CÁLCULO DIFERENCIAL

CÁLCULO
DIFERENCIAL
Equipo 4
Prueba de la Primera Derivada / Concavidad
y Puntos de Inflexión
Estos son los ejercicios que deberá el equipo explicar dentro de la
clase, este equipo tendrá un máximo de 5 integrantes, y deberá
valerse de materiales o presentaciones, no solo explicación de
pizarrón, para dar a entender el tema.
Cálculo Diferencial
Cálculo Diferencial
PRUEBA DE LA PRIMERA DERIVADA / CONCAVIDAD Y PUNTOS DE
INFLEXIÓN
Funciones creciente y decreciente
.
Una función que siempre es creciente o
decreciente en un intervalo, se dice que es
monótona en ese intervalo.
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Cálculo Diferencial
En la figura de la izquierda se esboza la
interpretación geométrica del teorema: "Prueba
de la primera derivada".
En la parte izquierda de la figura se tiene un
valor máximo relativo en c, y se observa que f
'(x)>0 para x<c (en algún intervaloque tiene a c
como su extremo derecho) y f '(x)<0 para x>c
(en algún intervalo que tiene a c como su
extremo izquierdo); en la parte derecha se tiene
un valor mínimo relativo en c, y se observa que
f '(x)<0 para x<c (en algún intervalo que tiene a
c como su extremo derecho) y f '(x)>0 para x>c
(en algún intervalo que tiene a c como su
extremo izquierdo)
Procedimiento
Para determinar los valores extremos relativos de una función se procede de
la siguiente manera:
1. Se halla la derivada de la función: f '(x)
2. Se hallan los #s críticos de la función, esto es los valores de x para los
cuales
f '(x) = 0 o para los cuales f ' no existe.
3. Se aplica el criterio de la primera derivada
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 14, proceda a lo siguiente: (a) obtenga los extremos relativos de f
aplicando la prueba de la primera derivada; (b) determine los valores x en los que ocurren
extremos relativos; (c) determine los intervalos en los que f es creciente; (d) determine los
intervalos en los cuales f es decreciente; (e) trace la gráfica correspondiente.
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Cálculo Diferencial
Soluciones
x
f (x)
f '(x)
Conclusión
f decrece
0
f tiene un mínimo relativo
+
f crece
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Cálculo Diferencial
x
f (x)
f '(x)
Conclusión
+
f crece
0
f tiene un máximo relativo
f decrece
0
f tiene un mínimo relativo
+
f crece
Tabla de valores
x
y
-1
-1
-1/3
5/27
0
0
1
-1
2
2
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Cálculo Diferencial
x
f (x)
f '(x)
Conclusión
+
f crece
f decrece
4
0
f tiene un máximo relativo
0
f tiene un mínimo relativo
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Cálculo Diferencial
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Cálculo Diferencial
Tabla de valores
x
-6
-2.5
-1.5
0
2
6
y
2
9
-7
-1
0
0.5
Aplicando el criterio de la primera derivada, se resumen los resultados en la siguiente tabla:
x
f (x)
f '(x)
Conclusión
+
No existe
f crece
No existe
f decrece
0
f tiene un mínimo relativo
+
f crece
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Cálculo Diferencial
Aplicando el criterio de la primera
derivada, se resumen los resultados en la
siguiente tabla:
x
f (x)
0
0
f '(x)
Conclusión
+
f crece
0
No hay un extremo relativo
+
f crece
0
f tiene un máximo relativo
−
f decrece
0
f tiene un mínimo relativo
+
f crece
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Cálculo Diferencial
Concavidad y puntos de inflexión
(fig.1)
(fig.2)
(fig.3)
Los posibles puntos de inflexión se identifican despejando a x de la ecuación que resulta una vez se ha
igualado la segunda derivada de la función a cero; o para los valores de x para los cuales la segunda derivada
no existe.
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Cálculo Diferencial
Ejercicios resueltos
En los ejercicios 1 a 7, halle los puntos de inflexión de la gráfica de la función que se indica,
si los hay. Determine dónde la gráfica es cóncava hacia arriba y dónde lo es hacia abajo. Trace
la gráfica y muestre un segmento de cada tangente de inflexión.
Soluciones
En la siguiente tabla se resumen los
resultados obtenidos:
x
f (x)
0
f '(x)
9
f ''(x)
Conclusión
−
la gráfica de f es cóncava hacia abajo
0
f tiene un punto de inflexión
+
la gráfica de f es cóncava hacia arriba
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Cálculo Diferencial
fig.2
x
f (x)
0
-256
f '(x)
0
-128
f ''(x)
Conclusión
+
la gráfica de f es cóncava hacia arriba
0
f tiene un punto de inflexión
−
la gráfica de f es cóncava hacia abajo
0
f tiene un punto de inflexión
+
la gráfica de f es cóncava hacia arriba
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Cálculo Diferencial
En la tabla que sigue se resumen los resultados obtenidos:
x
f (x)
f '(x)
f ''(x)
0
no existe
Conclusión
+
la gráfica de f es cóncava hacia arriba
no existe
f tiene un punto de inflexión
−
la gráfica de f es cóncava hacia abajo
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