población normal, varianza conocida

Muestreo e intervalos de confianza
Intervalo de confianza para la media:
población normal, varianza conocida
Grados en Biología y Biología sanitaria
M. Marvá. Departamento de Física y Matemáticas. UAH
La inferencia estadística:
Predecir una característica poblacional a partir de una muestra
La probabilidad permite asignar una fiabilidad a la predicción
Ejemplo: X la concentración de colesterol en sangre en población.
Tomar una muestra y
Estimación puntual: calcular el valor medio exacto.
¡¡Ese valor cambia con la muestra!!
Estimación por intervalos: calcular un intervalo en el que está la
media (valor aproximado)
Produciremos afirmaciones como
la concentración media de colesterol en sangre µX en la población
está entre los valores a y b con una probabilidad p
P(a < µX < b) = p
Ejemplo: (continuación) al producir un intervalo
P(a < µX < b) = p
asumimos un margen de error para esa medida (robusto frente a
otras muestras)
asignamos una probabilidad a que la afirmación sea cierta
Atención a
Diseño experimental ¿Cómo se obtienen las muestras?
Distribución muestral ¿Comó son todas las muestras posibles?
Ejemplo: Teorema central del límite con R (fichero en la web)
El teorema central del límite, versión 2.0
Sea X una v.a. normal, X ∼ N(µX , σX ). Suponer que tomamos una
muestra X1 , X2 , · · · , Xn de tamaño n (son copias independientes
idénticas de X). Entonces, la media muestral
X̄ :=
X1 + X2 + · · · + Xn
n
verifica
σX
X̄ ∼ N µX , √
n
⇔
X̄ − µX
σX
√
n
∼ N (0, 1)
independientemente del tamaño n de la muestra
La media muestral es un estimador de la media poblacional
Objetivo: si la característica X ∼ N(µX , σX ), hacer predicciones tipo
El valor µX está entre a y b con probabilidad (por ej.) 0.9
P(a < µX < b) = 0.9
Sabiendo que
σX
X̄ ∼ N µX , √
n
Ejercicio: si Z ∼ N(0, 1), determina un intervalo para la v.a. Z tal
que
1
tenga probabilidad 0.9
2
que sea lo más pequeño posible
Valores críticos para la distribución normal estándar
Sea 0 ≤ p ≤ 1 un valor de probabilidad cualquiera. El valor crítico de
Z correspondiente a p es el valor zp que cumple:
F(zp ) = P(Z ≤ zp ) = 1 − p
z0.05 = 1.6449
Valores críticos para la distribución normal estándar
Si Z ∼ N(0, 1), el intervalo más pequeño tal que P(a < Z < b) = 0.9
es aquel en el que a es el percentil 5 y b el 95.
OJO: se usa la notación a = z0.95 b = z0.05 , pensando en la cola
derecha, y se llaman valores críticos
Observa que, por simetría, z0.95 = −z0.05
Por un lado, el menor intervalo con probabilidad 0.9 para Z ∼ N(0, 1)
P(−z0.05 < Z < z0.05 ) = 0.9
Por otro lado, si X ∼ N(µX , σX ), para muestras de tamaño n
σX
X̄ − µX
√ = Z ∼ N(0, 1)
X̄ ∼ N µX , √
⇔
n
σX / n
Sustituimos (2) en (1) y tenemos
X̄ − µX
√ < z0.05 = 0.9
P −z0.05 <
σX / n
Reorganizando términos en (3)
σX
σX
P X̄ − z0.05 √ < µX < X̄ + z0.05 √
= 0.9
n
n
La probabilidad de que la media poblacional esté en ese es 0.9
(1)
(2)
(3)
Población normal, varianza conocida
Sea X una v.a. normal, cuya varianza σX2 se conoce. Si consideramos
muestras de tamaño n, el intervalo de confianza al nivel de confianza
nc = (1 − α) para la media µX es:
σX
σX
X̄ − zα/2 √ , X̄ + zα/2 √
n
n
σX
El valor zα/2 · √
es la semianchura del intervalo (mide la precisión).
n
σX
El error estándar de la muestra es √
.
n
Ejemplo: Se toma una m.a.s. de 40 individuos de una población
normal con media muestral X̄ = 176 y varianza σ = 9. Calcula el
intervalo de confianza para la media poblacional al nivel de confianza
0.99
σX
σX
P X̄ − zα/2 √ , X̄ + zα/2 √
=1−α
n
n
Algunas observaciones importantes
Si aumenta sólo el tamaño de la muestra, mejora el error
(precisión) pero no la probabilidad de acertar
Si aumenta sólo el nivel de confianza (1 − α), mejora la
probabilidad de acertar pero no el error (precisión)
Experimentar con el fichero GeoGebra correspondiente
Aún más importante
La construcción del intervalo de confianza es posible porque
conocemos la distribución del estimador media muestral
¿Y si la población de estudio no sigue una distribución normal?
¿Y si no conocemos la varianza de la población de estudio?