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Funciones de Variable Compleja
Sea x, y  0, 0
y
z  x  iy.
La forma trigonométrica de z está dada por:
z  rcos   i sin 
donde r  z  0, y   argz es el argumento de z. Cuando   , ,  se llama argumento
principal de z y se denota por Argz.
No definiremos ningun argumento para el número complejo 0  0  0i.
Theorem de Moivre Sea
z  rcos   i sin 
cualquier número complejo dado en forma trigonométrica y sea n cualquier
entero positivo, entonces
z n  r n cos n  i sin n.
Del teorema de Moivre se deducen las siguientes propiedades:
Si z 1  r 1 cos  1  i sin  2 , z 2  r 2 cos  2  i sin  2  son cualesquiera dos números complejos distintos
de cero, entonces
z 1 z 2  r 1 r 2 cos 1   2   i sin 1   2 
z 1  r 1 cos     i sin   
1
2
1
2
z2
r2
En particular:
1
1
z 1  r 1 cos  1  i sin  1 .
Conjuntos de números complejos
Definition Sea a un número complejo cualquiera y r un número real positivo, las
desigualdades:
 z  a  r,  z  a  r,  z  a  r,
denotarán, respectivamente el disco abierto de radio r con centro en z  a, el
disco cerrado de radio r con centro en z  a y la circunferencia de radio r y
centro en z  a.
Claim Si
z  z 1  iz 2 y a  a 1  ia 2 ,
|z  a|  r
 |z 1  a 1   iz 2  a 2 |  r
 z 1  a 1  2  z 2  a 2  2  r 2
el cual, es el conjunto de puntos z 1 , z 2  del plano cuya distancia a a 1 , a 2  es
menor que r.
Definition Sea S un conjunto de números complejos. Se dice que S es abierto si cada
punto de S puede ser centro de un disco abierto de radio positivo; en términos
más formales, S es abierto si
 z 0  S,  rz 0   0 : z, que cumpla |z  z 0 |  rz 0 , pertenece a S.
Definition Un conjunto S de números complejos es conexo si cada par de puntos de S
se pueden unir por una trayectoria poligonal completamente contenida en S. Y
se dice que S es una región o dominio si S es abierto y conexo.
Definition Una región o dominio S es simplemente conexo cuando toda curva cerrada
en S contiene en su interior solamente puntos de S.
Example Describir el conjunto: |z  1|  |z|.
Solución:
|z  1|  |z|
 |z  1| 2  |z| 2
 z  1z  1  z z
 z  1 z  1   z z
 zz  z  z  1  zz
 1  z z
 1  2 Rez
 ½  Rez.
Así, el conjunto es un dominio.
Funciones y transformaciones
Definition Sea D un dominio. Si asignamos a cada punto z  D un número complejo
único w  fz decimos que la ecuación w  fz define una función de valores
complejos en D. Llamamos a D el dominio de la función. Para cada z en D,
denotamos por w  fz la imagen de z. El conjunto de todas las imágenes
w : w  fz, z  D
se llama conjunto imagen de la función.
No se cae en ninguna ambiguedad al usar fz, la ecuación w  fz o aún f para denotar la función
definida en D.
Si el conjunto imagen lo denotamos por E llamaremos también a fz una transformación del dominio D
en el conjunto E.
Example Definimos las transformaciones más simples donde D  E   :
fz  z  b, b  C fijo
que traslada el plano complejo a una distancia de |b| unidades en la dirección
del argumento de b y la función
fz  az, a  C fijo, a  0.
que rota el número complejo z por un ángulo igual a arg a y lo expande o
contrae por un factor |a| (recordemos la interpretación geométrica de la
multiplicación).
Notation si w  fz es una transformación de D en E donde z  x  iy, w  u  iv
siendo reales x, y, u, v podemos escribir
fx  iy  ux, y  ivx, y
y pensar en la transformación en términos de un par de funciones de valores
reales uy, y y vx, y definidas de D  R 2 a R
ux, y  Re fz , vx, y  Imfz.
Definition una función fz definida en el dominio D tiene límite en z 0 , en D si existe
un número complejo L con la propiedad siguiente:
  0, , z 0   0, tal que |fz  L| , siempre que z  D, y 0  |z  z 0 | , z 0 ,
llamamos a L el límite de fz en z 0 , y escribimos:
lim fz  L.
zz 0
Claim fz puede puede no estar definida en z 0 .
Theorem Si D es un dominio, z 0  x 0  iy 0 , fz es una función definida en D,
L  A  iB es un número complejo dado, entonces
lim fz  L 
zz 0
lim
x,yx 0 ,y 0 
ux, y  A
y
lim
x,yx 0 ,y 0 
vx, y  B
Definition Sea fz una funcion definida en un dominio D, fz es continua en z 0 si se
satisfacen las condiciones siguientes:
1. fz está definida en z 0
2. lim fz existe, y
zz 0
3. lim fz  fz 0 .
zz 0
Definition Se dice que fzes continua en D si la función es continúa en cada punto de
D.
Theorem Si fz es una función definida en un dominio D y z 0  x 0  iy 0  D,
entonces fz es continua en z 0  tanto ux, y como vx, y son continuas en
x 0, y 0 .
z
Example Sea fz  z Re
. ¿Puede ser definido f0 de manera que fz sea continua
|z|
ahí?
Solucion:
fz  z Re z 
|z|
x  iyx
xy
x2
i
2
2
2
x  y2
x y

x2  y2
así
ux, y 
xy
x2
, vx, y 
x2  y2
x2  y2
Intuimos que
lim
x,y0,0
ux, y  0,
lim
x,y0,0
vx, y  0
En efecto, sea   0. Por demostrar    0 tal que
0  x, y  0, 0 
donde  x, y 
x2  y2
x2
 
x2  y2

pero x 2  x 2  y 2 así
x2

x2  y2
x2  y2
x2  y2

x2  y2 .
Sea    entonces
0
x2  y2   
x2

x2  y2
x2  y2    
Asimismo, sea   0. P.D.     0 tal que
0  x, y  0, 0    
xy
x2  y2

pero
xy
x2  y2
Sea   , entonces

|x||y|
x2  y2

x2  y2 x2  y2
x2  y2

x2  y2
x2  y2    |
0
xy
x2  y2
x2  y2    
|
así
lim fz  0  i0  0
z0
Como fz tiene límite en z  0, podemos definir
f : C  C : fz 
z Re z
,
|z|
si z  0
0,
si z  0
y entonces f es continua en z  0.
2
Example Sea fz  |z|z . Decídase en que puntos de C, fz no es continua, no tiene
límite o tiene límite pero no es continua.
Solución: Evidentemente fz no está definida en z  0, por lo tanto no es continua en z  0. Veamos si
tiene límite en z  0:
|z| 2
fz  z  zzz  z .
Así
fz  z , si z  0
pero
lim fz lim z  0.
z0
z0
Entonces fz tiene límite en z  0.
Example Sea fz  |z|z . Esta función no es continua en z  0. ¿Tiene límite en
z  0?
Solución: Veamos
x  iy
|z|
|z| z
|z| z
fz  z 

 z 
zz
|z|
|z| 2
x2  y2
Así
ux, y 
x
x2  y2
, vx, y 

y
x2  y2
Analicemos el límite de ux, y cuando nos aproximamos al origen por los ejes coordenados positivos.
lim
ux, y  lim
lim
ux, y  lim
x,00,0
0,y0,0
x,00,0
0,y0,0
x
x2  y2
x
x2  y2
Como los límites son diferentes, no existe el límite.

lim
x0 
2
x
x2
 lim 0  0
y0 
 1
Derivadas y analiticidad
Definition Sea fz una función definida en un dominio D, siendo z 0 , un punto en D.
Definimos la derivada de fz en z 0 , como el límite:
fz 0  h  fz 0 
lim
h
h0
(Aqui h es un número complejo). Si existe el límite decimos que fz es
df
.
diferenciable en z 0 y escribimos dicho límite como fz 0  o dz
zz 0
Decimos que fz es diferenciable en D si es diferenciable en cada punto de D.
Al límite le llamamos derivada de fz en z 0 .
Example Sea fz  z 2 . Sea z 0 , un número complejo cualquiera y h un número
complejo h  0
fz 0  h  fz 0 
z  h 2  z 20
fz 0  lim
lim 0

h
h
h0
h0
z 0 2  2z 0 h  h 2  z 20
lim 2z 0  h  2z 0
h
h0
h0
lim
Example Sea
|z| 2
,
z4
fz 
0,
z0
si, z  0
entonces f es continua en z  0. Afirmamos que :
lim fz  f0  0.
z0
En efecto, sea   0,
P.D. 
  0 tal que
|z  0|   |fz  fz 0 | 
o sea
|z|  
|z| 5
z5
|z| 5
z5
 |z| 

pero
haciendo   , se tiene:
|z|  
|z| 5
z5
 |z|   
Sin embargo, fz no es diferenciable en z  0. En efecto,
f0  h  f0
lim
lim
h
h0
h0
|h| 5
h4
0
h
Si h es real positivo
|h| 5
1
5
h0 h
lim
Si h es real negativo

|h| 5
5
h0 h
lim
|h| 5
 1
5
h0 h
lim
por lo tanto fz no es diferenciable en z 0  0.
Example Obtener la derivada de la función
fz 
z .
1z
Solución:
fz 
fz  h  fz
lim
h
h0
h0
lim
zh
1zh
z
 1z

