Subido por FABRIZIO BELTRAN NARVAEZ

Topografía. Conceptos y aplicaciones Mario Arturo Rincón Villalba

Anuncio
TOPOGRAFÍA
CONCEPTOS Y APLICACIONES
MARIO ARTURO RINCÓN VILLALBA
WILSON ERNESTO VARGAS VARGAS
CARLOS JAVIER GONZÁLEZ VERGARA
T OP OGR AF Í A
C O N C E P T O S Y A P L I CA C I O N E S
MARIO
ARTU RO
WILSON
CARLOS
RINCÓN
VILLALBA
ERNESTO VARGAS VARGAS
JAVIER
GONZÁLEZ V ERGARA
Catalogación en la publicación - Biblioteca Nacional de Colombia
Rincón Villalba, Mario Arturo
Topografía : conceptos y aplicaciones / Mario Arturo Rincón Villalba, Wilson Ernesto
Vargas Vargas, Carlos Javier González Vergara. -- 1a. ed. – Bogotá : Ecoe Ediciones, 2017.
380 p. – (Ingeniería y salud en el trabajo. Ingeniería civil)
Incluye bibliografía.
ISBN 978-958-771-506-4-- 978-958-771-507-1(e-book)
1. Topografía 2. Ingeniería civil I. Vargas Vargas, Wilson Ernesto II. González Vergara,
Carlos Javier III. Título IV. Serie
CDD: 526.3 ed. 23
CO-BoBN– a1006773
Colección: Ingeniería y salud en el trabajo
Área: Ingeniería civil
© Mario Arturo Rincón Villalba
Primera edición:
© Wilson Ernesto Vargas Vargas
ISBN:
Bogotá, agosto de 2017
978-958-771-506-4
978-958-771-507-1
e-ISBN:
© Carlos Javier González Vergara
© Ecoe Ediciones Ltda.
e-mail: [email protected]
www.ecoeediciones.com
Carrera 19 # 63C 32, Tel.: 248 14 49
Bogotá, Colombia
Dirección editorial: Angélica García Reyes
Corrección de estilo: Laura Lobatón Sanabria
Diagramación: Olga L. Pedraza Rodriguez
Carátula: Andrés Gamba
Impresión: Editorial Buena Semilla
Carrera 28A # 64 A - 34
Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio
sin la autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales.
Impreso y hecho en Colombia - Todos los derechos reservados
C O N TE N I DO
Capítulo 1. conceptos básicos ..........................................................................
1
1.1 Topografía .........................................................................................................
1
1.1.1 Representación de puntos en topografía.............................................2
1.2 Operaciones topográficas ................................................................................
2
1.2.1 Levantamiento topográfico ...................................................................3
1.2.2 Replanteo.................................................................................................
3
1.2.3 Control ....................................................................................................
3
1.3 Tipos de levantamientos ..................................................................................
3
1.4 Mediciones en topografía................................................................................
4
1.4.1 Unidades de medición angular.............................................................5
1.4.2 Unidades de medida de longitud .........................................................6
1.4.3 Unidades de medida de superficie .......................................................8
1.4.4 Unidades de medida de volumen.........................................................9
1.5 Redondeo de Números ................................................................................10
1.6 Exactitud y precisión ....................................................................................11
1.7 Equipos utilizados en Topografía................................................................12
1.7.1 Estación total ......................................................................................12
1.7.2 Trípode ................................................................................................12
1.7.3 Nivel topográfico .................................................................................13
1.7.4 Mira topográfica ..................................................................................13
1.7.5 Prisma ...................................................................................................
14
1.7.6 Jalones ...................................................................................................
14
1.7.7 Cinta métrica .......................................................................................15
1.7.8 Plomadas ..............................................................................................15
Capítulo 2. Levantamientos con cinta y brujúla ..................................17
2.1 Levantamiento con cinta ..............................................................................17
2.1.1 Medición de distancias con cinta ......................................................18
2.1.2 Medición de ángulos con cinta .........................................................20
2.1.3 Cálculo de áreas por figuras geométricas ........................................23
2.1.4 Levantamiento con cinta método de izquierdas y derechas ......... 26
2.1.5 Levantamiento con cinta método de medidas a dos puntos ......... 32
2.2 Levantamiento con cinta y brújula .............................................................38
2.2.1 Ejercicio práctico.................................................................................40
2.3 Ejercicios planteados.....................................................................................48
VI
TOPOGRAFÍA
Capítulo 3. ángulos y coordenadas ............................................................49
3.1 Ángulos ..........................................................................................................
49
3.1.1 Rumbo – Rb.........................................................................................51
3.1.2 Azimut – AZ ........................................................................................51
3.1.3 Ángulo de deflexión............................................................................52
3.2 Coordenadas ..................................................................................................
53
3.2.1 Coordenadas arbitrarias .....................................................................55
3.2.2 Coordenadas asifinas ..........................................................................56
3.2.3 Coordenadas reales .............................................................................56
3.2.4 Coordenadas Rectangulares ..............................................................56
3.2.5 Coordenadas Polares ..........................................................................57
3.3 Conversión de coordenadas .........................................................................57
3.3.1 Conversión de coordenadas rectangulares a polares......................57
3.3.2 Conversión de coordenadas polares a rectangulares .....................61
Capítulo 4. Radiación ........................................................................................63
4.1 Radiación simple ..........................................................................................63
4.1.1 Definición.............................................................................................63
4.1.2 Aplicaciones .........................................................................................65
4.1.3 Procedimiento en terreno ..................................................................65
4.1.4 Procedimiento en la oficina ...............................................................66
4.1.5 Ejemplo Práctico .................................................................................67
4.1.6 Cálculos ................................................................................................
67
4.2 Radiación doble.............................................................................................71
4.2.1 Definición.............................................................................................71
4.2.2 Aplicaciones ........................................................................................72
4.2.3 Ley de senos .........................................................................................72
4.2.4 Metodología.........................................................................................73
4.2.5 Ejemplo.................................................................................................
74
4.3 Ejercicios planteados .....................................................................................84
Capítulo 5. Poligonales ....................................................................................87
5.1 Generalidades ................................................................................................
87
5.2 Clasificación de las poligonales ...................................................................88
5.2.1 Poligonal abierta ..................................................................................88
5.2.2 Poligonal cerrada.................................................................................89
5.2.3 Poligonal orientada o de azimut directo .........................................90
5.2.4 Poligonal no orientada .......................................................................91
TABLA DE CONTENIDO
5.3 Ajustes y compensaciones ............................................................................92
5.3.1 Error de cierre angular .......................................................................93
5.3.2 Errores de cierre en distancia ............................................................94
5.3.3 Precisión de la poligonal ....................................................................95
5.4 Métodos de ajuste ..........................................................................................95
5.4.1 Método de brújula o de Bowditch ....................................................95
5.4.2 Método de tránsito ..............................................................................96
5.4.3 Método de Crandall ...........................................................................96
5.4.4 Método de variación de coordenadas...............................................97
5.4.5 Ajuste por mínimos cuadrados .........................................................98
Capítulo 6. Poligonal abierta .....................................................................101
6.1 Definición.....................................................................................................
101
6.2 Levantamiento: Poligonal abierta método ceros atrás ...........................102
6.2.1 Metodología .......................................................................................102
6.2.2 Ejercicio: poligonal abierta por ceros atrás ....................................103
6.3 Poligonal abierta por azimut directo ........................................................106
6.3.1 Metodología .......................................................................................106
6.3.2 Ejercicio Poligonal Abierta por Azimut Directo ...........................108
6.4 Ejercicios planteados...................................................................................112
Capítulo 7. poligonal cerrada ...................................................................113
7.1 Definición.....................................................................................................
113
7.2 Aplicaciones .................................................................................................
113
7.3 Metodología .................................................................................................
113
7.3.1 Trabajo de campo ..............................................................................113
7.3.2 Trabajo en oficina ..............................................................................114
7.4 Ejercicio práctico.........................................................................................113
7.4.1 Ajuste de la poligonal por método de brújula ...............................117
7.4.2 Ajuste de la poligonal por método de tránsito ..............................121
7.4.3 Ajuste de la poligonal por método de Crandall ............................124
7.4.4 Ajuste de la poligonal por método de variación
de coordenadas por el número de lados ..................................................128
7.4.5 Ajuste de la poligonal por método de variación
de coordenadas por el perímetro ..............................................................130
7.4.6 Ajuste de la poligonal por método de mínimos cuadrados......... 132
7.4.7 Cálculo de los detalles ......................................................................137
7.5 Ejercicios planteados...................................................................................139
VII
VIII
TOPOGRAFÍA
Capítulo 8 poligonal punto a punto ........................................................141
8.1 Metodología .................................................................................................
143
8.1.1 Trabajo de campo ..............................................................................143
8.1.2 Trabajo de oficina ..............................................................................144
8.2 Ejercicio: poligonal abierta por ceros atrás corrigiendo ángulos.......... 145
8.2.1 Cálculos ..............................................................................................
147
8.3 Ejercicio: poligonal abierta por ceros atrás corrigiendo Azimuts........ 156
8.3.1 Cálculos ..............................................................................................
159
8.4 Poligonal controlada en cada delta ...........................................................167
8.4.1 Aplicaciones y ventajas ....................................................................168
8.4.2 Metodología .......................................................................................169
8.4.3 Ejercicio práctico...............................................................................170
8.5 Ejercicios planteados ...................................................................................179
Capítulo 9. localización de proyectos ...................................................181
9.1 Tipos de replanteo .......................................................................................182
9.1.1 Replanteo para obras puntuales ......................................................182
9.1.2 Replanteo para obras lineales ..........................................................185
9.1.3 Control vertical..................................................................................189
Capítulo 10. cálculo de áreas .....................................................................193
10.1 Definición ..................................................................................................
193
10.2 Métodos de cálculo de áreas ....................................................................194
10.2.1 Método de las figuras geométricas ...............................................195
10.2.2 Método de las coordenadas ...........................................................200
10.2.3 Método de la herramienta CAD ...................................................205
10.2.4 Método gráfico del planímetro .....................................................209
10.2.5 Método gráfico de la malla de puntos ..........................................212
10.2.6 Método gráfico del papel milimetrado.........................................214
Capítulo 11. altimetría conceptos generales .....................................217
11.1 Altimetría ..................................................................................................
217
11.2 Altura o cota ..............................................................................................
218
11.3 Tipos de nivelación ..................................................................................219
11.4 Equipos empleados en nivelación ...........................................................220
11.4.1 Teodolito .........................................................................................220
11.4.2 Nivel .................................................................................................
220
11.4.3 Mira .................................................................................................
221
11.4.4 Nivel de mano (nivel Locke) ........................................................222
TABLA DE CONTENIDO
11.4.5 Nivel Abney .....................................................................................222
11.4.6 Altímetro ..........................................................................................222
11.4.7 Equipo menor y materiales ...........................................................223
11.5 Precisión en altimetría .............................................................................223
11.5.1 Error permitido en nivelación ......................................................223
Capítulo 12. nivelación geométrica o diferencial ...........................225
12.1 Equipos para nivelación geométrica ......................................................226
12.2 Errores en nivelación geométrica ...........................................................226
12.3 Nivelación geométrica simple .................................................................227
12.3.1 Ejemplo Nivelación Geométrica Simple .....................................228
12.4 Nivelación geométrica compuesta ..........................................................229
12.4.1 Procedimiento para nivelaciones geométricas compuestas ..... 230
12.5 Circuito de nivelación por diferentes cambios......................................231
12.5.1 Ejemplo práctico: Circuito de nivelación
por diferentes cambios ...............................................................................232
12.5.2 Ejercicio propuesto: Circuito de nivelación
por diferentes cambios ...............................................................................237
12.6 Circuito de nivelación por los mismos cambios ...................................238
12.6.1 Ejemplo práctico: Circuito de nivelación por los mismos
cambios ........................................................................................................
238
12.6.2 Ejemplo práctico: Circuito de nivelación por los mismos
cambios ........................................................................................................
243
Capítulo 13. nivelación trigonométrica ...............................................245
13.1 Definición ..................................................................................................
245
13.2 Usos ........................................................................................................
246
13.3 Metodología...............................................................................................247
13.3.1 Trabajo en campo............................................................................247
13.3.2 Trabajo en oficina............................................................................247
13.4 Tipos de nivelación trigonométrica........................................................249
13.4.1 Nivelación trigonométrica simple ................................................249
13.4.2 Nivelación trigonométrica compuesta .........................................256
13.5 Ejercicios propuestos ................................................................................268
Capítulo 14. nivelación de líneas (perfiles) .........................................271
14.1 Concepto ....................................................................................................
271
14.2 Perfil longitudinal .....................................................................................272
14.2.1 Métodos de materialización de ejes ..............................................273
IX
X
TOPOGRAFÍA
14.2.2 Ejemplo práctico .............................................................................276
14.3 Perfiles o secciones transversales ............................................................280
14.3.1 Nivelación de los perfiles transversales ........................................280
14.3.2 Ejemplo práctico .............................................................................284
14.4 Ejercicio propuesto ...................................................................................287
Capítulo 15. modelos digitales de terreno ...........................................289
15.1 Curvas de nivel ..........................................................................................290
15.1.1 Características de las curvas de nivel ...........................................291
15.1.2 Equidistancia de las curvas de nivel .............................................291
15.2 Breaklines o divisorias de aguas...............................................................293
15.3 Análisis con Modelos Digitales de Terreno ...........................................296
15.3.1 Interpretación de las curvas .........................................................296
15.3.2 Mapa de pendientes ........................................................................296
15.3.3 Mapa de elevaciones ......................................................................298
15.3.4 Mapa de direcciones de pendiente ...............................................298
15.3.5 Mapa de cuencas .............................................................................299
Capítulo 16. Nivelación de superficies ...................................................301
16.1 Generalidades ............................................................................................301
16.2 Nivelación por radiación ...................................................................302
16.3 Nivelación por cuadrícula........................................................................314
16.4 Método de nivelación trigonométrica– puntos de quiebre .................324
16.5 Ejercicios planteados ................................................................................341
Capítulo 17. movimiento de tierras ..........................................................347
17.1 Concepto ....................................................................................................
347
17.2 Método de perfiles consecutivos o secciones transversales ................ 348
17.2.1 Diseño de la rasante ........................................................................348
17.2.2 Cálculo del área en la sección transversal ....................................351
17.2.3 Cálculo de la cubicación ................................................................358
17.3 Método de las curvas de nivel .................................................................365
Capítulo 18. planos topográficos .............................................................369
18.1 Información en planos topográficos.......................................................375
18.2 Elaboración de planos correspondientes
a levantamientos topográficos..........................................................................380
Bibliografía ........................................................................................................
381
TABLA DE CONTENIDO
ÍNDICE
DE
FIGURAS
Figura 1.1
Representación de puntos .................................................................2
Figura 1.2
Figura 1.3
Distancias en topografía ....................................................................
5
Precisión ...........................................................................................11
Figura 1.4
Figura 1.5
Estación total ....................................................................................
12
Trípode...............................................................................................
12
Figura 1.6
Figura 1.7
Nivel ...................................................................................................
13
Mira ....................................................................................................
13
Figura 1.8
Figura 1.9
Prisma ................................................................................................
14
Jalones ................................................................................................
14
Figura 1.10
Figura 1.11
Cinta ...................................................................................................
15
Plomada .............................................................................................
15
Figura 2.1
Figura 2.2
Medidas con cinta en terreno plano .............................................18
Medidas seccionadas con cinta en terreno plano ........................18
Figura 2.3
Figura 2.4
Medidas con cinta en terreno inclinado........................................19
Medidas seccionadas con cinta en terreno inclinado ..................20
Figura 2.5
Figura 2.6
Medidas con cinta en terreno inclinado con obstáculos ............20
Perpendicular con cinta, método del radio .................................21
Figura 2.7
Perpendicular con cinta, método del triángulo
rectángulo ..........................................................................................
21
Perpendicular con escuadras .........................................................22
Figura 2.8
Figura 2.9
Fórmula para ángulos con cinta .....................................................22
Figura 2.10a Carteras de campo: levantamiento con cinta................................27
Figura 2.10b Carteras de campo: levantamiento con cinta................................28
Figura 2.11 Área por figuras geométricas ..........................................................31
Figura 2.12
Figura 2.13
Distancias izquierdas y derechas al restaurante ...........................32
Distancias al punto 10......................................................................
33
Figura 2.14a Carteras de campo: levantamiento con cinta,
método distancias a dos puntos ....................................................34
Figura 2.14b Carteras de campo: levantamiento con cinta,
método distancias a dos puntos .....................................................35
Figura 2.15a Ejercicio planteado: levantamiento con cinta ..............................36
Figura 2.15b Ejercicio planteado: levantamiento con cinta ..............................37
Figura 2.16 Azimut ...............................................................................................
38
Figura 2.17
Rumbo ...............................................................................................
39
XI
XII
TOPOGRAFÍA
Figura 2.18a Carteras de campo: levantamiento con cinta y brújula ..............41
Figura 2.18b Carteras de campo: levantamiento con cinta y brújula ................42
Figura 2.19
Figura 2.20
Azimuts tomados en campo ...........................................................45
Atracción local de cada línea del polígono ..................................46
Figura 2.21
Figura 2.22
Atracción local de cada línea del polígono ..................................47
Ejercicio: Medición con cinta ........................................................48
Figura 3.1
Figura 3.2
Ángulo ...............................................................................................
50
Nomenclatura de los cuadrantes ....................................................50
Figura 3.3
Figura 3.4
Rumbo ...............................................................................................
51
Azimut ...............................................................................................
52
Figura 3.5
Figura 3.6
Ángulo de deflexión .........................................................................
52
Proyecciones cartográficas ..............................................................54
Figura 3.7
Figura 3.8
Orígenes de las coordenadas planas de Gauss
en Colombia ......................................................................................
55
Coordenadas .....................................................................................
56
Figura 3.9
Figura 3.10
Coordenadas polares .......................................................................57
Coordenadas rectangulares a polares ............................................58
Figura 3.11
Figura 3.12
Definición de cuadrante en función del signo
de las diferencias de norte y este ....................................................59
Signo del ángulo θ ............................................................................
60
Figura 3.13
Figura 4.1
Coordenadas rectangulares a polares. ...........................................61
Radiación simple de un lote............................................................64
Figura 4.2
Equipos empleados en levantamientos
por radiación simple ........................................................................65
Figura 4.3
Imagen del predio a levantar ..........................................................67
Figura 4.4 a Cartera de campo: Levantamiento por radiación sencilla ..........68
Figura 4.4 b Cartera de campo: Levantamiento por radiación sencilla ..........69
Figura 4.5
Figura 4.6
Radiación doble ................................................................................
72
Ley de senos ......................................................................................
72
Figura 4.7
Figura 4.8
Glorieta a ser levantada y ubicación de la base medida. .............75
Radiación doble en la glorieta ........................................................75
Figura 4.9 A Cartera de Campo: radiación desde D2 ........................................76
Figura 4.9 a Cartera de Campo: radiación desde D2 y D3...............................77
Figura 4.9 C Cartera de Campo: radiación desde D3. .......................................78
Figura 4.10 Ángulos del triángulo para el punto 4 ...........................................79
Figura 5.1
Levantamiento con poligonales ......................................................88
TABLA DE CONTENIDO
Figura 5.2
Figura 5.3
Poligonal abierta ...............................................................................
89
Poligonal de circuito cerrado ..........................................................89
Figura 5.4
Figura 5.5
Poligonal de línea cerrada ...............................................................90
Poligonal orientada ..........................................................................
90
Figura 5.6
Figura 5.7
Poligonal por ceros atrás externos .................................................91
Poligonal por ceros atrás internos ..................................................91
Figura 5.8
Figura 5.9
Poligonal por deflexiones ................................................................
92
Ángulos internos de una poligonal ................................................93
Figura 5.10
Figura 5.11
Ángulos externos de una poligonal ...............................................93
Poligonal con brazo interno ............................................................94
Figura 6.1
Figura 6.2
Poligonal abierta .............................................................................
101
Cartera de campo ...........................................................................
103
Figura 6.3
Figura 6.4
Cartera de Campo ..........................................................................
108
Ejercicio planteado: poligonal abierta .........................................112
Figura 7.1a
Figura 7.1b
Ejercicio práctico: poligonal cerrada ...........................................115
Ejercicio práctico: poligonal cerrada ...........................................116
Figura 7.2a
Figura 7.2b
Ejercicio planteado: poligonal cerrada ........................................139
Ejercicio planteado: poligonal cerrada ........................................140
Figura 8.1
Figura 8.2
Poligonal punto a punto ................................................................
141
Poligonal punto a punto con dos puntos de apoyo ....................142
Figura 8.3
Figura 8.4
Figura 8.5a
Poligonal punto a punto con tres puntos de apoyo....................142
Poligonal punto a punto con cuatro puntos de apoyo...............143
Ejercicio poligonal punto a punto ................................................145
Figura 8.5b
Figura 8.6
Ejercicio Poligonal punto a punto ................................................146
Ángulos medidos y ángulo proyectado .......................................148
Figura 8.7
Ángulos externos del polígono (incluido el ángulo en
proyecciones) ..................................................................................
149
Figura 8.8a
Figura 8.8b
Ejercicio poligonal punto a punto (para corregir azimuts) .....157
Ejercicio poligonal punto a punto (para corregir azimuts) .....158
Figura 8.9
Poligonal controlada en cada delta ..............................................168
Figura 8.10a Cartera de campo ...........................................................................
170
Figura 8.10b Cartera de campo ...........................................................................
171
Figura 8.11a Cartera de campo ...........................................................................
179
Figura 8.11b Cartera de campo ...........................................................................
180
Figura 9.1
Planta de bodega ............................................................................
183
XIII
XIV
TOPOGRAFÍA
Figura 9.2
Figura 9.3
Tramo vial .......................................................................................
186
Tramo vial para control vertical ...................................................190
Figura 10.1
Figura 10.2
Unidades de área ............................................................................
194
Área a levantar ................................................................................
196
Figura 10.3 División del terreno en figuras geométricas ...............................197
Figura 10.4 a Cartera de campo: Levantamiento con cinta ..............................198
Figura 10.4 b Cartera de campo: Levantamiento con cinta ..............................199
Figura 10.5 Coordenadas de la edificación - Numeración de puntos ..........201
Figura 10.6
Figura 10.7
Poligonal que une los puntos de la edificación
de la figura 10.5 ..............................................................................
205
Comado AREA en la barra de comandos ...................................206
Figura 10.8
Figura 10.9
Comando AREA, opción Object, selección del polígono.........206
Área del polígono ...........................................................................
207
Figura 10.10 Selección de puntos del polígono bajo el comando AREA.......207
Figura 10.11 Área del polígono ...........................................................................
208
Figura 10.12 Comando LIST ...............................................................................
208
Figura 10.13 Área de la poligonal con el comando LIST .................................209
Figura 10.14 Planímetro rodante ........................................................................
210
Figura 10.15 Ubicación de los brazos del planímetro ......................................210
Figura 10.16 Recorrido para el cálculo del área por planímetro polar ..........211
Figura 10.17 Cálculo del área por planímetro rodante ....................................212
Figura 10.18 Malla de puntos ..............................................................................
212
Figura 10.19 Área por malla de puntos ..............................................................213
Figura 10.20 Conteo de puntos en el área ..........................................................214
Figura 10.21 Diferentes ubicaciones de la malla sobre el área ........................214
Figura 10.22 Área con papel milimetrado .........................................................215
Figura 10.23 Posiciones diferentes para el conteo de puntos ..........................215
Figura 11.1
Figura 11.2
Cota o altura....................................................................................
218
Teodolito..........................................................................................
220
Figura 11.3
Figura 11.4
Nivel .................................................................................................
221
Mira ..................................................................................................
221
Figura 11.5
Figura 11.6
Nivel Locke......................................................................................
222
Nivel Abney .....................................................................................
222
Figura 11.7
Figura 12.1
Altímetro .........................................................................................
223
Nivelación geométrica simple.......................................................227
TABLA DE CONTENIDO
Figura 12.2
Figura 12.3
Cartera de campo: nivelación geométrica simple ......................228
Nivelación geométrica compuesta ...............................................230
Figura 12.4a Ejercicio. Circuito de nivelación
por diferentes cambios...................................................................
232
Figura 12.4b Ejercicio. Circuito de nivelación
por diferentes cambios...................................................................
233
Figura 12.5
Ejercicio propuesto. Circuito de nivelación
por diferentes cambios...................................................................
237
Figura 12.6a Ejercicio. Circuito de nivelación por los mismos cambios .......238
Figura 12.6b Ejercicio. Circuito de nivelación por los mismos cambios .......239
Figura 12.7
Figura 13.1
Ejercicio. Circuito de nivelación por los mismos cambios .......243
Diagrama general de la nivelación trigonométrica....................246
Figura 13.2 Ángulo cenital mayor a 90 grados................................................248
Figura 13.3a Cartera de campo ...........................................................................
250
Figura 13.3b Cartera de campo ..........................................................................
251
Figura 13.4a Cartera de campo ..........................................................................
258
Figura 13.4b Cartera de campo ..........................................................................
259
Figura 13.4c Cartera de campo ..........................................................................
260
Figura 13.4d Cartera de campo ...........................................................................
261
Figura 13.5 a Ejercicio propuesto. Cartera de campo ......................................268
Figura 13.5 b Ejercicio propuesto. Cartera de campo ......................................269
Figura 14.1 Perfil topográfico ............................................................................
271
Figura 14.2
Figura 14.3
Tipo de perfiles ...............................................................................
272
Materialización del eje por distancias fijas..................................273
Figura 14.4
Figura 14.5
Figura 14.6
Materialización del eje por puntos de quiebre ...........................274
Problemas en el método de distancias fijas .................................275
Materialización del eje por método mixto ..................................275
Figura 14.7
Figura 14.8
Cartera de campo. Nivelación perfil 1 .........................................276
Cartera de campo. Nivelación perfil 2 .........................................277
Figura 14.9 Dibujo perfil escala 1:1 ..................................................................
279
Figura 14.10 Perfil escala a décupla ....................................................................
280
Figura 14.11 Escuadra óptica ..............................................................................
281
Figura 14.12 Escuadra de agrimensor ................................................................
281
Figura 14.13 Trazo de perpendiculares en línea recta ......................................282
Figura 14.14 Trazo de perpendiculares en las curvas.......................................282
Figura 14.15 Nivelación de secciones transversales ..........................................283
XV
XVI
TOPOGRAFÍA
Figura 14.16 Nivelación de secciones transversales con cambios...................283
Figura 14.17 Cartera de campo de nivelación de secciones ............................284
Figura 14.18 Sección transversal .........................................................................
286
Figura 14.19 Nivelación de un perfil ..................................................................
287
Figura 14.20 Nivelación secciones transversales ...............................................288
Figura 15.1 Modelo digital del terreno .............................................................289
Figura 15.2
Figura 15.3
Curvas de nivel de un modelo digital del terreno ......................290
Curvas de nivel de un modelo digital del terreno ......................292
Figura 15.4
Figura 15.5
Curvas de nivel sobre un vía sin aplicar breaklines ....................293
Líneas de triangulación o interpolación sin breaklines .............294
Figura 15.6
Figura 15.7
Líneas de triangulación o interpolación con breaklines ............295
Curvas de nivel sobre un vía aplicando breaklines .....................295
Figura 15.8
Figura 15.9
Curvas de nivel en corrientes de agua y en filos de montaña ..296
Mapa de pendientes ......................................................................297
Figura 15.10 Mapa de elevaciones .....................................................................298
Figura 15.11 Mapa de direcciones de pendiente ..............................................299
Figura 15.12 Mapa de cuencas ............................................................................
299
Figura 16.1 Radiación. Ubicación de las visuales ...........................................302
Figura 16.2
Figura 16.3
Materialización de puntos de quiebre..........................................303
Medición de ángulos y distancias.................................................303
Figura 16.4 a Cartera de la radiación ..................................................................
304
Figura 16.4 b Cartera de la radiación ..................................................................
305
Figura 16.5 Cartera de la nivelación .................................................................307
Figura 16.6
Figura 16.7
Interpolación entre los puntos 21 - 22.........................................310
Ubicación de las cotas cerradas ....................................................313
Figura 16.8
Figura 16.9
Plano topográfico ...........................................................................
313
Terreno a nivelar.............................................................................
314
Figura 16.10 Coordenadas de la cuadrícula ......................................................315
Figura 16.11 Cuadrícula y equipo para nivelación ...........................................316
Figura 16.12 Dimensiones de una cuadrícula ...................................................320
Figura 16.13 Líneas y diagonales de la cuadrícula ............................................321
Figura 16.14 Ubicación de puntos para curvas de nivel
en la cuadrícula...............................................................................
323
Figura 16.15 Trazado de las curvas de nivel ......................................................323
Figura 16.16a Cartera de campo ..........................................................................
325
TABLA DE CONTENIDO
Figura 16.16b Cartera de campo ..........................................................................
326
Figura 16.16c Cartera de campo ..........................................................................
327
Figura 16.17 Cartera de nivelación .....................................................................
328
Figura 16.18 Ubicación de los puntos por coordenadas
y generación de los triángulos ......................................................337
Figura 16.19 Creación de la superficie en Civil 3D ..........................................338
Figura 16.20 Creación de los puntos en la plataforma Civil 3D .....................338
Figura 16.21 Definición de la superficie por puntos
en la plataforma Civil 3D ..............................................................
339
Figura 16.22 Puntos en la plataforma Civil 3D .................................................339
Figura 16.23 Modelo Digital de Terreno - MDT
en la plataforma Civil 3D ..............................................................
340
Figura 16.24a Nivelación de un terreno por radiación ......................................341
Figura 16.24b Nivelación de un terreno por radiación ......................................342
Figura 16.25a Nivelación de terrenos por puntos de quiebre ...........................344
Figura 16.25b Nivelación de terrenos por puntos de quiebre ...........................345
Figura 17.1
Figura 17.2
Perfil y diseño .................................................................................
348
Sección transversal típica ..............................................................
350
Figura 17.3
Figura 17.4
Trazo de la rasante en la sección transversal ..............................350
Área del diseño en la sección transversal ....................................351
Figura 17.5
Figura 17.6
Puntos de la sección transversal ...................................................352
Área por método de cartera de chaflanes ....................................352
Figura 17.7
Figura 17.8
Multiplicaciones de la regla de cruces .........................................353
Puntos sección transversal mixta .................................................354
Figura 17.9
Área por método de cartera de chaflanes.
Sección mixta ..................................................................................
354
Figura 17.10 Multiplicaciones de la regla de cruces .........................................355
Figura 17.11 Origen cartesiano ...........................................................................
356
Figura 17.12 Multiplicaciones de coordenadas .................................................357
Figura 17.13 Área en CAD...................................................................................
357
Figura 17.14 Sólido entre secciones transversales ............................................358
Figura 17.15 Prismoide en corte .........................................................................
359
Figura 17.16 Prismoide en relleno ......................................................................
359
Figura 17.17 Piramoide .......................................................................................
360
Figura 17.18 Tronco de piramoide .....................................................................
361
Figura 17.19 Sección especial ..............................................................................
362
XVII
XVIII
TOPOGRAFÍA
Figura 17.20 Volumen en secciones. Ejemplo ...................................................363
Figura 17.21 Área entre curvas de nivel .............................................................365
Figura 17.22 Perfil de la zona de proyecto .........................................................365
Figura 17.23 Zonas de corte y relleno ................................................................366
Figura 18.1
Figura 18.2
Formato pliego (medidas en milímetros) ...................................371
Formato medio pliego (medidas en milímetros) .......................371
Figura 18.3
Figura 18.4
Formato A1 (medidas en milímetros).........................................372
Formato A2 (medidas en milímetros).........................................373
Figura 18.5
Figura 18.6
Grilla de coordenadas ...................................................................
375
Cuadrícula perfil longitudinal .....................................................376
Figura 18.7
Figura 18.8
Cuadrícula secciones transversales .............................................377
Norte dibujada en la planta de un plano
topográfico .....................................................................................
377
Figura 18.9 Escalas gráficas ..............................................................................
378
Figura 18.10a Convenciones topográficas ...........................................................379
Figura 18.10b Convenciones topográficas ...........................................................379
ÍNDICE
D E TABLAS
Tabla 2.1
Tabla 2.2
Ángulos del polígono .........................................................................29
Ángulos corregidos.............................................................................29
Tabla 2.3
Tabla 2.4
Promedio de las distancias horizontales .........................................30
Cálculo del área por figuras geométricas .........................................31
Tabla 2.5
Tabla 2.6
Cálculo de ángulos..............................................................................43
Corrección de ángulos .......................................................................44
Tabla 3.1
Tabla 4.1
Determinación del valor del Azimut................................................59
Determinación de los azimuts y proyecciones
de los detalles ......................................................................................70
Tabla 4.2
Ángulos internos de los triángulos y distancia
desde D2 a los detalles .......................................................................80
Tabla 4.3
Tabla 4.4
Azimuts proyecciones y coordenadas del levantamiento .............. 82
Ejercicio planteado de radiación sencilla.........................................84
Tabla 4.5
Tabla 6.1
Ejercicio planteado de Radiación doble. ..........................................85
Coordenadas base .............................................................................104
Tabla 6.2
Tabla 6.3
Cálculo de azimut de la poligonal .................................................104
Cálculo de proyecciones de la poligonal ........................................105
TABLA DE CONTENIDO
Tabla 6.4
Tabla 6.5
Cálculo de coordenadas de la poligonal ........................................105
Cálculo de coordenadas de los detalles ..........................................106
Tabla 6.6
Tabla 6.7
Coordenadas base .............................................................................109
Cálculo de azimut de la poligonal .................................................109
Tabla 6.8
Tabla 6.9
Cálculo de proyecciones de la poligonal ........................................110
Cálculo de coordenadas de la poligonal ........................................110
Tabla 6.10 Cálculo de coordenadas de los detalles ..........................................111
Tabla 8.1 Coordenadas de los puntos de amarre inicial ...............................147
Tabla 8.2
Tabla 8.3
Coordenadas de los puntos de amarre final .................................147
Ángulos del polígono cerrado .........................................................149
Tabla 8.4
Tabla 8.5
Ángulos corregidos ..........................................................................150
Azimuts de la poligonal ...................................................................151
Tabla 8.6
Tabla 8.7
Proyecciones de la poligonal ..........................................................151
Proyecciones corregidas ..................................................................153
Tabla 8.9 Coordenadas de la poligonal ..........................................................154
Tabla 8.10 Azimut de los detalles.......................................................................154
Tabla 8.11 Proyecciones de los detalles .............................................................155
Tabla 8.12 Cálculo de coordenadas de detalles ................................................155
Tabla 8.13 Coordenadas de los puntos de amarre inicial ...............................159
Tabla 8.14 Coordenadas de los puntos de amarre final .................................159
Tabla 8.15 Ángulos del polígono cerrado .........................................................160
Tabla 8.16 Azimuts corregidos ...........................................................................161
Tabla 8.17 Proyecciones de la poligonal ..........................................................161
Tabla 8.18 Proyecciones corregidas ..................................................................163
Tabla 8.19 Coordenadas de la poligonal ..........................................................164
Tabla 8.20 Azimut de los detalles.......................................................................164
Tabla 8.21 Proyecciones de los detalles ............................................................165
Tabla 8.22 Cálculo de coordenadas detalles .....................................................166
Tabla 8.23 Corrección de ángulos .....................................................................172
Tabla 8.24 Cálculo de Azimuts ..........................................................................173
Tabla 8.25 Cálculo de proyecciones ..................................................................174
Tabla 8.26 Corrección de proyecciones ............................................................175
Tabla 8.27 Coordenadas de la poligonal ...........................................................176
Tabla 8.28 Precisiones de cada lado ..................................................................177
Tabla 8.29 Coordenadas de los detalles ............................................................178
XIX
XX
TOPOGRAFÍA
Tabla 9.1
Tabla 9.2
Deltas materializados en campo .....................................................183
Coordenadas de los ejes de construcción ......................................184
Tabla 9.3
Tabla 9.4
Distancias y azimuts calculados ......................................................184
Coordenadas punto de amarre .......................................................186
Tabla 9.5
Tabla 9.6
Coordenadas del eje y los chaflanes del tramo ............................187
Datos replanteo desde GPS-1 .........................................................188
Tabla 9.7
Tabla 9.8
Datos replanteo desde D2 ................................................................189
Control vertical ................................................................................191
Tabla 10.1 Cálculo del área por figuras geométricas .......................................195
Tabla 10.2 División en figuras geométricas ......................................................197
Tabla 10.3 División en figuras geométricas ......................................................200
Tabla 10.4 Coordenadas de los puntos .............................................................202
Tabla 10.5 Cálculos discriminados del primer método ..................................202
Tabla 10.6 Cálculos discriminados del segundo método ...............................204
Tabla 10.7 Cálculo del área por planímetro rodante .......................................211
Tabla 10.8 Cálculo del área por malla de puntos .............................................213
Tabla 10.9 Número de cuadros ..........................................................................216
Tabla 11.1 Tipos de nivelación ...........................................................................219
Tabla 11.2 Constante por clase de nivelación ..................................................224
Tabla 11.3 Errores permitidos por clase de nivelación ...................................224
Tabla 12.1 Cálculos nivelación geométrica simple ..........................................229
Tabla 12.2 Nivelación de cambios del circuito de nivelación.........................234
Tabla 12.3 Cálculos de distancias ......................................................................234
Tabla 12.4 Ajuste del circuito .............................................................................235
Tabla 12.5 Cotas de los detalles .........................................................................236
Tabla 12.6 Chequeo y ajuste del circuito ..........................................................241
Tabla 12.7 Cálculo de las cotas de los detalles .................................................242
Tabla 13.1 Datos de campo cálculo nivelación simple....................................252
Tabla 13.2 Cálculo de desniveles y cotas de los puntos ..................................254
Tabla 13.3 Cálculo de coordenadas - Radiación simple .................................255
Tabla 13.4 Ajuste de la poligonal cerrada .........................................................263
Tabla 13.5 Cálculo de desniveles y cotas de los deltas ....................................266
Tabla 14.1 Lecturas a los cambios ......................................................................278
Tabla 14.2 Chequeo y Ajuste de Traslado de cotas ..........................................278
Tabla 14.3 Cálculo cotas del eje .........................................................................278
TABLA DE CONTENIDO
Tabla 14.4 Cotas de eje longitudinal..................................................................285
Tabla 14.5 Cartera de cálculo de cotas de la sección transversal ...................286
Tabla 15.1 Equidistancia sugerida según la escala del plano .........................292
Tabla 15.2 Áreas para tipo de terreno ..............................................................297
Tabla 16.1 Cálculo de coordenadas ...................................................................306
Tabla 16.2 Cálculo de la nivelación ...................................................................308
Tabla 16.3 Interpolación de las línea de visual – IV = 0.5 m .........................310
Tabla 16.4 Cálculo de la nivelación ...................................................................316
Tabla 16.5 Interpolación de un cuadro de la cuadrícula ................................322
Tabla 16.6 Ajuste de la poligonal. Cálculo de coordenadas ...........................329
Tabla 16.7 Coordenadas de los detalles y nube de puntos .............................331
Tabla 16.8a Coordenadas y cotas – Tablas 13.4 y 13.5 ......................................334
Tabla 16.8b Coordenadas y cotas – Tablas 13.4 y 13.5 ......................................334
Tabla 16.8c Coordenadas y cotas – Tablas 13.4 y 13.5 ......................................334
Tabla 16.9 Nivelación Trigonométrica ..............................................................334
Tabla 16.10 Nivelación de un terreno por cuadrícula .......................................343
Tabla 17.1 Cotas del Diseño ...............................................................................349
Tabla 17.2 Datos para el área por método de cartera
de chaflanes .......................................................................................353
Tabla 17.3 Cálculo del área por método de cartera
de chaflanes .......................................................................................353
Tabla 17.4 Datos para el área por método de cartera de chaflanes.
Sección mixta....................................................................................355
Tabla 17.5 Coordenadas de los puntos de la sección ......................................356
Tabla 17.6 Cálculo del área por método de coordenadas ...............................357
Tabla 17.7 Áreas de las secciones. Ejemplo .....................................................363
Tabla 17.8 Cálculo del volumen. Ejemplo .......................................................364
Tabla 17.9 Áreas entre las curvas de nivel ........................................................367
Tabla 17.10 Cálculo de las diferencias de altura. Relleno .................................367
Tabla 17.11 Cálculo de las diferencias de altura. Corte ....................................368
Tabla 17.12 Cálculo volumen de relleno .............................................................368
Tabla 17.13 Cálculo volumen de corte ................................................................368
Tabla 18.1 Derivaciones de un pliego................................................................370
Tabla 18.2 Formatos DIN ...................................................................................372
Tabla 18.3 Equivalencias de las escalas topográficas ......................................374
XXI
CAPÍ TULO 1
CO N CE P T O S B Á S I C O S
1.1 Topografía
T
radicionalmente la topografía se ha definido como una ciencia aplicada, encargada de determinar la posición relativa de puntos sobre la Tierra y la representación en un plano de una porción de la superficie terrestre.
En un sentido más general, se puede definir como la disciplina que abarca todos
los métodos para reunir información de partes físicas de la Tierra, tales como el
relieve, los litorales, los cauces de corrientes hídricas, entre otros, usando para
ello los métodos clásicos de medición en terreno, la fotogrametría y los Sensores
Remotos.
Si se analiza la palabra topografía desglosándola del griego topo- topos (lugar/
región/sitio) y -grafía graphe (descripción), Topografía significaría el arte o la
técnica que se encarga de la descripción detallada de la superficie de un terreno
en una determinada región o lugar.
Una definición muy acertada es: topografía es la ciencia por medio de la cual se
establecen las posiciones de puntos situados sobre la superficie terrestre, encima
y debajo de ella; para lo cual se realizan mediciones de distancias, ángulos y
elevaciones.
2
TOPOGRAFÍA
1.1.1 Representación de puntos en topografía
Un punto en el espacio puede representarse en 3D o en 2D, a través de los sistemas
cartesianos tridimensionales y bidimensionales respectivamente.
En 3D o sistema cartesiano tridimensional:
• XP: Proyección Este de P.
• YP: Proyección Norte de P.
• ZP: Cota o altitud de P.
FIGURA 1.1 Representación de puntos
Z(Cota)
Zp
Punto 3D (X, Y, Z)
Xp
X (Este)
Yp
Punto 2D (X, Y )
Y (Nor te)
1.2 Operaciones topográficas
En los métodos topográficos de medición en terreno no se considera la verdadera
forma de la Tierra, solo se utilizan modelos aproximados a la realidad, entre
las prescindencias esta se considera plana, la dirección de la plomada entre dos
puntos sería paralela y los trabajos se desarrollan en extensiones relativamente
pequeñas. Las actividades topográficas se pueden clasificar en: el levantamiento,
el replanteo y el control.
CAPÍTULO 1: CONCEPTOS BÁSICOS
1.2.1 Levantamiento topográfico
Conjunto de operaciones que tienen por objeto determinar la posición de puntos
en el espacio y su representación en un plano, el conjunto de operaciones incluye:
• Selección del método de levantamiento.
• Elección del equipo a utilizar.
• Identificar y ubicar posibles vértices de apoyo.
• Realización de mediciones en terreno.
• Cálculo y procesamiento de datos.
• Elaboración de planos.
1.2.2 Replanteo
Una vez realizado el levantamiento y teniendo como resultado un plano
topográfico, los ingenieros o planificadores realizan proyectos sobre ellos que hay
que materializar en el terreno, por lo tanto, la operación de replanteo consiste
en volver a terreno a ubicar cada uno de los elementos geométricos previamente
definidos en el proyecto. Esta operación contempla un replanteo en tres
dimensiones, Norte, Este y Cota.
1.2.3 Control
Conjunto de operaciones cuya finalidad es constatar o fiscalizar en el terreno la
materialización de las obras de ingeniería.
1.3 Tipos de levantamientos
Dentro de los levantamientos topográficos se encuentran:
• Levantamiento de terrenos en general: tiene por objeto marcar linderos o
localizarlos, medir y dividir superficies, ubicar terrenos en planos generales
ligando con levantamientos anteriores o proyectar obras y construcciones.
• Topografía para vías de comunicación: sirve para estudiar y construir
caminos, ferrocarriles, canales, líneas de transmisión, acueductos, etc.
• Topografía de minas: tiene por objeto fijar y controlar la posición de trabajos
subterráneos y relacionarlos con las obras superficiales.
• Levantamientos catastrales: normalmente se trata de levantamientos
urbanos o rurales, con el propósito de localizar los linderos de las propiedades
(agrícolas, mineras, acuicultura, derechos de agua, etc.) y las construcciones
que contienen, para conocer sus detalles, su extensión, su valor, los derechos
3
4
TOPOGRAFÍA
de propiedad y transmisión, con la finalidad principal de que el estado pueda
recaudar los impuestos respectivos.
• Levantamientos hidrográficos: levantamientos relacionados con la definición de deslindes de playas de mar, ríos, lagos, embalses y otros cuerpos de
agua, así como con la configuración e irregularidades de sus profundidades
(batimetría), utilizando instrumental topográfico clásico en la determinación
planimetría y sofisticados instrumentos electrónicos para determinar sus
profundidades. Las finalidades pueden ir desde la delimitación de sus playas
para uso público, pasando por la navegación, hasta el estudio de sedimentos
y el dragado de sus fondos.
• Levantamientos de ingeniería: incluye los trabajos topográficos requeridos
antes, durante y después del término o cierre de los proyectos de ingeniería.
Un plano topográfico resultante de un levantamiento que entregue la
configuración del terreno más la incipiente concepción mental de algún
proyecto de ingeniería son las materias primas más elementales y suficientes
para que un ingeniero comience a plasmar en el plano su proyecto.
Posteriormente necesitará materializar cada uno de sus elementos en el
terreno (operación de replanteo) y alguna institución de fiscalización tendrá
la facultad para verificar si lo materializado efectivamente corresponde
a lo proyectado (control topográfico), de ahí la importancia que tiene la
topografía para los estudiantes de ingeniería en el desarrollo u orientación de
sus potencialidades ingenieriles.
• Levantamientos aéreos: se hacen por medio de la fotografía, generalmente
desde aviones y/o drones, y se usan como auxiliares muy valiosos de todas las
otras clases de levantamientos. La fotogrametría se dedica especialmente al
estudio de estos trabajos.
1.4 Mediciones en topografía
La medición es la técnica mediante la cual asignamos un número a una propiedad
física, como resultado de comparar dicha propiedad con otra similar tomada como
patrón, la cual se adopta como unidad. La medida de una superficie da lugar a
dos cantidades diferentes si se emplean distintas unidades de medida. Así, surgió
la necesidad de establecer una unidad de medida única para cada magnitud, de
modo que la información fuese fácilmente comprendida por todos.
Los levantamientos topográficos se basan en la medición de distancias y ángulos.
Las distancias pueden ser: horizontales, que son las medidas principales en
planimetría; verticales, que se utilizan para establecer las diferencias de nivel; y las
inclinadas, mediciones sobre la superficie terrestre.
En topografía, cuando se hacen mediciones lineales, es importante tener claridad
en los siguientes conceptos:
5
CAPÍTULO 1: CONCEPTOS BÁSICOS
• Distancia Natural: distancia entre dos puntos siguiendo el relieve del terreno.
• Distancia Geométrica: longitud del segmento de recta que une los dos
puntos, también se denomina distancia inclinada.
• Distancia Reducida: distancia medida sobre el plano horizontal, también
denominada distancia horizontal.
FIGURA 1.2 Distancias en topografía
B
is
D
t
c
n
a
t
a
n
ia
is
D
t
r
u
c
n
a
l
a
ia
g
e
é
m
o
t
r
ic
a
A
Distancia reducida
Los ángulos que se miden en topografía son horizontales y verticales. Los ángulos
horizontales permiten determinar la ubicación de los detalles en coordenadas X y Y,
mientras que los verticales se utilizan para determinar diferencias de cota o altura.
1.4.1 Unidades de medición angular
Los círculos horizontales y verticales en los equipos vienen generalmente graduados
en los sistemas angulares sexagesimales o centesimales, sin embargo algunos equipos
para el uso militar pueden también venir graduados en el sistema de milésimas.
1.4.1.1 Sistema sexagesimal (MODE DEG)
• 1 Círculo horizontal o vertical graduado = 360° grados sexagesimales.
• 1° = 60´ (minutos sexagesimales).
• 1´ = 60˝ (segundos sexagesimales).
6
TOPOGRAFÍA
Las cantidades expresadas en este sistema deben sumarse o restarse por separado,
los grados, los minutos y segundos. Es importante que los usuarios de calculadoras
aprendan a usarlas, seleccionando apropiadamente el sistema de medición
de ángulos, en este caso Mode DEG, así como también conocer el proceso de
conversión de mediciones angulares, expresadas en formato de fracciones de
grados sexagesimales, a formatos de grados, minutos, segundos sexagesimales.
1.4.1.2 Sistema centesimal (MODE GRA )
• 1 Círculo horizontal o vertical = 400 g.
• 1 g = 100 c (minutos centesimales).
• 1 c = 100 cc (segundos centesimales).
Las operaciones aritméticas se efectúan exactamente igual que el común de las
operaciones usadas en el sistema decimal.
1.4.1.3 Sistema en radianes (MODE RAD )
En este sistema de unidades angulares trabajan los computadores, luego al usar
algún lenguaje de programación debe conocerse la equivalencia entre los sistemas:
• 2 π radianes = 360 ° (Sistema sexagesimal).
