Trabajo Práctico N°6 Resuelto Intervalos de Confianza 1. Se desea estimar la cantidad media de ventas de un determinado producto por distribuidor durante el año pasado. Se supone que las ventas por distribuidor están normalmente distribuidas. De una gran cantidad de distribuidores, se extrae una muestra de 25 obteniendo de ella un promedio de $3.425. Determine el intervalo del 95% de confianza: a) Sabiendo que el desvío estándar poblacional es de $ 200. b) Si no se conoce el desvío poblacional, y el muestral es de $ 200 c) En base a una muestra de tamaño 150 que arroja un promedio de $ 3.425 y un desvío de $ 200. Datos: X: Ventas por distribuidor de un determinado producto (en pesos). 𝑋 ~ 𝑁(𝜇 ; σ) n = 25 distribuidores. 𝑥̅ = 3425 pesos. 1 − 𝛼 = 0.95 → 𝛼 = 0.05 a) Se conoce el desvío estándar poblacional: σ = 200 pesos. → 𝑋 ~ 𝑁(𝜇 ; 200) → 𝑥̅ −𝜇 𝑍=σ ⁄ 𝑛 √ ~ 𝑁(0 ; 1) Intervalo de confianza para la media poblacional con desvío estándar conocido: 𝑥̅ − 𝜇 𝑝 (−𝑧𝛼/2 < σ < 𝑧𝛼/2 ) = 1 − 𝛼 = 0.95 ⁄ 𝑛 √ 𝑝 (𝑥̅ − σ √𝑛 𝑧𝛼/2 < 𝜇 < 𝑥̅ + σ √𝑛 𝑧𝛼/2 ) = 0.95 El número 𝑧𝛼/2 es el valor de 𝑧 que deja una probabilidad de 𝛼/2 bajo la curva 𝑍 hacia la derecha. Por tabla o aplicación, se encuentra 𝒛𝟎.𝟎𝟐𝟓 = 𝟏. 𝟗𝟔. Luego, se puede decir que con una probabilidad del 95%: 3425 − 200 √25 ∗ 1.96 < 𝜇 < 3425 + 200 √25 ∗ 1.96 3346.6 < 𝜇 < 3503.4 El intervalo (3346.6 ; 3503.4) contiene al verdadero valor de la media poblacional 𝜇 con un 95% de confianza. b) No se conoce el desvío estándar poblacional. El desvío estándar muestral (𝑆) es $200. 𝑥̅ = 3425 pesos. 𝑆 = 200 pesos. Se sabe (o supone) que la variable X se distribuye Normal. Al desconocer σ y disponer de 𝑆, se tiene la siguiente distribución t de Student con 𝑛 − 1 grados de libertad (en este caso, 24 grados de libertad): 𝑥̅ − 𝜇 ~ 𝑡𝑛−1 S⁄ √𝑛 Intervalo de confianza para la media poblacional con desvío estándar desconocido: 𝑥̅ − 𝜇 𝑝 (− 𝑡𝛼; 𝑛−1 < σ < 𝑡𝛼; 𝑛−1 ) = 1 − 𝛼 = 0.95 2 2 ⁄ 𝑛 √ 𝑝 (𝑥̅ − S √𝑛 𝑡𝛼; 𝑛−1 < 𝜇 < 𝑥̅ + 2 S √𝑛 𝑡𝛼; 𝑛−1 ) = 0.95 2 El número 𝑡𝛼; 𝑛−1 es el valor de 𝑡 que deja una probabilidad de 𝛼/2 bajo la curva 𝑡 𝑛−1 hacia la derecha. Por 2 tabla o aplicación (con 𝑛 − 1 = 24), se encuentra 𝒕𝟎.𝟎𝟐𝟓 = 𝟐. 𝟎𝟔. Luego, se puede decir que con una probabilidad del 95%: 3425 − 200 √25 ∗ 2.06 < 𝜇 < 3425 + 200 √25 ∗ 2.06 3342.6 < 𝜇 < 3507.4 El intervalo (3342.6 ; 3507.4) contiene al verdadero valor de la media poblacional 𝜇 con un 95% de confianza. c) No se conoce el desvío estándar poblacional, pero ahora la muestra es de 𝑛 = 150 distribuidores con: 𝑥̅ = 3425 pesos. 𝑆 = 200 pesos. Como no se conoce el desvío poblacional, se debe buscar un intervalo de confianza haciendo uso de la distribución t de Student como se lo hizo en el inciso b): 𝑥̅ − 𝜇 ~ 𝑡𝑛−1 S⁄ √𝑛 Se sabe que para 𝑛 > 30 la distribución t de Student es prácticamente una Normal, luego, como ahora 𝑛 = 150, se puede aproximar como sigue: 𝑥̅ − 𝜇 ~ 𝑁(0 ; 1) S⁄ √𝑛 Por lo tanto, el intervalo de confianza (con un 95% de confianza) será aproximadamente: 𝑥̅ − 3425 − S √𝑛 200 √150 𝑧𝛼/2 < 𝜇 < 𝑥̅ + S √𝑛 ∗ 1.96 < 𝜇 < 3425 + 𝑧𝛼/2 200 √150 ∗ 1.96 3393 < 𝜇 < 3457 El intervalo (3393 ; 3457) contiene al verdadero valor de la media poblacional 𝜇 con un 95% de confianza. 2. Una muestra de 50 firmas tomadas de una industria, indica un promedio de 420.4 empleados por firma y un desvío estándar de 55.7 empleados por firma. Si esta industria tiene un total de 380 firmas, construya un intervalo del 90% de confianza para: a) el número medio de empleados por firma en la industria. b) estimar el número total de empleados en la industria. Datos: X: Cantidad de empleados por firma en la industria. 