UNIVERSIDAD NACIONAL DEL CALLAO
FACULTAD DE INGENIERÍA MECÁNICA Y DE ENERGÍA
CÁLCULO DIFERENCIAL
ENTREGABLE 1
1. Utilizando propiedades de números reales, demuestre que:
i. 𝑆𝑖 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 + , demuestre que: (a + b + c) 2 3(a 2 + b 2 + c 2 )
1
ii. 𝐷𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒: 𝑎 + 𝑎 ≥ 2: ∀𝑎 > 0
iii. 𝐷𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒: √𝑎𝑏 ≤
iv. 𝐷𝑒𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒:
𝑏𝑐
𝑎
+
𝑎𝑐
𝑏
𝑎+𝑏
2
+
: ∀𝑎 > 0 , 𝑏 > 0
𝑎𝑏
𝑐
≥ 𝑎 + 𝑏 + 𝑐; 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑐 > 0
v. 𝑆𝑖 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 1: 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑎 > 0, 𝑏 > 0, 𝑐 > 0; 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒: (1 − 𝑎)(1 −
𝑏)(1 − 𝑐) ≥ 8𝑎𝑏𝑐
vi. Demostrar que para cualesquiera números reales a, b y c se cumple que:
a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ac
vii. 𝑆𝑖 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 𝑦 𝑎 ≠ 0, 𝑏 ≠ 0, 𝑐 ≠ 0, 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒
2
viii.
1
1
1
1 1 1
+ + = 2 + 2 + 2
a
b
c
a b c
2
2
𝐷𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒: 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2 + 3 ≥ 2(𝑎 + 𝑏 + 𝑐)
ix. 𝑆𝑖 0 < 𝑎 < 𝑏 𝑦 𝑐 > 0; 𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒:
𝑎
𝑎+𝑐
< 𝑏+𝑐
𝑏
𝑎
𝑐
x. 𝑆𝑖 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑦 𝑑 ∈ 𝑅; 𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒, 𝑏 > 0 𝑦 𝑑 > 0 𝑦 𝑏 < 𝑑 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠:
𝑎 𝑎+𝑐 𝑐
<
<
𝑏 𝑏+𝑑 𝑑
2. Probar que √2 no es racional.
1
1
3. Si 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 + probar que (𝑎 + 𝑏)(𝑎 + 𝑏) ≥ 2
1
1
1
4. Si a, b, c ∈ 𝑅 + probar que (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ) ≥ 9
5. Si 𝑎2 + 𝑏 2 = 0 probar que 𝑎 = 𝑏 = 0
6. Probar que (𝑎 + 𝑏)2 ≤ 2(𝑎2 + 𝑏 2 ) ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅
7. Probar que (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)2 ≤ 3(𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 ) ∀𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅
1
8. Dado 𝑥 ∈ 𝑅 ; 𝑥 > 0 . 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑟 ∶ 𝑥 + 𝑥 > 2
9. Si 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅, 𝑝𝑟𝑜𝑏𝑎𝑟𝑞𝑢𝑒(𝑎 + 2𝑏 + 3𝑐)2 ≤ 14(𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 )
1
1
10. Si 𝑥 > 0 , 𝑥 ≠ 1 , 𝑥 ∈ 𝑅 . 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 ∶ 𝑥 3 + 𝑥 3 ≥ 𝑥 2 + 𝑥 2
11. 𝑆𝑖 𝑎 ≠ 𝑏 ≠ 𝑐 , 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ 𝑅 . 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 > 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑎𝑐
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12. Probar que ∄𝑞 ∈ 𝑄/ 𝑞 2 = 2
13. Si 𝑎2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 = 1 𝑦 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 1 𝑃𝑟𝑜𝑏𝑎𝑟 ∶ 𝑎𝑥 + 𝑏𝑦 + 𝑐𝑧 ≤ 1
14. Sean 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 ; 𝑓𝑖𝑗𝑜𝑠 /𝑎 < 𝑏 , probar que si 𝑘 ∈ [𝑎; 𝑏] entonces ∃ 𝑡𝜖 𝑅 𝑢𝑛𝑖𝑐𝑜 con
0 ≤ 𝑡 ≤ 1 / 𝑘 = 𝑡𝑎 + (1 − 𝑡)𝑏.