• 2 π radianes = 400 g (Sistema centesimal).
1.4.1.4 Sistema en milésimas
En este sistema de graduación se han fabricado algunas brújulas geológicas e
instrumentales de artillería.
• 1 Círculo horizontal = 6.400- (milésimas).
• 1/4 Círculo horizontal = 1.600- (milésimas).
• 1/64 Círculo horizontal = 100- (milésimas).
1.4.2 Unidades de medida de longitud
Una unidad de longitud es una cantidad estandarizada, por convención, de
distancia. La longitud es una magnitud fundamental creada para medir la distancia
entre dos puntos. Existen diversos sistemas de unidades para esta magnitud física;
los más comúnmente usados son el Sistema Internacional de Unidades y el sistema
anglosajón de unidades.
CAPÍTULO 1: CONCEPTOS BÁSICOS
1.4.2.1 Sistema Internacional de Unidades
En el Sistema Internacional de Unidades (SI) la unidad fundamental de longitud
es el metro, definido como la distancia que recorre la luz en el vacío durante un
intervalo de 1/299.792.458 de segundo. El símbolo del metro es «m».
Múltiplos y submúltiplos del metro
Utilizando los prefijos del Sistema Internacional, es posible definir unidades de
longitud que son múltiplos o submúltiplos del metro. A continuación se enlistan
los múltiplos y submúltiplos del metro, aceptados dentro del SI, junto con su
símbolo y su equivalencia en metros, en notación científica y decimal.
• Múltiplos del metro:
»
Yottametro (Ym): 1024 metros = 1 000 000 000 000 000 000 000 000 metros
Zettametro (Zm): 1021 metros = 1 000 000 000 000 000 000 000 metros
»
Exámetro (Em): 1018 metros = 1 000 000 000 000 000 000 metros
»
Petámetro (Pm): 1015 metros = 1 000 000 000 000 000 metros
»
Terámetro (Tm): 1012 metros = 1 000 000 000 000 metros
»
Gigámetro (Gm): 109 metros = 1 000 000 000 metros
»
Megámetro (Mm): 106 metros = 1 000 000 metros
»
Kilómetro (km): 103 metros = 1 000 metros
»
Hectómetro (hm): 102 metros = 100 metros
»
»
Decámetro (dam): 10 1 metros = 10 metros
• Submúltiplos del metro:
Decímetro (dm): 10 -1 metros = 0,1 metros
»
Centímetro (cm): 10 -2 metros = 0,01 metros
»
Milímetro (mm): 10-3 metros = 0,001 metros
»
Micrómetro (µm): 10-6 metros = 0,000 001 metros
»
Nanómetro (nm): 10-9 metros = 0,000 000 001 metros
»
Picómetro (pm): 10-12 metros = 0,000 000 000 001 metros
»
Femtómetro (fm): 10-15 metros = 0,000 000 000 000 001 metros
»
Attómetro (am): 10-18 metros = 0,000 000 000 000 000 001 metros
»
Zeptómetro (zm): 10-21 metros = 0,000 000 000 000 000 000 001 metros
»
Yoctómetro (ym): 10-24 metros = 0,000 000 000 000 000 000 000 001 metros
»
7
8
TOPOGRAFÍA
1.4.2.2 Sistema anglosajón de unidades
El sistema para medir longitudes en los Estados Unidos se basa en la pulgada, el pie,
la yarda y la milla. Cada una de estas unidades tiene dos definiciones ligeramente
distintas, lo que ocasiona que existan dos diferentes sistemas de medición.
Una pulgada de medida internacional mide exactamente 25,4 mm (por definición),
mientras que una pulgada de agrimensor de Estados Unidos se define para que
39,37 pulgadas sean exactamente un metro. Para la mayoría de las aplicaciones, la
diferencia es insignificante (aproximadamente 3 mm por cada milla). La medida
internacional se utiliza en la mayoría de las aplicaciones para topografía.
Las medidas de topografía emplean una definición más antigua, que se usó antes
de que los Estados Unidos adoptaran la medida internacional:
• 1 mil = 25,4 µm (micrómetros)
• 1 pulgada ( in) = 1 000 miles = 2,54 cm
• 1 pie (ft) = 12 in = 30,48 cm
• 1 yarda ( yd) = 3 ft = 36 in = 91,44 cm
• 1 rod (rd) = 5,5 yd = 16,5 ft = 198 in = 5,0292 m
• 1 cadena ( ch) = 4 rd = 22 yd = 66 ſt = 792 in = 20,1168 m
• 1 furlong (fur) = 10 ch = 40 rd = 220 yd = 660 ft = 7.920 in = 201,168 m
• 1 milla ( mi) = 8 fur = 80 ch = 320 rd = 1.760 yd = 5.280 ſt = 63.360
in = 1.609,344 m = 1,609347 km (agricultura)
• 1 legua = 3 mi = 24 fur = 240 ch = 960 rd = 5.280 yd = 15.840 ſt = 190.080
in = 4.828,032 m = 4,828032 km
A veces, con fines de topografía, se utilizan las unidades conocidas como las
medidas de cadena de Gunther (o medidas de cadena del agrimensor ). Estas
unidades se definen a continuación:
• 1 link (li ) = 7,92 in = 0,001 fur = 201, ena (unidad de longitud)
• Para medir profundidades del mar, se utilizan los fathoms (braza):
• 1 braza = 6 ſt = 2 yd = 72 in = 1,8288 m
1.4.3 Unidades de medida de superficie
Las unidades de superficie son medidas utilizadas para medir superficies con
una determinada área, se utiliza el m² en el Sistema Internacional de Unidades.
Igualmente, se puede utilizar el sistema anglosajón de unidades.
CAPÍTULO 1: CONCEPTOS BÁSICOS
1.4.3.1 Sistema Internacional de Unidades
Unidad básica:
Metro cuadrado.
Múltiplos:
• Decámetro cuadrado o Área.
• Hectómetro cuadrado o Hectárea.
• Kilómetro cuadrado.
Submúltiplos:
• Decímetro cuadrado.
• Centímetro cuadrado.
• Milímetro cuadrado.
1.4.3.2 Sistema anglosajón de unidades
Las unidades de superficie en EE.UU. se basan en la yarda cuadrada (sq, yd o yd²).
• 1 pulgada cuadrada (sq in o in²) = 6,4516 cm²
• 1 pie cuadrado (sq ſt o ſt²) = 144 in² = 929,0304 cm²
• 1 yarda cuadrada (sq yd o yd²) = 9 ſt² = 1.296 in² = 0,83612736 m²
• 1 rod cuadrado (sq rd o ‘’rd²)
• 1 rood = 40 rd² = 1.210 yd² = 10.890 ſt² = 1.568.160 in² = 1.011,7141056 m²
• 1 acre (ac) = 4 roods = 160 rd ² = 4.840 yd² = 43.560 ſt² = 6.272.640
in² = 4.046,8564224 m²
• 1 homestead = 160 ac = 640 roods = 25.600 rd² = 774.400 yd² = 6.969.600
ſt² = 1.003.622.400 in² = 647.497,027584 m ²
• 1 milla cuadrada (sq mi o mi²) = 4 homesteads = 640 ac = 2.560
roods = 102.400 rd ² = 3.097.600 yd² = 27.878.400 ſt² = 4.014.489.600
in² = 2,589988110336 km²
• 1 legua cuadrada = 9 mi ² = 36 homesteads = 5.760 ac = 23.040
roods = 921.600 rd ² = 27.878.400 yd² = 250.905.600 ſt² = 36.130.406.400
in² = 23,309892993024 km²
1.4.4 Unidades de medida de volumen
Existen multitud de unidades de volumen que se utilizan dependiendo del
contexto o de la finalidad de la medición. En los ámbitos académicos o técnicos
se suelen emplear el metro y sus derivados. Para expresar el volumen de
sustancias líquidas o gaseosas, e incluso para mercancías a granel, se suele recurrir
9
10
TOPOGRAFÍA
a la capacidad del recipiente que lo contiene, medida en litros y sus derivados. En
ocasiones, cuando la densidad del material es constante y conocida, se pueden
expresar las cantidades por su equivalente en peso en lugar de volumen.
1.4.4.1 Sistema Internacional de Unidades
En el Sistema Internacional de Unidades la unidad de volumen es el metro cúbico
(m3). Algunos de los múltiplos y submúltiplos usuales del metro cúbico son los
siguientes:
Múltiplos
• Kilómetro cúbico = 109 m3.
• Hectómetro cúbico = 106 m3.
• Decámetro cúbico = 103 m3
Submúltiplos
• Decímetro cúbico = 10-3 m 3
• Centímetro cúbico = 10-6 m3
• Milímetro cúbico = 10-9 m3
La unidad más utilizada para medir el volumen de líquidos o recipientes es el litro.
El litro está admitido en el S.I. aunque estrictamente no forma parte de él.
1.4.4.2 Sistema anglosajón de unidades
Las unidades de volumen en el sistema anglosajón de unidades se derivan de
las respectivas unidades de longitud, como la pulgada cúbica, el pie cúbico, la
yarda cúbica, el acre-pie o la milla cúbica. Para medir el volumen de líquidos, las
unidades de capacidad más extendidas son el barril, el galón y la pinta, y en menor
medida la onza líquida, el cuarto, el gill , el mínimo o el escrúpulo líquido.
1.5 Redondeo de Números
Consiste en suprimir, de una respuesta numérica, uno o más dígitos para que tenga
solamente los que sean significativos o necesarios en los cálculos subsecuentes.
Existen tres normas básicas para el redondeo de números:
1. Cuando el número por eliminar sea menor que 5 se escribe el número sin este
dígito: 65,89436 redondeado a tres decimales será 65,894. Este procedimiento
se conoce como truncar número.
2. Cuando el número a eliminar es igual a 5 se redondea al número par siguiente,
ejemplo 54,6675 será 54,668; así 54,6685.
11
CAPÍTULO 1: CONCEPTOS BÁSICOS
3. Cuando el digito es mayor que 5 se redondea al siguiente número. Así 29,5789
será 29,579. Esto se conoce como aproximar número.
Como una medida práctica, cuando se haga una secuencia de operaciones
aritméticas, se recomienda no redondear números en los cálculos intermedios,
sólo al momento de entregar la respuesta, debido a que en el redondeo se pueden
llegar a perder décimas significativas.
1.6 Exactitud y precisión
Exactitud es el grado de proximidad que se tiene en una medición al verdadero
valor de su magnitud. En términos estadísticos, la exactitud está relacionada con el
sesgo de una estimación, cuanto menor es el sesgo más exacta es una estimación.
Precisión es lo contrario a dispersión de las observaciones. Explica qué tanto
difiere una serie de mediciones de otra, que se toman bajo las mismas condiciones.
En una serie de mediciones de una misma magnitud, si los valores obtenidos
son muy cercanos, se puede concluir que la precisión de la medición es alta. En
topografía se puede hablar de precisión más no de exactitud, ya que por las leyes
de la probabilidad nunca se conoce el verdadero valor de una medida.
En la figura 1.3 se presentan algunos ejemplos de estos dos términos, en (a) los
resultados son precisos pero no exactos, en (b) los resultados no son precisos ni
exactos y en (c) los resultados son tanto precisos como exactos.
FIGURA 1.3 Precisión
(a)
(b)
(c)
12
TOPOGRAFÍA
1.7 Equipos utilizados en Topografía
1.7.1 Estación total
Se denomina estación total a un aparato electro-óptico, cuyo funcionamiento
se apoya en la tecnología electrónica. Consiste en la incorporación de un
distanciómetro y un microprocesador a un teodolito electrónico.
FIGURA 1.4 Estación total
1.7.2 Trípode
Se denomina trípode a un armazón que cuenta con tres pies y que se utiliza como
sostén de diversos equipos topográficos.
FIGURA 1.5 Trípode
CAPÍTULO 1: CONCEPTOS BÁSICOS
1.7.3 Nivel topográfico
El nivel topográfico, también llamado nivel óptico o equialtímetro, es un
instrumento que tiene como finalidad la medición de desniveles entre puntos que
se hallan a distintas alturas o el traslado de cotas de un punto conocido a otro
desconocido.
FIGURA 1.6 Nivel
1.7.4 Mira topográfica
En topografía, una estadía o mira estadimétrica, también llamado estadal en
Latinoamérica, es una regla graduada que permite mediante un nivel topográfico, medir desniveles, es decir, diferencias de altura. Con una mira, también se
pueden medir distancias con métodos trigonométricos.
FIGURA 1.7 Mira
13
14
TOPOGRAFÍA
1.7.5 Prisma
Son espejos formando un triedro que reflejan la señal emitida por el distanciométro.
Se montan sobre los jalones y pueden llevar una señal de puntería.
FIGURA 1.8 Prisma
1.7.6 Jalones
Un jalón o baliza es un accesorio para realizar mediciones con instrumentos
topográficos, originalmente era una vara larga de madera, de sección cilíndrica,
donde se monta un prismático en la parte superior, y rematada por un regatón de
acero en la parte inferior, por donde se clava en el terreno.
En la actualidad, se fabrican en aluminio, chapa de acero o fibra de vidrio en
tramos de 1,50 m. o 1,00 m. de largo, enchufables mediante los regatones o
roscables entre sí para conformar un jalón de mayor altura y permitir una mejor
visibilidad en zonas boscosas o con fuertes desniveles.
Algunos se encuentran pintados (los de acero) o conformados (los de fibra de vidrio) con franjas alternadas generalmente de color rojo y blanco de 25 cm de longitud para que el observador pueda tener mayor visibilidad del objetivo.
FIGURA 1.9 Jalones
CAPÍTULO 1: CONCEPTOS BÁSICOS
1.7.7 Cinta métrica
Una cinta métrica o un flexómetro es un instrumento de medida que consiste en
una cinta flexible graduada y que se puede enrollar, haciendo que el transporte sea
más fácil. También con ella se pueden medir líneas y superficies curvas.
FIGURA 1.10 Cinta
1.7.8 Plomadas
Una plomada es una pesa de plomo normalmente, pero puede ser hecha de cualquier otro metal de forma cilíndrica o prismática. Su parte inferior es de forma
cónica que, gracias a la cuerda de la que pende, marca una línea vertical; de hecho
la vertical se define por este instrumento.
FIGURA 1.11 Plomada
15
CAPÍ TULO 2
L E V A N T A M IEN T O S CO N
CIN T A Y B R U J Ú L A
2.1 Levantamiento con cinta
E
s el levantamiento topográfico (planimétrico) de cualquier tipo de terreno,
en el cual la toma de información en campo (medición de distancias horizontales) se realiza con una cinta métrica y con equipo menor (plomadas, estacas, puntillas, etc.), con el objetivo de representar cada una de los elementos
que componen el terreno en mención, para posteriormente realizar el cálculo de
distancias, áreas y demás magnitudes según el requerimiento del proyecto. El levantamiento con cinta es un levantamiento tradicional que se emplea cuando no
se tienen equipos para medición de ángulos y distancias.
Es necesario tener en cuenta que el levantamiento con cinta no brinda una gran
precisión ya que los ángulos se miden de forma indirecta o con equipos elementales
como la escuadra de agrimensor, por lo anterior se recalca la necesidad de que las
mediciones realizadas sean de muy buena calidad y se recomienda realizar varias
repeticiones de cada medida.
El levantamiento con cinta es empleado en levantamientos arquitectónicos.
Cuando el terreno es muy grande, se recomienda realizar las mediciones con
equipos electrónicos ya que con cinta el procedimiento será más dispendioso y
con mayores posibilidades de cometer errores.
18
TOPOGRAFÍA
2.1.1 Medición de distancias con cinta
Para todo tipo de levantamiento topográfico se hace necesario medir distancias
entre diferentes elementos o puntos de apoyo o guías. Las medidas que se
realizan pueden ser de distancias horizontales, verticales y/o inclinadas, para un
levantamiento con cinta se deben medir las distancias horizontales, ya que con
estas es que se realiza la representación planimétrica de terrenos o elementos
encontrados en estos. Las medidas se deben realizar con muy buena técnica y así
minimizar los errores correspondientes.
a) Cuando el terreno es totalmente plano y no existe vegetación u otra clase
de obstáculos que impidan realizar la medición, se debe colocar la cinta
directamente sobre los puntos materializados (la cinta debe estar paralela
al terreno y garantizando en todo momento la horizontalidad), tensionar la
cinta de manera adecuada y con plena comunicación y coordinación entre
los cadeneros (ayudantes de topografía); tal como se ilustra en la figura 2.1.,
la persona que está en el punto cero de la cinta debe garantizar que dicho cero
coincida con el punto materializado cuando la otra persona tensione y realice
la medida. Para una buena técnica, al inicio es importante realizar varias
series de mediciones que permitan comprobar la precisión de los datos.
FIGURA 2.1 Medidas con cinta en terreno plano
b) Si las distancias a medir son de una magnitud considerable (superan la longitud
de la cinta), se deben realizar mediciones parciales o seccionadas tal como se
presenta en la figura 2.2. Se debe garantizar que los puntos intermedios estén
alineados según la dirección de los puntos iniciales o globales a medir.
FIGURA 2.2 Medidas seccionadas con cinta en terreno plano
CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA
c) Para terrenos inclinados (ondulados, montañosos o escarpados), si no existe
vegetación u otra clase de obstáculos que impidan realizar la medición se debe
colocar la cinta directamente sobre el punto más alto y proyectar por medio
de una plomada el punto más bajo (ver figura 2.3). Se recomienda realizar las
medidas de arriba hacia abajo, ya que la persona que está en el punto cero de
la cinta (punto más alto) puede controlar dicha posición con mayor firmeza
y la otra persona tensionará la cinta y realizará la medición respectiva. Se
debe intentar que la cinta este totalmente horizontal, dicha situación se puede
realizar por medio de niveles de mano (Nivel Locke o Nivel Abney) que se
pueden colocar sobre la cinta o con ayuda de otra persona que se encuentre
con una vista perpendicular a la dirección de la medida a realizar. Cuando
los cadeneros o ayudantes de topografía tienen una buena experiencia logran
de manera muy acertada verificar la horizontalidad de la cinta sin ayuda de
terceros o de equipos adicionales.
FIGURA 2.3 Medidas con cinta en terreno inclinado
d) Si la longitud de la cinta métrica no alcanza o si la diferencia de nivel impide
realizar la medición directa entre los dos puntos, se deben realizar medidas
seccionadas o por tramos, tal como se muestra en la figura 2.4. Se debe
garantizar que los puntos intermedios estén alineados según la dirección de
los puntos iniciales o globales a medir. La altura de la plomada nunca debe
superar la altura de los ojos del cadenero, así se evitarán errores de proyección
vertical del punto.
19
20
TOPOGRAFÍA
FIGURA 2.4 Medidas seccionadas con cinta en terreno inclinado
e) Cuando existan elementos como vegetación, construcciones o cualquier
otro tipo de elemento que impidan realizar la medida colocando la cinta
directamente sobre alguno de los dos puntos, se debe utilizar plomadas en
ambos extremos (ver figura 2.5).
FIGURA 2.5 Medidas con cinta en terreno inclinado con obstáculos
2.1.2 Medición de ángulos con cinta
Para varios tipos de levantamientos topográficos se hace necesario medir ángulos
de elementos encontrados en el terreno o de vértices de polígonos o intersecciones
de alineamientos materializados en campo.
21
CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA
2.1.2.1 Perpendiculares con cinta
a) Método del radio. Para trazar una perpendicular a un alineamiento (línea
visual directa entre el punto A y el punto B, figura 2.6) desde el punto (P) se
mide la distancia (d) tanto en dirección a A como en dirección a B, realizando
la correspondiente materialización de los dos puntos. Desde los dos puntos
materializados, de forma simultánea, se mide una distancia R la cual debe ser
mayor a la distancia (d), dónde se intersequen dichas mediciones estará la
perpendicular al punto P.
FIGURA 2.6 Perpendicular con cinta, método del radio
R
R
P
A
B
d
d
D1
b) Método del triángulo rectángulo. Consiste en formar un triángulo en
campo con un ángulo recto, midiendo simultáneamente distancias con
longitudes de 3, 4 y 5 metros, múltiplos o submúltiplos de dichos valores, tal
como se relaciona en la figura 2.7. Se debe garantizar que uno de los catetos
del triángulo coincida con el correspondiente alineamiento.
FIGURA 2.7 Perpendicular con cinta, método del triángulo rectángulo
5
5
4
3
A
3
P
B
B
P
4
c) Con escala de agrimensor o escala óptica. Se ubica el equipo en el punto
(P), se da visual hacia uno de los extremos del alineamiento para, de esta
forma, tender la visual perpendicular (ver figura 2.8). Se debe garantizar que
el equipo utilizado este nivelado en el momento de tomar las visuales.
22
TOPOGRAFÍA
FIGURA 2.8 Perpendicular con escuadras
P
A
B
2.1.2.2 Medición de cualquier ángulo con cinta
Se requiere medir el ángulo formado en el punto D2 tal como se ilustra en la
figura 2.9, para lo cual, en términos generales, se realiza lo siguiente: desde D2
en dirección al D1 se mide la distancia R (entre más grande sea el valor de R se
van a obtener mejores resultados), se materializa el punto p1; se mide la misma
distancia R desde D2 en dirección a D3, se materializa el punto p2; finalmente se
mide la distancia p1 a p2.
FIGURA 2.9 Fórmula para ángulos con cinta
D1
p1
R
2/c
α/2
c
D2
α
R
p2
D3
CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA
En oficina, se calcula el respectivo ángulo así:
C
Sen α = 2
2 R
C
α
Sen =
2 2R
α
2
= Sen
C


 2R 
-1 

 C 

 2 R  
α = 2 *  Sen -1 

Dónde:
α = Ángulo a medir.
C = Cuerda (distancia p1 a p2).
R = Distancia medida desde D2 en dirección a D1 y en dirección a D3.
2.1.3 Cálculo de áreas por figuras geométricas
En levantamientos topográficos muchas veces para el cálculo de áreas y
elaboración de planos se divide el terreno en figuras geométricas que se asemejen
a la forma del terreno; básicamente se utilizan el triángulo, cuadrado, rectángulo,
círculo y trapecio. A continuación, se relacionan las fórmulas para el cálculo
correspondiente:
• Cuadrado: A = L * L
• Rectángulo: A = B * H
23
24
TOPOGRAFÍA
• Círculo: A = π * R2
• Triángulo:
B* H
2
»
Se conocen la base (B) y la altura (H): A =
»
Se conocen dos lados (a,b) y el ángulo (α) formado entre ellos:
A=
»
a * b * senα
2
Se conocen los tres lados: A =
( S ( S − a )( S − b)( S − c )) ; S =
a+b+c
2
CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA
»
Se conocen dos ángulos y el lado entre ellos: ϕ = 180 – (α + β)
c.senβ
b
c
b=
=
senϕ
senβ senϕ
h
h = bsenα
senα =
b
csenβ
h=
senα
senϕ
c*h
Área =
::::
::::
2
Área =
• Trapecio: A =
c 2 senβ senα
2sen(180 - (α+β))
B1 + B2
*H
2
25
26
TOPOGRAFÍA
Donde:
2
» A = Área en m del trapecio.
B1 = Base mayor.
» B = Base menor.
2
»
»
H = Altura.
2.1.4 Levantamiento con cinta método de izquierdas y derechas
2.1.4.1 Procedimiento de Campo
• Reconocimiento de la zona a levantar y dibujar el croquis respectivo.
• Cuando la zona tiene forma regular se divide en figuras geométricas, a las
cuales se les miden las distancias de cada lado (2 a 4 veces) y los ángulos,
necesarios para determinar el área y hacer la representación gráfica a escala.
• Si la forma del terreno es irregular se materializa un polígono que se asemeje,
en la medida de lo posible, a la forma o linderos del terreno, dicho polígono
debe abarcar todo o la mayor parte del terreno; a dicho polígono se le miden
las distancias y ángulos internos respectivos según lo relacionado en los
numerales 2.1.1 y 2.1.2; para mejorar la precisión del método dichas distancias
se deben medir varias veces y calcular con los promedios respectivos.
• Los detalles o puntos que representan los accidentes naturales o artificiales
(obras civiles) del terreno y que quedan por fuera o por dentro del polígono
se levantan o toman por el método de izquierdas y/o derechas, el cual consiste
en medir distancias perpendiculares a los alineamientos que componen el
polígono.
2.1.4.2 Procedimiento de Oficina
De acuerdo a las mediciones realizadas en campo, se calculan y ajustan los ángulos
internos del polígono de acuerdo a la sumatoria teórica, y se calcula el área del
polígono; para lo cual se deben promediar las distancias (como ya se mencionó
se recomienda medir las distancias varias veces para corroborar que las medidas
están adecuadamente realizadas) y corregir los ángulos de acuerdo a la sumatoria
teórica del polígono efectuado. Finalmente de acuerdo a las figuras geométricas
que se formaron en la toma de izquierdas y derechas, se realiza el cálculo de área de
cada una de ellas, para que se pueda determinar el área total del terreno sumando
o restando las áreas individuales al área del polígono según el caso.
CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA
2.1.4.3 Ejercicio práctico
FIGURA 2.10A Carteras de campo: levantamiento con cinta
27
28
TOPOGRAFÍA
FIGURA 2.10B Carteras de campo: levantamiento con cinta
29
CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA
Cálculos
El levantamiento se realizó materializando un polígono de 4 lados conformado
por los deltas o puntos D1, D2, D3 y D4, inicialmente se calculan los ángulos
internos (con una aproximación al segundo) para cada uno de los 4 deltas.
• Cálculo de ángulos internos:

• Fórmula: α = 2 * Sen
C 


 2R  
-1 

• C = cuerda
• R = radio
TABLA 2.1 Ángulos del polígono
Ángulo No.
Valor
1
84º 45 11”
2
75º 09 52”
3
104º 23 23”
4
94º 48 02”
• Corrección de ángulos:
TABLA 2.2 Ángulos corregidos
Ángulo No.
Valor
Corrección
Ángulo corregido
1
84º 45 11”
0º13 23”
84º 58 34”
2
75º 09 52”
0º13 23”
75º 23 15”
3
104º 23 23”
0º13 23”
104º 36 46”
4
94º 48 02”
0º13 23”
95º 01 25”
Sumatoria
359° 06 28”
0° 53 32”
360° 00 00”
• El error en ángulo es igual a la sumatoria teórica de ángulos internos de un
polígono cerrado, es decir ((n-2)*180), menos la sumatoria obtenida con la
medición de cuerdas y radios.
∑ Teórica = (n-2)* 180 = 360°
»
∑ Obtenida = 359° 06 28”
»
Error Angular = ∑ Teórica - ∑ Obtenida
»
Error Angular = 0° 53 32”
»
30
TOPOGRAFÍA
En la medición de ángulos con cinta por el método de radios y cuerda el error
máximo permisible es de 30 minutos por ángulo. Es decir, para este ejemplo
serian 120 minutos = 2 grados, por lo cual se determina que se ha cumplido con
la especificación.
La corrección es igual al error en ángulo dividido en el número de ángulos.
• Corrección = Error en ángulo / n = 0º13 23”
• n = número de ángulos
Como la sumatoria obtenida es menor a la teórica, la corrección se le suma a cada
ángulo, como se relaciona en la tabla 2.2.
• Promedio de distancias:
Se promedian las distancias para cada lado del polígono
TABLA 2.3 Promedio de las distancias horizontales
∆
Punto
Distancia 1
Distancia 2
Promedio
D1
D2
86.861
86.855
86.858
D2
D3
71.794
71.792
71.793
D3
D4
61.592
61.594
61.593
D4
D1
69.386
69.382
69.384
• Cálculo de áreas:
De acuerdo con la información tomada en campo, se divide la zona en figuras
geométricas (figura 2.11) y se calcula el área total levantada. Para presentar el
cálculo de forma organizada, la información se consigna como se muestra en
la tabla 2.4.
31
CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA
FIGURA 2.11 Área por figuras geométricas
D1
D2
9
1
3
4
2
Parqueadero
D4
D3
4
TABLA 2.4 Cálculo del área por figuras geométricas
No.
Elementos
Fórmula
1
a = 86.858
b = 69.384
α = 84º 58 34”
=
 ∗  ∗  ∝
2
3001.702
2
a = 71.793
b = 61.593
α = 104º 36 46”
=
 ∗  ∗  ∝
2
2139.455
3
b = 71.793
h = 27.558
∗ℎ
= (
)
2
989.236
4
b = 61.593
h = 19.089
∗ℎ
= (
)
2
587.874
Área total del terreno
(m2)
Área (m2)
6718.267
Con los cálculos realizados, se realiza del plano correspondiente del terreno, sobre
dicho plano se puede calcular el área restaurante, el cual se dibuja por medio de
las izquierdas y derechas tomadas en campo tal como se presenta en la figura 2.12
(puntos 1, 2, 3, 5, 7,8); también podrán tomarse algunas medidas adicionales en
terreno para calcular su área.
32
TOPOGRAFÍA
FIGURA 2.12 Distancias izquierdas y derechas al restaurante
2.1.5 Levantamiento con cinta método de medidas a dos
puntos
2.1.5.1 Procedimiento de campo
• Reconocimiento de la zona a levantar y dibujar el croquis respectivo.
• Materializar dos puntos que sean intervisibles entre si y que se pueda medir
la distancia entre los mismos por medio de la cinta métrica, en lo posible que
desde estos dos punto se vean todos y cada uno de los detalles del terreno a
levantar ya que estos dos puntos serán la base del levantamiento.
• No importa si los puntos quedan por fuera o dentro del terreno, se deben
ubicar buscando la forma que se puedan tomar las medidas con mayor
facilidad.
• Medir la distancia entre los dos puntos materializados.
• Medir la distancia desde cada punto materializado a cada uno de los detalles
del terreno.
• Si desde los dos puntos no se puede ver algún detalle se mide la distancia
desde cada uno de los dos puntos a otro punto u otra pareja de puntos, que
servirán como nueva base.
CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA
2.1.5.2 Procedimiento de oficina
Se dibujan los dos puntos materializados, desde cada uno de estos se miden las
distancias respectivas a cada detalle (se pueden utilizar círculos de radio igual
a la correspondiente distancia), ubicando cada uno de los mismos. En la figura
2.13 se puede observar que, siguiendo la orientación determinada en el gráfico
del levantamiento, las 2 distancias medidas al punto 10 solo coinciden en un
punto. Finalmente, sobre el plano se calculan las respectivas áreas de acuerdo a las
necesidades del proyecto.
FIGURA 2.13 Distancias al punto 10
33
34
TOPOGRAFÍA
2.1.5.3 Ejercicio práctico
Realice el plano según los datos consignados en las carteras de campo.
FIGURA 2.14A Carteras de campo: levantamiento con cinta, método distancias a dos puntos
CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA
FIGURA 2.14B Carteras de campo: levantamiento con cinta, método distancias a dos puntos
35
36
TOPOGRAFÍA
2.1.5.4 Ejercicio planteado
De acuerdo a los datos consignados en las carteras de campo, calcule el área
del terreno a edificar y realice el plano correspondiente.
FIGURA 2.15A Ejercicio planteado: levantamiento con cinta
CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA
FIGURA 2.15B Ejercicio planteado: levantamiento con cinta
37
38
TOPOGRAFÍA
2.2 Levantamiento con cinta y brújula
El levantamiento con cinta y brújula es similar al levantamiento con cinta, sin
embargo para calcular los ángulos se miden los azimuts magnéticos del polígono
utilizando la brújula. Este levantamiento es utilizado para terrenos de poca
extensión y donde no se necesite una gran precisión.
En las áreas de topografía y de vías las magnitudes de los ángulos se miden por
medio de las direcciones de las líneas que salen del respectivo vértice, para medir
las direcciones se utiliza el azimut y/o el rumbo.
Azimut: dirección de una línea medida desde la línea de referencia denominada
Norte. Se mide en sentido de las manecillas del reloj; su valor se encuentra entre 0º
y 360º. El azimut se define relacionando su valor angular, por ejemplo una línea de
azimut 60º indica que la dirección de dicha línea forma un ángulo de 60º medidos
desde la norte hacia la derecha tal como se relaciona en la figura 2.16.
FIGURA 2.16 Azimut
Rumbo: ángulo medido a partir de la línea Norte - Sur, los valores angulares
estarán entre 0º y 90º y para su denominación se debe especificar el cuadrante al
cual corresponde.
En el primer cuadrante el rumbo es noreste (NE); en el segundo, sureste (SE);
en el tercero, suroeste (SW); y en el cuarto, noroeste (NW). En la figura 2.17 se
presentan cuatro líneas las cuales representan los siguientes rumbos: N 32° E, S
47° E, S 40° E y N 54° E.
CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA
FIGURA 2.17 Rumbo
Brújula: equipo manual que determina las direcciones según los polos magnéticos;
antes de la aparición de los teodolitos y las estaciones totales, los topógrafos la
utilizaban para medir azimuts y/o rumbos. La brújula consta básicamente de
una caja con un círculo graduado para medir rumbos magnéticos o azimuts
magnéticos. La caja contiene una aguja de acero magnetizada montada sobre un
pivote, la aguja de la brújula se alinea con el norte magnético.
Para medir una dirección con la brújula se instala la brújula en un extremo de
la línea, se libera el seguro de la aguja y se dirige la visual hacia el otro extremo
de la línea; antes de tomar la lectura se debe verificar que la brújula se encuentre
nivelada. La brújula se usa para levantamientos de poca precisión o para verificar
levantamientos ya realizados.
Declinación magnética: ángulo formado entre el meridiano magnético y el
meridiano verdadero. Para cada punto de la Tierra tiene un valor diferente y
variable, ya que el norte magnético varía inexplicablemente por cambios en los
campos magnéticos de esta. Varía en una dirección y luego en otra. La declinación
se puede presentar hacia el Este o hacia el Oeste de acuerdo a los polos geográficos
de la tierra.
Atracción local: debido a que la dirección que toma la aguja estará alterada por
fuerzas magnéticas diferentes al campo magnético terrestre (objetos metálicos,
de hierro, acero, corrientes eléctricas y otros metales) se presentará un error en
las direcciones tomadas con la brújula. Todas las direcciones tomadas desde un
mismo sitio se verán afectadas por un mismo valor de atracción local. Para eliminar
la atracción local, se toman las direcciones de una línea en los dos sentidos y la
diferencia teórica en valores de azimut debe ser 180º.
39
40
TOPOGRAFÍA
2.2.1 Ejercicio práctico
2.2.1.1 Trabajo de campo
•
Reconocimiento del terreno: se debe identificar el terreno del levantamiento y realizar el gráfico o bosquejo correspondiente.
•
Polígono de referencia: materializar los vértices de un polígono tratando de abarcar la mayor parte del terreno. Se recomienda que el polígono siga, en la medida de lo posible, el lindero del terreno y así el
proceso de toma de detalles será menos dispendioso.
•
Toma de direcciones y medición de distancias del polígono: se miden
cada una de las distancias del polígono materializado (se recomienda
realizar varias mediciones, para los cálculos se deben utilizar los promedios matemáticos), con la brújula se toman los respectivos azimuts o
rumbos, de cada línea del polígono en las dos direcciones.
•
Toma de detalles: los detalles adicionales, ya sea para completar el
área total o para georreferenciar detalles puntuales, como árboles,
postes, entre otros, se toman por el método de izquierdas y derechas,
utilizando la misma metodología relacionada en el levantamiento con
cinta, numeral 2.1.4.
2.2.1.2 Trabajo de oficina
•
Cálculo y ajuste de los ángulos internos: con base en los azimuts o
rumbos tomados en campo se calculan los ángulos internos del polígono, los cuales se corrigen de acuerdo a la sumatoria teórica.
•
Determinación de la atracción local: sabiendo que la diferencia entre
azimut y contrazimut debe ser 180°.
•
Ajuste de los azimuts del polígono: con base en la línea de menor
atracción local y los ángulos internos corregidos, se determinan los azimuts corregidos o ajustados de las demás líneas del polígono.
•
Cálculo de áreas: con base en el polígono ajustado y los datos de izquierdas y derechas determinar las áreas parciales y las áreas totales.
Los cálculos de áreas se pueden realizar en el plano correspondiente.
CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA
2.2.1.3 Ejemplo Práctico
FIGURA 2.18A Carteras de campo: levantamiento con cinta y brújula
41
42
TOPOGRAFÍA
FIGURA 2.18B Carteras de campo: levantamiento con cinta y brújula
De acuerdo a los azimuts de cada línea se calculan los ángulos internos del
polígono.
43
CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA
TABLA 2.5 Cálculo de ángulos
Delta
Punto
Azimut
D. 4
37
D. 2
338
D. 1
160
D. 3
61
D. 2
240
D. 4
168
D. 3
346
D. 1
215
Áng. Interno
D. 1
59
D. 2
99
D. 3
72
D. 4
131
La sumatoria de ángulos tomados en campo u ob se rvados es de 361°00’00”
Los ángulos internos de un polígono cerrado deben cumplir la sumatoria teórica,
según las siguientes fórmulas:
• Ángulos internos = (n - 2)*180
• Ángulos externos= (n + 2) *180
Donde:
• n = número de vértices o lados del polígono.
• Error angular del polígono = diferencia entre la sumatoria de los ángulos
calculados y la sumatoria teórica.
Error angular = ∑ángulos observados - ∑teórica
Este error angular debe ser menor al error permitido para este tipode levantamiento,
para este caso el error permitido se determina con la siguiente fórmula:
Error angular permitido = n * p
Donde:
• n = número de vértices.
• p = precisión del equipo, en este caso precisión de la brújula, regularmente
estas brújulas tienen una precisión de un grado.
Para este caso el error máximo permisible es de 4°.
44
TOPOGRAFÍA
Ajuste de ángulos: después de verificar que el error se encuentra dentro de los
parámetros permisibles se ajustan los ángulos. Para que ajuste el polígono, la
corrección debe ser con el signo contrario al del error.
Error angular = 361° - 360° = 1°
Corrección = error angular / n = -1° / 4 = -00° 15’
TABLA 2.6 Corrección de ángulos
Delta
Punto
Azimut
D. 4
37
D. 2
338
D. 1
160
D. 3
61
D. 2
240
D. 4
168
D. 3
346
D. 1
215
D. 1
D. 2
D. 3
D. 4
Áng. Interno
Corrección
Áng. Cor.
59
- 00° 15’ 00”
58° 45 00”
99
- 00° 15’ 00”
98° 45 00”
72
- 00° 15’ 00”
71° 45’ 00”
131
- 00° 15’ 00”
130° 45’ 00”
Atracción local: Para cada una de las líneas, se tomaron dos azimut uno en
cada dirección, teóricamente estas dos direcciones deberían ser el azimut y el
contrazimut de cada línea, es decir, deberían tener una diferencia entre sí de 180°.
Para calcular el contrazimut, si el azimut es menor a 180° se le suman 180° y si el
azimut es mayor a 180° se le resta 180°.
La diferencia entre el contrazimut calculado con base en la fórmula y el tomado
en campo se denomina atracción local.
Atracción local (AL) = azimut calculado – azimut tomado en campo
CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA
FIGURA 2.19 Azimuts tomados en campo
En el ejemplo el azimut de la línea D. 1 – D2 es de 338°, el contrazimut debería
ser 158°, como el tomado en campo es 160° la atracción local de la línea es de 2º.
45
46
TOPOGRAFÍA
FIGURA 2.20 Atracción local de cada línea del polígono
Tomar como referencia la línea de menor atracción local y ajustar la totalidad
de las líneas del polígono según los ángulos corregidos. Se toma la línea de
menor atracción local y se promedian los azimuts y contrazimuts, para tener los
azimuts corregidos para el ajuste, con los ángulos corregidos se ajusta el polígono.
En el ejemplo, el lado con menor atracción local es el comprendido entre el D2
y D3 pues presenta un valor de 1°, por lo tanto los azimuts de referencia para
corregir el polígono son 60°30’00” de D2 a D3 y 240°30’00” de D3 a D2.
El azimut de la línea siguiente será igual al azimut anterior menos el ángulo si se
avanza en sentido de las manecillas del reloj y el azimut anterior más el ángulo si
se avanza en contra de las manecillas del reloj.
CAPÍTULO 2: LEVANTAMIENTOS CON CINTA Y BRUJÚLA
FIGURA 2.21 Atracción local de cada línea del polígono
Para el cálculo de áreas se realiza el mismo procedimiento del capítulo del
levantamiento con cinta por el método de izquierdas y derechas.
47
48
TOPOGRAFÍA
2.3 Ejercicios planteados
FIGURA 2.22 Ejercicio: Medición con cinta
CAPÍ TULO 3
ÁNGULOS
Y COORDENADAS
3.1 Ángulos
E
mana del vocablo latino angŭlus, se refiere a una figura de la geometría que
se forma a partir de dos rectas que se cortan entre sí sobre una misma superficie; corresponde también a la magnitud de abertura del espacio formado por
dos líneas que se interceptan en un mismo vértice. Por definición un ángulo es
la abertura entre dos líneas que se cortan, este ángulo está compuesto por línea
de referencia, el sentido y amplitud (figura 3.1); en Topografía estos elementos
corresponden a:
• Línea de Referencia : la Norte que puede ser de tres tipos Real, Magnética y
Arbitraria
• Sentido: regularmente se toma el sentido de las manecillas del reloj,
asumiendo que este sentido es positivo.
• Amplitud : valor angular que en este caso se puede tomar como rumbo o
azimut.
Los sistemas de medida de los ángulos son: degradianes (grado, minuto y
segundo), centesimales (gones) y radianes (radian). Los ángulos más empleados
en topografía son el rumbo (Rb), el azimut (AZ) y el ángulo de deflexión (Δ).
50
TOPOGRAFÍA
En topografía se considera la nomenclatura de los cuadrantes tal como se
representa en la figura 3.2, ya que el cero está en sentido hacia la norte y los
ángulos se miden en sentido horario.
FIGURA 3.1 Ángulo
FIGURA 3.2 Nomenclatura de los cuadrantes
CAPÍTULO 3: ÁNGULOS Y COORDENADAS
3.1.1 Rumbo – Rb
Es el ángulo en cada uno de los cuatro cuadrantes medido desde la línea Norte –
Sur hacia el eje Este – Oeste; el valor angular esta entre 0º y 90º, y la nomenclatura
corresponde a letras del cuadrante y en el centro el valor del ángulo, colocando
primero la letra de la dirección Norte o Sur y luego la de Este u Oeste. En la figura
3.3 el ángulo θ representa la magnitud de un rumbo en cada cuadrante.
FIGURA 3.3 Rumbo
Para este caso se tiene: en el primer (I) cuadrante Rb = N 45° E, en el segundo (II)
cuadrante Rb = S 45° E, en el tercer (III) cuadrante Rb = S 45° W y en el cuarto
(IV) cuadrante Rb = N 45° W.
3.1.2 Azimut – AZ
Dirección medida a partir de la línea de referencia Norte, su valor esta entre 0º y
360º, la nomenclatura corresponde solo al valor angular que se mide en sentido
horario. En la figura 3.4 el ángulo θ representa el valor o magnitud de un azimut
medido en cada cuadrante.
51
52
TOPOGRAFÍA
FIGURA 3.4 Azimut
Para este caso se tiene: en el primer (I) cuadrante AZ = 45, en el segundo (II)
cuadrante AZ = 135°, en el tercer (III) cuadrante AZ = 215° y en el cuarto (IV)
cuadrante AZ = 305°.
3.1.3 Ángulo de deflexión
El ángulo de deflexión, también conocido como ángulo de giro, es el ángulo que
se lee entre la proyección de un alineamiento y la dirección del siguiente. Su valor
está entre 0° y 180°, puede ser de derecha (‘+’) o de izquierda (‘-’). La figura 3.5
presenta dos ángulos θ de deflexión.
FIGURA 3.5 Ángulo de deflexión
CAPÍTULO 3: ÁNGULOS Y COORDENADAS
3.2 Coordenadas
Las coordenadas representan un sistema numérico, de letras o símbolos, que
sirven para determinar la ubicación de un punto en la Tierra. Se definen dos
sistemas principales de coordenadas:
• Las coordenadas geográficas: representan el planeta mediante líneas que
dividen la tierra en dos semiesferas una hacia el este y otra al oeste (180° al
este y 180° al oeste), conocidas como meridianos, y líneas paralelas al Ecuador,
conocidas como paralelos, que igualmente dividen el globo terráqueo en dos
semiesferas una al norte y otra al sur (90° al norte y 90° al sur); el origen del
sistema corresponde al paralelo que cruza por el ecuador (0°) y al meridiano
de Greenwich (0°).
• Las coordenadas planas: representan el globo terráqueo mediante un sistema
de plano cartesiano x, y el cual puede corresponder a números y letras o más
comúnmente a un sistema coordenado de Nortes y Estes.
Para determinar un sistema de coordenadas es necesario tener una proyección
cartográfica, es decir, la representación de la superficie curva del planeta sobre un
plano; existen tres tipos de proyecciones: cónica, azimutal o cilíndrica, las cuales
a su vez pueden ser normal, oblicua o terrestre (figura 3.6).
Una proyección es normal cuando el eje de la figura coincide con el eje de la
Tierra, es oblicua cuando el eje de la figura respecto al eje de la Tierra se encuentra
en una posición mayor a cero grados y menor a noventa grados, y una proyección
es transversal cuando el eje de la figura es ortogonal al eje de la Tierra.
Mercator Transversal (TM) corresponde a una proyección, presentada por
Lambert en 1772, basada en una solución esférica. En su forma elipsoidal es una
de las proyecciones más utilizadas en el mundo. Se utiliza en muchos países para
crear mapas topográficos oficiales. Con la proyección Mercator Transversal, la
mayoría de meridianos y paralelos son curvas complejas. El meridiano central
y los meridianos situados a noventa grados del meridiano central, así como el
Ecuador, son líneas rectas.
La proyección denominada Mercator Transversal Universal (UTM) corresponde a
un uso específico de la proyección Mercator Transversal con la especificación de
meridianos centrales y un factor de reducción de escala de 0.9996 (una reducción
de 1:2500). Esta es la proyección más empleada a nivel mundial. Tiene por eje el
meridiano central, que se proyecta por medio de una recta dibujada en el plano,
y el Ecuador, representado por otra recta perpendicular a la anterior. Su origen se
remonta a la Segunda Guerra Mundial, se requería establecer un sistema único a
nivel mundial que reuniera condiciones como conformidad, continuidad (mínimo
número de zonas), errores de escala reducidos, sistema de referencia único para
todas las zonas, fórmulas generales de transformación, reducida convergencia de
meridianos, entre otras.
53
54
TOPOGRAFÍA
El sistema Gauss-Krüger es un sistema geométrico de referencia empleado para
expresar numéricamente la posición geodésica de un punto sobre el terreno.
Se utiliza un cilindro transverso (Mercator Transversal) como superficie de
proyección, donde se define un meridiano central como lugar de contacto con la
tierra. El resultado es una proyección conforme que no mantiene las direcciones.
A lo largo del meridiano central no se observan deformaciones. La proyección
Gauss-Krüger es empleada actualmente para las cartas topográficas en Colombia.
El sistema de coordenadas planas de la tierra se basa en una proyección transversal
cilíndrica (Mercator Transversal Universal) donde el cilindro toca la esfera
terrestre a lo largo de un meridiano. Este método divide a la esfera terrestre en 60
secciones, cada una de las cuales abarca una franja de 6° de longitud. Las zonas se
enumeran comenzando con 1 para zona que cubre los 180 ° E y 174° O. Además
las zonas se subdividen en filas, con una altura de 8°, a las que se les asigna letras
de sur a norte, empezando con la letra C a los 80° Sur (ONU, 2002).
Las coordenadas planas están conformadas por una serie de líneas verticales (y=
Norte) y horizontales (x=Este), que al interceptarse forman un reticulado muy útil
en la representación de pequeñas áreas en escala grande. La unidad de medida
está establecida por el sistema métrico decimal. (IGAC, 1990).
FIGURA 3.6 Proyecciones cartográficas
Có n ica
Azimu tal
Cilín drica
No rmal
Oblicu a
Transversal
Para Colombia como origen de las coordenadas planas se toma el centro del
telescopio del observatorio astronómico Nacional el cual tiene coordenadas
CAPÍTULO 3: ÁNGULOS Y COORDENADAS
geográficas: g = 4° 35’ 56.57’’ latitud y l = 74° 04’ 51.30’’ de longitud; para garantizar
no tener coordenadas negativas se le asignaron coordenadas falsas: X = 1´000 000
m Y = 1´000 000 m; las coordenadas aumentan X hacia el norte y disminuyen
hacia el sur, y de igual forma Y aumentan hacia el este y disminuyen hacia el oeste.
Debido a que la proyección es cilíndrica transversal fue necesario establecer cinco
orígenes en estes, tal como lo representa la figura 3.7.
FIGURA 3.7 Orígenes de las coordenadas planas de Gauss en Colombia
En un levantamiento se pueden establecer las coordenadas planas de tres maneras:
arbitrarias, asifinas o reales.
3.2.1 Coordenadas arbitrarias
Cuando se definen coordenadas a los vértices o deltas de un levantamiento que no
están amarradas a un sistema plano de coordenadas, se debe escoger un valor que
55
56
TOPOGRAFÍA
garantice que todas las coordenadas de los detalles serán positivas, es decir, que
están en el primer cuadrante del plano cartesiano. Un terreno o proyecto levantado
con coordenadas arbitrarias se puede dibujar y permite calcular áreas, pero no se
puede referenciar, es decir, no se puede ubicar en un espacio real del planeta.
