MODELOS ESTOCÁSTICOS
PROGRAMACIÓN DINÁMICA
octubre 2024
1. La compañía minera “Los 33” dispone actualmente de cinco brigadas de trabajadores que
pueden ser asignadas a cualquiera de sus tres faenas, con el fin de potenciar el proceso
extractivo.
La empresa busca determinar cuántas brigadas asignar, si lo hace, a cada una de estas
faenas con el fin de maximizar el retorno obtenido por la extracción de minerales. Estas
brigadas deben mantenerse como están constituidas, es decir, el número asignado a cada
faena debe ser un numero entero.
La medida de desempeño se evalúa en términos de millones de dólares anuales. En la tabla
siguiente se proporcionan las estimaciones de estos retornos, para cada faena y para cada
asignación posible de brigadas de trabajadores.
Brigadas de
trabajadores
0
1
2
3
4
5
1
0
35
78
128
181
236
Faena
2
0
50
108
155
190
218
3
0
45
90
135
180
225
¿Cuál es la asignación que maximiza la medida de desempeño? Determine la solución
usando programación dinámica.
Solución:
n=3
S3
0
1
2
3
4
5
n=2
0
0
0
0
0
0
0
1
45
45
45
45
45
f3(S3, X3) = p3(X3)
2
3
90
90
135
90
135
90
135
4
180
180
5
225
f3*(S3, X3)
X3 *
0
45
90
135
180
225
0
1
2
3
4
5
MODELOS ESTOCÁSTICOS
S2
0
1
2
3
4
5
0
0
45
90
135
180
225
f2(S2, X2) = p2(X2) + f3*(S2 – X2)
1
2
3
4
50
95
108
140
153
155
185
198
200
190
230
243
245
235
5
218
0
245
f1(S1, X1) = p1(X1) + f2*(S1 – X1)
1
2
3
4
235
233
236
231
5
236
f2*(S2, X2)
X2 *
0
50
108
155
200
245
0
1
2
3
4
3
f1*(S1, X1)
X1 *
245
0
n=1
S1
5
Respuesta: 245 millones. Asignación: 𝑥! = 0, 𝑥" = 3, 𝑥! = 2
2. Un empresario se encuentra en Chile (el Domingo) y debe estar en Perú el próximo
jueves. En cada uno de los días siguientes: lunes, martes, miércoles y jueves, este
señor puede vender sus productos en Chile, Perú o Argentina. De experiencias
anteriores, él cree que puede ganar US$12 estando un día en Perú, US$16 estando un
día en Chile y US$17 estando un día en Argentina. Con el objeto de maximizar sus
ventas menos los costos de traslado de un país a otro, ¿dónde debería estar el
empresario los tres primeros días de la semana? . Los costos de viaje para trasladarse
de un país a otro son dados en la siguiente tabla:
Determine la solución óptima mediante un modelo de programación dinámica. Defina las
etapas, los estados, las variables de decisión y la función recurrente. Encuentre e interprete
la solución.
MODELOS ESTOCÁSTICOS
Solución:
a) Diagrama de la situación:
- Etapas: definimos 4 etapas, corresponden al país en el que debe decidir estar el
empresario.
- Estados: definimos estados a los países en los que el empresario deberá encontrarse cada
día.
- Variable de decisión: 𝑥# representa el destino inmediato de la etapa 𝑛: 𝑥! , 𝑥" , 𝑥$ , 𝑥% .
- Función recurrente: Sea 𝑓& (𝑠, 𝑥& ) el costo total de la mejor política global para las etapas
restantes. El estado inicial es s listo para seguir la etapa 𝑥& el objetivo es minimizar la
función.
Por lo tanto, aplicando el procedimiento de Programación Dinámica, este empresario
debería estar el lunes, martes y miércoles en Chile y el Jueves ir a Perú.
MODELOS ESTOCÁSTICOS
3. Para atender las necesidades de un proyecto se mantiene una fuerza laboral, la cual
puede variar, siendo alternativamente contratada o despedida a través de las etapas de
desarrollo del proyecto. La necesidad de trabajadores en cada etapa es secuencialmente de
6, 8, 9 y 5 trabajadores. La contratación excesiva y la contratación adicional generan
respectivamente costos de $300.000 y $200.000 por trabajador.
Con estos antecedentes:
a) Plantee las tablas de resolución de este problema.
b) Indique niveles óptimos de contratación en cada etapa.
c) Indique el costo que significa la estrategia de contratación planteada.