𝑛 = 50 firmas. 𝑥̅ = 420.4 empleados por firma. 𝑆 = 55.7 empleados por firma. 𝑁 = 380 firmas. 1 − 𝛼 = 0.90 → 𝛼 = 0.1 a) Intervalo de confianza para el número medio de empleados por firma en la industria. Si bien no se sabe la distribución de X, se puede aplicar el Teorema Central de Límite: Como 𝑛 > 30, 𝑥̅ − 𝜇 ~ 𝑁(0 ; 1) 𝑆𝑥̅ Como se tiene una población finita 𝑁, se aplica el factor de corrección: 𝑆𝑥̅ = 𝑆 𝑁−𝑛 √𝑛 𝑁 − 1 √ Intervalo de confianza para la media poblacional con desvío estándar conocido: 𝑝 −𝑧𝛼/2 < ( 𝑝 (𝑥̅ − 𝑆 𝑥̅ − 𝜇 𝑆𝑥 √𝑁 − 𝑛 √𝑛 𝑁 − 1 < 𝑧𝛼/2 = 1 − 𝛼 = 0.90 ) 𝑁−𝑛 S 𝑁−𝑛 √ 𝑧𝛼/2 < 𝜇 < 𝑥̅ + 𝑧𝛼/2 ) = 0.90 √𝑛 𝑁 − 1 √𝑛 𝑁 − 1 √ El número 𝑧𝛼/2 es el valor de 𝑧 que deja una probabilidad de 𝛼/2 bajo la curva 𝑍 hacia la derecha. Por tabla o aplicación, se encuentra 𝒛𝟎.𝟎𝟓 = 𝟏. 𝟔𝟒. 𝑆 𝑁−𝑛 Además, 𝑛 √𝑁−1 = √ 55.7 √50 380−50 √ 380−1 = 7.35. Luego, se puede decir que con una probabilidad del 95%: 420.4 − 7.35 ∗ 1.64 < 𝜇 < 420.4 + 7.35 ∗ 1.64 408.34 < 𝜇 < 432.45 El intervalo (408.34 ; 433.45) contiene al verdadero valor de la media poblacional 𝜇 con un 90% de confianza. b) Intervalo de confianza para el número total de empleados por firma en la industria. Si multiplicamos todos los miembros del intervalo de confianza para el número medio de empleados por firma en la industria por la cantidad total de firmas, obtendremos un intervalo de confianza para la media del número total de empleados en la industria. 𝑁 ∗ 408.34 < 𝑁 ∗ 𝜇 < 𝑁 ∗ 432.45 155169.2 < 𝜇 < 164331 El intervalo (155169.2 ; 164331) contiene el valor del número total de empleados con un 90% de confianza. 3. Un analista de un departamento de personal selecciona al azar 16 registros de empleados contratados por hora, obteniendo una tasa media salarial de $ 7,50 por hora. Suponiendo que los niveles de salarios en la firma están normalmente distribuidos, estime el nivel medio de salarios en la firma mediante un intervalo del 90% de confianza: a) si la desviación estándar poblacional de la tasa salarial es de $ 1 por hora. b) si no se conoce el desvío estándar poblacional, pero en base a la muestra seleccionada fue estimado en $ 1 por hora. Datos X: Tasa salarial de empleados contratados por hora 𝑋 ~ 𝑁(𝜇 ; σ) n = 16 registros. 𝑥̅ = 7.50 pesos por hora. 1 − 𝛼 = 0.90 → 𝛼 = 0.1 a) Se conoce el desvío estándar poblacional: σ = 1 peso por hora. → 𝑋 ~ 𝑁(𝜇 ; 1) → 𝑥̅ −𝜇 𝑍=σ ⁄ 𝑛 √ ~ 𝑁(0 ; 1) Intervalo de confianza para la media poblacional con desvío estándar conocido: 𝑥̅ − 𝜇 𝑝 (−𝑧𝛼/2 < σ < 𝑧𝛼/2 ) = 1 − 𝛼 = 0.90 ⁄ 𝑛 √ 𝑝 (𝑥̅ − σ √𝑛 𝑧𝛼/2 < 𝜇 < 𝑥̅ + σ √𝑛 𝑧𝛼/2 ) = 0.90 El número 𝑧𝛼/2 es el valor de 𝑧 que deja una probabilidad de 𝛼/2 bajo la curva 𝑍 hacia la derecha. Por tabla o aplicación, se encuentra 𝒛𝟎.𝟎𝟓 = 𝟏. 𝟔𝟒. Luego, se puede decir que con una probabilidad del 90%: 7.50 − 1 √16 ∗ 1.64 < 𝜇 < 7.50 + 1 √16 ∗ 1.64 7.09 < 𝜇 < 7.91 El intervalo (7.09 ; 7.91) contiene al verdadero valor de la media poblacional 𝜇 con un 90% de confianza. b) No se conoce el desvío estándar poblacional. El desvío estándar muestral (𝑆) es $1 por persona. 𝑥̅ = 7.50 pesos por persona. 𝑆 = 1 peso por persona. Se sabe (o supone) que la variable X se distribuye Normal. Al desconocer σ y disponer de 𝑆, se tiene la siguiente distribución t de Student con 𝑛 − 1 grados de libertad (en este caso, 15 grados de libertad): 𝑥̅ − 𝜇 ~ 𝑡𝑛−1 S⁄ √𝑛 Intervalo de confianza para la media poblacional con desvío estándar desconocido: 𝑥̅ − 𝜇 𝑝 (− 𝑡𝛼; 𝑛−1 < σ < 𝑡𝛼; 𝑛−1 ) = 1 − 𝛼 = 0.90 2 2 ⁄ 𝑛 √ 𝑝 (𝑥̅ − S √𝑛 𝑡𝛼; 𝑛−1 < 𝜇 < 𝑥̅ + 2 S √𝑛 𝑡𝛼; 𝑛−1 ) = 0.90 2 El número 𝑡𝛼; 𝑛−1 es el valor de 𝑡 que deja una probabilidad de 𝛼/2 bajo la curva 𝑡 𝑛−1 hacia la derecha. Por 2 tabla o aplicación (con 𝑛 − 1 = 15), se encuentra 𝒕𝟎.