INSTRUCCIONES 1.- Esta prueba contiene 55 preguntas. Hay preguntas de 4 opciones de respuesta (A, B, C y D) y de 5 opciones (A, B, C, D y E). Solo una de las opciones es correcta. 2.- Completa todos los datos solicitados en la hoja de respuestas, de acuerdo con las instrucciones contenidas en esa hoja, porque estos son de tu exclusiva responsabilidad. Cualquier omisión o error en ellos impedirá que se entreguen tus resultados. Recuerda llenar en la hoja de respuestas el campo "forma" que corresponde al número de forma que se encuentra en la portada de esta prueba. Se te dará tiempo para completar esos datos antes de comenzar la prueba. 3.- Dispones de 2 horas y 20 minutos para responder las 55 preguntas. 4.- Las respuestas a las preguntas se marcan en la hoja de respuestas que se te entregó. Marca tu respuesta en la fila de celdillas que corresponda al número de la pregunta que estás contestando. Ennegrece completamente la celdilla, tratando de no salirte de sus márgenes. Hazlo exclusivamente con lápiz de grafito Nº2 o portaminas HB. 5.- No se descuenta puntaje por respuestas erradas. 6.- Puedes usar este folleto como borrador, pero no olvides traspasar oportunamente tus respuestas a la hoja de respuestas. Ten presente que para la evaluación se considerarán exclusivamente las respuestas marcadas en dicha hoja. 7.- Cuida la hoja de respuestas. No la dobles. No la manipules innecesariamente. Escribe en ella solo los datos pedidos y las respuestas. Evita borrar para no deteriorarla. Si lo haces, límpiala de los residuos de goma. 8.- Recuerda que está prohibido copiar, fotografiar, publicar y reproducir total o parcialmente, por cualquier medio, las preguntas de esta prueba. 9.- Tampoco se permite el uso de teléfono celular, calculadora o cualquier otro dispositivo electrónico durante la rendición de la prueba. 1 1.- ¿Cuál de las siguientes expresiones da como resultado un número entero? A) p10´2 ´ 1 q´1 B) p10´1 ` 10´2 q´1 C) D) 2.- 10´3 ` 10´2 10´4 107 ´ 106 104 ` 105 Cuatro amigos arriendan una cabaña por cinco noches y acuerdan dividir el precio del arriendo por la cantidad de personas que se alojen cada noche. El valor total del arriendo de la cabaña es de P pesos por noche. Si Fernando solo se hospedará tres noches, y los tres amigos restantes todos los días, ¿cuál de las siguientes expresiones representa el valor total de lo que deberá pagar Fernando? A) B) C) D) 3.- P 4 P 5 3P 4 3P 5 ¿Cuál de las siguientes opciones plantea un problema cuya solución es un número irracional? A) ¿Cuánto mide la arista de un cubo de área total 6 cm2 ? B) ¿Cuánto mide la altura de un triángulo equilátero de lado 2 cm? C) ¿Cuánto mide la diagonal de un rectángulo de lados 3 cm y 4 cm? D) ¿Cuánto mide la base de un triángulo de área total 10 cm2 y altura 5 cm? 2 4.- Para un cierto evento deportivo de los Juegos Panamericanos se han puesto a disposición A cantidad de asientos. Para la venta de entradas hay que hacer una fila por orden de llegada al lugar de ventas en la que cada persona puede comprar hasta máximo 4 entradas. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa la cantidad de gente que debe haber en la fila para que la última persona alcance una entrada de forma segura? C) A´1 4 A 4 4pA ´ 1q D) 4A A) B) 5.