Análisis Numérico
Ing. Oscar Segura
Aproximación e Interpolación.
Introducción
El problema de la teoría de aproximación discreta consiste en el ajuste de funciones a
unos datos conocidos y encontrar la que "mejor" represente al conjunto de datos en el
sentido de los mínimos cuadrados.
Por otra parte, la interpolación es un proceso por el cual se busca una función
interpoladora (en nuestro caso un polinomio) que pase a través de todos los puntos de
un conjunto dado.
Suponiendo que contamos con un set de datos en forma de tabla
dos situaciones:
, se pueden dar
Los datos son "ruidosos", es decir, tienen errores de observación y su tabla no es
funcional.
Los datos no son "ruidosos", es decir, carecen de errores de observación y su tabla es
funcional.
El primer grupo se modela mediante modelos de ajuste o "fitting", mientras que el
segundo mediante modelos de interpolación. Esto último se refiere a encontrar una
función que "pase" (o interpole) por todos los datos de la tabla, y es lo que se estudia en
esta sección, particularmente con polinomios. Utilizando estos polinomios se puede
aproximar el valor de la función original sobre puntos que no conocemos por la tabla
dada.
La interpolación consiste en hallar un dato dentro de un intervalo en el que conocemos
los valores en los extremos.
La extrapolación consiste en hallar un dato fuera del intervalo conocido, pero debe
tenerse en cuenta que esté próximo a uno de sus extremos, pues en otro caso no es muy
fiable el resultado obtenido.
1.- Planteamiento general
El problema general de la interpolación se nos presenta cuando nos dan una función de
la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma:
(xo, yo), (x1, y1),........., (xn, yn)
y se pide hallar el valor de un punto x (intermedio de x0 y xn) de esta función.
El de la extrapolación cuando el punto que queremos considerar está a la derecha de xn
o a la izquierda de xo. Se desea, por tanto encontrar una función cuya gráfica pase por
esos puntos y que nos sirva para estimar los valores deseados.
El tratamiento para ambos problemas es similar se utilizarán los polinomios
“interpoladores”, pero en el caso de la extrapolación el punto debe estar muy próximo a
uno de los extremos.
2. Elección de la interpolación adecuada.
Consideremos una función de la cual solo conocemos una serie de puntos de la misma:
(xo, yo), (x1, y1), .............., (xn, yn)
Deseamos encontrar la expresión analítica de dicha función para poder estudiarla en
otros puntos. Ahora bien, por n+1 puntos pasan infinitas funciones, ¿con cuál de ellas
nos quedamos? Lo más lógico es recurrir a la más sencilla. La familia de funciones más
sencillas es la de los polinomios, por tanto buscaremos el polinomio de menor grado
que pase por los n+1 puntos dados.
La función polinómica de menor grado que pasa por los puntos dados es en principio de
grado n: y= anxn+............+a1x+ao
Y se obtiene resolviendo el sistema de n+1 ecuaciones con n+1 incógnitas (sistema que
tiene solución única ya que el determinante de la matriz de los coeficientes es de
Vandermonde y por lo tanto distinto de cero)
Se le llama polinomio interpolador correspondiente a esos puntos. Una vez obtenida su
expresión dando valores en él se pueden encontrar nuevos puntos de la función. Los
resultados obtenidos son naturalmente estimaciones aproximadas.
La interpolación se dirá lineal cuando sólo se tomen dos puntos y cuadrática cuando se
tomen tres.
Vandermonde
Se define el polinomio de Vandermonde de la siguiente forma:
.
Para poder obtener los coeficientes necesarios para construir el polinomio a través de
los datos suministrados, se arma un sistema de ecuaciones de la siguiente manera:
y se resuelve la matriz asociada a dicho sistema.
se puede demostrar que es no singular si los
son todos distintos. (Esta condición se
asumirá de aqui en adelante). De modo que el polinomio de interpolación pn (x) existe
por construcción. La unicidad de pn(x) se verifica usando el Teorema Fundamental del
Algebra.
Ejemplo 1
Considere el caso de los datos (-2,10), (-1,4),(1,6), y (2,3). Entonces si escribimos
p3(x)=a1 + a2x + a3x2 + a4x3 tenemos que
p3 (-2 )= 10 implica que a1- 2a2 + 4a3 - 8a4 = 10;
p3 (-1) = 4 implica que a1 - a2 + a3 -a4 = 4;
p3 (1) = 6 implica que a1 + a2 + a3 + a4 = 6;
p3 (2) = 3 implica que a1 + 2a2 + 4a3 + 8a4 = 3;
equivalente al sistema:
el cual se puede resolver con el siguiente codigo MATLAB:
b=[10 4 6 3]';
A=[1 -2 4 -8;1 -1 1 -1;1 1 1 1;1 2 4 8];
a=A\b
obteniendo:
= [4.5000 1.9167 0.5000 -0.9167]
Ejemplo 2. conocemos tres puntos (-3, 5), (1, -1) y (3, 11). ¿qué podemos decir de esa
función cuando x=0 y cuando x=10?
Solución
Calculamos el polinomio interpolador que será de 2º
y= a x2 + b x + c, que pasa por los tres puntos ,
Se cumple :
5=a (-3)2 + b (-3) + c por pasar por el punto (-3, 5)
-1= a + b + c
por pasar por el punto (1, -1)
11= a (3) 2+ b(3) + c por pasar por el punto (3, 11)
Resolviendo el sistema que se plantea nos queda:
Si x=0, P(0)= -13/4;
si x=10, P(10)=527/4
0