h
lim
zh1zz1zh
1zh1z
h0
h

2
2
1
1
 lim z  z  h  hz  z  z  zh lim
lim
h1

z

h1

z
h1

z

h1

z
1

z 2
h0
h0
h0
Theorem Si fz y gz están definidas en un dominio D y son diferenciables en
z 0  D entonces:
1. Tanto fzcomo gz son continuas en z 0 .
2. Si para cualquiera complejos  y  Fz  fz  gz entonces Fz es diferenciable en z 0 y
Fz 0   fz  gz
3. Si Gz  fzgz entonces Gz es diferenciable en z 0 y
Gz 0   fz 0 gz 0   fz 0 gz 0 
fz
4. Si Hz  gz
y gz 0   0, entonces Hz es diferenciable en z 0 y
fz 0 gz 0   fz 0 gz 0 
gz 0  2
5. Si fz  c para algún complejo c, entonces fz es diferenciable en z 0 y fz 0   0.
Hz 0  
Theorem Si gz es una función analítica en un dominio D con imagen E y fw es
analítica en un dominio que contiene a E entonces la función composición
Fz  fgz
es analitica en D y para cada z 0  D
Fz 0   fgz 0 gz 0 .
Theorem
Regla de L’ Hôpital
Si gz 0   0 y hz 0   0, y si gz y hz son diferenciables en z 0 con
hz 0   0, entonces
gz
gz
lim
 0  lim
.
zz 0 hz
zz 0 hz
0
Desde el punto de vista de formal, esta regla es idéntica a la que se emplea en el cálculo elemental para
evaluar formas indeterminadas con funciones de variable real.
Example Determine
lim z4  2i
z2i z  16
Solución: Aplicando la regla de L’Hôpital
lim z4  2i  0
0
z2i z  16
lim
z2i
1 
1
 1 .
32i
4z 3
42i 3
Claim Si gz 0   0  hz 0  y hz 0   0, mientras que gz 0   0, no puede
gz
aplicarse la regla de L’Hôpital. De hecho, es posible mostrar que lim hz no
zz 0
existe y que le módulo de este cociente crece sin límite cuando z  z 0.
Example De una función que es continua en todo el plano complejo pero sólo es
diferenciable en el origen. Sea
fz  |z| 2
es decir fx  iy  x 2  y 2 .
Solución: Evidentemente es continua en todo punto de C.
Si z  0 :
f0  h  f0
|h| 2
f0 lim
lim
lim h h lim h  0
h
h0
h0 h
h0 h
h0
Si z  0
z  hz  h  z z
fz  h  fz
|z  h| 2  |z| 2



h
h
h
zh  h z  hh
z  hz  h  z z


h
h

zh  z  h
h
Si h es real
lim
h0
Si h  ir
fz  h  fz
 z z
h
con r  0
lim
h0
fz  h  fz
 z z
h
pero si z  0 entonces z  z  z  z. Por lo tanto fz no es diferenciable en z  0.
Definition Se dice que una función fz definida en un dominio D que contiene el
punto z 0 es analítica en z 0 si para algun número r  0 tal que el disco abierto
: z : |z  z 0 | r está contenido en D , la función fz es diferenciable en
cada punto de dicho disco.
En el ejemplo anterior fz es diferenciable en z  0, pero no analítica en z  0.
Example La función fz  fx  iy  3x  4iy no es diferenciable en ningún z  C.
Solución: En efecto,
fz  h  fz
lim 3h 1  4ih 2 
h
h 1  ih 2
h0
h0
lim
Si h 2  0
fz  h  fz
3
h
h0
lim
Si h 1  0
fz  h  fz
4
h
h0
lim
Por lo tanto no existe el límite. De hecho no es diferenciable en ningún punto.
Busquemos condiciones que garanticen la existencia de una derivada de fz en cada punto.
Theorem si fz es una función definida y continua en un dominio D que contiene al
punto z 0  x 0  iy 0 y fz es diferenciable en z 0 , entonces:
1. Refz  ux, y e Imfz  vx, y poseen derivadas parciales de primer orden x 0 , y 0 .
2. Las derivadas parciales de u y v en x 0 , y 0  satisfacen las condiciones:
u x x, y  v y x, y,
Proof
u y x, y  v x x, y
#
fz 0  h  fz 0 
.
h
h0
fz 0  lim
i
Suponiendo que h es real y
fz  fx  iy  ux, y  ivx, y
ref: i queda
ux 0  h, y 0   ux 0 , y 0 
vx 0  h, y 0   vx 0 , y 0 
lim
i
h
h
h0
ux 0  h, y 0   ux 0 , y 0 
vx 0  h, y 0   vx 0 , y 0 
lim i
 u x x 0 , y 0   v x x 0 , y 0 
h
h
h0
h0
lim
entonces cada límite debe existir y fz 0   u x x 0 , y 0   iv x x 0 , y 0 .
Si tomamos a h  ir con r real, una argumentación similar nos llevará a
fz 0   v x x 0 , y 0   iu y x 0 , y 0 .
Al igualar la parte real y la parte imaginaria en las expresiones obtenidas
para fz 0  obtenemos las ecuaciones ref: CauchyRiemann.
Las ecuaciones ref: CauchyRiemann se conocen como ecuaciones de Cauchy- Riemann e indican las
condiciones necesarias para que fz tenga derivada en z 0 .
Example Sea
fz  z 2 .
Claramente, la función es diferenciable en todo el plano complejo.
Descomponiendo la función en su parte real e imaginaria tenemos
fx  iy  x  iy 2  x 2  y 2  2xyi
donde
y
vx, y  2xy
ux, y  x 2  y 2
las derivadas parciales son
u x x, y  2x, u y x, y  2y
v x x, y  2y , v y x, y  2x
claramente se satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann
ref: CauchyRiemann.
Example Ahora consideremos la función
fz  3x  4yi
Aunque intuimos que es una función diferenciable, no lo sabemos con
certeza, así que veamos si se cumplen las Ecuaciones de Cachy-Riemann
u x x, y  3, u y x, y  0
v x x, y  0, v y x, y  4
claramente u x x, y  v y x, y para ningún punto x, y  C, por lo tanto fz
no es diferenciable en ningún punto de C.
Las condiciones de Cauchy-Riemann no son suficientes para determinar la existencia de la derivada en
z 0 , es decir, podemos encontrar una función fz, definida en un dominio que contenga al punto z 0 , donde
Re fz e Im fz satisfagan las ecuaciones de cauchy-Riemann pero sin derivada en z 0 .
1
Example verifíquese que fz  fx  iy  |xy| 2 ,satisface las ecuaciones de
Cauchy-Riemann en z  0 pero no posee derivada en z  0.
Solución:
Puede observarse que
1
ux, y  |xy| 2 ,
vx, y  0
Por la definición de derivada parcial
u x 0, 0 lim
k0
uk  0, 0  u0, 0
k
lim 0  0  0
k
k0
k  R. Análogamente, se puede ver que
u y 0, 0  0, v x 0, 0, v y 0, 0  0
y se satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Sin embargo, si h  h 1  ih 2
1
f0  h  f0
|h h | 2
 1 2 ,
h
h 1  ih 2
si h 2  0
f0  h  f0
0
h
lim
h0
si h 1  0
f0  h  f0
0
h
lim
h0
si h 1  h 2
1
1
lim
h0
|h 21 | 2
f0  h  f0
|h 1 h 2 | 2
|h 1 |
 lim
 lim
 lim

h
h 1 0 h 1  ih 2
h 1 0 h 1  ih 1
h 1 0 h 1  ih 1
 lim
h 1 0
|h 1 |
|h 1 |
1

lim
,
1  1i h 1 0 h 1
h 1 1  1i
pero
lim
|h 1 |

h1
1, si, h 1  0
1, si, h 1  0
por lo tanto, fz no es diferenciable en z  0.
El siguiente teorema ofrece condiciones suficientes para que fz tenga derivada en cualquier punto
z 0  C.
Theorem Sea fz una función definida en el dominio D que contiene el punto
z 0  x 0  iy 0 . Si ux, y  Refz y vx, y  Imfz tienen primeras
derivadas parciales continuas en una vecindad |z  z 0 | r de z 0 en D y
satisfacen las condiciones de Cauchy-Riemann en x 0, y 0 , entonces fz es
diferenciable en z 0 y
fz 0   u x x 0, y 0   iv x x 0, y 0 .
Example Sea fz  |z| 2  x 2  y 2
u x  2x,
u y  2y
v x  0,
v y  0,
entonces
u x 0, 0  v y 0, 0,
u y 0, 0  v x 0, 0
y las parciales son continuas en una vecindad del punto 0, 0, por lo tanto fz
tiene derivada en z 0 , pero sólo ahí.
Example Sea fz  e x cos y  ie x sin y, z  C. Se cumplen las hipótesis del teorema
anterior
fz 0   u x x 0 , y o   iv x x 0 , y 0   fz 0 
y cuando z  x  0i, fz  fx  e x . Esto y el hecho de que fz 0   fz 0 
influirá en la definición de la función e z .
Theorem Si fz es analitica en un dominio D, entonces ux, y  Refz y
vx, y  Imfz tienen primeras derivadas parciales continuas que satisfacen
las ecuaciones de Cauchy-Riemann en cada punto de D.
Theorem Si fz está definida en un dominio D, ux, y  Refz y vx, y  Imfz
tienen primeras derivadas parciales continuas en todo punto de D y se
satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann

u y x, y  v x x, y,
u x x, y  v y x, y
en cada punto de D, entonces fzes analitica en D.
Example Sea fz  z , es decir fx  iy  x  iy. Veamos si se cumplen las
ecuaciones de Cauchy-Riemann:
u x  1,
u y  0,
v x  0,
v y  1
entonces
ux  vy
por lo tanto fz no es diferenciable en ningún punto.
Exercise Encuentre la forma de las ecuaciones de Cauchy-Riemann cuando la
variable independiente z está expresada en forma trigonométrica
z  rcos   i sin .
Solución: Sea fz  w donde w  ur,   ivr, . Sabemos del cálculo en varias variables que
u  u r  u  ,
r x
 x
x
u  u r  u  ,
r y
 y
y
v  v r  v  ,
r x
 x
x
v  v r  v 
r y
 y
y
como r 
y
x2  y2 ,
y
  tan 1  x 
r  1 x 2  y 2  ½ 2x 
x
 xr  cos ,
2
x
2
2
x y
r  y  sin ,
r
y
y
y
y
y
y
 
