Universidad Centroamericana “José Simeón Cañas”
Facultad de Ciencias Económicas y Empresariales
Departamento de Matemática
Matemática II
Guía #1: Representación gráfica de funciones
Para las siguientes funciones, determine sus puntos de corte, puntos críticos y puntos de inflexión si los tienen,
intervalos dónde crece y decrece, máximos y mínimos relativos, intervalos dónde es cóncava hacia arriba y hacia
abajo. A suvez, elabore un cuadro de variación de derivadas y realice un bosquejo de esta. Corrobore su respuesta
en un graficador.
1) 𝑦 = 𝑥 3 + 3
2) 𝑦 = 4𝑥 3 − 3𝑥 4
9
47
3) 𝑦 = 5 𝑥 5 − 3 𝑥 3 + 10𝑥
4) 𝑦 = 3𝑥 4 − 4𝑥 3 + 1
3
5) 𝑦 = √𝑥 (𝑥 − 2)
3
6) 𝑦 = √𝑥 3 − 9𝑥
7) 𝑦 = 𝑥2 (𝑥 + 3)4
8) 𝑦 = (𝑥 − 1)2 (𝑥 + 2)2
9) 𝑦 = 2√𝑥 − 𝑥
10) 𝑦 = 𝑥 (1 − 𝑥)2/5
Respuestas
1. 𝑦 = 𝑥 3 + 3
3
Puntos de corte: (√−3, 0) 𝑦 (0,3)
Punto de crítico: (0,3)
Punto de inflexión: (0,3)
Cuadro de variación:
−∞
0
+∞
𝑓(𝑥)
𝑓′(𝑥)
+
𝑓′′(𝑥)
Crece en:]−∞ ,+∞[
Cóncava hacia arriba: ]0, +∞[
Cóncava hacia abajo: ]−∞ ,0[
2. 𝑦 = 4𝑥 3 − 3𝑥 4
4
Puntos de corte: (0,0) 𝑦 (3 , 0)
Punto de crítico: (1,1) (Máximo absoluto)
2 16
Punto de inflexión: ( , )
3 27
+
Cuadro de variación:
−∞
2
3
0
1
+∞
𝑓(𝑥)
𝑓′(𝑥)
+
+
+
-
𝑓′′(𝑥)
Crece en: ]−∞ ,1[
Decrece en: ]1 ,+∞[
2
Cóncava hacia arriba: ]0, 3[
2
Cóncava hacia abajo: ]−∞ ,0[ U ]3,+∞[
9
47
3. 𝑦 = 5 𝑥 5 − 3 𝑥 3 + 10𝑥
Puntos de corte: (−2.8302,0) , (−0.8360,0), (0,0), (0.8360,0) 𝑦 (2.8302,0)
Punto de crítico: (−2.2361, 52.1749), (−0.4714, −3.1148), (2.2361, −52.1749) 𝑦 (0.4714,3.1148)
(Máximo absoluto)
(Mínimo relativo)
(Mínimo absoluto)
(Máximo relativo)
Punto de inflexión: (−1.5169,30.1125), (1.5169, −30.1125), (0,0)
Cuadro de variación:
−∞
−2.2361
−1.5169
−0.4714
0
0.4714
1.5169
-
-
2.2361
+∞
𝑓(𝑥)
𝑓′(𝑥)
+
-
-
+
+
𝑓′′(𝑥)
Crece en: ]−∞ ,−2.2361[ U ]−0.4714,0.4714[ U ]2.2361,+∞[
Decrece en: ]−2.2361 ,−0.4714[ U ] 0.4714, 2.2361[
Cóncava hacia arriba: ]−1.5169,0[ U ]1.5169,+∞[
Cóncava hacia abajo: ]−∞ ,−1.5169[ U ]0,1.5169 [
4. 𝑦 = 3𝑥 4 − 4𝑥 3 + 1
Puntos de corte: (0,1) 𝑦 (1,0)
Punto de crítico: (0,1) 𝑦 (1,0) (Mínimo absoluto)
2 √445
Punto de inflexión: (0,1) 𝑦 (3 , 27 )
+
Cuadro de variación:
−∞
2
3
0
1
+∞
𝑓(𝑥)
𝑓′(𝑥)
+
+
+
-
𝑓′′(𝑥)
Crece en: ]1 ,+∞[
2
Decrece en: ]−∞, 3 [
2
3