𝟎𝟓 = 𝟏. 𝟕𝟓. Luego, se puede decir que con una probabilidad del 90%: 7.50 − 1 √16 ∗ 1.75 < 𝜇 < 7.50 + 1 √16 ∗ 1.75 7.06 < 𝜇 < 7.94 El intervalo (7.06 ; 7.94) contiene al verdadero valor de la media poblacional 𝜇 con un 90% de confianza. 4. Suponga que las tasas de salarios de la firma en el problema (6.3) no pueden considerarse normalmente distribuidas. a) Estime el nivel medio de salarios en la firma con un 90% de confianza sabiendo que se toma una muestra de 35 registros de empleados y se obtiene una tasa salarial media de $ 1 por hora y un desvío S(x) = 1 $ por hora. b) Ídem al inciso anterior, pero con una muestra de 25 registros de empleados. DATOS: a) 𝑋 ~ ? n = 35 𝑥̅ = 1 Sx = 1 1 − 𝛼 = 0.90 Como n>30 Por el TCL 𝑋 ~ 𝑁(𝜇 ; σx) 𝑥̅ ~ 𝑁(𝜇 ; σ𝑥̅ ) como σx ? 𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 σ𝑥̅ es Sx⁄√𝑛 𝑍= 𝑥̅ − 𝜇 ~ 𝑁(0 ; 1) Sx⁄ √𝑛 𝑝 (−𝑧𝛼/2 < 𝑥̅ − 𝜇 < 𝑧𝛼/2 ) = 0,90 Sx⁄ √𝑛 𝑥̅ − 𝑧𝛼/2. Sx < 𝜇 < 𝑥̅ + 𝑧𝛼/2.Sx √𝑛 1 − 1,64 ∗ √𝑛 1 √35 < 𝜇 < 1 + 1,64 ∗ 1 √35 0,7376 < 𝜇 < 1,2624 contiene al verdadero valor de la media poblacional 𝜇 con el 90% de confianza. b) n=25 Como no conozco como se distribuye x y con n<30 ,no me puedo valer del TCL. No se puede resolver. 5. La media y el desvío estándar de una muestra de n mediciones aleatorias tomadas de una población normal son 33 y 4 respectivamente. Construya un intervalo del 95% de confianza para la media poblacional cuando: a) n = 5 b) n = 15 c) n = 25 d) Teniendo en cuenta los incisos anteriores, analizar qué ocurre con la amplitud del intervalo a medida que aumenta el tamaño de la muestra. En términos de precisión de la estimación es esto bueno o malo?. e) Teniendo en cuenta confianza y precisión, qué condiciones serían deseables para obtener una mejor estimación?. DATOS: 𝑋 ~ 𝑁(𝜇 ; σx) 𝑥̅ = 33 Sx = 4 1 − 𝛼 = 0.95 a) n=5 𝑥̅ ~ 𝑁(𝜇 ; σ𝑥̅ ) como σx ? → 𝑥̅ ~ 𝑇𝑛 − 1 𝑥̅ −𝜇 T=Sx ⁄ √𝑛 como σx ? 𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 σ𝑥̅ es Sx⁄√𝑛 ~ 𝑡𝑛−1 T 4, 0,025=2,776 𝑥̅ − 𝜇 𝑝 (− 𝑡𝑛−1𝛼; < sx < 𝑡𝑛−1𝛼; ) = 0,95 2 ; 2 ⁄ 𝑛 √ 𝑥̅ − 𝑡 𝛼/2. Sx < 𝜇 < 𝑥̅ + 𝑡 .Sx 𝛼/2 √𝑛 √𝑛 33 − 2,776 ∗ 1,79 < 𝜇 < 33 + 2,776 ∗ 1,79 28,03 < 𝜇 < 37,96 contiene al verdadero valor de la media poblacional 𝜇 con el 95% de confianza b) n=15 𝑋 ~ 𝑁(𝜇 ; σx) 𝑥̅ = 33 Sx = 4 1 − 𝛼 = 0.95 𝑥̅ ~ 𝑁(𝜇 ; σ𝑥̅ ) como σx ? → 𝑥̅ ~ 𝑇𝑛 − 1 como σx ? 𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 σ𝑥̅ es Sx⁄√𝑛 𝑥̅ −𝜇 T=Sx ⁄ √𝑛 ~ 𝑡𝑛−1 T 14, 0,025=2,145 𝑥̅ − 𝜇 𝑝 (− 𝑡𝑛−1𝛼; < sx < 𝑡𝑛−1𝛼; ) = 0,95 2 ; 2 ⁄ 𝑛 √ 𝑥̅ − 𝑡 𝛼/2. Sx < 𝜇 < 𝑥̅ + 𝑡 .Sx 𝛼/2 √𝑛 √𝑛 33 − 2,145 ∗ 4 √15 < 𝜇 < 33 + 2,145 ∗ 4 √15 30,79 < 𝜇 < 35,20 contiene al verdadero valor de la media poblacional 𝜇 con el 95% de confianza 𝑋 ~ 𝑁(𝜇 ; σx) c) n=25 𝑥̅ = 33 Sx = 4 1 − 𝛼 = 0.95 𝑥̅ ~ 𝑁(𝜇 ; σ𝑥̅ ) como σx ? → 𝑥̅ ~ 𝑇𝑛 − 1 como σx ? 𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 σ𝑥̅ es Sx⁄√𝑛 𝑥̅ −𝜇 T=Sx ⁄ √𝑛 ~ 𝑡𝑛−1 T 24, 0,025=2,064 𝑥̅ − 𝜇 𝑝 (− 𝑡𝑛−1𝛼; < sx < 𝑡𝑛−1𝛼; ) = 0,95 2 ; 2 ⁄ 𝑛 √ 𝑥̅ − 𝑡 𝛼/2. Sx < 𝜇 < 𝑥̅ + 𝑡 .Sx 𝛼/2 √𝑛 √𝑛 33 − 2,064 ∗ 4 √25 < 𝜇 < 33 + 2,064 ∗ 4 √25 31,3488 < 𝜇 < 34,6512 contiene al verdadero valor de la media poblacional 𝜇 con el 95% de confianza d) A medida que aumenta el tamaño de la muestra, la amplitud del intervalo disminuye, pues el desvío se hace más pequeño y manteniendo la misma confianza vemos que a menor amplitud, mayor precisión en la estimación. e) Para tener una mejor estimación, lo ideal sería poder lograr una confianza del 99% sin que se pierda la precisión se puede lograr aumentando el tamaño de muestra, para poder disminuir el tamaño del intervalo. Sabemos que: A mayor amplitud, mayor confianza y menor precisión. A menor amplitud, menor confianza y mayor precisión. 