3.2.2 Coordenadas asifinas
Cuando se definen coordenadas a los vértices o deltas de un levantamiento con base
en una extrapolación de valores de coordenadas planas de una cartografía existentes,
el levantamiento se ajusta a la cartografía origen de las coordenadas asifinas.
3.2.3 Coordenadas reales
Hoy en día es el sistema más empleado en levantamientos topográficos de proyectos
de infraestructura; se toma como base del levantamiento al menos un par de puntos
(mojones) georreferenciados, cuyas coordenadas son planas de Gauss o acimutales
de algún lugar especial, por ejemplo Bogotá. Un terreno o proyecto levantado con
coordenadas reales permite calcular áreas, se puede dibujar y referenciar, es decir se
puede ubicar en un espacio real del planeta, continente, país o ciudad.
3.2.4 Coordenadas rectangulares
Las coordenadas corresponden a las proyecciones cartesianas x, y o N, E de un
punto cualquiera con relación a un origen de referencia por el cual cruzan los dos
ejes ortogonales del plano cartesiano. La figura 3.8 presenta los puntos A y B, y la
proyección de sus coordenadas rectangulares xA o EA, yA o NA y xB o EB, yB o NB.
FIGURA 3.8 Coordenadas
CAPÍTULO 3: ÁNGULOS Y COORDENADAS
3.2.5 Coordenadas polares
Aritméticamente las coordenadas polares definen la ubicación de un punto
respecto del origen de un plano mediante dos elementos: la distancia entre el
origen del plano y el punto conocido como polo, y el ángulo (θ) medido desde la
línea de referencia, que será la Norte, y una línea imaginaria proyectada hacia el
punto que se desea localizar.
En topografía el origen del plano está simbolizado por un punto de coordenadas
rectangulares conocidas (N y E), el polo equivale a la distancia “d” entre los dos
puntos y el ángulo (θ) se mide a partir del eje vertical o Norte, con base en él se
determina la dirección o Azimut entre los dos puntos. La figura 3.9 presenta: el
punto A de coordenadas rectangulares conocidas xA o EA, yA o NA y el punto B cuya
ubicación está definida por la distancia d y el ángulo θ medido contra la vertical
que pasa por el punto A.
FIGURA 3.9 Coordenadas polares
3.3
Conversión de coordenadas
3.3.1 Conversión de coordenadas rectangulares a polares
Para determinar la distancia d y la dirección o azimut AZ entre dos puntos A y B
(definir las coordenadas polares entre A y B) se basa en el teorema de Pitágoras: el
área del cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de
las áreas de los cuadrados de los catetos del triángulo; en este caso la hipotenusa del
57
58
TOPOGRAFÍA
triángulo rectángulo corresponde a la distancia entre los puntos A y B, y los catetos
corresponden a la diferencia entre las coordenadas Norte y Este de los puntos A y B.
Con base en la figura 3.10 se tiene:
ΔN = N B - NA
y
ΔE = EB - EA
(3.1)
Por Pitágoras:
d2 = ΔN2 + ΔE2
(3.2)
d = 2 ΔN 2 + ΔE 2
(3.3)
FIGURA 3.10 Coordenadas rectangulares a polares
La dirección se define en función del ángulo θ:
tan(θ) =
ΔE
ΔN
 ΔE 
θ = arctan 

 ΔN 
(3.4)
(3.5)
59
CAPÍTULO 3: ÁNGULOS Y COORDENADAS
El ángulo θ tiene un valor comprendido entre 0º y 90º, mientras que un azimut se
define con un valor entre 0º y 360º, por lo que es necesario determinar la dirección
o cuadrante en la cual se encuentra θ y, con base en este, establecer el valor de la
dirección que corresponde al azimut.
Este cuadrante se define en función de los signos de las ΔN y ΔE, tal como lo
presenta la figura 3.11.
FIGURA 3.11 Definición de cuadrante en función del signo de las diferencias de norte y este
De acuerdo con el cuadrante y con el signo del ángulo θ, producto de la razón
algebraica de la diferencia de estes ΔE sobre la diferencia de nortes ΔN, presentado
en la figura 3.11, se regla el valor de la dirección o azimut, tal como se consigna en
la tabla 3.1
TABLA 3.1 Determinación del valor del Azimut
CUADRANTE
SIGNO DE θ
AZIMUT
I
+ θ
Az = θ
II
-θ
Az= 180 + (− θ)
III
+ θ
Az = 180 + (+ θ)
IV
-θ
Az = 360 + (− θ)
60
TOPOGRAFÍA
A diferencia del cálculo de la distancia d, en la cuantificación del azimut es muy
importante el orden de los sumandos al determinar la diferencia de Norte y Este,
por lo cual siempre se restará de las coordenadas del punto de destino (visado)
de las coordenadas del punto de origen -armado , es decir: si se desea hallar la
dirección de A hacia B:
FIGURA 3.12 Signo del ángulo θ
Az AB entonces : ΔN = N E - N A y : ΔE = EE - E A
(3.6)
Al contrario para determinar la dirección de B hacia A:
Az AB entonces : ΔN = N A - N B y : ΔE = E A - EB
(3.7)
61
CAPÍTULO 3: ÁNGULOS Y COORDENADAS
3.3.2 Conversión de coordenadas polares a rectangulares
Para obtener las coordenadas planas o rectangulares entre dos puntos A y B es
necesario contar con las coordenadas de alguno de los puntos A y B, y la distancia
y dirección (Azimut) del punto de coordenadas conocidas al de coordenadas
desconocidas.
La distancia d y la dirección Az corresponden a las coordenadas polares entre los
puntos A y B.
FIGURA 3.13 Coordenadas rectangulares a polares
De acuerdo con la figura 3.13 se tiene:
NB = NA + ΔN
(3.8)
EB = EA + ΔE
(3.9)
Donde las proyecciones ∆N y ∆E corresponden a los catetos del triángulo AcB, la
hipotenusa a la distancia d y θ el ángulo adyacente a la proyección norte, por tanto:
ΔN = d * cosθ y ΔE = d * senθ
Como se observa en la parte derecha de la figura 3.13, es necesario tener en cuenta
que tanto la proyección norte ΔN como la proyección este ΔE deben restarse de
las coordenadas del punto A, para determinar las coordenadas del punto B.
62
TOPOGRAFÍA
Ahora bien, si el cálculo se realiza con el azimut determinado en función del ángulo
θ, tal como se estableció en la tabla 3.1, el producto de la distancia por el seno o el
coseno del azimut dará directamente el valor de la proyección (∆N o ∆E), con lo
cual su valor se suma algebraicamente a la coordenada del punto base A.
ΔN = d * cosAz y ΔE = d * sen Az
(3.10)
Las coordenadas de B se determinan así:
NB = NA + ΔN y EB = EA + ΔE
NB = NA + d * cos Az y EB = EA + d * sen Az
(3.11)
CAPÍ TULO 4
R ADIACIÓN
4.1 Radiación simple
4.1.1 Definición
E
s el método más fácil para realizar el levantamiento de un lote pequeño e
igualmente es el más utilizado para realizar la toma de detalles de una poligonal abierta o cerrada desde cada uno de sus deltas, con el fin de obtener todos
los datos de coordenadas y elaborar el Modelo Digital del Terreno - MDT. Para
su ejecución se debe seleccionar un delta o centro de radiación, preferiblemente
de coordenadas conocidas, desde el cual se medirán las distancias y direcciones
(azimuts) hacia cada uno de los diferentes puntos (vértices, detalles, puntos de
quiebre) a definir en el levantamiento.
64
TOPOGRAFÍA
FIGURA 4.1 Radiación simple de un lote
La figura 4.1 presenta el esquema básico de un levantamiento por radiación, en la
que se observa que se debe materializar el delta, vértice o centro de radiación “C”,
y sobre este punto armar, centrar y nivelar el equipo. Desde el vértice se deben
visualizar todos y cada uno de los puntos o deltas que conforman el polígono a
levantar (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 y 10) , así como los detalles del levantamiento . Con
el equipo instalado en el delta se da visual a la norte, que puede ser arbitraria
(fijando la visual en un objeto que no sea susceptible de sufrir un desplazamiento)
o real si es tomada entre dos puntos de coordenadas conocidas, en este caso se
podrá establecer el azimut real de cada uno de los vértices del polígono.
De igual manera en la figura 4.1 se aprecia que es necesario medir tanto el ángulo
entre la norte y la dirección de cada vértice del polígono o detalle (
), como
la distancia desde el centro de radiación a cada vértice del polígono o detalle del
lote (
).
Para realizar el levantamiento de radiación se emplea desde un teodolito, hasta
una estación total, la figura 4.2 presenta una imagen de estos equipos.
CAPÍTULO 4: RADIACIÓN
FIGURA 4.2 Equipos empleados en levantamientos por radiación simple
4.1.2 Aplicaciones
La radiación simple es el procedimiento topográfico más sencillo y eficaz para
levantar el detalle de un área circundante al vértice de radiación. Se combina
con las poligonales cerradas para el levantamiento de detalles desde cada uno
de los vértices de la poligonal, lo que lo convierte en uno de los procedimientos
topográfico más empleados. Cabe resaltar que, con la utilización de los equipos de
medición electrónica, la medición de distancias se ha simplificado y hace de este
levantamiento un procedimiento muy versátil.
4.1.3 Procedimiento en terreno
Lo primero a ejecutar en el campo es realizar un recorrido o reconocimiento
del terreno con el fin de establecer los puntos o detalles que se deben levantar,
la planeación de las labores del terreno y elaborar un bosquejo del terreno que
incluya la identificación de los detalles para programar los trabajos y orientar los
trabajos de oficina.
Identificados los detalles y los puntos del terreno a ser levantados, se materializa el
vértice, delta o punto de armado del equipo. Desde el vértice se realiza la radiación
a todos los puntos y detalles; en consecuencia el delta debe materializarse en un
punto más o menos central al levantamiento y asegurar la visual desde el delta a
todos y cada uno de los puntos y detalles.
Sobre el delta materializado se arma, centra y nivela el equipo, se da visual
a la norte (magnética, arbitraria o real) y se encera el equipo para establecer
ceros en el limbo horizontal (0° 00’ 00’’). Con la visual sobre la norte, se suelta
el movimiento horizontal y se da inicio al barrido de los ángulos horizontales
65
66
TOPOGRAFÍA
empezando por el primer detalle; ubicado el detalle se fija el plato horizontal,
se ajusta con el movimiento lento y se procede a dar lectura del valor del ángulo
horizontal y a medir la distancia desde el vértice de armada hasta el punto del
detalle. El procedimiento se repite hasta registrar el ángulo y la distancia de todos
los detalles requeridos para la representación del terreno. Los ángulos y distancias
se registran en la cartera de campo.
Al finalizar, se vuelve a dar visual al punto que materializó el primer detalle o la
norte y se lee el ángulo horizontal observado en el equipo, con el fin de verificar el
error angular “e” generado por posibles movimientos o desnivelación del equipo
durante la medición, error que no debe superar la precisión angular del equipo, de
suceder esto deberá verificar la nivelación y centrado del equipo sobre el delta y repetir la lectura de los ángulos. El error de cierre angular se determina como:
e = α – α’
(4.1)
Donde:
• e = Error de cierre.
• α = Primera lectura al Norte de referencia o primer detalle.
• α’ = Segunda lectura al Norte de referencia o primer detalle.
Al levantar los detalles en el terreno y con el fin de dibujarlos en la oficina es importante tener en cuenta:
• Un punto (árbol, señal de tránsito, poste, entre otros) se define con un punto
y se identifican las características del objeto en las observaciones (altura,
ancho, diámetro).
• Una línea (cerca, muro, canal, recta de una calle, entre otros) se define con
dos puntos, uno al principio y otro al final.
• Una curva (bordillo de la esquina de una calle, curva de una carretera o
ferrocarril, meandro de un río) se define con tres puntos, uno al comienzo,
otro en el centro y otro al final.
4.1.4 Procedimiento en la oficina
Se revisa que el error angular esté dentro del error permitido y se procede a
calcular los azimuts, las proyecciones y las coordenadas de cada uno de los detalles
o puntos del levantamiento, así como las áreas que se requiera determinar.
CAPÍTULO 4: RADIACIÓN
4.1.5 Ejemplo Práctico
Se desea levantar un estadio de béisbol para calcular el área de la grama y
realizar trabajos de mantenimiento. La figura 4.3 presenta una imagen del
estadio y las figuras 4.4 a y 4.4 b contienen la cartera de campo del levantamiento.
FIGURA 4.3 Imagen del predio a levantar
4.1.6 Cálculos
4.1.6.1 Cálculo de proyecciones
Como la norte fue arbitraria, los ángulos observados corresponden directamente
a los azimuts, con los cuales se establecen las proyecciones ∆N y ∆E, de cada uno
de los detalles, para ello se precede a convertir las coordenadas polares tomadas
en campo (azimut y distancia) en las proyecciones cartesianas ∆N y ∆E. En caso
que la norte se establezca con base en puntos de coordenadas conocidas se deberá
determinar el azimut de esta dirección y deberá calcularse el azimut hacia cada
detalle como el azimut hacia la norte más el ángulo observado.
67
68
TOPOGRAFÍA
FIGURA 4.4 A Cartera de campo: Levantamiento por radiación sencilla
CAPÍTULO 4: RADIACIÓN
FIGURA 4.4 B Cartera de campo: Levantamiento por radiación sencilla
Teniendo en cuenta que para este levantamiento se armó el equipo en D1 y se
dio visual en ceros a la parte izquierda de las torres de iluminación del estadio,
estableciendo una norte arbitraria, las coordenadas del delta son arbitrarias pero
su valor debe evitar que los cálculos arrojen coordenadas negativas.
Coordenadas de D1 N = 1000.000; E = 2000.000
69
70
TOPOGRAFÍA
4.1.6.2 Cálculo de coordenadas
Las coordenadas de los puntos o detalles se determinan con base en las ecuaciones
3.8 y 3.9, y las proyecciones, con la ecuación 3.10, los resultados se consignan en
la tabla 4.1.
NB = NA + ΔN
(3.8)
EB = E A + ΔE
(3.9)
ΔN = d * cosAz y ΔE = d * sen Az
(3.10)
TABLA 4.1 Determinación de los azimuts y proyecciones de los detalles
∆
AZIMUT
Θ
DIST.
PROYECCIONES
NS
D1
EW
COORDENADAS
Θ
NORTE
ESTE
1 000.000
2 000.000
D1
N
0 °
0‘
0 ‘’
1
2 °
24 ‘
1 ‘’
60.249
60.196
2.523
1 060.196
2 002.523
1
2
6 °
48 ‘
30 ‘’
60.140
59.716
7.130
1 059.716
2 007.130
2
3
10 °
51 ‘
7 ‘’
60.038
58.964
11.303
1 058.964
2 011.303
3
4
18 °
16 ‘
14 ‘’
59.374
56.381
18.614
1 056.381
2 018.614
4
5
27 °
2‘
18 ‘’
57.413
51.138
26.099
1 051.138
2 026.099
5
6
82 °
48 ‘
27 ‘’
63.116
7.902
62.619
1 007.902
2 062.619
6
7
86 °
49 ‘
22 ‘’
64.231
3.560
64.132
1 003.560
2 064.132
7
8
97 °
20 ‘
46 ‘’
52.263
-6.682
51.834
993.318
2 051.834
8
9
135 °
9‘
46 ‘’
49.209
-34.895
34.697
965.105
2 034.697
9
10
142 °
29 ‘
53 ‘’
43.714
-34.680
26.613
965.320
2 026.613
10
11
157 °
16 ‘
59 ‘’
44.994
-41.504
17.376
958.496
2 017.376
11
12
173 °
59 ‘
17 ‘’
64.397
-64.043
6.745
935.957
2 006.745
12
13
174 °
23 ‘
37 ‘’
10.703
-10.652
1.046
989.348
2 001.046
13
14
178 °
56 ‘
32 ‘’
54.855
-54.846
1.013
945.154
2 001.013
14
15
181 °
3‘
28 ‘’
19.572
-19.569
-0.361
980.431
1 999.639
15
16
182 °
31 ‘
44 ‘’
40.032
-39.993
-1.766
960.007
1 998.234
16
17
183 °
28 ‘
25 ‘’
57.962
-57.856
-3.512
942.144
1 996.488
17
18
184 °
26 ‘
31 ‘’
68.700
-68.494
-5.321
931.506
1 994.679
18
19
187 °
22 ‘
34 ‘’
54.668
-54.216
-7.018
945.784
1 992.982
19
20
193 °
33 ‘
13 ‘’
63.168
-61.409
-14.804
938.591
1 985.196
20
21
209 °
47 ‘
56 ‘’
42.891
-37.220
-21.315
962.780
1 978.685
21
22
224 °
39 ‘
19 ‘’
39.671
-28.220
-27.882
971.780
1 972.118
22
71
CAPÍTULO 4: RADIACIÓN
∆
AZIMUT
Θ
DIST.
PROYECCIONES
COORDENADAS
Θ
23
231 °
55 ‘
5 ‘’
46.123
-28.448
-36.305
971.552
1 963.695
23
24
274 °
8‘
27 ‘’
48.062
3.470
-47.937
1 003.470
1 952.063
24
25
285 °
55 ‘
16 ‘’
61.526
16.877
-59.166
1 016.877
1 940.834
25
26
299 °
5‘
26 ‘’
62.092
30.189
-54.259
1 030.189
1 945.741
26
27
331 °
20 ‘
27 ‘’
58.616
51.435
-28.112
1 051.435
1 971.888
27
28
346 °
55 ‘
7 ‘’
60.656
59.082
-13.729
1 059.082
1 986.271
28
4.2 Radiación doble
4.2.1 Definición
Recibe también los nombres de base media e intersección de visuales. El método se
basa en la ejecución de dos radiaciones sencillas, evitando con ello la medición de
distancias, desde los extremos de una línea o base medida que corresponderán a
los vértices o deltas de las radiaciones, hacia los detalles o punto del levantamiento.
La única distancia que se mide en el terreno es la de la base medida. En el primer
vértice o delta se establecerá la norte (arbitraria, magnética o real) y se barrerán
los ángulos a cada uno de los detalles; posteriormente, se arma el equipo en el
segundo vértice y, con ceros en la visual al primer delta, se barren los ángulos a
todos los detalles.
Con los ángulos medidos en cada delta y con la distancia de la base medida
se generan unos triángulos, mediante los cuales se determinan en oficina las
distancias a cada detalle, empleando el teorema de los senos.
La figura 4.5 presenta el esquema gráfico básico de este tipo de levantamiento,
como se observa, se establecen como vértices dos deltas o centros de radiación
“D2 y D3”, sobre los cuales se centra y nivela el aparato. Estos puntos deben
tener la particularidad de permitir la visual a todos y cada uno de los vértices
o detalles que conforman el polígono a levantar (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11,
12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 y 20 para el ejemplo) , con el equipo instalado en el
vértice uno D2 se da visual al mojón denominado D1; en este caso la norte es real
ya que la visual se fija desde D2 a otro punto de coordenadas conocidas D1; por
lo que se tiene el azimut real desde D2 hacia D1. Posteriormente con el equipo
centrado, armado y nivelado en el vértice dos D3 se da visual a D2 y se barren los
ángulos hacia cada uno de los vértices del polígono.
La distancia (
) debe ser medida en el terreno.
72
TOPOGRAFÍA
4.2.2 Aplicaciones
La radiación doble es empleada en el levantamiento de terrenos que presentan
una gran dificultad para acceder con medidas directas hacia sus vértices o para
emplear otro método topográfico de levantamiento.
FIGURA 4.5 Radiación doble
4.2.3 Ley de senos
En un triángulo cualquiera existe una igualdad entre las proporciones de cada
lado y el seno de los ángulos opuestos a dicho lado, tal como se presenta en la
figura 4.6.
FIGURA 4.6 Ley de senos
CAPÍTULO 4: RADIACIÓN
4.2.4 Metodología
4.2.4.1 Actividades en terreno
Como siempre, la primera labor es realizar un reconocimiento del terreno con el
fin de identificar los puntos, detalles o vértices, planificar las labores de terreno y
ejecutar un bosquejo que ayude a programar los trabajos.
Una vez identificados los detalles del terreno que van a ser levantados, se procede
a ubicar y materializar los deltas D2 y D3, que conforman los extremos de la base
medida, sobre los cuales se centra, arma y nivela el equipo para radiar todos los
detalles. Estos puntos deben ser intervisibles, permitir la medición de la distancia
entre ellos y tener visibilidad a todos y cada uno de los detalles del terreno.
Los deltas D2 y D3 pueden estar ubicados dentro o fuera de la zona de trabajo,
preferiblemente afuera, su separación no debe ser pequeña con relación al tamaño
del terreno a levantar, mínimo un quinto de la mayor distancia de éste. De igual
forma, es recomendable buscar una ubicación de manera tal que los ángulos leídos
a los detalles no sean muy agudos, porque esto afecta la precisión de los cálculos.
Materializada la base medida se arma, centra y nivela el equipo en el primer delta
D2, enseguida, con el limbo horizontal en ceros (0° 00’ 00’’) se da visual al mojón
D1. Definida la línea de referencia, se suelta el círculo horizontal y se da visual
al punto D3, se registra el valor del ángulo y se mide la distancia entre deltas.
La precisión en distancia debe ser mayor a 1:5000; por eso es necesario realizar
como mínimo tres mediciones, para establecer como valor final el promedio de
las medidas tomadas.
A continuación se barre el ángulo en sentido horario a cada detalle. Para el primer
punto se busca la visual del detalle, se fija el plato horizontal, se ajusta con el
movimiento lento buscando el hilo de la plomada y se procede a leer el valor del
ángulo, que debe ser registrado en la cartera de campo. A continuación se repite
el procedimiento anterior para el segundo detalle y así sucesivamente hasta el
último detalle, al igual que en la radiación simple se repite la primera medición
para chequear que el equipo no se haya desnivelado o movido.
En seguida se traslada el equipo al segundo delta (D3), se arma, centra y nivela el
equipo, se da visual al delta D2 y se acomoda en ceros el equipo (0° 00’ 00’’ ceros
atrás), se sueltan los ceros y se barre el ángulo en sentido horario, buscando el
primer detalle leído desde D2; siguiendo el mismo procedimiento, se fija el plato
horizontal, se ajusta con el movimiento lento hasta ajustar el retículo con el hilo
de la plomada y se procede a leer el valor del ángulo, valor que se registra en la
cartera de campo. Se repite el procedimiento anterior para el segundo detalle y así
sucesivamente hasta el último detalle.
Se debe ser cuidadoso en el orden de barrido de los detalles desde D3, ya que
estos deben ser tomados en estricto orden, tal como fueron observados desde D2,
73
74
TOPOGRAFÍA
de lo contrario no podrá ser calculada la distancia. Al finalizar las mediciones
angulares en D3, se vuelve a dar visual a D2 para verificar que el equipo está bien
centrado, armado y nivelado.
4.2.4.2 Actividades en la oficina
Con el fin de facilitar los cálculos de oficina y siempre que sea posible se debe
prestar atención a las siguientes recomendaciones:
• Preferiblemente la línea o base medida formada por los dos deltas, D2 y D3,
debe estar ubicada fuera del terreno.
• La norte, meridiano de referencia o brazo de armado debe establecerse por
fuera y a la izquierda del terreno.
• D3 debe quedar a la derecha de D2.
Entre la base medida y cada detalle del levantamiento se conforma un triángulo,
del cual se conoce un lado (la base medida o distancia entre D2 y D3) y, con base
en los ángulos leídos desde los vértices, se establecen los ángulos internos del
triángulo. Con el lado conocido y los ángulos internos del triángulo se aplica el
teorema de los senos para determinar la distancia del delta D2 a cada punto.
Si existente detalles o vértices a la izquierda de la norte o por debajo de la línea
D1 y D2, se deben ajustar los ángulos para poder aplicar el teorema de los senos.
4.2.5 Ejemplo
Se desea realizar el levantamiento de la parte central de la glorieta presentada en
la figura 4.7. Debido al manejo del tránsito y la poca probabilidad de cerrar la glorieta se decide realizar una base medida en el separador del acceso norte y desde
allí radiar los puntos de la glorieta.
CAPÍTULO 4: RADIACIÓN
FIGURA 4.7 Glorieta a ser levantada y ubicación de la base medida
La figura 4.8 presenta la radiación tomada en el terreno y las figuras 4.9 a, 4.9 b y
4.9 c la cartera de campo.
FIGURA 4.8 Radiación doble en la glorieta
75
76
TOPOGRAFÍA
4.2.5.1 Determinación de ángulos y distancias
La distancia de la base medida corresponde al promedio de las 4 medidas tomadas
en el terreno:
d32 = 70.001 + 70.002 + 69.999 + 69.998 = 70.000 m
FIGURA 4.9 A Cartera de Campo: radiación desde D2
CAPÍTULO 4: RADIACIÓN
FIGURA 4.9 B Cartera de Campo: radiación desde D2 y D3
77
78
TOPOGRAFÍA
FIGURA 4.9 C Cartera de Campo: radiación desde D3
79
CAPÍTULO 4: RADIACIÓN
Para cada punto se determina un triángulo en el cual uno de sus lados es la base
medida, empleando los ángulos medidos en el terreno y el teorema de senos, se
calculan los ángulos internos del triángulo y la distancia desde D2 a cada punto, la
cual se necesita para determinar las proyecciones y calcular las coordenadas. La
figura 4.10 presenta un ejemplo con los datos del punto 4.
FIGURA 4.10 Ángulos del triángulo para el punto 4
Para el detalle No. 4 se determinan los ángulos
la siguiente manera:
y
de
Una vez determinados los ángulos internos del triángulo, se determina la distancia del vértice D2 al punto 4 aplicando el teorema de los senos:
80
TOPOGRAFÍA
La tabla 4.2 contiene los cálculos de ángulos y distancias para cada detalle, con
base en el procedimiento anterior:
TABLA 4.2 Ángulos internos de los triángulos y distancia desde D2 a los detalles
PUNTO
OD2D3
D2D3O
D2OD3
DIST D2O
1
100 °
37 ‘
36 ‘’
41 °
48 ‘
10 ‘’
37 °
34 ‘
14 ‘’
76.524
2
99 °
01 ‘
10 ‘’
41 °
6‘
09 ‘’
39 °
52 ‘
41 ‘’
71.774
3
97 °
41 ‘
16 ‘’
44 °
48 ‘
09 ‘’
37 °
30 ‘
35 ‘’
81.010
4
97 °
33 ‘
18 ‘’
31 °
14 ‘
51 ‘’
51 °
11 ‘
51 ‘’
46.594
5
82 °
55 ‘
01 ‘’
48 °
53 ‘
07 ‘’
48 °
11 ‘
52 ‘’
70.746
6
82 °
29 ‘
24 ‘’
52 °
45 ‘
36 ‘’
44 °
45 ‘
00 ‘’
79.157
7
75 °
48 ‘
21 ‘’
71 °
19 ‘
20 ‘’
32 °
52 ‘
19 ‘’
122.177
8
74 °
50 ‘
24 ‘’
73 °
07 ‘
50 ‘’
32 °
01 ‘
46 ‘’
126.307
9
72 °
54 ‘
60 ‘’
68 °
01 ‘
58 ‘’
39 °
03 ‘
02 ‘’
103.043
10
71 °
29 ‘
55 ‘’
75 °
40 ‘
00 ‘’
32 °
50 ‘
05 ‘’
125.081
11
68 °
18 ‘
55 ‘’
72 °
27 ‘
30 ‘’
39 °
13 ‘
35 ‘’
105.544
12
58 °
49 ‘
12 ‘’
50 °
03 ‘
44 ‘’
71 °
07 ‘
04 ‘’
56.725
13
53 °
46 ‘
49 ‘’
41 °
41 ‘
26 ‘’
84 °
31 ‘
45 ‘’
46.771
14
52 °
14 ‘
40 ‘’
82 °
09 ‘
17 ‘’
45 °
36 ‘
03 ‘’
97.056
15
51 °
39 ‘
45 ‘’
56 °
29 ‘
53 ‘’
71 °
50 ‘
22 ‘’
61.431
16
48 °
45 ‘
47 ‘’
80 °
47 ‘
31 ‘’
50 °
26 ‘
42 ‘’
89.620
17
43 °
40 ‘
56 ‘’
97 °
20 ‘
30 ‘’
38 °
58 ‘
34 ‘’
110.376
18
39 °
58 ‘
41 ‘’
98 °
29 ‘
01 ‘’
41 °
32 ‘
18 ‘’
104.406
19
39 °
19 ‘
16 ‘’
100 °
20 ‘
39 ‘’
40 °
20 ‘
05 ‘’
106.392
20
36 °
13 ‘
54 ‘’
40 °
49 ‘
16 ‘’
102 °
56 ‘
50 ‘’
46.953
21
36 °
13 ‘
54 ‘’
34 °
03 ‘
05 ‘’
109 °
43 ‘
01 ‘’
41.637
22
29 °
20 ‘
49 ‘’
87 °
23 ‘
15 ‘’
63 °
15 ‘
56 ‘’
78.297
Determinadas las distancias del delta D2 a los detalles se procede a calcular las
coordenadas de cada punto o detalle, para lo cual se debe establecer el azimut
CAPÍTULO 4: RADIACIÓN
del delta D2 a cada detalle. Para este ejemplo la norte no fue arbitraria sino que
se estableció con base en dos puntos de coordenadas conocidas D1 y D2; para
determinar el azimut de D2 hacia D1 empleamos la ecuación 4.5 y la tabla 4.1.
Coordenadas de D1 N = 582.243; E = 1396.120.
Coordenadas de D2 N = 610.201; E = 1353.977
Con base en la ecuación 3.6:
ΔN = ND1 – ND2
y
ΔE = ED1 – E D2
ΔN = 582.243 – 610.201 y
ΔE = 1396.120 – 1353.977
ΔN = –27.958
ΔE = 42.143
y
Por lo tanto el ángulo θ está en el segundo cuadrante y de acuerdo con la tabla 3.1
se resta θ de 180°.
Con base en la ecuación 3.5:
θ = arctan (ΔE / ΔN)
θ = arctan (42.143 / –27.958) = –56° 26’ 22’’
Según lo establecido en la tabla 3.1:
= 180 + (–θ) = 180 + (–56° 26’ 22’’) = 123° 33’ 38’’
Con el azimut de D2 hacia D1 y los ángulos observados de D2 a cada detalle se
obtienen los azimuts de cada punto; con los azimuts y las distancias de D2 a cada
detalle se calculan las proyecciones y las coordenadas con base en el procedimiento
explicado en el capítulo 3; los resultados se presentan en la tabla 4.3.
81
TOPOGRAFÍA
82
5
6
7
8
9
01
11
21
916.2631
401.9431
739.7431
835.0331
956.7231
631.9231
928.0231
893.0231
603.7231
514.465
326.935
572.135
392.094
666.684
791.015
395.984
141.015
831.065
902.51
246.8
378.4-
040.6-
934.32-
813.62-
148.42-
841.33-
975.33-
176.62-
965.97-
687.54-
875.07-
629.87-
809.911-
535.321-
400.001-
806.021-
060.001-
360.05-
010.18
495.64
647.07
751.97
771.221
703.621
340.301
180.521
445.501
527.65
’‘ 94
’‘ 34
’‘ 14
’‘ 85
’‘ 53
’‘ 83
’‘ 53
’‘ 95
’‘ 3.4
’‘ 3.4
’‘ 74
‘ 05
‘ 01
‘ 81
‘ 65
‘ 22
‘3
‘1
‘ 65
‘ 22
‘ 33
‘2
° 761
° 961
° 961
° 381
° 481
° 191
° 291
° 391
° 591
° 891
° 802
2
3
4
5
6
7
8
9
01
11
21
4
236.035
477.17
681.9631
661.07-
3
011.51
530.045
1
780.9631
° 661
2
‘ 41
202.81
’‘ 32
378.535
425.67
971.2731
823.47-
1
3D
628.3-
° 662
598.96-
‘ 15
573.606
’‘ 95
280.4821
2D
000.07
3D
Δ
2D
OTNUP
° 321
102.016
TUMIZA
‘ 33
779.3531
AICNATSID
’‘ 83
A
SN
SENOICCEYORP
WE
N
SADANEDROOC
E
OTNUP
o tneima tnavel led sa dane drooc y senoicceyorp s tumizA 3 .4 ALBAT
83
CAPÍTULO 4: RADIACIÓN
41
51
61
71
81
91
02
12
22
438.8921
365.8131
476.8921
244.8721
857.7721
084.5721
776.7131
787.1231
829.7821
233.035
600.065
086.935
027.925
848.835
683.835
124.085
397.385
551.865
341.55-
414.53-
303.55-
535.57-
912.67-
794.87-
003.63-
091.23-
940.66-
968.97-
591.05-
225.07-
184.08-
453.17-
518.17-
087.92-
904.62-
640.24-
177.64
650.79
134.16
026.98
673.011
604.401
293.601
359.64
736.14
792.87
’‘ 01
’‘ 91
’‘ 41
’‘ 21
’‘ 3.3
’‘ 81
’‘ 34
’‘ 3.5
’‘ 3.5
’‘ 01
‘5
‘ 73
‘ 21
‘6
‘ 11
‘ 35
‘ 23
‘ 83
‘ 83
‘ 13
° 312
° 412
° 512
° 812
° 322
° 622
° 722
° 032
° 032
° 732
31
41
51
61
71
81
91
02
12
22
OTNUP
781.93-
TUMIZA
235.52-
AICNATSID
410.175
SENOICCEYORP
544.8231
SADANEDROOC
31
OTNUP
Δ
84
TOPOGRAFÍA
4.3 Ejercicios planteados
Para los datos consignados en la tabla 4.4, realice la radiación sencilla.
TABLA 4.4 Ejercicio planteado de radiación sencilla
∆
PUNTO
AZIMUT
DIST
Observación
D
N
0 °
0‘
0 ‘’
1
14 °
8‘
29 ‘’
39.689
Punto de quiebre
2
41 °
25 ‘
16 ‘’
51.541
Punto de quiebre
3
48 °
54 ‘
16 ‘’
126.018
Punto de quiebre
4
65 °
4‘
37 ‘’
38.097
Punto de quiebre
5
72 °
25 ‘
56 ‘’
103.446
Punto de quiebre
6
89 °
5‘
37 ‘’
132.005
Punto de quiebre
7
102 °
14 ‘
9 ‘’
16.522
Punto de quiebre
8
143 °
28 ‘
9 ‘’
33.092
Punto de quiebre
9
167 °
32 ‘
9 ‘’
45.195
Punto de quiebre
10
181 °
2‘
9 ‘’
52.834
Punto de quiebre
11
193 °
15 ‘
9 ‘’
72.482
Punto de quiebre
12
215 °
14 ‘
9 ‘’
77.207
Punto de quiebre
13
223 °
26 ‘
15 ‘’
10.125
Punto de quiebre
14
237 °
54 ‘
15 ‘’
28.307
Punto de quiebre
15
249 °
25 ‘
15 ‘’
48.164
Punto de quiebre
16
254 °
45 ‘
15 ‘’
58.085
Punto de quiebre
17
280 °
38 ‘
15 ‘’
89.564
Punto de quiebre
18
280 °
26 ‘
15 ‘’
104.978
Punto de quiebre
19
295 °
36 ‘
16 ‘’
23.298
Punto de quiebre
20
308 °
37 ‘
16 ‘’
39.949
Punto de quiebre
21
315 °
36 ‘
18 ‘’
60.813
Punto de quiebre
22
340 °
36 ‘
16 ‘’
88.780
Punto de quiebre
Cost izq torre ilumi
Para los datos consignados en la tabla 4.5, realice la radiación doble.
85
CAPÍTULO 4: RADIACIÓN
TABLA 4.5 Ejercicio planteado de radiación doble
Observación
∆
Θ
Ángulo
observado
0 ‘’
Mojón
D3
D2
0 °
19 ‘
36 ‘’
Mojón
1
240 °
109 °
33 ‘
37 ‘’
casa
2
242 °
2
114 °
2‘
27 ‘’
casa
3
257 °
3
115 °
41 ‘
10 ‘’
casa
4
254 °
4
119 °
14 ‘
32 ‘’
casa
5
277 °
5
136 °
31 ‘
24 ‘’
casa
6
280 °
6
136 °
38 ‘
32 ‘’
casa
7
269 °
7
137 °
26 ‘
22 ‘’
casa
8
272 °
8
137 °
28 ‘
41 ‘’
casa
9
281 °
9
146 °
16 ‘
8 ‘’
casa
10
286 °
10
147 °
44 ‘
40 ‘’
casa
11
30 °
11
302 °
15 ‘
44 ‘’
camino
12
47 °
12
323 °
8‘
45 ‘’
camino
13
57 °
13
336 °
51 ‘
34 ‘’
camino
14
64 °
14
348 °
44 ‘
35 ‘’
camino
15
71 °
15
6 °
27 ‘
39 ‘’
camino
16
93 °
16
25 °
25 ‘
21 ‘’
camino
17
112 °
17
32 °
32 ‘
0 ‘’
camino
19
126 °
18
36 °
38 ‘
59 ‘’
camino
∆
Θ
Ángulo observado
D2
D1
0 °
0‘
D3
70 °
1
Distancia
D2 - D3
42.249
NORTE
ESTE
42.243
1744.320
1847.724
42.749
1741.280
1872.697
42.414
CAPÍ TULO 5
POLIGONALES
5.1 Generalidades
C
uando un terreno presenta una gran extensión o existen impedimentos que
no permiten tener la visibilidad necesaria, se emplea un levantamiento de
control o poligonal. El cual consiste en trazar un polígono que siga aproximadamente los límites del terreno y, desde los puntos que conforman este polígono,
se toman los detalles faltantes para la perfecta determinación del terreno que se
desea conocer.
Los puntos que definen los extremos de las líneas que conforman la poligonal se
denominan estaciones o deltas; la distancia que existe entre esos puntos sucesivos,
medida sobre la poligonal, se determina por medición directa con cinta o un
equipo MED (medición electrónica de distancias) y de igual manera en cada uno
de estos deltas se miden los ángulos en el punto desde el vértice anterior y el
siguiente. La figura 5.1 es un levantamiento de una construcción apoyado en una
poligonal.
88
TOPOGRAFÍA
FIGURA 5.1 Levantamiento con poligonales
CT21
CT20
3
2
1
D1
8
6
5
D2
5.2 Clasificación de las poligonales
Las poligonales se pueden clasificar según los puntos de partida y llegada en
abiertas y cerradas. Según la orientación angular, las poligonales se pueden
clasificar en orientadas o de azimut directo y no orientadas.
5.2.1 Poligonal abierta
Poligonal que consta de una serie de líneas unidas que no regresan al punto de
partida ni cierran en algún punto con igual o mayor precisión. Estas poligonales
se originan en una estación o punto de coordenadas conocidas y termina en una
estación de coordenadas desconocidas.
En este tipo de poligonales no es posible verificar los datos obtenidos en campo, ya
que no se posee suficiente información para ello. Para minimizar los errores que se
comenten en este tipo de levantamiento poligonal, se recomienda la redundancia
de información, es decir, cada dato debe ser tomado tres o cuatro veces, para
obtener una mayor precisión; la medición de ángulos debe hacerse por repetición.
Las poligonales abiertas pueden ser usadas en levantamientos para vías terrestres.
A pesar de las precauciones, la poligonal abierta no es recomendada ya que se
considera riesgosa pues no se puede comparar sus coordenadas de cierre con las
de algún punto de coordenadas conocidas.
89
CAPÍTULO 5: POLIGONALES
FIGURA 5.2 Poligonal abierta
CT21
D2
CT20
D1
D3
5.2.2 Poligonal cerrada
Pueden utilizarse en el establecimiento de la red de control para edificación de
unidades habitacionales, determinación de perímetros, etc. Se clasifican en dos
tipos:
De circuito cerrado. Comienza en una estación dada, con coordenadas conocidas,
recorre un determinado trayecto y finalmente vuelve al punto de partida.
Un ejemplo de poligonal cerrada en circuito es el levantamiento de los linderos de
una determinada extensión de terreno o propiedad, ya que muestra la forma de un
polígono; una poligonal de circuito, que empieza y termina en un punto de posición
horizontal conocido, proporciona la posibilidad de revisar internamente los ángulos
y los errores en las distancias.
FIGURA 5.3 Poligonal de circuito cerrado
CT21
CT20
D3
D1
D2
90
TOPOGRAFÍA
De línea cerrada o poligonal punto a punto. Convergen en un punto diferente
al de partida con coordenadas conocidas, las cuales se pueden comparar con las
coordenadas de cierre. Las poligonales de línea cerrada tienen las mismas ventajas
sobre la poligonal de circuito cerrado, ya que en esta se pueden descubrir los
errores en los ángulos y en distancias.
FIGURA 5.4 Poligonal de línea cerrada
CT21
D2
CT20
D1
D3
CT44
CT45
5.2.3 Poligonal orientada o de azimut directo
El instrumento está orientado en cada uno de los puntos o estaciones que
componen la poligonal. Consiste en estacionar la poligonal en el punto de inicio y
se orienta para conocer el azimut de una de las direcciones, seguidamente se visa al
punto delante sobre el cual se hacen las medidas de los ángulos y de las distancias
necesarias para así poder situar dicho punto por medio de una radiación.
Al estar el aparato orientado, la lectura acimutal que se haga adelante será el
nuevo azimut de tal dirección. Después de trasladar el aparato al punto adelante
de la dirección de referencia será el contrazimut, ya que el azimut de esa
dirección ya es conocido.
FIGURA 5.5 Poligonal orientada
N
CT21
CT20
N
N
D3
D1
N
D2
91
CAPÍTULO 5: POLIGONALES
5.2.4 Poligonal no orientada
En este caso no es necesario llevar el instrumento orientado, se estaciona en el
punto de inicio de la poligonal y con la lectura angular cualquiera se visa al punto
de amarre y después se realiza la observación completa sobre el siguiente delta.
Esta tipo de poligonal se puede clasificar en dos tipologías de acuerdo a la forma
de tomar los ángulos:
a) Ceros atrás
Colocar ceros en el punto inmediatamente anterior y leer al punto inmediatamente siguiente, como se muestra en la figura 5.6.
FIGURA 5.6 Poligonal por ceros atrás externos
CT21
CT20
D3
D1
D2
Como se siguió la numeración de los deltas en sentido de las manecillas del reloj
los ángulos leídos son los ángulos externos del polígono, si se sigue la dirección
contraria a las manecillas del reloj se determinan los ángulos internos del polígono,
como se muestra en la figura 5.7.
FIGURA 5.7 Poligonal por ceros atrás internos
CT21
CT20
D1
D3
D2
92
TOPOGRAFÍA
b) Deflexiones
El ángulo de deflexión es el ángulo formado entre la proyección de la línea
anterior y la siguiente línea, estos ángulos son utilizados cuando se realizan
trabajos de diseños viales de localización directa, como lo muestra la figura 5.8.
FIGURA 5.8 Poligonal por deflexiones
CT21
CT20
D3
D1
D2
5.3 Ajustes y compensaciones
En los trabajos de campo se realizan más mediciones que las estrictamente
necesarias para el cálculo de las magnitudes que se pretenden determinar.
La repetición de observaciones, además de aumentar la precisión de las magnitudes
medidas, permite analizar su fiabilidad y desechar las defectuosas o groseras. Una
vez validadas, según la teoría de errores clásica, es preciso corregirlas con base en
los planteamientos matemáticos que las relacionen.
Al conjunto de observaciones, tanto las necesarias como las sobreabundantes o
redundantes, se les relaciona mediante expresiones matemáticas deducidas de las
propias observaciones o de las condiciones geométricas que deben cumplir los
elementos medidos, lo que constituye el fundamento de los métodos de ajuste y
compensación.
Como paso previo al ajuste de las observaciones que se realizan, es necesario una
estimación de su precisión, para finalmente elegir el procedimiento de compensación más adecuado, acorde con la bondad de los datos obtenidos. Estos pueden
ser métodos rigurosos o métodos expeditos o aproximados.
A continuación se presentan algunos de los métodos expeditos más comunes en el
ajuste de poligonales topográficas y posteriormente el método riguroso.
93
CAPÍTULO 5: POLIGONALES
5.3.1 Error de cierre angular
Para determinar el error de cierre angular en una poligonal ha de compararse la
geometría teórica del polígono contra la observada en campo, he aquí el análisis
de varios casos en particular:
FIGURA 5.9 Ángulos internos de una poligonal
CT21
CT20
D1
D3
D2
En caso de que los puntos de apoyo estén por fuera de la poligonal y el trazo de
los deltas se realice en sentido contrario a la dirección de las manecillas del reloj,
entonces la sumatoria teórica de los ángulos internos para este caso será igual a:
∑teo = (n – 2) * 180° + 360
Donde n = número de vértices de la poligonal.
FIGURA 5.10 Ángulos externos de una poligonal
CT21
CT20
D2
D3
D1
D2
94
TOPOGRAFÍA
Ahora ha de analizarse el caso en que los ángulos que se hayan medido sean los
exteriores, ya que los deltas se materializaron en sentido de las manecillas del
reloj, el cálculo de la sumatoria teórica será igual a:
∑teo = (n + 2) * 180°
Si el brazo de apoyo esta por dentro del polígono las sumatorias cambian, por eso
se recomienda hacer el gráfico y determinar los ángulos leídos para determinar
la sumatoria teórica de los ángulos, el ejemplo del brazo interno con ángulos
externos se presenta en la figura 5.11.
FIGURA 5.11 Poligonal con brazo interno
CT21
D3
CT20
D1
D2
5.3.2 Errores de cierre en distancia
Para una poligonal cerrada es claro que, si todas las distancias y ángulos se midiesen
perfectamente, la suma algebraica de las proyecciones de todos sus lados debería
ser igual a cero. Como las mediciones no son perfectas y existen errores entre
distancias y ángulos, las condiciones antes mencionadas rara vez se presentan. Las
magnitudes en que tales condiciones no se cumplen se denominan error de cierre
de la proyección Norte-Sur y error de cierre en la proyección Este-Oeste. Sus valores
se calculan sumando algebraicamente las proyecciones NS e EW.
El error de cierre en proyecciones puede calcularse fácilmente por la ecuación
siguiente:

edist = √ (ΔPNS2 + ΔPEW2)
CAPÍTULO 5: POLIGONALES
5.3.3 Precisión de la poligonal
Para comprobar si la poligonal cierra en distancia hay que calcular la precisión.
Según los estándares que se trabajan profesionalmente, esta precisión debe ser
mayor a 10.000 si las distancias se tomaron con cinta o 20.000 si se tomaron con
equipos electrónicos, para lo cual es necesario determinar el perímetro de la
poligonal o suma de distancias.
5.4 Métodos de ajuste
P = ( ∑dist / edist)
5.4.1 Método de brújula o de Bowditch
Este método también es conocido como el método de compás. Consiste en un
reparto proporcional a la longitud de los lados, acumulando más error a los lados
más largos y menos a los lados más cortos de cada uno de los puntos; este método
está en función al perímetro, por consiguiente se le da más peso a la distancia que
a los ángulos.
A continuación se describirá el procedimiento para efectuar este ajuste:
• Inicialmente se comparan los ángulos teóricos y los ángulos observados del
polígono con el error máximo tolerable.
• Se corrigen los ángulos distribuyendo el error angular, dividiendo este entre
el número de ángulos observados.
• Se procede a realizar la corrida de azimuts para cada línea.
• En seguida, se realiza el cálculo de las proyecciones NS y EW respectivamente.
• Se determina los errores en la PNS y la PEW, con las siguientes fórmulas:
ΔPNS = ∑PNS
ΔPEW = ∑PEW
∑dist = ∑DISTANCIAS
• Para realizar las correcciones de las proyecciones, es preciso aplicar la relación
de proporcionalidad repartiendo el error de acuerdo a las longitudes de cada
lado, las correcciones se acumularan para cada tramo.
Corr PNS = (distacumulada * ΔPNS) / ∑dist
Corr PEW = (distacumlada * ΔPEW) / ∑dist
95
96
TOPOGRAFÍA
5.4.2 Método de tránsito
La regla de Tránsito se basa en la suposición de que los errores son accidentales
y que las mediciones angulares son más precisas que las mediciones lineales,
por lo tanto este método da mayor peso a los ángulos que a las distancias. Es
recomendable ajustar por este método cuando se toman datos con cinta métrica,
ya que siempre van a cambiar las longitudes pero nunca sus lados; cuando los
azimuts están cercanos a 0º, 90º, 180º y 270º no se recomienda usar este método
ya que la corrección puede ser máxima o muy mínima.
Al igual que en el método anterior (de brújula), se inicia comparando ángulos
teóricos y ángulos observados, para repartir proporcionalmente el error angular
a cada uno de los vértices de la poligonal y así corregir angularmente el polígono,
se calculan azimut y proyecciones NS y WE para cada línea.
Para calcular la corrección de las proyecciones se calcula un delta norte-sur
conocido como n y un delta este-oeste conocido como e, en este caso se utilizará
el ejemplo del polígono de 3 lados:
n = ∑ |PNS|
e = ∑ |PEW|
Donde:
• n = Sumatoria de las proyecciones N-S.
• e = Sumatoria de las proyecciones E-W.
Se determinan las correcciones correspondientes a las proyecciones con las
siguientes fórmulas, teniendo en cuenta que los valores se calculan de una forma
acumulativa.
