Capítulo 1 Introducción 1.1. Algebra tensorial y análisis 1.1.1. Definiciones y terminología El uso de notación indicial es ventajosa porque generalmente hace posible escribir en forma compacta formulas matemáticas o sistemas de ecuaciones de cantidades físicas o geométricas, que de otra manera contendría un número grande de términos. La transformación de coordenadas constituye la base de conceptos generales de tensores que aplica a sistemas coordenados arbitrarios. La razón del uso de tensores se debe al hecho de que una ecuación tensorial es independiente de cualquier sistema coordenado particular. Un escalar, caracterizado por un componente como la temperatura, el área, etc., se le denomina tensor de orden cero. Un vector, caracterizado por tres componentes como la velocidad, la fuerza, etc., se le denomina tensor de primer orden. El producto diádico de dos vectores, llamado diada como los esfuerzos, deformaciones etc., se le denomina tensor de segundo orden, el cual contiene nueve componentes. Notación de tensores Tensores de primer orden a) Simbólica en notación matricial: ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ a ⎪ ⎪ 1 ⎬ ⎨ a= a2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ a ⎪ ⎭ 3 b) Analítica: a = a + a + a c °Gelacio Juárez, UAM 5 1.1 Algebra tensorial y análisis o a = a + a + a = 3 X a =1 con , y como vectores base en un sistema coordenado Cartesiano. En notación indicial, la expresión a o ( = 1 2 3) representa el vector total, Fig.1.1 Figura 1.1: Definición de los vectores base. Tensores de segundo orden a) Simbólica en notación matricial: ⎡ 11 12 13 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ T=⎢ ⎣ 21 22 23 ⎦ 33 32 33 b) Analítica: T = 11 1 1 + 12 1 2 + 13 1 3 +t21 2 1 + t22 2 2 + t23 2 3 +t31 3 1 + t32 3 2 + t33 3 3 o T= 3 X 3 X t =1 =1 1.1.2. Reglas indíciales y convención de sumas 1. Regla indicial () Si una letra indicial aparece una y solamente una vez en cada término de una expresión, la expresión es válida para cada uno de los valores reales que la letra indicial puede tomar. Este índice se le llama índice libre. Ejemplos: c °Gelacio Juárez, UAM 6 1.1 Algebra tensorial y análisis ⎧ ⎪ ⎪ ⎨ 1 − 31 = 0 − 3 = 0 ⇔ 2 − 32 = 0 ⎪ ⎪ ⎩ − 3 = 0 3 = T ⇔ ( 3 T 1 = T1 = 1 T 2 = T2 = 2 Nota. La coma indica derivada parcial respecto a la coordenada de los índices sucesivos. Las siguientes reglas también son aplicables a este tipo de índices. 2. Convención de suma de Einstein Donde sea que aparezca una letra indicial dos veces dentro del mismo término, como un sub o superíndice, una sumatoria es implícita sobre el rango de este índice, i.e., de 1 a 3 en un espacio 3D (uso de índices del Latín), y de 1 a 2 en un espacio 2D (uso de índices del Griego). Estos índices se denominan mudos. Ejemplos: a = a = a1 1 + a2 2 + a3 3 espacio 3D a = a = a1 1 + a2 2 espacio 2D (superficie) T = t = t11 1 1 + t12 1 2 + t13 1 3 +t21 2 1 + t22 2 2 + t23 2 3 +t31 3 1 + t32 3 2 + t33 3 3 = = 11 + 22 + 33 = = 1 + 2 + 3 1 2 3 Atención. Como no es de importancia la notación que un índice doble posee, llamado índice mudo, puede renombrarse arbitrariamente: a = a = a = a Excepción. No existe suma en índices dentro de paréntesis: a∗ = a c °Gelacio Juárez, UAM q q () → a∗1 = a1 (11) 7 1.1 Algebra tensorial y análisis 3. Regla máxima Cualquier letra indicial nunca se aplicará más de dos veces en cada término. Ejemplos: Los siguientes ejemplos no tienen sentido: = 0, cos = 1 Las siguientes expresiones tampoco tienen sentido, pues los índices libres tienen que ser los mismos en cada término: = + = 0, 1.1.3. Notación de tensores en mecánica Las variables utilizadas en ingeniería mecánica usualmente tienen un carácter tensorial. Generalmente, los tensores de primer orden (vectores) se representan con letras minúsculas del Latín, los tensores de segundo orden por letras minúsculas del Griego y del Latín, y los tensores de cuarto grado por letras mayúsculas del Latín. Letras negritas representan un tensor completo en su notación compacta. Cuando se refiere a componentes cartesianos de tensores (notación indicial) se utilizaran subíndices representados con letras minúsculas del Latín , , , ,..., las cuales pueden tomar valores del 1, 2 y 3, correspondientes a la los ejes coordenados Cartesianos 1 , 2 y 3 . Por ejemplo, el tensor de primer orden u es el vector de desplazamientos con componentes , = 1 2 3; el tensor segundo orden ε, de deformaciones, con componentes , = 1 2 3 y = 1 2 3; el tensor segundo orden σ, de esfuerzos, con componentes , = 1 2 3 y = 1 2 3; y el tensor de cuarto grado C, constitutivo, con componentes , todos los subíndices toman valores del 1 al 3. Cuando un tensor tiene un subíndice, éste se sube como un superíndice al escribirlo en notación indicial para evitar confusión referente a los subíndices de los componentes individuales. Por ejemplo, cuando los componentes del tensor constitutivo elástico C se denotan . como Considere los siguientes tensores de primer orden: ⎫ ⎫ ⎧ ⎫ ⎧ ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 1 1 1 ⎬ ⎬ ⎨ ⎬ ⎨ ⎨ n = 2 v= u = 2 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎭ ⎩ ⎪ ⎭ ⎩ ⎪ ⎩ ⎪ los de segundo orden: ⎡ 11 12 13 3 3 3 ⎤ ⎡ 11 12 13 ⎤ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ε = ⎢ 21 22 23 ⎥ σ=⎢ 21 22 23 ⎣ ⎣ ⎦ ⎦ 31 32 33 c °Gelacio Juárez, UAM (1.1) 31 32 33 8 1.1 Algebra tensorial y análisis ⎡ 11 12 13 ⎤ ⎡ 11 12 13 ⎤ ⎢ ⎢ ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥ c=⎢ ⎣ 21 22 23 ⎦ d = ⎣ 21 22 23 ⎦ 31 32 33 31 32 33 Las operaciones básicas que se necesitan en la mecánica de sólidos son: 1. el producto punto de dos tensores de primer orden, u · v = , que produce un escalar, por lo que también se le llama producto escalar; u · v =1 1 + 2 2 + 3 3 2. el producto punto doble de dos tensores de segundo orden, σ : ε = , que también produce un escalar, por consiguiente se le llama producto escalar; σ : ε = 11 11 + 12 12 + 13 13 + 21 21 + 22 22 + 23 23 + 31 31 + 32 32 + 33 33 o σ : ε = 11 11 + 22 22 + 23 33 + 23 23 + 32 32 + 13 13 + 31 31 + 12 12 + 21 21 3. el producto punto de dos tensores de segundo orden, c · d = , que produce un tensor de segundo orden con componentes (c · d) = ; ⎡ 11 11 + 12 21 + 13 31 11 12 + 12 22 + 13 32 11 13 + 12 