FUNCIONES MATEMÁTICAS PORTAFOLIO DE EVIDENCIAS Primer parcial Equipo, Tamal de Chile Verde: Gasca González Juan Pablo, Lara Ariza Abraham Isaí, Olivares Miranda Merari Jocelyn A 20 DE FEBRERO DE 2024 | DOCENTE: M.C. Paulo Aarón Aguirre Álvarez Índice ÍNDICE DE FIGURAS ............................................................................................. 3 Introducción ............................................................................................................. 5 Active recall 1 ...................................................................................................... 5 Tarea 1 .................................................................................................................... 6 Repaso de álgebra .................................................................................................. 7 Active recall 2 ...................................................................................................... 8 Tema: Ángulos......................................................................................................... 9 Active recall 3 .................................................................................................... 11 Tema: Ángulos, tipos y unidades de medición....................................................... 12 Active recall 4 .................................................................................................... 14 Tema: Determinación de ángulos a partir de sus relaciones con otros ................. 15 Active recall 5 .................................................................................................... 16 Tema: Funciones trigonométricas.......................................................................... 17 Active recall 6 .................................................................................................... 18 Tema: Triángulos semejantes ................................................................................ 19 Active recall 7 .................................................................................................... 19 Tema: Ley de senos y cosenos ............................................................................. 20 Active recall 8 .................................................................................................... 21 Tarea 2 .................................................................................................................. 22 Tema: Identidades trigonométricas........................................................................ 22 Active recall 9 .................................................................................................... 23 Tema: Pendiente de la recta .................................................................................. 24 Tarea 3 .................................................................................................................. 24 Active recall 10 .................................................................................................. 25 Tema: Determinación de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos .......... 26 Active recall 11 ................................................................................................... 29 Active recall 12 .................................................................................................. 32 Tema: Circunferencia en centro (h, k) ................................................................... 33 Active recall 13 .................................................................................................. 35 Tarea 4 .................................................................................................................. 36 Página | 1 Active recall 14 .................................................................................................. 38 Tema: Fórmulas de la circunferencia ..................................................................... 39 Active recall 15 .................................................................................................. 41 Tema: Fórmulas de la parábola ............................................................................. 42 Active recall 16 .................................................................................................. 43 Tema: Parábolas con vértices en (𝒉, 𝒌) ................................................................. 44 Active recall 17 .................................................................................................. 45 Tema: Ecuación general de la parábola ................................................................ 46 Active recall 18 .................................................................................................. 50 Active recall 19 .................................................................................................. 59 Tema: Análisis de la elipse .................................................................................... 60 Active recall 20 .................................................................................................. 61 Página | 2 ÍNDICE DE FIGURAS Figura 1. Plano formado por la función. .................................................................. 5 Figura 2. Partes de un monomio. ............................................................................ 7 Figura 3. Leyes de los signos. ................................................................................. 7 Figura 4. Leyes de los exponentes.......................................................................... 7 Figura 5. Productos notables................................................................................... 