6. El gerente de un banco desea estimar el saldo promedio en cuentas de ahorro de los depositantes. En una muestra aleatoria de 80 depositantes, el promedio muestral es de $680 y la desviación estándar de la muestra es $35 a) Hallar e interpretar un intervalo del 95% de confianza del saldo promedio en cajas de ahorro. b) Sin hacer los cálculos, ¿en qué variaría el intervalo anterior si el tamaño de muestra es de 100? X=Saldos en cuentas de ahorro de los depositantes 𝑥̅ = Saldos promedio en cuentas de ahorro de los depositantes 𝑋~? a) 𝑍= n = 80 𝑥̅ = 680 Como n>30 por el TCL Sx = 35 1 − 𝛼 = 0.95 𝑥̅ ~ 𝑁(𝜇 ; σ𝑥̅ ) como σx ? 𝑒𝑙 𝑒𝑠𝑡𝑖𝑚𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑑𝑒 σ𝑥̅ es Sx⁄√𝑛 𝑥̅ − 𝜇 ~ 𝑁(0 ; 1) Sx⁄ √𝑛 𝑝 (−𝑧𝛼/2 < 𝑥̅ − 𝜇 < 𝑧𝛼/2 ) = 0,95 Sx⁄ √𝑛 𝑥̅ − 𝑧𝛼/2. Sx < 𝜇 < 𝑥̅ + 𝑧𝛼/2.Sx √𝑛 680 − 1,96 ∗ √𝑛 35 √80 < 𝜇 < 680 + 1,96 ∗ 35 √80 672,3364 < 𝜇 < 687,6636 contiene al verdadero valor de la media poblacional 𝜇 con el 95% de confianza b) Con una muestra más grande (100 depositantes), el desvío se hace más pequeño y por ende la amplitud del intervalo es menor, esto genera mayor precisión en la estimación, manteniendo la misma confianza. 7. Una muestra aleatoria de seis coches de un determinado modelo consume las siguientes cantidades en kilómetros por litro: 18,6 18,4 19,2 20,8 19,4 20,5 a) Calcular la media y el desvío estándar muestral. b) Encontrar un intervalo del 90% de confianza para el consumo de gasolina medio poblacional de los automóviles de este modelo. c) ¿Qué supuestos son necesarios para que intervalo anterior sea estadísticamente correcto? a) 𝑋 = Consumo de gasolina (en kilómetros por litro) 𝑥̅ = ∑ 𝑥𝑖 116.9 = = 19.48 𝑛 6 Rta: La media muestral del consumo es de 19.48 kilómetros recorridos por litro de gasolina s(x) = √s(x)2 = √ ∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅ )2 4.8083 =√ = √0.80138 = 0.89 𝑛 6 Rta: El desvío muestral del consumo es de 0.89 kilómetros recorridos por litro de gasolina b) Al desconocer σ y disponer de 𝑆, se tiene una distribución t de Student con 𝑛 − 1 grados de libertad (en este caso, 5 grados de libertad): 𝑥̅ − 𝜇 ~ 𝑡𝑛−1 S⁄ √𝑛 Como 𝛼 = 0.1, entonces 1 − 𝛼 = 0.9 𝑣 = 𝑛 − 1 = 5, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑡 (1 − 𝛼 ; 𝑣) = 𝑡(0.95; 5) = 2.02 2 Por lo tanto, el intervalo de confianza (con un 90 % de confianza) será aproximadamente: 𝑥̅ − S √𝑛 19.48 − 𝑡(1−𝛼; 𝑛−1) < 𝜇 < 𝑥̅ + 2 0.89 √6 S √𝑛 ∗ 2.02 < 𝜇 < 19.48 + 𝑡(1−𝛼; 𝑛−1) 2 0.89 √6 ∗ 2.02 18,74 < 𝜇 < 20,21 El intervalo (18.74 ; 20.21) contiene a la media poblacional 𝜇 con un 90 % de confianza. c) Para que el intervalo anterior sea estadísticamente correcto, la distribución de la variable aleatoria debe ser normal. Si se desconoce la distribución, por el Teorema Central del Límite, se sabe que el promedio muestral tiene una distribución con media 𝜇 y desvio σ⁄ cuando n tiende a infinito. √𝑛 8. Se sabe que el peso de los bebés en una cierta localidad tiene una distribución normal. De una muestra aleatoria de 25 bebés de 12 semanas de vida, se obtuvo un peso medio de 5900 g con una desviación estándar