Universidad de La Habana, MATCOM
Probabilidades (2019-2020)
Conferencia
Tema: Vectores aleatorios discretos.
Definición 1 Se dice que el vector aleatorio (X, Y ) es un vector discreto si X y Y son
v.a. discretas.
Ejemplo 1 Se lanza un dado y una moneda de forma independiente, sea X el resultado de
la moneda (1 si sale cara y 0 si sale escudo) y Y el resultado del dado, entonces (X, Y ) es
un vector aleatorio discreto que toma valores {(0, 1), (0, 2), (0, 3), (0, 4), (0, 5), (0, 6), (1, 1),
(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6)}.
Asociado a los vectores discretos se define el concepto de función de probabilidad
conjunta.
Definición 2 La función de probabilidad conjunta del vector aleatorio discreto (X, Y )
que toma valores {(ai , bj )}i,j es
P(X,Y ) (ai , bj ) = P (X = ai , Y = bj ), ∀(ai , bj ).
(1)
Note que P (X = ai , Y = bj ) es la probabilidad de la intersección de los sucesos X = ai y
Y = bj .
En el Ejemplo 1 la función de probabilidad conjunta es:
X/Y
0
1
1
2
3
4
5
6
1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12
1/12 1/12 1/12 1/12 1/12 1/12
Ejemplo 2 Se extraen 3 bolas de una urna que contiene 4 bolas rojas y 2 negras, se
definen las v.a. X y Y que cuantifican la cantidad de bolas rojas y negras extraı́das respectivamente.
Al analizar los valores que toma el vector (X, Y ) y la función de probabilidad conjunta
resulta
X/Y
0
1
0
2
0
4 2
3
3
1
0
4 2
2
0
1
2
6
3
1
0
0
0
6
3
6
3
2 2
4
1
Proposición 1 Sea (X, Y ) un vector aleatorio con función de probabilidad conjunta P(X,Y )
que toma valores {(ai , bj )}i,j , entonces
XX
XX
P(X,Y ) (ai , bj ) =
P(X,Y ) (ai , bj ) = 1
(2)
i
j
j
i
La demostración es inmediata usando la partición {X = ai , Y = bj } de Ω y el tercer
axioma de Kolmogorov.
Definición 3 La función de distribución conjunta del vector aleatorio discreto (X, Y ) es
F(X,Y ) (x, y) = P (X ≤ x, Y ≤ y) ∀(x, y) ∈ R2 .
(3)
Aunque es posible dar una expresión de la función de distribución conjunta, se recomienda el siguiente ejercicio.
Ejercicio 1 Grafique la función de distribución conjunta para los Ejemplos 1 y 2.
Definición 4 La función de probabilidad marginal de la v.a. X es
X
X
PX (ai ) =
P(X,Y ) (ai , bj ) =
P (X = ai , Y = bj ), ∀ai .
j
(4)
j
donde P(X,Y ) es la función de probabilidad conjunta del vector (X, Y ) con valores {(ai , bj )}i,j .
La función de probabilidad marginal de Y se halla análogamente sumando en i la
función de probabilidad conjunta.
En el Ejemplo 1, es sencillo comprobar que la función de probabilidad marginal para
X es
ai
0
1
P (X = ai ) 1/2 1/2
y para Y
bj
P (Y = bj )
1
2
3
4
5
6
1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
Definición 5 Se dice que las v.a. X y Y son independientes si para todos los valores
{(ai , bj )}
P (X = ai , Y = bj ) = P (X = ai )P (Y = bj ).
(5)
En el Ejemplo 1 las v.a. X y Y son independientes, mientras que en el Ejemplo 2 son
dependientes y para demostrarlo basta que no se cumpla la igualdad (5) para un par de
valores especı́ficos.
4 2
4 2
P (X = 1, Y = 0) = 0 6=
1
2 ·
6
3
2
3
6
3
0 = P (X = 1)P (Y = 0).
Proposición 2 Sea g : R2 7→ R, la esperanza matemática o valor esperado de la v.a.
g(X, Y ) se calcula mediante la expresión
XX
E[g(X, Y )] =
g(ai , bj )P (X = ai , Y = bj )
(6)
i
j
Definición 6 La covarianza y el coeficiente de correlación lineal se calculan mediante las
siguientes expresiones respectivamente
cov(X, Y )
.
cov(X, Y ) = E[XY ] − EX · EY y ρ = p
V (X)V (Y )
(7)
En el Ejemplo 1, se tiene que la covarianza y el coeficiente de correlación lineal es 0.
Ejercicio 2 Calcule el coeficiente de correlación lineal para las v.a. del Ejemplo 2.
La siguiente proposición incluye resultados tratados durante el semestre y que se cumplen para v.a. en general.
Proposición 3 Sean X y Y v.a. entonces
a) X y Y v.a. independientes =⇒ E[XY ] = EX · EY y cov(X, Y ) = 0.
b) V (X + Y ) = V (X) + V (Y ) + 2 cov(X, Y ).
b) X y Y v.a. independientes =⇒ V (X + Y ) = V (X) + V (Y ).
Definición 7 Sea bj un valor de la v.a. Y fijo, se denomina distribución condicional de
X dado Y = bj a la v.a. que toma valores ai con probabilidad
P (X = ai |Y = bj ) =
P (X = ai , Y = bj )
P (Y = bj )
a la v.a se le denota X|Y = bj .
En el Ejemplo 1, la v.a. X|Y = 6 toma valores 0 y 1 cada uno con probabilidad 1/2
dado que X y Y son independientes. Sin embargo, en el Ejemplo 2 la v.a. X|Y = 1 solo
toma el valor 2 con probabilidad 1.
3
