Aplicaciones de la derivada La derivada en el análisis de funciones

Aplicaciones de la derivada
La derivada en el
análisis de funciones
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
Habilidades
1. Describe el comportamiento de una función a
partir de su primera derivada.
2. Explica el concepto de concavidad de una gráfica.
3. Explica el concepto de punto de inflexión.
4. Traza la gráfica, analizando todos los elementos.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
Funciones crecientes y decrecientes
Función creciente en un
intervalo I:
Función decreciente en un
intervalo I:
f(x1) < f(x2) siempre que x1 < x2 f(x1) > f(x2) siempre que x1 < x2
y
y
f(x1)
x1
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
f(x1)
f(x2)
x2
x
x1
f(x2)
x2
x
Prueba creciente - decreciente
Si f ′(x) > 0 para toda x ∈ I entonces f es creciente en I
Si f ′(x) < 0 para toda x ∈ I entonces f es decreciente en I
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
Ejemplo
Determinar en dónde es creciente y en dónde es decreciente
la función:
f (x) = 3x 4 − 4x 3 − 12x 2 + 5
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
Prueba de la primera derivada
Sea f continua y c un punto crítico de f
f ′ cambia de + a - ⇒ f tiene máximo local en c
f ′ cambia de - a + ⇒ f tiene mínimo local en c
f ′ mantiene el signo
y f′ > 0
f′ < 0
⇒ f no tiene extremo local en c
y
f′ > 0
f′ > 0
y f′ < 0
f′ > 0
c
y
c
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
x
c
x
f′ < 0
x
f′ < 0
c
x
Concavidad de la gráfica de una función
Si la gráfica de f está por encima de sus rectas
tangentes en un intervalo I, entonces se dice
que la gráfica es cóncava hacia arriba en ese
intervalo
Si la gráfica de f está por debajo de sus rectas
tangentes en un intervalo I, entonces se dice
que la gráfica es cóncava hacia abajo en ese
intervalo
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
Prueba de concavidad
Si f ' ' (x ) > 0 para toda x ∈ I
y
entonces la gráfica de f es
cóncava hacia arriba en I
x
y
Si f ' ' (x ) < 0 para toda x ∈ I
entonces la gráfica de f es
cóncava hacia abajo en I
x
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
Punto de inflexión
Un punto P de una curva se llama punto de inflexión si se
cumplen las tres condiciones siguientes:
1 La curva es continua en P
2 La curva posee recta tangente en P
3 La curva cambia de concavidad a ambos lados de P.
y
y
P
P
y
x
P
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
y
x
P
x
x
Prueba de la segunda derivada
Sea f ” continua en una vecindad de c.
Si f ′(c) = 0 y f ' ' (c ) > 0
entonces f tiene un
mínimo local en c
y
Si f ′(c) = 0 y f ' ' (c ) < 0
entonces f tiene un
máximo local en c
y
c
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
x
c
x
Ejemplo
Trace al gráfica de la función:
f (x ) = x 4 − 4 x 3
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
Ejemplo
Trace al gráfica de la función:
f (x) = x 2/3(6 − x)1/3
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
Ejemplo
Trace al gráfica de la función:
f (x) = e1/x
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable
Bibliografía
“Cálculo de una variable”
Cuarta edición
James Stewart
Ejercicios 4.3 pág 302:
2, 6, 14, 18, 20, 26, 28, 40, 42, 44, 46, 48.
Cálculo Diferencial e
Integral de Una Variable