de 94 g. a) Construir e interpretar un intervalo del 95% de confianza para el peso medio poblacional. b) Suponga que se construye un intervalo con el 99% de confianza para el peso medio poblacional, analizar qué ocurre con la amplitud del intervalo. Concluir en términos de precisión de la estimación. c) Si la muestra fuera de 50 bebés de 12 semanas de vida, analizar qué ocurre con la amplitud del intervalo. Concluir en términos de precisión de la estimación. d) Teniendo en cuenta confianza y precisión, ¿qué condiciones serían deseables para obtener una mejor estimación? Datos: X: Peso de los bebés de una cierta localidad, (en grs.) 𝑋 ~ 𝑁(𝜇 ; σ) 𝑥̅ : Peso medio de los bebés de una cierta localidad, (en grs.) 𝑥̅ ~ 𝑁(𝜇 ; σ⁄ ) √𝑛 Al desconocer σ y disponer de 𝑆, se tiene una distribución t de Student con 𝑛 − 1 grados de libertad (en este caso, 24 grados de libertad): 𝑥̅ − 𝜇 ~ 𝑡𝑛−1 S⁄ √𝑛 Como 𝛼 = 0.05, entonces 1 − 𝛼 = 0.95 𝛼 𝑣 = 𝑛 − 1 = 24, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠: 𝑡 (1 − 2 ; 𝑣) = 𝑡(0.975; 24) = 2.06 Por lo tanto, el intervalo de confianza (con un 95 % de confianza) será aproximadamente: 𝑥̅ − S √𝑛 5900 − 𝑡(1−𝛼; 𝑛−1) < 𝜇 < 𝑥̅ + 2 94 √25 S √𝑛 ∗ 2.06 < 𝜇 < 5900 + 𝑡(1−𝛼; 𝑛−1) 2 94 √25 ∗ 2.06 5861.2 < 𝜇 < 5938.72 El intervalo (5861.2 ; 5938.72) contiene al verdadero valor de la media poblacional 𝜇 con un 95 % de confianza. b) Si se construye un intervalo con el 99 % de confianza para el peso medio poblacional, como se aumenta la confianza con respecto al intervalo anterior, la amplitud del nuevo intervalo será mayor, disminuyendo su precisión. c) Al aumentar el tamaño muestral a 50 bebés, se observaría que la amplitud del intervalo se reduce (producto de una disminución del desvío muestral), considerando el mismo nivel de confianza, por lo que aumenta la precisión. d) Para obtener una mejor estimación, se deben tomar muestras de mayor tamaño, ya que de esta forma disminuye el desvío muestral y el valor de la variable aleatoria 𝑡, lográndose intervalos más estrechos y, por ende, con mayor precisión. 9. En una zona determinada se tomaron muestras aleatorias con el objeto de estimar la proporción de familias en las que el jefe/a no tiene empleo. Considere las siguientes situaciones: • En una muestra de 100 familias, hubo 10 en las que el jefe/a de familia no tiene empleo. • En una muestra de 300 familias, hubo 30 en las que el jefe/a de familia no tiene empleo. • En una muestra de 600 familias, hubo 60 en las que el jefe/a de familia no tiene empleo. a) Calcular el valor del estimador de (h) para c/u de las situaciones anteriores. b) Teniendo en cuenta el inciso anterior, analizar qué ocurre con el estimador de (h) cuando aumenta el tamaño de la muestra? ¿Cómo influye esto en el cálculo del intervalo de confianza para p en términos de precisión de la estimación? c) Para la zona en cuestión, estimar con un 95% de confianza el porcentaje de familias en las que el jefe/a no tiene empleo (considere la situación 3). Datos: X: Cantidad de familias en las que el jefe/a no tiene trabajo 𝑋 ~ 𝐵𝑖(𝑛 ; 𝑝) ℎ = Proporción media de familias en la que el jefe/a no tiene trabajo 𝑋 ℎ(1−ℎ) ℎ = 𝑛 ; con desvío muestral 𝑠ℎ = √ a) 𝑛 Para n grande (n>30): ℎ ~ 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥 𝑁 (𝑝 ; √ 𝑝(1 − 𝑝) ) 𝑛 Por lo tanto, ℎ−𝑝 √𝑝(1 − 𝑝) 𝑛 ~ 𝑁(0 ; 1) Pero como p es desconocido, una solución aproximada es: ℎ−𝑝 √ℎ(1 − ℎ) 𝑛 10 ℎ(1−ℎ) ℎ1 = 100 = 0,1 𝑠ℎ = √ 30 60 ℎ3 = 600 = 0,1 0.1 .0.9 = √ 100 = 0.03 𝑛 ℎ(1−ℎ) ℎ2 = 300 = 