Corr PNS = (∑|PNS| acumulada * ΔPNS) / n
CorrPEW = (∑|PEW|acumulada * ΔPEW) / e
A los valores obtenidos se les suman o restan las proyecciones calculadas, para así
poder calcular las coordenadas respectivas a cada uno de los puntos.
5.4.3 Método de Crandall
Procedimiento sistemático de ajuste, cuya aplicación es muy similar a la regla del
tránsito. Este método es particularmente aplicable en poligonales cuyos ángulos se
midieron con mayor precisión que las distancias; es decir, se le da más peso a los
ángulos que a las distancias. Se emplea cuando no se necesita que cambien los azimuts calculados, así que solo se conservan las direcciones del polígono; los azimuts
CAPÍTULO 5: POLIGONALES
se calculan dos veces: la primera, al principio de la poligonal, para determinar los
errores que se deben compensar, y la segunda, al final, cuando ya se han calculado
las coordenadas correspondientes a los puntos. Se calcula la poligonal sin ajustar los
ángulos observados.
Para calcular las correcciones de las proyecciones se aplican las siguientes tres
fórmulas:
F1 = (PNS * PEW) / dist
F2 = PNS2 / dist
F3 = PEW2 / dist
Seguidamente y de acuerdo a los valores obtenidos, se aplican las fórmulas A y B
que corresponde a coeficientes de variación:
A=
(ΔPNS * ∑F1)– (ΔPNS * ∑F3)
(ΔF3 * ∑F)– (∑F1)2
B=
(ΔPNS * ∑F1)– (ΔPEW * ∑F2)
(ΔF3 * ∑F2)– (∑F1)2
Teniendo el valor de los coeficientes A y B de las anteriores fórmulas se procede
a calcular las correcciones para las proyecciones NS y EW con las siguientes
ecuaciones:
CorrPNS = (A * F2) + (B * F1)
CorrPEW = (A * F1) + (B * F3)
Posteriormente, el valor obtenido en las correcciones se suma algebraicamente al
valor inicial de la proyección NS, EW.
Finalmente, para el cálculo de nortes y estes de los puntos, se suman algebraica y
acumulativamente las proyecciones calculadas y ya corregidas en todo el proceso
de compensación de la poligonal.
5.4.4 Método de variación de coordenadas
Este método se utiliza cuando las coordenadas que se tienen son tomadas en
campo y cuando no se hace un cierre angular, ya que este método no lo necesita,
en este procedimiento topográfico se le da más peso a los ángulos registrados en
97
98
TOPOGRAFÍA
campo que a las distancias. Este procedimiento puede aplicarse proporcional al
número de lados o proporcional con respecto al perímetro, el procedimiento para
compensar por este método es el presentado a continuación:
Se debe calcular la poligonal sin ajustar los ángulos. Con las proyecciones NS y EW
obtenidas y aún no corregidas se calculan las coordenadas de forma algebraica.
Los deltas PNS y PEW se dividen de acuerdo al número de lados y se registra de
forma acumulada para los puntos que se desean compensar o se realiza el cálculo
dándole peso a la distancia, como en el método de brújula.
coor N = ΔPNS / l
coor E = ΔPEW / l
Donde: l = Número de lados de la poligonal.
Por último, a cada una de las coordenadas calculadas anteriormente se les suman
algebraicamente las proyecciones corregidas, obteniéndose así las coordenadas
correspondientes a cada uno de los puntos.
5.4.5 Ajuste por mínimos cuadrados
Procedimiento de ajuste de observaciones donde el valor más cercano al valor real
es el mínimo en la sumatoria de los cuadrados de las desviaciones:
∑ (PV2) = mínimo
Condiciones de aplicación:
• Eliminar todos los errores sistemáticos de los datos a ajustar.
• La distribución de errores aleatorios debe ser normal.
• Redundancia de información (más observaciones que incógnitas).
Hay dos formas de ajustar por mínimos cuadrados: la primera es por ecuaciones
de condición (medición directa) y la segunda es por ecuaciones paramétricas
(mediciones indirectas).
Para calcular la poligonal por mínimos cuadrados usando ecuaciones de
condición, se realizará el siguiente procedimiento:
• Realizar el cálculo aproximado de la poligonal, sin ajustar los ángulos ni las
proyecciones.
• Determinar los errores de cierre en PNS y PEW.
• Determinar el cierre angular comparando geometrías y expresando el
resultado en radianes.
• Realizar cuadro de diferencias finitas.
CAPÍTULO 5: POLIGONALES
• Realizar matriz de derivadas parciales inicial sin ponderar.
• Realizar ponderación en ángulos y distancias.
• Precisión en distancia del equipo: 0.030m.
• Precisión angular del equipo: 5”.
Kdist = √2 / error permitido
Kang = 206264.8 / p seg
• Posteriormente se divide cada casilla por el peso correspondiente.
• Se procede luego a realizar las operaciones matriciales correspondientes a un
ajuste normal por mínimos cuadrados.
Matriz AT (Transpuesta de A)
Matriz A*AT
Matriz (A*AT)-1
Matriz (A*AT)-1*K
Matriz ((A*AT)-1*K)*AT
• Ahora se realiza el cambio de variable dividiendo por el peso respectivo.
Para los ángulos, que son las primeras cuatro filas, se divide por Kang y luego se
convierte a grados sexagesimales multiplicando cada valor angular por 180° / π, y
finalmente las distancias que corresponden a las tres filas siguientes por Kdist para
obtener la matriz de ajuste.
99
CAPÍ TULO 6
P O L I G O N A L A B I E R TA
6.1 Definición
E
s un polígono que se materializa en campo; el cual empieza en un punto determinado y termina en un punto totalmente diferente. La realización de
levantamientos topográficos utilizando poligonales abiertas solo sirve para levantamientos de muy poca precisión; ya que no se podrán determinar errores y realizar los ajustes o correcciones respectivas.
FIGURA 6.1 Poligonal abierta
Delta 3
Delta final
Delta 2
Punto
ref erencia
Delta 1
102
TOPOGRAFÍA
6.2 Levantamiento: Poligonal abierta método ceros atrás
6.2.1 Metodología
6.2.1.1 Trabajo de campo
• Dependiendo de las especificaciones del proyecto, definir el tipo de
coordenadas a utilizar (arbitrarias, asifinas o reales).
• Elaborar el bosquejo o gráfico del terreno u obra a levantar.
• Materializar o verificar la existencia de los puntos de amarre (punto inicial y
punto de referencia).
• Armar el equipo en el punto inicial, visar al punto de referencia y colocar el
ángulo respectivo (cero grados, si se va a realizar el levantamiento por ceros
atrás, o el azimut entre los dos puntos, si se hace por azimut directo).
• Con base en los dos puntos de apoyo, uno para coordenadas y otro para
determinar el azimut u orientación de la poligonal, se traslada la coordenada
a cada uno de los puntos de la poligonal.
• El procedimiento anterior se realiza determinando el ángulo, comprendido
entre el punto o delta anterior y el inmediatamente siguiente, y la distancia
entre los mismos.
• Para cada armada se centra y localiza el equipo sobre el delta, se coloca cero
en el punto anterior y se mide el ángulo al delta siguiente, se mide la distancia
y, luego, se realiza este mismo procedimiento para cada uno de los detalles,
numerándolos de forma consecutiva para todo el levantamiento y anotando
el tipo del mismo.
6.2.1.2 Trabajo de oficina
• Se calcula el azimut inicial (azimut desde el punto inicial hasta el punto
referencia), según las coordenadas de los puntos.
• Se calculan los azimuts de las líneas de la poligonal y de los deltas a cada uno
de los detalles del levantamiento.
• Se calculan las proyecciones de los deltas de la poligonal.
• Se calculan las proyecciones de los detalles, desde el delta que fueron tomados.
• Se calculan las coordenadas de todos y cada uno de los deltas.
• Con las coordenadas de cada delta y las proyecciones de cada detalle, se
calculan las coordenadas de los detalles.
• Se realiza el plano correspondiente.
• Se calculan las áreas parciales y/o totales de cada uno de los elementos que
componen el levantamiento.
CAPÍTULO 6: POLIGONAL ABIERTA
6.2.2 Ejercicio: poligonal abierta por ceros atrás
FIGURA 6.2 Cartera de campo
103
104
TOPOGRAFÍA
6.2.2.1 Cálculos
6.2.2.1.1 Cálculo de azimut inicial
Con las coordenadas de los puntos inicial y de referencia, se calcula el azimut de
CD5 a CD6.
TABLA 6.1 Coordenadas base
Punto
Norte
Este
CD5
1079.719
1023.984
CD6
1097.002
1004.429
DN = NCD – 6 – NCD – 5 = 17.283
DE = ECD – 6 – E CD – 5 = –19.555
θ = Tan -1 | (DE / DN) | = 19.555 / 17.283 = 48° 31’ 45’’
Como DN es positivo y DE es negativo, el azimut está en el cuarto cuadrante. Luego,
Az = 360 – θ = 311° 28’ 15’’
6.2.2.1.2 Cálculo de los azimuts de la poligonalsin detalles
Con el azimut inicial y los ángulos tomados en campo, se calculan los azimuts
de todas y cada una de las líneas de la poligonal. Al azimut inicial se le suma el
primer ángulo y se obtiene el azimut de la primera línea de la poligonal, de ahí en
adelante se calcula cada contrazimut y se suma cada ángulo según corresponda. Si
el valor calculado es mayor a 360 grados hay que restar 360 grados.
El contrazimut, el azimut que se toma en el sentido contrario, se calcula con la
siguiente norma: si el azimut es menor de 180°, a tal valor se le suma 180, y si es
mayor de 180°, se le resta 180.
TABLA 6.2 Cálculo de azimut de la poligonal
DELTA
PUNTO
CD5
D. 1
D. 2
ÁNG. OBSER.
AZIMUT
G
M
S
G
M
S
CD6
0
0
0
311
28
15
D. 1
66
33
22
18
01
37
CD5
0
0
0
198
01
37
D. 2
256
22
00
94
23
37
D. 1
0
0
0
274
23
37
D. 3
54
06
34
328
30
11
105
CAPÍTULO 6: POLIGONAL ABIERTA
6.2.2.1.3 Proyecciones de la poligonal
Con los azimuts de cada línea de la poligonal y la distancia respectiva, se calculan
cada una de las proyecciones, usando las siguientes fórmulas:
PN = cos Az * Distancia
PE = sen Az * Distancia
TABLA 6.3 Cálculo de proyecciones de la poligonal
ÁNG. OBSER.
DELTA PUNTO
CD5
D. 1
D. 2
G
M
CD6
0
0
0
D. 1
66
33
CD5
0
D. 2
AZIMUT
G
M
311
28
15
22
18
01
37
0
0
198
01
37
256
22
00
94
23
37
D. 1
0
0
0
274
23
37
D. 3
54
06
34
328
30
11
DISTANCIA
PROYECCIONES
NS
EW
14.540
13.826
4.500
31.589
-2.420
31.496
27.161
23.159
-14.190
6.2.2.1.4 Coordenadas de los deltas o vértices de la poligonal
Según las proyecciones calculadas y las coordenadas del punto inicial (CD5),
se calculan las coordenadas de todos y cada uno de los deltas o vértices. Las
coordenadas serán acumulativas según el delta anterior.
TABLA 6.4 Cálculo de coordenadas de la poligonal
DELTA
PUNTO
CD5
CD6
D. 1
D. 1
COORDENADAS
NS
N
E
1079.719
1023.984
CD5
1093.545
1028.484
D. 1
1091.125
1059.980
D. 2
1114.284
1045.790
D. 3
13.826
EW
-2.420
31.496
D. 1
D. 3
23.159
PUNTO
4.500
CD5
D. 2
D. 2
PROYECCIONES
-14.190
106
TOPOGRAFÍA
6.2.2.1.5 Coordenadasde los detalles
Las coordenadas de los detalles se calculan con las coordenadas de cada vértice
o delta, dependiendo desde donde se hayan tomado cada uno de estos, se calcula
el azimut del delta o vértice a los detalles correspondientes, con las distancias
se calculan las proyecciones. A las coordenadas del delta correspondiente se le
suman las proyecciones según el detalle a calcular.
TABLA 6.5 Cálculo de coordenadas de los detalles
DELTA
PUNTO
D. 1
D. 3
ÁNG. OBSER.
AZIMUT
DIST.
G
M
S
G
M
S
CD5
0
0
0
198
01
37
1
246
22
31
84
24
08
6.108
2
275
04
53
113
06
30
15.927
D2
0
0
0
148
30
11
3
324
53
14
113
23
25
3.939
4
336
06
34
124
36
45
14.806
PROYECCIONES
COORDENADAS
NS
N
E
1093.545
1028.484
D. 1
EW
PUNTO
0.595
6.078
1094.140
1034.562
1
-6.251
14.649
1087.294
1043.133
2
1114.284
1045.790
D. 3
-1.564
3.615
1112.720
1049.405
3
-8.410
12.186
1105.874
1057.976
4
Con las coordenadas de los detalles se realiza el plano correspondiente (tema que
se explica en el capítulo 18).
6.3 Poligonal abierta por azimut directo
6.3.1 Metodología
6.3.1.1 Trabajo de campo
• Dependiendo de las especificaciones del proyecto, definir el tipo de
coordenadas a utilizar (arbitrarias, asifinas o reales).
• Determinar (materializar o verificar existencia) los puntos: inicial y de
referencia, para realizar el levantamiento. Para este tipo de levantamientos,
CAPÍTULO 6: POLIGONAL ABIERTA
previamente se debe haber calculado el azimut entre los dos puntos de amarre
de la poligonal.
• Realizar el bosquejo o gráfico del terreno que se requiere levantar, este gráfico
se puede realizar totalmente o por partes a medida que se vaya avanzando en
el trabajo de campo.
• Se establecen y localizan los puntos de la poligonal, los cuales deben estar
estratégicamente ubicados para trasladar las coordenadas y determinar los
detalles necesarios del levantamiento.
• Se arma el equipo en el punto inicial, se visa hacia el punto de referencia
(en el círculo horizontal se coloca el azimut existente entre esos dos puntos),
se miden los azimuts y distancias al delta número 1 y a los detalles que se
puedan tomar.
• Se arma el equipo en el delta número 1, se visa al punto inicial (en el círculo
horizontal se coloca el azimut existente entre esos dos puntos), se miden los
azimuts y distancias al delta número 2 y a los detalles que se puedan tomar.
Este procedimiento se repite en cada delta hasta terminar el levantamiento.
6.3.1.2 Trabajo de oficina
• Se calcula el azimut inicial, desde el punto inicial hasta el punto referencia,
según las coordenadas de dichos puntos.
• Se calculan los azimuts de las líneas de la poligonal y de los deltas a cada uno
de los detalles del levantamiento.
• Se calculan las proyecciones de los deltas de la poligonal.
• Se calculan las proyecciones de los detalles, según desde el delta que fueron
tomados.
• Se calculan las coordenadas de todos y cada uno de los deltas.
• Con las coordenadas de cada delta y las proyecciones de los detalles, se
calculan las coordenadas de estos, según la delta desde donde fueron tomados.
• Se realiza el plano correspondiente.
• Se calculan las áreas parciales y/o totales de cada uno de los elementos que
componen el levantamiento.
107
108
TOPOGRAFÍA
6.3.2 Ejercicio Poligonal Abierta por Azimut Directo
FIGURA 6.3 Cartera de Campo
109
CAPÍTULO 6: POLIGONAL ABIERTA
6.3.2.1 Cálculos
6.3.2.1.1 Cálculo de azimut inicial
Con las coordenadas de los puntos inicial y de referencia, se calcula el azimut de
GPS-1 a GPS-2.
TABLA 6.6 Coordenadas base
Punto
Norte
Este
GPS-1
978.194
3701.287
GPS-2
926.855
3760.530
DN = NGPS – 2 – NGPS – 1 = – 51.339
DE = E GPS – 2 – EGPS – 1= 59.243
θ = Tan – 1 |DE / DN| = 19.555 / 17.283 = 48° 31’ 45’’
Como DN es negativo y DE es positivo, el azimut está en el segundo cuadrante.
Luego,
Az = 180 – θ = 311° 28’ 15’’
6.3.2.1.2 Cálculo de los azimuts de la poligonal sin detalles
Con el azimut inicial instalado en el círculo horizontal del equipo directamente, se
leen los azimuts hacia el próximo lado de la poligonal y hacia los detalles tomados
desde cada delta. Es decir, son los mismos azimuts consignados en la cartera de
campo.
TABLA 6.7 Cálculo de azimut de la poligonal
DELTA
PUNTO
GPS-1
D. 1
D. 2
AZIMUT
G
M
S
GPS-2
130
54
42
D. 1
43
08
31
GPS-1
223
08
31
D. 2
115
15
24
D. 1
295
15
24
D. 3
214
49
53
110
TOPOGRAFÍA
6.3.2.1.3 Proyeccionesde la poligonal
Con los azimuts de cada línea de la poligonal y la distancia respectiva, se calcula
cada una de las proyecciones, usando las siguientes fórmulas:
PN = cos Az * Distancia
PE = sen Az’ * Distancia
TABLA 6.8 Cálculo de proyecciones de la poligonal
DELTA
PUNTO
GPS-1
GPS-2
D. 1
D. 2
AZIMUT
G
M
130
54
42
D. 1
43
08
31
GPS-1
223
08
31
D. 2
115
15
24
D. 1
295
15
24
D. 3
214
49
53
PROYECCIONES
DISTANCIA
NS
EW
72.148
52.644
49.335
79.602
-33.964
71.992
31.705
-26.025
-18.109
6.3.2.1.4 Coordenadas de los deltas o vértices de la poligonal
Según las proyecciones calculadas y las coordenadas del punto inicial (CD5),
se calculan las coordenadas de todos y cada uno de los deltas o vértices. Las
coordenadas serán acumulativas según el delta anterior.
TABLA 6.9 Cálculo de coordenadas de la poligonal
DELTA
PUNTO
GPS-1
GPS-2
D. 1
D. 1
COORDENADAS
NS
N
E
978.194
3701.287
GPS-1
1030.838
3750.622
D. 1
996.874
3822.614
D. 2
970.849
3804.505
D. 3
52.644
EW
-33.964
71.992
D. 1
D. 3
-26.025
PUNTO
49.335
GPS-1
D. 2
D. 2
PROYECCIONES
-18.109
6.3.2.1.5 Coordenadas de los detalles
Las coordenadas de los detalles se calculan con las coordenadas de cada vértice o
delta, dependiendo desde donde se haya tomado cada uno de estos; con el azimut
del delta o vértice, los detalles correspondientes; con las distancias se calculan las
proyecciones. A las coordenadas del delta correspondiente se le suman las proyecciones según el detalle a calcular.
111
CAPÍTULO 6: POLIGONAL ABIERTA
TABLA 6.10 Cálculo de coordenadas de los detalles
372.31
95
45
641
8
542.7
121.11-
827.959
7
57.1183
521
8
14
866.41
45
13.069
260.81
371.9183
935.01-
7
6
528.4-
401
372.91
30
420.669
71
877.3283
1 .D
2 .D
3 .D
868.91
6
0
2 .D
0
43
948.079
94
505.4083
35
3 .D
5
892.2
57
876.8
01
271.999
90
292.1383
497.61
779.8
5
0
1 .D
0
592
478.699
51
416.2283
42
2 .D
4
87.61
2
686.0
02
816.7401
82
803.1573
1-SPG
4
322
0
80
0
13
838.0301
226.0573
3
1 .D
6
834.52
53
962.52
95
429.2
2
364.3001
01
112.4073
25
3
81
845.81
894.3
512.81
904.699
1
587.4073
33
2
14
153.31
44
309.8
740.61
545.199
1-SPG
91.0173
2-SPG
1
031
45
491.879
24
782.1073
ATLED
1-SPG
OTNUP
G
WE
M
N
.TSID
TUMIZA
S
E
SENOICCEYORP
SN
SADANEDROOC
OTNUP
112
TOPOGRAFÍA
6.4 Ejercicio planteado
FIGURA 6.4 Ejercicio planteado: poligonal abierta
CAPÍ TULO 7
POLIGONAL CERR ADA
7.1 Definición
C
omo se definió en el capítulo cinco, es una poligonal que comienza en un
vértice y llega al mismo vértice, con la cual se puede determinar cierres en
ángulo y distancia, para el ejemplo se desarrollará una poligonal Cerrada Método
Ceros Atrás.
7.2 Aplicaciones
Levantamientos topográficos para todo tipo de terrenos. Es la poligonal más usada
en los diferentes trabajos topográficos, ya que permite trasladar las coordenadas y
poder obtener errores de cierre, tanto en ángulo como en distancia.
7.3 Metodología
7.3.1 Trabajo de campo
• Reconocimiento del terreno, inicialmente se recorre el terreno y se hace el
gráfico correspondiente; se puede realizar por partes a medida que se avanza
en el terreno o se puede realizar de manera total, lo anterior depende del
tamaño y características del terreno.
• Se instala el equipo en el punto de inicio (punto con coordenadas conocidas),
se visa al punto de amarre (punto con coordenadas conocidas), se coloca en
114
TOPOGRAFÍA
el círculo horizontal del equipo 0°0000”, se lee el ángulo y se mide la distancia
al delta 1 (la localización de cada delta debe ser la adecuada, es decir cada
delta deber ser intervisible con el anterior y el siguiente y debe permitir tomar
la mayor cantidad de detalles), para tomar los detalles y poder avanzar en el
terreno. Se procede luego a medir los ángulos y las distancias a los detalles
que se puedan tomar desde el punto de inicio.
• Se lleva el equipo al delta 1, se visa el punto de inicio y se coloca en el círculo
horizontal del equipo 0°0000”, se mide la distancia y el ángulo al delta 2 (la
localización del delta 2 debe ser la adecuada), para tomar los detalles y seguir
avanzando en el terreno. Se procede luego a medir los ángulos y las distancias
a los detalles que se puedan tomar desde ahí.
• Este procedimiento se repite en cada delta, teniendo en cuenta que la
poligonal no se cruce y que no quede ningún detalle sin tomar.
• Finalmente se arma nuevamente el equipo en el punto de inicio y se visa al
último delta, se coloca en el círculo horizontal del equipo 0°0000” y se mide
el ángulo al punto de amarre.
7.3.2 Trabajo en oficina
Se recomienda calcular primero la poligonal y después calcular los detalles, con el
objeto de tener mayor orden y no tener la posibilidad de cometer errores, ya que
la poligonal es la única que se acostumbra ajustar.
CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA
7.4 Ejercicio práctico
FIGURA 7.1 A Ejercicio práctico: poligonal cerrada
115
116
TOPOGRAFÍA
FIGURA 7.1B Ejercicio práctico: poligonal cerrada
CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA
7.4.1 Ajuste de la poligonal por método de brújula
• Tomar los ángulos observados de la poligonal:
Delta
Punto
CT 21
CT 20
D. 1
D. 1
Ángulo
236° 45’ 56’’
CT 21
D. 2
D. 2
281° 36’ 48’’
D. 1
CT21
CT 21
306° 32’ 51’’
D. 2
CT 20
75° 04’ 45’’
• Determinar la sumatoria observada, sumar los ángulos observados de la
poligonal:
∑ obs
900° 00’ 20’’
• Determinar la sumatoria teórica de la poligonal, con los ángulos externos es:
∑teo = (n + 2) * 180
Donde: n = Número de vértices
∑ teo
900° 00’ 00’’
• Determinar el error angular:
e ang = ∑obs - ∑teo
e ang 0° 00’ 20’’
• Comparar con el error permitido:
e per = 15 seg * n
Donde: n = Número de vértices
e per 0° 00’ 26’’
Como el error angular es menor al error permitido, es posible ajustar la poligonal.
En caso contrario, es necesario regresar a campo a repetir la toma de ángulos de
la poligonal.
117
118
TOPOGRAFÍA
• Como se puede ajustar, calcular la corrección para cada ángulo, con la
siguiente fórmula:
coor ang = eang / z
Donde: z = Número de ángulos leídos.
Para este caso son tres vértices y se leyeron cuatro ángulos:
Coor ang
-
0° 00’ 05’’
El signo de la corrección es el signo contrario de error, para este caso el error es
positivo la corrección debe ser negativa.
• Con base en las correcciones se ajustan los ángulos:
Delta
Punto
CT 21
CT 20
D. 1
D. 1
Áng. Cor.
236° 45’ 56’’
- 0° 00’ 05’’
236° 45’ 51’’
281° 36’ 48’’
- 0° 00’ 05’’
281° 36’ 43’’
306° 32’ 51’’
- 0° 00’ 05’’
306° 32’ 46’’
75° 04’ 45’’
- 0° 00’ 05’’
75° 04’ 40’’
D. 1
CT 21
CT 21
Cor. Áng.
CT 21
D. 2
D. 2
Áng.
D. 2
CT 20
900° 00’ 00’’
La sumatoria de los ángulos corregidos debe ser la sumatoria teórica.
• Con base en las coordenadas se determina el azimut de la línea base, en este
caso de CT21 a CT20.
PUNTO
N
E
CT 20
1148.983
2160.644
CT 21
1115.933
2161.421
AN
33.050
AE
-0.777
Θ
-1.347
- 1° 20’ 48’’
Azimut
358.653
358° 39’ 12’’
• Con base en el azimut de partida se realiza el cálculo de todos los azimuts,
igual que la poligonal abierta, con la diferencia que se inicia en el azimut de
CT 21 al CT 20 y se llega al mismo azimut de partida.
119
CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA
Delta
Punto
CT 21
CT 20
D.1
D.1
Áng. Cor.
236° 45’ 56’’
- 0° 00’ 05’’
236° 45’ 51’’
235° 25’ 03’’
55° 25’ 03’’
281° 36’ 48’’
- 0° 00’ 05’’
281° 36’ 43’’
337° 01’ 46’’
157° 01’ 46’’
306° 32’ 51’’
- 0° 00’ 05’’
306° 32’ 46’’
D. 2
CT 20
Azimut
358° 39’ 12’’
D. 1
CT 21
CT 21
Cor. Áng.
CT 21
D. 2
D. 2
Áng.
103° 34’ 32’’
283° 34’ 32’’
75° 04’ 45’’
- 0° 00’ 05’’
75° 04’ 40’’
358° 39’ 12’’
Con base en los azimuts y las distancias de determinan las proyecciones
(PNS) y (PEW).
Delta
Punto
Azimut
CT 21
CT 20
358° 39’ 12’’
D. 1
235° 25’ 03’’
CT 21
55° 25’ 03’’
D. 2
337° 01’ 46’’
D. 1
157° 01’ 46’’
CT 21
103° 34’ 32’’
D. 2
283° 34’ 32’’
CT 20
358° 39’ 12’’
D. 1
D. 2
CT 21
Proyecciones
Dist.
NS
EW
70.811
-40.192
-58.299
65.651
60.445
-25.621
86.345
-20.267
83.933
• La sumatoria algebraica de las proyecciones debe ser cero en condiciones
teóricas, para obtener el error de estas se debe determinar los deltas de las
proyecciones, que son la suma algebraica de la misma.
ΔPNS
-0.014
ΔPEW
0.012
• Con base en estos deltas se determina el error en distancia:
e dist
0.019
• Calcular la precisión de la poligonal:
P = ∑dist / edist
∑ dist
222.8070
P
11872.120
120
TOPOGRAFÍA
• Como este ejemplo era con cinta, es posible ajustarlo. De lo contrario se
tendría que regresar a campo a tomar nuevamente las distancias. Para ajustar
las proyecciones, se realiza proporcional a la distancia aplicando las siguientes
fórmulas:
Corr PNS = (distacumulada * ΔPNS) / ∑dist
CorrPEW = (distacumulada * ΔPEW) / ∑dist
Delta
Punto
CT 21
CT 20
D.1
D.1
Proyecciones
Dist.
Corr. Acum.
NS
EW
Acum.
NS
EW
70.811
-40.192
-58.299
70.811
0.004
-0.004
65.651
60.445
-25.621
136.462
0.009
-0.008
86.345
-20.267
83.933
222.807
0.014
-0.012
Dist.
CT 21
D.2
D. 2
D. 1
CT21
CT 21
D. 2
CT 20
De igual manera la corrección debe tener el signo contrario del error de cada
proyección.
• Se debe calcular la corrección para cada lado del polígono, restando las
correcciones acumuladas.
Proyecciones
Delta
CT 21
Punto
NS
EW
Acum.
NS
EW
NS
EW
70.811
-40.192
-58.299
70.811
0.004
-0.004
0.004
-0.004
65.651
60.445
-25.621
136.462
0.009
-0.008
0.005
-0.004
86.345
-20.267
83.933
222.807
0.014
-0.012
0.005
-0.004
0.014
-0.012
D. 1
CT21
CT 21
Coor.
CT 21
D. 2
D. 2
Coor. Acum.
CT 20
D.1
D.1
Dist.
Dist.
D. 2
CT 20
La sumatoria de las correcciones debe ser el mismo delta, pero con el signo
contrario.
• Con base en las correcciones se ajustan las proyecciones realizando la suma
algebraica.
121
CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA
Delta
Punto
CT 21
CT 20
D.1
D.1
NS
EW
Proy. Coor.
NS
EW
70.811
-40.192
-58.299
0.004
-0.004
-40.187
-58.303
65.651
60.445
-25.621
0.004
-0.004
60.449
-25.625
86.345
-20.267
83.933
0.005
-0.004
-20.262
83.928
0.014
-0.012
0.000
0.000
D. 1
CT21
CT 21
Coor.
CT 21
D.2
D. 2
Proyecciones
NS
EW
Dist.
D. 2
CT 20
La sumatoria algebraica de las proyecciones corregidas debe ser cero.
• Con las proyecciones corregidas; desde el punto de amarre en coordenadas,
es decir desde el CT 21, se calculan las coordenadas de los puntos de manera
acumulativa y al final se debe llegar a las mismas coordenadas.
Delta
Punto
CT 21
CT 20
D. 1
D. 1
Coordenadas
NS
N
E
1115.933
2161.421
CT 21
1075.746
2103.118
D. 1
1136.195
2077.493
D. 2
1115.933
2161.421
CT 21
-40.187
EW
65.651
60.449
86.345
-20.262
Punto
-58.303
-25.625
D. 1
CT21
CT 21
70.811
Proy. Coor.
CT 21
D. 2
D. 2
Dist.
83.928
D. 2
CT 20
0.000
0.000
7.4.2 Ajuste de la poligonal por método de tránsito
• Se sigue el mismo procedimiento de ajuste de ángulos, cálculo de azimut y
proyecciones del procedimiento del ajuste por el método de brújula.
TOPOGRAFÍA
122
339.38
126.52-
992.85-
762.02-
544.06
291.04-
WE
senoicceyorP
543.68
156.56
118.07
SN
.tsiD
’’21 ’93 °853
’’23 ’43 °382
’’23 ’43 °301
’’64 ’10 °751
’’64 ’10 °733
’’30 ’52 °55
’’30 ’52 °532
’’21 ’93 °853
tumizA
’’00 ’00 °009
’’04 ’40 °57
’’64 ’23 °603
’’34 ’63 °182
’’15 ’54 °632
.roC .gnÁ
’’50 ’00 °0 -
’’50 ’00 °0 -
’’50 ’00 °0 -
’’50 ’00 °0 -
.gnÁ .roC
’’54 ’40 °57
’’15 ’23 °603
’’84 ’63 °182
’’65 ’54 °632
.gnÁ
02 TC
2 .D
12TC
1 .D
2 .D
12 TC
12 TC
2 .D
12 TC
1 .D
02 TC
atleD
1 .D
otnuP
123
CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA
• Se determinan los deltas de las proyecciones, que son la suma algebraica de
las PNS y la PEW.
ΔPNS
-0.014
ΔPEW
0.012
• Como este método consiste en darle peso a las proyecciones, se calcula la
sumatoria de las proyecciones en valor absoluto, con las siguientes fórmulas:
n = ∑|PNS|
e = ∑|PEW|
n
120.904
e
167.853
• El ajuste de las proyecciones se realiza con las siguientes fórmulas:
CorrPNS = (∑|PNS|acumulada * ΔPNS) / n
CorrPEW = (∑|PEW|acumulada * ΔPEW) / e
• De igual manera se calcula de forma acumulada y se restan las correcciones
acumuladas para obtener la corrección para cada lado.
Delta
Punto
CT 21
CT 20
D. 1
D. 1
Coor.
NS
EW
NS
EW
70.811
-40.192
-58.299
0.005
-0.004
65.651
60.445
-25.621
0.007
-0.002
86.345
-20.267
83.933
0.002
-0.006
0.014
-0.012
D. 1
CT21
CT 21
Proyecciones
CT 21
D. 2
D. 2
Dist.
D. 2
CT 20
• Con base en las correcciones se ajustan las proyecciones realizando la suma
algebraica.
124
TOPOGRAFÍA
Delta
Punto
CT 21
CT 20
D.1
D.1
Proyecciones
Dist.
Coor.
Proy. Coor.
NS
EW
NS
EW
NS
EW
70.811
-40.192
-58.299
0.005
-0.004
-40.187
-58.304
65.651
60.445
-25.621
0.007
-0.002
60.452
-25.623
86.345
-20.267
83.933
0.002
-0.006
-20.265
83.926
0.014
-0.012
0.000
0.000
CT 21
D. 2
D. 2
D. 1
CT21
CT 21
D. 2
CT 20
La sumatoria algebraica de las proyecciones corregidas debe ser cero.
• Con las proyecciones corregidas, desde el punto de amarre en coordenadas
(CT 21), se calculan las coordenadas de los puntos de manera acumulativa y
al final se debe llegar a las mismas coordenadas.
Delta
Punto
CT 21
CT 20
D. 1
D. 1
70.811
65.651
60.452
86.345
-20.265
Coordenadas
N
E
Punto
1115.933
2161.421
CT 21
1075.746
2103.117
D. 1
1136.198
2077.495
D. 2
1115.933
2161.421
CT 21
-58.304
-25.623
D. 1
CT21
CT 21
-40.187
CT 21
D. 2
D. 2
Proy. Coor.
NS
EW
Dist.
83.926
D. 2
CT 20
0.000
0.000
7.4.3 Ajuste de la poligonal por método de Crandall
• Con los ángulos observados se realiza la corrida de los azimuts, sin realizar
ningún ajuste.
Delta
Punto
CT 21
CT 20
D. 1
D. 1
Áng.
358° 39’ 12’’
236° 45’ 56’’
CT 21
D. 2
Azimut
235° 25’ 08’’
55° 25’ 08’’
281° 36’ 48’’
337° 01’ 56’’
125
CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA
Delta
Punto
D. 2
D. 1
Azimut
157° 01’ 56’’
CT21
CT 21
Áng.
306° 32’ 51’’
103° 34’ 47’’
D. 2
283° 34’ 47’’
CT 20
75° 04’ 45’’
358° 39’ 32’’
• Con los azimuts y las distancias se determinan las proyecciones:
Delta
Punto
CT 21
CT 20
D. 1
D. 1
Dist.
Proyecciones
NS
EW
70.811
-40.190
-58.300
65.651
60.446
-25.618
86.345
-20.273
83.931
358° 39’ 12’’
236° 45’ 56’’
235° 25’ 08’’
55° 25’ 08’’
281° 36’ 48’’
D. 1
CT21
CT 21
Azimut
CT 21
D. 2
D. 2
Áng.
337° 01’ 56’’
157° 01’ 56’’
306° 32’ 51’’
D. 2
CT 20
103° 34’ 47’’
283° 34’ 47’’
75° 04’ 45’’
358° 39’ 32’’
• Para cada uno de los lados se debe calcular las siguientes variables:
F1 = (PNS * PEW) / dist
F2 = (PNS) 2 / dist
F3 = (PEW)2 / dist
Delta
Punto
CT 21
CT 20
D. 1
D. 1
F2
F3
NS
EW
-40.190
-58.300
33.090
22.811
48.000
60.446
-25.618
-23.587
55.654
9.997
-20.273
83.931
-19.707
4.760
81.585
D. 1
CT21
CT 21
F1
CT 21
D. 2
D. 2
Proyecciones
D. 2
CT 20
126
TOPOGRAFÍA
• Se determinan los deltas de las proyecciones, que son la suma algebraica de
las PNS y la PEW:
ΔPNS
-0.018
ΔPEW
0.013
• Se determina la sumatoria algebraica de las tres variables.
Delta
Punto
CT 21
CT 20
Proyecciones
D. 1
D. 1
F3
NS
EW
-40.190
-58.300
33.090
22.811
48.000
60.446
-25.618
-23.587
55.654
9.997
-20.273
83.931
-19.707
4.760
81.585
-10.204
83.226
139.581
D. 1
CT21
CT 21
F2
CT 21
D. 2
D. 2
F1
D. 2
CT 20
• Se calculan las dos constantes de ajuste con las siguientes fórmulas:
A=
(ΔPWE * ∑F1) – (ΔPNS * ∑F3)
(ΔF3 * ∑F2) – (∑F1)2
B=
(ΔPNS * ∑F1) – (ΔPEW * ∑F2)
(ΔF3 * ∑F2) – (∑F1)2
A
B
0.000201
-0.000078
• Se calcula el ajuste para cada lado del polígono, con las siguientes fórmulas:
CorrPNS = (A * F2) + (B * F1)
CorrPEW = (A * F1) + (B * F3)
• Las variables F se van acumulando de forma algebraica para obtener las
correcciones acumuladas y al final se restan las acumuladas para obtener el
ajuste para cada lado.
127
CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA
Delta
Punto
CT 21
CT 20
D. 1
D. 1
F2
F3
NS
EW
-40.190
-58.300
33.090
22.811
60.446
-25.618
-23.587
-20.273
83.931
Coor.
NS
EW
48.000
0.002
0.003
55.654
9.997
0.009
-0.006
-19.707
4.760
81.585
0.006
-0.010
-10.204
83.226
139.581
0.018
-0.013
D. 1
CT21
CT 21
F1
CT 21
D. 2
D. 2
Proyecciones
D. 2
CT 20
• Con base en las correcciones se ajustan las proyecciones realizando la suma
algebraica.
Delta
Punto
CT 21
CT 20
D. 1
D. 1
F3
Coor.
Proy. Coor.
NS
EW
NS
EW
33.090
22.811
48.000
0.002
0.003
-40.188
-58.297
-23.587
55.654
9.997
0.009
-0.006
60.456
-25.624
-19.707
4.760
81.585
0.006
-0.010
-20.267
83.921
-10.204
83.226
139.581
0.018
-0.013
0.000
0.000
D. 1
CT21
CT 21
F2
CT 21
D. 2
D. 2
F1
D. 2
CT 20
La sumatoria algebraica de las proyecciones corregidas debe ser cero.
• Con las proyecciones corregidas, desde el punto amarre en coordenadas (CT
21) se calculan las coordenadas de los puntos de manera acumulativa y al
final se debe llegar a las mismas coordenadas.
Delta
Punto
CT 21
CT 20
D. 1
D. 1
Coordenadas
NS
N
E
1115.933
2161.421
CT 21
1075.745
2103.124
D. 1
1136.200
2077.500
D. 2
-40.188
EW
60.456
-25.624
D. 1
CT21
-20.267
Punto
-58.297
CT 21
D. 2
D. 2
Proy. Corr.
83.921
128
TOPOGRAFÍA
Delta
Punto
CT 21
D. 2
Proy. Corr.
NS
Coordenadas
EW
Punto
N
E
1115.933
2161.421
CT 21
CT 20
0.000
0.000
7.4.4 Ajuste de la poligonal por método de variación de
coordenadas por el número de lados
• Con los ángulos observados se realiza la corrida de los azimuts, sin realizar
ningún ajuste.
Delta
Punto
CT 21
CT 20
Áng.
358° 39’ 12’’
D. 1
D. 1
236° 45’ 56’’
CT 21
281° 36’ 48’’
D. 1
337° 01’ 56’’
157° 01’ 56’’
CT21
CT 21
235° 25’ 08’’
55° 25’ 08’’
D. 2
D. 2
Azimut
306° 32’ 51’’
D. 2
103° 34’ 47’’
283° 34’ 47’’
CT 20
75° 04’ 45’’
358° 39’ 32’’
• Con los azimuts y las distancias se determinan las proyecciones:
Delta
Punto
CT 21
CT 20
D. 1
D. 1
CT 21
236° 45’ 56’’
281° 36’ 48’’
Proyecciones
NS
EW
235° 25’ 08’’
70.811
-40.190
-58.300
337° 01’ 56’’
65.651
60.446
-25.618
86.345
-20.273
83.931
157° 01’ 56’’
306° 32’ 51’’
D. 2
CT 20
Dist.
55° 25’ 08’’
D. 1
CT21
Azimut
358° 39’ 12’’
CT 21
D. 2
D. 2
Áng.
103° 34’ 47’’
283° 34’ 47’’
75° 04’ 45’’
358° 39’ 32’’
• Con las proyecciones se determinan las coordenadas de manera acumulativa,
sin realizar ningún ajuste a las proyecciones.
129
CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA
Delta
Punto
CT 21
CT 20
D. 1
D. 1
Áng.
Azimut
235° 25’ 08’’
281° 36’ 48’’
D. 1
NS
N
E
1115.933
2161.421
1075.743
2103.121
1136.189
2077.503
1115.915
2161.434
EW
70.811
-40.190
-58.300
337° 01’ 56’’
65.651
60.446
-25.618
157° 01’ 56’’
CT21
CT 21
Coordenadas
55° 25’ 08’’
CT 21
D. 2
Proyecciones
358° 39’ 12’’
236° 45’ 56’’
D. 2
Dist.
306° 32’ 51’’
D. 2
103° 34’ 47’’
86.345
-20.273
83.931
283° 34’ 47’’
CT 20
75° 04’ 45’’
358° 39’ 32’’
• Se determinan los deltas de las proyecciones, que son la suma algebraica de
PNS y PEW, o en este caso restar a la última coordenada, la primera.
ΔPNS
-0.018
ΔPEW
0.013
• Se determina la corrección para las coordenadas, con las siguientes fórmulas:
Coor N = ΔPNS / l
Coor E = ΔPEW / l
• Donde: l = Número de lados de la poligonal
Coor N
0.0058
Coor E
-0.0043
La corrección debe tener el signo contrario al delta de cada proyección.
• Como la coordenadas ya están acumuladas, la corrección es proporcional, o
sea, una vez al primero, dos veces al segundo y tres veces al tercero:
Delta
Punto
Azimut
CT 21
CT 20
358° 39’ 12’’
D. 1
235° 25’ 08’’
CT 21
55° 25’ 08’’
D. 2
337° 01’ 56’’
D. 1
157° 01’ 56’’
CT21
103° 34’ 47’’
D. 2
283° 34’ 47’’
CT 20
358° 39’ 32’’
D. 1
D. 2
CT 21
Dist.
Coordenadas
N
E
1115.933
2161.421
1075.743
Coor.
N
E
2103.121
0.006
-0.004
1136.189
2077.503
0.012
-0.009
1115.915
2161.434
0.018
-0.013
70.811
65.651
86.345
130
TOPOGRAFÍA
• Con las coordenadas y las correcciones se obtienen las coordenadas
corregidas, realizando la suma de forma algebraica.
Delta
Punto
Azimut
CT 21
CT 20
358° 39’ 12’’
D. 1
235° 25’ 08’’
CT 21
55° 25’ 08’’
D. 2
337° 01’ 56’’
D. 1
157° 01’ 56’’
CT21
103° 34’ 47’’
D. 2
283° 34’ 47’’
CT 20
358° 39’ 32’’
D. 1
D. 2
CT 21
N
E
1115.933
2161.421
1075.743
2103.121
1136.189
2077.503
1115.915
2161.434
70.811
65.651
86.345
Coordenadas
N
Coordenadas
Dist.
Coordenadas Corr.
E
Punto
N
E
1115.933
2161.421
CT 21
0.006
-0.004
1075.748
2103.116
D. 1
0.012
-0.009
1136.201
2077.494
D. 2
0.018
-0.013
1115.933
2161.421
CT 21
7.4.5 Ajuste de la poligonal por método de variación de
coordenadas por el perímetro
• Con los ángulos observados se realiza la corrida de los azimuts, sin realizar
ningún ajuste.
Delta
Punto
CT 21
CT 20
D. 1
D. 1
CT 21
236° 45’ 56’’
281° 36’ 48’’
337° 01’ 56’’
157° 01’ 56’’
306° 32’ 51’’
D. 2
CT 20
235° 25’ 08’’
55° 25’ 08’’
D. 1
CT21
Azimut
358° 39’ 12’’
CT 21
D. 2
D. 2
Áng.
103° 34’ 47’’
283° 34’ 47’’
75° 04’ 45’’
358° 39’ 32’’
131
CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA
• Con los azimuts y las distancias se determinan las proyecciones.
Delta
Punto
CT 21
CT 20
D. 1
D. 1
Proyecciones
Dist.
NS
EW
70.811
-40.190
-58.300
65.651
60.446
-25.618
86.345
-20.273
83.931
358° 39’ 12’’
CT 21
235° 25’ 08’’
55° 25’ 08’’
281° 36’ 48’’
D. 1
337° 01’ 56’’
157° 01’ 56’’
CT21
CT 21
Azimut
236° 45’ 56’’
D. 2
D. 2
Áng.
306° 32’ 51’’
103° 34’ 47’’
283° 34’ 47’’
D. 2
CT 20
75° 04’ 45’’
358° 39’ 32’’
• Con las proyecciones se determinan las coordenadas de manera acumulativa,
sin realizar ningún ajuste a las proyecciones.
Delta Punto
CT 21
CT 20
D. 1
D. 1
CT 21
236° 45’ 56’’
281° 36’ 48’’
Proyecciones
Coordenadas
NS
N
E
1115.933
2161.421
1075.743
2103.121
1136.189
2077.503
1115.915
2161.434
EW
235° 25’ 08’’
70.811
-40.190
-58.300
337° 01’ 56’’
65.651
60.446
-25.618
157° 01’ 56’’
306° 32’ 51’’
D. 2
CT 20
Dist.
55° 25’ 08’’
D. 1
CT21
Azimut
358° 39’ 12’’
CT 21
D. 2
D. 2
Áng.
103° 34’ 47’’
86.345
-20.273
83.931
283° 34’ 47’’
75° 04’ 45’’
358° 39’ 32’’
• Se determinan los deltas de las proyecciones, que son la suma algebraica de
las PNS y la PEW, o, en este caso, restar a la última coordenada, la primera.
ΔPNS
-0.018
ΔPEW
0.013
• Se determina la corrección para las coordenadas, con las siguientes fórmulas:
Coor N = (distacumulada * ΔPNS) / ∑dist
Coor E = (distacumulada * ΔPEW) / ∑dist
• Como las coordenadas también tienen un carácter acumulativo la corrección
se aplica directamente.
132
TOPOGRAFÍA
Delta Punto
CT 21
N
E
1115.933
2161.421
1075.743
EW
60.446
Coor.
N
E
2103.121
0.006
-0.004
1136.189
2077.503
0.011
-0.008
1115.915
2161.434
0.018
-0.013
-58.300
CT 21
-25.618
D. 1
CT21
CT 21
NS
-40.190
D. 2
D. 2
Coordenadas
CT 20
D. 1
D. 1
Proyecciones
-20.273
83.931
D. 2
CT 20
• Con las coordenadas y las correcciones se obtienen las coordenadas
corregidas, realizando la suma de forma algebraica.
Delta Punto
CT 21
CT 20
Coordenadas
Coor.
N
E
N
1115.933
2161.421
1075.743
2103.121
0.006
1136.189
2077.503
1115.915
2161.434
Coordenadas Corr.
E
Punto
N
E
1115.933
2161.421
CT 21
-0.004
1075.748
2103.117
D. 1
0.011
-0.008
1136.200
2077.495
D. 2
0.018
-0.013
1115.933
2161.421
CT 21
D. 1
D. 1
CT 21
D. 2
D. 2
D. 1
CT21
CT 21
D. 2
CT 20
7.4.6 Ajuste de la poligonal por método de mínimos cuadrados
• Con los ángulos observados se realiza la corrida de los azimuts, sin realizar
ningún ajuste.
Delta
Punto
CT 21
CT 20
D. 1
D. 1
CT 21
236° 45’ 56’’
281° 36’ 48’’
337° 01’ 56’’
157° 01’ 56’’
306° 32’ 51’’
D. 2
CT 20
235° 25’ 08’’
55° 25’ 08’’
D. 1
CT21
Azimut
358° 39’ 12’’
CT 21
D. 2
D. 2
Áng.
103° 34’ 47’’
283° 34’ 47’’
75° 04’ 45’’
358° 39’ 32’’
133
CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA
• Con los azimuts y las distancias se determinan las proyecciones.
Delta
Punto
CT 21
CT 20
Áng.
236° 45’ 56’’
NS
EW
70.811
-40.190
-58.300
65.651
60.446
-25.618
86.345
-20.273
83.931
55° 25’ 08’’
281° 36’ 48’’
D. 1
337° 01’ 56’’
157° 01’ 56’’
CT21
CT 21
235° 25’ 08’’
CT 21
D. 2
D. 2
Proyecciones
Dist.
358° 39’ 12’’
D. 1
D. 1
Azimut
306° 32’ 51’’
103° 34’ 47’’
283° 34’ 47’’
D. 2
75° 04’ 45’’
CT 20
358° 39’ 32’’
• Con las proyecciones se determinan las coordenadas de manera acumulativa,
sin realizar ningún ajuste a las proyecciones.
