Factores Integrantes en Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden

ITESM, Campus Monterrey
Departamento de Matemáticas
MA-841: Ecuaciones Diferenciales
Lectura #6
1
Profesor: Victor Segura
Unidad I: Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
1.3.4
Factores Integrantes
Dentro del conjunto de ecuaciones diferenciales, seguramente notará el lector que no todas
las ecuaciones diferenciales son exactas, ya que la condición de exactitud es una realidad
difı́cil de cumplir en todas ellas. Sin embargo, de todas aquellas ecuaciones diferenciales que
no son exactas, podemos transformar algunas de ellas para que se conviertan en exactas.
Consideremos la ecuación diferencial (1) que de antemano no es exacta
M (x, y)dx = N (x, y)dy = 0
(1)
Como la ED no es exacta cumple:
∂N (x, y)
∂M (x, y)
6=
∂y
∂x
(2)
Definición
Un Factor de Integración o Factor Integrante de una ecuación diferencial de la forma (1), es
una función F (x, y) tal que al multiplicar la ecuación diferencial por F (x, y) se transforma
en exacta. Ası́
F (x, y)M (x, y)dx + F (x, y)N (x, y)dy = 0
(3)
∂ (F (x, y)M (x, y))
∂ (F (x, y)N (x, y))
=
∂y
∂x
(4)
debe cumplir:
Ejemplo 1
Pruebe que la función F (x) = (1−x)−2 es un factor de integración de la ecuación diferencial
siguiente
(1 + y)dx + (1 − x)dy = 0
Solución
Multiplicando el factor de integración por la ecuación diferencial se obtiene:
(1 − x)−2 (1 + y)dx + (1 − x)−1 dy = 0
y verificando la condición de exactitud
∂[(1 − x)−1 ]
∂[(1 − x)−2 (1 + y)]
=
∂y
∂x
conduciendo a
(1 − x)−2 = (1 − x)−2
El lector puede verificar que la primera ecuación diferencial no es exacta, ya que
∂N
∂M
=1
= −1.
∂y
∂x
También, se le pide que verifique que la función F (y) = (1 + y)−2 es un factor de integración
de la misma ecuación diferencial.
1.3.5
Algunos Factores de Integración
En la sección anterior definimos lo que es un factor de integración, y quisieramos hacer notar
que dicho factor pude ser función de ambas variables (x, y) o bien, de una sola variable.
Por otra parte, en el ejemplo 1 se vió que una ecuación diferencial puede tener más de un
factor de integración. Es pésimista pero cierta la afirmación de que hay ecuaciones para las
cuales no se pueden encontrar ni un solo factor de integración.
A continuación encontraremos un par de fórmulas para determinar factores de integración
de una ecuación diferencial en algunos casos especı́ficos. Estas fórmulas únicamente darán
factores de integración de una sola variable. Una fórmula será para un factor en términos
de x y la otra, será para un factor que dependa de y. Entremos en detalle de tales fórmulas,
si F (x, y) es un factor para (1) entonces la ED
F (x, y)M (x, y)dx + F (x, y)N (x, y)dy = 0
(5)
debe ser exacta y por consiguiente debe cumplirse que:
∂(F (x, y)M (x, y))
∂(F (x, y)N (x, y))
=
∂y
∂x
lo cual desarrollado da:
F (x, y)
∂M (x, y)
∂F (x, y)
∂N (x, y)
∂F (x, y)
+ M (x, y)
= F (x, y)
+ N (x, y)
∂y
∂y
∂x
∂x
(6)
La ecuación (6) que satisface F (x, y), es una ecuación diferencial parcial, la cual puede ser
mucho más difiı́cil de resolver. Lo cual indica que buscar un factor integrante para una
ED que no es exacta puede ser aún más difı́cil que resolver la misma ecuación diferencial.
Para poder resolver este nudo, veamos algunos casos donde se puede hacer algo. Vamos a
restringir a F (x, y) y pedir que únicamente sea función de x para con ello conseguir:
Factor de Integración en Función de x
En este caso tenemos que F (x, y) = F (x) y por tanto
∂F (x, y)
=0
∂y
quedando la ecuación (6):
F (x)
∂N (x, y)
dF (x)
∂M (x, y)
= F (x)
+ N (x, y)
∂y
∂x
dx
2
(7)
o bien
∂M (x, y) ∂N (x, y)
−
∂y
∂x
la cual puede ser reagrupada en:
F (x)
∂M (x,y)
(x,y)
− ∂N∂x
∂y
dF (x)
dx
1 dF (x)
F (x) dx
=
N (x, y)
= N (x, y)
(8)
y dado que el factor de integración será función de x exclusivamente, el lado derecho de
(8) debe ser función de x, siendo el lado izquierdo de (8) necesariamente una función de x
exclusivamente. Vamos a llamar a este cociente U (x), tal que
∂M (x,y)
(x,y)
− ∂N∂x
∂y
N (x, y)
= U (x)
(9)
e igualando (8) y (9):
∂M (x,y)
(x,y)
− ∂N∂x
∂y
N (x, y)
U (x) =
= U (x) =
1 d[F (x)]
F (x) dx
1 d[F (x)]
F (x) dx
multiplicando por dx
d[F (x)]
F (x)
U (x)dx =
integrando
Z
Z
U (x)dx =
d[F (x)]
F (x)
Z
U (x)dx = ln(F (x))
obteniendo exponenciales , encontramos que el factor de integración en función de x es
R
F (x) = e
U (x)dx
(10)
donde
U (x) =
(x,y)
∂M (x,y)
− ∂N∂y
∂x
N (x, y)
Factor de Integración en Función de y En este caso F (x, y) = F (y) y por tanto
∂F (x, y)
=0
∂x
y por tanto la ecuación (6) queda:
F (x, y)
dF (y)
∂N (x, y)
∂M (x, y)
+ M (x, y)
= F (y)
∂y
dy
∂x
3
(11)
simplificando y multiplicando por dy
d[F (y)]
=−
F (y)
∂M (x,y)
(x,y)
− ∂N∂x
∂y
M (x, y)
= −V (y)
e integrando con respecto a y se encuentra
F (y) = e−
R
V (y)dy
donde
V (y) =
∂M (x,y)
(x,y)
− ∂N∂x
∂y
M (x, y)
Ejemplo 2
Para la ecuación diferencial del ejemplo 1, determine un factor de integración, posteriormente resuelva la nueva ecuación diferencial y evalúe en la condición inicial para encontrar
la solución particular.
