Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales. Cátedra: Análisis II Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos Trabajo Práctico Nº 1 Unidad N°1: Diferenciación 1. Realiza un bosquejo de las gráficas de las siguientes funciones utilizando conjuntos de nivel. a ) f ( x, y ) = 16 − x 2 − y 2 b ) f ( x, y ) = 3 − x 2 − y 2 d ) f ( x, y ) = 3 x 2 + y 2 e) f ( x, y ) = x 2 + y 2 ( ) 12 c ) f ( x, y ) = 6 − x − 2 y ( f ) f ( x, y ) = 100 − x 2 − y 2 ) 12 2. Si T ( x, y ) es la temperatura en un punto ( x, y ) sobre una placa delgada metálica en el plano xy , las curvas de nivel de T se llaman curvas isotérmicas. Todos los puntos en tal curva están a la misma temperatura. Supone que una placa ocupa el primer cuadrante y T ( x, y ) = xy . a ) Traza las curvas isotérmicas sobre las cuales T = 1 , T = 2 y T = 3 . b) Una hormiga, inicialmente en (1, 4) , quiere caminar sobre la placa de tal manera que la temperatura a lo largo de su trayectoria permanezca constante. ¿Qué trayectoria debe tomar la hormiga y cuál es la temperatura a lo largo de esa trayectoria? 3. Describe las superficies en R3 de las siguientes ecuaciones. a ) x 2 + y 2 = 16 b) z 2 = y 2 + 1 d) y2 + z2 = 4 e) x2 y 2 z 2 + + =1 9 12 9 c) x 2 + y 2 + z 2 = 9 f ) z = x2 x2 y 4. Realiza con Matlab la gráfica de la función f ( x, y ) = 4 y responde: x + y2 a ) De acuerdo al gráfico construido, ¿ f ( x, y ) tiene límite conforme ( x, y ) → (0, 0) ? b) Prueba que f ( x, y ) → 0 , cuando ( x, y ) → (0, 0) a lo largo de cualquier recta que pase por el punto (0,0) . ¿Esto implica que f ( x, y ) → 0 , conforme ( x, y ) → (0, 0) ? c) Prueba que f ( x, y ) → 1 , cuando ( x, y ) → (0, 0) a lo largo de la parábola y = x 2 , y 2 confirma visualmente que esto es consistente con la gráfica de f ( x, y ) . d ) Teniendo en cuenta lo analizado en los incisos anteriores, ¿ f ( x, y ) tiene limite cuando (x, y ) → (0, 0) ? 5. Calcula, si existen, los límites siguientes. a) (x + y ) ( x , y )→ (1, 2 ) lim b) 2x2 + y ( x , y )→ ( −1, 2 ) x − 5 lim 1 c) 3x − y − 7 ( x , y )→ ( 2, −1) x + 2 y lim Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales. Cátedra: Análisis II Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos x − 3y d ) lim ( x , y )→ (0, 0 ) 2 x + 6 y e) lim (x − y )2 f) ( x , y )→(0 ,0 ) x 2 + y 2 lim ( x , y )→(0 , 0 ) cos xy − 1 x2 y 2 6. Determina si son continuas las siguientes funciones en el origen. Justifica tu respuesta. x2 − y 2 a) z = x 2 + y 2 0 (x, y ) ≠ (0,0) x + y3 c) z = 0 (x, y ) ≠ (0,0) (x, y ) = (0,0) x − y b) z = x + y 1 (x, y ) = (0,0) x+ y≠0 x+ y=0 (x, y ) ≠ (0,0) (x, y ) = (0,0) x + y3 d) z = 3 7. Utilizando la información de la figura anexa, encuentra los valores de las derivadas parciales de primer orden de f en el punto (1, 2) . ( 8. Sea f ( x, y ) = x 3 + y 3 ) . 13 a ) Demuestra que f y (0, 0 ) = 1 . b) ¿En qué puntos, si los hay, no existe f y ( x, y ) ? 9. Calcula todas las derivadas parciales de primer orden del campo escalar dado. a ) f ( x, y ) = x 2 + y 2 sen( xy ) ( ) c) f ( x, y ) = ln x 2 + y 2 , b ) f ( x, y ) = (x, y ) ≠ (0,0) d ) f ( x, y ) = e) f ( x, y ) = e x − y x x + y2 2 , ( ) 1 cos x 2 , y f ) f ( x, y ) = e xy ln ( x − y ) 3 2 (x, y ) ≠ (0,0 ) y≠0 x− y≠0 Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales. Cátedra: Análisis II Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos 10. Halla las pendientes de las rectas tangentes a las curvas intersección de la superficie z = 3 x 2 + 4 y 2 − 4 con los planos que pasan por el punto P0 = (1,1, 3) y son paralelos a los planos xz, yz. 11. Una abeja volaba hacia arriba a lo largo de la curva dada como la intersección de z = x 4 + xy 3 + 12 con el plano x = 1 . En (1,−2,5) salió por la recta tangente. ¿En dónde