Asignatura: Matemática Curso: 4º año Divisiones: todas Docentes: Caiola, Rosa Romero, Natalia fecha de entrega: lunes 04 de mayo 402 [email protected] 401 – 403 [email protected] Para resolver los problemas de sistemas de ecuaciones debemos: Antes de comenzar, realizar una lectura detenida del mismo. Familiarizarnos con los problemas de sistemas de ecuaciones es clave antes de empezar. Una vez hemos entendido el contexto y el tipo de problema que se nos plantea, debemos realizar el planteamiento del mismo. Si es necesario, realizaremos un dibujo, una tabla, o un representación de lo expuesto. Una vez hecho, intentamos identificar la incógnita y los datos que aporta el problema. Para plantear las ecuaciones volveremos al problema y debemos “traducir” el mismo a una expresión algebraica. En este tipo de problemas con más de una incógnita debemos encontrar tantas ecuaciones como incógnitas se nos presenten. Es decir, si tenemos dos incógnitas debemos encontrar dos ecuaciones, si tenemos tres, tres ecuaciones. El siguiente paso es resolver el sistema de ecuaciones. Por .último y muy importante, debemos interpretar la solución. Problemas para plantear y resolver con sistemas 3x3 Una empresa de transportes gestiona una flota de 60 camiones de tres modelos diferentes. Los mayores transportan una media diaria de 15000 kg. y recorren diariamente una media de 400 kilómetros. Los medianos transportan diariamente una media de 10000 kilogramos y recorren 300 kilómetros. Los pequeños transportan diariamente 5000 kilogramos y recorren 100 km. de media. Diariamente los camiones de la empresa transportan un total de 475 toneladas y recorren 12500 km. entre todos. ¿Cuántos camiones gestiona la empresa de cada modelo? SOLUCIÓN El primer paso es hacer una lectura rápida del problema (sin tomar datos) y averiguar lo que nos están preguntando. ¿Cuántos camiones de cada modelo? El segundo paso es asignar incógnitas a los datos (desconocidos) que nos piden camiones grandes camiones medianos camiones pequeños Tercer paso: Dado que tenemos 3 incógnitas, debemos encontrar en el enunciado tres "datos o expresiones" que nos permitan crear tres ecuaciones, de forma que podamos construir un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas. 1 En este problema concreto sería conveniente expresar todos los datos en una tabla que nos facilite su lectura: Tipo de Nº de kg km camión camiones diarios diarios Grandes x 15000 400 Medianos y 10000 300 Pequeños z 5000 100 TOTAL 60 475000 12500 Con el dato "60 camiones" formamos la primera ecuación: Entre todos transportan 475 toneladas (475000 kg) por tanto Entre todos hacen 12500 km por tanto: Tenemos ya creado un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas: Antes de empezar a resolver el sistema debemos simplificar las ecuaciones (pues observamos que en las ecuaciones segunda y tercera acaban en ceros todos los términos). En la segunda ecuación podemos dividir por 1000 (eliminar 3 ceros) y en la tercera podemos dividir por 100 (eliminar dos ceros). Nos quedaría: 2 Aún podemos simplificar más la segunda ecuación si nos damos cuenta que todos los términos son múltiplos de 5. Podemos dividir entre 5 todos los términos de esa segunda ecuación y quedaría: Resolvemos el sistema por cualquiera de los métodos conocidos. En este caso será por determinantes.. Problemas para plantear y resolver: 1.- Un cliente de un supermercado ha pagado un total de 156 $ por 24 litros de leche, 6 kg de jamón serrano y 12 litros de aceite de oliva. Calcular el precio de cada artículo, sabiendo que 1 litro de aceite cuesta el triple que 1 litro de leche y que 1 kg de jamón cuesta igual que 4 litros de aceite más 4 litros de leche. 2.- Andrea vende fotografías en las ferias de arte. Los precios de sus fotos van de acuerdo con su tamaño: las fotos chicas cuestan $10, las fotos medianas cuestan $15, y las fotos grandes cuestan $40. Normalmente vende tantas fotos chicas como medianas y grandes combinadas. También vende el doble de fotos medianas que de fotos grandes. Un puesto en la ferie cuesta $300. Si sus ventas son como normalmente, ¿cuántas fotos de cada tamaño necesita vender para pagar el puesto? Problema de mallas eléctricas (aplicación de sistemas de ecuaciones 3x3). EJERCICIO 1 Supongamos que tenemos una red circuital de la siguiente forma, y nos piden calcular la intensidad de las corrientes por cada rama. Si planteamos las ecuaciones de nodos y mallas obtenemos las siguientes ecuaciones y los circuitos de cada maya analizada. 3 En base a las ecuaciones obtenidas nos armamos un sistema de ecuaciones con 3 incógnitas, podemos resolver empleando cualquier método matemático que manejemos, yo solo voy a presentar los resultados finales, dado que no es el objetivo de este articulo hacer foco en la resolución de un sistema de ecuaciones. Al resolver el sistema: Como podemos ver, los signos de las corrientes nos dieron todos de magnitud positiva, eso quiere decir que el sistema de referencia elegido al plantear el problema fue el correcto, si como resultado alguna de las corrientes fuera de signo negativo, quiere decir que la dirección de circulación de esa corriente es en sentido opuesto al elegido por nosotros. Resolver el sistema planteado por método de determinantes. 4 5