Solución:
Sea 𝑏# la cantidad de trabajadores requeridos en la semana 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑎
Semana 1:
Semana 2:
Semana 3:
Semana 4:
𝑏! = 6
𝑏" = 8
𝑏$ = 9
𝑏% = 5
Sea 𝑥# el número real de trabajadores empleados en la semana 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑎
𝑏! = 6
𝑏" = 8
𝑏$ = 9
𝑏% = 5
𝑥! = {6, 7, 8, 9}
𝑥" = {8, 9}
𝑥$ = {9}
𝑥% = {5}
Costo por exceso
𝑐# = 300000 · (𝑥# − 𝑏# ) 𝑠𝑖 𝑥# > 𝑏# ; 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑐# = 0.
Costo por contratación
𝑐# = 200000 · (𝑥# − 𝑥#'! ) 𝑠𝑖 𝑥# > 𝑥#'! ; 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑐# = 0.
Función
Tablas:
𝑓# (𝑥#'! ) = 𝑚𝑖𝑛{300 · (𝑥# − 𝑏# ) + 200 · (𝑥# − 𝑥#'! ) + 𝑓#∗ (𝑥# }
MODELOS ESTOCÁSTICOS
MODELOS ESTOCÁSTICOS
b) Niveles óptimos de contratación en cada etapa:
Semana 1: contratar 6 trabajadores
Semana 2: contratar 2 trabajadores
Semana 3: contratar 1 trabajador
Semana 4: no contratar trabajadores, se tienen 4 trabajadores en exceso
c) Costo total $1.800.000.
4. Una compañía sabe que la demanda por su producto durante cada uno de los próximos
tres meses es de 2, 1 y 3 productos respectivamente. Durante un mes en el cual se produce
se incurre en un costo fijo de 2 dólares más un costo variable de 2 dólar por cada unidad
que se fabrica. Al final de cada mes, se genera un costo de almacenamiento de 1 dólar por
cada unidad. Las limitaciones en la capacidad permiten producir durante cada mes un
máximo de 4 unidades y las dimensiones de la bodega de la compañía restringen el
inventario final de cada mes a 4 unidades máximo. La empresa desea determinar un plan
de producción que cumpla con toda la demanda a tiempo y minimice la suma del costo de
producción y el costo por almacenamiento durante los tres meses. Suponga que dispone de
1 unidad al principio del mes.
MODELOS ESTOCÁSTICOS
Determine un plan de producción que minimiza los costos totales.
Solución:
Respuesta:
Se deben producir 2 productos el primer mes. 0 productos el segundo mes y 3 productos
el tercer mes.
El costo total se plan de producción será de $15.
5. El propietario de una cadena de tres pastelerías compró cinco cargas de harina. Él sabe
que el uso que se hace del insumo es diferente en las tres panaderías y quiere saber cómo
debe asignar las cinco cargas a las pastelerías para maximizar la ganancia esperada y está
de acuerdo en que si es necesario no se asigne carga a cualquiera de las pastelerías.
MODELOS ESTOCÁSTICOS
En la tabla, a continuación, se proporciona la ganancia estimada al asignar distintas
cantidades de carga.
Número de
carga
1
Pastelería
2
3
0
0
0
0
1
5
6
4
2
9
11
9
3
14
15
13
4
17
19
18
5
21
22
20
Solución:
Etapas: Pastelería 1, 2 y 3
Variables de Decisión: Xn =0, 1, 2, 3, 4, 5
Estado: S1=5, S2=5-X1, S3=S2-X2
∗ (𝑆
Función: 𝑓& (𝑠& , 𝑥& ) = 𝐺& (𝑥& ) + 𝑓&*!
