Práctico 5

ESTADÍSTICA Y SUS APLICACIONES EN CIENCIAS SOCIALES
Práctico 5
Curso 2016
Ejercicio 1 (Propiedades de los estimadores)
Supongamos que obtenemos mediante muestreo aleatorio “con reposición” una
muestra de tamaño 3 de la variable aleatoria X. Luego, elaboramos los
siguientes tres estimadores para la media poblacional:
3
T
X
i 1
i
3
U  0,2 X 1  0,5 X 2  0,3 X 3
V  0,3 X 1  0,6 X 2  0,4 X 3
Se solicita:
a. Determinar el sesgo de cada uno de los estimadores propuestos (T, U, V).
¿Cuáles de ellos son insesgados?
b. Suponga que se trata de una población normal con varianza poblacional
igual a 2. Calcule la varianza de aquellos estimadores que hayan resultado
ser insesgados en el punto anterior. ¿Cuál de ellos es más eficiente?
c. ¿Cuál de los tres estimadores presentados considera más apropiado para
calcular la media poblacional? Fundamente.
Ejercicio 2 (Estimación de una proporción)
Una encuesta de opinión a 1000 residentes de una ciudad grande investigará si
se está a favor de un alza de impuestos para financiar la construcción de un
nuevo estadio deportivo. Si en la encuesta más del 85% apoya el impuesto, se
realizará un referéndum en las siguientes elecciones municipales. Si la
proporción poblacional de los residentes que están a favor del impuesto es
𝑝=0,82, o sea 82%, ¿cuál es la probabilidad de que se realice el referéndum?
Ejercicio 3 (Estimación de una proporción)
Una corporación va a realizar una nueva emisión de acciones. La ley exige que
a los accionistas actuales se les debe dar la primera opción de compra de toda
nueva emisión. La agencia considera que el 45% de los accionistas actuales
desearán comprar. Se selecciona una muestra aleatoria de 130 accionistas, 63
de los cuales expresan su deseo de comprar.
a. ¿Cuál es el error estándar de la proporción muestral?
b. ¿Cuál es la media de la distribución de las proporciones muestrales?
c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 63 o más accionistas dispuestos a
comprar nuevas acciones?
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Ejercicio 4 (Estimación puntual)
Las ventas de una muestra aleatoria de diez grandes supermercados de
Montevideo, el día 5 de enero de 2011, fueron respectivamente: 16, 10, 8, 12,
4, 6, 5, 4, 10, 5 millones de pesos, respectivamente. Obtener estimaciones
puntuales de la venta media, de la varianza de las ventas de todos los
establecimientos comerciales y de la proporción de estos cuyas ventas fueron
superiores a 5 millones de pesos.
Ejercicio 5 (Estimación por intervalo de confianza)
En una muestra se ha obtenido una media de 10 y se ha calculado que el
intervalo de confianza al 95,5% es (8,12).
1. ¿Podemos interpretar este resultado sin conocer el tamaño muestral?
2. Cuál de las siguientes interpretaciones de este intervalo es correcta:
a. Hay una probabilidad de 0,955 de que la media de la población esté
entre 8 y 12.
b. Hay una probabilidad de 0,955 de que la media muestral esté entre 8
y 12.
c. Para el 95,5% de las muestras la media muestral estará entre 8 y 12.
d. Para el 95.5% de las muestras, la media poblacional estará entre 8 y
12.
e. Si calculamos el intervalo para un número grande de distintas
muestras de un tamaño dado, el 95.5% de los intervalos incluirá el
valor del parámetro.
Ejercicio 6 (Intervalo de confianza para la media – muestras grandes)
Para estimar el gasto promedio de los clientes en la cantina de facultad, los
estudiantes de la clase de estadística toman una muestra de 100 clientes y
encuentran un gasto promedio de $30, con una desviación estándar muestral
igual a $5.
a. ¿Cuál es el intervalo de confianza del 95% para el gasto promedio de todos
los clientes de la cantina? Interprete los resultados.
b. ¿Cuál es el intervalo de confianza del 90%? ¿El intervalo es más amplio o
más pequeño que en el punto anterior? Explique.