(1 + y)dx + (1 − x)dy = 0
con
y(0) = 1
Solución
∂N
Dado que ∂M
∂y = 1 y ∂x = −1 formamos
∂M
∂N
∂y − ∂x
M
=
1 − (−1)
2
=
= V (y)
1+y
1+y
luego
F (y) = e−
R
V (y)dy
−
=e
R
2
dy
1+y
= e−2 ln(1+y)
F (y) = (1 + y)−2
la nueva ecuación diferencial exacta es
(1 + y)−1 dx + (1 − x)(1 + y)−2 dy = 0
donde f (x, y) es f (x, y) =
R
M (x, y)dx + k(y)
Z
f (x, y) =
(1 + y)−1 dx + k(y)
f (x, y) = x(1 + y)−1 + k(y)
y para determinar k(y) derivamos parcialmente con respecto a y
∂f (x, y)
= x(−1)(1 + y)−2 + k 0 (y) = (1 − x)(1 + y)−2
∂y
4
k 0 (y) = (1 + y)−2
k(y) =
−1
1+y
sustituyendo en f (x, y) encontramos
f (x, y) = x(1 + y)−1 + k(y)
f (x, y) = x(1 + y)−1 − (1 + y)−1 = (x − 1)(1 + y)−1
siendo la solución general f (x, y) = cte.
(x − 1)(1 + y)−1 = cte
Para encontrar la solución particular evaluamos en la condición inicial y(0) = 1
(0 − 1)(1 + 1)−1 = cte
cte = −
1
2
La solución particular buscada es:
(x − 1)(1 + y)−1 = −
1
2
Ejemplo 3
Escriba la siguiente ecuación diferencial de la forma M (x, y)dx + N (x, y)dy = 0 y posteriormente determine un factor de integración para convertirla en exacta.
−y 0 − 2xy = 1
Solución
Para convertirla a la forma pedida, multiplicamos por dx y con ello tenemos
−y 0 dx − 2xydx = dx
donde y 0 dx = dy por lo que
−(dy) − 2xydx − dx = 0
luego
−(2xy + 1)dx + (−1)dy = 0
∂N
Buscando un factor de integración, ∂M
∂y = −2x y ∂x = 0, entonces dividimos entre N (x, y)
para formar una función de x exclusivamente
∂M
∂N
∂y − ∂x
N
=
−2x
= 2x = U (x)
−1
5
siendo el factor de integración
R
F (x) = e
U (x)dx
R
=e
2xdx
= ex
2
y la nueva ecuación diferencial que ya es exacta es
2
2
−(2xy + 1)ex dx + (−ex )dy = 0
La solución se encuentra por el procedimiento ya visto.
Ejemplo 4
Para la siguiente ecuación diferencial, determine un factor de integración y luego encuentre
la solución general.
(2xy + y 4 )dx + (3x2 + 6xy 3 )dy = 0
Solución
Al efectuar la resta
∂M
∂N
−
= (2x + 4y 3 ) − (6x + 6y 3 ) = −4x − 2y 3 = −2(2x + y 3 )
∂y
∂x
vemos que debemos dividir entre la función M (x, y) para conseguir que el cociente sea
exclusivamente función de y. Llamemos V (y) a este cociente, de tal forma que
∂N
∂M
∂y − ∂x
M (x, y)
−2(2x + y 3 )
−2(2x + y 3 )
2
=
= − = V (y)
4
3
2xy + y
y(2x + y )
y
=
siendo el factor de integración
F.I. = e−
R
V (y)dy
−
=e
R
− y2 dy
= e2lny = y 2
y la nueva ecuación diferencial, que ya es exacta es:
y 2 (2xy + y 4 )dx + y 2 (3x2 + 6xy 3 )dy = 0
Resolviendo la ecuación diferencial para encontrar f (x, y) = cte,
Z
f (x, y) =
Z
f (x, y) =
M (x, y)dx + k(y)
(2xy 3 + y 6 )dx + K(y) = x2 y 3 + xy 6 + k(y)
y ahora derivamos parcialmente con respecto a y e igualamos a N (x, y):
∂f (x, y)
= N (x, y)
∂y
→
3x2 y 2 + 6xy 5 + k 0 (y) = 3x2 y 2 + 6xy 5
k 0 (y) = 0 y por lo tanto
k(y) = cte
Con ello,
f (x, y) = x2 y 3 + xy 6 + K(y) = x2 y 3 + xy 6 + cte
y la solución es f (x, y) = cte
x2 y 3 + xy 6 = cte
6