- En una granja hay h ovejas hembras. Si t representa el total de ovejas, ¿cuál de las siguientes expresiones representa el porcentaje de ovejas machos que hay en la granja? A) B) C) D) pt ´ hq % 100 100 % pt ´ hq pt ´ hq ¨ 100 % t pt ´ hq ¨ t % 100 3 6.- El valor de un auto hoy es de p pesos. En 10 días más aumentará su valor en un 20 %, y, en los 5 días posteriores, bajará en un 5 % de ese último precio. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa el valor que tendrá el auto en 15 días más? ˆ ˙ 20 95 A) ¨p`p ¨ 100 100 ˆ ˙ 20 5 B) p` p 100 100 20 5 C) p ` p¨ p 100 100 ˆ ˙ 20 5 20 D) p ` p¨ ¨ p 100 100 100 7.- El brazo de un río a lo largo de 10 años redujo su caudal de 4Q a un 25 % de su capacidad. Otro de los brazos del mismo río de un caudal de 10Q pasó a un 20 % de su capacidad. ¿Qué porcentaje representa la suma de los caudales nuevos de los dos brazos respecto a la suma de sus caudales iniciales? A) B) C) D) 3Q ¨ 100 % 20Q 3Q ¨ 100 % 14Q 3Q ¨ 100 % 10Q 3Q ¨ 100 % 9Q 4 8.- Una carpintera ha diseñado un modelo de mesa circular de A cm2 de superficie. Un cliente le ha pedido otro modelo de mesa circular que tenga 40 % más de radio. ¿Cuánto aumentó la superficie de la nueva mesa, respecto a los A cm2 de la primera mesa? 9.- A) 16 % B) 28 % C) 80 % D) 96 % ´a a ? ? ¯2 ¿Cuál de los siguientes valores es equivalente a 6´ 2` 6` 2 ? ? A) 12 ´ 2 34 ? B) 12 ` 2 34 ? C) 12 ` 3 34 ? D) 12 ´ 3 34 10.- Considera la siguiente lista de números: ? ? ? ? ? 3, 3 2, 7, 5 y 2 5 Si se ordenan los números de menor a mayor, ¿qué número queda en la cuarta posición? ? A) 3 ? B) 3 2 ? C) 7 ? D) 5 ? E) 2 5 5 11.- ¿Cuál de los siguientes valores es igual a ? A) 6 2´1 ? B) 6 21 ? C) 5 20 ? D) 5 2´2 ? ? 2 ¨ 3 2´1 ? 1 1 36 2 27 3 12.- ¿Cuál de las siguientes operaciones representa una solución correcta de ¨ ? 9 18 1 A) B) C) D) 1 36 2 27 3 18 9 18 9 ¨ “ ¨ “ ¨ “1 9 18 9 18 18 9 1 1 1 1 36 2 27 3 p62 q 2 p33 q 3 6 3 1 ¨ “ ¨ “ ¨ “ 9 18 9 18 9 18 9 ˆ ˙ 12 ˆ ˙ 13 1 1 36 2 27 3 36 27 18 9 18 ¨ “ ¨ “ ¨ “ “6 9 18 18 9 9 3 3 ˆ ˙ 12 ˆ ˙ 13 ˆ ˙ 13 1 1 36 2 27 3 36 27 3 1 8 1 1 ¨ “ ¨ “ 42 ¨ “ ¨ “ 9 18 18 9 2 16 27 49 13.- En un estudio, a una población de bacterias se le quita todo tipo de alimentos para analizar su comportamiento en situaciones extremas y se mide la población todos los días a la misma hora. El grupo encargado del estudio obtiene la expresión 108.000 ¨ 2´d , que modela la cantidad de bacterias según la cantidad d de días transcurridos. ¿Cuál de las siguientes opciones es en este contexto correcta? A) d es siempre un número entero mayor que 0. B) Al tercer día hay 27.000 bacterias. C) Las bacterias inicialmente son 54.000. D) Las bacterias disminuyen a la mitad diariamente. 6 14.- Un estudiante está resolviendo paso a paso la siguiente operación: log2 16 ´ log2 8 “ Los pasos son estos: Paso 1: log2 16 ´ log2 8 “ log2 p16 ´ 8q Paso 2: log2 p16 ´ 8q “ log2 8 Paso 3: log2 8 “ 3 ¿En qué paso cometió el primer error? A) Paso 1 B) Paso 2 C) Paso 3 D) En ningún paso 15.- Si log p “ n y log a4 “ b, ¿cuál de las siguientes expresiones es siempre igual a ? pa? n b A) 10 2 ` 8 B) 10 2 ¨ 8 C) 10 2 ` 2 D) 10 2 ¨ 2 n b n n b 16.- Si log 1 8 A) B) C) D) b ? 64 “ m, ¿cuál es el valor de m? 1 4 ´1 ´ 2 1 4 7 17.- Se invierten $70.000 durante un periodo de 5 años. El interés compuesto producido es de un 4 % semestral. ¿Cuál de las siguientes expresiones corresponde al interés compuesto generado? A) $70.000 ¨ p1 ` 0, 04q5 B) $70.000 ¨ p1 ` 0, 04q10 C) $70.000 ¨ rp1 ` 0, 04q5 ´ 1s D) $70.000 ¨ rp1 ` 0, 04q10 ´ 1s 18.