TOPOLOGIA
ESPACIOS DE HAUSDORFF
MARÍA VICTORIA QUESADA PEÑA
CLASIFICACIÓN DE LOS
ESPACIOS
Andréi Nikoláyevich
Kolmogórov (Tambov,
25 de abril de 1903-Moscú,
20 de octubre de 1987)
Fue un matemático ruso
que realizó aportes a la
teoría de la probabilidad y de topología.
Estructuró el sistema axiomático de la
teoría de la probabilidad. Trabajó
en lógica constructivista; en las series
de Fourier; en turbulencias y mecánica clásica.
Un espacio topológico 𝑋, 𝜏 es Kolmogórov o
𝑇0 , si para cada par de puntos distintos
“x” y “y” de X existe al menos un
entorno de alguno de estos puntos
que no contiene al otro
𝑥≠𝑦
∃𝑈𝑥 ∈ 𝜀 𝑥 , 𝑦 ∉ 𝑈𝑥
O bien,
∃𝑈𝑦 ∈ 𝜀 𝑦 , 𝑥 ∉ 𝑈𝑦
El espacio topológico trivial con más de un
punto (𝑋, 𝜏) no es de Kolmogórov
Para todo x de X, 𝑥 ∈ 𝑋,
por tanto X también es el único entorno de x.
Ahora bien 𝑦 ∈ 𝑋
Análogamente 𝑥 ∈ 𝑎𝑙 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑟𝑛𝑜 𝑑𝑒 𝑦
FELIX HAUSDORFF:
(8 de noviembre de 1868, 26 de enero de
1942), fue un matemático alemán de origen
judío. Es considerado uno de los fundadores
de la topología moderna. Además
contribuyó significativamente a la
teoría de conjuntos, la teoría descriptiva
de conjuntos, la teoría de la medida,
el análisis funcional y la teoría de funciones.
En 1909, mientras ahondaba en el
estudio de conjuntos parcialmente
ordenados de sucesiones de números
reales, encontró lo que hoy conocemos
como el principio maximal de Hausdorff;
con lo que fue el primero en aplicar un principio
maximal en Álgebra.
En 1914, usando el axioma de
elección, obtuvo una
descomposición “paradójica”
de las dos esferas como la
unión disjunta de cuatro conjuntos
A, B, C y Q
Donde Q es numerable y
los conjuntos A, B, C y 𝐵 ∪ 𝐶 son
mutuamente congruentes.
Un espacio topológico (𝑋, 𝜏) es de
Hausdorff o 𝑻𝟐 si para cada par
de puntos distintos existen dos
abiertos 𝐴, 𝐵 ∈ 𝜏 disjuntos tales
DEFINICIÓN
que 𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 𝑦 ∈ 𝐵 .
.x
U
.y
T
EJEMPLO No 1
El espacio topológico de los reales con la
topología usual,
(ℝ, 𝜏𝑈 ) es de Hausdorff.
Sean “x” y “y” dos puntos distinto de ℝ
𝑨 = 𝒂, 𝒃
𝑩 = (𝒃, 𝒄)
Suponemos
𝑥<𝑦
a, b y c son reales
Tenemos
𝒂<𝒙<𝒃<𝒚<𝒄
Los conjuntos son abiertos por ser
Intervalos abiertos.
Son disjuntos (𝑥 ∈ 𝐴) 𝑦 (𝑦 ∈ 𝐵)
𝑨 = 𝑩𝒅 𝒙, ℇ
𝑩 = 𝑩𝒅 (𝒚, ℇ)
EJEMPLO No 2
El espacio topológico del plano real con la topología
usual, (ℝ2 , 𝜏𝑢 )es de Hausdorff:
La topología usual es la inducida por la distancia
euclídea
Son abiertos por ser las bolas abiertas
asociadas a la distancia d
2
(𝑥𝑖 − 𝑦𝑖 )2
𝑑( 𝑥1 , 𝑥2 , 𝑦1 , 𝑦2 =
𝑖=1
Entonces
𝑑(𝑥, 𝑦)
2
"x" y "y" de ℝ , 𝑠𝑒𝑎 ℰ =
2
𝑥 𝜖 𝐴 𝑦 (𝑦 𝜖 𝐵)
Sea “x” y “y” dos puntos distintos de S
Existen dos conjuntos disyuntos A y B
𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 (𝑦 ∈ 𝐵)
Los subespacios de un espacio topológico (𝑋, 𝜏)
de Hausdorff son también de Hausdorff.