1
  2   1r r   1r sin ,
y 2 . 2   2   2
2
x
x
x y
r
1x x
 
1
1
x
x
1
x
.
 2
 2  r r  1r cos 
y
y
x  y2
r
1   x 2 x
Utilizando las ecuaciones de cauchy-Riemann
0  u  v  u r  1r v   cos    1r u   v r  sin ,
x
y
0  u  v   1r u   v r  cos   u r  1r v   sin 
x
y
estas ecuaciones se deben cumplir para todo  (en particular ). Si
l  u r  1r v  ,
m  1r u   v r
tenemos el sistema de dos ecuaciones homogeneo:
l cos   m sin   0
l sin   m cos   0
cuyo determinante principal es distinto de cero, por lo tanto el sistema tiene sólo la solución trivial, es decir,
l  m  0, o bien
y
v r   1r u 
u r  1r v 
las cuales son llamadas forma polar de las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Exercise Encuentre la forma polar de fz.
Solución: Sabemos que
fz  u x x 0 , y 0   iv x x 0 , y 0 
sustituyendo
fz  u r cos   1r u  sin   iv r cos   1r v  sin .
Example Demuestre que fz  z n es diferenciable en en todo z  C
Solución:
fr,   r n cos n  i sin n
entonces
ur,   r n cos n, vr,   r n sin n
Calculando las parciales
u r  nr n1 cos n,
u   nr n sin n
v r  nr n1 sin n ,
v   nr n cos n.
Evidentemente, se cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann en forma polar, por lo tanto f es
diferenciable en todo punto de C y
fz  nr n1 cos n cos   1r nr n sin n sin 
 inr n sin n cos   1r nr n cos n sin 
 nr n1 cos nn  1  i sinn  1  nz n1
Funciones Elementales
Se llaman operaciones elementales sobre las funciones fz y gz aquellas que dan uno de los resultados
siguientes:
fz
fz  gz , fzgz , gz , fz a , a fz donde aes una constante compleja.
Una función elñemental es una función ó la inversa de una función generada a partir de constantes y la
variable independiente por medio de sucesión finita de de operaciones elementales.
En la siguiente tabla figuran algunas de las funciones más importantes:
 Polinomios
n
 akzk
k0
 Funciones racionales:
n
 akzk
k0
m
 bkzk
k0
 La funcion exponencial:
ez
 Funciones trigonometricas:
sin z, cos z, tan z, csc z, sec z, cot z
 Funciones hiperbólicas
sinh z, cosh z, tanh z, sec hz, csc hz, cot hz
 Funciones logarítmicas
log z
 Funciones trigonométricas inversas:
sin 1 z, cos 1 z, tan 1 z, csc 1 z, sec 1 z, cot n 1 z
 Funciones hiperbólicas inversas:
sin h 1 z, cos h 1 z, tan h 1 z, csc h 1 z, sec h 1 z, cot h 1 z
 La función potencial:
zs, s  C
La función exponencial
Queremos definir una función fz tal que:
i) Si z  R,
fz  e z ,
ii) fz  fz,
iii) fz 1  z 2   fz 1 fz 2 .
Si u  R, sabemos del cálculo real que

k
eu   u
k!
k0
por lo tanto

e iy  
k0


k0


iy k
iy 2k
iy 2k1


k!
2k!
2k  1!
i 2k y 2k
2k!
k0


k0
k0
i 2k iy 2k1 
2k  1!
como:
i 0  1, i 2  1, i 4  1,
i 6  1,  , i 2k  1 k
entonces


k0

1 k y 2k
1 k y 2k1 
 i
 cos y  i sin y
2k!
2k  1!
k0
Así deberiamos tener por la igualdad (iii) que
e z  e xiy  e x e iy  e x cos y  i sin y
Que es la función del ejemplo que también cumple (i) y (ii). Así:
Definition La Función exponencial e z se define para todo z  x  iy como
e z  e x cos y  i sin y.
Propiedades:
Para p y q enteros , q  0, k  0, 1, 2. . . , q  1,
a) e iy  cos y  i sin y
b) e z  e x e iy
c) e z  e1z
d) e z  e z
e) |e z |  e Re z
f) e z  p  e pz
1
1
p
p
g) e z  q  e q zi2k
h) e z  q  e q zi2k
i) e z 1 z 2  e z 1 e z 2
de z
dz
j)
 ez
k) e z es periódica, cualquier periodo de e z tiene la forma 2ni, n  Z.
Pruebas:
a) iy  0  iy,
e iy  e 0iy  e 0 cos y  i sin y  cos y  i sin y.
b) Como z  x  iy,
e z  e x cos y  i sin y  e x e iy
c) Como  z  x  iy,
e z  e x cosy  i siny  e x cos y  i sin y
cos y  i sin ycos y  i sin y
 1x
 1z
e
e
cos y  i sin y
d) Como z  x  iy,
e z  e x cosy  i siny  e x cos y  i sin y
 e x cos y  ie x sin y  e x cos y  ie x sin y
 e x cos y  i sin y  e z
e) Si z  x  iy, e z  e x cos y  i sin y por lo tanto
|e z | 2  e z e z  e z e z  e x cos y  i sin ye x cos y  i sin y.
 e 2x cos 2 y  sin 2 y  e 2x  e x  2
por lo tanto: |e z |  e x . Debe escogerse el signo positivo pues un valor absoluto nunca es negativo.
Entonces se tiene lo deseado |e z |  e x  e Re z
f) como p es un entero, por el teorema de Moivre.
e z  p  e x cos y  i sin y p  e px cos py  i sin py  e pxiyp  e pz
g)
1
1
e z  q  e x cos y  i sin y q 
x
y  2k
y  2k
 e q cos
 i sin
,
q
q
x
 e q i
h) Ya que e z 
p
q
y2k
q
xiy
2k
 e q i q  e
zi2k
q
k  0, 1. . . , q  1.
.
1
q
 e pz  , tenemos:
p
1
p
e z  q  e pz  q  e q  z2ki ,
i) Si z 1  x 1  iy 1 y z 2  x 2  iy 2 entonces:
k  0, 1. . . , q  1.
e z 1 e z 2  e x 1 cos y 1  i sin y 1 e x 2 cos y 2  i sin y 2 
 e x 1 e x 2 cos y 1  i sin y 1 cos y 2  i sin y 2 
 e x 1 x 2 cosy 1  y 2   i sin y 1  y 2   e z 1 z 2
j) Ya se vio en el ejemplo.
k) Una función es periódica si existe w  C tal que fz  w  fz, para todo z  C.
Supongamos que
e zw  e z , para todo z  C,
en particular si z  0 :
ew  1
si w  s  ti,
|e w | e s  1
por lo tanto s  0 y w  ti. Así e ti  1 o sea cos t  i sin t  1, igualando la parte real e imaginaria:
cos t  1, sin t  0
así t  2n para algún n  Z. En conclusión w  2ni.
Observación:
si z  x  iy se expresa en forma polar como z  rcos   i sin  , para r  0, podemos escribir :
z  re i
y en consecuencia:
z  re i
Si z 1  r 1 e i 1 , z 2  r 2 e i 2
y
r2  0
z 2 z 1  r 1 r 2 e i 1  2 
y
z1
r 1 e i 1  2 
z2 
r2
Gráfica de la función exponencial
e z  e x e iy  e i
ex  
y
y
Funciones trigonométricas e hiperbólicas
para y  R, resolvamos el par de ecuaciones siguientes :
e iy  cos y  i sin y
e iy  cos y  i sin y.
para el coseno y seno de y :
cos y  1 e iy  e iy , sin y  1 e iy  e iy 
2i
2
Por esto definimos
Definition Para cada número complejo z
sin z  1 e iz  e iz ; cos z  1 e iz  e iz .
2i
2
Siempre que los denominadores sean distintos de cero, definimos también:
sin z
1
tan z  cos
z cot z  tan z
sec z  cos1 z
csc z  sin1 z
siempre que los denominadores en cuestión sean diferentes de cero.
Lo importante de estas definiciones es que producen las funciones trigonométricas de valores reales
cuando z es real y muestran cuan importante es saber exactamente en que puntos sin z  0 y cos z  0.
Por ejemplo, sin z  0 cuando z  n n  Z. Pero tal vez haya otros números en C donde z  0
(Veremos mas adelante que esto no sucede).
Además, cuando las seis funciones estan definidas son analiticas y :
sin z  cos z,
cos z    sin z
tan z   sec 2 z
cot z    csc 2 z sec z   sec z tan z csc z    csc z cot z
Para el siguiente análisis, recordemos que para z  x  iy,
e iz  e ixiy  e yix ,
e iz  e ixiy  e y e ix
Además, recordar que en el cálculo de una variable se definen las funciones hiperbólicas seno y coseno como:
y
y
y
y
y cosh y  e  e , para todo y  R.
sinh y  e  e
2
2
Veamos ahora como desarrollar la función sin z en términos de x e y:
yix  e yix
y ix
y ix
 e
 e e e e

2i
2i
2i
e y cos x  i sin x  e y cos x  i sin x
ie y  e y  sin x  e y  e y  cos x