0,1 𝑠ℎ = √ 0.1 .0.9 = √ 300 = 0.017 𝑛 ℎ(1−ℎ) 𝑠ℎ = √ 𝑛 ~ 𝑁(0 ; 1) 0.1 .0.9 = √ 600 = 0.012 b) Considerando el inciso anterior, puede observarse que a medida que aumenta el tamaño muestral, el desvío se vuelve más pequeño (manteniendo constante la proporción muestral h), haciendo que aumente la precisión, al disminuir la amplitud del intervalo de confianza. c) Intervalo de confianza para la proporción poblacional, con n grande: ℎ − 𝑧𝛼/2 √ ℎ(1 − ℎ) ℎ(1 − ℎ) < 𝑝 < ℎ + 𝑧𝛼/2 √ 𝑛 𝑛 Datos: n=600; h=0.01 ; Sh=0.012 𝛼 Como 𝛼 = 0,05, 2 = 0,025 por tabla: 𝑧𝛼/2 = 1.96 0.1 − 1.96√ 0.1(1 − 0.1) 0.1(1 − 0.1) < 𝑝 < 0.1 + 1.96√ 600 600 0.076 < 𝑝 < 0.124 El intervalo (0.076 ; 0.124) contiene al verdadero valor de la proporción poblacional 𝑝 con un 95 % de confianza. 10. Cuando compra un producto, que se considera más: ¿el precio o la calidad? En un estudio realizado en un shopping, sobre 2000 adultos el 64 % afirmaron que su decisión de compra se basa principalmente en el precio. a) Construya un intervalo del 99% de confianza para la verdadera proporción de adultos que fundamentan su decisión de compra más en el precio que en la calidad. Interprete. b) Como varían los extremos del intervalo calculado en inciso anterior si el nivel de confianza se disminuye a 95%? (No calcule el intervalo del 95% de confianza, razone su respuesta). X: cantidad de personas que se basa su decisión de compras en el precio 𝑋~𝐵𝑖(𝑛, 𝑝) h: proporción de personas que se basa su decisión de compras en el precio 𝑝. 𝑞 ) 𝑛 ℎ~𝑁(𝑝; √ a) 𝑛 = 2000 ℎ = 0,64 1 − 𝛼 = 0,99 𝑝. 𝑞 0,64.0,36 =√ 𝑛 2000 √ 𝑧= ℎ−𝑝 ~𝑁(0; 1) 𝑆ℎ ℎ−𝑝 𝑃(−𝑧𝛼⁄2 < 𝑆 < 𝑧𝛼⁄2 )=0,99 ℎ ℎ − 𝑧𝛼⁄2 𝑆ℎ < 𝑝 < ℎ + 𝑧𝛼⁄2 𝑆ℎ 0,64 − 2,58. √ 0,64.0,36 0,64.0,36 < 𝑝 < 0,64 + 2,58. √ 2000 2000 0,6123 < 𝑝 < 0,6676 contiene al verdadero valor de la proporción poblacional con el 99% de confianza La proporción poblacional de personas que basan su decisión de compra en el precio está comprendida entre 0,6123 y 0,66676 con una confianza del 99% b) Si el nivel de confianza disminuye a 95% el Li será más grande y el LS del intervalo de confianza será mas pequeño 11. Se extrae una muestra de 100 empleados de una fábrica cuyo total de empleados es de 500. Para dicha muestra se obtuvo que 35 de ellos han realizado especializaciones. a) Estimar la proporción poblacional de empleados que han realizado especializaciones mediante un intervalo del 95% de confianza. Interpretar. b) Estimar el total de empleados que han realizado especializaciones utilizando un intervalo del 90% de confianza. Interpretar. DATOS: X: cantidad de empleados que han realizado especializaciones h: proporción de empleados que han realizado especializaciones 𝑋~𝐵𝑖(𝑛; 𝑝) 𝑝. 𝑞 ) 𝑛 ℎ~𝑁 (𝑝; √ 𝑛 = 100 𝑁 = 500 𝑋 = 35 1 − 𝛼 = 0,95 35 ℎ = 100=0,35 𝑧= ℎ−𝑝 ~𝑁(0; 1) 𝑆ℎ ℎ−𝑝 𝑃(−𝑧𝛼⁄2 𝑆ℎ < 𝑆 ℎ < 𝑧𝛼⁄2 𝑆ℎ )=0,99 ℎ − 𝑧𝛼⁄2 < 𝑝 < ℎ + 𝑧𝛼⁄2 0,35 − 1,96. √ 0,35.0,65 500 − 100 0,35.0,65 500 − 100 √ √ < 𝑝 < 0,35 + 1,96. √ 100 500 − 1 100 500 − 1 0,26631 < 𝑝 < 0,43369 contiene al verdadero valor de la proporción poblacional con el 95% de confianza La proporción poblacional de personas tienen especializaciones está comprendida entre 0,26631 y 0,43369 con una confianza del 95% b) ℎ−𝑝 𝑃(−𝑧𝛼⁄2 < 𝑆 < 𝑧𝛼⁄2 )=0,90 ℎ ℎ − 𝑧𝛼⁄2 𝑆ℎ < 𝑝 < ℎ + 𝑧𝛼⁄2 𝑆ℎ 0,35 − 1,64. √ 0,35.0,65 500 − 100 0,35.0,65 500 − 100 √ √ < 𝑝 < 0,35 + 1,64. √ 100 500 − 1 100 500 − 1 0,28 < 𝑝 < 0,42 contiene al verdadero valor de la proporción poblacional con el 90% de confianza La proporción poblacional de personas tienen especializaciones está comprendida entre 0,28 y 0,42 con una confianza del 90% 𝑁. 0,28 < 𝑁. 