Método Newton Raphson

Método Newton Raphson
Paso 1. Calcular la primera derivada de la función f(x)
𝑓(𝑥) =
1 3
𝑥 − 𝑥 2 − 3𝑥 + 4
3
𝒇´(𝒙 ) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟑
Paso 2: Se substituye en la fórmula de Newton-Raphson
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 -
1 3
𝑥 −𝑥 2 −3𝑥+4
3
𝑥 2 −2𝑥−3
Se gráfica
Se sustituye en la función original 𝑓(𝑥) = 0
1
𝑓(𝑥) = 3 𝑥 3 − 𝑥 2 − 3𝑥 + 4
1
𝑓(𝑥) = (0)3 − (0)2 − 3(0) + 4
3
𝑓(𝑥) = 4, se obtiene los puntos (0,4), en la gráfica se observa estos puntos (x,y)
Al observar la gráfica se buscan las raíces y se inicia como punto de partida x=1
Se toma como Primera Interacción 𝒙𝟏 = 𝟏
𝑥𝑖+1 = 𝑥𝑖 -
1 3
𝑥 −𝑥 2 −3𝑥+4
3
𝑥 2 −2𝑥−3
Se sustituye la primera interacción 𝒙𝟏 = 𝟏 en la ecuación de Newton-Raphson para obtener una segunda
interacción y se obtiene:
𝑥2 = 1 -
𝑓(1)
𝑓´(1)
=1 -
1
(1)3 −(1)2 −3(1)+4
3
(1)2 −2(1)−3
=1−
1
−1−3+4
3
1−2−3
1
𝒙𝟐 = 1 + 12 = 𝟏. 𝟎𝟖𝟑 punto de inflexión
Al observar la gráfica se comprueba con precisión el punto de inflexión
=1−
1
3
−4
=1+
1
12
Tercera interacción:
Con el resultado de la segunda interacción 𝒙𝟐 = 𝟏. 𝟎𝟖𝟑
𝑥3 = 1.083 0.0016
0.3388
𝑓(1.083)
= 1.083 𝑓´(1.083)
1
(1.083)3 −(1.083)2 −3(1.083)+4
3
(1.083)2 −2(1.083)−3
=1.083 -
0.4234−1.1728−3.249+4
= 1.083 − 0.0047 = 1.0783
Falta calcular la concavidad. Ya me dio sueño mañana le sigo
1.1728+2.166−3
= 1.083 −
Determine la concavidad y los puntos de inflexión si es que los hay a partir de la siguiente
información
𝑓(𝑥) =
1 3
𝑥 − 𝑥 2 − 3𝑥 + 4
3
𝑓´(𝑥) = 𝑥 2 − 2𝑥 − 3 Primera derivada
𝑓´´(𝑥) = 2𝑥 − 2 Segunda derivada
Paso 1
Se procede a igualar la segunda derivada con cero
𝑓´´(𝑥) = 2𝑥 − 2 = 0
Paso 2
Se resuelve la ecuación
2𝑥 − 2 = 0
2𝑥 = 2
𝑥=
2
2
𝑥=1
Paso 3
Se elabora una tabla de signos
-∞
1
+∞
2𝑥 − 2 = 0
+
-
𝑓´´(𝑥) =
+
-
𝑓´´(𝑥) =
Recuerde:
f´´ (x)> 0, entonces f es cóncava hacia arriba.
f´´ (x) < 0, entonces f es cóncava hacia abajo
Paso 4
De acuerdo a la tabla de signos
𝑥 = 1, la función cambia de c
𝑓(𝑥) =
1 3
𝑥 − 𝑥 2 − 3𝑥 + 4
3
1
𝑓(𝑥) = 3[ (𝑥)3 − (𝑥)2 − 3(𝑥) + 4]
3
𝑓(𝑥) = [(𝑥)3 − 3(𝑥)2 − 9(𝑥) + 12]
𝑓(1) = (1)3 − 3(1)2 − 9(1) + 12
𝑓(1) = 1 − 3 − 9 + 12
𝑓(1) = 1
𝑷(𝟏, 𝟏)
Paso 5
Intervalos de concavidad
cóncava hacia arriba
cóncava hacia abajo
Paso 6
Respuesta: Intervalos de concavidad y punto de inflexión
-∞
2𝑥 − 2 = 0
+
𝑓´´(𝑥) =
+
𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝐼𝑛𝑓𝑙𝑒𝑥𝑖ó𝑛
𝑷(𝟏, 𝟏)
Paso 7