Delta Punto
CT 21
CT 21
236° 45’ 56’’
281° 36’ 48’’
Coordenadas
NS
N
E
1115.933
2161.421
1075.743
2103.121
1136.189
2077.503
1115.915
2161.434
EW
235° 25’ 08’’
70.811
-40.190
-58.300
337° 01’ 56’’
65.651
60.446
-25.618
157° 01’ 56’’
306° 32’ 51’’
103° 34’ 47’’
86.345
-20.273
83.931
283° 34’ 47’’
D. 2
CT 20
Proyecciones
55° 25’ 08’’
D. 1
CT21
Dist.
358° 39’ 12’’
CT 21
D. 2
D. 2
Azimut
CT 20
D. 1
D. 1
Áng.
75° 04’ 45’’
358° 39’ 32’’
• Se determinan los deltas de las proyecciones, que son la suma algebraica de
las PNS y la PEW, o en este caso restar la primera a la última coordenada.
ΔPNS
-0.018
ΔPEW
0.013
• Se calcula las sumatoria acumulada de las proyecciones de manera algebraica
y los senos y cosenos del azimut de cada línea.
Delta
Punto
Azimut
CT 21
CT 20
358° 39’ 12’’
D. 1
235° 25’ 08’’
Dist.
70.811
Proyecciones
NS
EW
-40.190
-58.300
134
TOPOGRAFÍA
Delta
Punto
Azimut
D. 1
CT 21
55° 25’ 08’’
D. 2
337° 01’ 56’’
D. 1
157° 01’ 56’’
CT21
103° 34’ 47’’
D. 2
283° 34’ 47’’
CT 20
358° 39’ 32’’
D. 2
CT 21
Proyecciones
NS
EW
Dist.
65.651
60.446
-25.618
86.345
-20.273
83.931
DNS
DEW
cos Az
sen Az
-40.190
-58.300
-0.56757378
-0.82332254
20.256
-83.918
0.92072377
-0.39021499
-0.018
0.013
-0.23479642
0.97204457
• Se estructura la matriz de cálculo. En la primera línea, uno (1) para los ángulos
a ajustar y cero (0) para las distancias a ajustar; en la segunda y tercera línea,
para los cuatro primeros, los deltas de proyecciones, y las tres finales, los
senos y cosenos de los azimuts.
Línea 1
Línea 2
Línea 3
Línea 4
Línea 1
Línea 2
Línea 3
O
1
1
1
1
0
0
0
DNS
-40.190
20.256
-0.018
0
-0.5676
0.9207
-0.2348
DEW
-58.300
-83.918
0.013
0
-0.8233
-0.3902
0.9720
• Se ordena la matriz de errores, en ángulo (expresada en radianes) y en
proyecciones.
k
e ang
0.000096963
ΔPNS
-0.018
ΔPEW
0.013
• Se determinan las constantes de cálculo con las siguientes fórmulas:
Kdist = √2 / error permitido
• Donde el error permitido se toma como 0.03.
Kang = 206264.8 / p seg
135
CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA
• Donde p seg es la precisión del equipo en segundos.
K dist
47.140
K ang
41252.960
• Se dividen las cuatro primeras columnas por la K de ángulos y las tres finales
por la K de distancias, a la cual denominamos la matriz A:
Línea 1
Línea 2
Línea 3
Línea 4
Línea 1
Línea 2
Línea 3
O
0.000024
0.000024
0.000024
0.000024
0.000000
0.000000
0.000000
DNS
-0.000974
0.000491
0.000000
0.000000
-0.012040
0.019532
-0.004981
DEW
-0.001413
-0.002034
0.000000
0.000000
-0.017465
-0.008278
0.020620
• Se determina la matriz transpuesta de A, AT:
0.000024
-0.000974
-0.001413
0.000024
0.000491
-0.002034
0.000024
0.000000
0.000000
0.000024
0.000000
0.000000
0.000000
-0.012040
-0.017465
0.000000
0.019532
-0.008278
0.000000
-0.004981
0.020620
• Se multiplica la matriz A por la matriz transpuesta, (A * AT):
0.000000002
-0.000000012
-0.000000084
-0.000000012
0.000552441
-0.000053719
-0.000000084
-0.000053719
0.000804885
• Se determina el inverso de la matriz anterior, (A * AT)-1:
427127258.4
13463.94299
45242.15324
13463.94299
1822.397103
123.0278422
45242.15324
123.0278422
1255.322124
• Se multiplica la matriz K por la matriz inversa, (A * AT)-1 * K:
41762.68023
-29.05027912
18.41345213
136
TOPOGRAFÍA
• Se multiplica la matriz
AT * ((A * AT)-1 * K):
anterior
por la
matriz
A transpuesta,
1.014635431
0.960634416
1.012374064
1.012355967
0.028170423
-0.719816762
0.524381854
• Dividir cada valor por la constante; los cuatro primeros, por la K distancia; y
los tres últimos, por la K distancia; los cuatro primeros ajustes en ángulo y los
tres finales ajuste en distancia.
0.000024595
0.000023286
0.000024541
0.000024540
0.001
-0.015
0.011
• El ajuste en ángulo esta expresado en radianes, se transforma en centesimales:
0.000024595
0.001409216
0° 00’ 05’’
0.000023286
0.001334215
0° 00’ 05’’
0.000024541
0.001406075
0° 00’ 05’’
0.000024540
0.00140605
0° 00’ 05’’
0.001
-0.015
0.011
• Con base en estos ajustes que se deben restar, se recalcula la poligonal:
Delta Punto
CT 21
CT 20
D. 1
D. 1
Áng.
Dist.
Proyecciones
Coordenadas
NS
N
E
1115.933
2161.421
1075.741
2103.122
EW
358° 39’ 12’’
236° 45’ 51’’
CT 21
D. 2
Azimut
235° 25’ 03’’
70.810
-40.192
-58.299
55° 25’ 03’’
281° 36’ 43’’
337° 01’ 46’’
65.666
60.459
-25.627
137
CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA
Delta Punto
D. 2
D. 1
CT21
CT 21
Áng.
Dist.
Proyecciones
Coordenadas
NS
N
E
1136.201
2077.495
1115.936
2161.417
EW
157° 01’ 46’’
306° 32’ 46’’
103° 34’ 32’’
86.334
-20.265
83.922
283° 34’ 32’’
D. 2
CT 20
Azimut
75° 04’ 40’’
358° 39’ 12’’
• Como se puede observar no se ajustó totalmente, es necesario hacer otra
corrida del ajuste con los nuevos datos y el resultado del segundo ajuste es:
-0.00167164
-0.000000041
-0.00000232
0° 00’ 00’’
0.00825135
0.000000200
0.00001146
0° 00’ 00’’
-0.003289471
-0.000000080
-0.00000457
0° 00’ 00’’
-0.003290239
-0.000000080
-0.00000457
0° 00’ 00’’
0.020003383
0.000
0.132239616
0.003
-0.116981405
-0.002
• Con estos nuevos ajustes el resultado de la poligonal es:
Delta
Punto
CT 21
CT 20
D. 1
D. 1
CT 21
236° 45’ 51’’
281° 36’ 43’’
Proyecciones
Coordenadas
NS
N
E
1115.933
2161.421
1075.742
2103.123
1136.198
2077.497
1115.933
2161.421
EW
235° 25’ 03’’
70.810
-40.191
-58.298
337° 01’ 46’’
65.663
60.457
-25.626
157° 01’ 46’’
306° 32’ 46’’
D. 2
CT 20
Dist.
55° 25’ 03’’
D. 1
CT21
Azimut
358° 39’ 12’’
CT 21
D. 2
D. 2
Áng.
103° 34’ 32’’
283° 34’ 32’’
75° 04’ 40’’
86.336
-20.265
83.924
358° 39’ 12’’
7.4.7 Cálculo de los detalles
Amarrados a cualquiera de los ajustes de la poligonal, se calculan los detalles.
Para lo cual se toma el azimut y las coordenadas de cada uno de los puntos de
radiación.
TOPOGRAFÍA
138
5
2 .D
6
7
8
811.3012
447.4902
394.7702
097.4902
969.5112
942.6112
067.6901
647.5701
888.6901
591.6311
392.8011
702.8011
707.2211
451.23-
622.23-
792.71
674.83
657.83
218.1
687.1
371.91-
209.72-
889.72-
884.31-
045.63
569.53
402.23
894.73
828.23
975.74
630.14
’’43 ’24 °082
’’71 ’35 °272
’’44 ’01 °372
’’75 ’41 °932
’’51 ’21 °841
’’85 ’10 °621
’’91 ’11 °901
’’22 ’30 °282
’’50 ’41 °472
’’23 ’13 °472
’’54 ’53 °042
’’92 ’01 °153
’’21 ’00 °923
’’33 ’90 °213
1
2
3
4
6
7
8
’’33 ’32 °833
’’30 ’52 °55
.gnÁ
2 .D
02 TC
atleD
12 TC
1 .D
otnuP
12 TC
5
1 .D
1 .D
591.9212
917.7111
919.53-
097.6
’’64 ’10 °751
4
762.9212
547.7111
409.53-
’’21 ’93 °853
tumizA
’’03 ’85 °282
3
205.5212
327.2211
.tsiD
047.22
2
715.5212
339.5111
241.12
1
124.1612
SN
senoicceyorP
WE
473.8-
12 TC
N
sadanedrooC
E
otnuP
CAPÍTULO 7: POLIGONAL CERRADA
7.5 Ejercicio planteado
FIGURA 7.2 A Ejercicio planteado: poligonal cerrada
139
140
TOPOGRAFÍA
FIGURA 7.2B Ejercicio planteado: poligonal cerrada
CAPÍ TULO 8
POLIGONAL
PUNTO A PUNTO
L
a poligonal punto a punto es un polígono geométricamente abierto, ya que se
inicia en un punto materializado en campo y tiene coordenadas conocidas, y
se termina en otro punto distinto, también de coordenadas conocidas. Esta poligonal se puede corregir y ajustar, ya que es analíticamente es cerrada.
Para este método se debe trabajar con coordenadas reales, además se recomienda
que los puntos de apoyo sean de la misma red GPS, para que así se puedan alcanzar
las precisiones requeridas.
FIGURA 8.1 Poligonal punto a punto
Ref erencia final
Punto inicial
D2
Punto final
Ref erencia inicial
D1
142
TOPOGRAFÍA
En la realización de levantamientos topográficos utilizando el método de poligonal
punto a punto, se pueden presentar varios casos que determinan los puntos de
apoyo o coordenadas conocidas.
Con dos puntos de apoyo: se necesitan solo dos puntos de coordenadas conocidas,
el punto inicial y el final, la línea que forman esos dos puntos hace parte de la
poligonal como se ilustra en la figura 8.2.
FIGURA 8.2 Poligonal punto a punto con dos puntos de apoyo
Ángulo s ex terno s
Ángulo s internos
D3
D2
D2
D1
Punto final
D1
Punto inicial
Punto inicial
Punto final
Con tres puntos de apoyo: es necesario que en campo se encuentren 3 puntos
materializados con coordenadas conocidas, este tipo de poligonal se realiza
cuando al terminar de tomar los detalles del levantamiento desde el delta final,
por temas de tiempo y costos, resulta más sencillo terminar en un punto de
coordenadas conocidas diferente al punto inicial y/o el de amarre, ver figura 8.3.
FIGURA 8.3 Poligonal punto a punto con tres puntos de apoyo
Amarre
Punto inicial
Amarre y cierre
D1
Punto inicial
Punto final
D2
D1
D3
Punto final
D3
D2
143
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO
Con cuatro puntos de apoyo: se necesitan cuatro puntos de coordenadas
conocidas, el punto inicial, punto de amarre, punto final y punto de cierre, tal
como se presenta en la figura 8.4. Este tipo de poligonal tiene una gran aplicación
en proyectos lineales, donde se avanza por un corredor específico y se hace muy
difícil regresar al punto inicial para realizar una poligonal cerrada.
FIGURA 8.4 Poligonal punto a punto con cuatro puntos de apoyo
D3
Punto inicial
Punto final
D2
D4
Amarre
D1
Cierre
D5
8.1 Metodología
8.1.1 Trabajo de campo
• Elaborar el bosquejo o gráfico del terreno u obra a levantar.
• Materializar o verificar la existencia de los puntos de amarre (punto inicial y
punto de referencia).
• Armar el equipo en el punto inicial, visar al punto de referencia y colocar el
ángulo respectivo (cero grados, si se va a realizar el levantamiento por ceros
atrás, o el azimut entre los dos puntos, si se hace por azimut directo).
• Con base en los dos puntos de apoyo, uno para coordenadas y otro para
determinar el azimut u orientación de la poligonal, se traslada la coordenada
a cada uno de los deltas de la poligonal, para lo cual se determina el ángulo
comprendido entre el delta anterior y el inmediatamente siguiente, y la
distancia entre los mismos.
• Para cada armada se centra y localiza el equipo sobre el delta, se coloca cero
en el punto anterior, se mide el ángulo al delta siguiente y se mide la distancia,
luego se realiza este mismo procedimiento para cada uno de los detalles,
numerándolos de forma consecutiva para todo el levantamiento y anotando
el tipo del mismo.
• El procedimiento anterior se realiza para todos y cada uno de los deltas de la
poligonal.
• Cuando se arme el equipo en el último delta se visa al delta anterior y se mide
ángulo y distancia hasta el punto final.
• Se arma equipo en el punto final de visa al delta final y se mide ángulo y
distancia hasta el punto de cierre.
144
TOPOGRAFÍA
8.1.2 Trabajo de oficina
• Se calcula el azimut inicial, desde el punto inicial hasta el punto de referencia,
según las coordenadas de dichos puntos.
• Se realiza la sumatoria de ángulos de la poligonal, se ajustan o corrigen dichos
ángulos (se puede utilizar cualquiera de los métodos explicados en el capítulo
7. Poligonal cerrada).
• Se calculan los azimuts de las líneas de la poligonal y de los deltas a cada uno
de los detalles del levantamiento.
• Se calculan las proyecciones de los deltas de la poligonal.
• Calcular la precisión de la poligonal y verificar que se cumple con la precisión
requerida según el tipo de proyecto.
• Se ajustan y corrigen las proyecciones de la poligonal (se puede utilizar
cualquiera de los métodos explicados en el capítulo 7. Poligonal cerrada).
• Se calculan las proyecciones de los detalles, según desde el delta que fueron
tomados.
• Calcular las coordenadas de todos y cada uno de los deltas.
• Con las coordenadas de cada delta y las proyecciones de cada detalle, se
calculan las coordenadas de los detalles.
• Se realiza el plano correspondiente.
• Se calculan las áreas parciales y/o totales de cada uno de los elementos que
componen el levantamiento.
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO
8.2 Ejercicio: poligonal abierta por ceros atrás corrigiendo
ángulos
FIGURA 8.5 A Ejercicio poligonal punto a punto
145
146
TOPOGRAFÍA
FIGURA 8.5B Ejercicio Poligonal punto a punto
147
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO
8.2.1 Cálculos
8.2.1.1 Azimut inicial
Con las coordenadas del punto inicial y el punto de amarre se determina el
azimut, a las coordenadas del punto de amarre se le restan las coordenadas del
punto inicial así:
TABLA 8.1 Coordenadas de los puntos de amarre inicial
Punto
Norte
Este
Observación
CD 10
950.072
7628.728
Punto Inicial
CD 11
1195.785
7458.199
Punto de Amarre
DN = NCD11 – NCD10 = 245.713
DE = E CD11 – ECD10 = –170.529
De acuerdo a los signos el azimut se encuentra en el cuarto cuadrante, por lo
tanto, el azimut es:
Az = 360 – θ
Tan θ = [DE] / [DN] = 170.529 / 245.713 = 34° 45’ 45’’
θ = 34° 45’ 45’’
Az = 360 – θ = 325° 14’ 15’’
8.2.1.2 Azimut de llegada
Con base en las coordenadas del punto final y del punto de cierre se calcula el
azimut final así:
TABLA 8.2 Coordenadas de los puntos de amarre final
Punto
Norte
Este
Observación
CD 14
881.272
8504.330
Punto Final
CD 15
1077.842
9009.359
Punto de Cierre
DN = NCD15 – NCD14 = 196.570
DE = ECD15 – E CD14 = 505.029
148
TOPOGRAFÍA
De acuerdo a los signos, el azimut se encuentra en el primer cuadrante, por lo
tanto, el azimut es:
Az = θ
Tanθ = [DE] / [DN] = 505.029 / 196.570 = 68° 43’ 58’’
θ = 68° 43’ 58’’
Az = 360 = θ = 68° 43’ 58’’
8.2.1.3 Cálculo del ángulo proyectado para formar un polígono cerrado
Con el objeto de formar un polígono cerrado y poder realizar el ajuste de ángulos
(ya que en campo se midieron ángulos y no azimuts), se determina el ángulo
proyectado con los azimuts de las líneas de referencia. Cabe anotar que para
aplicar este método es necesario que las líneas de azimut inicial y azimut final se
intersequen sin cruzar la poligonal, tal como se presenta en la figura 8.6.
FIGURA 8.6 Ángulos medidos y ángulo proyectado
CD11
218°04´ 29"
233°54´ 58"
D1
D2
CD15
94°4´ 24"
97°25´ 47"
CD10
CD14
68°43´ 58"
235°14´ 15"
En la figura 8.6 se puede observar que para que el polígono quede cerrado con
todos sus ángulos externos, se debe calcular el ángulo proyectado y sumar 180
grados a cada uno de los ángulos medidos en el punto inicial (CD 10) y en el
punto final (CD 11), ver figura 8.7.
El ángulo proyectado será 325°14´15” - 68°43´58” = 256°30´17”
149
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO
FIGURA 8.7 Ángulos externos del polígono (incluido el ángulo en proyecciones)
CD11
218°04´ 29"
233°54´ 58"
D1
D2
CD15
94°4´ 24"
97°25´ 47"
CD10
CD14
180°00´ 00"
180°00´ 00"
256°30´ 17"
Los ángulos completos para el polígono cerrados son:
TABLA 8.3 Ángulos del polígono cerrado
Delta
Punto
Áng. Obsv.
CD 10
CD 11
0°00’00”
D_ 1
94°04’24”
CD 10
0°00’00”
D2
218°04’29”
D_ 1
0°00’00”
CD_ 14
233°54’58”
D_ 2
0°00’00”
CD_ 15
97°25’47”
D_ 1
D_ 2
CD_ 14
256°30’17”
CD_10
CD_ 14
ÁNG. PROY
0°00’00”
CD_ 11
180°00’00”
CD_ 15
0°00’00”
Observaciones
ÁNG. PROYECTADO
COMPLEMENTO
8.2.1.4 Ajuste de los ángulos observados
Con los ángulos anteriores se determina el error en ángulo, ya que es un polígono
cerrado, se ajusta solo repartiendo el error en los ángulos medidos en campo, el
ángulo proyectado y los complementos no se pueden corregir ya que son ángulos
teóricos.
150
TOPOGRAFÍA
TABLA 8.4 Ángulos corregidos
Delta
Punto
Áng. Obsv.
CD 10
CD 11
0°00’00”
D_ 1
94°04’24”
CD 10
0°00’00”
D2
218°04’29”
D_ 1
0°00’00”
CD_ 14
233°54’58”
D_ 2
0°00’00”
CD_ 15
97°25’47”
D_ 1
D_ 2
CD_ 14
CD_10
CD_ 14
Coor.
Áng. Corr.
0°00’00”
00°00’01”
94°04’24”
0°00’00”
00°00’01”
218°04’29”
0°00’00”
00°00’02”
233°54’58”
0°00’00”
00°00’01”
97°25’47”
256°30’17”
256°30’17”
ÁNG. PROY
0°00’00”
0°00’00”
CD_ 11
180°00’00”
180°00’00”
CD_ 15
0°00’00”
0°00’00”
ÁNG. PROY
180°00’00”
180°00’00”
Sumatoria Obs.
1259°59’55”
Sumatoria Teo
1260°00’00”
Error Angular
00°00’05”
Coor. Angular
00°00’01”
8.2.1.5 Azimuts de los lados de la poligonal
Con base en el azimut inicial (azimut de CD 10 a CD 11) y los ángulos corregidos,
se calculan los azimuts de los demás lados de la poligonal. El azimut anterior más
el ángulo observado es el azimut de la siguiente línea, exceptuando que si se pasa
de 360, hay que restarle 360.
El contrazimut o azimut en el sentido contrario se calcula según la siguiente premisa:
si el azimut es menor de 180 se le suma 180 y si es mayor de 180 se le resta 180.
Se debe terminar con el azimut de llegada calculado con las coordenadas de los
puntos (azimut de CD 14 a CD 15), pues los ángulos fueron ajustados.
151
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO
TABLA 8.5 Azimuts de la poligonal
Delta
Punto
CD 10
CD 11
D_ 1
D_ 1
Áng. Corr.
Azimut
325°14’15”
94°04’25”
59°18’40”
CD 10
D2
D_ 2
239°18’40”
218°04’30”
97°23’10”
D_ 1
CD_ 14
CD_ 14
277°23’10”
233°55’00”
151°18’10”
D_ 2
CD_ 15
331°18’10”
97°25’48”
68°43’58”
8.2.1.6 Proyecciones de la poligonal
Con las distancias de los lados de la poligonal y el azimut entre estos, se calculan
las proyecciones, para lo cual se usan las siguientes fórmulas:
Proyecciones – NS = Distancia * cos Az
Proyecciones – EW = Distancia * sen Az
Como las distancias de la poligonal se tomaron en las dos direcciones, se debe
promediar los dos valores respectivos.
TABLA 8.6 Proyecciones de la poligonal
Delta
Punto
Azimut
CD 10
CD 11
325°14’15”
D_ 1
59°18’40”
CD 10
239°18’40”
D2
97°23’10”
D_ 1
277°23’10”
CD_ 14
151°18’10”
D_ 2
331°18’10”
CD_ 15
68°43’58”
D_ 1
D_ 2
CD_ 14
Dist.
Proy. N-S
Proy. E-W
385.156
196.574
331.215
433.185
-55.688
429.591
239.038
-209.677
114.781
152
TOPOGRAFÍA
8.2.1.7 Ajuste de las proyecciones de la poligonal
Debido a que la poligonal comienza en un punto y termina en otro punto
diferente es abierta geométricamente, por lo tanto la suma teórica algebraica de
las proyecciones no será cero; será la diferencia de coordenadas entre el punto
final (CD 14) y el punto inicial (CD 10).
• Diferencia de proyecciones por coordenadas:
NSpor coordenadas = 881.272 – 950.072 = –68.800
EW por coordenadas = 8504.330 – 7682.728 = 875.602
• Suma de proyecciones calculada con los azimuts y distancias:
NSObs = –68.791
EWObs = 875.587
• Determinación de errores:
ΔNS = NSpor coordenada – NSObs = –68.800 – (–68.791) = 0.009
ΔEW = EWpor coordenada – EWObs = 875.602 – 875.587 = 0.015
• Error en distancia: diferencia en distancia para cerrar la poligonal.
ed = √(ΔNS2 + ΔEW 2)
ed = √(0.0092 + 0.0152)
e d = 0.01749
Donde:
ed =
Error en la distancia.
» ΔNS =
Error de proyecciones norte.
»
ΔEW =Error de proyecciones este.
• Precisión (P): Determina el grado de confiabilidad de la poligonal.
»
Se expresa 1: P, significa que en P metros se está cometiendo un error de 1
metro. Se recomienda que la precisión para levantamientos topográficos sea
mayor a 1: 10000, aunque dicho parámetro cambia según las especificaciones
de cada proyecto.
153
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO
P = ∑dist / ed
P = 1057.379 / 0.01749 = 60456
P = 1: 60456
En caso de que la precisión no cumpla con lo requerido en las especificaciones
o pliego de condiciones del respectivo proyecto se debe volver a campo y
realizar nuevamente la toma de mediciones.
El cálculo de correcciones de las proyecciones se realiza de la misma manera que
una poligonal cerrada, es decir, se puede utilizar cualquier método relacionado en
el capítulo 5, para este caso se utilizará el método de brújula o de Bowditch. Para
este método las correcciones de las proyecciones se realizan según la relación de
proporcionalidad repartiendo el error de acuerdo a las longitudes de cada lado.
Corr PNS = (distacumulada * ΔPNS) / ∑dist
Corr PEW = (distacumlada * ΔPEW) / ∑dist
A la corrección se le debe restar las correcciones acumuladas de los lados anteriores
según corresponda.
TABLA 8.7 Proyecciones corregidas
Delta
Punto
CD 10
CD 11
D_ 1
D_ 1
Proy. Corregidas
N-S
E-W
N-S
E-W
N-S
E-W
196.574
331.215
-0.003
-0.006
196.571
331.209
-55.688
429.591
-0.004
-0.006
-55.692
429.585
-209.677
114.781
-0.002
-0.003
-209.679
114.778
D_ 1
CD_ 14
CD_ 14
Correcciones
CD 10
D2
D_ 2
Proyecciones
D_ 2
CD_ 15
8.2.1.8 Coordenadas de los deltas de la poligonal
Con las coordenadas del punto inicial (CD 10) y las proyecciones de cada lado se
calculan las coordenadas de todos y cada uno de los deltas de la poligonal, hasta
llegar al punto final (CD 14), las coordenadas se van acumulando en cada delta.
154
TOPOGRAFÍA
TABLA 8.9 Coordenadas de la poligonal
Delta
Punto
CD 10
CD 11
D_ 1
D_ 1
N-S
Norte
Este
950.072
7628.728
CD 10
E-W
Punto
331.209
1146.643
7959.937
D_ 1
-55.692
429.585
1090.951
8389.522
D_ 2
-209.679
114.778
881.272
8504.300
CD_ 14
CD 10
D_ 1
CD_ 14
CD_ 14
Coordenadas
196.571
D_ 2
D_ 2
Proy. Corregidas
D_ 2
CD_ 15
8.2.1.9 Coordenadas de los detalles
Con base en las coordenadas de cada delta y los azimuts del delta correspondiente a
los detalles, se calcula en los azimuts de las líneas de la poligonal y las coordenadas
calculadas de los vértices. Se calculan las coordenadas de los detalles, teniendo
en cuenta que es un cálculo por radiación; se deben calcular las direcciones de
acuerdo a las líneas de la poligonal.
8.2.1.10 Azimut de los detalles
Al azimut de cada delta al delta o vértice anterior se le suma el ángulo tomado a cada
detalle según corresponda, si el valor se pasa de 360 grados se le restan 360 grados.
TABLA 8.10 Azimut de los detalles
Delta
Punto
Áng.
Obsv.
Azimut
D_1
CD_ 10
0°00’00”
239°18´40
1
123°48´50
3°7´30
2
137°42´34
17°1´14
3
173°46´48
53°5´27
D_1
0°0´0
277°23´10
4
19°30´7
296°53´17
5
57°21´16
334°44´25
6
70°17´49
347°40´59
7
166°49´30
84°12´39
8
149°3´51
66°27´1
D_2
155
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO
Delta
Punto
Áng.
Obsv.
Azimut
CD_ 14
D_2
0°0´0
331°18´10
9
69°45´34
41°3´44
10
75°1´45
46°19´55
TABLA 8.11 Proyecciones de los detalles
Proyecciones
Delta
Punto
Azimut
D_1
CD_ 10
239°18´40
1
D_2
CD_ 14
Dist.
Pn
Pe
3°7´30
329.84
329.350
17.981
2
17°1´14
61.441
58.750
17.985
3
53°5´27
97.829
58.751
78.223
D_1
277°23´10
4
296°53´17
393.972
178.173
-351.380
5
334°44´25
197.014
178.176
-84.069
6
347°40´59
394.102
385.031
-84.070
7
84°12´39
83.567
8.429
83.141
8
66°27´1
177.797
71.038
162.989
D_2
331°18´10
9
41°3´44
110.883
83.605
72.837
10
46°19´55
212.137
146.476
153.450
TABLA 8.12 Cálculo de coordenadas de detalles
Proyecciones
Delta
Punto
D_1
CD_ 10
D_2
Pn
Pe
Punto
Norte
Este
1146.643
7959.937
D_1
1
329.350
17.981
1475.993
7977.918
1
2
58.750
17.985
1205.393
7977.922
2
3
58.751
78.223
1205.394
8038.160
3
1090.951
8389.522
D_2
D_1
7
Coordenadas
4
178.173
-351.380
1269.124
8038.142
4
5
178.176
-84.069
1269.127
8305.453
5
6
385.031
-84.070
1475.982
8305.452
6
8.429
83.141
1099.380 8472.663 7
156
TOPOGRAFÍA
Proyecciones
Delta
Punto
8
CD_ 14 D_2
9
10
Pn
71.038
Pe
Coordenadas
Norte
Este
Punto
162.989 1161.989 8552.511 8
881.272 8504.300 CD_14
83.605 72.837 964.877 8577.137 9
146.476 153.450 1027.748 8657.750 10
8.3 Ejercicio: poligonal abierta por ceros atrás corrigiendo
Azimuts
Si al prolongar las líneas de los azimuts de referencia de amarre y de cierre, se corta
la poligonal realizada, la metodología de calcular el ángulo prolongado y ajustar
los ángulos de un polígono cerrado no se puede aplicar. Entonces el cálculo de la
poligonal se realiza de la siguiente manera:
Con el azimut inicial (azimut del punto de inicial al punto de referencia inicial
“calculado con las coordenadas”) y los ángulos observados, se calculan los
azimuts de todas las líneas de la poligonal. Con base en ellos, se calcula y ajusta la
poligonal, y se calculan las coordenadas de los detalles.
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO
FIGURA 8.8 A Ejercicio poligonal punto a punto (para corregir azimuts)
157
158
TOPOGRAFÍA
FIGURA 8.8B Ejercicio poligonal punto a punto (para corregir azimuts)
159
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO
8.3.1 Cálculos
8.3.1.1 Azimut inicial
Con las coordenadas del punto inicial y el punto de amarre se determina el azimut, a las coordenadas del punto de amarre se le restan las coordenadas del punto
inicial así:
TABLA 8.13 Coordenadas de los puntos de amarre inicial
Punto
Norte
Este
Observación
CD6
742.483
21765.664
Punto Inicial
CD5
670.641
21520.342
Punto de Amarre
DN = NCD5 – NCD6 = –71.842
DE = ECD5 – ECD6 = –2445.322
De acuerdo a los signos el azimut se encuentra en el tercer cuadrante, por lo tanto,
el azimut es:
Az = 180 + θ
Tan θ = [DE] / [DN] = 245.322 / 71.842
θ = 73° 40’ 39’’
Az = 180 + θ = 253° 40’ 39’’
8.3.1.2 Azimut de llegada
Con base en las coordenadas del punto final y del punto de cierre se calcula el
azimut final así:
TABLA 8.14 Coordenadas de los puntos de amarre final
Punto
Norte
Este
Observación
CD 8
1258.438
22870.923
Punto Final
CD 9
1064.940
23155.676
Punto de Cierre
DN = NCD9 – NCD8 = –193.498
DE = ECD9 – E CD8 = 284.753
160
TOPOGRAFÍA
De acuerdo a los signos el azimut se encuentra en el segundo cuadrante, por lo
tanto, el azimut es:
Az = 180 – θ
Tan θ = [DE] / [DN] = 284.753/ 193.498
θ = 55° 48’ 10’’
Az = 180 – θ = 124° 11’ 50’’
8.3.1.3 Cálculo de azimuts de la poligonal
Al azimut inicial se le suma el primer ángulo y se obtiene el azimut de la primera
línea de la poligonal. Se calcula el contrazimut y se suma el siguiente ángulo para
calcular el azimut de la línea dos de la poligonal. Se repite el mismo procedimiento
hasta llegar al azimut de los puntos de amarre final.
TABLA 8.15 Ángulos del polígono cerrado
Delta
Punto
Áng. Obsv.
Azimut
CD_6
CD_ 5
0°00’00”
253°40´39
D_1
151°31´6
45°11´44
CD_6
0°00’00”
225°11´44
D_2
257°5´1
122°16´45
D_1
0°00’00”
302°16´45
CD_8
80°56´3
23°12´48
D_2
0°0´0
203°12´48
CD_9
280°58´48
124°11´36
D_1
D_2
CD_8
8.3.1.4 Ajuste de los azimuts
Se compara el azimut final de la poligonal, calculado con los ángulos observados,
con el azimut obtenido por medio de las coordenadas de los puntos de amarre.
El error en azimut es:
Azimut de CD 8 a CD 9 (calculado por coordenadas) - Azimut de CD 8 a CD 9
(calculado con los ángulos tomados en campo)
124°11´50” - 124°11´36” = 0°00´14”
161
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO
Las correcciones de azimut para cada lado:
Error en Azimut / número de ángulos
Dicha corrección es acumulativa tal como se presenta en la tabla 8.16.
TABLA 8.16 Azimuts corregidos
Delta
Punto
Ángulo
obsv.
Azimut
CD_6
CD_ 5
0°00’00”
253°40´39
D_1
151°31´6
45°11´44
CD_6
0°00’00”
225°11´44
D_2
257°5´1
122°16´45
D_1
0°00’00”
302°16´45
CD_8
80°56´3
23°12´48
D_2
0°0´0
203°12´48
CD_9
280°58´48
124°11´36
D_1
D_2
CD_8
Azimut
Corregido
Corrección
0
0
3
45°11´47
225°11´47
0
0
7
122°16´52
302°16´52
0
0
10
23°12´58
203°12´58
0
0
14
124°11´50
8.3.1.5 Proyecciones de la poligonal
Con las distancias de los lados de la poligonal y el azimut entre estos, se calculan
las proyecciones, para lo cual se usan las siguientes fórmulas:
Proyecciones – NS = Distancia * cos Az
Proyecciones – EW = Distancia * sen Az
Como las distancias de la poligonal se tomaron en las dos direcciones, se debe
promediar los dos valores respectivos.
TABLA 8.17 Proyecciones de la poligonal
Proyecciones
Azimut
corregido
Dist.
Pn
Pe
D_1
45°11´47
510.996
360.087
362.567
CD_6
225°11´47
D_2
122°16´52
628.971
-335.919
531.755
D_1
302°16´52
CD_8
23°12´58
535.133
491.800
210.952
Delta
Punto
CD_6
CD_ 5
D_1
D_2
162
TOPOGRAFÍA
Proyecciones
Delta
Punto
Azimut
corregido
CD_8
D_2
203°12´58
CD_9
124°11´50
Dist.
Pn
Pe
8.3.1.6 Ajuste de las proyecciones de la poligonal
Debido a que la poligonal comienza en un punto y termina en otro diferente, es
abierta geométricamente, por lo tanto la suma teórica algebraica de las proyecciones no será cero; será la diferencia de coordenadas entre el punto final (CD 8) y el
punto inicial (CD6).
• Diferencia de proyecciones por coordenadas:
NSpor coordenadas = 1258.438 – 742.483 = 515.955
EW por coordenadas = 22870.923 – 21765.664 = 1105.259
• Suma de proyecciones calculada con los azimuts y distancias:
NSObs = 515.967
EWObs = 1105.273
• Determinación de errores:
ΔNS = NSpor coordenada – NSObs = 515.955 – 515.967 = –0.012
ΔEW = EWpor coordenada – EWObs = 1105.259 – 1105.273 = –0.014
• Error en distancia: diferencia en distancia para cerrar la poligonal.
ed = √(ΔNS2 + ΔEW2 )
ed = √((–0.012)2 + (–0.014)2)
ed = 0.018439
Donde:
ed =
Error en la distancia.
» ΔNS =
Error de proyecciones norte.
»
»
ΔEW = Error de proyecciones este.
• Precisión (P): Determina el grado de confiabilidad de la poligonal.
163
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO
Se expresa 1: P, significa que en P metros se está cometiendo un error de 1
metro. Se recomienda que la precisión para levantamientos topográficos sea
mayor a 1: 10000, aunque dicho parámetro cambia según las especificaciones
de cada proyecto.
P = ∑dist / ed
P = 1675.100 / 0.018439 = 90845.490
P = 1: 60446
En caso de que la precisión no cumpla con lo requerido en las especificaciones
o pliego de condiciones del respectivo proyecto se debe volver a campo y
realizar nuevamente la toma de mediciones.
El cálculo de correcciones de las proyecciones se realiza de la misma manera que
una poligonal cerrada, es decir se puede utilizar cualquier método relacionado
en el capítulo 5, para este caso se utilizará el método de brújula o de Bowditch, el
cual es muy fácil de aplicar. Para este método las correcciones de las proyecciones
se realizan según la relación de proporcionalidad repartiendo el error de acuerdo
a las longitudes de cada lado.
Corr PNS = (distacumulada * ΔPNS) / ∑dist
Corr PEW = (distacumlada * ΔPEW) / ∑dist
A la corrección se le debe restar las correcciones acumuladas de los lados anteriores
según corresponda.
TABLA 8.18 Proyecciones corregidas
Delta
Punto
CD_6
CD_ 5
D_1
D_1
Proy. Corregidas
Pn
Pe
Pn
Pe
Pn
Pe
360.087
362.567
-0.004
-0.004
360.083
362.563
-335.919
531.755
-0.004
-0.005
-335.923
531.750
491.800
210.952
-0.004
-0.004
491.796
210.948
D_1
CD_8
CD_8
Correcciones
CD_6
D_2
D_2
Proyecciones
D_2
CD_9
164
TOPOGRAFÍA
8.3.1.7 Coordenadas de los deltas de la poligonal
Con las coordenadas del punto inicial (CD6) y las proyecciones de cada lado, se
calculan las coordenadas de todos y cada uno de los deltas de la poligonal, hasta
llegar al punto final (CD 8), las coordenadas se van acumulando en cada delta.
TABLA 8.19 Coordenadas de la poligonal
Proy. Corregidas
Delta
Punto
CD_6
CD_ 5
Pn
D_1
D_1
Pe
Coordenadas
Punto
Norte
Este
742.483
21765.664
CD_6
360.083
362.563
1102.566
22128.227
D_1
-335.923
531.750
766.643
22659.976
D_2
491.796
210.948
1258.438
22870.924
CD_8
CD_6
D_2
D_2
D_1
CD_8
CD_8
D_2
CD_9
8.3.1.8 Coordenadas de los detalles
Con base en las coordenadas de cada delta y los azimuts del delta correspondiente
a los detalles, se calculan los azimuts de las líneas de la poligonal y las coordenadas
calculadas de los vértices. Se calculan las coordenadas de los detalles, teniendo
en cuenta que es un cálculo por radiación; se deben calcular las direcciones de
acuerdo a las líneas de la poligonal.
8.3.1.9 Azimut de los detalles
Al azimut de cada delta al delta o vértice anterior se le suma el ángulo tomado a cada
detalle según corresponda, si el valor se pasa de 360 grados se le restan 360 grados.
TABLA 8.20 Azimut de los detalles
Delta
Punto
Áng. Obsv.
Azimut
CD_6
CD_ 5
0°00’00”
253°40´38
1
230°55´2
124°35´40
2
224°58´39
118°39´17
CD_6
0°0´0
225°11´47
3
18°56´26
244°8´13
4
21°14´42
246°26´29
D_1
165
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO
Delta
D_2
CD_8
Punto
Áng. Obsv.
Azimut
5
327°41´24
192°53´11
6
9°52´25
235°4´12
7
5°31´13
230°43´0
8
334°1´8
199°12´55
D_1
0°0´0
302°16´52
9
349°22´8
291°39´0
10
342°55´2
285°11´54
11
348°8´43
290°25´35
12
36°3´58
338°20´50
13
354°40´57
296°57´49
14
353°0´32
295°17´24
15
2°50´1
305°6´53
16
27°0´45
329°17´37
D_2
0°0´0
203°12´58
17
38°54´17
242°7´15
18
43°7´17
246°20´15
19
28°48´28
232°1´26
20
29°32´45
232°45´43
21
345°39´19
188°52´17
22
282°36´39
125°49´37
23
338°28´49
181°41´47
24
273°8´7
116°21´5
TABLA 8.21 Proyecciones de los detalles
Proyecciones
Delta
Punto
Azimut
CD_6
CD_ 5
253°40´38
1
D_1
Dist.
Pn
Pe
124°35´40
63.295
-35.937
52.104
2
118°39´17
92.231
-44.228
80.935
CD_6
225°11´47
3
244°8´13
191.343
-83.467
-172.178
4
246°26´29
125.857
-50.303
-115.367
5
192°53´11
54.107
-52.744
-12.067
166
TOPOGRAFÍA
Proyecciones
Delta
D_2
CD_8
Punto
Azimut
Dist.
Pn
Pe
6
235°4´12
187.775
-107.515
-153.948
7
230°43´0
120.059
-76.016
-92.929
8
199°12´55
84.537
-79.827
-27.823
D_1
302°16´52
9
291°39´0
316.124
116.631
-293.823
10
285°11´54
168.588
44.198
-162.691
11
290°25´35
109.958
38.376
-103.044
12
338°20´50
101.903
94.713
-37.600
13
296°57´49
306.612
139.026
-273.281
14
295°17´24
171.589
73.303
-155.143
15
305°6´53
122.41
70.413
-100.131
16
329°17´37
125.997
108.332
-64.339
D_2
203°12´58
0.000
0.000
17
242°7´15
182.696
-85.430
-161.492
18
246°20´15
128.923
-51.743
-118.084
19
232°1´26
184.015
-113.230
-145.053
20
232°45´43
127.707
-77.279
-101.671
21
188°52´17
69.969
-69.132
-10.791
22
125°49´37
179.095
-104.832
145.208
23
181°41´47
40.072
-40.054
-1.186
24
116°21´5
171.112
-75.953
153.331
TABLA 8.22 Cálculo de coordenadas detalles
Proyecciones
Delta
Punto
CD_6
CD_ 5
D_1
Pn
Pe
Coordenadas
Punto
Norte
Este
742.483
21765.664
CD_6
1
-35.937
52.104
706.546
21817.768
1
2
-44.228
80.935
698.255
21846.599
2
1102.566
22128.227
D_1
CD_6
3
-83.467
-172.178
1019.098
21956.048
4
-50.303
-115.367
1052.263
22012.859
4
167
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO
Proyecciones
Delta
D_2
CD_8
Coordenadas
Punto
Punto
Pn
Pe
Norte
Este
5
-52.744
-12.067
1049.821
22116.159
5
6
-107.515
-153.948
995.051
21974.278
6
7
-76.016
-92.929
1026.550
22035.298
7
8
-79.827
-27.823
1022.738
22100.404
8
766.643
22659.976
D_2
D_1
9
116.631
-293.823
883.273
22366.154
9
10
44.198
-162.691
810.841
22497.285
10
11
38.376
-103.044
805.019
22556.932
11
12
94.713
-37.600
861.355
22622.376
12
13
139.026
-273.281
905.669
22386.695
13
14
73.303
-155.143
839.946
22504.833
14
15
70.413
-100.131
837.055
22559.845
15
16
108.332
-64.339
874.975
22595.638
16
D_2
0.000
0.000
1258.4383
22870.924
CD_8
17
-85.430
-161.492
1173.009
22709.432
17
18
-51.743
-118.084
1206.696
22752.840
18
19
-113.230
-145.053
1145.208
22725.871
19
20
-77.279
-101.671
1181.160
22769.253
20
21
-69.132
-10.791
1189.306
22860.133
21
22
-104.832
145.208
1153.606
23016.132
22
23
-40.054
-1.186
1218.384
22869.738
23
24
-75.953
153.331
1182.485
23024.255
24
8.4 Poligonal controlada en cada delta
Consiste en realizar una poligonal por el método de ceros atrás, donde en cada
delta se miden las distancias y ángulos hacia atrás y hacia adelante, como se
presenta en la figura 8.9.
168
TOPOGRAFÍA
FIGURA 8.9 Poligonal controlada en cada delta
Punto de cierre
Punto inicial
D2
D2
Ref erencia inicial
D1
El punto de cierre se debe materializar de la misma forma que se hizo con cada
uno de los demás deltas (podrá ser uno de los detalles que se tomen dentro del
levantamiento), en este punto no se armará el equipo pero si sirve para medir los
ángulos finales desde el último delta.
8.4.1 Aplicaciones y ventajas
La poligonal controlada en cada delta tiene gran aplicación en proyectos lineales,
por ejemplo, cuando se realizan levantamientos topográficos de verificación,
replanteo, mejoramiento, reconstrucción, para vías, ferrocarriles, poliductos,
etc. Por medio de esta se puede aprovechar el corredor existente para mejorar los
tiempos y costos del proyecto.
A continuación se relacionan las principales ventajas de la poligonal controlada
en cada delta frente a otros levantamientos como la poligonal cerrada y la punto
a punto:
• Verificación de los dos ángulos medidos en campo para cada uno de los
deltas, ya que deben sumar 360 grados.
• Minimización de errores en medidas de distancias, ya que estás se miden en
los dos sentidos.
• Cuando se miden los ángulos y distancias hacia atrás, se puede verificar que
no se hayan dejado de tomar algunos detalles y/o se pueden rectificar datos
de cualquier detalle.
• Cálculo y verificación de precisiones de cada uno de los lados de la poligonal,
los que ayudaran a que el levantamiento alcance en todos y cada uno de los
sectores del mismo, según las especificaciones requeridas.
• Solo se necesitan dos puntos de amarre con coordenadas conocidas.
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO
8.4.2 Metodología
8.4.2.1 Trabajo de campo
• Elaborar el bosquejo o gráfico del terreno u obra a levantar.
• Materializar o verificar la existencia de los puntos de amarre (punto inicial y
punto de referencia).
• Armar el equipo en el punto inicial, visar al punto de referencia, se mide la
distancia entre los dos puntos (no es obligatorio medir la distancia pero se
recomienda; de esta manera se podrá verificar la distancia teórica entre los
dos puntos de coordenadas conocidas) y colocar el ángulo respectivo (cero
grados, si se va a realizar el levantamiento por ceros atrás, o el azimut entre
los dos puntos, si se hace por azimut directo). Medir el ángulo y distancia
hacia el Delta número 1, así como los ángulos y las distancias hacia cada uno
de los detalles que se puedan tomar con esta armada. Colocar cero grados
visando hacia el Delta 1 y medir el ángulo hacia el punto de referencia.
• El procedimiento anterior se repite en todos y cada uno de los deltas (se
miden ángulo y distancia hacia adelante y ángulo y distancia hacia atrás).
• Finalmente se arma el equipo en el último delta (el último delta se determina
teniendo en cuenta que desde allí se pueda finalizar con la toma de detalles),
se miden ángulo y distancia hacia el punto de cierre, se coloca cero grados
visando al punto de cierre y se toma ángulo y distancia hacia el delta anterior.
8.4.2.2 Trabajo de oficina
• Se calcula el azimut inicial, desde el punto inicial hasta el punto referencia,
según las coordenadas de dichos puntos.
• Se realiza la sumatoria de ángulos en cada delta, se ajustan o corrigen dichos
ángulos.
• Se calculan los azimuts de las líneas de la poligonal y de los deltas a cada uno
de los detalles del levantamiento.
• Se calculan las proyecciones de los deltas de la poligonal (como las distancias
se tomaron en los dos sentidos se deben realizar los cálculos con el promedio
de las mismas).
• Calcular la precisión de cada lado de poligonal y verificar que se cumple con
la precisión requerida según el tipo de proyecto.
• Se ajustan y corrigen las proyecciones de la poligonal (se puede utilizar
cualquiera de los métodos explicados en el capítulo 7. Poligonal cerrada).
• Se calculan las proyecciones de los detalles, desde el delta que fueron tomados.
• Calcular las coordenadas de todos y cada uno de los deltas.
169
170
TOPOGRAFÍA
• Con las coordenadas de cada delta y las proyecciones de cada detalle, se
calculan las coordenadas de los detalles.
• Se realiza el plano correspondiente.
• Se calculan las áreas parciales y/o totales de cada uno de los elementos que
componen el levantamiento.
8.4.3 Ejercicio práctico
FIGURA 8.10A Cartera de campo
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO
FIGURA 8.10B Cartera de campo
171
172
TOPOGRAFÍA
8.4.3.1 Corrección de los ángulos de los lados de la poligonal
Se deben organizar y sumar los dos ángulos leídos en todos y cada uno de los
deltas de la poligonal, la suma teórica de dichos ángulos debe ser 360 grados.
∑teórica = 360°
El error en ángulo para cada delta es 360 menos la sumatoria de los dos ángulos.
La corrección es el error en ángulo para cada delta dividido en 2.
TABLA 8.23 Corrección de ángulos
Delta
Punto
Áng.
Obsv.
GPS-1
GPS-2
0°00’00”
D_1
263°48´44
Error
Corrección
Áng.
Corregidos
(-0°00´04”)
263°48´40
(-0°00´04”)
96°11´20
(0°00´04”)
274°48´9
(0°00´04”)
85°11´51
(-0°00´03”)
253°31´58
(-0°00´03”)
106°28´2
(-0°00´04”)
152°42´54
(-0°00´04”)
207°17´6
(-0°00´08”)
GPS-1
D_1
D_1
0°00’00”
GPS-2
96°11´24
GPS-1
0°00’00”
D_2
274°48´5
(0°00´08”)
D_1
D_2
D_2
0°0´0
GPS-1
85°11´47
D_1
0°00’00”
D_3
253°32´1
(-0°00´06”)
D_2
D_3
D_3
0°00’00”
D_1
106°28´5
D_2
0°00’00”
P.CI
152°42´58
(-0°00´08”)
D_3
P.CI
0°0´0
D_2
207°17´10
8.4.3.2 Cálculo del azimut inicial
Con las coordenadas se calcula el azimut desde el punto inicial hasta el punto
de amarre. Es decir, se realiza la conversión de coordenadas rectangulares a
coordenadas polares.
