Number systems and local networks

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Sistemas de numeración
REDES LOCALES
REDES LOCALES
Índice
1.
SISTEMAS DE NUMERACIÓN POSICIONALES ................................................................................................. 1
1.1. Qué Son.................................................................................................................................................. 1
1.2. Cómo Interpretar Cantidades ........................................................................................................... 2
2.
SISTEMA BINARIO ............................................................................................................................................... 4
2.1. Intercambios Binario - Decimal ......................................................................................................... 4
2.2. Direcciones IP ........................................................................................................................................ 5
2.3. Intercambios Binario – Sistemas con Base Potencia de 2 ............................................................ 6
2.4. Unidades de Medida de Almacenamiento ................................................................................... 7
3.
SISTEMA HEXADECIMAL .................................................................................................................................... 8
ACTIVIDADES ............................................................................................................................................................ 10
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
A
REDES LOCALES
1. SISTEMAS DE NUMERACIÓN POSICIONALES
1.1. QUÉ SON
Un sistema de numeración es aquél que emplea un conjunto de símbolos además de unas
determinadas reglas que permiten representar cantidades numéricas. Es decir, sirven para contar
cosas.
Los sistemas de numeración más utilizados actualmente son los posicionales, que tienen las
siguientes características:

Emplea un número determinado de símbolos diferentes para escribir cantidades. La
cantidad de símbolos determina la base del sistema.
Ejemplo:
El sistema decimal es de base 10 por emplear los símbolos del 0 al 9 para representar cantidades.

El valor de cada símbolo depende de sí mismo y de la posición que ocupa. Normalmente,
tendrá más valor cuanto más a la izquierda se sitúe.
Ejemplo:
El sistema egipcio era un sistema de numeración no posicional, esto quiere decir que los símbolos
siempre tienen el mismo valor, independientemente de la posición que ocupen dentro del número. El
sistema decimal es un sistema de numeración posicional: el símbolo “3” cambia su valor en función de
su posición, en un caso vale 30000 unidades y en el otro 3 unidades.

Los sistemas de numeración posicionales más usados actualmente son:
-
Sistema decimal: base 10, símbolos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
-
Sistema binario: base 2, símbolos 0,1
-
Sistema octal: base 8, símbolos 0,1,2,3,4,5,6,7
-
Sistema hexadecimal: base 16, símbolos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E,F
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1.2. CÓMO INTERPRETAR CANTIDADES
Todos los sistemas de numeración sirven para contar cosas, pero, para nosotros, esas cantidades
solo tienen sentido si las leemos en nuestro sistema de numeración nativo: el sistema decimal.
Podemos decir que los sistemas de numeración son diferentes idiomas para escribir las mismas
cantidades. Por ello, es fundamental saber traducir desde cualquier sistema hasta el decimal y
viceversa.
Para calcular el valor decimal de un número escrito en cualquier sistema de numeración posicional
se utiliza el Teorema fundamental de la numeración:
Dado un número escrito en base B, su valor decimal se calcula sumando cada uno de sus dígitos
(Xi) multiplicado por la base elevada a la posición (i) que ocupa dicho dígito:
𝑘
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙 = ∑ 𝑋𝑖 ∙ 𝐵𝑖 = 𝑋𝑘 ∙ 𝐵𝑘 + 𝑋𝑘−1 ∙ 𝐵𝑘−1 + ⋯ + 𝑋1 ∙ 𝐵1 + 𝑋0 ∙ 𝐵0
𝑖=0
siendo k el número de dígitos que forman el número.
Ejemplo:
Para calcular el valor decimal del número 23218
Primero hay que marcar las posiciones de cada dígito del número, empezando siempre por el cero y por la
derecha:
Después aplicamos la fórmula:
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙 = 2 ∙ 83 + 3 ∙ 82 + 2 ∙ 81 + 1 ∙ 80 =
= 2 ∙ 512 + 3 ∙ 64 + 2 ∙ 8 + 1 ∙ 1 =
= 1024 + 192 + 16 + 1 = 1233
Esto quiere decir que el número 23218 expresado en octal representa 1233 cosas.
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Para escribir un número decimal en un sistema de base B, basta con dividir sucesivamente el
número decimal entre la base B hasta llegar a cociente 0. Hecho esto, se recogen los restos en
sentido inverso.
Ejemplo:
Para calcular el valor octal del número 123310 hay que dividirlo sucesivamente entre la base a la que
queremos llegar, en este caso 8.
RECUERDA:

El teorema fundamental solo se utiliza para calcular el valor decimal de números escritos en
otras bases. Es el traductor universal que nos permite interpretar las cantidades escritas en
otros sistemas.