- Sea x “ a`b , con a y b números enteros positivos distintos entre sí. ab Si a y b duplican su valor, ¿qué sucede con el valor de x? A) Se mantiene. B) Se duplica. C) Se cuadriplica. D) Disminuye a la mitad. 8 19.- El volumen del siguiente paralelepípedo es x6 ´ y 6 : Si las medidas del largo y ancho son las que se muestran en la figura, ¿cuál es la expresión correspondiente a la altura del cuerpo? A) x3 ` y 3 B) x3 ´ y 3 C) px2 ` xy ` y 2 q D) px2 ` xy ´ y 2 q 20.- Carolina ha ido a comprar A pasteles para comer con su familia. Por el total de pasteles Carolina debe pagar $P , pero antes de realizar el pago, su hermano la llamó para comentarle que debe comprar cuatro pasteles más. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa la cantidad de dinero (en pesos) que tendrá que pagar Carolina por el total de pasteles que debe llevar a su casa si todos son del mismo tipo? A) AP ` 4 D) P pA ` 4q A ApP ` 4q P P ` 4A E) P pA ` 4q B) C) 9 21.- En Química, la ecuación del gas ideal es una de las llamadas ecuaciones de estado. Esta ecuación relaciona la presión P , el volumen V , la temperatura T , la cantidad de materia n de un gas y R la constante universal de los gases, de acuerdo con la siguiente ecuación: P V “ nRT ¿Cuál de los siguientes enunciados es cierto respecto a la ley del gas ideal? A) El producto de la presión y el volumen es inversamente proporcional al producto de la cantidad de material y la temperatura. B) El volumen de un gas es inversamente proporcional a su presión, cuando la temperatura y la cantidad de materia es constante. C) La cantidad de materia es directamente proporcional a la temperatura, cuando el volumen y la presión son constantes. D) La temperatura es inversamente proporcional a la presión, cuando el volumen y la cantidad de materia son constantes. 22.- Para preparar un jugo, Juan y Margarita fueron a comprar naranjas a una frutería que las vende por unidad. Juan compró 56 naranjas que le costaron $N . ¿Cuánto pagó en pesos Margarita si ella compró una cuarta parte más de naranjas que Juan? A) 70N B) 14N 35 N 28 28 N 35 C) D) 10 8 23.- Si al denominador de la fraccion se le suma cierta cantidad, la fracción modificada 3 es igual a 0, 4. ¿Cual es esa cantidad? C) 34 5 34 ´ 15 15 D) 17 E) 34 A) B) ´ 3 24.- ¿Cuál de las siguientes ecuaciones NO es equivalente a la ecuación 5 ´ 0, 01 ¨ x “ ? 4 x A) 5 ´ “ 0, 75 100 B) 5 ´ 1 % ¨ x “ 75 % C) 5 ´ 0, 01x “ 0, 75 D) 5 ´ 10´1 ¨ x “ 75 % 11 25.- La figura adjunta muestra dos rombos semejantes, tal que AB // EF . Además, el perímetro del rombo ABCD es 24 cm, mientras que el perímetro del rombo EF GH es 36 cm. Si se desea construir un rombo al interior del rombo EF GH y en el exterior del rombo ABCD, tal que cada lado mida x ´ 4, entonces, ¿cuál de los siguientes conjuntos es igual a todos los posibles valores de x? A) s6, 9r B) r6, 9s C) s10, 13r D) r10, 13s 26.- Paula tiene un collar de perlas de dos tamaños diferentes. El collar tiene un total de 84 perlas y una masa de 30 g. Si cada perla grande tiene una masa de 0,4 g y cada perla pequeña de 0,2 g, ¿cuántas perlas de cada uno de los dos tamaños tiene el collar? A) 66 grandes y 18 pequeñas B) 60 grandes y 24 pequeñas C) 32 grandes y 52 pequeñas D) 24 grandes y 60 pequeñas E) 20 grandes y 64 pequeñas 12 27.