𝑝 < 𝑁. 0,42 con el 90% de confianza 500.0,28 < 500. 𝑝 < 500.0,42 140 < 500. 𝑝 < 210 con el 90% de confianza El total de empleados que ha realizado especializaciones está comprendido entre 140 y 210 personas con un 90% de confianza. 12. El supervisor de un distrito escolar selecciona una muestra de docentes de nivel primario para obtener información sobre el ausentismo. De 150 docentes se contaron 45 que estuvieron ausentes por más de 10 días. a) Estimar la proporción de docentes de nivel primario ausentes por más de 10 días, con el 90% de confianza. b) Estimar la proporción de docentes de nivel primario ausentes por más de 10 días, con el 95% de confianza. X: cantidad de docentes ausentes h: proporción de docentes ausentes 𝑋~𝐵𝑖(𝑛; 𝑝) 𝑛 = 150 𝑋 = 45 ℎ = 45 = 0,3 150 𝑝. 𝑞 ) 𝑛 ℎ~𝑁 (𝑝; √ 1 − 𝛼 = 0,90 𝑝. 𝑞 0,3 ∗ 0,7 =√ = 0,037 𝑛 150 √ ℎ−𝑝 𝑃(−𝑧𝛼⁄2 < 𝑆 < 𝑧𝛼⁄2 )=0,90 ℎ ℎ − 𝑧𝛼⁄2 𝑆ℎ < 𝑝 < ℎ + 𝑧𝛼⁄2 𝑆ℎ 0,3 − 1,64 ∗ 0,037 < 𝑝 < 0,35 + 1,64 ∗ 0,037 0,23932 < 𝑝 < 0,36068 contiene al verdadero valor de la proporción poblacional con el 90% de confianza La proporción poblacional de docentes ausentes está comprendida entre 0,23932 y 0,36068 con una confianza del 90% b) 1 − 𝛼 = 0,95 ℎ−𝑝 𝑃(−𝑧𝛼⁄2 < 𝑆 < 𝑧𝛼⁄2 )=0,95 ℎ ℎ − 𝑧𝛼⁄2 𝑆ℎ < 𝑝 < ℎ + 𝑧𝛼⁄2 𝑆ℎ 0,3 − 1,96 ∗ 0,037 < 𝑝 < 0,35 + 1,96 ∗ 0,037 0,22748 < 𝑝 < 0,37252 contiene al verdadero valor de la proporción poblacional con el 95% de confianza. Ejercicios Complementarios 1. Los siguientes datos corresponden a los pesos (en kilos) de 15 hombres escogidos al azar: 72, 68, 63, 75, 84, 91, 66, 75, 86, 90, 62, 87, 77, 70, 69. Suponiendo que el peso se distribuye normal, obtener e interpretar un intervalo del 95% de confianza para el peso medio poblacional. 2. Se tomó una muestra aleatoria de 1562 estudiantes de marketing en cierta universidad y se les pidió que calificasen en una escala de uno (totalmente en desacuerdo) a siete (totalmente de acuerdo) la siguiente afirmación: “La mayoría de los anuncios publicitarios insultan la inteligencia del consumidor medio”. La media y el desvío de las respuestas fue 3,92 y 1,57 respectivamente. Calcular un intervalo de confianza del 95% para la calificación media poblacional. 3. Una tienda está interesada en conocer los gastos en prendas de vestir de los estudiantes universitarios en el primer mes del curso académico. La media y el desvío de una muestra aleatoria de nueve estudiantes fueron de 1.578 y 388 pesos respectivamente. Suponiendo que la población es normal: a) Calcular un intervalo de confianza del 95% para el gasto medio poblacional. b) Sin hacer los cálculos, ¿en qué variaría el intervalo anterior si la confianza es del 99%? 4. En una población de estudiantes de bachillerato se quiere estimar la proporción de estudiantes que tienen posibilidad de conectarse a internet desde su domicilio. Se selecciona al azar una muestra de 300 estudiantes de dicha población y se determina que el 75% de los estudiantes efectivamente tienen conexión a internet en su domicilio. Calcular un intervalo de confianza del 95% para la proporción poblacional. 