8 Figura 6. Relación de ángulos. .............................................................................. 15 Figura 7. Suma de ángulos internos de un triángulo. ............................................ 15 Figura 8. Ejercicios identificación del ángulo. ........................................................ 16 Figura 10. Identificación de co, ca y h en un triángulo rectángulo ......................... 17 Figura 9. Gráfica función seno y coseno. .............................................................. 17 Figura 11. Triángulo rectángulo ejemplo 1............................................................. 17 Figura 12. Triángulos rectángulos ejemplos 2 y 3. ................................................ 17 Figura 13. Triángulo semejante. ............................................................................ 19 Figura 14. Ejemplo ley de senos. .......................................................................... 20 Figura 15. GeoGebra, gráfica de recta 1. .............................................................. 27 Figura 16. GeoGebra, gráfica de recta 2. .............................................................. 28 Figura 17. GeoGebra, gráfica de recta 3. .............................................................. 29 Figura 18. GeoGebra, gráfica de recta 4. .............................................................. 30 Figura 19. GeoGebra, gráfica de recta 5. .............................................................. 31 Figura 20. GeoGebra, gráfica de circunferencia 1................................................. 33 Figura 21. GeoGebra, gráfica de circunferencia 2................................................. 34 Figura 22. GeoGebra, gráfica de circunferencia 3................................................. 35 Figura 23. GeoGebra, gráfica de recta 6. .............................................................. 37 Figura 24. GeoGebra, gráfica de circunferencia 4................................................. 40 Figura 25. GeoGebra, gráfica de circunferencia 5................................................. 41 Figura 26. Ejemplo de parábolas en el vértice. ..................................................... 43 Figura 27. Parábolas con deslizadores. ................................................................ 45 Figura 28. Parábola 1, ejercicios. .......................................................................... 47 Figura 29. Parábola 2, ejercicios. .......................................................................... 48 Figura 30. Parábola 3, ejercicios. .......................................................................... 49 Figura 31. Parábola 4, ejercicios. .......................................................................... 50 Figura 32. Recta 1, ejercicios finales. .................................................................... 51 Figura 33. Recta 2, ejercicios finales. .................................................................... 52 Figura 34. Recta 3, ejercicios finales. .................................................................... 53 Figura 35. Circunferencia 1, ejercicios finales. ...................................................... 54 Figura 36. Circunferencia 2, ejercicios finales. ...................................................... 55 Figura 37. Circunferencia 3, ejercicios finales. ...................................................... 56 Figura 38. Parábola 1, ejercicios finales. ............................................................... 57 Figura 39. Parábola 2, ejercicios finales. ............................................................... 58 Figura 40. Parábola 3, ejercicios finales. ............................................................... 59 Figura 41. Elipses 1 y 2 respectivamente. ............................................................. 60 Página | 3 Página | 4 08/01/2024 Introducción Consideraciones previas de la materia: • Resumen post – clase. • Exposiciones español – inglés. • Tareas por equipo (coevaluación). • Examen por equipo. 𝑥−→ variable independiente, eje horizontal (siempre la independiente). 𝑦 −→ variable independiente, eje vertical (siempre la dependiente). • Función. Expresión matemática que nos permite conocer valores. Ejemplo: 𝑥 = 𝑦 −→ 𝑓(𝑥) = 𝑥 x y 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 Figura 1. Plano formado por la función. Active recall 1 Durante la primera sesión de la clase vimos primeramente una introducción a las dimensiones, en donde analizamos el primer plano (una dimensión), el segundo plano (segundo plano) y el tercer plano (tres dimensiones). En ellos podemos encontrar sus respectivas variables, las cuales pueden ser tanto dependientes como independientes, las independientes se encuentran siempre en el eje horizontal y las dependientes siempre en el vertical todo esto sin importar el nombre que se le dé a la variable. Estas forman parte de las funciones, una función es una expresión matemática que nos permite conocer valores y estar representada por la letra 𝑓. Página | 5 Tarea 1 Leer y resumir 2do. capítulo del libro de matemáticas. • Función: De un conjunto 𝑥 en un conjunto 𝑦 es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento 𝑥 en 𝑋 exactamente un elemento 𝑦 en 𝑌. El conjunto 𝑥 se llama dominio de 𝑓. El único elemento 𝑦 en el rango que corresponde a un elemento 𝑥 selecto en el dominio 𝑋 se denomina valor de la función 𝑥, se escribe 𝑓(𝑥), 𝑦 = 𝑓(𝑥). El conjunto de elementos correspondientes 𝑦 en el conjunto 𝑌 se denomina rango de la función. • Dominio: Mayor subconjunto del conjunto de números reales para los que 𝑓(𝑥) es un número real. Ejemplo: Determine el dominio y rango de 𝑓(𝑥) = 4 + √𝑥 − 3. 