15. Si 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑅 / 𝑎 < 𝑏 + 𝜖 ∀𝜖 > 0 probar que 𝑎 ≤ 𝑏
16. Resolver en R
a. 𝑥 2 − 2√3𝑥 − 2 > 0
b. (𝑥 2 + 2𝑥)(𝑥 2 − 1) − 24 > 0
c. 𝑥 4 − 4𝑥 3 − 𝑥 2 + 16𝑥 − 12 > 0
d. 𝑥 5 − 6𝑥 4 − 𝑥 3 + 29𝑥 2 + 8𝑥 − 15 ≤ 0
e. (𝑥 2 + 6𝑥 − 1)(𝑥 3 − 2𝑥 2 − 2𝑥 + 4)(𝑥 + 5)5 > 0
f. (3 − 𝑥)3 (𝑥 2 − 1)2 (1 − 𝑥)5 𝑥 > 0
g. 𝑥 4 − 2𝑥 3 − 5𝑥 2 + 10𝑥 − 3 ≤ 0
17. Resolver las inecuaciones racionales:
x 2 + 8 x + 24
1
2 x 2 − 3x + 3
a)
8
b) −
x+2
2 ( x − 2)(2 x + 3)
d)
x +1
x
2− x 3+ x
h)
(6 x + 3) 2 ( x 2 + 1) 3 (3x − 5) 7
0
( x + 6) 2 (2 x + 3)17
l )2
3x + 1 1
x
x
e)
m)
1
4
3x − 7 3 − 2 x
18. Si 2𝑥 + 3 <
3𝑥−4𝑘
𝑘
p)
3
n)
x + 1 2 x2
−
−1
x −1 x2 + 1
x 2 − 2x x + 8
x−4
2
q)
3 x 2 + 4 x + 29
2
x2 − 4x − 5
; determinar k para que el conjunto solución sea ⟨𝟑; ∞⟩.
2ax 2 − ax + 1
3
x2 + 2 x + 2
𝑥+3
𝑥−4
21. Si 𝑥 ∈ [ 2 , 3 ]; hallar el mayor número M / 𝑥−6 ≥ 𝑀.
22. Resolver:
g)
( x 2 + 5 x + 6)( x 4 − 16)( x 2 − 4 x − 12)
0
(1 − 3x) 3 ( x − 1)( x 2 + 1)
20. Si 𝑥 ∈ [10 ; 9] , hallar el menor valor M / 𝑥+6 ≤ 𝑀.
13 22
2
( x 2 + x − 6)( x 2 − x − 6)
x3 − 2 x3 − 4
0
k
)
( x 2 − 4)( x 2 − 2)
x2 +1 x2 + 2
19. Hallar los valores de a para los cuales −1
3
x
x−3
2
x +4 x +x+4
f )x 4 x 2
x
12 x + 1
x +1 5 x + 2
x3 − x 2 + 2 x + 4
1
x3 + 2 x 2 − x − 2
1
x
1
r)
2
x −1 2x +1 x − 2
o)2
i)
c)
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a) x + 5 + x 5
b) x 2 − x − 2 5 − x
d )x + 2 3 x3 + 8
e) 2 x − 9 3 − x
e)
32 − 2 x
x
x+2
h)
( x − 4) x 2 − 2 x + 2
0
x2 + 2
f)
k ) x 2 − 2 x + 2 −4
c) x − 94 x + 118 0
f ) − x − 1 + − 2x 0
2x − 8
5− x
+
0, ( 0, 0, 0)
x −1
x+3
i)
x −1 + x − 2
9 − x2 − x
0
j)
g) x + x − 2 0
x 2 + 3x + 4
21 + x 2 − 4
0
l ) x 2 x − 1 2 m) x 2 − 3 x + 2 x 2 + x
23. Determina el conjunto solución de:
a. |2𝑥 + 4| ≤ 6
a. |𝑥 + 6| > 2
b. |𝑥 2 − 4𝑥| ≤ 3
c. |3𝑥 − 7| > 2𝑥 + 1
d. |𝑥 − 2| + |3 − 𝑥| ≥ 1
e. |𝑥 + 2| + |𝑥 − 3| ≤ 5
f. |𝑥 2 − 4𝑥 + 3| ≤ 2
g. |𝑥 − 3| > √𝑥 + 1
𝑥−1
h. |𝑥+2| ≥ 2
i.
