APELLIDOS Y NOMBRES: Edilberto César Fustamante Castillo Grado y sección: 3 “A” TRABAJO INDIVIDUAL PROBLEMA 01: La grilla contiene cinco figuras de la A a la E. Describa la transformación única que transforma a: a) A en B b) A en C c) A en D d) A en E e) C en D f) Realizar la homotecia de A con respecto al punto (0,0) en una razón de 2 Solución: Primero ubicamos las coordenadas de la figura A en GeoGebra: a) Para que A llegue a ser como B: En este caso, se aplicó una traslación, donde el vector 2 columna llega a ser (−2). Para hallar este vector se utilizó los puntos C y C’; Las coordenadas del punto C en un inicio son: (4, 4), siendo 4 en 𝑥, 4 en y Las coordenadas del punto C’ después de la translación son: (6, 2), siendo 6 en 𝑥, 2 en 𝑦 Se realiza una diferencia para determinar el vector columna: Respecto a 𝑥; 6 − 4 = 2 Respecto a 𝑦; 2 − 4 = −2 b) Para que A llegue a ser como C: En este caso se aplicó una simetría axial, respecto al eje y = -1. Para verificar que la reflexión sea correcta, se trazo segmentos; l (2, 1) hacia (2, -1), k (3, 1) hacia (3, -1), j (4, 1) hacia (4, -1), g (2, -3) hacia (2, -1), h (3, -3) hacia (3, -1), i (4, -3) hacia (4, -1). Después se calculó la longitud de estos, siendo iguales con 2 cm: c) Para que A llegue a ser como D: En este caso se aplicó una simetría axial, considerando la recta, x = -y. Para verificar que esta reflexión sea correcta se trazaron segmentos; m, n, p, q, r, s. Los cuales resultaron tener la misma medida: d) Para que A llegue a ser como E: En este caso, se aplico una traslación −6 con el vector columna de ( 0 ). Para calcular este vector se usó las coordenadas del punto C y el punto C’2: Punto C: (4,4) y punto C’2: (-2, 4) Respecto a 𝑥; −2 − 4 = −6 e) Para que C llegue a ser como D: En este caso se aplicó una rotación considerando el punto Q con las coordenadas de (1, -1), en ello se consideró una rotación de 90° en sentido horario, y para corroborar de que sea correcto se trazó 5 circunferencias considerando el punto Q. Nota: se utilizó un deslizador con el símbolo de 𝛼, para hallar el ángulo correcto. - Se realiza una diferencia para determinar el vector resultante: Respecto a 𝑦; 4 − 4 = 0 f) Realizar la homotecia de A con respecto al punto (0,0) en una razón de 2 Se realizo una homotecia la cual partió de las coordenadas (0, 0), con razón de 2, después para verificar que sea correcto, se trazaron 5 rectas que concordaron con las primeras coordenadas del polígono A con las nuevas coordenadas del polígono F. PROBLEMA 02: La grilla contiene 4 figuras de la A a la D. Describa la transformación única que transforma a: a) A en B - b) A en C c) A en D d) B en D e) Realizar una simetría central de C con respecto al punto (1,1) Solución: Primero ubicamos las coordenadas de la figura A en GeoGebra, se consideran las coordenadas de (2, 1), (2, 2), (3, 1), (3, 2) y (4, 1): a) Para que A llegue a ser B: En este caso se realizó una simetría axial considerando el eje y, y la recta x = 0. Para corroborar se trazo segmentos, f, g, h e i, los cuales tienen la misma longitud (2cm). b) Para que A llegue a ser C: En este caso se realizó una traslación −6 considerando el vector columna como (−4). Para hallar este vector se utilizó los puntos B y B’1: Las coordenadas del punto B en un inicio son: (2, 2), siendo 2 en 𝑥; 𝑦 2 en 𝛾 Las coordenadas del punto B’1 después de la translación son: (-4, -2), siendo -4 en 𝑥 𝑦 − 2 en 𝛾, Se realiza una diferencia para determinar el vector columna: Respecto a 𝑥; −4 − 2 = −6 Respecto a 𝑦; −2 − 2 = −4 c) Para que A llegue a ser como D: En este caso se aplicó una rotación considerando el punto I con las coordenadas de (0, 0), se realizo una rotación de 90° en sentido horario, y se trazaron 4 circunferencias para corroborar que sea correcta considerando el punto I, estos trazos permitieron dar como resultado que se mantienen los puntos del polígono D respecto al polígono A. Nota: se utilizó un deslizador con el símbolo de 𝛼, para identificar el ángulo con mayor facilidad. d) Para que B llegue a ser como D: En este caso se realizó una simetría axial, considerando la recta simétrica de x=y, siendo una función identidad. Para corroborar que es correcto se trazaron los segmentos; s, j, m, r, l, n. Después se calculo la distancia respecto al eje simétrico y resultaron ser iguales, con medidas correspondientes de