173
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO
Pto
Norte
Este
GPS1
2125.823
35530.785
GPS2
2014.238
35512.299
Azimut de GPS1 a GPS2 = 189°24´24”
8.4.3.3 Cálculo de azimuts
Con los ángulos corregidos se calculan los azimuts de los lados de la poligonal.
TABLA 8.24 Cálculo de Azimuts
Delta
Punto
GPS-1
GPS-2
Áng. Corregidos
D_1
GPS-1
189°24´24
263°48´40
D_1
96°11´20
GPS-1
D_2
D_1
274°48´9
85°11´51
D_1
253°31´58
D_3
261°33´11
261°33´11
D_1
106°28´2
D_2
8°1´13
81°33´11
P.CI
D_3
273°13´4
8°1´13
D_3
D_3
188°1´13
188°1´13
GPS-1
D_2
189°24´24
273°13´4
D_2
D_2
93°13´4
93°13´4
GPS-2
D_1
Azimut
152°42´54
P.CI
234°16´5
234°16´5
D_2
207°17´6
8.4.3.4 Cálculo de las proyecciones
PNS = d * cosAz
PEW = d * senAz
Donde:
• PNS =
Proyección norte – sur.
• PEW =
• d=
Proyección este – oeste.
Distancia.
• Az =
Azimut.
81°33´15
174
TOPOGRAFÍA
Se debe calcular con el promedio de las distancias.
TABLA 8.25 Cálculo de proyecciones
Proyecciones
Delta
Punto
Azimut
GPS-1
GPS-2
189°24´24
D_1
GPS-1
D_1
D_1
D_2
D_2
D_3
D_3
Dist.
Pn
Pe
93°13´4
168.318
-9.448
168.053
D_1
93°13´4
168.328
-9.448
168.063
GPS-2
189°24´24
GPS-1
273°13´4
D_2
188°1´13
156.466
-154.936
-21.831
D_2
188°1´13
156.472
-154.942
-21.831
GPS-1
273°13´4
D_1
8°1´13
D_3
261°33´11
154.14
-22.642
-152.468
D_3
261°33´11
154.132
-22.641
-152.460
D_1
8°1´13
D_2
81°33´11
P.CI
234°16´5
P.CI
234°16´5
D_2
81°33´15
8.4.3.5 Corrección de las proyecciones
El error se calcula con las siguientes fórmulas:
ΔNS = ERROR proyN entre D1 y D2 = proyN (D1aD2) + proyN (D2aD1)
ΔEW = ERROR proyE entre D1 y D2 = proyE (D1aD2) + proyE (D2aD1)
De forma similar para cada uno de los otros lados de la poligonal.
Las correcciones se realizaran usando el método de la regla de la brújula o de
Bowditch; en el cual se corrigen las proyecciones ortogonales en proporción a las
longitudes. Se utilizan las siguientes fórmulas:
• Corrección proyección Norte entre D1 y D2 = Error proyección Norte *
((promedio de las distancias medidas de D1 a D2) / (distancia promedio
medida de D1 a D2 + distancia promedio medida de D2 a D1))
175
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO
• Corrección proyección Este entre D1 y D2 = Error proyección Este *
((promedio de las distancias medidas de D1 a D2) / (distancia promedio
medida de D1 a D2 + distancia promedio medida de D2 a D1))
• Corrección proyección Norte entre D2 y D1 = Error proyección Norte *
((promedio de las distancias medidas de D2 a D1) / (distancia promedio
medida de D1 a D2 + distancia promedio medida de D2 a D1))
• Corrección proyección Este entre D2 y D1 = Error proyección Este*
((promedio de las distancias medidas de D2 a D1) / (distancia promedio
medida de D1 a D2 + distancia promedio medida de D2 a D1))
De forma similar para cada uno de los otros lados de la poligonal.
TABLA 8.26 Corrección de proyecciones
Proyecciones
Delta
Punto
GPS-1
GPS-2
GPS-1
Pn
Pe
D_1
-9.448
168.053
D_1
-9.448
168.063
D_2
-154.936
-21.831
D_2
-154.942
-21.831
D_3
-22.642
-152.468
D_3
-22.641
-152.460
Error
Correcc.
Proy.
Corregidas
Pn
Pe
Pn
Pe
Pn
Pe
0.000
-0.010
0.000
-0.005
-9.448
168.058
0.006
0.000
0.003
0.000
-154.939
-21.831
-0.001
-0.008
-0.001
-0.004
-22.642
-152.464
GPS-2
D_1
D_1
GPS-1
GPS-1
D_2
D_2
D_1
D_1
D_3
D_2
P.CI
D_3
P.CI
D_2
8.4.3.6 Coordenadas
Finalmente se determinan las coordenadas de cada delta partiendo de las
coordenadas del punto de inicio. A las coordenadas del punto de inicio se le suman
las primeras proyecciones y se obtienen las coordenadas del primer delta, con las
coordenadas de ese delta se obtienen las del siguiente delta y así sucesivamente
hasta finalizar la poligonal.
176
TOPOGRAFÍA
TABLA 8.27 Coordenadas de la poligonal
Proy. Corregidas
Delta
Punto
GPS-1
GPS-2
Pn
Pe
Coordenadas
Punto
Norte
Este
2125.823
35530.785
GPS1
D_1
GPS-1
-9.448
168.058
2116.375
35698.843
D_1
-154.939
-21.831
1961.437
35677.011
D_2
-22.642
-152.464
1938.795
35524.547
D_3
D_1
GPS-2
D_1
GPS-1
D_2
D_1
D_2
GPS-1
D_2
D_1
D_3
D_2
D_3
D_1
D_3
D_2
P.CI
D_3
P.CI
D_2
8.4.3.7 Datos estadísticos de la poligonal
Los datos estadísticos de la poligonal se deben calcular y plasmar por escrito, ya
que son el comprobante de que las especificaciones requeridas se han cumplido,
los datos que se deben presentar son:
• Error en ángulo vs. Error máximo permisible (ya se calculó).
• Error en distancia para cada lado de la poligonal (como se mencionó
anteriormente esta es una ventaja de este tipo de levantamiento, ya que se
pueden calcular las precisiones para cada lado de la poligonal, lo que garantiza
que en todos los sectores se obtendrá una excelente precisión). Es la diferencia
en distancia para cerrar cada lado de la poligonal y calcula por medio de la
siguiente fórmula:
177
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO
Donde:
»
ΔNS2 = Error en proyecciones norte – sur.
ΔEW2 = Error en proyecciones este – oeste.
• Precisión de cada uno de los lados de la poligonal (P):
»
P = Promedio de las dos distancias medias para cada lado / error en distancia
TABLA 8.28 Precisiones de cada lado
Error
Delta
Punto
GPS-1
GPS-2
Error
en distancia
Precisión
Pn
Pe
0.000
-0.010
0.010
33717.758
0.006
0.000
0.006
52671.519
-0.001
-0.008
0.008
38534.000
D_1
GPS-1
D_1
GPS-2
D_1
GPS-1
D_2
D_1
D_2
GPS-1
D_2
D_1
D_3
D_2
D_3
D_1
8.4.3.8 Cálculo de detalles
Las coordenadas de todos y cada uno de los detalles se calcula con las coordenadas
del respectivo delta desde donde fueron tomados, así:
TOPOGRAFÍA
178
3
2_D
4
5
3_D
6
348.89653
719.91753
110.77653
819.91753
614.50653
3745.42553
73729.99453
593.1312
573.6112
004.1312
734.1691
593.1191
493.1191
769497.8391
954293.1191
478.041-
478.03-
709.24
695.17-
365.5
275.5
240.05-
340.05-
5204.72-
1_D
119.99453
683.1312
9916.42-
2
119.98353
328.5212
520.51
1
587.03553
nP
senoicceyorP
eP
470.12
1-SPG
etroN
sadanedrooC
etsE
otnuP
153.78
94´31°082
3´31°372
84´03°45
21´1°8
12´32°931
25´2°532
01´33°18
71´65°122
71´15°28
62´94°09
0´0°0
54´71°141
0´0°0
9´22°131
04´1°722
0´0°0
7´32°041
2-SPG
1
2
1-SPG
3
1_D
4
5
2_D
6
atleD
1-SPG
838.63
819.56
04´51°272
”00’00°0
otnuP
1_D
2_D
3_D
373.13
32´42°981
.vsbO .gnÁ
288.52
489.041
tumizA
ts i D
sella te d sol ed sa dane drooC 92 .8 ALBAT
CAPÍTULO 8: POLIGONAL PUNTO A PUNTO
8.5 Ejercicio planteado
FIGURA 8.11A Cartera de campo
179
180
TOPOGRAFÍA
FIGURA 8.11B Cartera de campo
CAPÍ TULO 9
LOCALIZACIÓN
D E P R O Y EC T O S
L
a construcción de proyectos de ingeniería (edificaciones, vías, minas, obras
de drenaje, embalses, aeropuertos, toneles, puentes, tuberías, vías férreas, canales, plantas de tratamiento, etc.), inicia con la localización y/o materialización
de puntos, ejes y/o elementos de la infraestructura a construir, según los diseños
correspondientes; dicha localización se denomina replanteo.
En otras palabras, el replanteo consiste en determinar en campo la ubicación y/o
elevación de los elementos que se van a construir sobre el terreno natural o sobre
otro elemento construido, según los diseños realizados. Dependiendo del tipo de
proyecto, se puede ubicar y/o materializar cada punto según su posición exacta o
en un sitio cercano que permita, por medio de proyecciones, ubicar en el proceso
de construcción adecuadamente los componentes o elementos del proyecto.
Por medio de métodos topográficos, para todo tipo de proyecto de construcción,
es necesario materializar y georreferenciar puntos de control, teniendo como base
placas con coordenadas que estén cerca de la zona de trabajo; dichos puntos de
control se deben ubicar en sitios estratégicos y convenientes para posteriormente
realizar el proceso de localización del proyecto de forma precisa y eficiente.
Es importante mencionar que los equipos de topografía (estaciones totales) hoy
en día tienen el módulo de replanteo, el cual ayuda a que los procesos de campo
sean más precisos y eficientes.
182
TOPOGRAFÍA
En la localización de proyectos es necesario realizar el control horizontal y vertical
de las estructuras que se van a desarrollar en el proyecto, de la siguiente manera:
• Para el control horizontal: se verifica la ubicación, posición y dimensiones de
cada uno de los elementos que componen la infraestructura.
• Para el control vertical: se verifica la cota o diferencia de altura de las
estructuras con respecto a un nivel de referencia.
• El control de alineación vertical: se verifica que las estructuras u obras que se
construyan queden plomadas adecuadamente.
9.1 Tipos de replanteo
9.1.1 Replanteo para obras puntuales
• Se determinan los puntos o ejes necesarios para desarrollar adecuadamente
el proceso de construcción del proyecto. Según los planos de diseños y los
cálculos del proyecto, se relacionan las coordenadas de esos puntos o ejes.
• Se realiza el cálculo de distancias y ángulos o azimuts a dichos puntos desde
los puntos de amarre (puntos materializados en campo, los cuales tienen
coordenadas conocidas) que se encuentren cerca a los ejes o puntos a localizar.
• Se arma el equipo en el respectivo punto de amarre, se visa al otro punto de
amarre (se coloca en el círculo horizontal el azimut correspondiente, se busca
el azimut a cada punto y se mide la distancia correspondiente). Se repite el
procedimiento para todos y cada uno de los puntos o ejes de construcción.
• Después de localizar los diferentes puntos o ejes de construcción, se debe
verificar en campo que las distancias y los ángulos correspondan, según
el diseño de la construcción y su ubicación, a elementos ya construidos.
Dependiendo de la forma del elemento a construir se pueden desarrollar
varias actividades en campo para comprobar que lo que se está localizando
corresponda a los planos de diseño, como verificar las perpendiculares o
ángulos que deben formar las diferentes líneas de referencia de los puntos
materializados en campo, medir diagonales para construcciones cuadradas
o rectangulares.
• Debido a que en el proceso de construcción es posible que algunos puntos
localizados y materializados se puedan destruir, se recomienda dejar
referencias en campo de dichos puntos por fuera de la zona de trabajo del
proyecto, para poder localizarlos nuevamente de forma rápida. En campo
se deben establecer líneas base o de trazo para los ejes de la construcción y
prolongar estas líneas fuera del área de trabajo colocando puntos para poder
replantear o ubicar cualquier punto de la obra, que en alguna etapa de la
construcción haya sido removido o destruido.
CAPÍTULO 9: LOCALIZACIÓN DE PROYECTOS ( REPLANTEO )
9.1.1.1 Ejercicio: Replanteo de una obra puntual
En la figura 9.1 se presenta el diseño de una bodega, para su construcción es
necesario realizar el replanteo de los ejes de construcción y su proyección (por
medio de estacas materializadas en campo) hacia la parte externa de la zona de
trabajo, para que en caso de que sean destruidos en alguna etapa del proyecto, se
puedan replantear nuevamente.
FIGURA 9.1 Planta de bodega
Como se observa en la figura 9.1, se tienen materializados los deltas relacionados
en la tabla 9.1, desde los cuales se realizará el replanteo.
TABLA 9.1 Deltas materializados en campo
Delta
Norte
Este
D5
2126.908
4927.216
D6
2136.034
5085.147
D7
2023.658
5031.258
183
184
TOPOGRAFÍA
En la tabla 9.2 se presentan las coordenadas de los ejes de construcción, según los
planos de diseño.
TABLA 9.2 Coordenadas de los ejes de construcción
Pto. o Eje
Norte
Este
A1
100140
101180
A2
100140
101220
B2
100110
101220
B3
100110
101250
C2
100080
101220
C3
100080
101250
D1
100050
101180
D2
100050
101220
De acuerdo a la ubicación de los deltas, las características de diseño y las
condiciones de visibilidad, se establece desde cuál delta es más favorable
localizar cada uno de los ejes. Desde el delta 5 se localizará el eje A1, desde el
delta 6 se localizarán los ejes A2, B2 y B3, y desde el delta 7 se localizarán los
ejes C2, C3, D1, D2.
Se calculan las distancias y azimuts respectivos así: desde el delta 2 al eje A1, desde
el delta 3 a los ejes A2, B2, B3 y desde el delta 4 a los ejes C2, C3, D, D2. Tal como
se presenta en la tabla 9.3. Dichas distancias y azimuts se medirán en campo para
localizar los diferentes puntos o elementos de la construcción.
También se pueden ubicar algunos ejes o puntos faltantes midiendo 90 grados
desde algún eje ya replanteado y las distancias respectivas.
TABLA 9.3 Distancias y azimuts calculados
Delta
(punto de control)
Delta o Punto
(intersección de ejes)
D5
D6
A1
D6
D7
Distancia
Azimut
86° 41’34”
54.383
D5
76° 04’12”
266° 41’34”
A2
65.268
273° 29’01”
B2
70.156
248° 13’03”
B3
43.379
233° 28’19”
D6
C2
25°37’11”
57.456
348° 42’01”
185
CAPÍTULO 9: LOCALIZACIÓN DE PROYECTOS ( REPLANTEO )
Delta
(punto de control)
Delta o Punto
(intersección de ejes)
Distancia
Azimut
C3
59.377
18° 23’58”
D1
57.631
297° 11’57”
D2
28.647
336° 51’33”
Para localizar el eje A1 se arma el equipo en D5, se visa a D6, se coloca en el círculo
horizontal del equipo el valor del azimut entre estos dos deltas, que para esta caso
es 86° 41’34”, se gira el circulo horizontal del equipo hasta encontrar el azimut del
D5 al eje A1. El cual es 76° 04’12”, en esa dirección se mide 54.383 metros.
Para localizar los ejes A2, B2, B3 se arma el equipo en D6, se visa a D5, se coloca
el azimut, que es 266°41’34”, y se gira el telescopio hasta encontrar los respectivos
azimuts, se miden cada una de las distancias, según lo relacionado en la tabla 9.3.
Para localizar los ejes C2, C3, D1, D2 se arma el equipo en D7, se visa a D6,
se coloca el azimut, que es 25°37’11”, y se gira el telescopio hasta encontrar los
respectivos azimuts, se miden cada una de las distancias, según lo relacionado en
la tabla 9.3.
9.1.2 Replanteo para obras lineales
• Calcular las coordenadas del eje, bordes y/o chaflanes según el tipo de
proyecto y su abscisado correspondiente.
• Determinar los puntos de amarre (puntos materializados en campo que
tienen coordenadas conocidas) que se van a utilizar para la localización de
cada punto.
• Calcular distancias y ángulos o azimuts a dichos puntos desde los puntos de
amarre que se encuentren cerca a los ejes o puntos a localizar.
• Se arma el equipo en el respectivo punto de amarre, se visa a otro punto
de amarre (se coloca en el círculo horizontal el azimut correspondiente), se
busca el azimut a cada punto y se mide la distancia correspondiente.
• Después de localizar cada punto del eje del proyecto se debe verificar en
campo que la distancia a la abscisa anterior corresponda (si es en recta la
distancia medida debe corresponder la diferencia de abscisas entre los dos
puntos; si es en curva la distancia debe corresponder a la cuerda calculada).
• Debido a que en el proceso de construcción es posible que algunos puntos
localizados y materializados se puedan destruir, se recomienda dejar o
materializar referencias en campo de dichos puntos por fuera de la zona de
trabajo del proyecto, para poder localizarlos nuevamente de forma rápida.
186
TOPOGRAFÍA
9.1.1.1 Ejercicio: Replanteo de una obra puntual
Se tomara como ejemplo un proyecto vial; en la figura 9.2 se presenta un tramo de
la misma, el cual se requiere replantear para su construcción.
FIGURA 9.2 Tramo vial
En la tabla 9.4 se presentan los datos de los puntos de amarre que se materializaron
en el levantamiento topográfico del corredor del proyecto.
TABLA 9.4 Coordenadas punto de amarre
Delta
Norte
Este
GPS-1
623099.457
1046558.144
D2
623173.439
1046500.588
De los cálculos del proyecto se tomaron las coordenadas del eje y de los chaflanes
de los primeros 70 metros, las cuales se relacionan en la tabla 9.5
187
CAPÍTULO 9: LOCALIZACIÓN DE PROYECTOS ( REPLANTEO )
344.2456401
364.8356401
792.8356401
949.5356401
930.4356401
505.3356401
320.2356401
949.1356401
380.1356401
201.401326
981.311326
769.121326
882.221326
280.231326
317.141326
972.151326
869.651326
349.951326
175.861326
410.2456401
488.7356401
409.3356401
557.3356401
676.9256401
388.5256401
466.2256401
199.0256401
813.0256401
940.9156401
etroN
410.201326
221.111326
998.911326
922.021326
953.921326
116.831326
670.841326
994.451326
297.751326
607.761326
etsE
161.7356401
130.3356401
150.9256401
109.8256401
887.4256401
209.0256401
106.7156401
938.5156401
106.3156401
340.3156401
etroN
318.990326
129.801326
996.711326
820.811326
732.721326
717.631326
085.641326
643.351326
155.651326
572.761326
asicsbA
00.000+0
00.010+0
46.910+0
00.020+0
00.030+0
00.040+0
00.050+0
46.650+0
00.060+0
00.070+0
.otP
POB
1-ET
1-CE
916.6456401
etsE
odreiuqzI náflahC
etroN
ejE
etsE
ohcereD náflahC
omar t led senaflahc sol y eje led sa dane drooC 5 .9 ALBAT
188
TOPOGRAFÍA
Según la ubicación y características de los puntos de amarre, las características del
terreno y las condiciones de visibilidad, se ha determinado que desde el GPS-1
se replanteará el eje y chaflanes desde la abscisa K0+000 hasta la abscisa K0+050,
el resto se replantea desde el D2. Los correspondientes cálculos de azimuts y
distancias se presentan en las tablas 9.6 y 9.7.
TABLA 9.6 Datos replanteo desde GPS-1
Del
Punto
Obsv.
Distancia
Azimut
D2
Delta
93.734
322°7´4´´
0+000.00
Chaflán I
20.986
270°58´19´´
0+000.00
Eje
16.331
279°0´28´´
0+000.00
Chaflán D
12.426
291°57´4´´
0+010.00
Chaflán I
26.837
290°38´57´´
0+010.00
Eje
23.378
299°55´54´´
0+010.00
Chaflán D
20.859
311°10´21´´
0+019.64
Chaflán I
34.339
302°5´19´´
0+019.64
Eje
31.709
310°8´29´´
0+019.64
Chaflán D
29.901
318°50´9´´
0+020.00
Chaflán I
34.642
302°25´4´´
0+020.00
Eje
32.036
310°25´15´´
0+020.00
Chaflán D
30.252
318°59´58´´
0+030.00
Chaflán I
43.409
309°47´19´´
0+030.00
Eje
41.286
316°24´26´´
0+030.00
Chaflán D
39.459
325°46´20´´
0+040.00
Chaflán I
52.681
315°0´49´´
0+040.00
Eje
50.733
320°30´47´´
0+040.00
Chaflán D
48.648
330°17´50´´
0+050.00
Chaflán I
62.164
319°17´32´´
0+050.00
Eje
60.188
323°52´46´´
0+050.00
Chaflán D
57.381
334°34´15´´
Gps-1
189
CAPÍTULO 9: LOCALIZACIÓN DE PROYECTOS ( REPLANTEO )
Se arma el equipo en GPS-1, se visa a D2 se coloca en el círculo horizontal el
azimut respectivo 322°7´4´´, se gira el anteojo hasta encontrar cada azimut y se
mide la distancia respectiva según los valores consignados en la tabla 9.6.
TABLA 9.7 Datos replanteo desde D2
Del
D2
Punto
Obsv.
Distancia
Azimut
GPS-1
Delta
93.734
142°7´4´´
0+056.64
Chaflán I
25.225
142°48´2´´
0+056.64
Eje
27.839
132°52´13´´
0+056.64
Chaflán D
35.489
117°39´11´´
0+060.00
Chaflán I
21.320
142°23´2´´
0+060.00
Eje
25.181
128°24´59´´
0+060.00
Chaflán D
34.142
113°17´3´´
0+070.00
Chaflán I
13.897
116°19´51´´
0+070.00
Eje
19.331
107°15´7´´
0+070.00
Chaflán D
30.881
99°4´11´´
Se arma el equipo en D2, se visa a GPS-1, se coloca en el círculo horizontal el
azimut respectivo 142°7´4´´, se gira el anteojo hasta encontrar cada azimut y se
mide la distancia respectiva según los valores consignados en la tabla 9.7.
9.1.3 Control vertical
• Calcular o extraer de las memorias de cálculos del proyecto, las cotas de cada
uno de los puntos o elementos que se han materializado en campo, según el
replanteo horizontal.
• Establecer en campo el punto de amarre vertical (punto materializado en
campo al cual se le conozca su cota “preferiblemente cota geométrica”).
• Armar el nivel de precisión en un sitio desde el cual se pueda realizar (Vista
+) al punto de amarre vertical y (Vista intermedia) a cada punto o eje del
proyecto. La diferencia de nivel entre el punto de amarre vertical y cada
punto será la resta aritmética entre la (Vista +) y la (Vista –). Si las diferencias
de nivel entre el punto de amarre o control vertical y los puntos del proyectos
son muy grandes, se realiza en nivelación compuesta.
• Cerca de cada punto se debe colocar una estaca (estaca testigo) en la cual se
indique el valor que se debe rellenar o cortar sobre el terreno para llegar a la
cota del diseño del proyecto.
190
TOPOGRAFÍA
9.1.3.1 Ejercicio: Control vertical
Se realiza el control vertical del eje del tramo de vía tomado como ejemplo en el
ejercicio de replanteo de obra lineal, como se relaciona en la figura 9.3. Se realizará desde el punto GPS-1 el cual tiene una cota de 768.615.
FIGURA 9.3 Tramo vial para control vertical
Se realiza la nivelación geométrica desde el GPS-1, estableciendo de esta forma
la cota del terreno en cada abscisa, se calcula el valor de la cota de trabajo el cual
será la resta entre el valor de la subrasante para cada abscisa (datos tomados de los
cálculos del proyecto) y el valor de la cota de terreno; tal como se presenta en la
tabla 9.8. Finalmente se coloca una estaca testigo cerca de cada abscisa indicando
el valor que se debe cortar o rellenar en dicho sitio (si la cota de trabajo es negativa
se debe cortar, caso contrario se debe rellenar).
191
CAPÍTULO 9: LOCALIZACIÓN DE PROYECTOS ( REPLANTEO )
935.0-
435.0-
510.0
702.0
251.0
126.1
661.2
589.1
966.967
283.967
173.967
370.967
577.867
774.867
082.867
081.867
288.767
523.077
129.967
509.967
850.967
865.867
523.867
956.667
410.667
798.567
472.0
876.0
496.0
145.1
130.2
472.2
49.3
585.4
207.4
00.010+0
46.910+0
00.020+0
00.030+0
00.040+0
00.050+0
46.650+0
00.060+0
00.070+0
1-SPG
656.0-
489.1
.otP
00.000+0
995.077
+V
471.0
.tsnI .tlA
524.077
516.867
onerret atoC
iV
769.967
etnasarbuS atoC
854.0-
ojabarT atoC
laci trev lor tnoC 8 .9 ALBAT
C A P Í T U L O 10
C Á L CU L O D E Á R E A S
10.1 Definición
E
l concepto del área como medida que define el tamaño de un contorno que
conforma una figura geométrica proviene de la antigüedad. En el antiguo
Egipto, a causa de la crecida anual de río Nilo que inundaba los campos productivos, aflora la necesidad de calcular el área de cada parcela agrícola para restablecer
sus límites; para solucionar esta necesidad, los egipcios inventaron la geometría,
tal como se describe en el libro de Heródoto: Historias volumen II.
La palabra área proviene del latín regio, se refiere a un espacio de tierra comprendido entre ciertos límites, es decir, es la superficie o región comprendida en un
polígono, esta se expresa en unidades de medida superficiales de tres maneras:
• Metros cuadrados (m²): la medida más común del sistema internacional de
medidas.
• Hectárea (ha) o hectómetros cuadrados (hm2): proviene del prefijo hecto-, del
griego ἑκατόν (hekatón) que significa cien. Es una medida equivalente a 100
áreas o a 10 000 m2.
• Fanegada (no tienen abreviatura oficial, puede usarse fa o fg): su nombre
real es Fanega, también recibe en algunos lugares la denominación de
Hanega o Hanegada; proviene del árabe faddãn, que significa lo que un par
de bueyes pueden arar en un día. Es una unidad de medida de la metrología
194
TOPOGRAFÍA
tradicional española, antes de instituirse el Sistema Métrico Decimal;
corresponde a una unidad de superficie agraria que equivale a 10 000 varas
cuadradas, 576 estales cuadrados o 64.596 áreas. En Colombia es muy
utilizada especialmente en los departamentos de Boyacá, Cundinamarca y
Valle del Cauca; equivale a 6 400 m2.
Para mejor entendimiento e interpretación de los planos y cálculos de un
levantamiento topográfico es aconsejable presentar el área con las tres unidades
antes descritas.
FIGURA 10.1 Unidades de área
1 ha
1 fg
1 m
2
1m x 1m
80m x 80m
6400m
2
100m x 100m
10000m
2
10.2 Métodos de cálculo de áreas
El área de un levantamiento topográfico puede determinarse utilizando varias
metodologías de acuerdo con el tipo de levantamiento y las medidas que se
planifican realizar en el terreno; estas metodologías pueden ser:
• División del terreno en figuras geométricas (aplicado especialmente a
levantamiento con cinta).
• Por coordenadas (levantamiento con teodolito y estación total).
• Dibujo asistido por computador.
Cuando se requiere establecer valores de áreas sobre cartografía, mapas o la
cartografía o el plano de un levantamiento, se puede lograr con cualquiera de los
siguientes métodos:
• Conteo de cuadros (malla de puntos, papel milimetrado o cuadriculado).
• Planímetro.
195
CAPÍTULO 10: CÁLCULO DE ÁREAS
10.2.1 Método de las figuras geométricas
Para la utilización de esta metodología es necesario planificar el seccionamiento
del terreno en figuras geométricas conocidas, con el fin de medir en el terreno las
suficientes distancias y ángulos, que permitan determinar el área de cada figura
en la oficina.
La figura más utilizada para determinar el área de un polígono es el triángulo,
método que fue propuesto por primera vez por el griego Antifón hacia el año 430
a. C. El área de figuras curvas presenta mayor dificultad.
La tabla 10.1 presenta un resumen de las fórmulas más comunes para determinar
el área de las principales figuras geométricas:
TABLA 10.1 Cálculo del área por figuras geométricas
Nombre
Definición
Figura
Términos
Fórmula
Polígono de cuatro
lados (cuadrilátero)
Cuadrado
d
A = L²
L
L = Lado
los cuales forman
ángulos de 90°.
d= Diagonal
A = d
cual tiene sus lados
opuestos iguales y
/2
b
Cuadrilátero, el
Paralelogramo
2
L
b= Base
a
a= Altura
A = b*a
paralelos.
Paralelogramo, cuyos
b
cuatro lados forman
Rectángulo
b= Base
ángulos rectos.
h
h= Altura
A = b*h
Cuadrilátero, el cual
D= Base
sus dos diagonales
Rombo
d D
se cruzan en ángulo
de 90°.
Cuadrilátero, que
paralelos y los otros
A = (D * d)/2
Menor
b
B= Base
tiene dos de sus lados
Trapecio
Mayor
d= Base
Mayor
h
dos lados no.
b= Base
Menor
A = ((B + b)/
2) * h
h= Altura
B
Lugar geométrico
donde todos los puntos que conforman
Círculo
esta figura, equidistan
de un punto llamado
centro.
r
r= Radio
A= Π * r²
196
TOPOGRAFÍA
Nombre
Definición
Figura
Términos
Fórmula
b= Base
h= Altura
A = (b * h) / 2
β = Ángulo
b, c =Lados
A = (b * b *
Senβ) / 2
Porción del plano
limitada por tres
segmentos de recta.
Cuando se conoce la
base y altura.
h
b
Cuando se conocen
dos lados y el ángulo
que forman.
Triángulo
c
b
b
Cuando se conocen
S = (a + b +
c) / 2
los tres lados.
a
b
a, b, c = Lados
A = √(S(S – a)
(S – b)(S – c))
c
Lo primero es delimitar el terreno con un polígono para poderlo dividir, la figura
10.2 presenta un polígono sobre un terreno que va a ser levantado. Cuando el
terreno presenta alineamientos que no son uniformes, se traza el alineamiento
adaptándolo al lindero del terreno, tratando de compensar el área que se excluye
con la que se incluye. El polígono que demarca el terreno se divide en figuras
geométricas conocidas, regularmente triángulos y rectángulos, ya que con otras
figuras no se tiene la certeza de tener los ángulos rectos.
FIGURA 10.2 Área a levantar
Fuente
n
íu
q
o
d
a
n
e
o
Zona
n
im
verde
Zona
r
a
C
verde
197
CAPÍTULO 10: CÁLCULO DE ÁREAS
La figura 10.3 presenta el polígono seccionado en figuras geométricas. La tabla
10.2 consigna el cálculo del área de cada figura y el área total del polígono, que
corresponde a la suma de las áreas de todas las figuras geométricas.
FIGURA 10.3 División del terreno en figuras geométricas
1
3
4
2
TABLA 10.2 División en figuras geométricas
No.
Figura
Elementos
No.
b1 = base 1
b2 = base 2,
h = altura
3
Figura
Elementos
b1
1
h
r = radio
r
b
b1
2
h
b1 = base 1
b = base 2,
h = altura
h
b
4
b = base,
h = altura
b
Con este planeamiento se toman las medidas en el terreno, los radios y las cuerdas
para establecer los ángulos en los deltas; las figuras 10.4 a y 10.4 b presentan la
cartera de campo. Realizando los cálculos de acuerdo con el procedimiento del
capítulo 2. Levantamiento con cinta, se determinan los elementos de las figuras
geométricas, los resultados se presentan en la tabla 10.3.
198
TOPOGRAFÍA
FIGURA 10.4 A Cartera de campo: Levantamiento con cinta
CAPÍTULO 10: CÁLCULO DE ÁREAS
FIGURA 10.4 B Cartera de campo: Levantamiento con cinta
199
200
TOPOGRAFÍA
TABLA 10.3 División en figuras geométricas
No.
1
Figura
Elementos
b1
b1 = 28.862
b
h= 10.796
b1
b1 = 42.689
A = (b1 + b2) * (h / 2)
376.062
A = (b1 + b2) * (h / 2)
439.395
A = π * r2
34.212
A =b*h
136.607
Área del polígono
Área de la fuente
Área del camino
Área de la zona verde
815.457 m2
34.212 m 2
136.607 m2
644.639 m2
b2 = 28.862
h
h= 12.282
b
3
Resultado
b2 = 40.805
h
2
Fórmula
r = 3.30
r
h
b= 29.065
b
4
h= 4.7
10.2.2 Método de las coordenadas
Esta metodologíapermite determinar el área de un polígono cualquiera empleando
las coordenadas norte y este de los vértices del polígono, para lo cual se utiliza
cualquiera de los dos procedimientos siguientes:
• El área de un polígono es igual a un medio del valor absoluto de la resta
de la sumatoria del producto de norte- i por este-i+1, menos la sumatoria del
producto de este-i por norte- i+1:
n
A=
*
n
∑(N * E ) + ∑(E * N )
i=1
i
i+1
i=1
i
i+1
201
CAPÍTULO 10: CÁLCULO DE ÁREAS
• El área de un polígono es igual a un medio del valor absoluto de la sumatoria
del producto entre de la resta de la norte- i menos la norte- i+1, por la suma de
este-i menos este- i+1:
n
A=
*
n
∑[(N - N ) + ∑(E + N )]
i=1
i
i+1
i =1
i
i+1
Donde:
»
A
=
área del polígono.
N
»
E
=
=
coordenada norte.
coordenada este.
n
=
número de vértices del polígono del área.
»
»
Para aplicar cualquiera de los métodos basta con numerar los vértices del polígono, preferiblemente en sentido horario, y organizar las coordenadas de estos
puntos en dos columnas, repetir el primer vértice y efectuar la operación.
Ejemplo práctico
La figura 10.5 presenta la imagen de una edificación que fue levantada por
una poligonal cerrada y de la cual se calcularon las coordenadas de sus linderos, los cuales corresponden a los puntos señalados en la imagen (tabla
10.4); se desea determinar el área construida.
FIGURA 10.5 Coordenadas de la edificación - Numeración de puntos
202
TOPOGRAFÍA
TABLA 10.4 Coordenadas de los puntos
Punto
Norte
Este
Punto
Norte
Este
1
2809.361
3081.690
14
2902.944
3134.685
2
2798.610
3052.112
15
2900.139
3135.504
3
2877.017
3023.612
16
2893.534
3113.587
4
2900.456
3088.093
17
2891.144
3114.455
5
2905.838
3086.137
18
2886.310
3112.196
6
2914.622
3110.301
19
2882.699
3102.261
7
2909.239
3112.258
20
2884.954
3097.425
8
2932.045
3174.999
21
2887.344
3096.556
9
2853.638
3203.499
22
2879.652
3075.394
10
2842.217
3172.079
23
2880.876
3074.949
11
2856.750
3166.796
24
2869.917
3044.800
12
2862.911
3183.745
25
2819.104
3063.270
13
2913.711
3165.280
26
2823.881
3076.412
1
2809.361
3081.690
• Empleando el primer método se obtiene:
A = ½ * |∑ [(N1 * E2) + (N2 * E3) +.. + (N27 * E1)] - ∑ [(E1 * N2)
+ (E2 * N3) +...+ (E 27 * N1 )]|
A = ½ * |∑ [(2809.361 * 3052.112) + (2798.610 * 3023.612) +...+
(2823.881 * 3081.690)] - ∑ [(3081.690 * 2798.610) + (3052.112
* 2877.017) +...+ (3076.412 * 2809.361)]|
A = ½ * |241 242 360.624 – 241 231 638.037| = 5 361.294 m 2
A = 0.838 fa
A = 0.536 ha
La tabla 10.5 presenta los cálculos de este método.
TABLA 10.5 Cálculos discriminados del primer método
(Ni * Ei+1)
(Ei * Ei+1)
3052.112
8 574 485.544
8 624 446.743
2877.017
3023.612
8 461 910.477
8 780 979.566
2900.456
3088.093
8 884 497.230
8 769 852.055
Punto
Norte
Este
1
2809.361
3081.690
2
2798.610
3
4
203
CAPÍTULO 10: CÁLCULO DE ÁREAS
Punto
Norte
Este
(Ni * Ei+1)
(Ei * Ei+1)
5
2905.838
3086.137
8 951 202.165
8 973 499.785
6
2914.622
3110.301
9 038 031.770
8 994 921.304
7
2909.239
3112.258
9 071 053.848
9 048 608.971
8
2932.045
3174.999
9 236 830.625
9 125 279.335
9
2853.638
3203.499
9 392 804.105
9 060 297.193
10
2842.217
3172.079
9 051 964.285
9 105 039.529
11
2856.750
3166.796
9 000 720.509
9 061 837.064
12
2862.911
3183.745
9 095 165.055
9 066 255.450
13
2913.711
3165.280
9 061 915.849
9 276 511.819
14
2902.944
3134.685
9 133 563.433
9 188 630.242
15
2900.139
3135.504
9 102 190.445
9 091 019.494
16
2893.534
3113.587
9 029 832.082
9 072 687.239
17
2891.144
3114.455
9 011 783.837
9 001 826.617
18
2886.310
3112.196
8 997 805.614
8 989 285.011
19
2882.699
3102.261
8 954 088.765
8 971 524.366
20
2884.954
3097.425
8 928 945.456
8 949 879.617
21
2887.344
3096.556
8 933 421.245
8 943 332.067
22
2879.652
3075.394
8 879 719.836
8 917 003.304
23
2880.876
3074.949
8 854 781.232
8 859 827.574
24
2869.917
3044.800
8 771 689.483
8 824 847.220
25
2819.104
3063.270
8 791 328.888
8 583 607.949
26
2823.881
3076.412
8 672 725.196
8 650 309.740
27
2809.361
3081.690
8 702 325.351
8 642 750.488
1
2809.361
3081.690
8 657 578.295
8 657 578.295
∑
241 242 360.624
241 231 638.037
5 361.294
m2
0.838
fa
0.536
ha
Área
• Empleando el segundo método se obtiene:
A = ½ * |∑ [(N 1 – N2) * (E1 + E2) + (N2 – N3) * (E2 + E3) +...+ (N27 –
N1) * (E 27 + E1)]|
204
TOPOGRAFÍA
A = ½ * |∑ [(2809.361 – 2798.610) * (3081.690 + 3052.112) +
(2798.110 – 2877.017) * (3052.112 + 3023.612) +...+ (2823.881
– 3809.361) * (3076.412 + 3081.690)]|
A = ½ * |10 722.587| = 5 361.294 m2
A = 0.838 fa A = 0.536 ha
La tabla 10.6 presenta los cálculos de este método.
TABLA 10.6 Cálculos discriminados del segundo método
Punto
Norte
Este
1
2809.361
3081.690
2
2798.610
3052.112
10.751
6 133.802
65945.118
3
2877.017
3023.612
-78.407
6 075.724
-476380.538
4
2900.456
3088.093
-23.438
6 111.705
-143248.594
5
2905.838
3086.137
-5.383
6 174.230
-33234.645
6
2914.622
3110.301
-8.784
6 196.438
-54426.411
7
2909.239
3112.258
5.383
6 222.559
33494.788
8
2932.045
3174.999
-22.806
6 287.257
-143387.172
9
2853.638
3203.499
78.407
6 378.498
500119.546
10
2842.217
3172.079
11.421
6 375.578
72816.115
11
2856.750
3166.796
-14.534
6 338.875
-92126.035
12
2862.911
3183.745
-6.161
6 350.541
-39125.049
13
2913.711
3165.280
-50.799
6 349.025
-322526.041
14
2902.944
3134.685
10.767
6 299.965
67829.830
15
2900.139
3135.504
2.805
6 270.188
17589.759
16
2893.534
3113.587
6.604
6 249.090
41269.615
17
2891.144
3114.455
2.390
6 228.042
14888.134
18
2886.310
3112.196
4.834
6 226.651
30096.518
19
2882.699
3102.261
3.611
6 214.457
22441.025
20
2884.954
3097.425
-2.254
6 199.686
-13975.953
21
2887.344
3096.556
-2.390
6 193.982
-14806.093
22
2879.652
3075.394
7.692
6 171.950
47477.109
23
2880.876
3074.949
-1.224
6 150.343
-7529.249
24
2869.917
3044.800
10.959
6 119.748
67066.323
25
2819.104
3063.270
50.812
6 108.069
310365.655
(N – N
i
i+1
)
(E
i
–E
i+1
)
(N – N
i
i+1
) * (E – E
i
i+1
)
205
CAPÍTULO 10: CÁLCULO DE ÁREAS
Punto
Norte
Este
26
2823.881
3076.412
-4.777
6 139.681
-29328.643
1
2809.361
3081.690
14.520
6 158.101
89417.474
(N – N
i
i+1
)
(E – E
i
i+1
)
∑
Área
(N – N
i
i+1
) * (E – E
i
i+1
)
10 722.587
2
5 361.294
m
0.838
fa
0.536
ha
Independiente del método que se emplee el resultado debe ser el mismo.
10.2.3 Método de la herramienta CAD
Con la aparición de las herramientas computacionales de dibujo, se encontró un
método muy aproximado para la determinación de las áreas de un levantamiento
topográfico o parte de este; toda vez que en una plataforma CAD el dibujo se
realiza en el modelo (model) a escala 1:1, representando la realidad, y se escala en
el plano (Layout) para su impresión y presentación.
Existen diversos procedimientos para determinar un área en CAD, se indican
algunos de ellos:
• Comando AREA, por object:
El procedimiento consiste en realizar sobre el dibujo una poligonal que
una los puntos que encierran el área que se desea determinar, la figura
10.6 presenta la poligonal que une los puntos de la figura 10.5 en la
plataforma CAD.
FIGURA 10.6 Poligonal que une los puntos de la edificación de la figura 10.5
206
TOPOGRAFÍA
Posteriormente se digita el comando AREA en la barra de comandos de
AutoCAD, tal como se presenta en la figura 10.7, se selecciona la opción
Object y se pica sobre cualquier punto de la poligonal (figura 10.8).
FIGURA 10.7 Comado AREA en la barra de comandos
FIGURA 10.8 Comando AREA, opción Object, selección del polígono
En ese momento en la barra de comandos de AutoCAD se presenta el área y
el perímetro del polígono seleccionado, que para el ejemplo corresponden a
5361.287 m2 y 715.810 m, respectivamente (figura 10.9).
CAPÍTULO 10: CÁLCULO DE ÁREAS
FIGURA 10.9 Área del polígono
• Comando AREA:
Teniendo los puntos que conforman los vértices del polígono, se digita el
comando AREA y se van seleccionando los puntos, preferiblemente en
sentido horario, como lo presenta la figura 10.10. Al seleccionar el último
punto se da Enter y se obtiene el valor del área y el perímetro del polígono,
como se observa en la figura 10.11.
FIGURA 10.10 Selección de puntos del polígono bajo el comando AREA
207
208
TOPOGRAFÍA
FIGURA 10.11 Área del polígono
• Comando LIST:
El procedimiento consiste en realizar sobre el dibujo una poligonal que una los
puntos que encierran el área que se desea determinar, la figura 10.6 presenta la
poligonal que une los puntos de la figura 10.5 en la plataforma CAD.
Posteriormente se digita el comando LIST en la barra de comandos de AutoCAD,
tal como se presenta en la figura 10.12, se selecciona el objeto o poligonal y se da
Enter, en ese momento se despliega una ventana de texto auxiliar que presenta
el área, el perímetro y las coordenadas de los vértices del polígono como se presenta en la figura 10.13. Si son muchos los vértices del polígono, con el comando
Enter se van desplegando las diferentes páginas de la ventana auxiliar de texto.
FIGURA 10.12 Comando LIST
CAPÍTULO 10: CÁLCULO DE ÁREAS
FIGURA 10.13 Área de la poligonal con el comando LIST
10.2.4 Método gráfico del planímetro
Cuando se deseaba medir áreas sobre un plano o cartografía, una de las
herramientas más utilizada fue el planímetro. Este puede ser polar o rodante, la
figura 10.14 presenta un planímetro rodante.
209
210
TOPOGRAFÍA
FIGURA 10.14 Planímetro rodante
Los planímetros polares disponen de un punto fijo, lo que genera que la superficie,
a la que se le quiera determinar el área, este limitada por el tamaño del brazo del
instrumento, cuando la superficie sea más grande habrá que dividirla en partes,
determinarlas por separado y al finalizar sumarlas todas; con el planímetro
rodante no se presenta esta limitante.
El planímetro da la opción de manejar tanto el sistema internacional de unidades
como el sistema anglosajón. Por lo que se pueden establecer áreas en m², cm²,
km², para el caso en Colombia.
Al iniciar la medición se debe evitar que los brazos del planímetro queden
formando ángulos próximos a 0° o 180 °, se recomienda iniciar con un ángulo
cercano a los 90 ° (figura 10.15), marcar el punto de inicio, sobre el borde del
polígono y realizar el recorrido en el sentido de las manecillas del reloj (Figura
10.16), hasta cerrar en el punto de inicio.
FIGURA 10.15 Ubicación de los brazos del planímetro
CAPÍTULO 10: CÁLCULO DE ÁREAS
FIGURA 10.16 Recorrido para el cálculo del área por planímetro polar
Los planímetros electrónicos permiten ingresar la escala del plano, para que
el equipo directamente arroje el área; los más antiguos o mecánicos tienen la
necesidad de determinar el factor de escala, para lo cual sobre la cartografía se
mide un decímetro cuadrado varias veces y se estable el factor de escala que
convierte la lectura del planímetro en la escala correspondiente. Como se indicó,
se realiza una marca en la cartografía y con el brazo del visor se recorre en sentido
horario el borde del polígono; la lectura del área debe realizarse al menos en tres
ocasiones para promediar el valor. La figura 10.17 y la tabla 10.7 presentan un
ejemplo.
TABLA 10.7 Cálculo del área por planímetro rodante
Observación
Área
1
61 383.2
2
61 384.1
3
61 383.7
Promedio
61 383.7
2
Área m
61 383.7
Área (ha)
6.14
Área (fa)
9.59
211
212
TOPOGRAFÍA
FIGURA 10.17 Cálculo del área por planímetro rodante
Hoy en día la manera más empleada para determinar el área de una cartografía,
por su sencillez y rapidez, consiste en escanear la cartografía o la parte que de ella
se necesita, insertarla en un dibujo de la plataforma CAD, escalarla y referenciarla,
para luego determinar su área con el método antes descrito.
10.2.5 Método gráfico de la malla de puntos
En este método se elabora, sobre un papel transparente, una malla de puntos
ortogonales equidistantes entre sí. Se ubica el papel transparente sobre el área a
medir y se contabilizan los puntos que se ubican dentro de esta, conociendo el
área aferente a cada punto y de acuerdo con la escala del mapa se calcula el área.
Se recomienda que los puntos estén separados de 0.5 a 1.0 cm (ver figura 10.18).
FIGURA 10.18 Malla de puntos
213
CAPÍTULO 10: CÁLCULO DE ÁREAS
La plantilla se coloca sobre el mapa y se contabilizan los puntos que están dentro
del área, si se encuentran puntos en el límite del área se contabiliza como medio
punto. La figura 10.19 presenta un ejemplo en el que se tiene la cartografía a escala
1:1000 de la plaza Real de Tunja, sobre ella se delimita el área a medir y se coloca
el papel transparente con la malla de puntos.
Se procede a contabilizar los puntos dentro del área, con la recomendación antes
indicada:
• Puntos completos:
118
• Medios puntos:
• Área afrente del punto
15
1 cm2
De acuerdo a la escala 1 cm es igual a 10 m, por lo tanto el área aferente a un
punto es 100 m2
Total área: 118 x 100 + 15 x 0.5 x 100 = 12 550 m 2, 1.96 fa, 1.26 ha
TABLA 10.8 Cálculo del área por malla de puntos
Elemento y fórmula
Resultado
Espaciamiento (d)
10 m²
Área entre puntos (Ap = d²)
100 m²
Número de Puntos
125.5
Área (Af = N*Ap)
12 550 m²
1.225 ha
1.96 fa
FIGURA 10.19 Área por malla de puntos
214
TOPOGRAFÍA
El procedimiento de la medición de puntos se repite por lo menos tres veces
rotando la malla de puntos sobre el área de la figura y, finalmente, se promedian
los puntos o los valores de las áreas.
FIGURA 10.20 Conteo de puntos en el área
FIGURA 10.21 Diferentes ubicaciones de la malla sobre el área
10.2.6 Método gráfico del papel milimetrado
En esta metodología se emplea un papel milimetrado transparente o se debe
dibujar a escala sobre un papel bond milimetrado. El método se basa en contar el
número de cuadros, de 1mm x 1mm o 5 mm x 5 mm o 1cm x 1cm, de acuerdo a la
CAPÍTULO 10: CÁLCULO DE ÁREAS
precisión que se quiera lograr, a menor tamaño del cuadro mejor será la precisión
del área a determinar.