1. El radicando 𝑥 − 3 debe ser no negativo. Al resolver la desigualdad 𝑥 − 3 ≥ 0 se obtiene 𝑥 ≥ 3 , de modo que el dominio es [3, ∞). 2. El símbolo √ denota la raíz cuadrada no negativa de un número, √𝑥 − 3 ≥ 0 para 𝑥 ≥ 3, en consecuencia 4 + √𝑥 − 3 ≥ 4. El menor valor de 𝑓(𝑥) ocurre en 𝑥 = 3 y es 𝑓(3) = 4 + √0 = 4. 𝑥 − 3 y √𝑥 − 3 aumenta cuando 𝑥 crece, se concluye que 𝑦 ≥ 4. El rango es [4, ∞). Página | 6 10/01/2024 Repaso de álgebra Terminología: 1. Partes de un monomio. Figura 2. Partes de un monomio. 2. Leyes de signos. Figura 3. Leyes de los signos. 3. Leyes de exponentes. Figura 4. Leyes de los exponentes. 4. Productos notables. Página | 7 Figura 5. Productos notables. Active recall 2 En esta clase se realizó un breve repaso a algunas cosas sencillas de álgebra, se comenzó definiendo las partes de un término, las cuales son el coeficiente, variable (cuando tiene más de una se le llama parte literal) y exponente, tiene el nombre de monomio porque es 1, polinomio si son varios. A continuación, se repasó las leyes de los signos, viendo porque o que sucede cuando estos se multiplican. Se dio una breve explicación de las leyes de los exponentes en donde se toma en cuenta que esas operaciones aplican cuando se tiene un mismo coeficiente. Se repaso los productos notables, su secuencia de resolución, el orden de las operaciones, etc. Al finalizar la clase se vio los métodos de factorización, binomio al cuadrado perfecto, conjugado, diferencia de cuadrados. Página | 8 12/01/2024 Tema: Ángulos Porción del plano comprendida entre dos semirrectas (lados), origen común llamado “vértice”, parten de un punto y tienen dos líneas que salen de ahí generando una apertura representada por un arco. Ángulos en sistema sexagesimal • Ejercicio 1. Convertir 15.925° a grados, minutos y segundos. 1. 0.925 ∗ 60 = 55.5 2. 0.5 ∗ 60 = 30 3. Resultado = 15°55′30′′ • Ejercicio 2. Convertir 32.03° a grados, minutos y segundos. 1. 0.03 ∗ 60 = 1.8 2. 0.8 ∗ 60 = 48 3. Resultado = 32°1′48′′ • Ejercicio 3. Convertir 273.25° a grados, minutos y segundos. 1. 0.25 ∗ 60 = 15 2. 0.0 ∗ 60 = 0 3. Resultado = 273°15′0′′ • Ejercicio 4. Convertir 62.132° a grados, minutos y segundos. 1. 0.132 ∗ 60 = 7.92 2. 0.92 ∗ 60 = 55.2 3. Resultado = 62°7′ 55.2′′ • Ejercicio 5. Convertir 180.34° a grados, minutos y segundos. 1. 0.34 ∗ 60 = 20.4 2. 0.4 ∗ 60 = 24 3. Resultado = 180°20′24′′ Al contrario, convertir 32°22′30′′ a grados. 30 1. 3600 = 8.33𝑥10−3 Página | 9 22 2. 60 = 0.36 3. 32 + 0.36 + 8.33𝑥10−3 = 32.368° Formulario acerca de figuras geométricas (área y perímetro): Página | 10 Active recall 3 Durante la clase se exploró el tema de los ángulos, al inicio se nos dios un breve dictado sobre lo que hace referencia la palabra ángulo, este es una porción comprendida en un plano, tiene su origen en un vértice y tiene dos líneas a cada lado que generan una apertura. Seguidamente de eso se realizaron varios ejercicios en donde teníamos que hacer la conversión de los ángulos a grados a ángulos en sistema sexagesimal (grados, minutos y segundos). El método a seguir es que primero la cantidad en grados se pone normal, después se hace con su parte decimal se multiplica por 60, la parte entera se anota y la decimal la multiplicamos de nuevo por 60, se anoa todo el número y se acomoda conforme a grados, minutos y segundos. Para el contrario solo es dividir la cantidad de segundos entre 3600, la de minutos entre 60 y sumar todos los resultados. Además se realizó un pequeño formulario sobre las fórmulas de área y perímetro de las figuras que nos dictó el profesor, esto para tener una ayuda en nuestro primer examen que se nos aplicará. Página | 11 16/01/2024 Tema: Ángulos, tipos y unidades de medición Los ángulos se miden en grados y radianes. El factor de conversión entre ellos sería: 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 360° ó 𝜋 𝑟𝑎𝑑 = 180° • Ejercicio 1. Convierte 45° a radianes. Método a): 180° − − 𝜋 𝑟𝑎𝑑 45° − −𝑥 45° ∗ 𝜋 𝑟𝑎𝑑 1 ° = 0.785 𝑟𝑎𝑑 ó 𝜋 𝑟𝑎𝑑 180 4 Método b): 45° ∗ • 𝜋 𝑟𝑎𝑑 1 ° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑 ó 0.785 𝑟𝑎𝑑 180 4 3 Ejercicio 2. Convierte 4 𝜋 𝑟𝑎𝑑 a grados. 𝜋 𝑟𝑎𝑑 − −180° 3 𝜋 𝑟𝑎𝑑 − −𝑥 4 3 4 𝜋 𝑟𝑎𝑑 ∗ 180° = 3 ∗ 180° = 135° 𝜋 𝑟𝑎𝑑 4 • Ejercicio 3. Convierte 36°20′30′′ a 𝜋 𝑟𝑎𝑑. 30 = 8.33𝑥10−3 3600 20 = 0.33 60 36 + 8.33𝑥10−3 + 0.33 = 36.34° 180° − − 𝜋 𝑟𝑎𝑑 36.34° − −𝑥 36.34° ∗ 𝜋 𝑟𝑎𝑑 114.165 = = 0.634 𝑟𝑎𝑑 180° 180° • 4 Ejercicio 4. Convierte 5 𝜋 𝑟𝑎𝑑 a °,′ , ′′. 𝜋 𝑟𝑎𝑑 − −180° Página | 12 4 𝜋 𝑟𝑎𝑑 − −𝑥 5 4 𝜋 𝑟𝑎𝑑 ∗ 180° 4 5 = ∗ 180° = 144° 𝜋 𝑟𝑎𝑑 5 Como no tiene decimales para calcular los minutos y segundos, se queda la solución como: 144°0′ 0′′ 6 • Ejercicio 5. Convierte 7 𝜋 𝑟𝑎𝑑 𝑎 °,′ ,′′ 𝜋 𝑟𝑎𝑑 − −180° 6 𝜋 𝑟𝑎𝑑— 𝑥 7 6 7 𝜋 𝑟𝑎𝑑 ∗ 180° = 6 ∗ 180° = 154.2857° 𝜋 𝑟𝑎𝑑 7 1. 0.2857 ∗ 60 = 17.142 2. 0.142 ∗ 60 = 8.52 3. Resultado = 154°17′ 52′′ Tipos de ángulos Según su amplitud Según la relación con otro Según su posición ángulo • Nulo, mide 0° • • Agudo, mide 0° − • 90° Suplementarios, • Consecutivos, suman 180° comparten un lado y Complementarios, un vértice • Adyacentes, son • Recto, mide 90° • Obtuso, mide 90° − consecutivos 180° lado • Llano, mide 180° • Cóncavo, Completo, 360° mide el no forma parte de la misma recta • Opuestos por vértice, comparten un vértice, ningún lado Página | 13 y que comparten mide +180° • suman 90° el pero Active recall 4 En la clase del día de hoy lo que vimos fue empezar con el tema de la conversión de grados a radianes, le profesor nos comentó que de vez en cuando depende de la calculadora el resultado podría quedar en fracción y 𝜋 𝑟𝑎𝑑 ó en decimales los radianes. Básicamente lo que se hace es una regla de tres, multiplicando los grados por 𝜋 𝑟𝑎𝑑 y dividiéndolo