& − 𝑥& )
Etapa 3: pastelería 3 𝑓$ (𝑠$ , 𝑥$ ) = 𝐺$ (𝑥$ )
Número de cargas
Disponibles
S3
0
1
2
3
4
5
Solución Óptima
Ganancia
Número de Cargas
∗
𝑓$ (𝑆$ )
𝑥$∗
0
0
4
1
9
2
13
3
18
4
20
5
MODELOS ESTOCÁSTICOS
Etapa 2: pastelería 2
Número de
cargas
Disponibles
S2
0
1
2
3
4
5
𝑓" (𝑠" , 𝑥" ) = 𝐺" (𝑥" ) + 𝑓$∗ (𝑆" − 𝑥" )
X2 = 0
X2 = 1
X2 = 2
X2 = 3
X2 = 4
X2 = 5
𝑓"∗ (𝑆" )
𝑥"∗
0
4
9
13
18
20
6
10
15
19
24
11
15
20
24
15
19
24
19
23
22
0
6
11
15
20
24
0
1
2
1, 2, 3
2
1,2, 3
Etapa 1: pastelería 1 𝑓! (𝑠! , 𝑥! ) = 𝐺! (𝑥! ) + 𝑓"∗ (5 − 𝑥! )
Número de
cargas
Disponibles
S2
5
X1 = 0
X1 = 1
X1 = 2
X1 = 3
X1 = 4
X1 = 5
𝑓!∗ (𝑆! )
𝑥!∗
24
25
24
25
23
21
25
1, 3
La solución óptima se obtiene con 𝑥!∗ = 1 𝑜 𝑥!∗ = 3
Por lo tanto, la ganancia máxima ($25), se obtiene asignando:
o
1 carga de harina a la pastelería 1, 2 cargas a la pastelería 2 y 2 cargas a la pastelería 3.
3 cargas de harina a la pastelería 1, 2 cargas a la pastelería 2 y ninguna a la pastelería 3.
6. Un importante proyecto necesita de cinco semanas para su desarrollo. Durante este
tiempo, se necesita de trabajadores para apoyar su realización. El departamento de RRHH
determina los requisitos de mano de obra: 7, 4, 8, 5 y 6 trabajadores para las semanas 1, 2, 3,
4 y 5, respectivamente.
El exceso de trabajadores que se mantiene en la fuerza laboral se calciula en un costo de
$2000 por cada trabajador por semana.
Las nuevas contrataciones para cualquier semana involucran desembolsos de dinero para la
empresa, estimándose en un costo fijo de $3000 y un costo variable de $2500 por trabajador.
MODELOS ESTOCÁSTICOS
Si en cualquier semana se despide a un trabajador, los costos asociados se establecen en
$1500 por cada persona que sea desvinculada de la compañía.
Determine el plan de contratación de la empresa y el costo óptimo de la planilla laboral.
Solución:
Sea 𝑏# la cantidad de trabajadores requeridos en la semana 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑎
Semana 1:
Semana 2:
Semana 3:
Semana 4:
Semana 5:
𝑏! = 7
𝑏" = 4
𝑏$ = 8
𝑏% = 5
𝑏+ = 6
Sea 𝑥# el número real de trabajadores empleados en la semana 𝑖 − é𝑠𝑖𝑚𝑎
𝑏! = 7
𝑏" = 4
𝑏$ = 8
𝑏% = 5
𝑏+ = 6
𝑥! = {7, 8}
𝑥" = {4, 5, 6, 7, 8}
𝑥$ = {8}
𝑥% = {5, 6}
𝑥+ = {6}
Costo por exceso
𝑐# = 2000 · (𝑥# − 𝑏# ) 𝑠𝑖 𝑥# > 𝑏# ; 𝑒𝑛 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑐# = 0.
Costo por contratación
𝑐# = 3000 + 2500 · (𝑥# − 𝑥#'! ) 𝑠𝑖 𝑥# > 𝑥#'!
Costo por despido
𝑐# = 1500 · (𝑥# − 𝑥#'! ) 𝑠𝑖 𝑥# < 𝑥#'!
Función
Tablas
𝑓# (𝑥#'! ) = 𝑚𝑖𝑛{2000 · (𝑥# − 𝑏# ) + 𝑐# + 𝑓#∗ (𝑥# }
MODELOS ESTOCÁSTICOS
MODELOS ESTOCÁSTICOS
Plan de contratación:
Semana 1: contratar 7 trabajadores
Semana 2: no contratar ni despedir trabajadores
Semana 3: contratar 1 trabajador
Semana 4: despedir 2 trabajadores
Semana 5: no contratar ni despedir trabajadores
Costo óptimo del plan: $37000
MODELOS ESTOCÁSTICOS
7. Un estudiante universitario cuenta con siete días para preparar los exámenes finales de
cuatro cursos y quiere asignar su tiempo de estudio de la manera más eficiente posible.
Necesita por lo menos un día para cada curso y quiere concentrarse sólo en un curso cada
día por lo que quiere asignar uno, dos, tres o cuatro días a cada curso. Como hace poco
tomó un curso de investigación de operaciones, decide aplicar programación dinámica para
hacer estas asignaciones que maximicen el total de puntos obtenidos en los cuatro cursos.