tocó la abeja al plano xz? 12. Demuestra que cada una de las funciones siguientes es diferenciable en cada punto de su dominio de definición. a) f (x , y ) = b) f ( x , y ) = xy x2 + y 2 c ) f ( x, y ) = x + yx y 2 xy (x + y ) 2 2 2 13. Explica por qué la función es diferenciable en el punto que se expresa, luego encuentra la linealización L( x, y ) de la función en ese punto. a ) f ( x, y ) = x y , (1, 4 ) b) f ( x, y ) = xe xy , (1, 0) c) f ( x, y ) = ln ( x − 3 y ) , (7, 2) 14. Calcula la matriz de derivadas parciales de las funciones siguientes: a) f : R 2 → R 2 , f (x , y ) = (x , y ) ( c) f : R 2 → R 2 , f ( x, y ) = e x , sen xy ( b) f : R 2 → R 3 , f ( x , y ) = xe y + cos y , x , x + e y ) ( d ) f : R 3 → R 2 , f ( x, y, z ) = x + e z + y, yx 2 15. Una función diferenciable f ( x , y ) tiene la propiedad de que ) ) ∂f (4,1) = 2 y ∂f (4,1) = −1. ∂x ∂y Encuentra la ecuación de la recta tangente a la curva de nivel de f que pasa por el punto (4,1) . 16. La longitud y el ancho de un rectángulo son 30 cm y 24 cm, respectivamente, con un error en la medición a lo sumo de 0,1cm en cada dimensión. Utiliza diferenciales para estimar el error máximo en el área calculada del rectángulo. 17. La densidad S de un objeto puede determinarse por la fórmula S = x x− y Donde x es el peso del objeto en el aire e y es el peso del objeto cuando está sumergido en agua. Suponiendo que los errores de las medidas son el 0,5% en x y 2% en y, estima el máximo error en la determinación de S, si x = 100 y y = 80 . 18. Supóngase que la temperatura en el punto (x , y , z ) del espacio es T ( x , y , z ) = x 2 + y 2 + z 2 .Una partícula sigue la hélice circular σ (t ) = (cos t , sen t ,t ) y sea T (t ) su temperatura en el instante t. 3 Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales. Cátedra: Análisis II Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos a ) Calcula T ′(t ) . b) Halla el valor aproximado de la temperatura en el instante t = (π 2) + 0.01 . 19. La parte de un árbol que por lo general se corta para madera es el tronco, un sólido con forma aproximada de un cilindro circular recto. Si el radio del tronco de cierto árbol crece 1,27 cm año y la altura aumenta 20.32 cm año , ¿Qué tan rápido aumenta el volumen 3 cuando el radio es de 50,8 cm y la altura es de 1016 cm ? Expresa tu respuesta en cm año . ∂z ∂z 20. Encuentra , siendo z = ln ∂u ∂v ( x +y ) 2 2 x = v e u con y = v e −u 21. Si z = f ( x, y ) , donde x = g (t ) , y = h(t ) , g (3) = 2 , g ′(3) = 5 , h(3) = 7 , h′ (3) = −4 , dz f x (2, 7 ) = 6 , f y (2, 7 ) = −8 , encuentra si t = 3. dt 22. Supongamos que un pato nada sobre la circunferencia x = cos t , y = sen t , y que la temperatura del agua la da la fórmula T = x 2 e y − xy 3 . Halla dT dt , el cambio de la temperatura por unidad de tiempo que el pato notaría: a) Por medio de la regla de la cadena. b) Expresando T en función de t y derivando. 23. Si f ( x, y ) = 169 − x 2 − y 2 , encuentra la dirección en el punto (3,4) para la cual la derivada direccional de f tiene valor nulo. ( 24. Sea f ( x, y, z ) = ( x − y ) tg z , calcula la derivada direccional de f en − 1,1, π 2 3 ) en la dirección de la recta definida por A = (4, − 1, 2) y B = (1,1, − 1) . 25. Una función z = f (x, y ) tiene en el punto P0 = (1, 2 ) derivada direccional igual a 2 en la dirección y sentido hacia el punto P1 = (2, 2) y derivada direccional igual a – 2 en la dirección y sentido hacia el punto P2 = (1,1) . Halla el vector gradiente de la función en el punto P0 y la derivada direccional en la dirección y sentido hacia el punto P3 = (4, 6 ) . 26. Un insecto se encuentra sobre el punto (1, 4 ) de una placa térmica cuya temperatura se rige por T ( x, y ) = xe xy medida en °C. Agobiado por el calor decide huir en dirección del frío lo más rápidamente posible. ¿en que dirección y sentido le conviene dirigirse? 