2i
2i
e y  e y  sin x  ie y  e y  cos x
e y  e y 
ie y  e y 


sin x 
cos x
2
2
2
 cosh y sin x  i sinh y cos x
sinx  iy  e
ixiy  e ixiy
obteniendo la identidad
sinx  iy  sin x cosh y  i cos x sinh y.
Análogamente se puede comprobar que:
cosx  iy  cos x cosh y  i sin x sinh y
siniy  i sin y, cosiy  cosh y, para y  R
sin z  sin z,
cos z  cos z.
Veamos ahora para que valores de z, sin z  0 (recordar que sin z es una extensión de sin x)
¿Existen otros valores de z para los cuales sin z  0?
sin z  0  sinx  iy  0  sin x cosh y  i cos x sinh y  0

sin x cosh y  0
cos x sinh y  0
y
,
y
para todo y  R, vemos que x  k para
En la primera ecuación, como cosh y  0, cosh y  e e
2
algún k  Z, pero de la segunda ecuación,como cos k  1, entonces para que la segunda ecuación sea
válida se debera hacer que
y
y
sinh y  0 o sea e  e  0
2
lo cual se cumplen sí y sólo si
e y  e y  y  y  y  0
Sustituyendo: z  x  iy  k  i0  k es decir sin z  0  z  k para k  Z.
La función sin z tiene sólo ceros reales.
Análogamente se puede demostrar que :
cos z  0  z  k  , k  Z, impar.
2
Claim Puesto que :
sin z
tan z  cos
z
cot z  tan1 z
sec z  cos1 z
csc z  sin1 z
son analíticas excepto en donde el denominador se anula entonces tan z y sec z son analíticas excepto para
z  k 2 , k  Z, impar y cotz y cscz son analíticas excepto en z  k, k  Z.
PROPIEDAD QUE NO SE CUMPLE EN C
|sin z|  1
|cos z|  1
y
En efecto
|sin z| 2  |senx  iy| 2  |sin x cosh y  i cos x sinh y| 2  sin 2 x cosh 2 y  cos 2 x sinh 2 y
 sin 2 xsinh 2 y  1  cos 2 x sinh 2 y  sin 2 x  cos 2 x  sin 2x  sinh 2 y  sin 2 x  sinh 2 y
pero
y
sinh y  e  e
2
no esta acotada ni superior ni inferiormente pues:
lim sinh y  ;
y
por lo tanto
y
lim sinh y  
y
|sin z|, no esta acotada, análogamente se puede ver que :
|cos z| 2  cos 2 x  sinh 2 y
y por lo tanto |cos z| tampopco está acotada.
Funciones hiperbólicas
Las funciones hiperbólicas están definidas en los puntos donde al denominador no es nulo y son las
siguientes:
z
cosh z  e e
2
sinh z
tanh z  cosh
z
1
coth z  tanh
z
1
sec hz  cosh
z
1
csc hz  sinh
z
z
sinh z  e e
2
z
z
como e z y e z son funciones analiticas en todo C sinh z y cosh z son también funciones analíticas en todo el
plano complejo.
Analicemos los ceros de sinh z y cosh z. Esperamos que sinh z  0, cuando z  0, y que cosh z  0
carezca de soluciónes (pero estas ecuaciones pueden tener soluciones adicionales situadas fuera del eje real).
Para z  x  iy,
xiy  e xiy
e x cos y  i sin y  e x cos y  i sin y
sinh z  sinhx  iy  e

2
2
e x  e x  cos y  ie x  e x  sin y

 cos y sinh x  i sin y cosh x
2
i.e.
sinhx  iy  cos y sinh x  i sin y cosh x
De la misma manera, se puede demostrar que
coshx  iy  cos y cosh x  i sin y sinh x
Busquemos los ceros de la función sinh z :
sinh z  0 
sinh x cos y  0
cosh x sin y  0
pero
x
x
x
x
sinh x  e  e , cosh x  e  e
2
2
como cosh x  0 sin y  0  y  k, k  Z. Pero para y  k, cos y  0, por lo tanto sinh x  0 lo cual es
posible sólo si x  0. Sustituyendo z  x  iy  ki ,
kZ
Análogamente
cosh z  0  e z  e z  e x cos y  i sin y   e x cos y  i sin y

e x  e x  cos y  0
e x  e x  sin y  0
de la primera ecuación se deduce que y  k 2 , k  Z impar, x  0. Por lo tanto z  k 2 i, k  Z impar.
De aqui se deducen las singularidades de tanh z, coth z, sec hz, csc hz.
Identidades de las funciones hiperbólicas












sinhiy  i sin y
coshiy  cos y
|sinh z| 2  sinh 2 z  sin 2 y
|cosh z| 2  sinh 2 z  cos 2 y
sinhz 1  z 2   sinh z 1 cosh z 2  sinh z 2 cosh z 1
coshz 1  z 2   cosh z 1 cosh z 2  sinh z 2 sinh z 1
cosh 2 z  sinh 2 z  1
coth 2 z  csc h 2 z  1
sinhiz  i sin z
coshiz  cos z
siniz  i sinh z
cosiz  cosh z
Derivadas de las funciones hiperbólicas





sinh z   cosh z
cosh z   sinh z
tanh z  sec h 2 z
sec hz    sec hz tanh z
csc hz    csc hz coth z
Funciones logarítmicas
como e z nunca toma el valor de cero , la ecuación w  e z no tendrá solución en z correspondiente a
w  0.
si w es distinto con cero, escribimos :
w  |w|cosarg w  i sinarg w  |w|e i arg w
Aquí, arg w puede tomar una infinidad de valores. Sea  uno de los valores de arg w, por lo tanto:
w  |w|e i
si tomamos
z  ln|w|i
Donde ln|w| denota al logaritmo natural del número positivo |w| entonces :
e z  e ln|w|i  e ln|w| cos   i sin   |w|e i  w
Así esta z es una solución de la ecuación w  e z . Para cada valor de arg w obtenemos una solución.
Definition Para cada número complejo z, z  0, Llamaremos un logaritmo de z a
cualquier número w  ln|z|i arg z, donde ln|z| es el logaritmo natural de |z| y
arg z es cualquiera de los valores del argumento de z.
Nótese que no hemos definido aún una función logaritmica .
En el caso particular en que z es un número real positivo arg z  2k, k  Z y
w  ln|z|i2k.
De todos estos valores, el único que coincide con el logaritmo natural real corresponde a la opción
arg z  0.
Y para cualquier z  C, z  0 existe un valor del arg z con la propiedad de que
   arg z  .
Designamos a este valor como el argumento principal de z.
Definition Para cada número complejo z, z  0 definimos el valor principal del
logaritmo de z como:
Log z  ln|z|iArg z
donde
Arg z  , .
Definition La función w  Log z, definida para todo z  C, z  0, se llama función
logaritmica principal.
Remark Para cada k  Z, podríamos definir otra función logaritmica
correspondiente a la elección 2k  1  arg z  2k  1. Por lo común, se
llama a la colección de tales funciones, semejantes a la logaritmica (y hay
una infinidad de ellas ) "Función Logarítmica" refiriéndose a cada función de
la colección como una Rama de la función logarítmica.
Definition La función logarítmica está dada por la siguiente colección infinita de
ramas:
log |z| ln |z|i arg z ,
z0
donde
2k  1  arg z  2k  1, k  0, 1, 2, 
Remark La proposición z  0 significará que z es real y no positivo; z  0 que z es
real y negativo; de la misma manera ,definimos z  0 y z  0. (Recuerde que
en el campo de los números complejos, no existe un orden).
Theorem Cada rama, log z , de la función logarítmica posee las siguientes
propiedades:
1. log z es discontinua en z  0,
2. log z es analitica en todo z, con excepción de z  0 y
log z  1z .
3. Para todo z, z  0 una rama cualquiera de la función logarítmica difiere de cualquier otra en un
multiplo entero de 2i.
Proof Sea k  z, fijo y tomemos la rama de la función logarítmica
correspondiente a
2k  1  arg z  2k  1.
1) Sea z 0  0. Cuando z  z 0 desde el semiplano inferior arg z  arg z 0  2.
Cuando z  z 0 desde el semiplano superior arg z  arg z 0 . Por lo tanto log z
es discontinua en z 0 .
lim log z lim ln |z|i lim arg z  ln |z 0 |i
zz 0
zz 0
zz 0
arg z 0  2
arg z 0
ó.
2) Como log z no es continua en z  0 no es diferenciable.
Sea z un punto situado fuera del eje real negativo y distinto de cero.
z  re i , r  0, 0  2k  1  arg z  2k  1,
entonces log z  ln r  i. Utilizando las ecuaciones de Cauchy-Riemann en
forma polar con
ur,   ln r, vr,   
vemos que
u r  1r ,
u   0,
v r  0,
v   1.
las cuáles son continuas con y además
u r  1r v  , v r  1r u  ,
por lo tanto
log z  u r cos   1r u  sin   iv r cos   1r v  sin 
 1r cos   i 1r v  sin   1r cos   i sin 
1
 1z .

rcos   i sin 
Definition Sean A y B dos números complejos. Escribimos
A  Bmódulo 2i
cuando A  B es un múltiplo entero de 2i.
Propiedades de las funciones logarítmicas
I) log z 1 z 2   log z 1  log z 2 módulo 2i
z
II) log z 12   log z 1  log z 2 módulo 2i
Example Si

z1  ei 2
3
y z2  ei 4
entonces
Log z 1  i  y Log z 2  i 3
2
4
pero

3
5
3
z 1 z 2  e i 2  4   e i 4  e i225°  e i 4
y
Log z 1 z 2   log e i 4   3 i
4
3
Así
logz 1 z 2   log z 1  log z 2  2i.
Función potencial generalizada
Definition La función z n , donde n es un número entero se llama función de potencia
entera. La función z a donde z y a son números complejos se llama la función
potencial generalizada. Ésta se define como:
z a  a a log z
Cada rama de la función logarítmica determina una rama de z a .
Theorem Sean a, b  C y denotemos por log z cualquier rama particular de la
función logarítmica, entonces:
C1. La rama corespondiente z a es analítica en donde log z es analítica.
C2. z  0 :
z a z b  z ab .
C3. z  0 :
z a  z1a .
C4. z a    az a1 , z  0
C5. z 1 z 2  a  z a1 z a2 e 2aki para algún entero k.
Proof
C1. Como log z es analítica en C  z  0, y e z en todo C, por la regla de
cadena z a es analítica en C  z  0.
C2. z a z b  e a log z e b log z  e ab log z  z ab .
1
C3. z a  e a log z  a log
 z1a .
z
e
C4. z a    e a log z    e a log z az  az z a  az 1 z a  az a1 .
C5. Como logz 1 z 2   log z 1  log z 2  mod 2i, entonces
logz 1 z 2   log z 1  log z 2   k2i
para algún k en Z
z 1 z 2  a  e a logz 1 z 2   e alog z 1 log z 2 2ki 
 e a log z 1 e a log z 2 e a2ki  z a1 z a2 e a2ki .
Claim z a tiene un valor que corresponde a cada uno de los valores posibles de
log z pero la periodicidad de la función exponencial nos indica que valores
distintos de log z no determinan necesariamente valores distintos de z a .
Examinaremos tres casos cuando a es real.
Caso1: a es un entero.
z a  e a log z  e alog|z|i arg z  e a log|z| e i arg za 
e a log|z| e i2ka  e a log|z| e ia e i2ka  e a log|z| e ia
donde   Arg z, arg z    2k.
z a tiene un solo valor pues las distintas ramas de log z difieren en un múltiplo entero de 2i, lo mismo
sucede con a log z y entonces z a tiene solamente un valor, dado por :