entre 180°, el resultado será en radianes. Mientras que lo inverso sería multiplicar la cantidad de radianes por 180° y el resultado será en grados, se combino esto con lo que se vio en la clase anterior y se hicieron ejercicios solo un poco más largos. Al final solo se anotó un apunte rápido acerca de la clasificación de los ángulos. Página | 14 17/01/2024 Tema: Determinación de ángulos a partir de sus relaciones con otros Existe la relación de los ángulos de acuerdo si son alternos internos o alternos externos. Figura 6. Relación de ángulos. La suma de los ángulos internos de un triángulo es 180°. Figura 7. Suma de ángulos internos de un triángulo. A continuación, se adjuntarán imágenes de los ejercicios que se realizaron en clase (en equipo y en modo de competencia) en donde dentro de la figura que el profesor indicará se tenía que buscar el ángulo señalado aplicando los conocimientos anteriores. Página | 15 Figura 8. Ejercicios identificación del ángulo. Active recall 5 Durante la clase analizamos los ángulos y su relación de unos con otros, la suma de los ángulos internos de un triángulo que es 180° y también que entre líneas paralelas hay ángulos internos alternos y externos alternos. Se realizaron ejercicios para sacar el ángulo mediante la deducción de que tienen que sumar 180° dentro de un triángulo y tomando en cuenta las relaciones con otros. En el primer ejercicio vimos que es sencillo sacarlo mediante el ángulo adyacente, se suman los dos ángulos y después estos se le restan a la cantidad de 180°. Los demás se hicieron de una forma similar, pero como todo fue un tipo competencia nuestro equipo no ganó ningún punto ya que tardamos en resolverlos. Página | 16 18/01/2024 Tema: Funciones trigonométricas 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 𝑐𝑜 ℎ 𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 𝑐𝑎 ℎ 𝑡𝑎𝑛(𝑥) = 𝑐𝑜 𝑐𝑎 𝑡𝑎𝑛(𝛼) = 𝑠𝑒𝑛(𝛼) 𝑐𝑜𝑠(𝛼) Figura 10. Gráfica función seno y coseno. Figura 9. Identificación de co, ca y h en un triángulo rectángulo Teorema de Pitágoras: 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 Nota: Solo para triángulos rectángulos • Ejemplo 1. Determina el 𝑐𝑜 y ℎ del siguiente triángulo rectángulo. 1. Para 𝑐𝑜: tan(30°) = 𝑐𝑜 4 4 ∗ tan(30°) = 𝑐𝑜 2.3094 = 𝑐𝑜 2. Para ℎ: 4 cos(30°) = ℎ Figura 11. Triángulo rectángulo ejemplo 1 ℎ = 4 ∗ cos(30°) ℎ = 4.6188 • Ejemplo 2 y 3. Determina el 𝑐𝑎 − ℎ,𝑐𝑎 − 𝑐𝑜. 5 5 5 tan(40°) = 𝑐𝑎 −→ 𝑐𝑎 = tan(40°) = 0.839 𝑐𝑎 = 5.959 ℎ = √52 + 5.952 = √25 + 35.509 = √60.509 = 7.778 Página | 17 Figura 12. Triángulos rectángulos ejemplos 2 y 3. 𝑐𝑎 𝑐𝑜𝑠(47°) = 7 𝑐𝑜 𝑠𝑒𝑛(47°) = 7 𝑐𝑎 = 7 ∗ 𝑐𝑜𝑠(47°) = 4.77 𝑐𝑜 = 7 ∗ 𝑆𝑒𝑛(47°) = 5.11 Active recall 6 En esta clase se vio el tema de funciones trigonométricas, en la clase se abordaron las funciones trigonométricas las cuales son: 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 𝑐𝑜 ℎ , 𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 𝑐𝑎 ℎ , 𝑡𝑎𝑛(𝑎) = 𝑠𝑒𝑛(𝑎) 𝑐𝑜𝑠(𝑎) . Y se realizó una pequeña grafica donde se muestra cómo queda la función seno y coseno, a lo cual se identificó en un dibujo la identificación de cada uno de estos. Posteriormente se vio la formula del teorema de Pitágoras la cual es: 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 y esta fórmula solo se aplica para los triángulos rectángulos. Para concluir la clase se analizaron 2 ejemplos de los cuales se utilizó la función Para 𝑐𝑜 y se resolvió el ejemplo de la siguiente manera. Se calculo la tangente de 30 grados y esto lo igualamos a CO/4 y lo fuimos realizando hasta que nos quedara el resultado de CO después a CO sacar el coseno de 30 grados es igual a 4/h realizamos la ecuación y nos arroja el valor de H y con este último valor concluimos el ejemplo. En el siguiente ejemplo de se sacó el cateto adyacente al cual se utilizó la fórmula de tangente de 40 grados es igual a 5/ca a lo cual se despeja y no queda 𝑐𝑎 = 5/𝑡𝑎𝑛(40) = 5/0.839 a lo cual esta última operación solo lo dividimos y nos genera el resultado, después determinamos la altura que es la raíz cuadrada de 5 al cuadrado más 5.95 desglosamos la raíz hasta que nos dé el resultado y una vez obteniendo el resultado, seguimos con sacar el cateto adyacente el cual es 𝑐𝑎 = 7 ∗ 𝑐𝑜𝑠(47) y esto nos genera el resultado de 𝐶𝐴 y para encontrar 𝐶𝑂 = 7 ∗ 𝑠𝑒𝑛(47) y obtenemos el ultimo resultado y con este concluyendo este tema. Página | 18 19/01/2024 Tema: Triángulos semejantes Resolver los valores solicitados del siguiente triángulo rectángulo aplicando las fórmulas y conocimientos tratados anteriormente. 𝑐𝑜 𝑡𝑎𝑛(30°) = 4 4 ∗ tan (30°) = 𝑐𝑜 2.3 = 𝑐𝑜 𝑐𝑜1 𝑐𝑎1 𝑐𝑜 2.3 𝑥 = 𝑐𝑎2 → 4 = 7 → 2 (2.3)(7) 4 → 𝑥=4 Figura 13. Triángulo semejante. Active recall 7 En esta clase se trabajó con la siguiente actividad realizada en clase, en la cual se implementaron las fórmulas vistas anteriormente, en la actividad se tuvo un triángulo semejante con un ángulo de 30° con un lado de 4 y 7 con una h es de 2.2 y se realizó las siguientes operaciones 𝑡𝑎𝑛(30°) = 𝑐𝑜/4 y se observa de la siguiente manera 4 ∗ 𝑡𝑎𝑛(30°) = 𝑐𝑜 y esto nos da como resultado 2.3=co y por ultimo simplemente 𝑐𝑜1/𝑐𝑜1 = 𝑐𝑜2/𝑐𝑜2 es igual a 2.3/4𝑚 = 𝑥/7 y es lo mismo que (2.3)(7)/4= y el resultado final de la operación es x=4 con esto se finaliza esta actividad del día de hoy base las fórmulas se fue desglosando la actividad y se obtienen los resultados. Página | 19 22/01/2024 Tema: Ley de senos y cosenos Las leyes del seno y del coseno son relaciones que nos permiten encontrar la longitud de un lado de un triángulo o la medida de uno de sus ángulos. Dependiendo de la información que tengamos disponible podemos usar la ley de los senos o la ley de los cosenos. La ley de los senos relaciona la longitud de un lado con el seno de su ángulo y la ley de los cosenos relaciona a la longitud de dos lados del triángulo con su ángulo intermedio. Ley de senos Ley de cosenos 𝑎2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 − 2𝑏𝑐𝐶𝑜𝑠(𝛼) 𝑏 2 = 𝑎2 + 𝑐 2 − 2𝑎𝑐𝐶𝑜𝑠(𝛽) 𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2 − 2𝑎𝑏𝐶𝑜𝑠(𝛾) Figura 14. Ejemplo ley de senos. 