- Considera el siguiente sistema de ecuaciones: 2x ` 6y “ 23 8x ` 3y “ 32 ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta? A) El sistema tiene una única solución. B) El sistema no tiene solución. C) El sistema tiene infinitas soluciones. D) El sistema tiene exactamente tres soluciones. 13 28.- Roberta ha estado registrando el dinero que ha venido ahorrado durante el último año. Los datos los representó en la siguiente gráfica, en la que el eje horizontal representa el número de meses x que lleva ahorrando y el vertical el dinero ahorrado en miles de pesos: ¿Cuál de las siguientes funciones describe el dinero ahorrado por Roberta, en miles de pesos? A) B) C) D) 11 x ` 212 2 Dpxq “ x ` 425 11 Dpxq “ x ` 425 2 Dpxq “ x ` 212 Dpxq “ 14 29.- Sean f pxq “ x ` 6 y gpxq “ 5x funciones ambas con dominio igual al conjunto de los números reales. Si el punto pa, bq pertenece al gráfico de ambas funciones, ¿cuál es el valor de b? 7 A) 2 9 B) 2 11 C) 2 13 D) 2 15 E) 2 30.- Una empresa de agua potable cobra mensualmente un cargo fijo de $1.200 y $200 por cada metro cúbico de consumo; pero, si en algún mes se superan los 100 m3 de consumo, se cobra lo anterior y se suma un cargo de $150 por cada metro cúbico de exceso. Si x representa la cantidad de metros cúbicos consumidos, ¿cuál de las siguientes funciones permite calcular el total que se debe pagar en un mes en el que se supere el consumo de los 100 m3 de agua? A) f pxq “ 1.200 ` 150x B) f pxq “ 1.200 ` p200 ¨ 100q ` 150x C) f pxq “ 1.200 ` p200 ¨ 100q ` 100x D) f pxq “ 1.200 ` p200 ¨ 100q ` 150px ´ 100q 15 31.- Sea la función cuadrática f pxq “ ´px ` 3q2 ´ 2. ¿En qué punto del plano cartesiano, la función f corta al eje y? A) p0, ´11q B) p0, ´9q C) p0, 11q D) p0, 9q 32.- Considera la función f pxq, cuyo dominio es el conjunto de los números reales, definida por f pxq “ ´2x2 ` 8x ` 3. ¿En cuál de los siguientes intervalos de x, la función f pxq es creciente? A) s ´ 8, 2r B) s ´ 8, 3r C) s ´ 8, 6r D) s ´ 8, 8r 33.- La trayectoria de un proyectil que es lanzado desde una altura de 4 m describe una parábola. La altura del proyectil en función del tiempo está modelada por la función cuadrática hptq “ ´6t2 ` 10t ` 4, donde hptq es la altura en metros y t representa el tiempo en segundos. ¿Después de cuántos segundos aterriza el proyectil? A) 2s B) 6s C) 10 s D) 14 s 16 34.- Considera la función potencia f cuyo dominio es el conjunto de los números reales, definida por f pxq “ ´px ` 3qn ` 8. Si f p´1q “ ´24, ¿cuál es el valor de n en la función? A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7 35.- Se quiere cubrir con una alfombra el piso de una habitación cuya forma y dimensiones se muestran en la siguiente figura en donde los ángulos en B y D son rectos. ¿Cuántos metros cuadrados de alfombra se requieren para cubrir el área descrita? ? 15 15 A) ` 2 2 15 17 B) ` 2 2 ? 15 33 C) ` 2 2 ? 15 35 D) ` 2 2 17 ÐÑ ÐÑ 36.