e a log z  i 3  e 3 log|i| e 3i 2  cos 3  i sin 3  i
2
2
Caso II. a es un racional
p
p
Sea a  q , donde p es un entero, q es un entero positivo y q es irreducible.
p
p
p
p
z a  e q log z  e q log|z|i arg z  e q log|z| e i arg z q
Si   Arg z es el argumento principal, i.e.   , , entonces
, k  Z,
p
p
p
q arg z  q   q 2k
así
p
p
p
e i arg z q  e i q  e i q 2k 
p
2k
e i q 2k  e i q p
el cual toma valores distintos cuando k , 1, 2. . . , q  1, y cualquier otro valor de k produce uno de los valores
de q que ya se han obtenido.
Por lo tanto z a tiene q valores distintos que se obtienen haciendo
log z  Log z  2ki, k  0, q  1
y
p
p
p
z a  z q  e q Log z e i q 2k , k  0, q  1
da los q valores distintos de z a , donde Log z es la función logarítmica principal.
1
Example Sea fz  z 2
1
1
i
z 2  e 2 Log z e 2 2k
k  0, 1.
i.e.
1
z
1
2

e 2 log z

1
e 2 log z e i
1
i
|z| 2 e 2 Argz
1
i
|z| 2 e 2 Argz
por ejemplo
i
1
2

i 

i

e 2 4  ei 8
e 24  e i 8



ei 8

e i 8
CasoIII. a es un irracional
z a  expa log z  expaLog z exp2aki, para k  Z
cuando k  Z y a es un irracional e 2aki tiene valores distintos para diferentes valores de k.
En efecto supongamos que  k 1 , k 2  Z tal que
e 2ak 2 i  e 2ak 2 i
entonces
cos 2ak 1   i sin 2ak 1   cos 2ak 2 i  i sin 2ak 2 i
po tanto
cos 2ak 1   cos 2ak 2 i
2ak 1   2ak 2 i  2z 1 
z1  Z
2ak 1   2ak 2 i  2z 2 
 k 1  k 2  za1 

z2  Z

sin 2ak 1   sin 2ak 2 i
entonces z a toma valores distintos para diferentes valores de log z.
Example
1
1
1
i   e  Logi . e  2ki ,
kZ
i
1
 log 1 2
1
. e 2ki  e i 2 2k ,
kZ
 cos 4k  1   i sin 4k  1 ,
kZ
2
2
e
Caso IV. a es un complejo
Sea a    i
z a  z  z i
pero z  es uno de los casos ya mencionados y
z i  e i log z  e ilog|z|i arg z  e  arg z e i log|z|
si z  |z|e i arg z , |z| es un número fijo y arg z varía según la rama en que estemos, por lo tanto e i log|z| es un
número determinado y e  arg z varía. Así z a siempre tiene una infinidad de valores.
Example

i i  e i log i  e ilog|i|i 2 2k , k  Z

 e  2 2k , k  Z
Es fácil ahora probar las dos conocidas fórmulas que relacionan la exponencial con el logaritmo:
loge z   z
e log z  z
log a b  b log a
En efecto
loge z   loge xiy   loge x cos y  i sin y  log e x  iy  x  iy.
i
e log z  e logre   e log ri  e log r e i  re i  z.
log a b  loge b log a   b log a.
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS E HIPERBÓLICAS INVERSAS
Definition
sin 1 z  1 log 2 1  z 2  iz ;
i
cos 1 z  1 logz  i 2 1  z 2 ;
i
1
tan z  i log i  z ;
iz
2
Veamos que se obtiene la primera.
Consideremos la ecuación
sin w  z
despejemos w :
z e
iw  e iw
2i
multiplicando ambos miembros de la ecuación por 2ie iw y ordenando términos
2ie iw z  e 2iw  1
 e iw  2  2ize iw   1  0
1
 e iw 
2iz  2iz 2  411
1
2iz  4z 2  4 2

 iz  1  z 2  2
2
2
1
 iw  logiz  1  z 2  2 
1
 w  1 log1  z 2  2  iz
i
1
se omite el signo  pues sabemos que el término 1  z 2  2 tiene 2 valores, uno positivo y el otro negativo.
1
Así, para cada valor de 1  z 2  2 existe un valor de w que satisface la ecuación sin w  z.
De manera analoga se pueden ver los otros casos.
Calculemos ahora la derivada de la función sin 1 z :
1
dsin 1 z
 d  1 log1  z 2  2  iz
dz i
dz
1
i

i  1 1  z 2   2 2z
1
2
1  z 2  2  iz
1
1


1z 2  2 iz
iz
1
1
1
1z 2  2
1
iz  1  z 2  2

1z 2  2
1
iz1z 2  2
1

1  z 2  2  iz
1
1
1  z 2  2 iz  1  z 2  2 
1
1
1  z 2  2
Analogamente se puede probar que:
dcos 1 z
1

1
dz
1  z 2  2
dtan 1 z
1

dz
1  z2
Las tres funciones trigonométricas inversas restantes pueden definirse en términos de las tres que ya
tenemos.
Las funciones hiperbólicas inversas se pueden definir de manera similar. Así
1
sinh 1 z  logz  z 2  1 2 
1
cosh 1 z  log z  z 2  1 2
tanh 1 z  1 log 1  z
2
1z
y se puede ver que
dsinh 1 z
1

1
dz
1  z 2  2
dcosh 1 z
1

1
dz
1  z 2  2
dtanh 1 z
1

.
dz
1  z 2 
Integración
Curvas en el plano complejo
Definition Una curva C en el plano complejo es el conjunto de los puntos
zt  xt  iyt para t  a, b donde xt y yt son funciones continuas de t
en a, b.
za se llama punto inicial de C y zb punto final. za y zb se suelen llamar puntos extremos de C.
Si za  zb se dice que C es una curva cerrada.
Si existen dos valores distintos t 1 y t 2 con a  t 1  t 2  b tales que zt 1   zt 2  entonces se dice que C
se intersecta a si misma.
Una curva que no se intersecta a si misma se llama curva de Jordan o curva simple.
Definition Se dice que una curva es suave si zt existe, es continua y diferente de
cero para todos los valores de t en a, b donde
zt  xt  iyt, t  a, b
y es suave por tramos si es suave para todos los valores de t con la posible
excepción de un número finito de ellos.
Example Represente graficamente y clasifique los siguientes conjuntos de puntos:
a)
zt 
t  it 2
t  0, 1
2t  it
t  1, 5
es discontinua, por lo tanto no es curva.
b) zt  3 cos t  2i sin t, t  0, 
es una curva suave.
Claim Una curva C no tiene una parametrización zt única, así por ejemplo en el
ejemplo a) podemos escribir, realizando una traslación
zt 
t  1  it  1 2
t  1, 0
2t  1  it  1
t  0, 4
veremos que la integral no depende de la parametrización utilizada.
Definition Integral compleja
Sean z 0 y z 1 puntos cualesquiera del plano complejo.
Sea C una curva suave por tramos desde z 0 a z 1 descrita por zt, t  a, b. Si
fz  ux, y  ivx, y es una función continua en todo punto de C entonces se
define la integral de fz de z 0 a z 1 a los largo de C como:
z1
b
 z C fzdz   fzdz   a fztztdt
0
C
b
  uxt, yt  ivxt, ytx  t  iy  tdt
a
b
  uxt, ytx  t  vxt, yty  tdt
a
b
 i  vxt, ytx  t  uxt, yty  tdt
a
donde zt  xt  iyt, a  t  b.
Example Calcular la integral  zdz, donde C es el contorno
C
zt  ae it , 0  t  , a    .
Solución:
El contorno es una media circunferencia como se muestra en la figura
aquí fz  z, entonces
fzt  fae it   ae it
y zt  aie it , entonces


 zdz   0 fztztdt   0 ae it aie it dt
C

2it
 a 2 i  e 2it dt  a 2 i e
2i
0
2
a

1  1  0.
2

2
 a e 2i  e 0 
2
0
Example Calcular la integral  z 2 dz, donde C es el contorno del ejemplo anterior.
C
Solución:
Ahora fz  z 2 entonces
fzt  fae it   ae it  2  a 2 e 2it
y zt  aie it , entonces


 z 2 dz   0 fztztdt   0 a 2 e 2it aie it dt
C

3it

3
 a e 3i  e 0 
 a 3 i  e 3it dt  a 3 i e
3i 0
3
0
3
a
2
3

1  1   a .
3
3
Example Sea C 1 la trayectoria de i a i a lo largo de la semicircunferencia derecha
y C 2 la trayectoria a lo largo de la simicircunferencia izquierda. Calcular:
i
j  1, 2
 i C dzz ,
Solución:
Ahora fz  1z .
Para la trayectoria C 1 : zt  e it , t   2 , 2
entonces z  t  ie it y
fzt  fe it   1it  e it
e
por lo tanto