Ejercicio 7 (Intervalo de confianza para la media – muestras chicas)
Suponga que la empresa Ancel desea realizar un convenio con la Facultad de
Ciencias Sociales para otorgar ciertos beneficios a los estudiantes que realicen
contratos de telefonía celular con dicha empresa. La empresa desea conocer la
cantidad de mensajes diarios que envían los estudiantes en promedio, por lo
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que se toma una muestra de 23 estudiantes. La media muestral es de 23
mensajes diarios con desvío estándar muestral s=4. Suponga que la cantidad
de mensajes diarios enviados por los estudiantes se distribuye normal.
a. Construya un intervalo de confianza al 99% para la media poblacional.
b. Construya ahora un intervalo de confianza al 99%, pero suponiendo que
s=2. Explique a qué se deben las diferencias encontradas en relación al
punto anterior.
c. Manteniendo s=4, construya un intervalo para el 95% de confianza y
compare los resultados con los obtenidos en la parte (a). Explique las
diferencias encontradas.
Ejercicio 8 (Intervalo de confianza para la media – muestras chicas)
Una psicóloga laboral realiza un estudio relativo al estrés entre los docentes
universitarios. La psicóloga ha desarrollado un cuestionario para medir el
estrés. Una puntuación mayor que 80 indica un nivel de estrés peligroso.
Suponga que los niveles de estrés se distribuyen normalmente. En una
muestra aleatoria de 15 docentes se obtuvieron las siguientes puntuaciones:
94
78
83
90
78
94
99
97
90
100 75
84
97
90
93
1. Encuentre el nivel medio de estrés de esta muestra. ¿Cuál es la estimación
puntual de la media poblacional?
2. Obtenga un intervalo de confianza de 95% para la media poblacional.
3. ¿Es razonable concluir que de acuerdo al cuestionario elaborado por la
psicóloga, los docentes universitarios tienen en promedio un nivel de estrés
peligroso?
Ejercicio 9 (Intervalo de confianza para la proporción)
El Ministerio de Turismo ha desarrollado una intensa campaña de promoción
de los balnearios uruguayos en el sur de Brasil. El verano pasado realizó una
encuesta mediante MAS con reposición a 3769 personas que vacacionaron en
la costa este del país.
a. ¿Cuál es el intervalo de confianza del 96% para la proporción de turistas
brasileros, si 1098 de los 3769 encuestados provenían de dicho país?
b. De los 1098 turistas brasileros, 684 declararon haber visitado Uruguay
incentivados por la campaña publicitaria. Calcule e interprete el intervalo de
confianza del 95% para la proporción de brasileros que veranearon en
nuestro país gracias a la campaña publicitaria.
c. Si 896 de los turistas brasileros recomendaron el viaje a Uruguay a sus
amigos, ¿qué porcentaje de todos los turistas brasileros harían lo mismo
con un nivel de confianza del 99%?
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d. Si 796 de los 1098 turistas brasileros declararon planear viajes para
regresar a Uruguay en el próximo verano, con un nivel de confianza del
92% ¿qué proporción de todos los turistas brasileros repetirán sus
vacaciones el próximo verano?
Ejercicio 10 (Intervalo de confianza para la proporción)
El Ministerio del Interior desea determinar qué porcentaje de los montevideanos
considera que el principal problema actual del país es la inseguridad. Para esto
se realizó un muestreo aleatorio simple con reposición de 320 habitantes de la
capital.
a. Sabiendo que 220 personas declararon que la inseguridad es el principal
problema del país. Construya e interprete un intervalo al 99% de confianza.
b. Utilizando los datos anteriores, construya un intervalo del 90% de confianza.
c. ¿Por qué obtuvo un intervalo más pequeño en el punto (b)? ¿Será siempre
deseable reducir la amplitud del intervalo de esta manera?
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