Cóncava hacia arriba: ]−∞ ,0[ U ] ,+∞[
2
Cóncava hacia abajo: ]0,3 [
3
5. 𝑦 = √𝑥 (𝑥 − 2)
Puntos de corte: (0,0) 𝑦 (2,0)
1
3
Punto de crítico: (0,0) 𝑦 (2 , − 3 ) (Mínimo absoluto)
2 √2
Punto de inflexión: (−1,3)
Cuadro de variación:
−∞
-1
1
2
0
+∞
𝑓(𝑥)
𝑓′(𝑥)
-
-
-
+
𝑓′′(𝑥)
1
Crece en: ]2,+∞[
1
2
Decrece en: ]−∞, [
Cóncava hacia arriba: ]-1,+∞[
Cóncava hacia abajo: ] −∞, 1[
3
6. 𝑦 = √𝑥 3 − 9𝑥
Puntos de corte: (−3,0), (0,0) 𝑦 (3,0)
Punto de crítico: (−√3, 2.1822), (√3, −2.1822) y (0,0)
(Máximo relativo) (Mínimo relativo)
Punto de inflexión: (−3,0), (0,0) 𝑦 (3,0)
Cuadro de variación:
−∞
−3
−√3
0
3
√3
+∞
𝑓(𝑥)
𝑓′(𝑥)
+
+
-
-
+
+
𝑓′′(𝑥)
Crece en: ]−∞,−√3[ U ]√3, +∞[
Decrece en: ]−√3, √3 [
Cóncava hacia arriba: ]−∞,−3[ U ]0,3[
Cóncava hacia abajo: ] −3,0[ U ]3, +∞[
7. 𝑦 = 𝑥 2 (𝑥 + 3)4
Puntos de corte: (−3,0) 𝑦 (0,0)
Punto de crítico: (−3,0), (−1,16) 𝑦
(0,0)
(Mín. abs.), (Mín. abs.) y (Máx. relativo)
Punto de inflexión: (−1.6325,9.3207) 𝑦 (−0.3675,6.4873)
Cuadro de variación:
−∞
𝑓(𝑥)
𝑓′(𝑥)
𝑓′′(𝑥)
−3
-
−1.6325
+
+
−1
−0.3675
-
0
-
+∞
+
Crece en: ]−3,−1[ U ]0, +∞[
Decrece en: ]−∞, −3 [ U ]−1,0 [
Cóncava hacia arriba: ]−∞,−1.6325[ U ]−0.3675, +∞[
Cóncava hacia abajo: ] −1.6325, −0.3675 [
8. 𝑦 = (𝑥 − 1)2 (𝑥 + 2)2
Puntos de corte: (−2,0), (1,0) 𝑦 (0,4)
Punto de crítico: (−2,0),
(1,0)
(Mín. abs.),(Mín. abs.)
1
𝑦 (− 2 , 5.0625)
(Máx. relativo)
Punto de inflexión: (−1.3660,2.2501) 𝑦 (0.3660,2.2501)
Cuadro de variación:
−∞
−2
−1.3660
1
−2
0.3660
1
+∞
𝑓(𝑥)
𝑓′(𝑥)
-
+
+
𝑓′′(𝑥)
1
Crece en: ]−2,− 2 [ U ]1, +∞[
1
Decrece en: ]−∞, −2 [ U ]− 2 ,1 [
Cóncava hacia arriba: ]−∞,−1.3660[ U ]−0.3660, +∞[
Cóncava hacia abajo: ] −1.3660, −0.3660 [
-
-
+
9. 𝑦 = 2√𝑥 − 𝑥
Puntos de corte: (0,0) 𝑦 (4,0)
Punto de crítico: (0,0) 𝑦 (1,1) (Máximo absoluto)
Punto de inflexión: No tiene
Cuadro de variación:
0
1
+∞
𝑓(𝑥)
𝑓′(𝑥)
+
Crece en: ]0,1[
Decrece en: ]1, ∞[
10. 𝑦 = 𝑥(1 − 𝑥)2/5
Puntos de corte: (0,0) 𝑦 (1,0)
5
Punto de crítico: (7 , 0.4327) 𝑦 (1,0)
(Máx. relativo) (Mín. relativo)
10
Punto de inflexión: ( 7 , 1.0179)
Cuadro de variación:
−∞
5
7
0
10
7
1
+∞
𝑓(𝑥)
𝑓′(𝑥)
+
+
𝑓′′(𝑥)
5
Crece en: ]−∞ , 7 [ U ] 1 ,+∞ [
5
Decrece en: ]7 , 1[
10
Cóncava hacia arriba:] 7
, +∞[
10
Cóncava hacia abajo: ] −∞, 7 [
-
+
+
0