𝑎 𝑏 𝑐 = = 𝑠𝑒𝑛(𝛼) 𝑠𝑒𝑛(𝛽) 𝑠𝑒𝑛(𝛾) • Ejemplo 1: Sea un triángulo cuyos ángulos ∝= 40°, 𝛽 = 80° y el lado 𝑎 = 12. ¿Cuál es la longitud del lado 𝑏? 12 𝑏 12 𝑠𝑒𝑛(50°) 12 ∗ 0.766 9.192 = →𝑏= = = 𝑠𝑒𝑛(40°) 𝑠𝑒𝑛(50°) 𝑠𝑒𝑛(40°) 0.642 0.642 𝑏 = 14.317 • Ejemplo 2: Cual es la medida del ángulo 𝛼en un triangulo si es que 𝑎 = 10, 𝛽 = 30° 𝑦 𝑏 = 8? 10 8 8 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = → 10 = 𝑠𝑒𝑛(𝛼) 𝑠𝑒𝑛(30°) 𝑠𝑒𝑛(30°) 𝑠𝑒𝑛(𝛼) = Página | 20 10 𝑠𝑒𝑛(30°) 8 10 𝑠𝑒𝑛 (30°) 𝑠𝑒𝑛−1 ( )=𝛼 8 10 ∗ 0.5 5 ) = 𝑠𝑒𝑛−1 ( ) = 𝑠𝑒𝑛−1 (0.625) = 36.682° 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛−1 ( 8 8 • Ejemplo 3: Cual es la longitud de 𝑐 si es que tenemos los lados 𝑎 = 8, 𝑏 = 7 y el 𝛾 = 40°. 𝑐 2 = √82 + 72 − 2(8)(7)𝑐𝑜𝑠(40°) = √64 + 49 − 112𝑐𝑜𝑠(40°) 𝑐 = √113 − (112 ∗ 0.766) = √113 − 85.792 = √27.208 = 5.216 Active recall 8 En este tema se trató las leyes de los senos y cosenos que son relaciones que nos permiten encontrar la longitud de un lado de un triángulo o la medida de uno de sus lados y una vez entendido esto se pasa a lo siguiente. La ley de los senos relaciona la longitud de un lado con el seno de su ángulo y la ley de los cosenos relaciona a la longitud de dos lados del triángulo con su ángulo intermedio y se representa de la siguiente manera, la ley de los cosenos 𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − 2𝑏𝑐𝐶𝑜𝑠(𝑎); 𝑏2 = 𝑎2 + 𝑐2 − 2𝑎𝑐𝐶𝑜𝑠(𝐵); 𝑐2 = 𝑎2 + 𝑏2 − 2𝑎𝑐𝐶𝑜𝑠(𝑌). Y las fórmulas de 𝑎/𝑠𝑒𝑛(𝑎) = 𝑏/ 𝑠𝑒𝑛(𝐵) = 𝑐/𝑠𝑒𝑛(𝑦). Y se realizaron 3 ejemplos de los cuales 2 de ellos se resolvieron utilizando las leyes de los senos y el ultimo se realizó sacando la ley de los cosenos lo cual solo fue sustituir los valores dados en los ejemplos en la ecuación e ir despegando en ellas hasta obtener el resultado y hasta ahí termina. Página | 21 25/01/2024 Tarea 2 ¿Por qué se le llama “Seno”? Proviene del latín “sinus” que significa curva o doblez. El término se adoptó en la Europa medieval a través de la traducción de obras matemáticas y astronómicas árabes al latín. Los matemáticos europeos eligieron esta palabra conservando la idea de una curva o doblez que se relaciona con las propiedades geométricas de los triángulos. Tema: Identidades trigonométricas 𝑠𝑒𝑛(𝛼) • 𝑡𝑔 = 𝑐𝑜𝑠(𝛼) • 𝑠𝑒𝑐(𝛼) = 𝑐𝑜𝑠(𝛼) • 𝑠𝑒𝑛2 (𝛼) + c𝑜𝑠 2 (𝛼) = 1 • 𝑐𝑠𝑐 2 (𝛼) − 𝑐𝑡𝑔2 (𝛼) = 1 • 𝑠𝑒𝑐 2 (𝛼) − 𝑡𝑔2 (𝛼) = 1 • 𝑠𝑒𝑛2 (𝛼) = 2 (1 − 𝑐𝑜𝑠(2𝛼)) • 𝑐𝑜𝑠 2 (𝛼) = 2 (1 + cos(2𝛼)) • 𝑠𝑒𝑛(𝛼) ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝛼) = 2 𝑠𝑒𝑛(2𝛼) • 1 − 𝑐𝑜𝑠(𝛼) = 2𝑠𝑒𝑛2 ( 2 ) • 1 + cos(𝛼) = 2𝑐𝑜𝑠 2 ( 2 ) • 𝑐𝑡𝑔(𝛼) = 𝑆𝑒𝑛(𝛼) = 𝑡𝑔(𝛼) • csc(𝛼) = 𝑆𝑒𝑛(𝛼) • 𝑠𝑒𝑛2 (𝛼) = (𝑠𝑒𝑛(𝛼))2 1 1 1 1 𝛼 𝛼 𝐶𝑜𝑠(𝛼) 1 1 Página | 22 Recíprocos: 𝑆𝑒𝑛 𝐶𝑜𝑠 𝑇𝑔 ↓ ↓ ↓ 𝐶𝑠𝑐 𝑆𝑒𝑐 𝐶𝑡𝑔 Ejercicio: Simplificar las siguientes expresiones. a) 𝑠𝑒𝑛(𝛼)+𝑐𝑜𝑠2 (𝛼) 𝑠𝑒𝑐(𝛼) 1 = 𝑠𝑒𝑐(𝛼) = 𝑐𝑜𝑠(𝛼) b) 𝑠𝑒𝑛2 (𝛼) + 𝑐𝑜𝑠 2 (𝛼) − 𝑐𝑠𝑐 2 (𝛼) + 𝑐𝑡𝑔2 (𝛼) = 1 − (𝑐𝑠𝑐 2 (𝛼) − 𝑐𝑡𝑔2 (𝛼) 1−1=0 1 c) 𝑡𝑔(𝛼) ∗ 𝑐𝑡𝑔(𝛼) = 𝑡𝑔(𝛼) ∗ 𝑡𝑔(𝛼) = 1 Active recall 9 En este apartado se realizó una pequeña tarea en la cual se pido buscar porque se llama seno a lo cual se traduce como curva o dobles, como siguiente tenemos que en la clase se vio el tema de entidades trigonométricas por lo cual se miraron muchas fórmulas en el tema, las cuales nos servirían para simplificar las expresiones vistas en la clase, un punto importante fue ver los recíprocos como Sen---CSC, Cos---Sec, Tg --- Ctg. Así mismo se simplificaron las ecuaciones esta lo máximo que se pudo y ahí se terminó la ecuación por lo siguiente se concluyera los ejemplos. Página | 23 29/01/24 Tema: Pendiente de la recta • Pendiente de la recta a partir de las coordenadas de dos puntos: 𝑦2 − 𝑦1 𝑚= 𝑥2 − 𝑥1 • Condición de paralelismo entre dos rectas: 𝑚1 = 𝑚2 • Condición de perpendicularidad entre dos rectas: 𝑚1 = − 1 ó 𝑚1 𝑚2 = −2 𝑚2 Tarea 3 ¿Qué tanto daño hace las luces RGB? o Daño a la retina. Algunos espectros luminosos emitidos por los LED, pueden provocar lesiones en la retina, especialmente en niños menores. o Problemas de sueño. Las luces blancas frías/azuladas, que pueden ser emitidas por las luces RGB, pueden causar efectos perjudiciales en nuestros patrones de sueño. o Distracción. o Generación de calor. Pueden afectar al resto de dispositivos. o Rendimiento de la PC. Puede afectar ligeramente el rendimiento de un sistema en la PC, aunque este efecto puede ser minímo. Es recomendable moderar la exposición a estas luces, especialmente durante la noche y considerar el uso de tonos de luz más cálidos para minimizar los efectos adversos. Página | 24 Active recall 10 Durante esta sesión lo que vimos a grandes rasgos fue la pendiente de la recta, no tuvimos mucho tiempo de explicación acerca de eso en especial debido a que se tomo el tiempo de la sesión para explicar otra cosa relacionada con otros temas, pero ya casi al final el profesor escribió las formulas e hizo referencia a que se debía de aplicar cada una de ellas. También dejó tarea sobre el tema de las luces RGB y esa se hará después analizando si es verdad que tienen graves consecuencias o es algo que se puede frenar. Página | 25 30/01/24 Tema: Determinación de la ecuación de la recta que pasa por dos puntos Son los puntos 𝐴(𝑥1 , 𝑦1 ) y 𝐵(𝑥2 , 𝑦2 ) de la recta que pasa por 𝐴 y 𝐵 y pueden despejarse de la siguiente expresión: 𝑥 − 𝑥1 𝑦 − 𝑦1 = 𝑥2 − 𝑥1 𝑦2 − 𝑦1 Al sustituir los valores en la expresión y reducir lo máximo posible se obtendrá la ecuación de la recta. • Ejemplo 1. Obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝐴(1, 2) y 𝐵(−2, 5). Sustituir en la fórmula: 𝑥−1 𝑦−2 = −2 − 1 5 − 2 𝑥−1 𝑦−2 = −3 3 3(𝑥 − 1) = −3(𝑦 − 2) 3𝑥 − 3 = −3𝑦 + 6 3𝑥 + 3𝑦 − 3 − 6 = 0 3𝑥 + 3𝑦 − 9 = 0 Ecuación final de la recta: 𝑥 + 𝑦 − 3 = 0 Gráfica en GeoGebra: Página | 26 Figura 15. GeoGebra, gráfica de recta 1. • Ejemplo 2. Obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝐴(4, 3) y 𝐵(−2, −4). Sustituir en la fórmula: 𝑥−4 𝑦−3 = −2 − 4 −4 − 3 𝑥−4 𝑦−3 = −6 −7 −7(𝑥 − 4) = −6(𝑦 − 3) −7𝑥 + 28 = −6𝑦 + 18 −7𝑥 + 6𝑦 + 28 − 18 = 0 Ecuación final de la recta: −7𝑥 + 6𝑦 + 10 = 0 Página | 27 Gráfica en GeoGebra: Figura 16. GeoGebra, gráfica de recta 2. • Ejemplo 3. Obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝐴(−2, 2) y 𝐵(3, 2). Sustituir en la fórmula: 𝑥 − (−2) 𝑦 − 2 = 3 − (−2) 2 − 2 𝑥+2 𝑦−2 = 5 0 0(𝑥 + 2) = 5(𝑦 − 2) 0 = 5𝑦 − 10 Ecuación final de la recta: 0 = 𝑦 − 2 Gráfica en GeoGebra: Página | 28 Figura 17. GeoGebra, gráfica de recta 3. Active recall 11 En este tema se determinó la ecuación de la recta que pasa por dos puntos esto hace referencia a los puntos 𝐴(𝑥1 𝑦1) y 𝐵(𝑥2 𝑦2) y se despejan de la siguiente expresión 𝑥 − 𝑥1/𝑥2 − 𝑥1 = 𝑦 − 𝑦1/𝑦2 − 𝑦1 al sustituir los valores en la expresión y reducir lo máximo posible se obtendrá la ecuación de la recta y en general en este tema solo es sustituir los puntos que pasan por la recta en la fórmula anteriormente mencionada así mismo al encontrar las ecuaciones las pasamos a GeoGebra para que se graficaran y con esto se terminó el tema. Página | 29 31/01/2024 Resolver los siguientes ejercicios de acuerdo a las fórmulas vistas anteriormente. • Ejercicio 1. Obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝐴(−2, −2) y 𝐵(−3, −4). Sustituir en la fórmula: 𝑥 − (−2) 𝑦 − (−2) = −3 − (−2) −4 − (−2) 𝑥+2 𝑦+2 = −1 −2 −2(𝑥 + 2) = −1(𝑦 + 2) −2𝑥 − 4 = −𝑦 − 2 −2𝑥 + 𝑦 − 4 + 2 = 0 Ecuación final de la recta: −2𝑥 + 𝑦 − 2 = 0 Gráfica en GeoGebra: Figura 18. GeoGebra, gráfica de recta 4. Página | 30 • Ejercicio 1. Obtener la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝐴(2, 4) y 𝐵(−1, 3). Sustituir en la fórmula: 𝑥−2 𝑦−4 = −1 − 2 3 − 4 𝑥−2 𝑦−4 = −3 −1 −1(𝑥 − 2) = −3(𝑦 − 4) −𝑥 + 2 = −3𝑦 + 12 −𝑥 + 3𝑦 + 2 − 12 = 0 Ecuación final de la recta: −𝑥 + 3𝑦 − 10 = 0 Gráfica en GeoGebra: Figura 19. GeoGebra, gráfica de recta 5. Página | 31 Active recall 12 En esta parte solo trabajo una actividad de sacar la ecuación de la recta que pasa por los puntos 𝐴(−2, −2) y 𝐵(−3, −4) y dos ejercicios más y esto se sustituye en la formula anteriormente vista, una vez despejado en la fórmula y realizado bien los cálculos se procede a graficar el GeoGebra esta actividad solo fue un complemento más de la anterior para que quedara bien entendido el tema y seguir utilizando GeoGebra para practicar. Página | 32 01/02/2024 Tema: Circunferencia en centro (h, k) Fórmula para obtener la circunferencia con un centro (h, k): (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2 Grafica de práctica en GeoGebra de la circunferencia: Figura 20. GeoGebra, gráfica de circunferencia 1. Página | 33 Figura 21. GeoGebra, gráfica de circunferencia 2. Página | 34 Figura 22. GeoGebra, gráfica de circunferencia 3. Active recall 13 En esta clase se vio el tema de Circunferencia en el centro y para comprender este tema se utiliza la fórmula (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2. Una vez vista esta fórmula se procede a graficar en la app de GeoGebra para ver cómo se comportaba la circunferencia para posteriormente seguir editándola y seguir aplicándole más funciones, le ponemos en el radio para ver como siguen en aumento la circunferencia y más que nada en esta clase vio el cómo sacar la circunferencia en la app de GeoGebra porque es parte del tema de examen. Página | 35 02/02/2024 Tarea 4 ¿Cuánto duraría en llegar el retumbar de CDMX? 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 = 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 / 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 En este caso: • Distancia entre CDMX y Santa Cruz de Juventino Rosas es aproximadamente 250 kilómetros. • Velocidad del titán es 89 kilómetros por hora. Sustituyendo en la fórmula: 𝑇𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 = 250 𝑘𝑚 / 89 𝑘𝑚/ℎ = 2.81 ℎ𝑜𝑟𝑎𝑠 Por lo tanto, el titán tardaría aproximadamente 2.81 horas en viajar de Ciudad de México a Santa Cruz de Juventino Rosas a una velocidad constante de 89 kilómetros por hora. Actividad Sean los puntos 𝐴(−1,2), 𝐵(−3,2), 𝐶(2, −1) y 𝐷(2, −3). a) Determinar la ecuación de la recta que pasa por 𝐴 y 𝐵. 𝑥 − (−1) 𝑦−2 = −3 − (−1) 2 − 2 𝑥+1 𝑦−2 = −2 0 0(𝑥 + 1) = −2(𝑦 − 2) Ecuación de la recta ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 : 0 = −2𝑦 + 4 b) Determina el valor de la pendiente. 𝑚= 0 2−2 −3 − (−1) ̅̅̅̅ : 𝑚 = = 0 Pendiente de la recta 𝐴𝐵 −2 Página | 36 c) Determina la ecuación de la recta que pasa por 𝐶 y 𝐷. 