23 + 13 33 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ c · d =⎢ ⎣ 21 11 + 22 21 + 23 31 21 12 + 22 22 + 23 32 21 13 + 22 23 + 23 33 ⎦ 31 11 + 32 21 + 33 31 31 12 + 32 22 + 33 32 31 13 + 32 23 + 33 33 4. el producto punto de un tensor de segundo orden con uno de primero, σ · n o n · σ, que produce un tensor de primer orden con componentes (σ · n) = o (n · σ) = ; ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ + + ⎪ 12 2 13 3 ⎪ ⎬ ⎨ 11 1 σ·n= 21 1 + 22 2 + 23 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎩ + + ⎪ 31 1 c °Gelacio Juárez, UAM 32 2 33 3 9 1.1 Algebra tensorial y análisis 5. el producto punto doble un tensor de cuarto orden con un tensor de segundo orden, C : ε o ε : C, que produce un tensor de segundo orden con componentes (C : ε) = o (ε : C) = ;y ⎡ 11 12 13 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ = = ⎢ 21 22 23 ⎦ ⎣ 31 32 33 11 = 1111 11 + 1112 12 + 1113 13 + 1121 21 + 1122 22 +1123 23 + 1131 31 + 1132 32 + 1133 33 12 = 1211 11 + 1212 12 + 1213 13 + 1221 21 + 1222 22 +1223 23 + 1231 31 + 1232 32 + 1233 33 13 = 1311 11 + 1312 12 + 1313 13 + 1321 21 + 1322 22 +1323 23 + 1331 31 + 1332 32 + 1333 33 21 = 2111 11 + 2112 12 + 2113 13 + 2121 21 + 1122 22 +2123 23 + 2131 31 + 2132 32 + 2133 33 22 = 2211 11 + 2212 12 + 1213 13 + 2221 21 + 2222 22 +2223 23 + 2231 31 + 2232 32 + 2233 33 23 = 2311 11 + 2312 12 + 2313 13 + 2321 21 + 2322 22 +3223 23 + 2331 31 + 2332 32 + 2333 33 31 = 3111 11 + 3112 12 + 3113 13 + 3121 21 + 3122 22 +3123 23 + 3131 31 + 3132 32 + 3133 33 32 = 3211 11 + 3212 12 + 3213 13 + 3221 21 + 3222 22 +3323 23 + 3231 31 + 3232 32 + 3233 33 33 = 3311 11 + 3312 12 + 3313 13 + 3321 21 + 3322 22 +3323 23 + 3331 31 + 3332 32 + 3333 33 El producto directo de dos tensores de primer orden, u ⊗ v, que produce un tensor de segundo orden con componentes (u ⊗ v) = . ⎡ 1 1 1 2 1 3 ⎤ ⎥ ⎢ ⎥ u ⊗ v =⎢ 2 1 2 2 2 3 ⎦ ⎣ 3 1 3 2 3 3 Los productos escalares u · v = v · u y σ : ε = ε : σ son conmutativos; sin embargo, el producto punto de un tensor de segundo orden con uno de primero es conmutativa si el tensor de segundo orden es simétrico (σ · n = n · σ si = para cualquier , ) y el producto punto doble un c °Gelacio Juárez, UAM 10 1.1 Algebra tensorial y análisis tensor de cuarto orden con un tensor de segundo orden es conmutativo si el primero exhibe una simetría mayor ( C : ε = ε : C si = para cualquier , , , ), y el producto directo es generalmente no conmutativo. Un ejemplo importante de un tensor de segundo orden es la delta de Kronecker, δ, con componentes = 1 si = y = 0 si 6= . La propiedad más importante de la delta de delta de Kronecker es que todos sus valores principales son igual a 1. 