2

2
C dzz    e it ie it dt  i   dt  i 2  2
1

2

2
 i.
Del mismo modo, para C 2 se puede considerar la parametrización zt  e it , t 
Realizando las operaciones pertinentes se puede ver que
C dzz  i.
L
3 
, 2
2
.
Propiedades
Las propiedades fundamentales de la integral que hemos definido son consecuencia inmediata de las
propiedades de la integral de línea.
Suponga que para contornos arbitrarios C 1 y C 2 , C 1  C 2 tambien es un contorno.
a)  kfzdz  k  fzdz
C
C
b)  f 1 z  f 2 zdz   f 1 zdz   f 2 zdz
C
c) 
C
d) 
C1
C
C
fzdz    fzdz
C
fzdz  
C2
fzdz  
c 1 c 2
fzdz
Claim Si C es la curva: zt  xt  iyt, t  a, b; C es la curva
z t  xt  iyt, t  b, a pues z b  xb  iyb  zb y
análogamente z a  za.
Claim Si C 1 está dada por z 1 t, t  a, b y C 2 por z 2 t, t  b, c entonces
C 1  C 2 :está dada por
zt 
z 1 t
t  a, b
z 2 t
t  b, c
siempre y cuando z 1 b  z 2 b.
Si C 1 está dada por z 1 t, t  0, 1 y C 2 por z 2 t, t  0, 1 entonces C 1  C 2
puede ser dada por
z 1 2t,
zt 
t  0, ½
z 2 2t  1, t  ½, 1
siempre y cuando z 1 1  z 2 0.
En general, si C 1 está dada por z 1 t, t  a, b y C 2 por z 2 t, t  c, d se
hacen reparametrizaciones con :
 : 0, 1  a, b  t  a  tb  a y
 : a, b  0, 1  t  t  a
ba
para transformar los intervalos.
Como puede observarse una misma curva tiene una infinidad de
parametrizaciones y la integral no depende de ellas.
Example Sea C la trayectoria que va de 0 a 1  i compuesta por el segmento de
recta C 1 de 0 a 1 y el segmento de recta C 2 de 1 a 1  i. Calcular  sin zdz
C
Solución: Parametrizando las curvas
C 1 : z 1 t  t, t  0, 1
C 2 : z 2 t  1  it, t  0, 1.
Como z 1 1  z 2 0 existe la curva C  C 1  C 2 y por la propiedad (d) anterior:
1
1
C sin zdz  C sin zdz  C sin zdz   0 sin tdt   0 sin1  itidt
1
2
cos1  it
  cos t| 10  i
i
1
0
  cos 1  cos 0   cos1  i  cos 1
 1  cos 1  cos1  i  cos 1  1  cos1  i.
Definition Sea C una trayectoria cerrada descrita por zt, t  a, b. Si al variar t
de a a b se traza C de manera que los puntos del interior de C queden
siempre a la izquierda (y respectivamente a la derecha decimos que C está
orientada positivamente (y respectivamente, orientada negativamente).
Cuando no se indique lo contrario se supondrá que las trayectorias estan orientadas positivamente.
Funciones definidas por integrales indefinidas
Definition Sea fz una función definida en una región D y sea C una trayectoria en D
b
de a a b. Si  fzdz es un número que sólo depende de a y b, no de la
aC
trayectoria C, decimos que que la integral es independiente de la trayectoria y
b
escribimos  fzdz.
a
w
Si fijamos a y definimos b  w como cualquier punto de D y suponemos que  fzdz tiene sentido para
a
cada w en D entonces la integral define una función:
w
Fw   fzdz
a
Theorem Sea D una región simplemente conexa y fz una función continua definida
en D.
Para cada par de puntos a y b en D y cualquier curva C en D de a a b, la
b
integral  fzdz es independiente de la trayectoria si y sólo si existe una
a
función Fz, analítica en D tal que
fz  Fz, z  D.
En este caso
b
w
 a fzdz  Fb  Fa.
Además, si Fw   fzdz está definida y es independiente de la trayectoria
a
en todo punto z  D, entonces Fw es analítica en D y Fw  fw para
todo w en D.
Example Sea fz  1z . f es continua en todo punto de   0.
Sean a, b    0. Sabemos que cualquier rama de la función log z tiene
derivada 1z en cualquier punto de   z : z  0. Así no podemos tener
trayectorias que corten el eje real negativo como lo muestra las figuras
siguientes
pues en ninguno de estos casos podemos construir un conjunto D simplemente
conexo (sin agujeros) que contenga a las curvas, donde la primitiva
Fz  log z sea analítica. Pero si la trayectoria no corta al eje real negativo
z  0, como el ejemplo de la figura
si podemos construir un conjunto simplemente conexo D donde la primitiva
Fz  log z si es analítica. Tomando cualquier rama
b
 a dzz  log b  log a
 ln|b|  i  2k  ln|a|  i  2k
 ln|b|  i  ln|a|  i  Logb  Loga.
i
Exercise Calcular la integral  z 2  2z  1dz.
0
Solución:
i
z 3  z 2  z
3
 0 z 2  2z  1dz 
Exercise Calcular 
i 
i
0
3
 i  i 2  i   i  i  1  1  2 i.
3
3
3
sin zdz
2
i
Solución:
i 2
i

i
sin zdz  cos z| i 2  cos   i  cos i.
2
Theorem Integral de Cauchy Sea D un dominio simplemente conexo y fz analitica
en D. Si C es cualquier curva cerrada en D, entonces :
C fzdz  0.
(curva indica, continua liza por tramos ; se puede intersectar a si misma)
Si D es un dominio simplemente conexo y fz es analitica en D, entonces para cualesquiera puntos a y b
en D y cualquieras trayectorias C 1 y C 2 en D de a a b :
b
b
C1
C2
 a fzdz   a fzdz
y existe una función Fz analítica en D, tal que
z  D : Fz  fz.
Proof Sea C  C 1  C 2 . C es cerrada y por el teorema de la integral de Cauchy
0   fzdz  
C

C1
C1
fzdz  
C2
fzdz  
C 2
fzdz
fzdz
y por el teorema anterior al de la integral de Cauchy se cumple la otra
parte.
Example Importante Evaluése la integral
C z dza n ,
C  z : |z  a| r.
Solución:
zt  a  re it ,
t  0, 2
zt  ire it ,
fzt  n 1int
r e
entonces
2
2
it
dt  i  e itn1 dt
C z dza n   0 ire
r n e int
r n1 0

2i n  1
0
n1
.
Theorem Sea a un punto fijo, 0  R  s  T. Sea D el dominio z : R  |z  a| T
y C 1  z : |z  a| s. Si fz es analítica en D y C es cualquier trayectoria
cerrada en D cuyo interior contiene a C 1 , entonces:
C fzdz  C fzdz.
1
Proof Si R  0, D es simplemente conexo y las dos integrales son iguales a 0 por
el Teorema Integral de Cauchy. Supongamos que R  0. Sea L la trayectoria
de C 1 a C y consideremos la curva cerrada
K  C  L  C 1   L
como fz es analítica sobre y dentro de K entonces por el teorema de la
integral de Cauchy :
0   fzdz    
K
C
   
C
L
C1

L
L

C 1
  
C

L
C1
por lo tanto
C fzdz  C fzdz.
1
Corollary Con las mismas hipótesis del teorema anterior, si K es cualquier trayectoria
cuyo interior contiene a C 1 entonces:
C fzdz  K fzdz.
Example Sea
fz 
evalúese la integral  fzdz donde:
C
a. C es la circunferencia |z| 4,
b. C es la circunferencia |z| 2,
c. C es la circunferencia |z  4| 2.
Use fracciones parciales.
1
,
z 2  4z  3
Solución:
1
1
1
1



z  3z  1
2z  3
2z  1
z 2  4z  3
a)
dz
 1 
C z 2  dz4z  3   12 C z dz
2 C z  1
 3
dz  1 
dz
 1 
  1 2i  1 2i  0
2 |z3| 12 z  3
2 |z1| 12 z  1
2
2
b)
 1  C dz
C z 2  dz4z  3   12 C z dz
2
z  1
 3
dz
 0 1 
 1 2i  i.
2 |z1| 12 z  1
2
c)
 1  C dz
C z 2  dz4z  3   12  C z dz
2
 3
z  1
dz  0   1 2i  i.
 1 
2 |z3| 12 z  1
2
Problem Si C es cualquier trayectoria cerrada que no pasa por z  a y n  ,
dz
encuéntrense todos los valores posibles de  za
n .
C
Solución: Por el Teorema Integral de Cauchy
0 si a está fuera de C
C z dza n 
2i si a está dentro de C
Theorem Fórmula Integral de Cauchy Sea fz analítica en un dominio simplemente
conexo D y C cualquier trayectoria cerrada en D. Si z 0 es cualquier punto
del interior de C entonces :
1

1. fz 0   2i
fz
dz
C zz 0 
n!

2. f n z 0   2i
fz
C zz 0  n1
dz, para n  1, 2, 3, 
3. f n z es analítica en D.
Example Sea C cualquier trayectoria cerrada que contiene a los punto de z  i y
z  i. Evalúese la integral
e z dz.
1 
2
2i C z  1
Solución: Descomponiendo en fracciones simples
1
1

 1
2i
z  iz  i
z2  1
1
1

z  i
z  i
.
Así
z
ez
1 
dz  1  e
2
2i C z  1
2i C 2i
1
1

z  i
z  i
dz
ez  1 
e z dz
 1 
4 C z  i
4 C z  i
  1 2ie i  1 2ie i   i e i  e i   1 e i  e i   sin 1.
4
4
2
2i
Si C es una trayectoria que contiene en su interior sólo a z  i :
ez
e z dz  1  zi dz  e i .
1 
2i C z 2  1
2i z  i
2i
Análogamente, si C es una trayectoria que contiene en su interior sólo a z  i :
ez
e z dz  1  zi dz  e i .
1 
2i z  i
2i
2i C z 2  1
Series infinitas

Si a n  n0  a 0 , a 1,  es una sucesión de números complejos, se dice que la serie infinita  a n
n0
converge a S si:
   0,  N   : n  N  |S  S n |  
donde S n es la n-ésima suma parcial
Sn  a1    an.