Nota: sea 𝑆 ⊆ 𝑋 un subconjunto de X, se llama
subespacio topológico al espacio
(𝑆, 𝜏𝑠 ) siendo 𝜏𝑠 topología
𝝉𝑺 ≔ {𝑨 ∩ 𝑺: 𝑨 ∈ 𝝉}
Así que:
𝐴∗ ≔ 𝐴 ∩ 𝑆
𝐵∗ ≔ 𝐵 ∩ 𝑆
𝑥 ∈ 𝐴∗ 𝑦 (𝑦 ∈ 𝐵∗ )
Todo espacio topológico de Hausdorff
es de Kolmogórov
Sean “x” y “y” puntos distintos de un
espacio Hausdorff topología 𝜏.
∃ 𝐴 𝑦 ∃𝐵 abiertos
𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 𝑦 ∈ 𝐵 ,𝐴 ∩ 𝐵 = ∅
Así: 𝑦 ∉ 𝐴 𝑦 𝑥 ∉ 𝐵
Por tanto A entorno de x
B entorno de y
El espacio es Kolmogórov
Maurice René Fréchet
( Maligny, 2 de septiembre
de 1878 - París,
4 de junio de 1973)
Fue un matemático francés.
Trabajó en topología,
teoría de la probabilidad y la estadística.
Introdujo en 1906 los espacios métricos
y desarrolló las primeras nociones de
topología al tratar de formalizar en términos
abstractos los trabajos
de Volterra, Arzela, Hadamard y Cantor.
A él se deben las nociones de filtro,
de convergencia uniforme,
de convergencia compacta
y de equicontinuidad.
Un espacio topológico 𝑋, 𝜏 , es de
Fréchet o T1 si para cada par de puntos
distintos existe al menos un
entorno de cada uno de dichos
puntos que no contiene al otro punto.
𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋, 𝑥 ≠ 𝑦
∃𝑈𝑥 ∈ 𝜀 𝑥 ,
∃𝑈𝑦 ∈ 𝜀 𝑦 ,
𝑥 ∉ 𝑈𝑦 , 𝑦 ∉ 𝑈𝑥
El espacio topológico (ℝ, 𝜏𝑢 ) es de Fréchet:
Sean dos puntos distintos ”x” y “y”. Podemos
suponer que x<y.
Entonces, existen otros tres puntos a, b y c
tales que
𝑎<𝑥<𝑏<𝑦<𝑐
Los siguientes conjuntos disjuntos
Conjuntos disyuntos 𝑈𝑥 = (𝑎, 𝑏)
𝑈𝑦 = (𝑏, 𝑐)
Son abiertos así que son entornos de
x y de y respectivamente
Todo espacio de Fréchet es de
Kolmogórov.
Es decir, 𝑇1 → 𝑇0
Por definición de Fréchet,
dados dos puntos distintos “x” y “y” existen
dos entornos
𝑼𝒙 ∈ 𝜺 𝒙 . , 𝑼𝒚 ∈ 𝜺 𝒚
𝒙 ∉ 𝑼𝒚 𝒚 (𝒚 ∉ 𝑼𝒙 )
Todo espacio topológico (𝑋, 𝜏) de Hausdorff
es de Fréchet. Es decir, 𝑇2 → 𝑇1 .
Sean dos puntos distintos ”x” y ”y” de X.
