Universidad de Costa Rica
Facultad de Ciencias
Escuela de Matemática
Departamento de Matemática Aplicada
CÁTEDRA DE MA-0001 PRECÁLCULO
II CICLO 2023
PRÁCTICA PARA EL SEGUNDO EXAMEN PARCIAL
1.
I PARTE. RESPUESTA CORTA
Escriba en el espacio indicado la respuesta de lo que se le solicita
1. Considere la función g definida en su dominio máximo y codominio R,
x2 − 2x − 15
g(x) =
. Determine:
5−x
a) El dominio máximo de g
b) El punto de intersección entre la gráfica de g y el eje y.
c) El punto de intersección entre la gráfica de g y el eje x.
d ) El criterio simplificado al máximo
2. Considere la función f : R − {−1} → R, f (x) =
f (x) = C(x) +
x2 + 1
, al reescribir el criterio como
x+1
R(x)
, el polinomio C(x) corresponde a
Q(x)
√
2+ x−4
3. Considere la función h : Dh → R tal que h(x) = √
. La fracción unitaria
3
x−1+5
por la cual se debe multiplicar h(x) para racionalizar el numerador corresponde a
√
√
4. Considere la función f : Df → R tal que f (x) = x + 5 − x . La fracción unitaria por la cual se debe multiplicar h(x) para racionalizar el criterio corresponde a
5. El dominio máximo de la función j definida por j(x) =
a
√
√
x + 9 − −x + 1 corresponde
6. El denominador común (mı́nimo común múltiplo) para realizar la suma de fracciones
A
Bx + C
en el criterio de j(x) =
+ 2
corresponde a
x+1
x +1
7. Si se sabe que f : R → R definida como f (x) = 2x3 + 8x2 − x + 1, el criterio de f (x + h)
corresponde a
1
2.
II PARTE. DESARROLLO
1. Considere la función g definida en su dominio máximo y codominio R tal que
3x4 − 2x2 + x − 3
.
g(x) =
x2 − 4
R(x)
Reescriba g(x) de la forma: g(x) = C(x) +
con C(x), R(x) y Q(x) son polinomios
Q(x)
y Q(x) ̸= 0.
2. Considere la función f : Df → R tal que f (x) =
x4 − 3x3 + 2x − 1
x3 + 2x2 + 2x + 1
a) Reescriba f (x) de la forma: f (x) = C(x) +
R(x)
con C(x), R(x) y Q(x) son
Q(x)
polinomios y Q(x) ̸= 0.
b) Determine la descomposición en fracciones parciales de
R(x)
.
Q(x)
3. Considere los criterios de cada función racional definida en su dominio máximo y codominio R. Determine la descomposición en fracciones parciales de cada criterio.
2x2 − x + 1
2x3 − x2 + 2x − 1
4x2 − 1
b) f (x) =
(x − 2)(x2 + 1)
a) g(x) =
4. Considere la función g definida a partir de una función f :
g : R − {0} → R; g(h) =
f (x + h) − f (x)
h
Simplifique al máximo g(h) de tal forma que se cancele h usando que f (x) = x2 −5x+8.
√
√
5. Considere las funciones f y g definidas por f (x) = 3 x + 4 + 1 y h(x) = x + 4 − x + 2.
Para cada una:
a) Determine el dominio máximo.
b) Los puntos de intersección de la gráfica de cada función con el eje x, si existen.
6. Racionalice el criterio de la función y simplifique, al máximo, si se puede.
f : R → R, f (x) = √
3
2
x−8
√
x2 + 2 3 x + 4
7. Racionalice el criterio de la función y simplifique, al máximo, si se puede.
√
− u+4+3
g :] − 4, +∞[−{5} → R, g(u) =
u−5
Nota: Se debe cancelar el factor u − 5.
7π
−5π
8. Considere los siguientes ángulos en posición estándar
y
. Para cada uno de
6
4
ellos, determine:
a) El cuadrante en el cual se encuentra el rayo final.
b) Un ángulo coterminal negativo que pertenezca al intervalo ]−4π, −2π[.
c) El ángulo de referencia.
9. El ángulo β en posición estandar contiene al punto (−6, −8) en su rayo final. Determine:
a) El punto de intersección del rayo final de β con la circunferencia trigonométrica.
b) El valor de csc(β) − tan(β).
10. Considere la siguiente representación gráfica del ángulo α en posición estandar:
Determine lo que se le solicita.
a) La coordinada x del punto P .
b) El valor de sen(α), cos(α) y tan(α)
11. El ángulo θ en posición estandar para el cual sen(θ) =
5
y sec(θ) < 0. Determine:
13
a) El punto de intersección del rayo final de θ con la circunferencia trigonométrica.
b) El valor de cos(θ) y tan(θ).
12. Una escalera de 3 m apoyada a una pared genera un ángulo con el piso de 55◦ . Determine
la altura a la que se encuentra la cima de la escalera.
3
13. Desde la cima de un faro se observa un barco que navega mar adentro en linea recta. La
primera vez se observa el barco el ángulo de depresión es de 60◦ y el barco se encuentra
a 2 km de la base del faro. La segunda vez que se obseva el barco el ángulo de depresión
es de 30◦ . Detemine, en la segunda vez que se observa el barco, la distancia del mismo
a la base del faro.
4
UNA RESPUESTA DE LOS EJERCICIOS
I PARTE. RESPUESTA CORTA
1.
a) R − {5}.
b) (0, −3).
c) (−3, 0).
d ) g(x) = −(x + 3).
2. C(x) = x − 1.
√
2− x−4
√
.
3.
2− x−4
√
√
x+5+ x
4. √
√ .
x+5+ x
5. Dj = [−9, 1].
6. (x + 1)(x2 + 1).
7. f (x + h) = 2(x + h)3 + 8(x + h)2 − (x + h) + 1.
II PARTE. DESARROLLO
1. g(x) = 3x2 + 10 +
2.
3.
x + 37
.
x2 − 4
8x2 + 11x + 4
.
x3 + 2x2 + 2x + 1
8x2 + 11x + 4
7x + 3
1
b) 3
= 2
+
.
2
x + 2x + 2x + 1
x +x+1 x+1
3x − 1
4
x+2
3
a) g(x) =
+
.
b) f (x) = 2
+
.
2
5(x + 1) 5(2x − 1)
x +1 x−2
a) f (x) = x − 5 +
4. g(h) = h + 2x − 5.
5.
a) Df = R y Dh = [−4, +∞[
b) Para f : el punto de intersección con el eje x es (−5, 0). Para h : el punto de
intersección con el eje x es (5, 0)
√
6. f (x) = 3 x − 2
5
−1
√
3+ u+4
7. g(u) =
−5π
7π
y
. Para cada uno de
8. Considere los siguientes ángulos en posición estándar
6
4
ellos, determine:
7π
Para
:
6
π
−17π
a) III cuadrante.
c) .
b)
6
6
Para
−5π
:
4
a) II cuadrante.
9.
10.
11.
a)
b)
−13π
4
−3 −4
,
.
5 5
c)
b)
√ !
1 − 3
a) P
,
.
2 2
√
− 3
.
b) sen(α) =
2
1
cos(α) = .
2√
tan(α) = − 3.
√ !
−12 − 5
a) P
,
.
13
13
−31
.
12
−12
.
13
−5
tan(θ) =
.
12
b) cos(θ) =
12. 2,45 m.
13. 6 m.
6
π
.
4