4 Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales. Cátedra: Análisis II Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos 27. La elevación de una montaña sobre el nivel del mar en ( x, y ) es z = 3000e − (x + 2 y ) 100 metros. 2 2 El eje x positivo apunta hacia el este y el eje y positivo apunta hacia el norte. Una montañista está directamente sobre (10,10) . Si la montañista se mueve hacia el norte, ¿ascenderá o descenderá y con qué pendiente? 28. La altitud h del volcán Mauna Loa en Hawai se describe (aproximadamente) por la función h( x , y ) = 2 ,59 − 0 ,00024 y 2 − 0 ,00065 x 2 , donde h es la altitud en millas sobre el nivel del mar, y x e y miden las distancias en millas este-oeste y norte-sur desde la cima de la montaña. En ( x, y ) = (− 2,−4) : a ) ¿A qué velocidad crece la altitud en la dirección (1,1) (es decir, en la dirección nordeste)? Expresar la respuesta en millas de altitud por milla horizontal recorrida. b) ¿En qué dirección se encuentra el camino de máxima pendiente positiva? 29. Supongamos que una montaña tiene forma de un paraboloide elíptico z = c − ax 2 − by 2 , donde a, b y c son constantes positivas, x, y son las coordenadas este-oeste y norte-sur, y z es la altitud sobre el nivel del mar, medida en metros. En el punto (1,1), ¿en qué dirección está aumentando más rápidamente la altitud? Si se suelta una pelota en (1,1), ¿en qué dirección comenzará a rodar? 30. Un ingeniero desea construir un ferrocarril que suba la montaña del ejercicio 26. Subir directamente la montaña es demasiado empinado para la fuerza de las máquinas. En el punto (1,1), ¿en qué direcciones se puede colocar la vía de modo que suba un 3%, esto es, un ángulo cuya tangente sea 0,03? (Hay dos posibilidades). Hacer un esbozo de la situación indicando las dos direcciones posibles para una inclinación de 3% en (1,1). 31. El Capitán Ralph tiene dificultades cerca del lado soleado de Mercurio. La temperatura del casco de la nave, cuando está en la posición ( x , y , z ) estará dada por T ( x , y , z ) = e − x − 2 y −3 z , 2 2 2 donde x, y y z están medidas en metros. Actualmente está en (1,1,1) a ) ¿En qué dirección deberá avanzar para disminuir más rápidamente la temperatura? b) Si la nave viaja a e 8 m/seg., ¿con qué rapidez decrecerá la temperatura si avanza en esa dirección? c) Desafortunadamente, el metal del casco se cuarteará si se enfría a una tasa mayor que 14e 2 grados por segundo. Describa el conjunto de las direcciones posibles en las que puede avanzar para hacer que descienda la temperatura a una tasa no mayor que esa. 5 Facultad de Ciencias Exactas, Químicas y Naturales. Cátedra: Análisis II Ingeniería Química, Ingeniería en Alimentos, Licenciatura en Análisis Químicos y Bromatológicos Bibliografía utilizada para elaboración de la guía: ∗ Apóstol, T.Calculus, volúmenes I y II, Editorial Reverté S.A. 2010. ∗ Marsden, J.E. y Tromba A.J. Cálculo vectorial, 5º Ed., Addison-Wesley Iberoamericana. 2004. ∗ Kurtis, P.C.. Cálculo de varias variables con álgebra lineal, Limusa Noriega Editores. 1997. ∗ Howard Anton, irl Bivens y Stephen Davis. Calculo multivariables. 2a. ed. Mexico. Limusa. 2009. ∗ Mc Callum W., Hughes – Hallet, D., Flath, D., Quinney, D., Gleason, A.…. Cálculo de varias variables. Compañía Editorial Continental .México. 1998 ∗ Smith R.T. y Minton R.B. Cálculo, Tomo 2, McGraw-Hill. 2000. ∗ Thomas, G.B. y Finney R.L. Cálculo, varias variables, Adison Wesley Longman. 1999. ∗ García Venturini, A. Análisis Matemático II: para estudiantes de ingeniería. 1ª ed. Buenos Aires. Ediciones Cooperativas. 2012. ∗ Sitio de Internet: materias.fi.uba.ar/6103 6