- Considerando que las rectas CE y AB son paralelas, la profesora de matemáticas les solicita a sus estudiantes comparar las áreas de los tres triángulos que se forman: ABC, ABD y ABE. Soledad afirma que el triángulo ABC tiene un área mayor al tener su lado izquierdo vertical. Daniel está seguro de que los triángulos ABC y ABE tienen un área mayor que el triángulo ADB. Florencia piensa que no es posible determinar cuál triángulo tiene un área mayor o menor que los demás. Ramón considera que el triángulo ADB posee un área mayor que los demás triángulos. Sabrina postula que los tres triángulos tienen igual área puesto que tienen igual altura y base. ¿Quién tiene la razón? A) Soledad B) Daniel C) Florencia D) Ramón E) Sabrina 18 37.- Una empresa dedicada a la producción de papel higiénico ha diseñado un nuevo modelo de rollo. Cada rollo tiene un cilindro central de cartón cuyo diámetro es D cm y un cilindro exterior de papel con diámetro D cm, como se muestra en la 3 imagen adjunta: ¿Cuál es la expresión que representa el volumen del papel higiénico en el rollo, sin considerar el volumen del cilindro central de cartón, en centímetros cúbicos? A) B) C) D) 2π ¨ h ¨ D2 9 4π ¨ h ¨ D2 9 7π ¨ h ¨ D2 9 8π ¨ h ¨ D2 9 38.- ¿Cuál de las siguientes opciones podría ser un valor de k para que los vectores ~u “ pk, 2q y ~v “ p2, 3q tengan el mismo módulo? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 19 39.- Si el punto (m, n) es la imagen de trasladar el punto (´4, 7) dos veces según el vector T , ¿cuál de los siguientes vectores representa a T ? A) p4 ` m, 7 ´ nq B) pm ` 4, n ´ 7q ˆ ˙ 4`m 7´n , 2 2 ˆ ˙ m`4 n´7 , 2 2 C) D) Ý 40.- Si al vector Ñ u p´3, 2q se le aplica una homotecia con centro p1, 2q y una razón de Ñ Ý ´3, ¿cuál es el vector resultante u1 ? A) p´11, 2q B) p9, ´6q C) p10, ´4q D) p13, 2q E) p15, 2q 20 41.- En la siguiente imagen se observa un árbol de altura h metros que proyecta una sombra de 20 metros con un ángulo de elevación de 45˝ : ¿Cuál es el valor de h? A) 10 B) 20 ` ? ˘ 20 3 ˆ ? ˙ 20 3 3 C) D) 17 42.- En un cierto triángulo rectángulo ∆ABC se cumple que sinpxq “ , donde x es 20 ˝ uno de los ángulos del triángulo diferente a 90 . ¿Cuál es el valor de cospxq? A) B) C) D) 17 20 20 17 ? 111 20 ? 289 20 21 43.- En el siguiente gráfico de pastel o sector circular se muestran las preferencias de colores de distintos alumnos de un grupo de primero básico. A partir del gráfico anterior se confecciona la siguiente tabla: Color Número de preferencias Amarillo 6 Verde α Azul 12 Rojo β ¿Cuál de las siguientes opciones es siempre correcta? A) Se debe cumplir que α “ 12. B) β ą 12. C) La cantidad de personas que prefiere el rojo menos la cantidad de personas que prefiere el azul es igual a la cantidad de personas que prefiere el amarillo. D) Debe haber más de 50 alumnos en el curso. 22 44.- Se tiene la siguiente muestra de datos: 3x ` 2, 3x ´ 3, 3x ` 4, 3x ´ 7 con x ą 0. Si se sabe que la mediana es 7, ¿cuál es el valor del promedio? A) B) C) D) 11 6 11 2 13 6 13 2 23 45.- En la tabla adjunta se muestra la distribución de las horas en las que un grupo de personas usa las aplicaciones de su celular. Horas de uso Cantidad de personas 5 M 7 N 9 P Se sabe que el promedio, la mediana y la moda de las horas de uso de las aplicaciones son distintas y que hay un único valor para la moda. Además, se cumple que M ` N ą P. ¿Cuál de los siguientes gráficos representa las condiciones dadas en el enunciado? A) B) C) D) 24 46.- El bus que lleva a Paulina desde la estación de metro hasta su casa tarda tiempos distintos dependiendo del día y del tráfico. Cada día de una semana Paulina registra el tiempo que demora el bus en llegar a su destino en la siguiente tabla. Día Tiempo (minutos) Lunes 12 Martes 18 Miércoles 14 Jueves 20 Viernes 11 ¿Cuál es la varianza de los tiempos? A) 12 B) 14 C) 15 D) 18 47.