Estima que las distintas asignaciones en días de estudio le redituarán puntos de calificación
según la siguiente tabla:
Resuelva este problema con programación dinámica.
Solución:
Sea 𝑥& el número de días de estudio asignados al curso 𝑛, sea 𝑝& (𝑥& ) el número de
puntos de calificación esperados cuando se asignen 𝑥& días al curso 𝑛 y 𝑠& el número
de días de estudio que quedan por asignar a los 𝑘 ≥ 𝑛 cursos.
Entonces
𝑓&∗ (𝑠& ) =
max
[𝑝& (𝑥& ) + 𝑓&∗ (𝑠& − 𝑥& )]
!,-! ,./0 (2! ,%)
MODELOS ESTOCÁSTICOS
El puntaje máximo obtenido es de 21 puntos.
8. Considere un inventario dinámico de 5 períodos con datos de costos estacionarios:
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑓𝑖𝑗𝑜 𝑎𝑠𝑜𝑐𝑖𝑎𝑑𝑜 𝑎 𝑙𝑎 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛 (𝐾) = $40
MODELOS ESTOCÁSTICOS
𝐶𝑜𝑠𝑡𝑜 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 (𝑐) = $10 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑
Costo unitario por almacenamiento (h) = $3 unidad/perí𝑜𝑑𝑜
La demanda conocida para cada período es:
𝑟! = 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠,
𝑟" = 4 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠,
𝑟$ = 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠,
𝑟% = 2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠,
𝑟+ = 3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠
Realice el procedimiento correspondiente y determine el costo mínimo del inventario
Solución:
Etapa 6
𝑓5 = 0
Etapa 5
𝑟+ = 3
Etapa 4
𝑟% = 2
Etapa 3
𝑟$ = 2
MODELOS ESTOCÁSTICOS
Etapa 2
𝑟" = 4
Etapa 1
𝑟! = 2
Solución: Costo total mínimo
𝑓! = $243
9. Una compañía sabe que la demanda por su producto durante cada uno de los próximos
tres meses es de 2, 1 y 3 productos respectivamente. Durante un mes en el cual se produce
se incurre en un costo fijo de 2 dólares más un costo variable de 2 dólar por cada unidad
que se fabrica. Al final de cada mes, se genera un costo de almacenamiento de 1 dólar por
cada unidad. Las limitaciones en la capacidad permiten producir durante cada mes un
máximo de 4 unidades y las dimensiones de la bodega de la compañía restringen el
inventario final de cada mes a 4 unidades máximo. La empresa desea determinar un plan
de producción que cumpla con toda la demanda a tiempo y minimice la suma del costo de
producción y el costo por almacenamiento durante los tres meses. Suponga que dispone de
1 unidad al principio del mes.
Determine un plan de producción que minimiza los costos totales.
MODELOS ESTOCÁSTICOS
Solución:
x3
s3
n=3
0
1
2
3
4
0
0
1
1
4
5
6
2
6
7
8
9
3
8
9
10
11
12
4
11
12
13
14
-
f3 *
8
6
4
0
1
x3 *
3
2
1
0
0
3
14
11
13
-
4
13
15
-
f2 *
12
8
7
6
3
x2 *
1
0
0
0
0
3
17
4
19
f1 *
15
x1 *
2
x2
s2
n=2
0
1
2
3
4
0
8
7
6
3
1
12
11
10
7
9
2
13
12
9
11
x1
s1
n=1
1
0
-
1
16
2
15
Respuesta:
Se deben producir 2 productos el primer mes. 0 productos el segundo mes y 3 productos
el tercer mes.
El costo total se plan de producción será de $15.
10. Para atender las necesidades de un proyecto se mantiene una fuerza laboral, la cual
puede variar, siendo alternativamente contratada o despedida a través de las etapas de
desarrollo del proyecto. La necesidad de trabajadores en cada etapa es secuencialmente de
6,8,9 y 5 trabajadores. La contratación excesiva y la contratación adicional generan
respectivamente costos de $300.000 y $200.000 por trabajador. Con estos antecedentes:
d) Plantee las tablas de resolución de este problema.
e) Indique niveles óptimos de contratación en cada etapa.
f) Indique el costo que significa la estrategia de contratación planteada.
RESPUESTA:
MODELOS ESTOCÁSTICOS
a)
b) Niveles óptimos de contratación en cada etapa:
Etapa 1= 6; Etapa 2=8; Etapa 3: 9; Etapa 4: 5.
c) Costo total $1.800.000.