5. Se desea estudiar el gasto anual de fotocopias, en pesos, de los estudiantes de primer año de cierta facultad de la universidad local. Para ello, se ha elegido una muestra aleatoria de 9 de estos estudiantes, resultando los valores siguientes para estos gastos: 100 150 90 70 75 105 200 120 80 Se supone que la variable aleatoria objeto de estudio sigue una distribución normal de media desconocida y de desviación estándar igual a 12. a) Halle e interprete un intervalo de confianza del 95% para la media del gasto semanal en fotocopias por estudiante. b) Sin hacer los cálculos indicar que ocurriría en términos de precisión si el intervalo hallado en el inciso a) fuese del 99% de confianza. GUÍA DE ESTUDIO - PREGUNTAS TEÓRICAS 1. Dar las propiedades de la media muestral como estimador de la media poblacional. Las características de un buen estimador son insesgabilidad, consistencia, eficiencia y suficiencia. La media muestral es un estimador insesgado de la media poblacional, ya que su esperanza (valor esperado) es igual a la media de la población. E(x) = μ. La media muestral se dice que es un estimado es consistente cuando éste converge a su valor verdadero cuando el número de datos de la muestra tiende a infinito El concepto está relacionado con el del sesgo de los estimadores: un estimador puede presentar cierto sesgo, pero si es consistente, dicho sesgo decrece conforme crece el tamaño muestral La media muestral es un estimador eficiente o más preciso que otro estimador, si la varianza del primero es menor que la del segundo. Entonces, dados ambos estimadores de θ, el estimador que posee la propiedad de eficiencia es aquel que posee la mínima varianza Por tanto es el estimador eficiente entre los dos dados. la media mustral es un estimador suficiente contiene (o absorbe) toda la información proporcionada por la muestra, en lo que respecta al parámetro. 2. Explicar qué se entiende por intervalo de confianza. Explicar desde el punto de vista teórico, como se obtienen los límites inferior y superior de un intervalo de confianza. Estimación por Intervalos de Confianza Intervalo de confianza: Es el intervalo que contiene al verdadero valor del parámetro. Consiste en encontrar un conjunto de números reales, en función de la muestra obtenida, que conforman los posibles valores del parámetro, conociendo la distribución del estimador del parámetro. Límites de los intervalos de confianza: Son los dos valores extremos del intervalo de confianza. El límite inferior del intervalo que se está buscando es igual al estimador menos el valor de la variable estándar que acumula la probabilidad α/2 multiplicado por el desvió muestral y como límite superior del intervalo a es igual al estimador más el valor de la variable estándar que acumula la probabilidad α/2 multiplicado por el desvió muestral. 3. Intervalo de confianza para el parámetro de una distribución Binomial. ¿Cómo se construye? Dar una explicación exhaustiva de la técnica. 4. Intervalo de confianza para la diferencia de medias. Explicar qué significa armar un intervalo de confianza. Analizar el caso según el signo de los extremos del intervalo.(Alumnos convenio UBA) 5. Explicar cómo se construye un intervalo de confianza para la varianza poblacional. (Alumnos convenio UBA) Para construir un intervalo de confianza para 𝜎 2 se utiliza la distribución Chi-Cuadrado con n-1 grados de libertad y la siguiente variable pivotal: 𝑋2 = (𝑛 − 1) . 𝑠 2 2 ~𝜒𝑛−1 𝜎2 2 2 𝑃(𝜒𝑖𝑛𝑓 < 𝑋 2 < 𝜒𝑠𝑢𝑝 )=1−𝛼 2 𝑃 (𝜒𝑖𝑛𝑓 (𝑛 − 1) . 𝑠 2 2 < < 𝜒𝑠𝑢𝑝 )=1−𝛼 𝜎2 1 𝜎2 1 𝑃( 2 > > 2 )=1−𝛼 2 (𝑛 − 1) . 𝑠 𝜒𝑖𝑛𝑓 𝜒𝑠𝑢𝑝 𝑃( (𝑛 − 1) . 𝑠 2 (𝑛 − 1) . 𝑠 2 2 < 𝜎 < ) = 1−𝛼 2 2 𝜒𝑠𝑢𝑝 𝜒𝑖𝑛𝑓 Por lo tanto, el intervalo de confianza para la varianza (con una confianza de 1 − 𝛼) resulta ser: (𝑛 − 1) . 𝑠 2 (𝑛 − 1) . 𝑠 2 2 < 𝜎 < 2 2 𝜒𝑠𝑢𝑝 𝜒𝑖𝑛𝑓 NOTA: La muestra aleatoria debe ser extraída de una población con distribución normal.