- Una distribuidora de bebidas ofrece 2 gaseosas. La bebida A es sabor a limón y la bebida B es sabor a jengibre. El 30 % de los consumidores prefiere la bebida A, el x % de los consumidores prefiere la bebida B y el y % restante prefiere ambas bebidas. Si se escoge un consumidor al azar, ¿qué expresión corresponde a la probabilidad (en porcentaje) de que tome la bebida A o tome la bebida B? A) 30 % ¨ x % B) x %`y % C) 30 % ` x % ´ y % D) 30 % ´ x % ` y % 25 48.- Una flota de autobuses debe comprar maquinaria para viajes dentro y fuera de la región. Para ello, adquieren 50 buses para viajes dentro de la región: 40 son completamente nuevos y 10 buses son de segunda mano. Entre los buses que viajan fuera de la región, adquieren igualmente 50, de los cuales 30 son nuevos y 20 son de segunda mano. Si un pasajero se sube a un bus de forma aleatoria, ¿cuál es la probabilidad de que viaje dentro de la región dado que el bus es de segunda mano? A) B) C) D) 2 5 3 5 1 3 2 3 49.- Una canasta contiene 15 frutas, todas con la misma probabilidad de ser elegidas. De ellas, 8 son manzanas. Si se seleccionan al azar 5 frutas de la canasta, sin reposición y sin orden, ¿cuál es la probabilidad de que todas sean manzanas? A) B) C) D) 7 ˆ ˙ 15 5 8 ˆ ˙ 15 5 ˆ ˙ 7 5 ˆ ˙ 15 5 ˆ ˙ 8 5 ˆ ˙ 15 5 26 50.- Para aprobar, un estudiante debe responder correctamente a siete de las diez preguntas de su examen. Se requiere que, de estas siete preguntas respondidas correctamente, al menos cinco sean elegidas de entre las seis primeras preguntas del examen. ¿De cuántas formas diferentes puede el estudiante seleccionar las preguntas a responder para cumplir con estos requisitos? A) 24 B) 40 C) 100 D) 180 51.- Una persona contesta al azar 20 preguntas de verdadero y falso. Si no puede omitir, ¿cuál es la probabilidad de que conteste 18 correctas? A) 2´20 B) 2´18 C) 190 ¨ 2´20 D) 190 ¨ 2´18 E) 380 ¨ 2´20 52.- Se puede determinar el signo de P en la igualdad P “ a ¨ b ¨ c, si se sabe que: (1) a y b tienen el mismo signo. (2) b y c tienen el mismo signo. A) (1) por sí sola B) (2) por sí sola C) Ambas juntas, (1) y (2) D) Cada una por sí sola, (1) o (2) E) Se requiere información adicional 27 53.- Considera la función f , cuyo dominio es el conjunto de los números reales, definida por f pxq “ ax2 ` bx ` c, con a un número real distinto de cero. b Se puede determinar que la gráfica de f es creciente en el intervalo s ´ 8, ´ r, si 2a se sabe que: (1) a ă 0 (2) el valor máximo de la función es 4ac ´ b2 4a A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 54.- Considera un rombo cuyas diagonales son d1 y d2 . Se puede determinar el valor del área del rombo si se conoce: (1) el valor del perímetro del rombo. (2) el valor de la suma de las diagonales del rombo. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. 28 55.- Se puede determinar la desviación estándar de un conjunto de cuatro datos si se sabe que: (1) El valor de dos de los datos es igual a la media. (2) La diferencia entre uno de los datos y la media es igual a 4. A) (1) por sí sola. B) (2) por sí sola. C) Ambas juntas, (1) y (2). D) Cada una por sí sola, (1) ó (2). E) Se requiere información adicional. - 29