FIGURA 10.22 Área con papel milimetrado
De manera análoga al método de la malla de puntos, se debe ubicar el papel
milimetrado o dibujar el área sobre éste en tres posiciones diferentes (figura 10.23);
en cada una de ellas se contara el número de cuadros. Se procede a contar los cuadros
completos que están dentro de la figura de área y los cuadros incompletos se cuentan
como medio cuadro; por aproximación los cuadros incompletos que sean menores
que medio cuadro se pueden compensar para completar cuadros completos.
FIGURA 10.23 Posiciones diferentes para el conteo de puntos
215
216
TOPOGRAFÍA
Para el ejemplo de la figura 10.23, se cuentan los cuadros de 1 por 1 milímetros
y se ajustan con respecto a la escala del dibujo, que para este caso es 1:2000; la
tabla 10.19 presenta los cuadros determinados por cada posición; con lo que se
determina el área.
• Promedio de cuadros:
• Área de cada cuadro:
1507
1 mm2
• Escala:
1:2000
De acuerdo a la escala 1 mm es igual a 2 m, por lo tanto el área aferente a un punto
es 4 m2.
Total área: 1507 x 4 = 6028 m2, 0.942 fa, 0.603 ha
TABLA 10.9 Número de cuadros
OBSERVACIONES
N
1
1508
2
1501
3
1512
Promedio
1507
C A P Í T U L O 11
A L T IME T R Í A CO N CE P T O S
GENER ALES
11.1 Altimetría
L
a altimetría (también llamada hipsometría) es el área de la Topografía que
calcula la coordenada vertical (cota o altura) de los puntos en el terreno o de
una construcción con respecto a una superficie de referencia o un plano de comparación. Para calcular las cotas de los puntos se utilizará un método topográfico
denominado Nivelación.
Con la altimetría se consigue representar el relieve del terreno. Otras aplicaciones
muy comunes son:
1. En proyectos de infraestructura vial y proyectos lineales de drenaje como
acueductos y alcantarillados, en los cuales es necesario conocer las diferentes
alturas de los puntos para determinar pendientes.
2. Para la localización de obras civiles que necesitan una cota o altura planteada,
como tanques de almacenamiento para acueductos por gravedad.
3. En el cálculo de movimientos de tierra.
4. Para la determinación y cálculos de obras de drenaje y determinación de
dirección de la escorrentía.
5. La elaboración de mapas o planos donde representen el terreno.
218
TOPOGRAFÍA
En general para cualquier obra de infraestructura es necesario conocer, además
de la posición de los puntos, la altura o cota, ya que gran parte del cálculo del
costo de la obra depende de este componente, como el movimiento de material o
las dimensiones reales del material, entre otros.
11.2 Altura o cota
La altura es la distancia vertical referida a un origen determinado, considerado
como nivel cero, para el que se suele tomar el nivel medio del mar. En geografía,
la altitud es la distancia vertical de un punto de la Tierra respecto al nivel del
mar, llamada también elevación sobre el nivel medio del mar. La altura, también,
indica la distancia vertical existente entre dos puntos de la superficie terrestre y
el nivel de vuelo, que es la altitud según la presión estándar medida mediante un
altímetro.
La cota es una distancia vertical medida con base en un plano de referencia
arbitrario. En arquitectura es muy utilizada, ya que se toma como plano de
referencia la placa del primer piso, con lo cual es más fácil la interpretación de los
planos, ver figura 11.1.
FIGURA 11.1 Cota o altura
a ru tl A
a toC
Plano
arbitrario
mnmm
Según la organización internacional Permanent Service for Mean Sea Level el nivel
medio del mar (Mean Sea Level, MSL) se define como el nivel promedio de las
aguas tranquilas del mar durante un periodo determinado de tiempo (meses,
años), de tal forma que los efectos provocados periódicamente por mareas y por
otras causas frecuentes como las olas queden compensados.
Para determinar el nivel medio del mar se utilizan aparatos especiales denominados
mareógrafos, que miden el nivel de forma instantánea y continua en un punto
específico de la costa.
CAPÍTULO 11: A LTIMETRÍA CONCEPTOS GENERALES
El nivel medio del mar se toma como cero altimétrico, al cual se referencia la
red de nivelación nacional. En Colombia el Datum está ubicado en un mojón en
Buenaventura y tiene una altura de 0.000 m.
A partir del Datum se ha densificado una red de puntos de altura conocida
por los principales corredores viales del país, materializados en incrustaciones
horizontales o mojones. La entidad encargada de realizar este trabajo es el Instituto
Geográfico Agustín Codazzi (IGAC).
11.3 Tipos de nivelación
La nivelación es el término que engloba los procedimientos para determinar las
alturas o cotas de puntos, a partir de un punto de referencia, o las diferencias
existentes entre ellos. Existen varios tipos de nivelación de acuerdo al método y al
equipo utilizado, como se relaciona en la tabla 11.1.
TABLA 11.1 Tipos de nivelación
Métodos
1
2
Metodología
Equipo
Cinta
Cinta métrica
Geométrica
Nivel y mira
Trigonométrica
Teodolito y mira
Barométrica
Barómetro
Directos
Indirectos
Nivelación con cinta: determina la distancia vertical directamente con una cinta
métrica. En este procedimiento se debe garantizar la verticalidad del instrumento.
Se utiliza para determinar profundidades de pozos o en medición de distancias
en construcciones.
Nivelación barométrica : se fundamenta en la relación entre la altura y la presión
atmosférica. A mayor altura menor es la presión, una pulgada de mercurio
corresponde a 1000 pies de elevación. Este método consiste en determinar la
distancia vertical a partir de la comparación de las alturas dadas por un altímetro,
su apreciación es de 10 m, por lo cual no se considera una nivelación topográfica.
Nivelación geométrica: se determina la distancia vertical directamente, a través
de la medición de alturas desde un nivel de precisión y sobre una regla llamada
mira. La nivelación geométrica ofrece precisiones milimétricas y es la más
utilizada en trabajos topográficos en proyectos de ingeniería.
Nivelación trigonométrica: determina la distancia vertical entre dos puntos con
base en el ángulo vertical y la distancia horizontal o inclinada; el ángulo puede ser
de elevación o depresión, dependiendo de la posición del punto observado, arriba
219
220
TOPOGRAFÍA
o abajo del plano horizontal. La precisión de esta nivelación es centimétrica y es
utilizada en estudios de prefactibilidad.
La nivelación geométrica y la trigonométrica son las más utilizadas por lo cual se
desarrollaran al detalle más adelante.
11.4 Equipos empleados en nivelación
11.4.1 Teodolito
El teodolito es un instrumento de medición mecánico-óptico universal, es un
telescopio montado sobre un trípode y con dos círculos graduados, uno vertical y
otro horizontal, con los que se miden los ángulos verticales y horizontales, el cual
tiene una precisión elevada. Con herramientas auxiliares puede medir distancias
y desniveles.
FIGURA 11.2 Teodolito
En la actualidad se utiliza la estación total que es una versión mejorada de un
teodolito que, además de medir ángulos verticales y horizontales, permite la
medición remota de distancias, facilitando los procedimientos.
11.4.2 Nivel
El nivel topográfico es un instrumento utilizado para la medición de desniveles
entre puntos que se hallan a distintas alturas o el traslado de cotas de un punto
conocido a otro desconocido, pueden ser manuales o automáticos.
El nivel consta de un anteojo similar al del teodolito con un retículo estadimétrico,
para apuntar, y un nivel de burbuja, que permite mantener la horizontalidad
CAPÍTULO 11: A LTIMETRÍA CONCEPTOS GENERALES
del eje óptico del anteojo. Ambos están unidos de manera que si el nivel está
desnivelado, el eje del anteojo no mantiene una perfecta horizontalidad, pero al
nivelar el primero, el eje óptico también se horizontaliza.
FIGURA 11.3 Nivel
11.4.3 Mira
Es una regla graduada en metros, decímetros y centímetros fabricada en madera
o metal. Tiene una altura de 4 o 5 metros, constituida por tramos plegables para
facilitar el transporte y almacenamiento.
FIGURA 11.4 Mira
En este momento se esta ulilizando el nivel electrónico acampañado de mira con
código de barras para no leer el equipo sino que este realiza la lectura.
221
222
TOPOGRAFÍA
11.4.4 Nivel de mano (nivel Locke)
Nivel pequeño tubular sujeto a un ocular de unos 12 cm, a través del cual se puede
observar simultáneamente el reflejo de la burbuja del nivel y la señal de la mira u
objetivo que se esté visando.
FIGURA 11.5 Nivel Locke
11.4.5 Nivel Abney
El Abney es un nivel tubular sujeto a un nonio graduado, con el cual es posible
poner un grado de inclinación para trazar pendientes tanto en porcentaje como
en ángulo. Al igual que el nivel Locke, la imagen de la burbuja se refleja por un
prisma sobre el campo visual del ocular.
FIGURA 11.6 Nivel Abney
11.4.6 Altímetro
Un altímetro es un instrumento de mediciónque indica la diferencia de altitud entre
el punto donde se encuentra localizado y un punto de referencia; habitualmente
se utiliza para conocer la altura sobre el nivel del mar. Su funcionamiento está
basado en la relación entre presión y altitud.
223
CAPÍTULO 11: A LTIMETRÍA CONCEPTOS GENERALES
FIGURA 11.7 Altímetro
11.4.7 Equipo menor y materiales
Las comisiones de topografía deben contar con un equipo menor compuesto por:
plomadas, maceta, machete, cinta, estacas, puntillas, pintura, plásticos. Equipo
que fue descrito en los conceptos básicos de planimetría.
11.5 Precisión en altimetría
Cuando se repite un proceso o se automatiza, se puede producir un aumento de la
precisión, esto se debe a que con dicha automatización se disminuyen los errores
manuales o su corrección inmediata. La precisión se refiere a la dispersión del
conjunto de valores obtenidos de mediciones repetidas de una magnitud. Cuanto
menor es la dispersión mayor la precisión.
11.5.1 Error permitido en nivelación
Para todos los trabajos topográficos de nivelación es necesario establecer un
margen de error o error permitido que permita tener un rango de precisión de los
levantamientos altimétricos.
Estos estándares los han desarrollado diferentes entidades e institutos de
investigación en topografía, para levantamientos de poca precisión se utiliza:
(11.1)
Donde:
• c = Error de cierre permitido en mm.
• n = Número de armadas del equipo.
Cuando se realizan traslados o circuitos de nivelación donde se determina la
distancia nivelada, la Federal Geodetic Control Subcommittee (FGCS) estableció
la siguiente fórmula:
(11.2)
224
TOPOGRAFÍA
Donde:
• c = Error de cierre permitido en mm.
• m = Una constante.
• K = La distancia nivelada en kilómetros.
Esta constante está dada de acuerdo a la clase de nivelación, según se describe en
la tabla 11.2.
TABLA 11.2 Constante por clase de nivelación
Clase
Orden
M
I
1
4
I
2
6
I
3
12
II
1
5
II
2
8
II
3
12
Para estudios topográficos se trabaja con una m de 12, que corresponde a una
nivelación geodésica de tercer orden, según la tabla 11.2: nivelación de clase I de
tercer orden.
De igual manera, con base en esta formulación se han establecido unos parámetros
que reúnen, adicional a la clase de nivelación, la longitud máxima de las visuales y
la apreciación de la lectura. Tal y como se aprecia en la tabla 11.3.
TABLA 11.3 Errores permitidos por clase de nivelación
Clase
de nivelación
Long.
Máxima Visual (M)
Aproximación
de la Lectura (Mm)
Constante
Poca precisión
300
50
95
Ordinaria
150
5
24
Precisión
100
1
12
100
0.1
8
100
0.01
4
Geodésica
de 2do. orden
Geodésica
de 1er. orden
Cuando se trabaja con circuitos de nivelación, donde la nivelación y contra nivelación
se realizan por los mismos cambios, se ha establecido como error máximo permitido
3 mm, para el chequeo de comparaciones entre los dos recorridos.
C A P Í T U L O 12
NIVEL ACIÓN
GEOMÉTRICA O
DIFERENCIAL
C
onsiste en la determinación de cotas o diferencias de nivel mediante la medición directa en campo de distancias verticales, este tipo de nivelación es la
más recomendada para el desarrollo o levantamientos altimétricos y para realizar
controles en obras civiles por el alto grado de precisión que brinda.
La nivelación geométrica o diferencial tiene varias aplicaciones en el diseño,
construcción, control y operación de diferentes proyectos de ingeniería, se usa
principalmente para nivelación de ejes o perfiles longitudinales, secciones o
perfiles transversales, control e instalación de tuberías, control e instalación
infraestructuras de obras civiles en general.
Cuando se realiza una nivelación geométrica se puede presentar que los puntos
o detalles a nivelar estén alineados, entonces tomara el nombre de nivelación
geométrica longitudinal; o que los puntos estén ubicados en diferentes direcciones
y se denominará nivelación geométrica radial.
Los resultados de cualquier tipo de nivelación será la determinación de cotas o
alturas sobre el nivel del mar, con lo que se pueden calcular las diferencias de nivel
entre dos o más puntos específicos.
226
TOPOGRAFÍA
12.1 Equipos para nivelación geométrica
Para el desarrollo de una nivelación geométrica se necesitan básicamente dos
equipos el nivel de precisión y la mira topográfica, dichos elementos se describieron
detalladamente en el capítulo 11. Altimetría conceptos generales del presente texto,
con el propósito de recordar esos conceptos a continuación se presenta una breve
descripción:
Nivel de precisión: equipo que presenta o permite tomar visuales horizontales,
con enfoque de anteojo según la respectiva distancia.
Mira topográfica : regletas demarcadas con distanciamientos de un centímetro
o de un milímetro, es de anotar que las lecturas o mediciones se deben realizar
siempre al milímetro, es decir, si la mira esta demarcada al centímetro, el lector
o profesional de campo según su apreciación debe aproximar las lecturas al
milímetro, para lo cual se recomienda realizar lecturas de los tres hilos o retículos
que presenta el equipo como son: lectura en el hilo superior (Ls), lectura en el hilo
medio (Lm) y lectura en el hilo inferior (Li). Los cálculos se deben realizar con
la lectura del hilo medio, pero para cada punto tomado es imperativo realizar la
comprobación de que el promedio de las lecturas de hilo superior e hilo inferior
se iguala a la lectura del hilo medio + ó - un milímetro.
Es importante anotar que se ha observado que cuando el profesional de campo
ha adquirido bastante experiencia en nivelaciones geométricas, tiende a realizar
únicamente la lectura del hilo medio; con lo cual se presenta ahorro en tiempo de
ejecución, pero se puede perder la precisión del levantamiento altimétrico.
12.2 Errores en nivelación geométrica
Básicamente se pueden presentar tres tipos o fuentes de error en el proceso de
ejecución de las nivelaciones geométricas:
Personales: errores que se cometen por procedimientos inadecuados del personal
que toma la información en campo, entre los cuales se pueden presentar: lecturas
erróneas de mira, enfoque defectuoso al antojo del equipo, error en la verticalidad
de la mira, movimientos inadecuados en la mira o trípode en la toma de datos.
Para minimizar este tipo de errores se debe brindar una adecuada capacitación al
personal de comisión de campo, lo mismo que el director o coordinador de dicha
comisión debe verificar un adecuado desarrollo de los procesos necesarios.
Naturales: errores que se presentan por características de la naturaleza, medio
ambiente, clima, lluvias y/o características del terreno donde se desarrolla el
proyecto; tales como: la curvatura terrestre, cambios de temperatura que puedan
generar fenómenos de reverberación de aire y/o dilatación de elementos de los
equipos utilizados, movimientos en la superficie terrestre que puedan generar
asentamientos u otro tipo de variaciones de nivel.
CAPÍTULO 12: NIVELACIÓN GEOMÉTRICA O DIFERENCIAL
Instrumentales: descalibración de equipo (nivel y/o trípode), desgastes en la mira
que dificulten la realización adecuada de las lecturas, para minimizar este tipo
de errores periódicamente se deben realizar mantenimientos y calibraciones de
todos los equipos así como comprobaciones en campo del buen funcionamiento
de los mismos.
En términos generales para minimizar la posibilidad de cometer errores en los
procesos de nivelación geométrica se recomienda:
• Antes de realizar cada lectura se debe comprobar que la burbuja del nivel este
centrada adecuadamente, para que se garantice que el equipo este nivelado
adecuadamente.
• Garantizar la verticalidad de la mira utilizando equipos adicionales como el
ojo de pollo.
• Realizar un enfoque adecuado sobre la mira de acuerdo a la distancia entre
el nivel y la mira.
• No realizar lecturas muy altas en la mira, entre más alta quede la lectura
mayor es la probabilidad de error, por falta de verticalidad de la misma.
• No realizar lecturas a distancias muy largas para evitar errores por curvatura
terrestre.
• Verificar los tres hilos en campo.
• Antes de terminar el trabajo de campo verificar que se han tomado todas las
lecturas.
• Realizar el chequeo de cartera de campo antes de abandonar el sitio de trabajo.
12.3 Nivelación geométrica simple
FIGURA 12.1 Nivelación geométrica simple
Se usa para terrenos donde las diferencias de nivel no superan los 4 o 5 metros
que son las magnitudes a las cuales regularmente se han construido las miras
topográficas, ya que desde una sola posición del equipo (nivel topográfico de
precisión) se realizan todas las lecturas necesarias.
227
228
TOPOGRAFÍA
El procedimiento de campo consiste en armar el nivel en un punto o sitio desde
donde se pueda tomar la vista atrás o vista más (V+) sobre la mira ubicado en el
punto materializado con cota conocida (BM o NP) y luego girando el anteojo se
puedan tomar todas las lecturas o vistas intermedias (Vi) a todos y cada uno de los
puntos que se necesiten nivelar, para realizar los cálculos se utilizan dos fórmulas:
Altura Instrumental (Ai) = Cota del BM o NP + Vista más (V+)
Cota de cada punto = Altura Instrumental (Ai) – Vista intermedia
a cada punto (Vi)
12.3.1 Ejemplo Nivelación Geométrica Simple
FIGURA 12.2 Cartera de campo: nivelación geométrica simple
229
CAPÍTULO 12: NIVELACIÓN GEOMÉTRICA O DIFERENCIAL
Cálculos
De acuerdo a las dos fórmulas relacionadas se calcula la nivelación. Tal como se
presenta en la tabla 12.1
TABLA 12.1 Cálculos nivelación geométrica simple
Pto.
V+
NP10
1.425
Vi
Alt. Inst.
Cota
Observaciones
2690.639
2689.214
Placa
1
1.685
2688.954
Estaca
2
2.568
2688.071
Estaca
3
3.658
2686.981
Estaca
4
3.124
2687.515
Estaca
12.4 Nivelación geométrica compuesta
Nivelación geométrica realizada ubicando el nivel en diferentes posiciones, con
vistas atrás y delante del BM o NP y a los cambios, y vistas intermedias a los
puntos a nivelar. Es decir, se va trasladando la cota desde el BM hasta cada punto.
Esta nivelación se usa cuando desde una sola posición del nivel no se puede
observar la mira ubicada en todos y cada uno de los puntos que se necesita nivelar,
o sea, en terrenos con visuales muy largas, con diferencias de nivel considerables
que no permitan realizar una nivelación geométrica simple o cuando no existe la
visibilidad de todos los puntos desde una sola posición del nivel.
Es necesario realizar la nivelación y la respectiva contranivelación para poder
verificar que se cumplen las especificaciones requeridas según el tipo de proyecto.
La contranivelación es el proceso mediante el cual se lleva la nivelación hasta el
punto de inicio (es decir iniciar la nivelación en un punto de cota conocida (BM)
y terminar en ese mismo punto). Cuando se realiza nivelación y contranivelación
se denomina un circuito de nivelación.
Se pueden realizar circuitos de nivelación por diferentes cambios o por los
mismos cambios. Se recomienda por los mismos cambios, ya que este método
permite realizar revisiones y comprobaciones en cualquier sector parcial de la
nivelación, mientras que la nivelación por diferentes cambios solo permite realizar
evaluaciones de los resultados finales de la nivelación.
Para terrenos de gran extensión, se recomienda realizar varios circuitos, es
decir, sectorizar en tramos máximos de 2 kilómetros y realizar un circuito para
cada sector. Lo anterior debido a que se puede verificar, controlar y/o realizar
correcciones de manera más sencilla y organizada.
230
TOPOGRAFÍA
Las fórmulas de cálculo para las nivelaciones compuestas básicamente son:
• Altura instrumental = Cota + (V+)
• Cota para los cambios = altura instrumental – (V-)
• Cota para los puntos = altura instrumental – (Vi)
FIGURA 12.3 Nivelación geométrica compuesta
12.4.1 Procedimiento para nivelaciones geométricas
compuestas
• Reconocer el terreno para planeación del trabajo de campo y definición de la
metodología a utilizar.
• Ubicar y nivelar el equipo (nivel de precisión) en un sitio desde donde se pueda
tomar la (V+) a la mira ubicada en el BM o NP y desde donde se puedan tomar
la (Vi) a la mayor cantidad posible de puntos o detalles.
• Tomar la lectura de (V+).
• Realizar las (Vi) a los puntos o detalles que se puedan visualizar desde este
punto.
• Materializar un punto que se usara como cambio No 1 (C#1) al cual se le
toma la lectura de mira, vista adelante o vista menos (V-).
• Trasladar el nivel a un sitio desde donde se pueda realizar la vista atrás (V+)
al C#1, realizar dicha vista.
• Tomar lecturas, vistas intermedias (Vi), a los puntos a nivelar que se puedan
visualizar desde esta posición.
• De ser necesario, materializar más cambios repitiendo el procedimiento
escrito para el cambio 1 (C#1); es decir ubicar un punto de cambio 2 (C#2)M,
dar vista menos (V-) a dicho cambio y continuar la nivelación hasta finalizar
la nivelación (se recuerda que se debe llegar de nuevo al punto inicial o BM).
• Realizar la vista menos (V-) al BM para cerrar la nivelación.
CAPÍTULO 12: NIVELACIÓN GEOMÉTRICA O DIFERENCIAL
12.5 Circuito de nivelación por diferentes cambios
De acuerdo al procedimiento relacionado anteriormente se realiza la nivelación
de los diferentes puntos por medio de una nivelación geométrica compuesta y
después por medio de otra ruta, es decir por cambios diferentes, se desarrolla la
contranivelación; que como ya se había indicado consiste en realizar una nivelación
desde el punto final hasta el punto de inicio o BM, como se llega al punto inicial la
diferencia de nivel teórica debe ser igual a cero (0); por lo que se deben establecer
las precisiones y aplicar las correcciones según las especificaciones del proyecto.
Para un circuito de nivelaciones por diferentes cambios es necesario, para los
puntos de cambio, realizar las lecturas de mira con los tres hilos del equipo: Ls
(hilo superior), Lm (hilo medio) y Li (hilo inferior).
También se podría y se recomendaría tomar los tres hilos para cada punto o detalle,
pero aumentaría los tiempos del trabajo de campo, por lo que en la actualidad ese
proceso casi nunca se realiza.
231
232
TOPOGRAFÍA
12.5.1 Ejemplo práctico: Circuito de nivelación
por diferentes cambios
FIGURA 12.4A Ejercicio. Circuito de nivelación por diferentes cambios
CAPÍTULO 12: NIVELACIÓN GEOMÉTRICA O DIFERENCIAL
FIGURA 12.4B Ejercicio. Circuito de nivelación por diferentes cambios
233
234
TOPOGRAFÍA
Cálculos
Inicialmente se calcula la nivelación compuesta de los cambios.
TABLA 12.2 Nivelación de cambios del circuito de nivelación
Pto.
V+
Alt. Inst.
BM-1
1.856
2582.206
C1
2.314
2583.266
C2
0.895
C3
2.254
Vi
Cota
Observaciones
2580.350
Placa
1.254
2580.952
Estaca
2581.503
2.658
2580.608
Estaca
2582.901
0.856
2580.647
Estaca
2.546
2580.355
Placa
BM-1
V-
El error del circuito de nivelación es la cota inicial o base del cálculo (cota del BM)
– La cota final del BM calculada en el circuito.
Para este ejemplo 2580.350 – 2580.355 = -0.005
Para realizar las correcciones se debe establecer la distancia total nivelada. Como
al BM y a todos y cada uno de los cambios se le tomaron las lecturas de los tres
hilos, por medio de taquimetría (la fórmula para el cálculo de distancia por
taquimetría es D (distancia horizontal) = (Ls ¨lectura hilo superior¨ – Li ¨lectura
hilo inferior)*100), se calculan las distancias entre cambios y la distancia total.
TABLA 12.3 Cálculos de distancias
De
A
BM-1
V+
V-
Dist.
Total
Dist.
Acum.
Ls
Li
Dist
Ls
Li
Dist
C#1
1.958
1.755
20.3
1.455
1.052
40.3
60.600
60.600
C#1
C#2
2.471
2.157
31.4
2.925
2.390
53.5
84.900
145.500
C#2
C#3
1.071
0.720
35.1
1.025
0.686
33.9
69.000
214.500
C#3
BM 10
2.338
2.17
16.8
2.689
2.402
28.7
45.500
260.000
Se debe verificar que el error cumple con las especificaciones del proyecto, según lo
relacionado en el capítulo 11. Altimetría conceptos generales, para lo cual se tiene:
CAPÍTULO 12: NIVELACIÓN GEOMÉTRICA O DIFERENCIAL
Donde:
• c = Error de cierre permitido en mm.
• m = Una constante.
• K = La distancia nivelada en kilómetros.
La constante utilizada será de 12, pues es la recomendada para proyectos
topográficos.
Se comprueba que el error de 5 milímetros este dentro del parámetro permisible,
de lo contrario se debe repetir el trabajo de campo.
Las cotas de los cambios se corrigen proporcionalmente según la distancia
acumulada de nivelación, es decir mediante la fórmula:
Corrección = (error de la nivelación * distancia acumulada)
/ (distancia total)
TABLA 12.4 Ajuste del circuito
Pto.
Cota
Corrección
Cota Corregida
BM-1
2580.350
C1
2580.952
-0.001
2580.951
C2
2580.608
-0.003
2580.605
C3
2580.647
-0.004
2580.643
BM-1
2580.355
-0.005
2580.350
2580.350
Finalmente las cotas de los detalles se calculan con las cotas corregidas de los
cambios, tal como se presenta en la tabla 12.5.
235
236
TOPOGRAFÍA
TABLA 12.5 Cotas de los detalles
Pto.
V+
Alt. Inst.
BM-1
1.856
2582.206
Vi
Cota
Observaciones
2580.350
Placa
1
1.685
2580.521
Construcc.
2
1.682
2580.524
Construcc.
2580.951
Estaca
2580.521
Construcc.
2580.605
Estaca
C1
2.314
2583.265
3
C2
2.744
0.895
2581.500
4
0.975
2580.525
Construcc.
8
1.985
2579.515
Bodega
9
1.982
2579.518
Bodega
2580.643
Estaca
C3
2.254
2582.897
5
2.381
2580.516
Construcc.
6
2.374
2580.523
Construcc.
7
3.381
2579.516
Bodega
10
3.388
2579.509
Bodega
CAPÍTULO 12: NIVELACIÓN GEOMÉTRICA O DIFERENCIAL
12.5.2 Ejercicio propuesto: Circuito de nivelación
por diferentes cambios
FIGURA 12.5 Ejercicio propuesto. Circuito de nivelación por diferentes cambios
237
238
TOPOGRAFÍA
12.6 Circuito de nivelación por los mismos cambios
En la realización de un circuito de nivelación, la contranivelación se desarrolla
por los mismos cambios utilizados para la nivelación. Este método es el más aconsejable para nivelaciones geométricas compuestas, ya que se podrán realizar verificaciones en todos y cada uno de los sectores de la nivelación y así, en caso de ser
necesario, poder realizar las correcciones pertinentes de forma precisa y eficiente.
12.6.1 Ejemplo práctico: Circuito de nivelación por los mismos
cambios
FIGURA 12.6A Ejercicio. Circuito de nivelación por los mismos cambios
CAPÍTULO 12: NIVELACIÓN GEOMÉTRICA O DIFERENCIAL
FIGURA 12.6B Ejercicio. Circuito de nivelación por los mismos cambios
En la contranivelación no se tomaron los detalles, no sería necesario; aunque si se
tomaran se podrían comprobar las cotas de todos y cada uno de estos.
239
240
TOPOGRAFÍA
Cálculos
Los cálculos y ajustes del circuito de nivelación se presentan en la tabla 12.6; los
cuales en términos generales son:
• Con las (V+) y las (V-) del NP y de los cambios, se calcula la diferencia de
nivel entre los dos puntos consecutivos, tanto en la nivelación como en la
contranivelación.
• Con las diferencias de nivel, se realiza el chequeo de cada diferencia de nivel,
dicho chequeo no debe superar los tres milímetros es decir 0.003 metros, caso
contrario se debe ir a campo y repetir las cuatro medidas correspondientes
para cada chequeo que quede por fuera del parámetro.
• Se calcula el promedio de diferencias de nivel, para lo cual se deben cambiar
los signos de la diferencia de nivel de la contranivelación según las diferencias
la nivelación, es decir, si las diferencias de nivel en la contranivelación dan
negativas se deben tomar positivas y viceversa.
• Con las diferencias de nivel promediadas se calculan las cotas ajustadas de
cada cambio.
241
CAPÍTULO 12: NIVELACIÓN GEOMÉTRICA O DIFERENCIAL
4C
3C
520.1251
702.8151
372.5151
328.2151
2C
1C
842.0151
atoC
adatsujA
1PN
.otP
918.2
439.2
054.2
575.2
.viN
.fiD .morP
300.0
200.0
100.0-
200.0
oeuqehC
718.2-
339.2-
054.2-
475.2-
viN .fiD
241.3
269.3
703.3
161.3
-V
nóicalevinartnoC
523.0
920.1
758.0
785.0
+V
o tiucric led e tsuja y oeu qehC 6 .21 ALBAT
028.2
539.2
944.2
675.2
.viN .fiD
325.0
854.3
483.3
1C
2C
3C
4C
667.0
512.3
465.0
589.0
.otP
1PN
+V
165.3
-V
nóicaleviN
242
TOPOGRAFÍA
Finalmente, con las cotas ajustadas se realiza el cálculo de todos y cada uno de los
detalles de la nivelación, como se relaciona en la tabla 12.7.
TABLA 12.7 Cálculo de las cotas de los detalles
Pto.
V+
Alt. Inst.
C1
3.215
1516.038
Vi
Cota
Obser.
1512.823
K0+000
3.286
1512.752
Vía
K0+010
2.884
1513.154
Vía
K0+020
2.489
1513.549
Vía
K0+030
2.079
1513.959
Vía
K0+040
1.682
1514.356
Vía
K0+050
1.278
1514.760
Vía
K0+060
0.969
1515.069
Vía
C2
3.458
1518.731
1515.273
K0+070
3.258
1515.473
Vía
K0+080
2.854
1515.877
Vía
K0+090
2.449
1516.282
Vía
K0+100
2.051
1516.680
Vía
K0+110
1.653
1517.078
Vía
K0+120
1.247
1517.484
Vía
K0+130
0.852
1517.879
Vía
K0+140
0.446
1518.285
Vía
C3
3.384
1521.591
1518.207
K0+150
2.905
1518.686
Vía
K0+160
2.511
1519.080
Vía
K0+170
2.102
1519.489
Vía
K0+180
1.710
1519.881
Vía
K0+190
1.322
1520.269
Vía
K0+200
0.927
1520.664
Vía
CAPÍTULO 12: NIVELACIÓN GEOMÉTRICA O DIFERENCIAL
12.6.2 Ejercicio práctico: Circuito de nivelación por los mismos
cambios
FIGURA 12.7 Ejercicio. Circuito de nivelación por los mismos cambios
243
C A P Í T U L O 13
NIVEL ACIÓN
TRIGONOMÉTRICA
13.1 Definición
E
l objetivo de la nivelación trigonométrica es establecer la diferencia de nivel
(DN) que existe entre dos puntos, a través de la medición de un ángulo vertical o cenital (AV) y la distancia horizontal (DH) o la distancia inclinada (DI), para
determinar la distancia vertical (DV) entre la altura del equipo y el prisma o mira;
distancia vertical, que al ser afectada por la altura instrumental (HI) y la altura del
prisma (Ho), permite obtener el desnivel.
La figura 13.1 presenta el diagrama básico de la nivelación trigonométrica; como
se observa, el desnivel entre los puntos C y D corresponde a DN. Este permitirá
determinar la cota del punto D con base en la cota del punto C, sumando
algebraicamente la cota de C al valor del desnivel DN.
Cota D = Cota C + DN
(13.1)
El valor del desnivel se determina mediante la suma y resta de alturas, partiendo
de la cota del punto sobre el cual se arma el equipo (C). Es importante visualizar
el triángulo rectángulo ijk, que se genera entre la altura del equipo, la altura del
prisma o punto de visual y la proyección al horizonte de la visual del equipo. En
este triángulo la hipotenusa es la distancia inclinada (DI) entre el telescopio del
equipo y el prisma (ik ), el cateto ( ij ) es la distancia horizontal (DH) y el cateto
(jk ) es la distancia vertical (DV). El valor del desnivel corresponderá a:
DN = HI + (±DV) – Ho
(13.2)
246
TOPOGRAFÍA
Por lo tanto:
Cota D = Cota C + HI + (±DV) – Ho
(13.3)
FIGURA 13.1 Diagrama general de la nivelación trigonométrica
13.2 Usos
La nivelación trigonométrica ha encontrado su principal uso en la obtención
de información para generación de modelos digitales de terreno – MDT –. Al
sumarse al procedimiento de radiaciones simples, que se ejecutan en los vértices
o deltas de una poligonal cerrada o punto a punto, cuyo objeto es establecer las
coordenadas norte y este de los puntos. La nivelación trigonométrica permite
determinar la cota de éstos, complementando así la información requerida para
la generación del modelo.
A diferencia de la nivelación geométrica, la trigonométrica permite ejecutar
mediciones entre puntos con grandes diferencias de nivel, toda vez que la visual
no es horizontal; resaltando que a la fecha no existe un criterio claro del error
permitido en la nivelación trigonométrica y que el desfase del ángulo vertical
respecto de la horizontal genera un error por aproximación. Por ello la nivelación
geométrica brinda una mayor precisión, puesto que las distancias verticales
se miden directamente y las variables de errores son inferiores que las de la
trigonométrica.
247
CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA
13.3 Metodología
Teniendo en cuenta la figura 13.1, el proceso de campo para realizar la nivelación
trigonométrica del punto D es el siguiente:
13.3.1 Trabajo en campo
• El punto de armado C debe tener una cota conocida, bien sea que corresponda
a un BM o que se determine por nivelación geométrica o trigonométrica
desde un punto de cota conocida.
• Se arma, centra y nivela el equipo (tránsito o estación total) en el punto C.
• Se establece la altura instrumental (Hi): este proceso no es muy preciso ya
que se realiza empleando el flexómetro.
• Se sitúa la mira o el prisma (estación total) en el punto D, que es al que se le
quiere establecer la cota.
• Se estaciona la visual en la mira o en el prisma y se determina la altura del objeto (Ho), en el primer caso será la lectura media realizada sobre la mira, por
lo que se recomienda dirigir la visual en una medida cerrada; en el segundo
caso se establece la altura del prisma bien sea directamente en el bastón si este
está graduado o con la ayuda de un flexómetro.
• Manteniendo la visual anterior, se mide el ángulo vertical del equipo (AV),
también llamado ángulo cenital.
• Se mide la distancia horizontal (DH) o distancia inclinada (DI) entre el
equipo y el respectivo objeto.
13.3.2 Trabajo en oficina
Se determina la diferencia de nivel DN, la distancia vertical DV y la cota del punto D.
De la ecuación 13.2 se sabe que el desnivel (DN) es igual a:
DN = HI + (±DV) – Ho
(13.2)
En la Figura 13.1 se visualiza el triángulo rectángulo ijk con el cual se puede
determinar:
Cot (AV) = DV / DH
DV = DH * Cot (AV)
DV = DH / Tan (AV)
(13.4)
248
TOPOGRAFÍA
De otra parte:
Cos (AV) = DV / DI
DV = DI * Cos (AV)
(13.5)
La DV debe ser positiva si la visual del equipo está por encima del horizonte, es
decir, cuando el ángulo cenital es menor a 90 grados, tal como se ilustra en la
figura 13.1, y debe ser negativa cuando la visual del equipo está por debajo del
horizonte, es decir, cuando el ángulo cenital es mayor a 90 grados tal como se
presenta en la figura 13.2. Debido a las características de las funciones coseno
y tangente, el coseno y la tangente del ángulo vertical mayor a 90 grados será
negativo y se obtiene directamente el signo de DV.
La cota del punto (D) se establece con la ecuación 13.3:
Cota D = Cota C + HI + (±DV) – Ho
(13.3)
Remplazando DV se obtiene:
Cota D = Cota C + HI + (DH / Tan (AV)) – Ho
(13.6)
Cota D = Cota C + HI + DI * Cos ( AV) – Ho
(13.7)
FIGURA 13.2 Ángulo cenital mayor a 90 grados
CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA
13.4 Tipos de nivelación trigonométrica
La nivelación trigonométrica puede ser simple si se realiza desde un solo punto o
compuesta si se requiere más de un punto para realizarla.
13.4.1 Nivelación trigonométrica simple
El procedimiento radica en realizar la nivelación trigonométrica desde un solo
delta o estación. Como solo tiene una armada no es posible determinar errores, es
análogo al levantamiento por radiación simple; para calcular la nivelación se debe
tomar el ángulo vertical, la altura instrumental y la altura del objeto.
13.4.1.1. Ejemplo de nivelación trigonométrica simple
Se desea verificar la ubicación de una vivienda, con el fin de determinar el
volumen de material a excavar o rellenar para nivelar el terreno en el cual va a ser
construida.
Para ello, mediante una radiación simple, desde un delta arbitrario se ubican
los muros exteriores de la vivienda y, mediante una nivelación trigonométrica
simple, se establecen las cotas de terreno, para determinar posteriormente el
modelo de la superficie sobre la que se construirá la casa. La figura 13.3 presenta
los datos de la cartera de campo.
249
250
TOPOGRAFÍA
FIGURA 13.3A Cartera de campo
CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA
FIGURA 13.3B Cartera de campo
La norte se toma arbitrariamente contra una torre de energía que hay cerca de
la finca, visible desde D2, a la cual se le asignan coordenadas arbitrarias 1000N,
1000E. Los datos para determinar la cota de puntos, mediante la nivelación
trigonométrica, se presentan en la tabla 13.1.
251
252
TOPOGRAFÍA
TABLA 13.1 Datos de campo cálculo nivelación simple
DELTA
PUNTO
D
N
2
DISTANCIA
ÁNG.
VERTICAL
0 °
0‘
0 ‘’
Hi
Ho
1.495
1.72
1
11.684
98 °
39 ‘
44 ‘’
1.72
2
9.485
89 °
09 ‘
02 ‘’
1.72
3
9.878
87 °
37 ‘
24 ‘’
1.72
4
14.495
84 °
24 ‘
32 ‘’
1.72
5
13.133
80 °
18 ‘
59 ‘’
1.72
6
14.004
80 °
42 ‘
47 ‘’
1.72
7
14.848
80 °
13 ‘
17 ‘’
1.72
8
14.965
79 °
19 ‘
02 ‘’
1.72
9
14.580
79 °
05 ‘
55 ‘’
1.72
10
14.896
79 °
00 ‘
20 ‘’
1.72
11
23.091
80 °
34 ‘
30 ‘’
1.72
12
25.526
79 °
08 ‘
48 ‘’
1.72
13
18.365
80 °
15 ‘
07 ‘’
1.72
14
16.142
79 °
09 ‘
47 ‘’
1.72
15
14.149
79 °
15 ‘
46 ‘’
1.72
16
12.653
78 °
12 ‘
52 ‘’
1.72
17
10.259
77 °
54 ‘
07 ‘’
1.72
18
14.033
80 °
41 ‘
17 ‘’
1.72
19
12.690
82 °
25 ‘
39 ‘’
1.72
20
8.188
79 °
41 ‘
12 ‘’
1.72
21
8.568
78 °
48 ‘
58 ‘’
1.72
22
6.683
78 °
59 ‘
02 ‘’
1.72
23
6.340
87 °
07 ‘
10 ‘’
1.72
24
9.092
84 °
44 ‘
47 ‘’
1.72
25
12.566
88 °
53 ‘
32 ‘’
1.72
26
10.354
95 °
21 ‘
07 ‘’
1.72
253
CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA
DELTA
PUNTO
DISTANCIA
ÁNG.
VERTICAL
27
12.316
94 °
24 ‘
56 ‘’
1.72
28
12.992
91 °
18 ‘
34 ‘’
1.72
29
17.836
93 °
11 ‘
12 ‘’
1.72
30
18.188
97 °
04 ‘
48 ‘’
1.72
31
13.733
97 °
31 ‘
58 ‘’
1.72
32
14.184
98 °
11 ‘
18 ‘’
1.72
33
10.985
98 °
36 ‘
12 ‘’
1.72
Hi
Ho
Teniendo en cuenta que en terreno se midió la distancia horizontal, el primer
paso consiste en calcular la distancia vertical (DV) del desnivel vertical (DN) y
posteriormente la cota de cada punto, para lo que se emplean las ecuaciones 13.2,
13.4 y 13.6; los resultados se consignan en la tabla 13.2.
DN = HI + (±DV) – Ho
(13.2)
DV = DH / Tan (AV)
(13.4)
Cota D = Cota C + HI + (DH / Tan (AV)) – Ho
(13.6)
Por ejemplo, para el punto 9 se tienen los siguientes cálculos:
DV = DH / Tan (AV) = 14.580 / Tan (79° 05’55’’) = 2.808 m
DN = HI + (±DV) – Ho = 1.495 + 2.808 – 1.720 = +2.580 m
Cota 9 = Cota D2 + HI + (DH / Tan (AV)) – Ho
= 1064.389 + 1.495 + 2.808 – 1.72 = 1066.972 m
En este caso DV es positivo, es decir el punto es más alto que el delta.
Por ejemplo, para el punto 32 se tienen los siguientes cálculos:
DV = DH / Tan (AV) = 14.184 / Tan (98° 11’18’’) = –2.041 m
DN = HI + (±DV) – Ho = 1.495 – 2.041 – 1.720 = –2.266 m
254
TOPOGRAFÍA
Cota 32 = Cota D2 + HI + (DH / Tan (AV)) – Ho
= 1064.389 + 1.495 – 2.041 – 1.72 = 1062.123 m
En este caso DV es negativo, es decir el punto es más bajo que el delta.
TABLA 13.2 Cálculo de desniveles y cotas de los puntos
Delta
Punto
D
N
2
Distancia
ÁNg.
Vertical
0 °
0‘
0 ‘’
Hi
Ho
1.495
1.72
Dv
Cota
1064.389
1
11.684
98 °
39 ‘
44 ‘’
1.72
-1.780
1062.384
2
9.485
89 °
9‘
2 ‘’
1.72
0.141
1064.305
3
9.878
87 °
37 ‘
24 ‘’
1.72
0.410
1064.574
4
14.495
84 °
24 ‘
32 ‘’
1.72
1.419
1065.583
5
13.133
80 °
18 ‘
59 ‘’
1.72
2.241
1066.405
6
14.004
80 °
42 ‘
47 ‘’
1.72
2.290
1066.454
7
14.848
80 °
13 ‘
17 ‘’
1.72
2.559
1066.723
8
14.965
79 °
19 ‘
2 ‘’
1.72
2.823
1066.987
9
14.580
79 °
5‘
55 ‘’
1.72
2.808
1066.972
10
14.896
79 °
0‘
20 ‘’
1.72
2.894
1067.058
11
23.091
80 °
34 ‘
30 ‘’
1.72
3.833
1067.997
12
25.526
79 °
8‘
48 ‘’
1.72
4.894
1069.058
13
18.365
80 °
15 ‘
7 ‘’
1.72
3.155
1067.319
14
16.142
79 °
9‘
47 ‘’
1.72
3.090
1067.254
15
14.149
79 °
15 ‘
46 ‘’
1.72
2.683
1066.847
16
12.653
78 °
12 ‘
52 ‘’
1.72
2.640
1066.804
17
10.259
77 °
54 ‘
7 ‘’
1.72
2.199
1066.363
18
14.033
80 °
41 ‘
17 ‘’
1.72
2.301
1066.465
19
12.690
82 °
25 ‘
39 ‘’
1.72
1.687
1065.851
20
8.188
79 °
41 ‘
12 ‘’
1.72
1.490
1065.654
21
8.568
78 °
48 ‘
58 ‘’
1.72
1.694
1065.858
22
6.683
78 °
59 ‘
2 ‘’
1.72
1.301
1065.465
23
6.340
87 °
7‘
10 ‘’
1.72
0.319
1064.483
255
CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Delta
Punto
Distancia
ÁNg.
Vertical
24
9.092
84 °
44 ‘
25
12.566
88 °
26
10.354
27
Hi
Ho
Dv
Cota
47 ‘’
1.72
0.836
1065.000
53 ‘
32 ‘’
1.72
0.243
1064.407
95 °
21 ‘
7 ‘’
1.72
-0.970
1063.194
12.316
94 °
24 ‘
56 ‘’
1.72
-0.951
1063.213
28
12.992
91 °
18 ‘
34 ‘’
1.72
-0.297
1063.867
29
17.836
93 °
11 ‘
12 ‘’
1.72
-0.993
1063.171
30
18.188
97 °
4‘
48 ‘’
1.72
-2.259
1061.905
31
13.733
97 °
31 ‘
58 ‘’
1.72
-1.816
1062.348
32
14.184
98 °
11 ‘
18 ‘’
1.72
-2.041
1062.123
33
10.985
98 °
36 ‘
12 ‘’
1.72
-1.662
1062.502
– Fuente: elaboración propia –
Con la distancia y el ángulo horizontal de cada punto o detalle se determina la
posición o coordenadas (Norte y Este), empleando la metodología de radiación
simple. Como la norte es arbitraria, el ángulo observado es el azimut directo. Con
las coordenadas y la cota se realizará el modelo digital del terreno – MDT, para
determinar los volúmenes de excavación. La tabla 13.3 presenta los datos de las
coordenadas.
TABLA 13.3 Cálculo de coordenadas - Radiación simple
Delta
Punto
Azimut
D
N
0 °
0‘
0 ‘’
1
2 °
27 ‘
46 ‘’
11.684
11.673
2
82 °
31 ‘
43 ‘’
9.485
3
87 °
28 ‘
54 ‘’
4
108 °
05 ‘
5
144 °
6
2
Dist.
Ns
Ew
Norte
Este
1000.000
1000.000
0.502
1011.673
1000.502
1.233
9.404
1001.233
1009.404
9.878
0.434
9.868
1000.434
1009.868
59 ‘’
14.495
-4.503
13.778
995.497
1013.778
46 ‘
56 ‘’
13.133
-10.729
7.574
989.271
1007.574
144 °
09 ‘
35 ‘’
14.004
-11.352
8.200
988.648
1008.200
7
150 °
43 ‘
09 ‘’
14.848
-12.951
7.262
987.049
1007.262
8
159 °
27 ‘
56 ‘’
14.965
-14.014
5.249
985.986
1005.249
9
160 °
12 ‘
17 ‘’
14.580
-13.718
4.938
986.282
1004.938
256
TOPOGRAFÍA
Delta
Punto
Azimut
Dist.
Ns
Ew
Norte
Este
10
163 °
06 ‘
51 ‘’
14.896
-14.254
4.327
985.746
1004.327
11
152 °
32 ‘
34 ‘’
23.091
-20.490
10.647
979.510
1010.647
12
166 °
22 ‘
46 ‘’
25.526
-24.808
6.011
975.192
1006.011
13
181 °
38 ‘
39 ‘’
18.365
-18.357
-0.527
981.643
999.473
14
172 °
20 ‘
26 ‘’
16.142
-15.998
2.151
984.002
1002.151
15
179 °
21 ‘
43 ‘’
14.149
-14.148
0.158
985.852
1000.158
16
170 °
03 ‘
07 ‘’
12.653
-12.463
2.186
987.537
1002.186
17
182 °
30 ‘
42 ‘’
10.259
-10.249
-0.450
989.751
999.550
18
198 °
01 ‘
09 ‘’
14.033
-13.345
-4.341
986.655
995.659
19
218 °
39 ‘
4 ‘’
12.690
-9.910
-7.926
990.090
992.074
20
212 °
34 ‘
37 ‘’
8.188
-6.900
-4.409
993.100
995.591
21
201 °
05 ‘
37 ‘’
8.568
-7.994
-3.084
992.006
996.916
22
184 °
30 ‘
07 ‘’
6.683
-6.662
-0.525
993.338
999.475
23
257 °
56 ‘
11 ‘’
6.340
-1.325
-6.200
998.675
993.800
24
241 °
50 ‘
10 ‘’
9.092
-4.291
-8.016
995.709
991.984
25
276 °
47 ‘
16 ‘’
12.566
1.485
-12.478
1001.485
987.522
26
326 °
42 ‘
11 ‘’
10.354
8.654
-5.684
1008.654
994.316
27
317 °
43 ‘
59 ‘’
12.316
9.114
-8.284
1009.114
991.716
28
295 °
54 ‘
47 ‘’
12.992
5.678
-11.686
1005.678
988.314
29
302 °
07 ‘
44 ‘’
17.836
9.486
-15.104
1009.486
984.896
30
334 °
21 ‘
46 ‘’
18.188
16.397
-7.869
1016.397
992.131
31
341 °
26 ‘
56 ‘’
13.733
13.019
-4.369
1013.019
995.631
32
345 °
33 ‘
00 ‘’
14.184
13.735
-3.539
1013.735
996.461
33
357 °
55 ‘
36 ‘’
10.985
10.978
-0.397
1010.978
999.603
– Fuente: elaboración propia –
13.4.2 Nivelación trigonométrica compuesta
La nivelación trigonométrica compuesta es un procedimiento que permite
determinar las diferencias de nivel o desniveles (DN) y las distancias verticales (DV)
a lo largo de un polígono, es decir, partiendo de un punto y regresando al mismo.