s y r = 3.54 cm cada uno, j y l= 2.12 cm cada uno y m y n= 2.83 cm cada uno. e) Realizar una simetría central de C con respecto al punto (1,1) Para comprobar que la simetría central referente a la figura C y a las coordenadas del punto I (1, 1), se han realizo 3 circunferencias tomando en consideración este punto. Las cuales han concordado con los puntos que forman al polígono en la figura C y la figura E. PROBLEMA 03: Copie este diagrama en papel cuadriculado a) Aplique una simetría a la figura A respecto de la recta y = -x. b) Rotule B a la imagen c) Aplique una simetría a la figura B respecto del eje x. Rotule C a la imagen. d) Describa completamente la transformación única que transforma a A en C. Solución: Primero ubicamos las coordenadas de la figura A en GeoGebra, se consideran las coordenadas: a) Aplique una simetría a la figura A respecto de la recta y = -x. b) Rotule B a la imagen En este caso se trazan segmentos de los puntos del polígono B hacia la recta y del polígono A hacia la misma recta, siendo estos segmentos: s, p, n, h, j, l, k, i, g, m, o y r. En ellos se puede observar que poseen la misa medida en cm; r y s= 4.95cm cada uno, o y p = 4.24cm cada uno, m y n= 3.54cm cada uno, h y g= 2.83cm cada uno, j e i= 3.54cm cada uno y l y k= 4.24 cm cada uno. Por lo cual si es una simetría axial respecto a la recta. c) Aplique una simetría a la figura B respecto del eje x. Rotule C a la imagen. Se considera el eje x como y = 0, y se trazan segmentos f1, g1, h1, i1, j1, k1, l1, m1, que parten desde los puntos referentes a cada polígono C y B, y llegan hacia el eje x. Estos segmentos miden 2cm, por lo cual se considera una simetría axial, además se considera el cambio de sentido respecto a la ubicación de los puntos E’ y E’’. d) Describa completamente la transformación única que transforma a A en C. Para llevar a cabo esta transformación geométrica, se realizó una rotación en sentido antihorario respecto al punto Q, con las coordenadas de (0, 0), en ello se utilizo un deslizante que se le coloco la variable alfa, después de determinar el ángulo de rotación (90°), para corroborar este resultado se trazo 4 circunferencias desde el punto Q hacia los puntos de los dos polígonos B y A, estos concordaron por lo cual se llega a considerar como una rotación en sentido antihorario. PROBLEMA 04: Dibuje un sistema de ejes coordenados desde -10 hasta 10 en ambos ejes, x e y. a) Dibuje un triángulo con vértices en (2, 1) (4, 1) (4, 4). Rotúlelo A. b) Aplique una simetría a la figura A respecto del eje x. Rotule B a la imagen. c) Aplique una homotecia de razón 2 a la figura B, con centro en (0, 0). Rotule C a la imagen. d) Rote la figura C 180° con centro en (0, 0). Rotule D a la imagen. e) Aplique una simetría a la figura D respecto del eje x. Rotule E a la imagen. f) Rote la figura E 180° con centro (0, 0). Rotule F a la imagen. Describa la transformación única que transforma a: g) C → F h) A → F i) E → A j) C → E Solución: a) Dibuje un triángulo con vértices en (2, 1) (4, 1) (4, 4). Rotúlelo A. Se toma en consideración el eje de sistemas de coordenadas respecto a los ejes x e y. b) Aplique una simetría a la figura A respecto del eje x. Rotule B a la imagen. La recta y = 0, se considera como el eje x, por lo cual se desarrolla una simetría axial respecto a este eje, obteniendo el polígono B con las coordenadas de (2, -1), (4, -1) y (4, -4), para comprobar que sea correcto se trazan segmentos, que son: p1, q1, s1, r1, t1 y a1. Estos segmentos tienen una medida en común de 1cm, por lo cual se corrobora de que es una simetría axial, además se considera el cambio de sentido respecto al punto en las coordenadas (4, 4) y (4, -4). c) Aplique una homotecia de razón 2 a la figura B, con centro en (0, 0). Rotule C a la imagen. La homotecia realizada con la razón de 2, dio como resultado el nuevo polígono C con las coordenadas (4, -2), (8, -2) y (8, -8). Para corroborar que la homotecia sea correcta se trazaron 3 rectas que parten desde del punto B con las coordenadas de (0, 0), estas rectas pasaron por los puntos correspondientes tanto al polígono B y C, por lo cual es una homotecia. d) Rote la figura C 180° con centro en (0, 0). Rotule D a la imagen. Para llevar a cabo esta rotación respecto al polígono C, se utilizo un deslizante con el símbolo alfa, con el fin de facilitar la