j.
|𝑥 2 − 4𝑥 + 3| ≤ 𝑥 2 − 2𝑥
|𝑥 2 −5𝑥+6|
|𝑥−3|
≥2
24. Resolver
a.
|−𝑥 2 +4𝑥|−5
1−√𝑥 2
≥0
b. ⟦√𝑥 − ⟦𝑥⟧⟧ = 0
c. 2⟦𝑥 + 1⟧2 − 11⟦𝑥⟧ ≤ −4
d. √(𝑥 − 5)(𝑥 + 2) + ⌈𝑥 + 2⌉ ≥ 0
e. 𝑙𝑜𝑔𝑥+1 (𝑥 2 + 𝑥 − 6)2 = 4
|𝑥−3|−2
25. Halle los elementos del conjunto {⟦ 𝑥+4 ⟧ /−3 < 𝑥 ≤ 6}
26. Resolver 4 ejercicios (pares o impares) de cada grupo (I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII) de
1.41 EJERCICIOS PROPUESTOS página 155 del libro de Análisis Matemático de
Eduardo Espinoza.
27. Halle el supremo y el ínfimo de los conjuntos
𝑛2 +1
a. { 𝑛−1 / 𝑛 ≥ 2 , 𝑛𝜖𝑍 + }
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1
b. {1 + 𝑛 / 𝑛 ≥ 1 , 𝑛𝜖𝑍 + }
25.
Hallar dominio y rango de las relaciones
a. 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ⁄𝑥 2 𝑦 2 − 2𝑥 + 𝑦 2 − 4 = 0}
b. 𝑅 = {(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ × ℝ⁄(𝑥 2 − 6𝑥 + 5)𝑦 2 = 4𝑦 − 1}
Discutir y graficar las siguientes relaciones
a. 𝑥 3 + 𝑥𝑦 2 − 𝑦 2 = 0
26.
𝑥 2 +1
b. 𝑦 = 2𝑥 2 −5𝑥+2
c. 𝑥𝑦 2 − 4𝑥 2 − 3𝑦 2 + 12𝑥 = 0
27. Halle dominio, rango y graficar las siguientes funciones:
a. 𝑓(𝑥) = ⟦1/𝑥⟧
b. 𝑓(𝑥) = 𝑥/(2𝑥 − ⟦𝑥⟧ )
𝑥2 − 1 ,
4<𝑥≤7
|𝑥| ,
𝑥≤4
c. 𝑓(𝑥) = {
2𝑠𝑔𝑛(3𝑥 − 4) + 5 , −2 < 𝑥 < 0
√2+𝑥
2𝑥+5
d. 𝑓(𝑥) = √9 − 𝑥 2 𝑠𝑔𝑛 ( 𝑥−1 ) + ⟦ 𝑥+3 ⟧ − 1
28. Escribir en línea la siguiente función
𝜋𝑥,
𝑠𝑒𝑛(2𝑥),
𝑓(𝑥) = {
𝑥 + cos (𝑥)
𝑥<𝜋
𝜋 ≤ 𝑥 < 3𝜋
3𝜋 ≤ 𝑥
29. Ejercicio 13 pág. 239 ANALISIS_MATEMATICO_CALCULO_I_Espinosa_R.pdf
30. Ejercicio 15 pág. 241 ANALISIS_MATEMATICO_CALCULO_I_Espinosa_R.pdf
31. Ejercicio 21 pág. 245 ANALISIS_MATEMATICO_CALCULO_I_Espinosa_R.pdf
32. Ejercicio 15 pág. 241 ANALISIS_MATEMATICO_CALCULO_I_Espinosa_R.pdf
33. Resolver. 2.15 Ejercicios propuestos pág. 241
ANALISIS_MATEMATICO_CALCULO_I_Espinosa_R.pdf
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Ejercicio 1 letras f y g.
Ejercicio 3 letras d y h.
Ejercicio 5 letras c y d.
Ejercicio 8 letras a y d.
Ejercicio 18 letra b.
Ejercicio 55
0