11 = 1 12 = 0 13 = 0 21 = 0 22 = 1 23 = 0 31 = 0 32 = 0 33 = 1 1.1.4. Notación Ingenieril La notación tensorial es ciertamente muy elegante y útil para derivaciones teoréticas. Sin embargo, para desarrollar algoritmos numéricos que deben implementarse en un código es más práctico trabajar con una notación diferente. Aunque actualmente existen librerías de cómputo que proporcionan acceso directo a operaciones tensoriales eficientemente, la aproximación convencional es guardar los componentes de esfuerzo y deformación en arreglos unidimensionales, y las matrices constitutivas en arreglos bidimensionales. El desarrollo de código se facilita si las fórmulas básicas se escriben con los esfuerzos y deformaciones representados por matrices columnas, y los coeficientes del tensor constitutivo en matrices cuadradas. Esta notación se utiliza comúnmente en textos de ingeniería, por lo que se le llama notación ingenieril. La representación de del tensor constitutivo en matrices cuadradas también se llama notación Voigt. Cuando se emplea la notación ingenieril se debe tener cuidado en el orden de los componentes. Los componentes normales usualmente se arreglan en el orden natural, i.e., seguido de y , pero para el orden de los componentes de esfuerzo cortante existen diferentes convenciones. En principio, es posible utilizar cualquiera de ellos, pero es extremadamente importante el seleccionar una convención y mantenerla. Una posibilidad es escribir: 1.1.5. ⎧ ⎫ ⎧ ⎧ ⎫ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 11 ⎪ ⎪ 11 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 22 ⎪ ⎪ 22 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎨ ⎪ ⎨ ⎨ ⎪ ⎬ ⎪ ⎬ ⎬ ⎪ ⎬ 33 33 = ε= = σ= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 223 ⎪ ⎪ 23 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 31 31 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎩ ⎭ ⎭ ⎩ ⎭ 12 212 Operadores Se define al operador nabla ∇ como: c °Gelacio Juárez, UAM 11 1.1 Algebra tensorial y análisis ⎡ ⎤ 1 2 3 ⎢ ∇=⎢ ⎣ ⎥ ⎥ ⎦ Los operadores que mapean vectores a vectores generalmente se representan por símbolos mayúsculos negritos. El operador nabla aplicado a una función escalar, (1 2 3 ), proporciona el gradiente de dicha función. ⎡ ⎢ ∇ = grad = ⎢ ⎣ ⎤ 1 2 3 ⎥ ⎥ ⎦ El divergente de un tensor de primer orden se obtiene mediante el producto punto con el operador nabla: ∇ · u = div u = = 1 2 3 + + 1 2 3 El divergente de un tensor de primer segundo orden proporciona un vector: ⎡ ⎢ ∇ · σ = div σ = σ = ⎢ ⎣ 1.1.6. 11 12 13 1 + 2 + 3 21 22 23 1 + 2 + 3 32 33 31 1 + 2 + 3 ⎤ ⎥ ⎥ ⎦ (1.2) Teorema de divergencia Este teorema permite expresar la una integral en un espacio 3D como una integral de superficie: Z ∇·σΩ = Ω Z σ · nΓ (1.3) Γ o una combinación de integrales de volumen y de superficie: Z Ω 1.1.7. Z Z ∇·σ · uΩ = − σ : εu Ω + σ · n · uΓ Ω (1.4) Γ Tarea Con los siguientes elementos: n= ( 1 2 ) σ= " 11 12 21 22 # ε= " 11 12 21 22 # Desarrolle las siguientes operaciones: 1. Producto doble 12 (σ : ε) c °Gelacio Juárez, UAM 12 1.1 Algebra tensorial y análisis 2. Producto punto σ · ε 3. Producto punto σ · n 4. Repita los incisos 1 a 3 con los siguientes valores: n= ( cos 30◦ cos 60◦ ) σ= " 20 −5 −5 10 # ε= " 001 −00025 −00025 005 # 5. Desarrolle el producto diádico siguiente: 1 (∇ ⊗ u + u ⊗ ∇) 2 para ⎡ ⎢ ∇=⎢ ⎣ c °Gelacio Juárez, UAM ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎥; u =⎢ ⎥ y ∇ = ⎢ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 1 2 3 ⎤ ⎡ 1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎥ ⎥ ; u = ⎢ 2 ⎥ ⎣ ⎦ ⎦ 3 13