Diremos que la serie infinita  a n converge absolutamente, si la serie de números reales no negativos
n0

|a n | es convergente.
n0

Observe que para la serie real |a n | puedenn emplearse los criterios conocidos de convergencia, en
n0
particular los criterios de la razón, de la raíz y comparación.
Definition Si a n  n0 es una sucesión de números complejos, se llama

 a n z  a n
n0
serie compleja de potencias alrededor de a.
Decimos que la serie de potencias converge en z 0 si la serie de números

complejos  a n z 0  a n converge.
n0

Se puede ver facilmente que si la serie de potencias  a n z  a n es absolutamente convergente en un
n0
punto z 0 , entonces es absolutamente convergente en todo punto z tal que:
|z  a| |z 0  a|

En efecto, si |a n z 0  a n | converge,
n0
|z  a|  |z 0  a| 0  |a n ||z  a| n  |a n ||z 0  a| n


n0
n0
 |a n z  a n |     a n z  a n  .

Definition Sea  n0 a n z  a n una serie de potencias y sea

S  r  0 : |a n |r n  .
n0
Si S está acotado superiormente, definimos el radio de convergencia  de la
serie como el supremo de S. Si S no está acotado superiormente, decimos que
la serie tiene radio de convergencia infinito escribiendo    . En el primer
caso, z : |z  a| , se llama disco de convergencia para la serie y en el
segundo caso decimos que la serie es convergente en todo punto.

Theorem Sea pz   n0 a n z  a n una serie de potencias con radio de
convergencia , entonces

i) en |z  a| , la serie  n0 a n z  a n es absolutamente convergente.

ii) en |z  a| , la serie  n0 a n z  a n es divergente.
iii) pz es continua en |z  a| .
Proof i) Se verifica por la definición de radio de convergencia.

ii) Si  n0 a n z 0  a n fuera converge para cualquier z 0 con |z 0  a| ,

entonces la serie  n0 a n z  a n sería absolutamente convergente para todos

los z tales que |z  a| |z 0  a|. En particular  n0 a n z 1  a n será
|z |
absolutamente convergente para z 1  2 0   
o

Example Calcular la función que representa a la serie de potencias  n0 z n
Theorem Solución: Calculando la n-ésima suma parcial tenemos
S n  1  z  z 2    z n1
n
 1z
1z
calculando el límite cuando n tiende a  :
n
lim S n lim 1  z  1 lim 1  z n   1
1  z n
1z
n
n 1  z
siempre que |z|  1, así

 z n  1 1 z para |z|  1
n0
para hallar el radio de convergencia utilizamos el criterio de la razón:
n1
lim z n
lim |z|  |z| lim 1  |z|
z
n
n
n
por lo tanto, la serie converge si |z|  1. Hemos probado entonces que

 z n  1 1 z si |z|  1.
n0

n
a z  a es una serie de potencias con radio
n0 n
de convergencia 
Si 
y C es cualquier trayectoria dentro del disco de convergencia |z  a| ,
entonces

C  a n z  a
n0

n
dz    a n z  a n dz .
n0
C
Este teorema se utilizará más adelante cuando conozcamos que función representa la serie y nos ayudará
a hayar la representación en serie de otras funciones.

Theorem Sea  n0 a n z  a n una serie de potencias con radio de convergencia  y
sea

pz   a n z  a n
n0
definida en el disco de convergencia |z  a|  entonces:
i) pz es analítica en |z  a|  y

pz   na n z  a n1 .
n0
Observe que aplicando el teorema anterior podemos hallar la representación en series de potencias de
las derivadas de pz.
Example Como hemos visto en el ejemplo anterior

1 
z n si |z|  1,
1z 
n0
entonces derivando ambos miembros

1
 n z n1 para |z|  1.
1  z 2
n1
Series de Taylor
En esta sección, veremos que en la vecindad de un punto dado, una función analítica tiene sólo un
desarrollo en serie de potencias, el cual consiste en la serie de Taylor.
Theorem Si fz es analítica en z : |z  a| r entonces:

f n a
z  a n , para todo z con |z  a| r
n!
n0
fz  fa  
Esta representación de fz en el disco |z  a| r se llama serie de Taylor de
fz alrededor de a. Cuando a  0 se llama serie de Maclaurin de fz.
Los resultados para series de potencias se aplican a series de Taylor. Es decir, fz es absolutamente
convergente en cada punto de su disco de convergencia, puede diferenciarse término a término para obtener
desarrollos en serie de Taylor de las derivadas de fz alrededor de z  a.
Example La serie de Maclaurin de fz  e z es

n
 zn!
n0
f n 0  1
pues
 n  0, 1,  y como e z es entera, el desarrollo es
verdadero para todo z  .
1
Example Sea fz  1z
, Calcular su serie de Taylor alrededor de z  0.
1
Solución: Utilizando el teorema de Taylor, podemos derivar sucesivamente la función fz  1z
y
calcular los coeficientes de la serie para obtener

1  1 n z n
1z
n0
y es válida para los números complejos z para los cuales |z| 1 pues se puede ver que el círculo más grande
centrado en el origen donde f es analítica es el de radio 1, así se tiene que

1  1 n z n para |z| 1.
1z
n0
Otra forma de obtener este resultado es a través de una sustitución aplicada a una serie ya conocida. En
efecto, sabemos que

1

w n , para |w| 1,
1w 
n0
al tomar w  z obtenemos

1  1 n z n , para |z| 1.
1z
n0
¿ Es válido utilizar este procedimiento para obtener series de potencias? la respuesta es sí, como se puede
demostrar en el siguiente

Theorem Si la serie de potencias fz   n0 a n z  a n es válida para z : |z  a|  
entonces
f n a
n  0, 1, 2. . .
an 
n!
es decir, en su disco de convergencia, la serie de potencias es una serie de
Taylor alrededor de z  a para la función analítica que representa.
Claim Si una función fz es analítica en un número complejo z 0 y la singularidad
de f más cercana a z 0 está a una distancia r de z 0 , entonces el desarrollo en
serie de Taylor de f alrededor de z 0 converge absolutamente para todo z en
el disco |z  z 0 | r y diverge fuera.
Example Desarrolle en serie de Maclaurin la función
fz  Log1  z.
Solución: Sabemos que

1
 1 n w n para |w|  1
1w
n0
integrando de 0 a z para todo z en el disco |z|  1 tenemos
z
z

 0 1 1 w dw   0 1 n w n dw
n0
es decir
Log1  w| z0  
z


n0
n0
z
1 n w n dw   1 n  0 w n dw
0

n1
  1 n w
n1
n0
por lo tanto

n1
para todo z con |z|  1.
Log1  z  1 n z
n1
n0
Example Desarrolle en serie de Taylor fz 
1
1z 2
alrededor del origen.
Solución: sabemos que

1

1 n w n para |w|  1.
1w 
n1
Substituyendo w  z 2 obtenemos
z
0
,


1
 1 n z 2  n  1 n z 2n válido para |z 2 | 1 o |z| 1.
1  z2
n0
n0
Example Calcular la serie de Taylor de la función fz  tan 1 z alrededor del origen.
Solución: Sabemos que
tan 1 z 

z
z
 0 1 1w 2 dw   0

2n1
  1 n w
2n  1
n0
1 n w 2n dw
n0

z
2n1
 1 n z
válida en el disco |z| 1.
2n  1
0
n0
Example Calcular la serie de Maclaurin de
fz  z  1
z1
Solución:
z  1  z  1  z
1
z1
z1
z1
1z


n0

n0
1
1z



 z  z n   z n    z n1   z n
n0
n0



n1
n0
n0
   z n1  1   z n  1   z n1   z n1
n0

 1  2  z n1 válido para |z| 1.
n0
Series de Laurent
Si fz es analítica en una región de la forma:
z : 0  r  |z  a| s
es decir, del tipo de un anillo circular, entonces fz no se puede representar en serie de Taylor, pero podemos
esperar representar fz mediante una serie de potencias positivas y negativas de z  a.
Theorem de Laurent
Si fz es analítica en la región
D  z : 0  r  |z  a| s
entonces

para todo z  D : fz   A n z  a n
#
n
o bien,

fz  
n0

A n z  a n 
 A n z  a n
n1
donde
fz
1 
dz, n  
2i C z  a n
siendo C cualquier trayectoria cerrada en D cuyo interior contiene al punto
z  a.
An 
La serie dada por ref: 1 converge absolutamente en D, donde decimos que la serie ref: 1 converge si y
sólo si las dos series en ref: 2 son convergentes.
#
Remark No es práctico calcular los coeficientes A n en forma directa por
integración sino por otros medios, usando los coeficientes más bien para
evaluar integrales de la forma
fz
1 
dz.
2i C z  a n1
Si fz es analítica en el disco |z  a| s, la serie de Laurent se reduce a la
serie de Taylor, pues en este caso:
fz
A n  1 
dz  1  fzz  a n1 dz  0
n  1, 2, 
2i C z  a n1
2i C
y
fz
f n a
An  1 
dz

 an
2i C z  a n1
n!
por la Fórmula Integral de Cauchy.
Desarrollaremos funciones en series de Laurent, principalmente en
regiones del tipo
z : 0  |z  a| s.
el número de potencias negativas de z  a en la serie servirá como medida
de cuán ”no analítica ” es fz en z  a.
Example La función fz  log z no tiene serie de Laurent alrededor de z  0 pues
no es analítica en ninguna región anular alrededor de 0.
Example Desarrollar la función
1
1

z  2z  1
z 2  3z  2
en serie de Laurent alrededor de z  0 en las regiones:
fz 
a) |z|  1,
b) 1  |z|  2
c) 2  |z|  r, r  2.
Solución:
1
1
1


z  2
z  1
z  2z  1
fz 
a) Como f es analítica en |z| 1, la serie de Laurent de f coincide con la serie de Taylor:

1
1
 1

 1  z
2
2
2  z
21  2z 
z  2
n0
n

n
  1  zn
2
2
n0
la cual es válida para | 2z | 1, es decir en |z|  2 (región más grande que la que tenemos). Análogamente