identificación del grado a girar, en este caso fue de 180° en sentido horario, y para corroborar esto, se trazaron 3 circunferencias que parten desde el punto B y se dirigen hacia los puntos de cada uno de los polígonos, estas circunferencias concordaron con los puntos por lo que, si llega a ser una rotación en sentido horario. e) Aplique una simetría a la figura D respecto del eje x. Rotule E a la imagen. La simetría axial que se aplico al polígono D respecto al eje x, que se presenta como y = 0, se puede corroborar con los segmentos que se trazaron siendo estos, j, m, l y k. Estos segmentos tienen la misma medida de 2cm, por lo cual, si llega a ser una simetría axial, además se considera el cambio de sentido de los puntos ubicado en las coordenadas de (8,8) y (-8, -8). f) Rote la figura E 180° con centro (0, 0). Rotule F a la imagen. Para esta rotación se utilizo un deslizante, con el fin de identificar el ángulo de giro de manera más fácil, después de rotar el polígono E, para corroborar el resultado se trazaron 3 circunferencias desde el punto B con las coordenadas de (0, 0), estas circunferencias concordaron con los puntos respectivos respecto a cada punto de los polígonos E y F, por lo cual estos polígonos son iguales, en ello el ángulo de giro es de 180° en sentido horario. Describa la transformación única que transforma a: g) C → F La transformación única en este caso es una simetría axial respecto al eje x, que es representado como y = 0, en este caso se realizo la simetría axial del polígono C ubicado en el cuarto cuadrante al primer cuadrante que resulto en el polígono F, para corroborar esta simetría axial, se trazaron los segmentos, n, b, a y f1. Estos segmentos tienen la medida en común de 2cm y esta media con el cambio de sentido respecto al punto (8, -8) hacia el punto (8, 8), permiten afirmar que la simetría axial llevada a cabo es correcta. h) A → F En este caso se realizo una Homotecia con razón de 2, esto permitió que las medidas del polígono A, se duplicaran y formaran el polígono F, esto se puede corroborar con la medida de sus lados antes y después de la homotecia y con las rectas trazadas desde el punto B hacia los lados de los polígonos que concuerdan en esta recta. En este caso, desde el lado en las coordenadas de (2, 1) y (4, 1) que es de 2 cm, se duplica a 4 cm en el nuevo polígono respecto a las coordenadas del lado (4, 2) y (8, 2), lo mismo sucede con la medida del lado respecto a las coordenadas de (4, 1) y (4, 4) que es de 3 cm y esta medida se duplica a 6cm respecto al lado del nuevo polígono desde las coordenadas (8, 2) y (8, 8), y por ultimo esto se refleja con la medida del lado respecto a las coordenadas (2,1 ) y (4,4) que es de 3,6, y esto se duplica en el polígono F a 7.2 respecto al lado entre las coordenadas (8, 2) y (8, 8). i) E→A En esto se necesitan 2 transformaciones geométricas: 1) Se aplica una homotecia con razón de ½, la cual reduce los lados del polígono E, 4cm, 6cm, 7,2cm, respectivamente a medidas de los 3 lados encontrados entre las coordenadas (-8, - 2), (-8, -8) y (-4, -2), esto se reduce a 2cm, 3cm y 3.6cm respecto a las coordenadas de (-4, -1), (-4, -4) y (-2, -1). Esta verificación se apoya de las 3 rectas que parten desde el punto B con las coordenadas (0, 0), y que concuerdan con los puntos de los polígonos A y E. 2) Después de la homotecia se aplica una simetría central respecto al punto B con las coordenadas (0, 0), a continuación, se trazan tres circunferencias que parten desde el punto B hacia los puntos de los dos polígonos para corroborar su igualdad, en ello se logra determinar que son iguales, siendo este el polígono A. CONCLUSIÓN: se necesitan realizar 2 transformaciones geométricas para llevar a cabo el proceso de transformar E hacia A. j) C→E En este caso se aplicó una simetría axial respecto al eje y, presentado como recta de x = 0, entre los polígonos E y C, para corroborar la simetría axial se trazaron los segmentos j1, l1, m1 y n1. Los segmentos j1 y l1, tienen una medida en común de 4cm, por lo cual las distancias concuerdan respecto al eje, lo mismo sucede con los segmentos m1 y n1, que tienen una medida en común de 8cm, lo que también permite corroborar que es una simetría axial, y esto se apoya en el cambio de sentido respecto al punto (-8, -8) y (8, -8). Trabajo realizado en GeoGebra 11/01/2024.