𝑥−2 𝑦 − (−1) = 2 − 2 −3 − (−1) 𝑥−2 𝑦+1 = 0 −2 −2(𝑥 − 2) = 0(𝑦 + 1) ̅̅̅̅ : −2𝑥 + 4 = 0 Ecuación de la recta 𝐶𝐷 𝑚= −3 − (−1) 2−2 −2 Pendiente de la recta ̅̅̅̅ 𝐶𝐷: 𝑚 = 0 = ∞ ̅̅̅̅ y 𝐶𝐷 ̅̅̅̅ son paralelas o no. d) Determina si la recta 𝐴𝐵 Teniendo la pendiente de ambas rectas, las igualamos y determinamos que no son paralelas por el simple hecho de no tener la misma pendiente: 𝑚𝐴𝐵 ̅̅̅̅ ≠ 𝑚𝐶𝐷 ̅̅̅̅ e) Grafique en GeoGebra los puntos y rectas. Figura 23. GeoGebra, gráfica de recta 6. Página | 37 Active recall 14 Esta actividad trató de la determinación de la ecuación de la recta que pasa por A y B dado los puntos A, B, C. Asimismo se despeja en la fórmula anterior y se saca la ecuación de la recta y una vez obteniendo la ecuación se determina el valor de la pendiente que es m= y-y1/x2-x1, se siguen despejando las ecuaciones en base a los datos que se proporcionan y se van determinando las ecuaciones que pasan por la recta y en el último problema se saca la igualación y se determina que no son paralelas por el simple hecho de no tener la pendiente. Y por último se grafica cada una de las ecuaciones en la app de GeoGebra los puntos y rectas. Página | 38 07/02/2024 Tema: Fórmulas de la circunferencia • Centro en el origen 𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑟 2 ; 𝑟−→ 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜 • Centro en (ℎ, 𝑘) (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟 2 • Ecuación general de la circunferencia 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 𝐷 = −2ℎ 𝐸 = −2𝑘 𝐹 = ℎ2 + 𝑘 2 − 𝑟 2 Ejemplo 1. Obtener la ecuación general de la circunferencia cuando su centro es (3,4) y su radio es igual a 𝑟 = 9. (𝑥 − 3)2 + (𝑦 − 4)2 = 92 𝑥 2 + 𝑦 2 + (−2(3))𝑥 + (−2(4))𝑦 + (32 + 42 − 92 ) = 0 Ecuación general: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 8𝑦 − 56 = 0 Gráfica en GeoGebra: Página | 39 Figura 24. GeoGebra, gráfica de circunferencia 4. Ejemplo 2. Obtener la ecuación general de la circunferencia cuando su centro es (−2, −1) y su radio es igual a 𝑟 = 1. (𝑥 + 2)2 + (𝑦 + 1)2 = 12 𝑥 2 + 𝑦 2 + (−2(−2))𝑥 + (−2(−1))𝑦 + ((−2)2 + (−1)2 − 12 ) = 0 Ecuación general: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 + 2𝑦 + 4 = 0 Gráfica en GeoGebra: Página | 40 Figura 25. GeoGebra, gráfica de circunferencia 5. Active recall 15 En este tema se trató con las fórmulas de la circunferencia, las cuales son el centro en el origen y su fórmula es 𝑥2 + 𝑦2 = 𝑟2; r------ radio. Centro en (h, k) y la ecuación es (𝑥 − ℎ)2 + (𝑦 − 𝑘)2 = 𝑟2 y la última es la ecuación general de la circunferencia 𝑥2 + 𝑦2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0, 𝐷 = −2ℎ, 𝐸 = −2𝑘, 𝐹 = ℎ2 + 𝑘2 − 𝑟2. Para entender esta fórmula tenemos que saber el centro en (3,4) y su radio es igual a r=9 una vez teniendo estos datos, solo se empiezan a sustituir en la fórmula de la ecuación general y una vez obteniendo esta ecuación general se grafica en la app de GeoGebra y en el siguiente ejemplo solo se procede a realizar lo mismo y se tendría que hacer su respectiva grafica en la poderosa app de GeoGebra y hasta este punto queda abordado este tema sin haber mayor dudas. Página | 41 08/02/2024 Tema: Fórmulas de la parábola VERTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL DE EL EJE X Foco (−𝑝, 0) 𝟏 Foco (𝑝, 0) 2 𝒚² = 𝟒𝒑𝒙 Directriz 𝑥 + 𝑝 = 0 𝑦² = −4𝑝𝑥 Directriz 𝑥 − 𝑝 = 0 VERTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL EN EL EJE Y 𝟑 Foco (0, 𝑝) 4 Foco (0, −𝑝) 𝒙² = 𝟒𝒑𝒚 Directriz 𝑦 + 𝑝 = 0 𝑥² = −4𝑝𝑦 Directriz 𝑦 − 𝑝 = 0 1 2 3 6 4 Página | 42 Figura 26. Ejemplo de parábolas en el vértice. Active recall 16 Se toco el tema de la “Formula de la parábola”, en donde aparte de las fórmulas que se vieron el vértice en el origen del eje 𝑥, así el cómo cambiaban la formula del foco dependiendo hacia donde iba ya sea hacia abajo, arriba, izquierda o derecha en el cual se cambiaba ya sea el cómo se posiciona la formula o el cambio del signo ya sea para una suma o para una resta dependiendo de donde sea el direccionamiento que tome ya sea por el eje de las 𝑥 o el eje de las 𝑦. Página | 43 09/02/2024 Tema: Parábolas con vértices en (𝒉, 𝒌) Vértice en (ℎ, 𝑘), y eje focal en el eje 𝑥 o paralelo al eje 𝑥 (𝑦 − 𝑘)² = 4𝑝 (𝑥 − ℎ) (𝑦 − 𝑘)² = − 4𝑝 (𝑥 − ℎ) Foco (ℎ + 𝑝, 𝑘) Directriz (𝑥 = ℎ − 𝑝) Foco (ℎ − 𝑝, 𝑘) Directriz (𝑥 = ℎ − 𝑝) Vértice en (ℎ, 𝑘) y eje focal en el eje 𝑦 o paralelo al eje 𝑦 (𝑥 − ℎ)² = 4𝑝 (𝑦 − ℎ) (𝑥 − ℎ)2 = −4𝑝(𝑦 − 𝑘) Foco (ℎ, 𝑘 + 𝑝) Directriz 𝑦 = 𝑘−𝑝 Foco (ℎ, 𝑘 − 𝑝) Directriz 𝑦 = 𝑘+𝑝 Reto: Realiza en GeoGebra parábolas que se puedan modificar mediante deslizadores. Página | 44 Figura 27. Parábolas con deslizadores. Active recall 17 Tocamos el tema de la “parábola con vértices 𝑒𝑛 (ℎ, 𝑘)” , en donde se vieron las fórmulas en el caso de que se den las vértice en (ℎ, 𝑘) y también el eje focal pero en el eje de las 𝑥 o al paralelo al eje 𝑦, de la misma manera pero ahora con el eje focal de 𝑦 o el paralelo pero en este caso con el eje de las 𝑦, y vimos el cómo queda la figura al momento de que ya sean graficados por los resultados que nos saldrán de las formulas que se nos dieron propuestas, se realizaron graficas en GeoGebra en donde se podían modificar mediante un deslizador que hay de opción en GeoGebra. Página | 45 12/02/2024 Tema: Ecuación general de la parábola 𝐴𝑥² + 𝐶𝑦² + 𝐷𝑥² + 𝐸𝑦² + 𝐹 = 0 • Longitud de lado recto: 4𝑝 • 𝑝: Distancia del vértice al foco y del vértice a la directriz Ejemplo 1. Describe y gráfica con ambas fórmulas una parábola con el vértice en (3,2) 𝑝 = 2 y es paralela al eje 𝑥. Para la ecuación general: (𝑦 − 2)² = 4(2)(𝑥 − 3) 𝑦 2 − 4𝑦 + 4 = 8 (𝑥 − 3) Ecuación general: 𝑦² − 8𝑥 − 4𝑦 + 28 = 0 Foco: (3 + 2, 2) → (5 , 2) Ejercicio. Encontrar la ecuación de las parábolas siguientes (incluir gráfica y punto del foco): • Vértice (2,1), paralelo a 𝑥, abertura a la izquierda con 𝑝 = 4. (𝑦 − 1)2 = −4(4)(𝑥 − 2) 𝑦 2 − 2𝑦 + 1 = −16𝑥 + 32 Ecuación: 𝑦 2 + 16𝑥 − 2𝑦 − 31 = 0 Foco: (−2,1) Página | 46 Figura 28. Parábola 1, ejercicios. • Vértice (3, −2), paralelo a 𝑥, abertura a la derecha, 𝑝 = 2. (𝑦 − (−2))2 = 4(2)(𝑥 − 3) 𝑦 2 + 4𝑦 + 4 = 8𝑥 − 24 Ecuación: 𝑦 2 − 8𝑥 + 4𝑦 + 28 = 0 Foco: (5, −2) Página | 47 Figura 29. Parábola 2, ejercicios. • Vértice (−2, −3), paralelo a 𝑦, abertura hacia arriba, 𝑝 = 3. (𝑥 + 2)2 = 4(3)(𝑦 + 3) 𝑥 2 + 4𝑥 + 4 = 12𝑦 + 36 Ecuación: 𝑥 2 + 4𝑥 − 12𝑦 − 32 = 0 Foco: (−2,0) Página | 48 Figura 30. Parábola 3, ejercicios. • Vértice (−3,2), paralelo a 𝑦, abertura hacia abajo, 𝑝 = 1. (𝑥 + 3)2 = −4(1)(𝑦 − 2) 𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = −4𝑦 + 8 Ecuación: 𝑥 2 + 6𝑥 + 4𝑦 + 1 = 0 Foco: (−3,1) Página | 49 Figura 31. Parábola 4, ejercicios. Active recall 18 Trabajamos en el tema de la “ecuación general de la parábola” donde se utilizó la formula general que se nos dio anteriormente, en donde se realizó una ejercicio de ejemplo en donde se planeaba conseguir la ecuación general de la recta y el foco de la recta y para ver si había dudas o algo se dejaron cuatro ejercicios para en los que teníamos que conseguir la “ecuación de la recta” y el “foco” de la recta para después de terminarlas los resultados los teníamos que llevar a graficar en la aplicación de GeoGebra que lo que íbamos a colocar seria solo los resultados de los ejercicios en distintos archivos para no amontonar todos los resultados. Página | 50 13/02/2024 Actividad: Realiza las siguientes actividades en dónde se debe aplicar las fórmulas de las figuras vistas anteriormente, graficar cada una de ellas. Obtener la ecuación de la recta y pendiente de los siguientes puntos: ➢ (1,1)(−2,3) 𝑥−1 𝑦−1 𝑥−1 𝑦−1 = → = −2 − 1 3 − 1 −3 2 2(𝑥 − 1) = −3(𝑦 − 1) 2𝑥 − 2 = −3𝑦 + 3 Ecuación de la recta: 2𝑥 + 3𝑦 − 5 = 0 𝑚= 3−1 −2 − 1 2 Pendiente de la recta: −3 Figura 32. Recta 1, ejercicios finales. ➢ (−1, −2)(3, −2) Página | 51 𝑥 − (−1) 𝑦 − (−2) 𝑥+1 𝑦+2 𝑥+1 𝑦+2 = → = → = 3 − (−1) −2 − (−2) 3 + 1 −2 + 2 4 0 0 = 4(𝑦 + 2) Ecuación de la recta: 0 = 4𝑦 + 8 𝑚= −2 − (−2) −2 + 2 0 → = 3 − (−1) 3+1 4 Pendiente de la recta: 0 Figura 33. Recta 2, ejercicios finales. ➢ (−1,7)(−1, −4) 𝑥 − (−1) 𝑦−7 𝑥+1 𝑦−7 = → = −1 − (−1) −4 − 7 −1 + 1 −11 −11(𝑥 + 1) = 0 Ecuación de la recta: −11𝑥 − 11 = 0 𝑚= Pendiente de la recta: ∞ Página | 52 −4 − 7 −11 −11 → = −1 − (−1) −1 + 1 0 Figura 34. Recta 3, ejercicios finales. Obtener la ecuación de la circunferencia a partir de: ➢ Centro (3,4) 𝑟 = 4 𝑥 2 + 𝑦 2 + (−2 ∗ 3)𝑥 + (−2 ∗ 4)𝑦 + (32 + 42 − 42 ) = 0 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 8𝑦 + (9 + 16 − 16) = 0 Ecuación de la circunferencia: 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 8𝑦 + 9 = 0 Página | 53 Figura 35. Circunferencia 1, ejercicios finales. ➢ Centro (−2, −1) 𝑟 = 4 𝑥 2 + 𝑦 2 + (−2 ∗ −2)𝑥 + (−2 ∗ −1)𝑦 + ((−2)2 + (−1)2 − 42 ) = 0 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 + 2𝑦 + (4 + 1 − 16) = 0 Ecuación de la circunferencia: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 + 2𝑦 − 11 = 0 Página | 54 Figura 36. Circunferencia 2, ejercicios finales. ➢ Centro (−2, −2) 𝑟 = 5 𝑥 2 + 𝑦 2 + (−2 ∗ −2)𝑥 + (−2 ∗ −2)𝑦 + (−22 + (−2)2 − 52 ) = 0 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 + 4𝑦 + (4 + 4 − 25) = 0 Ecuación de la circunferencia: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 4𝑥 + 4𝑦 − 17 = 0 Página | 55 Figura 37. Circunferencia 3, ejercicios finales. Obtener la ecuación de la parábola a partir de: o Vértice (1, −2) 𝑝 = 1, abertura hacia arriba (𝑥 − 1)2 = 4 ∗ 1(𝑦 − (−2)) 𝑥 2 − 2𝑥 + 1 = 4(𝑦 + 2) 𝑥 2 − 2𝑥 − 4𝑦 − 8 + 1 = 0 Ecuación de la parábola: 𝑥 2 − 2𝑥 − 4𝑦 − 7 = 0 Página | 56 Figura 38. Parábola 1, ejercicios finales. o Vértice (−2, −1) 𝑝 = 2, abertura hacia la derecha (𝑦 − (−1))2 = 4 ∗ 2(𝑥 − (−2)) 𝑦 2 + 2𝑦 + 1 = 8(𝑥 + 2) 𝑦 2 − 8𝑥 + 2𝑦 + 1 − 16 = 0 Ecuación de la parábola: 𝑦 2 − 8𝑥 + 2𝑦 − 15 = 0 Página | 57 Figura 39. Parábola 2, ejercicios finales. o Vértice (4,1) 𝑝 = 3, abertura hacia abajo (𝑥 − 4)2 = −4 ∗ 3(𝑦 − 1) 𝑥 2 − 8𝑥 + 16 = −12(𝑦 − 1) 𝑥 2 − 8𝑥 + 12𝑦 + 16 − 12 = 0 Ecuación de la parábola: 𝑥 2 − 8𝑥 + 12𝑦 + 4 = 0 Página | 58 Figura 40. Parábola 3, ejercicios finales. Active recall 19 En la clase se realizaron algunos ejercicios para apoyar el conocimiento y rectificar lo ya visto que en estos ejercicios fue de encontrar la ecuación de la recta y también encontrar la pendiente de la recta con las fórmulas que anteriormente se nos habían dado durante la clase con solo dos coordenadas y para de algunos de los ejercicios necesitábamos obtener no la ecuación de la recta si no la ecuación de la circunferencia ya que solo se nos daba el centro y el cuanto valía el radio, para terminar la actividad teníamos que graficar cada uno de los resultados de los ejercicios que obtuvimos en GeoGebra y para comprobar nuestros resultados que obtuvimos. Página | 59 19/02/2024 Tema: Análisis de la elipse VERTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL DE EL EJE X 𝟏 𝒙𝟐 𝒚𝟐 + = 𝟏; 𝒂 > 𝒃 𝒂𝟐 𝒃𝟐 Vértice (±𝑎, 0) Foco (±𝑐, 0) VERTICE EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL DE EL EJE Y 2 𝒙𝟐 𝒚𝟐 + = 𝟏; 𝒂 > 𝒃 𝒃𝟐 𝒂𝟐 Vértice (0, ±𝑎) Foco (0, ±𝑐) Figura 41. Elipses 1 y 2 respectivamente. VERTICE EN (h,k) Y EJE FOCAL DE EL EJE X (𝒙 − 𝒉)𝟐 (𝒚 − 𝒌)𝟐 + = 𝟏; 𝒂 > 𝒃 𝒂𝟐 𝒃𝟐 Vértice (ℎ ± 𝑎, 𝑘) Foco (ℎ ± 𝑐, 𝑘) VERTICE EN (h,k) Y EJE FOCAL DE EL EJE Y (𝒙 − 𝒉)𝟐 (𝒚 − 𝒌)𝟐 + = 𝟏; 𝒂 > 𝒃 𝒃𝟐 𝒂𝟐 o Longitud del eje mayor: 2𝑎 o Longitud del eje menor: 2𝑏 Página | 60 Vértice (ℎ, 𝑘 ± 𝑎) Foco (ℎ, 𝑘 ± 𝑐) 2𝑏 2 o Longitud del lado recto: 𝑎 o Distancia entre focos: 2𝑐 → 𝑐 = √𝑎2 − 𝑏 2 o Ecuación general: 𝐴𝑥 2 + 𝐶𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Active recall 20 Durante la clase se vieron las fórmulas para las cuales podemos conseguir el vértice y el foco de una elipse en el eje de las 𝑥 y también para cuando están en el eje de las 𝑦 en el plano cartesiano, así como ya anteriormente vimos el cómo conseguir el foco y el vértice para una parábola, de igual manera cuando el vértice está en (ℎ, 𝑘) el cómo podemos conseguir su vértice y el eje focal de 𝑥 y de 𝑦. Otra cosa que vimos durante esta actividad fue como se consigue la longitud mayor, así como también la longitud menor, la longitud del lado recto, la distancia entre los focos ya que de la elipse se pueden conseguir dos focos y también la fórmula para conseguir la ecuación general de la elipse. Página | 61
