Movimiento Forzado ECUACIONES DIFERENCIALES MM -411 MODELO DEL MOVIMIENTO FORZADO Cuando en un sistema masa-resorte hay una fuerza externa 𝑓𝑒 (𝑡) (fuerza de excitación). Se le conoce como sistema con movimiento forzado. Cuya ecuación diferencial es la siguiente: 𝑑2 𝑥 𝑑𝑥 𝑚 2 +𝛽 + 𝑘𝑥 = 𝑓𝑒 (𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 Movimiento forzado con amortiguamiento (𝛽 ≠ 0) 𝑑2 𝑥 𝑑𝑥 𝑚 2 +𝛽 + 𝑘𝑥 = 𝑓𝑒 (𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑡 La solución general esta dada por una solución complementaria 𝑥𝑐 (𝑡) y una solución particular 𝑥𝑐 (𝑡) 𝑥 𝑡 = 𝑥𝑐 𝑡 + 𝑥𝑝 (𝑡) Donde: 𝑥𝑐 𝑡 :Terrmino transitorio (porque lim 𝑥𝑐 𝑡 = 0) 𝑡→+∞ 𝑥𝑝 (𝑡):Estado estable Ejemplo grafico: Ejemplo: Se une una masa de 1 kg a un resorte con un amortiguador donde la constante del resorte es 1 N y la constante de amortiguamiento 2 veces la velocidad instantánea. Si se aplica una fuerza de excitación 𝑓𝑒 𝑡 = 17Cos t, determine la posición y velocidad de la masa en cualquier tiempo suponiendo que x(0)=0 m y x´(0)=0. Solución Observación Termino transitorio 𝑥𝑐 𝑡 = Note que lim 𝑥𝑐 𝑡 = 0, esto es que a medida pasa el tiempo solo se preserva el movimiento 𝑡→+∞ oscilatorio provocado por la fuerza externa. Movimiento forzado sin amortiguamiento (𝛽 = 0) Se tiene un sistema masa-resorte donde 𝑚 = 5 𝑘𝑔 y 𝑘 = 20 𝑁 𝑚, que esta sometido a una 𝑓𝑒 𝑡 = 5𝐶𝑜𝑠 3𝑡 𝑁. Si el sistema tiene condiciones iniciales 𝑥 0 = 0.02 𝑚 𝑦 𝑣 0 = 0 𝑚 𝑠. Determine: a) La posición velocidad y aceleración en cualquier tiempo. b) El periodo c) Los tiempos donde alcanza sus máximos y mínimos relativos. Solución: a) b) El periodo seria el minimo común múltiplo de los periodos de las funciones dadas. Como: Note que Periodo de Cos 2t es 𝜋 y periodo de Cos 3t es El minimo común múltiplo de 𝜋 y Por lo que el periodo es 2𝜋 2𝜋 es 2𝜋 3 2𝜋 3 c) c) Grafica:
