absoluto:
a = a si a > 0.
Intervalos mediante valor absoluto.
• x < k ⇔ − k < x < k ⇔ x ∈ (−k, k).
a = − a si a < 0.
x ≤ k ⇔ − k ≤ x ≤ k ⇔ x ∈ [−k, k].
x − a ≤ k ⇔ − k ≤ x − a ≤ k ⇔ x ∈ [a − k , a + k ] .
•
Propiedades de las potencias
n
m
a ·a = a
Radicales:
n+m
n
an
1
an
a
n
; a
= a ; m = a n−m ; (a·b ) = a n ·b n ;   = n ; a − n = n
a
b
a
b
2
n
n
n
a =b, a>0 ⇔ b = a
a = b , n∈ N ⇔ b = a
a = a1/n .
( )
n m
n·m
Propiedades y operaciones con radicales
Producto de radicales:
n
a · n b = a1 / n ·b1 / n = ( ab)1 / n = n ab
•
•
Potencia y raíz de un radical:
•
Cociente de radicales:
n
m
=
n
am
a · m a = a1 / n ·a1 / m = a1 / n +1 / m
m n
a = n·m a
n
a
a a1 / n
=
= a1 / n −1 / m
n
m
b
b
a a1 / m
La suma y resta de radicales sólo puede “hacerse” cuando son radicales semejantes. Alguna
vez los radicales pueden hacerse semejante, extrayendo o introduciendo factores en la raíz.
n
•
( a)
n
a
=n
Introducción: a·n b = n a n b . Para introducir un factor se eleva al índice de la raíz.
Extracción: n Ab = n A ·n b = a·n b , supuesto que n A = a .
• Racionalización de denominadores
a
a
a
Los casos usuales son:
;
;
b
b+ c
b+ c
Se racionalizan multiplicando los dos términos de las fracciones por
b − c , respectivamente.
b , por b − c y por
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