1
 1
   zn
1  z
z  1
n0
válida en |z|  1. Así, en la región |z|  1 se tiene:

fz 
n
1
  1  zn
2
2
z  2z  1
n0

  1
n0
1
2 n1
zn


n
  z n    zn1  z n
2
n0
n0
b) En la región 1  |z| 2 :

n
1
  1  zn
2
2
z  2
n0

1
1

 1z  1z
z  1
z1  1z 
n0
para
n
|z| 2
válido en 1z
 1 o 1  |z|.
Entonces, en la región 1  |z| 2 se tiene que

fz 
n
1
  1  zn
2
2
z  2z  1
n0
c) En la región 2  |z|  r,


n0
n0
n
1
 1z  1n    zn1  n1
z
z
2
.
r2

n
1
1

 1z  2n
2
z
z  2
z1  z 
n0

n
1
 1z  1z
z  1
n0
válido para
2
z
 1 o 2  |z|
válido para 1  |z|
Por lo tanto,



n
1   2n  1 .
fz   zn1   n1
2
z
z n1
n0
n0
n0
z
Example Desarrollar en potencias de z la función fz  e3 .
z
Solución:


e z  1  z n   z n3
n!
z 3 n0 n!
z3
n0
válida en 0  |z|.
Clasificación de Singularidades aisladas
Si una función fz es analítica en una región anular 0  |z  a| r y tiene desarrollo en serie de Laurent

fz   A n z  a n , válido en 0  |z  a| r,
n
1
se llama a  n A n z  a n parte principal de fz en z  a y escribimos
1
pf, a   A n z  a n .
n
Definition Si una función fz no es analítica en z 0 pero es analítica en alguna región
z : 0  |z  a| r
para algún r  0 , decimos que z 0 es una singularidad o punto singular de fz
Las singularidades pueden ser de tres tipos:
Caso 1 pf, a  0.
En este caso el desarrollo de Laurent de fz en 0  |z  a| r es de hecho un
desarrollo de Taylor:

fz   A n z  a n
n0
si definimos fa  A 0 , entonces fz será analítica en |z  a| r incluido el
punto z  a; por esta razón, cuando pf, a  0 decimos que z  a es una
singularidad removible de fz.
Example
z
fz  sin
z
es analítica en |z|  0 y


2
4
1 n z 2n1
1 n z 2n

 1  z  z   para |z|  0
3!
5!
2n  1!
2n  1!
n0
n0
fz  1z 
y pf, 0  0, por lo tanto z  0 es una singularidad removible y definimos
f0  1.
Caso 2
pf, a tiene un número finito de términos:

fz   A n z  a n
nm
así
1
pf, a   A n z  a n
nm
donde A m  0 y A n  0 si n  m. En este caso llamamos a z  a un polo
de orden m para fz. Frecuentemente un polo de orden 1 se llama polo
simple.
Example

ez  1  1  1  
zn
3
3
2
2z
2n  3!
z
z
z
n0
para |z|  0
por lo tanto
pf, a  13  12  1
2z
z
z
y la función tiene un polo de orden 3 en z  0.
Caso 3 pf, a tiene una infinidadde términos. Decimos que z  a es una
singularidad esencial de fz.
Example
e
1
z

 
n
 1z 
n!
n
para |z|  0.
Theorem Si fz es analítica en 0  |z  a| r, entonces fz tiene un polo de orden m
en z  a si y sólo si
fz  zz  a m
donde z es analítica en z  a y a  0.
Example sea fz 
cos z
z 2 z 2 1
tiene singularidades en z  0, i, i. Tiene un polo de
orden 2 en z  0 pues
cos z
zizi
2
fz 
z
y
es analítica y distinta de cero en z  0 . Tiene un polo simple en
z  i por que
cos z
zizi
fz 
y
cos z
z 2 zi
cos z
z 2 zi
z  i
es analítica y distinta de cero en z  i. De la misma forma z  i tiene
un polo simple en z  i.
Corollary si fz tiene un polo de orden m en z  a,
lim |fz|  .
za
Definition Suponga que fz es analítica en z  a y que

fz   a n z  a n
para |z  a| r
n0
fz tiene un cero de orden m en z  a si
a 0  a 1    a m1  0 y a m1  0
Un cero de orden uno se llama cero simple.
Si fz tiene un cero de orden m en z  a


nm
k0
fz  z  a m  a n z  a nm  z  a m  a mk z  a k  z  a m z
donde z es analítica en z  a y a  a m  0.
Recíprocamente, si fz  zz  a m donde z es analítica y distinta de cero en z  a entonces
fz posee un cero de orden m en z  a.
Example

1 n z n1
2n  1!
n0
sin z 2  1z 
f tiene un cero de orden 2 en z  0.
Theorem Si fz tiene un polo de orden m en z  a entonces
1
fz
es analítica en z  a y tiene un cero de orden m en z  a.
Theorem Si fz tiene una singularidad esencial en z  a y c es cualquier número
complejo, existe una sucesión z n  con
lim z n  a tal que lim fz n   c .
n
n
Residuos
Supongamos que fz es analítica en la región 0  |z  a| r y que tiene desarrollo de Laurent

a n z  a n en tal región. Para cualquier trayectoria cerrada en dicha región cuyo interiror contenga
 n
al punto z  a,
C

fzdz   a n z  a n dz  2ia 1
n0
i.e. cuando integramos fz alrededor de una trayectoria cerrada que contenga en su interior la singularidad
aislada z  a y ninguna otra singularidad de fz, no queda sino un múltiplo de un coeficiente del desarrollo
de Laurent de fz : el coeficiente de z  a 1 , esto significa que para evaluar
1  fzdz
2i C
obtenemos la serie de Laurent de fz alrededorde z  a y utilizamos sólo un coeficiente.
Este extravagante método podría mejorarse si se obtuviera el coeficiente deseado sin determinar toda la
serie de Laurent.
Definition Sea fz analítica en 0  |z  a| r. El residuo de fz en z  a es el
coeficiente a 1 de z  a 1 en la serie de Laurent de fz alrededor de z  a y
escribimos:
resf, a  a 1 .
Si fz es analítica en z  a ó si z  a es una singularidad removible de fz vemos que Resf, a  0.
Example calcule
C z e 2 2 dz.
z
donde C es un círculo centrado en z  2 de radio 1
Solución:

n
ez
 ? ez   z
n!
z  2 2
n0
y e z  e z2 e 2 entonces

ez  e2 
n0
z  2 n
n!
y

z  2
ez
 z  2 2 e 2 
n!
z  2 2
n0
Re s
n


2
z  2
e2
 e
 e2 
2
z2
n!
z  2
n2
ez
, 2
z  2 2
n2
 e2
por lo tanto
z
C z e 2 2 dz  e 2 2i.
Remark Esta integral también se puede con la Fórmula Integral de Cauchy con
n  1.
En general, si fz es analítica sobre y dentro de una trayectoria cerrada C excepto en el polo z  a de
orden m dentro de C, podemoos representar
fz  z  a m z
donde z es analítica en z  a y a  0. Se puede evaluar
Re sf, a
1  fzdz
2i C
o
 m1 a
m1!
siendo la segunda evaluación una consecuencia de la Fórmula Integral de Cauchy.
Theorem del Residuo de Cauchy
Sea C una trayectoria cerrada y fz analítica
sobre y dentro de de C con excepción de los puntos a 1 ,  , an dentro de C,
entonces

1  fzdz   Re sf, a k .
2i C
k1
Example Sea
fz 
ez
z  1 3 sin z
C : |z| 2
calcule  fzdz.
C
Solución: fz es analítica en  excepto en z  1, z  0.
¿Como calcular rápidamente los residuos
Re sf, 0 y Re sf, 1?.
Supongamos que fz posee un polo de orden m en z  a, entonces :
fz  z  a m z para 0  |z  a| r
donde z es analítica en z  a y a  0.

z  
n0
 n a
z  a n
n!
por lo tanto

fz  
n0
 n a
z  a nm
n!
y
Re sf, a 
 m1 a
m  1!
donde z  z  a m fz.
En particular, si a es un polo simple
Re sf, a  a
donde z  z  afz.
gz
Theorem Sea fz  hz donde g y h son analíticas en z  a ,ga  0 y hz tiene un
cero simple en z  a, entonces fz tiene un polo simple en z  a y
ga
.
h  a
Re sf, a 
gz
Theorem Si fz  hz donde g y h son analíticas en z  a, ga  0 y hz tiene un
cero de orden 2 en z  a entonces
6g  ah  a  2gah  a
.
Re sf, a 
3h  ´a 2
Regresando al ejercicio anterior, calculemos el Resf, 1.
z  1 es un polo de orden 3 pues:
ez
sin z
fz 
, 1 
z  1 3
e 0
sin 1
Sabemos que
Resf, a 
 31 a
 2 a

2!
3  1!
  z 
e z sin z  cos z
sin 2 z
  z 
2e z 2  sin 2z
sin 3 z
  1 
2e2  sin 2
sin 3 1
Resf, 1 
e2  sin 2
.
sin 3 1
pero
y
así
y
Para el Resf, 0
fz 
ez
z1 3
sin z

gz
hz
f tiene polo simple en z  0 y
e0
Re sf, 0 
g0
 1  1.
cos 0
h0
Por lo tanto:
 sin 2
1
 z  1e 3 sin z dz  2i e2sin
3
1
z
Claim En el caso en que fz tenga una singularidad escencial en z  a, no
tenemos regla alguna para calcular el Resf, a. En este caso, debe
determinarse a´partir de la serie de Laurent para f en z  a.
Example Sea fz 
ez
. fz tiene polos simples en z  0, i, i.
zz 2 1
gz  e z , hz  z 3  z, hz  3z 2  1
así
Resf, 0 
i
i
gi
gi
g0
 1  1, Resf, i 
 e , Resf, i 
 e .
2
2
1
hi
hi
h0