Por la definición de espacio de Hausdorff,
existen dos abiertos A y B disyuntos tales que
𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 (𝑦 ∈ 𝐵)
Estos abiertos son, en particular, entornos
de los puntos y no contiene al otro punto:
𝐴∈ℇ 𝑥 ,
𝐵∈ℇ 𝑦 ,
𝑦 ∉ 𝐴 𝑦 (𝑥 ∉ 𝐵)
ESPACIOS METRICOS
Dado un conjunto X, una distancia o métrica
sobre X es una función 𝑑: 𝑋 × 𝑋 → [0, +∞)
• Siempre no es negativa:
𝑑 𝑥, 𝑦 ≥ 0∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑥
• La distancia entre dos puntos es 0 si y
sólo si son en el mismo punto
𝑑 𝑥, 𝑦 = 0 ↔ 𝑥 =
• Simetría
𝑑 𝑥, 𝑦 = 𝑑 𝑦, 𝑥 , ∀𝑥, 𝑦 ∈ 𝑋
• Desigualdad triangular
𝑑 𝑥, 𝑦 ≤ 𝑑 𝑥, 𝑧 + 𝑑 𝑧, 𝑦 ,
∀𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝑋
Bolas abiertas y cerradas:
Dado un espacio métrico 𝑋, 𝜏
Se denomina bola abierta (de la métrica d)
de centro a y radio ℇ > 0 al conjunto
𝐵𝑑 𝑎, ℇ ≔ {x ∈ 𝑋: 𝑑 𝑎, 𝑥 < ℇ}
Bola cerrada (de la métrica d) de centro a y
Radio ℇ > 0 al conjunto
𝐵𝑑 (𝑎, ℇ) ≔ {𝑥 ∈ 𝑋: 𝑑(𝑎, 𝑥) ≤ ℇ}
Todo espacio métrico (𝑋, 𝑑) es un
espacio topológico de Hausdorff
Dado un espacio métrico
Dados dos puntos distintos “x” y “y”,
Las bolas abiertas
𝐴 = 𝐵𝑑 (𝑥, ℇ)
B= 𝐵𝑑 (𝑦, ℇ)
Así
𝑑(𝑥, 𝑦)
ℰ<
2
Entonces 𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 (𝑦 ∈ 𝐵)
Primer Axioma
ESPACIOS METRIZABLES
Un espacio X se dice que tiene una
base numerable en x si existe una
colección numerable de entornos
de tales que cada entorno de contiene
al menos a uno de los elementos de ℬUn
Se dice que un espacio topológico
(𝑋, 𝜏)
cumple el primer axioma de
numerabilidad
(también, que es 1AN ó ANI)
Si para todo x de X existe una base
de entornos numerables de x. espacio
topológico (X,T)(X,T) cumple el primer axioma
de numerabilidad (también, que
es 1AN ó ANI) si para todo
punto xx de XX existe una base de entornos
numerable de xx.
Todo espacio métrico (𝑋, 𝑑)es 1AN
Recordamos definición de bola abierta (ℇ > 0)
Las bolas abiertas se definen a partir
de una métrica. Dada la métrica d,
la bola de centro x y radio ℇ > 0
de la métrica d es
𝐵 𝑥, ℇ ≔ {𝑎 ∈ ℝ2 : 𝑎 − 𝑥 < ℰ}
𝐵 𝑥, ℇ ≔ {𝑎 ∈ 𝑋: 𝑑(𝑥, 𝑎) < ℰ}
El plano real con la topología usual, (ℝ2 , 𝜏
𝑈 ),
es un espacio topológico 1AN.
1
La familia ℬ 𝑥 = {𝐵 𝑥 : 𝑛 ∈ ℕ}
𝑛
es una base de entornos de x. Esta base
es numerable por serlo ℕ.
Así 𝑥 ∈ 𝑋 la siguiente base de
entornos de x es numerable:
𝐵 𝑥 = {𝐵 1 𝑥 : 𝑛 ∈ ℕ}
𝑛
Segundo axioma de
numerabilidad (2AN)
Se dice que un espacio
topológico (𝑋, 𝜏) cumple el segundo axioma
de numerabilidad
(también, que es 2AN ó ANII)
si tiene alguna base de abiertos
numerable.
Ejemplo No 1
La recta real con la topología usual
es 2AN. Un ejemplo de base
de abiertos numerable es
ℬ = { 𝑝, 𝑞 : 𝑝 < 𝑞. 𝑝, 𝑞 ∈ ℚ}
Ejemplo No 2
El plano real con la topología usual es 2AN.
Un ejemplo de base de abiertos numerable es
ℬ = {𝐵 1 𝑞 : 𝑞 ∈ ℚ, 𝑛 ∈ ℕ}
Ejemplo No 4
El espacio topológico discreto (𝑋, 𝜏𝐷 ) es 2AN
si y sólo si X es numerable.
𝑛
Ejemplo No 3
El espacio topológico trivial (𝑋, 𝜏) es 2AN
puesto que la única base de abiertos
es numerable: ℬ = {𝑋} X}
Como todo punto es abierto,
cualquier base de abiertos
debe contener a {x} para todo
𝑥 ∈ 𝑋, por lo que el espacio es
2AN si, y sólo si, X es numerable.
MUCHAS
GRACIAS
0