Solo se dividen los números decimales.

Para recordar si debes multiplicar o dividir, utiliza “Desde Decimal Dividir”

Las operaciones NUNCA se realizan con el 10, siempre con la otra base.
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2. SISTEMA BINARIO
2.1. INTERCAMBIOS BINARIO - DECIMAL
El sistema binario es un sistema de numeración posicional de base 2 cuyos dígitos son 0 y 1.
Los intercambios entre el sistema binario y el sistema decimal se realizan como ya hemos visto:


De binario a decimal: teorema fundamental de la numeración.
De decimal a binario: dividiendo sucesivamente entre 2 y recogiendo los restos.
Ejemplo:
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙 = 1 ∙ 24 + 0 ∙ 23 + 1 ∙ 22 + 0 ∙ 21 + 1 ∙ 20 = 21
Estas operaciones se pueden simplificar mucho teniendo en cuenta que los dígitos de un número
binario solo pueden ser 0 y 1, es decir, no es necesario multiplicar por los dígitos del número binario,
basta con “sumar” o “no sumar” el peso o la potencia correspondiente a su posición. En caso de
querer pasar un decimal a binario, el proceso consistirá en “restar” o “no restar”.
En este caso, hemos colocado solo 8 posiciones, pero
podemos construir la tabla con tantas como
necesitemos.
Ejemplo:
Para averiguar el valor decimal de un número binario sumamos los pesos de los “unos”:
128
64
101012 
32
16
1
8
0
4
1
2
0
1
1
 16 + 4 + 1 = 2110
Para escribir un decimal en binario, iremos restando los pesos “que quepan”:
2110 
16
8
4
2
1
El primer peso
que puedo
restar es 16
21–16 = 5
No puedo
restar 8 (solo
quedan 5 por
repartir)
Puedo restar 4
5–4=1
No puedo
restar 2 (solo
queda 1 por
repartir)
Puedo restar 1
1–1=0
1
0
1
0
1
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 101012
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2.2. DIRECCIONES IP
Las direcciones IP sirven para identificar y localizar a los dispositivos dentro de una red.
Se componen de 32 bits agrupados en 4 paquetes de 8 bits, aunque lo habitual es utilizar la
notación decimal con puntos. Para ello, se convierte a decimal cada uno de los 4 paquetes de 8
bits que forman la IP y los resultados se separan mediante puntos.
Ejemplo:
Una dirección IP está formada por un número en binario de 32 bits como, por ejemplo:
10001111010101100011110101100001.
Puesto que resulta bastante engorroso trabajar con el sistema binario, es más sencillo especificar las
direcciones IP como cuatro números decimales comprendidos entre 0 (00000000 en binario) y 255 (11111111
en binario) separados por puntos. La conversión se realiza de ocho en ocho bits:
Para pasar una IP de notación decimal con puntos a formato binario, hay que convertir cada número decimal
a binario de 8 bits, rellenando en caso necesario:
143 = 10001111
86=1010110  01010110
61=111101  00111101
97=1100001  01100001
143.86.61.97 = 10001111 01010110 00111101 01100001
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2.3. INTERCAMBIOS BINARIO – SISTEMAS CON BASE POTENCIA DE 2
Existe un cambio directo entre el sistema binario y todos los sistemas cuya base son potencia
exacta de 2: hexadecimal (B=16), octal (B=8) y cuaternario (B=4).
En estos casos, en lugar de considerar el número completo, trabajamos dígito a dígito. Para ello,
hay que tener en cuenta la base del sistema con el que trabajamos:



Hexadecimal: B = 16 = 24  cada dígito hexadecimal se escribe con 4 bits (dígitos binarios).
Octal: B = 8 = 23  cada dígito octal se escribe con 3 bits.
Cuaternario: B = 4 = 22  cada dígito cuaternario se escribe con 2 bits.
Para pasar a binario un número escrito en una de estas bases, traducimos cada dígito a binario
como si se tratase de un decimal, pero teniendo en cuenta la cantidad de bits que debe ocupar
(rellenamos con ceros por la izquierda si es necesario).
Ejemplo:
Si queremos convertir a binario el número 2538, pasaremos a binario de 3 bits (23=8) cada uno de sus dígitos:



2 = 102 = 0102 (rellenamos por la izquierda hasta llegar a los 3 bits).
5 = 1012
3 = 112 = 0112
Ahora solo hay que colocarlos en orden:
2538 
2
010
5
101
3
011
 0101010112
 101010112
(podemos tachar los ceros a la
izquierda solo del número completo)
Para pasar un binario a cualquiera de estas bases, agrupamos desde la derecha los bits en
paquetes del tamaño adecuado (según la base a la que queremos llegar) y traducimos a decimal
cada uno de estos paquetes.
Ejemplo:
Si queremos pasar a octal el número 10101011 2, haremos paquetes de 3 bits (23=8) empezando por la
derecha. Si es necesario, añadimos ceros a la izquierda:
101010112  010 101 011
Ahora solo hay que traducir cada paquete a decimal y colocarlos en orden:
101010112 
010
2
101
5
011
3
 2538
RECUERDA:

Solo hay intercambios directos entre (decimal)(cualquier base) y (binario)(B16,B8,B4).
Para intercambios entre otras bases (por ejemplo, entre hexadecimal y octal) hay que
pasar por decimal o por binario como paso intermedio,
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2.4. UNIDADES DE MEDIDA DE ALMACENAMIENTO
Aunque nuestro sistema de numeración nativo es el decimal, debemos manejar el sistema binario
puesto que en informática todo se mide en bits.
Un bit (b) es la unidad básica de información y puede valer 0 ó 1. Los bits se agrupan en bytes (B) y
ambos tienen distintos factores de multiplicación basados en el sistema binario para poder trabajar
con cantidades grandes.
1 Byte (B) = 8 bits
1 Kilobyte (KB) = 1024 B = 210 B
1 Megabyte (MB) = 1024 KB = 220 B
1 Gigabyte (GB) = 1024 MB = 230 B
1 Terabyte (TB) = 1024 GB = 240 B
Ejemplo:
¿Cuántos bits ocupa un vídeo de 6,54,MB?
En redes, los intercambios entre diferentes unidades son muy importantes, ya que las cantidades de
información que se transmiten se suelen medir en GB pero su velocidad de transmisión siempre es
en bps (bits por segundo) y sus múltiplos.
Ejemplo:
¿Cuánto tiempo tardaré en descargar el vídeo anterior con una conexión de 300 Mbps?
En este tipo de ejercicios, siempre es recomendable pasar la cantidad de datos a las unidades de la
velocidad: 6,54,MB = 53,32 Mb
Si 300 Mb tardan 1 segundo, 53,32 Mb tardarán 53,32 / 300 = 0,17 segundos
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3. SISTEMA HEXADECIMAL
El sistema hexadecimal es un sistema de numeración posicional de base 16 cuyos dígitos son [0-9] y
[A-F].
A la hora de realizar operaciones de cambios de sistema de numeración, la letra A representa 10
unidades, B=11 y así sucesivamente. Es muy importante recordar que solo se sustituyen las letras por
su valor numérico durante el desarrollo de las operaciones, nunca antes de comenzarlas.
Los intercambios entre el sistema hexadecimal y el sistema decimal se realizan como ya hemos
visto:


De hexadecimal a decimal: teorema fundamental de la numeración.
De decimal a binario: dividiendo sucesivamente entre 16 y recogiendo los restos.
Ejemplo:
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙 = 𝐵 ∙ 161 + 0 ∙ 160 = 11 ∙ 161 + 0 ∙ 160 = 176
Solo cambiamos la B por las 11 unidades que representa una vez planteada la operación, nunca antes.
Observa la diferencia: si sustituimos la letra B por un “11” antes de hacer las operaciones,
B016  11016
𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑚𝑎𝑙 = 1 ∙ 162 + 1 ∙ 161 + 0 ∙ 160 = 272
Ejemplo:
Hay que ser cuidadoso al recoger los restos: cada resto equivale a un dígito hexadecimal
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Los intercambios entre el sistema hexadecimal y el sistema binario se realizan teniendo en cuenta
que la base del sistema hexadecimal es 16 = 24, por tanto, cada dígito hexadecimal se escribe con
4 bits.
Ejemplo:
Si queremos convertir a binario el número 2C3 16, pasaremos a binario de 4 bits (24=16) cada uno de sus dígitos:



2 = 102 = 00102 (rellenamos por la izquierda hasta llegar a los 4 bits).
C = 11002
3 = 112 = 00112
Ahora solo hay que colocarlos en orden:
2C38 
2
0010
C
1100
3
0011
 0010110000112
 10110000112
(podemos tachar los ceros a la
izquierda solo del número completo)
Ejemplo:
Si queremos pasar a hexadecimal el número 10110000112, haremos paquetes de 4 bits (24=16) empezando por
la derecha. Si es necesario, añadimos ceros a la izquierda:
10110000112  0010 1100 0011
Ahora solo hay que sustituir el valor de cada paquete por separado:
0010110000112 
0010
2
1100
C
0011
3
 2C316
NOTA:

No es necesario estudiar la tabla de equivalencias (aunque por el uso se aprende). Basta
con pasar a binario los equivalentes decimales de cada hexadecimal: la letra D equivale
a 13 unidades que, pasado a binario es 1310 = 11012
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ACTIVIDADES
1. Averigua qué cantidades representan los siguientes números:
0110112
1234
2255
7008
2316
22010  B5
15310  B8
14710  B16
130
143
2. Realiza las siguientes conversiones:
19210  B2
12310  B4
3. Utiliza la “tabla de pesos” para rellenar la siguiente tabla:
DEC
BIN
37
253
101010
191
10101010
111101
10011001
1001111
4. Utiliza las conversiones directas para escribir los binarios del ejercicio anterior en B4 y B8.
5. Completa la siguiente tabla de IPs en diferentes formatos:
DECIMAL
BINARIO
01011111111101011011101100101010
11000011101110000011001110011001
10110001111011100101010011011011
00010011011000101011001100001011
11011111101111110111111100000000
95.245.187.42
194.184.51.153
177.238.84.219
19.98.179.11
223.191.127.0
6. Realiza las siguientes conversiones:
20 KB  b
3 Gb  MB
12288 b  KB
3 GB  Mb
5 Mb  Kb
10240 Kb  MB
2 MB  Kb
4 Mb  KB
4 MB  KB
5120 Kb  Mb
7. ¿Cuánto tiempo tardaré en descargarme un archivo de 770KB con una conexión de
1Mbps? ¿y si aumento mi conexión a 5Mbps?
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8. Queremos contratar una conexión a internet que permita descargar películas en calidad
DVD (4,7GB) en tiempo no superior a 3 horas. ¿Cuál será la velocidad mínima de la línea
contratada? Exprésalo en Mbps.
9. Completa la siguiente tabla de conversiones numéricas:
B16
B10
B8
B4
B2
AB
125
37
202
10110100
B1
254
136
331
111010100
10. Escribe las IPs del ejercicio 5 en formato hexadecimal.
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11. Ampliación: tabla de conversiones.
B16
5
71
2A
98
6A
F2
9D
D4
2C
C4
FC
37
B2
66
33
55
54
65
3B
2
F4
E9
6A
49
D3
90
67
DB
65
25
4F
40
2A
95
73
F8
12
BE
BA
A7
6A
8
20
1A
3
80
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B10
5
113
42
152
106
242
157
212
44
196
252
55
178
102
51
85
84
101
59
2
244
233
106
73
211
144
103
219
101
37
79
64
42
149
115
248
18
190
186
167
106
8
32
26
3
128
B8
5
161
52
230
152
362
235
324
54
304
374
67
262
146
63
125
124
145
73
2
364
351
152
111
323
220
147
333
145
45
117
100
52
225
163
370
22
276
272
247
152
10
40
32
3
200
B4
11
1301
222
2120
1222
3302
2131
3110
230
3010
3330
313
2302
1212
303
1111
1110
1211
323
2
3310
3221
1222
1021
3103
2100
1213
3123
1211
211
1033
1000
222
2111
1303
3320
102
2332
2322
2213
1222
20
200
122
3
2000
B2
101
1110001
101010
10011000
1101010
11110010
10011101
11010100
101100
11000100
11111100
110111
10110010
1100110
110011
1010101
1010100
1100101
111011
10
11110100
11101001
1101010
1001001
11010011
10010000
1100111
11011011
1100101
100101
1001111
1000000
101010
10010101
1110011
11111000
10010
10111110
10111010
10100111
1101010
1000
100000
11010
11
10000000
12
REDES LOCALES
12. Ampliación: tabla de conversiones.
99586256
034417B2
C448002D
B6F4B78D
4EE5DC8C
6E247D26
3402F142
A8FB8503
B0E5A89E
3FDE29BF
72583FAA
96F5BFF7
D19F89E9
A0F6C3A2
09E430EC
4557E546
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
153.88.98.86
3.68.23.178
196.72.0.45
182.244.183.141
78.229.220.140
110.36.125.38
52.2.241.66
168.251.133.3
176.229.168.158
63.222.41.191
114.88.63.170
150.245.191.247
209.159.137.233
160.246.195.162
9.228.48.236
69.87.229.70
13