El procedimiento es análogo al utilizado en el traslado de una poligonal cerrada;
en el cual, adicional al ángulo y la distancia horizontal, se toma en cada delta de la
257
CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA
poligonal el ángulo vertical (AV) y la altura instrumental (Hi), igualmente en cada
detalle se debe establecer la altura del prisma o de la mira (Ho).
En la nivelación trigonométrica compuesta, al terminar el proceso en el mismo
punto de partida (la misma altura o cota), la sumatoria algebraica de los desniveles
(DN) debe ser cero (teóricamente), de no serlo, el resultado corresponde al error
de la nivelación (eniv).
e niv = ∑DNi
(13.8)
No está bien definido cuál es el error permitido en una nivelación trigonométrica,
por lo que se recomienda utilizar el siguiente valor:
e perm = 0.03 * n
(13.9)
Un procedimiento para realizar la corrección de los desniveles (DN), si este es
permisible, es establecer las correcciones (Cniv) en cada vértice de la poligonal,
dando el peso a la distancia acumulada en la nivelación.
Cniv i=
-eniv i* dist acumulada
∑ distancia
i-1
-
∑C
j=1
niv j
(13.10)
Donde:
• eniv
• distacumulada
= Error de nivelación (se toma con signo contrario).
= Distancia acumulada hasta el punto i.
• ∑distancia
= Distancia total de la poligonal.
i- 1
C
• j∑
=1
-
niv j
• Cniv i
= Correcciones de nivelación acumuladas hasta el delta j,
anterior al delta i.
= Corrección de nivelación en el delta i.
13.4.2.1 Ejemplo práctico de nivelación compuesta
Se desea levantar un área destinada a una conectante vial, para lo cual se trazó
en el terreno una poligonal con 6 deltas y se realizó la toma de información
para una nivelación compuesta; adicionalmente, en cada uno de los vértices
se realizó una radiación con toma de datos para una nivelación trigonometría
simple y con esto poder realizar el modelo digital del terreno – MDT. Las figuras
13.4 a, 13.4 b, 13.4 c y 13.4 d presentan la cartera de campo de la nivelación.
258
TOPOGRAFÍA
FIGURA 13.4A Cartera de campo
– Fuente: elaboración propia –.
CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA
FIGURA 13.4B Cartera de campo
– Fuente: elaboración propia –.
259
260
TOPOGRAFÍA
FIGURA 13.4C Cartera de campo
CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA
FIGURA 13.4D Cartera de campo
– Fuente: elaboración propia –.
261
262
TOPOGRAFÍA
Lo primero es realizar el ajuste planimétrico de la poligonal, tal como se describe
en el capítulo 7. Poligonal cerrada, con el fin de establecer el error angular, la
corrección angular, el error en distancia, la precisión y las coordenadas de los
deltas de la poligonal; la tabla 13.4 presenta estos resultados.
Para la nivelación trigonométrica de la poligonal, se determinan primero DN y
DV con base en las ecuaciones 13.2 y 13.4; los resultados se consignan en la tabla
13.5. Una vez determinados todos los desniveles, se procede a realizar la suma y
verificar si esta es nula o tienen algún valor que equivale al error de nivelación.
De existir error se verifica que sea igual o menor al error permisible, en tal caso,
se determinan las correcciones de cada desnivel con base en la ecuación 13.10.
Determinadas las correcciones se ajustan los desniveles y con ellos se determinan
las cotas de cada delta de la poligonal.
La cota final debe ser la misma cota de inicio ya que pertenece al primer delta de la
poligonal. A continuación se describen los cálculos para el delta 4 de la poligonal
D4, la tabla 13.4 presenta la totalidad de los cálculos.
Por ejemplo, para el delta 4 se tienen los siguientes cálculos:
DV = DH / Tan (AV) = 71.726 / Tan (90° 51’08’’) = – 1.067 m
DN = HI + (±DV) – Ho = 1.487 – 1.067 – 1.680 = –1.260 m
Determinados todos los desniveles, se establece la sumatoria que equivale al error
de la nivelación:
eniv = ∑DN = 9.457 + 8.782 – 1.260 – 2.115 + 0 – 15.024 = –0.160 m
El error permisible será:
eperm = 0.03 * 6 = 0.180 m
263
CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA
1 0 0. 0 -
2 0 0. 0 -
0 0 0. 0
2 0 0. 0 -
1 0 0. 0 -
1 0 0. 0 -
sN .cerroC
0 3 4. 0 5 -
8 6 2. 0 7 -
8 0 1. 6 -
9 3 8. 5 4
9 8 4. 2 4
0 5 4. 8 3
wE
0 7 5. 3 3 -
0 6 8. 5 5 -
4 1 0. 4
7 6 1. 5 5
8 0 8. 6 1
8 4 4. 3 1
sN
2 8 5. 0 6
6 6 7. 9 8
9 0 3. 7
6 2 7. 1 7
3 9 6. 5 4
4 3 7. 0 4
aic n atsiD
’‘ 7 5
‘ 02
° 632
’‘ 7 5
‘ 94
° 0
° 481
° 801
‘0
‘ 21
’‘ 0
’‘ 5 2
° 15
° 132
‘ 13
‘ 13
’‘ 0
’‘ 0
° 0
° 38
‘0
‘ 53
’‘ 0
’‘ 2 1
° 321
° 303
‘ 81
‘ 81
’‘ 6 3
’‘ 6 3
° 0
° 151
‘0
‘ 81
’‘ 0
’‘ 1 2
° 912
° 93
‘ 34
‘ 34
’‘ 4 2
’‘ 4 2
° 0
° 771
‘0
‘ 14
’‘ 0
’‘ 3 4
° 842
° 86
‘ 52
‘ 52
’‘ 3
’‘ 3
° 0
° 141
‘0
‘ 42
° 0
’‘ 0
’‘ 6 4
‘0
° 052
° 07
’‘ 0
‘ 34
‘ 34
° 982
’‘ 1 2
’‘ 1 2
‘ 81
odigerroC .gnÁ
’‘ 5 3
t u miz A
a darrec lano gilo p al ed e tsujA 4 .31 ALBAT
4 1 7. 7
4 1 7. 7
4 1 7. 7
4 1 7. 7
4 1 7. 7
4 1 7. 7
.cerroC
’‘ 9 4
’‘ 0
’‘ 7 1
’‘ 0
’‘ 4
’‘ 0
’‘ 3 1
’‘ 0
’‘ 5 3
’‘ 0
’‘ 8 3
’‘ 0
‘
94
‘0
‘
21
‘0
‘
53
‘0
‘
81
‘0
‘
14
‘0
‘
42
‘0
° 141
° 0
° 771
° 0
° 151
° 0
° 38
° 0
° 801
° 0
° 481
6P N
2D
1D
3D
2D
4D
3D
5D
4D
6D
5D
1D
P
° 0
odavresbO .gnÁ
6D
5D
4D
3D
2D
1D
Δ
TOPOGRAFÍA
264
7 0 0. 0 -
sN .cerroC
d rorrE
nó is i c erP
9 2 0. 0
aic n atsiD
0 1 8. 5 1 3
sN
7 0 0. 0
3 7 8 0 1: 1
8 2 0. 0 -
wE
’‘ 0
‘0
° 0801
’‘ 8 3
‘0
‘ 75
° 0
° 232
° 0801
° 982
’‘ 0
‘0
‘ 81
° 65
’‘ 0
’‘ 5 3
‘ 02
odigerroC .gnÁ
’‘ 7 5
t u miz A
4 1 7. 7
.cerroC
’‘ 4 5 -
’‘ 8
‘0
‘0
° 0801
° 0
° 0
aciróeT S
.g n á r o r rE
nóicce r roC
adav
6P N
Δ
1D
- re sb O S
° 232
6D
P
° 0
° 9701
‘0
‘0
75
‘
95
‘
’‘ 0
’‘ 6
’‘ 0 3
’‘ 0
odavresbO .gnÁ
265
CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA
5D
6D
1D
0 2 8. 8 5 4 1 0 1
3 1 7. 2 5 4 1 0 1
3 5 4. 2 8 3 1 0 1
8 2 0. 2 3 3 1 0 1
6 7 6. 4 7 3 0 0 1
2 4 8. 9 2 4 0 0 1
6 5 8. 3 3 4 0 0 1
4 9 9. 7 7 3 0 0 1
2 2 4. 4 4 3 0 0 1
4 9 4. 2 4
5 4 8. 5 4
8 0 1. 6 -
0 6 2. 0 7 -
5 2 4. 0 5 -
0 0 0. 0
7 0 8. 6 1
6 6 1. 5 5
4 1 0. 4
2 6 8. 5 5 -
2 7 5. 3 3 -
0 0 0. 0
4 0 0. 0
6 0 0. 0
1 0 0. 0
8 0 0. 0
5 0 0. 0
8 2 0. 0
– aiporp nóicarobale :etneuF –
4D
5 7 9. 2 1 4 1 0 1
4 0 0. 0
3D
7 4 4. 3 1
2 8 4. 0 7 3 1 0 1
2 2 4. 4 4 3 0 0 1
4 5 4. 8 3
2D
8 2 0. 2 3 3 1 0 1
9 6 8. 7 5 3 0 0 1
1D
W E .cerroC
E T R ON
.grroC SN
ET S E
.grroC W E
P
TOPOGRAFÍA
266
538.207 2
427.007 2
967.007 2
677.586 2
508.8
422.1-
111.2-
540.0
399.41-
320.0
630.0
400.0
540.0
130.0
287.8
062.1-
511.2-
000.0
420.51-
061.0-
081.0
168.8
760.1-
389.1-
682.0
299.41-
vin e
m rep e
086.1
086.1
086.1
086.1
086.1
106.1
784.1
845.1
493.1
846.1
724.68
351.851
264.561
822.552
018.513
396.54
627.17
903.7
667.98
285.06
’‘ 13
’‘ 8
’‘ 64
’‘ 3
’‘ 85
‘ 54
‘1
‘ 15
‘ 01
‘ 94
‘ 35
° 67
° 97
° 09
° 501
° 98
° 301
2D
3D
4D
5D
6D
1D
– aiporp nóicarobale :etneuF –
950.407 2
’‘ 14
P
1D
437.04
LACITREV OLUGNÁ
437.04
adalumucA
aicnatsiD
aicnatsiD
455.1
IH
086.1
oH
385.9
VD
754.9
ND
120.0
vinC
874.9
.rroc ND
452.596 2
677.586 2
ATOC
sa tle d sol ed sa toc y selevinsed ed olucláC 5 .31 ALBAT
CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA
Como el error de la nivelación es menor al error permisible, se procede a
determinar las correcciones de los desniveles, para el delta 4 corresponde a:
C niv i=
-eniv i* dist acumulada
∑ distancia
i-1
-
∑C
j=1
niv j
C niv D4 = ((– (–0.16) * 158.153) / 315.810) – 0.021 + 0.023 = 0.036
Desnivel corregido en delta 4:
DNcorr = DN4 + C niv D4 = –1.260 + 0.036 = –1.224
La cota de delta 4 será:
Cota D4 = Cota D3 + DNcorr = 2704.059 – 1.224 = 2702.835 m
267
268
TOPOGRAFÍA
13.5 Ejercicio propuesto
FIGURA 13.5 A Ejercicio propuesto. Cartera de campo
– Fuente:elaboración propia –
CAPÍTULO 13: NIVELACIÓN TRIGONOMÉTRICA
FIGURA 13.5 B Ejercicio propuesto. Cartera de campo
– Fuente: elaboración propia –
269
C A P Í T U L O 14
NIVEL ACIÓN DE LÍNEAS
(PERFILES)
14.1 Concepto
L
a nivelación de una línea en topografía se denomina perfil topográfico o corte
topográfico, el cual es una representación del relieve del terreno que se obtiene
cortando longitudinal o transversalmente el terreno natural.
Una de las aplicaciones más importantes de los perfiles o secciones verticales es en
la construcción de obras lineales, que regularmente son de gran longitud y poca
anchura, por ejemplo carreteras, alcantarillados y oleoductos.
FIGURA 14.1 Perfil topográfico
272
TOPOGRAFÍA
Para determinar la altura o cota de los puntos sobre la superficie, se realiza
una nivelación a partir de un BM de cota conocida sobre los puntos de la línea
materializada en campo, que puede ser recta o curva, dependiendo del proyecto.
La precisión del perfil dependerá del método utilizado de nivelación.
Los perfiles pueden ser 1) siguiendo la dirección del recorrido del proyecto, el
cual se denomina perfil longitudinal, o 2) un plano tangente a la dirección del
recorrido del proyecto, el cual se denomina perfil transversal o sección transversal.
FIGURA 14.2 Tipo de perfiles
14.2 Perfil longitudinal
Este tipo de perfil se genera especialmente en proyectos lineales (vías, canales,
líneas de conducción) y sirve para representar la superficie del terreno,
generalmente, sobre el eje de la franja dispuesta para el desarrollo del proyecto. El
eje debe ser materializado y ‘abscisado’ previamente, ya que sobre éstos puntos se
realiza la nivelación.
CAPÍTULO 14: NIVELACIÓN DE LÍNEAS (PERFILES )
Los datos utilizados para elaborar un perfil son de gran importancia, bien sea por
que se utilicen como insumos para proyectar diseños o porque son el resultado
de un proyecto materializado en campo. Por lo tanto, la toma de información
requiere de mucha precisión.
14.2.1 Métodos de materialización de ejes
Existen tres métodos para la materialización de los ejes de apoyo y la elaboración
de perfiles longitudinales y transversales:
• Con distancias fijas.
• Con puntos de quiebre.
• Mixto.
1. Distancias fijas
El método de distancias fijas se basa en materializar puntos en una misma
dirección a una distancia determinada, apoyado en equipo topográfico. Para
proyectos de infraestructura generalmente se utilizan 5, 10 o 20 metros, la
distancia dependerá de la precisión que se requiera del perfil. No importarán
los cambios de pendiente, ya que solo se nivelarán los puntos que se
materializan, ver figura 14.3.
FIGURA 14.3 Materialización del eje por distancias fijas
273
274
TOPOGRAFÍA
2 Puntos de quiebre
Este método consiste en nivelar sobre el eje únicamente los cambios de
pendiente del terreno, como se observa en la figura 14.4. Es un método en el
cual la precisión del perfil dependerá de cuántos puntos se tomen sobre el eje
y de la apreciación de la persona que vaya colocando estos.
No es un método muy utilizado, ya que implica contar con personal muy
capacitado y con criterio para materializar estos cambios de pendiente.
FIGURA 14.4 Materialización del eje por puntos de quiebre
3 Mixto
Este es el método más utilizado. Es una combinación de la materialización
por distancias fijas con los puntos de quiebre que presenta el terreno, para
que el perfil quede más aproximado a la forma real del terreno.
El problema de las distancias fijas es que en medio de las dos estacas puede
cambiar el perfil y si no se complementa la información, se obviarían detalles
necesarios en este tipo de levantamiento. En la figura 14.5 se muestra como
un canal no es considerado, ya que las estacas del eje quedan antes y después
del canal, lo que resulta indispensable para trazar una rasante, por ejemplo.
CAPÍTULO 14: NIVELACIÓN DE LÍNEAS (PERFILES )
Entonces para complementar el perfil se toman los puntos de quiebre del
canal y los puntos de cambio de pendiente entre los puntos materializados,
como se muestra en la figura 14.6.
FIGURA 14.5 Problemas en el método de distancias fijas
– Fuente: elaboración propia –
FIGURA 14.6 Materialización del eje por método mixto
275
276
TOPOGRAFÍA
Una vez materializado el eje se procede a nivelar, siguiendo el proceso descrito
en el capítulo 12. Nivelación geométrica; con éste proceso se extiende una red de
nivelación a lo largo del eje, tomando como vistas intermedias las abscisas que
lo forman. Lo recomendable es realizar una nivelación compuesta, dependiendo
de la longitud y la pendiente del tramo y una contranivelación por los mismos
cambios, para obtener las cotas ajustadas en cada abscisa.
14.2.2 Ejemplo práctico
A continuación se presenta un ejemplo de cómo registrar la información de campo.
FIGURA 14.7 Cartera de campo. Nivelación perfil 1
CAPÍTULO 14: NIVELACIÓN DE LÍNEAS (PERFILES )
FIGURA 14.8 Cartera de campo. Nivelación perfil 2
Una vez levantada la información se procede a chequear el traslado de la cota con
los datos de las Vistas (+) y Vistas (–) leídas a los cambios, según el procedimiento
descrito en el capítulo 9. Nivelación geométrica.
277
278
TOPOGRAFÍA
TABLA 14.1 Lecturas a los cambios
Nivelación
PUNTO
V+
BM-105
2.664
C#1
2.654
V-
Contranivelación
DIF. NIV.
V+
V-
DIF. NIV.
3.627
C#2
0.885
1.846
1.783
2.579
3.452
Este procedimiento de chequeo por diferencias de nivel entre cambios permite
conocer si el error cometido, tanto en la nivelación como en la contranivelación,
está dentro de los rangos permitidos, de ser así se hace el ajuste de la cota en
cada cambio.
TABLA 14.2 Chequeo y Ajuste de Traslado de cotas
Nivelación
Contranivelación
DIF.
PUNTO
V+
DIF.
V-
V+
BM-105
2.664
C#1
2.654
C#2
DIF.
V-
NIV.
CHEQUEO
NIV.
COTA
PROM.
3.627
0.885
1.779
1.846
1.783
0.871
2.579
3.452
2667.893
-1.781
-0.002
1.780
2669.673
-0.873
-0.002
0.872
2670.545
Una vez ajustadas las cotas de los cambios, se calculan las cotas de la nivelación
del perfil. Por medio de nivelaciones simples a partir de las cotas ajustadas de los
cambios, en la tabla 14.3 se muestra el cálculo completo de las cotas del perfil
longitudinal.
TABLA 14.3 Cálculo cotas del eje
Punto
V+
Alt. Inst.
BM-105
2.664
2670.557
Vi
Cota
2667.893
K0+000
4.093
2666.464
K0+010
3.870
2666.687
K0+020
2.977
2667.580
K0+030
2.754
2667.803
279
CAPÍTULO 14: NIVELACIÓN DE LÍNEAS (PERFILES )
Punto
V+
Alt. Inst.
K0+040
C#1
2.654
Vi
Cota
1.827
2668.730
2672.327
2669.673
K0+050
3.103
2669.224
K0+060
2.011
2670.316
K0+070
1.269
2671.058
K0+080
1.812
2670.515
C#2
2.579
2673.124
2670.545
K0+090
2.392
2670.732
K0+100
1.427
2671.697
K0+100.43
1.090
2672.034
Con las distancias y las cotas calculadas del eje se dibuja el perfil, en el eje X las
distancias o abscisas y en el eje Y las alturas o cotas.
Estos perfiles suelen dibujarse exagerando la escala vertical 10 veces, que comúnmente se denomina escala décupla. Esta exageración se realiza principalmente
cuando las diferencias de nivel del eje son pequeñas, con lo cual permitirá observar de mejor manera esta representación.
A continuación se presenta el perfil dibujado a las dos escalas, a escala 1:1, o sea que
la escala vertical es igual a la escala horizontal (figura 14.9) y a escala 1:10, décupla,
donde la escala vertical es 10 veces mayor que la escala horizontal (figura 14.10).
FIGURA 14.9 Dibujo perfil escala 1:1
280
TOPOGRAFÍA
FIGURA 14.10 Perfil escala a décupla
14.3 Perfiles o secciones transversales
Los perfiles transversales son los tomados en sentido normal o perpendicular al eje
o alineamiento. El método para obtener una sección transversal es similar al aplicado para obtener un perfil longitudinal.
14.3.1 Nivelación de los perfiles transversales
Con base en los puntos (abscisas) del eje longitudinal se trazan líneas perpendiculares a izquierda y derecha de cada punto, para tomar la información correspondiente a los puntos de quiebre del terreno y conformar así los perfiles o secciones
transversales. Estas perpendiculares se trazan con dos equipos principalmente:
• La escuadra óptica es un equipo con prismas que permite trazar visuales a 90
grados con ayuda de los jalones (figura 14.11).
CAPÍTULO 14: NIVELACIÓN DE LÍNEAS (PERFILES )
FIGURA 14.11 Escuadra óptica
• La escuadra de agrimensor tiene el mismo funcionamiento de la escuadra
óptica, es un cubo de madera con ranuras perpendiculares en el medio, que
permiten trazar estas mismas visuales (figura 14.12).
FIGURA 14.12 Escuadra de agrimensor
281
282
TOPOGRAFÍA
Estas perpendiculares siempre se deben trazar con base en el punto siguiente,
si el alineamiento es recto solo se debe colocar la escuadra sobre un punto
y alinearlo con el siguiente para trazar la perpendicular, como lo indica la
figura 14.13.
FIGURA 14.13 Trazo de perpendiculares en línea recta
En una curva, al principio de esta se traza la perpendicular con base en la
dirección del PI o de un punto sobre el alineamiento, para que la sección
quede perpendicular al alineamiento. Sobre la curva se toma la perpendicular
con base en el siguiente punto de la misma, ver figura 14.14.
FIGURA 14.14 Trazo de perpendiculares en las curvas
Los datos de las secciones se toman con apoyo de niveles de mano (como
el Locke, que permite trazar visuales paralelas al horizonte) y una mira
topográfica. La distancia de la sección, a lado y lado del eje, dependerá de las
especificaciones del proyecto y de las condiciones propias de la topografía.
CAPÍTULO 14: NIVELACIÓN DE LÍNEAS (PERFILES )
En los últimos tiempos, se han realizado las secciones con niveles de precisión, el
procedimiento de campo es igual que con los niveles de mano, la única diferencia es
que el equipo no se arma sobre el eje materializado, sino que la altura instrumental
se determina con una vista más (V+) sobre el punto del eje materializado.
Las secciones se toman con base en los alineamientos o ejes longitudinales
materializados, trazados con la escuadra óptica o de agrimensor, por el método de
puntos de quiebre, o sea, colocando la mira en los puntos de cambio de pendiente
del perfil transversal, como se indica en la figura 14.15, para cada punto se toma
la distancia desde el eje y la lectura de la mira.
FIGURA 14.15 Nivelación de secciones transversales
Izquierdas
Eje
Derechas
Si la pendiente es muy fuerte, en la sección es posible colocar puntos de cambio y
calcularlo como si fuera una nivelación compuesta, como lo muestra la figura 14.16.
FIGURA 14.16 Nivelación de secciones transversales con cambios
Izquierdas
Eje
Derechas
283
284
TOPOGRAFÍA
14.3.2 Ejemplo práctico
A continuación se presenta un ejemplo de cómo registrar la información de
campo.
FIGURA 14.17 Cartera de campo de nivelación de secciones
CAPÍTULO 14: NIVELACIÓN DE LÍNEAS (PERFILES )
Los datos registrados en la fila inferior corresponden a las distancias tomadas desde
el eje hasta cada punto sobre la sección y los datos de la fila superior corresponden
a las lecturas de la mira. Nótese igualmente que sobre la distancia cero del eje se
ha registrado en todas las abscisas el mismo valor (1,55), éste corresponde a la
altura señalada en el jalón para apoyar el nivel de mano, que como se indicó hace
las veces de V+.
La sección transversal se toma perpendicular al eje longitudinal, por lo tanto, el
primer paso es nivelar el eje con nivel de precisión para tener como apoyo los
puntos materializados de las abscisas.
Para este ejemplo, las secciones están amarradas el eje longitudinal del ejemplo
anterior, por tal razón las cotas de las tres abscisas, a las cuales se les realizó la
sección transversal, se presentan en la tabla 14.4.
TABLA 14.4 Cotas de eje longitudinal
PUNTO
COTA
K0+000
2666.464
K0+010
2666.687
K0+020
2667.580
K0+030
2667.803
K0+040
2668.730
K0+050
2669.224
K0+060
2670.316
K0+070
2671.058
K0+080
2670.515
K0+090
2670.732
K0+100
2671.697
K0+100.43
2672.034
Para el cálculo de las cotas en cada sección, se toma la cota de la abscisa del eje
longitudinal, se le suma la altura a la cual se encuentra el nivel de mano (V+), para
encontrar la altura instrumental, y a esta se le resta cada una de las lecturas sobre
los puntos. En la tabla 14.5 se muestra el cálculo de las cotas.
285
286
TOPOGRAFÍA
TABLA 14.5 Cartera de cálculo de cotas de la sección transversal
Abscisa
K0+000
Izquierda
Eje
Derecha
2666.954
2666.764
2666.464
2666.114
2665.814
1.06
1.25
1.55
1.90
2.20
-15.00
-6.90
0.00
8.50
15.00
2668.01
K0+050
2670.304
2669.624
2669.224
2668.594
2668.484
0.47
1.15
1.55
2.18
2.29
-15.00
-6.90
0.00
6.67
15.00
2670.77
K0+100
2672.127
2671.487
2671.697
2671.147
2670.597
1.12
1.76
1.55
2.10
2.65
-15.00
-7.50
0.00
9.10
15.00
2673.25
Una vez se obtienen las cotas, el paso siguiente es el dibujo de las secciones. Las
cuales se dibujan a una sola escala tanto horizontal como vertical (figura 14.18).
FIGURA 14.18 Sección transversal
CAPÍTULO 14: NIVELACIÓN DE LÍNEAS (PERFILES )
14.4 Ejercicio propuesto
FIGURA 14.19 Nivelación de un perfil
287
288
TOPOGRAFÍA
FIGURA 14.20 Nivelación secciones transversales
C A P Í T U L O 15
M O D E L O S D IG IT A L ES
DE TERRENO
E
l DTM (modelo digital del terreno) es la representación gráfica de la topografía o relieve de un terreno sobre un sistema de referencia (regularmente
un sistema de coordenadas); es importante relacionar dos conceptos relacionados
con los DTM así:
• Modelo Digital de Elevaciones (MDE): representa las cotas del terreno sobre
un sistema de referencia específico.
• Modelo Digital de Superficies (MDS): representa la superficie del terreno
junto con los elementos encontrados en el mismo.
FIGURA 15.1 Modelo digital del terreno
290
TOPOGRAFÍA
Los modelos digitales de terreno son indispensables en el desarrollo de las obras civiles,
ya que, por medio de estos, se realizan los análisis y cálculos referentes al trazado
de perfiles longitudinales y transversales, de volúmenes de excavación y/o relleno,
modelación de escorrentías superficiales, visualizaciones en 3D, geomorfología,
diseño de infraestructuras, agricultura, sistemas de transporte, entre otros.
15.1 Curvas de nivel
En topografía el relieve de un terreno o de una superficie se representa mediante
la utilización de curvas de nivel, estas son las líneas que unen puntos que contengan la misma cota o altura sobre el nivel del mar. De manera ilustrativa, se
puede decir que si un terreno se intersecara con un plano horizontal, se formarían
las curvas de nivel. Aunque las técnicas de sombreado proporcionan una mejor
imagen visual de los terrenos, en las cuales mediante el uso de diferentes colores
se representan los diferentes tipos de terreno que se localizacen en una área determinada; para proyectos topograficos las curvas de nivel son más apropiadas, ya
que permiten trabajar con una gran cantidad de información y se podrán realizar
calculos de áreas y volumenes
La elaboración de curvas de nivel sobre un plano requiere las 3 coordenadas
(norte, este y cota) de cada punto o detalle del terreno y de las construcciones o
elementos artificiales encontrados en el mismo, para lo cual se pueden desarrollar diferentes procesos topográficos, como los presentados en los capítulos sobre
nivelación trigonometría y de superficies. De igual forma, para la generación de
modelos digitales existen muchos programas para computador los cuales mediante modelos TIN realizan triangulaciones para la generación de curvas de nivel que
usan diferentes metodologías.
FIGURA 15.2 Curvas de nivel de un modelo digital del terreno
CAPÍTULO 15: MODELOS DIGITALES DE TERRENO
15.1.1 Características de las curvas de nivel
En la figura 15.2 se aprecian varias características de las curvas de nivel, entre las
cuales se tiene:
• Las curvas de nivel no se interceptan entre sí (las cuevas serian un excepción
de esta característica).
• Las curvas de nivel son líneas cerradas (ya sea por fuera o por dentro del
plano correspondiente).
• La pendiente entre los puntos que se ubiquen dentro de una misma curva de
nivel será cero.
• Entre más montañoso sea el terreno, más cerca estarán las curvas de nivel
entre sí; al contrario, si las curvas de nivel están más separadas, indica que el
terreno tiene pendientes mas suaves o de menor valor
• Las montañas y/o depresiones se representan por medio de curvas de nivel
concéntricas.
• La pendiente máxima de un terreno se encuentra en dirección perpendicular
a las curvas de nivel.
• Los terrenos accidentados o con quiebres significativos se representan
mediante curvas de nivel irregulares.
15.1.2 Equidistancia de las curvas de nivel
La equidistancia es el intervalo vertical que tienen las curvas de nivel, es decir,
la diferencia de altitud entre dos curvas de nivel consecutivas. En los planos, a
las curvas de nivel se les debe colocar el valor de la cota (se debe tener en cuenta
que, para no saturar los planos y lograr un adecuado análisis de los mismos,
solo se relaciona el valor en las curvas índices o maestras que regularmente van
cada cinco curvas de nivel, tal como se presenta en la figura 15.3) y las curvas de
nivel índices o maestras deben tener un color más oscuro que las demás curvas.
Dependiendo de la escala y cobertura del plano puede suceder que el valor de las
cotas se deba indicar varias veces sobre la misma línea o curva de nivel.
291
292
TOPOGRAFÍA
FIGURA 15.3 Curvas de nivel de un modelo digital del terreno
En la tabla 15.1 se relacionan los valores de equidistancia usados regularmente,
según la escala a la que se realiza un plano.
TABLA 15.1 Equidistancia sugerida según la escala del plano
Escala
Equidistancia (metros)
1: 50
0.005
1: 100
0.1
1: 200
0.2
1: 500
0.5
1: 1000
1
1: 2000
2
1: 5000
5
1: 10000
10
CAPÍTULO 15: MODELOS DIGITALES DE TERRENO
15.2 Breaklines o divisorias de aguas
Son líneas de quiebre o divisorias de aguas utilizada en los DTM con el objeto de
lograr una adecuada representación de las superficies correspondientes al sector
o terreno que se esté trabajando.
Las breaklines se deben realizar o aplicar en objetos o accidentes lineales que
representen un cambio en las formas de las curvas de nivel, tales como bordes de
vía, patas y cabezas de taludes, bordes de corrientes de aguas, cunetas, canales,
muros, construcciones, disipadores de energía, entre otros.
A continuación se presenta un caso de aplicación de las breaklines , para poder
brindar una explicación detallada del tema:
• En la figura 15.4 se ilustran las curvas de nivel de un terreno, el cual contiene una vía. Se puede apreciar que sobre la vía se generaron curvas de
nivel de forma inadecuada, ya que forman un vértice y, además, una misma
curva de nivel sale y entra varias veces a la zona de la vía. Lo anterior se
debe a la no aplicación de breaklines .
FIGURA 15.4 Curvas de nivel sobre un vía sin aplicar breaklines
• Teniendo en cuenta que las curvas de nivel se generan realizando interpolaciones, esto es, triangulaciones entre los puntos tomados en campo con sus
respectivas coordenadas norte, este y cota (tal como se explicará en el capítulo
16. Nivelación de superficies), el problema –las curvas de nivel no representen
la forma de la superficie de la vía– radica en que, al no aplicar breaklines, se
293
294
TOPOGRAFÍA
realizan interpolaciones entre puntos que están por fuera de los bordes de
la vía a uno y otro costado de la misma, por ello, las líneas de triangulación
atraviesan la vía, tal como se presenta en la figura 15.5.
FIGURA 15.5 Líneas de triangulación o interpolación sin breaklines
• Al aplicar las breaklines , las triangulaciones sobre la zona de la vía se realizan
solo entre los bordes de la misma (figura 15.6). Para aplicar breaklines con
ayuda de herramientas computacionales se deben realizar 3D Polys sobre las
líneas de la vía, cuneta, canal, bordes de ríos, bordes de quebradas, talud, etc.,
uniendo los nodos de los puntos correspondientes, según el soſtware que se
esté utilizando.
CAPÍTULO 15: MODELOS DIGITALES DE TERRENO
FIGURA 15.6 Líneas de triangulación o interpolación con breaklines
• En la figura 15.7 se presentan las curvas de nivel de forma adecuada sobre la
superficie de la vía. Obsérvese que las curvas de nivel se desarrollan casi de
forma perpendicular a la dirección de la vía, lo que dependerá de la pendiente
de la misma.
FIGURA 15.7 Curvas de nivel sobre un vía aplicando breaklines
295
296
TOPOGRAFÍA
15.3 Análisis con Modelos Digitales de Terreno
15.3.1 Interpretación de las curvas
Por medio de las curvas de nivel se pueden interpretar varias características de las
formas del terreno que representan, por ejemplo:
En las corrientes de agua las curvas de nivel se representan apuntando hacia
un vértice (la forma de vértice normalmente es puntiaguda); es importante
indicar que los valores de las cotas de las curvas de nivel disminuyen en
el sentido contrario de los vértices, el agua correrá en dirección contraria al
vértice de las curvas. Los filos de las montañas, al igual que el caso anterior,
están determinados por curvas de nivel que apuntan hacia un vértice, pero los
valores de las curvas de nivel disminuyen en el sentido de los vértices (estos son
un poco más redondeados), ver figura 15.8.
FIGURA 15.8 Curvas de nivel en corrientes de agua y en filos de montaña
15.3.2 Mapa de pendientes
Mapa donde se representan los diferentes grados o valores de pendiente que
tiene un terreno, por medio de este se determina el tipo de terreno (plano, ondulado, montañoso o escarpado). En muchos proyectos de infraestructura es
necesario determinar el tipo de terreno, puesto que este definirá algunas características del proyecto. El mapa, mediante colores, presenta las áreas de terreno
con pendientes semejantes (según los intervalos definidos), la sumatoria de mayor valor de áreas semejantes determinará el tipo de terreno.
297
CAPÍTULO 15: MODELOS DIGITALES DE TERRENO
En la figura 15.9 se presenta un mapa de pendientes, el cual arrojó los datos
presentados en la tabla 15.2.
TABLA 15.2 Áreas para tipo de terreno
Tipo de Terreno
Pendiente Máxima (%)
Pendiente Mínima (%)
Área (m2)
Plano
0
8.8
145145
Ondulado
8.8
23
360141
Montañoso
23
97.9
586917
Escarpado
97.9
2690
FIGURA 15.9 Mapa de pendientes
Por lo cual, se establece que el terreno es montañoso, pues es el tipo de terreno que
presenta mayor área (586917 m2) entre las cuatro categorías.
298
TOPOGRAFÍA
15.3.3 Mapa de elevaciones
El mapa de elevaciones muestra gráficamente las zonas o áreas con altitudes o
cotas semejantes, de acuerdo a los rangos que se hayan definido. En la figura 15.10
se presenta un mapa de elevaciones donde se definieron 4 rangos de elevaciones,
conforme a las cotas del terreno representadas en las curvas de nivel, el color
oscuro corresponde a las zonas más altas y el color más claro a las zonas más bajas.
El mapa de elevaciones tiene diferentes usos, entre los que se encuentra la
planeación de vuelos para procesos cartográficos, rutas, estudios forestales, zonas
de agricultura, etc.
FIGURA 15.10 Mapa de elevaciones
15.3.4 Mapa de direcciones de pendiente
Este mapa muestra o indica mediante flechas las direcciones de las pendientes
más fuertes o críticas en los diferentes sectores existentes de un terreno, tal como
se ilustra en la figura 15.11. El mapa de direcciones de pendiente se aplica en
estudios geológicos, de estabilidad y erosión, forestales, de planeación de rutas,
entre otros.
CAPÍTULO 15: MODELOS DIGITALES DE TERRENO
FIGURA 15.11 Mapa de direcciones de pendiente
15.3.5 Mapa de cuencas
En el mapa de cuencas se delimitan las áreas de drenaje según las depresiones que
presente el relieve del terreno, tal como se ilustra en la figura 15.12. Este mapa
tiene varias aplicaciones en estudios y proyectos hidrológicos, y diseño de obras
de drenaje.
FIGURA 15.12 Mapa de cuencas
299
C A P Í T U L O 16
NIVEL ACIÓN
DE SUPERFICIES
16.1 Generalidades
E
n general un plano topográfico representa el terreno sobre el cual se ha realizado un levantamiento topográfico para un proyecto determinado; esta gráfica debe presentar las curvas de nivel que representan el relieve del terreno. Es
por ello que, en el trabajo de campo de las diferentes metodologías ya descritas,
se toma la información de coordenadas nortes y estes (planimetría), y de cotas
(altimetría), mediante las cuales cada punto puede representarse en un plano cartesiano x, y, z . Con la triangulación de estos puntos se realizan curvas de nivel a
intervalos definidos –equidistancias o intervalo vertical - que permiten esquematizar el terreno mediante un modelo digital –MDT.
Al tomar la información para la nivelación de una superficie se puede ubicar en
el terreno los puntos con un valor de altura cerrada (cota cerrada), pero lo más
práctico es realizar una nivelación de puntos de quiebre, distancias fijas o nubes
de puntos, cuyas alturas no coinciden con cotas exactas, puesto que permitirán
definir la ubicación de estas para el dibujo de las curvas de nivel.
Para realizar la nivelación de un terreno existen diferentes metodologías, las
cuales se aplican de acuerdo a las características del terreno, como el tamaño de
la superficie, el tipo de relieve, la escala del mapa, la equidistancia entre las curvas
de nivel, el equipo disponible y las especificaciones del proyecto. Las principales
metodologías se exponen a continuación.
302
TOPOGRAFÍA
16.2 Nivelación por radiación
Esta metodología se utiliza cuando el terreno es pequeño y relativamente plano
o con pendientes suaves, ya que la idea es realizar la nivelación desde un mismo
punto. Es la base del método de nube de puntos en una nivelación trigonométrica.
El procedimiento es el siguiente:
• Se determina un punto interno –delta - en el terreno, desde el cual se pueda
visualizar toda el área a nivelar.
• A partir del delta se visan líneas con diferente dirección que cubran la mayor
cantidad de área a representar (figura 16.1), sobre estas líneas se toman puntos
bien sea equidistantes o bien de quiebre o bien de ambos tipos (mixtos), los
cuales se materializan con estacas y se enumeran para no tener errores en
campo (figura 16.2).
• Se establece una norte real o arbitraria.
• Se miden ángulos a cada una de las visuales y distancias desde el delta a
cada uno de los puntos de cada segmento de línea, como se representa en
la figura 16.3.
FIGURA 16.1 Radiación. Ubicación de las visuales
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES
FIGURA 16.2 Materialización de puntos de quiebre
• Realizada la radiación, se procede a ejecutar la nivelación geométrica de
todos los puntos con base en un punto de cota conocida, puede ser el delta.
Las figuras 16.4 a y 16.4 b presentan la cartera de campo de planimetría y la
figura 16.5 la cartera de altimetría.
• En la oficina se calculan las coordenadas y las cotas de cada uno de los puntos,
tal como se presenta en las tablas 16.1 y 16.2.
FIGURA 16.3 Medición de ángulos y distancias
303
304
TOPOGRAFÍA
FIGURA 16.4 A Cartera de la radiación
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES
FIGURA 16.4 B Cartera de la radiación
305
TOPOGRAFÍA
306
6
7
8
9
01
11
21
31
41
51
61
71
81
91
02
12
22
624.8901
995.5211
712.699
324.299
256.989
309.789
504.389
323.289
340.099
161.279
336.259
678.249
819.119
957.698
362.299
337.689
508.979
715.079
438.1302
326.0402
719.3891
787.7691
600.6591
965.8491
344.9291
448.4291
438.1002
821.5002
627.8002
325.0102
622.6102
810.9102
679.1202
286.7302
263.7502
247.3802
842.63
624.89
995.521
387.3-
775.7-
843.01-
790.21-
595.61-
776.71-
759.9-
938.72-
763.74-
421.75-
280.88-
142.301-
737.7-
762.31-
591.02-
384.92-
427.11
438.13
326.04
380.61-
312.23-
499.34-
134.15-
755.07-
651.57-
438.1
821.5
627.8
325.01
622.61
810.91
679.12
286.73
263.75
247.38
790.83
644.301
500.231
225.61
290.33
591.54
438.25
284.27
702.77
521.01
703.82
461.84
580.85
465.98
879.401
892.32
949.93
318.06
087.88
’‘ 61
’‘ 73
’‘ 73
’‘ 73
’‘ 9
’‘ 9
’‘ 9
’‘ 9
’‘ 9
’‘ 9
’‘ 51
’‘ 51
’‘ 51
’‘ 51
’‘ 51
’‘ 51
’‘ 61
’‘ 61
’‘ 61
’‘ 61
‘ 52
‘4
‘4
‘4
‘ 41
‘ 41
‘ 41
‘ 41
‘ 41
‘ 41
‘ 62
‘ 62
‘ 62
‘ 62
‘ 62
‘ 62
‘ 63
‘ 63
‘ 63
‘ 63
° 14
° 27
° 27
° 27
° 391
° 391
° 391
° 391
° 391
° 391
° 082
° 082
° 082
° 082
° 082
° 082
° 043
° 043
° 043
° 043
3
4
5
6
7
8
9
01
11
21
31
41
51
61
71
81
91
02
12
22
5
427.1102
810.621
842.6301
794.49
4
273.38
794.4902
2
273.3801
° 14
3
‘ 52
990.43
’‘ 61
946.8302
145.15
990.4301
946.83
2
1
684.83
° 41
796.9
‘8
684.8302
’‘ 92
796.9001
986.93
1
D
N
Δ
° 0
SN
OTNUP
‘0
WE
.TSID
TUMIZA
’‘ 0
000.0002
N
SENOICCEYORP
E
000.0001
SADANEDROOC
D
OTNUP
sa dane drooc ed olucláC 1 .61 ALBAT
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES
FIGURA 16.5 Cartera de la nivelación
307
308
TOPOGRAFÍA
TABLA 16.2 Cálculo de la nivelación
Δ
V (+)
Altura
Instrumental
D
2.986
2784.805
V(i)
Cota
2781.819
1
2.891
2781.914
2
3.008
2781.797
3
2.875
2781.930
4
2.964
2781.841
5
4.525
2780.280
6
4.982
2779.823
7
2.758
2782.047
8
1.457
2783.348
9
0.874
2783.931
10
1.245
2783.560
11
2.369
2782.436
12
2.619
2782.186
13
2.697
2782.108
14
1.854
2782.951
15
0.798
2784.007
16
1.348
2783.457
17
2.354
2782.451
18
2.753
2782.052
19
2.754
2782.051
20
1.583
2783.222
21
1.247
2783.558
22
2.438
2782.367
Para poder realizar el plano con las curvas de nivel es necesario interpolar en cada
línea las cotas redondas que se encuentran entre los puntos de cotas conocidas;
posteriormente empalmar los puntos con igual altura y trazar así las líneas de
nivel. Como ejemplo se explica la interpolación de la última visual que parte del
delta D y llega al punto 22, pasando por los puntos: 19, 20 y 21; definiendo para
ello una equidistancia o intervalo vertical de 0.5 m.
• Desde D a 19:
∇D = 2781.819, ∇19 = 2782.051, distancia-d- = 23.298 m
Entre D y 19 se encuentra la siguiente cota redonda: CR =2782.0, ubicada a la
distancia x desde D.
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES
x=
(∇R –∇R)
(2782.0 – 2781.819)
d=
23.298 = 18.176 m
*
(∇R –∇R)
(2782.051– 2781.819) *
• Desde 19 a 20:
∇19 = 2782.051, ∇20 = 2783.222, distancia-d- = 16.651 m
Entre 19 y 20 se encuentra las siguientes cotas redondas: CR =2782.5 y 2783.0,
ubicadas, cada una, a la distancia x desde 19.
x=
(∇R –∇19)
(2782.5 – 2782.051)
d=
16.651 = 6.348 m
*
(∇20 –∇19)
(2783.222 – 2782.051) *
x=
(∇R –∇19) d = (2783.0 – 2782.051)
16.651 = 13.494 m
(∇20 –∇19) *
(2783.222 – 2782.051) *
• Desde 20 a 21:
∇20 = 2783.222, ∇21 = 2783.558, distancia-d- = 20.864 m
Entre 20 y 21 se encuentra la siguiente cota redonda: 2783.5, ubicada a la
distancia x desde 20.
x=
(∇R –∇20) d = (2783.5 – 2783.222)
20.864 = 17.262 m
(∇21 –∇20) *
(2783.558 – 2783.222) *
• Desde 21 a 22:
∇21 = 2783.558, ∇22 = 2782.367, distancia-d- = 27.967 m
Entre 21 y 22 se encuentran las siguientes cotas redondas: 2783.5, 2783.0 y
2782.5, ubicadas a la distancia x desde 21.
x=
(∇R –∇21)
(2783.5 – 2783.558)
d=
27.967 = 1.362 m
*
(∇22 –∇21)
(2782.367 – 2783.558) *
x=
(∇R –∇21)
(2783.0 – 2783.558)
d=
27.967 = 13.103 m
*
(∇22 –∇21)
(2782.367 – 2783.558) *
x=
(∇R –∇21) d = (2782.5 – 2783.558)
27.967 = 24.844 m
(∇22 –∇21) *
(2782.367 – 2783.558) *
La figura 16.6 presenta un gráfico con la interpolación entre los puntos 21 y 22.
309
310
TOPOGRAFÍA
FIGURA 16.6 Interpolación entre los puntos 21 - 22
Mediante este procedimiento se interpolan todas las líneas de la radiación entre
los diferentes puntos, resultados que se presentan en la tabla 16.3, con lo cual se
obtiene la ubicación de las cotas cerradas (figura 16.7) y se puede trazar el plano
de curvas de nivel como se presenta en la figura 16.8.
TABLA 16.3 Interpolación de las línea de visual – IV = 0.5 m
Línea 1
PUNTO
D
1
DISTANCIA
0
39.689
2781.819
2781.914
A
D-1
2781.819
2781.914
39.689
0
39.689
COTA
DE
DIST.
DESDE
Línea 2
PUNTO
D
2
3
DISTANCIA
0
51.541
74.477
2781.819
2781.797
2781.93
A
D-2
2781.819
2781.797
51.541
0
51.541
2-3
2781.797
2781.93
74.477
0
74.477
COTA
DE
DIST.
DESDE
DE
DIST. DESDE
A
311
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES
Línea 3
PUNTO
D
4
5
6
DISTANCIA
0
38.097
65.349
28.559
2781.819
2781.841
2780.28
2779.823
A
D-4
2781.819
2781.841
38.097
0
38.097
4-5
2781.841
2781.5
2781
2780.5
2780.28
65.349
0
14.275
35.207
56.139
65.349
5-6
2780.28
2780
2779.823
28.559
0
17.498
28.559
COTA
DE
DIST. DESDE
DE
A
DIST. DESDE
DE
A
DIST. DESDE
Línea 4
PUNTO
D
7
8
9
10
11
12
DISTANCIA
0
16.522
16.57
12.103
7.639
19.648
4.725
2781.819
2782.047
2783.348
2783.931
2783.56
2782.436
2782.186
A
D-7
2781.819
2782
2782.047
16.522
0
13.116
16.522
7-8
2782.047
2782.5
2783
2783.348
16.57
0
5.770
12.138
16.57
8-9
2783.348
2783.5
2783.931
12.103
0
3.155
12.103
9-10
2783.931
2783.56
7.639
0
7.639
10-11
2783.56
2783
2782.5
2782.436
19.648
0
9.789
18.529
19.648
11-12
2782.436
2782.186
4.725
0
4.725
COTA
DE
DIST. DESDE
DE
A
DIST. DESDE
DE
A
DIST. DESDE
DE
A
DIST. DESDE
DE
A
DIST. DESDE
DE
A
DIST. DESDE
Línea 5
PUNTO
D
13
14
15
16
17
18
DISTANCIA
0
10.125
18.182
19.857
9.921
31.479
15.414
2781.819
2782.108
2782.951
2784.007
2783.457
2782.451
2782.052
A
D-13
2781.819
2782
2782.108
10.125
0
6.341
10.125
13-14
2782.108
2782.5
2782.951
18.182
0
8.455
18.182
COTA
DE
DIST. DESDE
DE
DIST. DESDE
A
312
TOPOGRAFÍA
DE
A
DIST. DESDE
DE
A
DIST. DESDE
DE
A
DIST. DESDE
DE
A
DIST. DESDE
14-15
2782.951
2783
2783.5
2784
2784.007
19.857
0
0.921
10.323
19.725
19.857
15-16
2784.007
2783.5
2783.457
9.921
0
9.145
9.921
16-17
2783.457
2783
2782.5
2782.451
31.479
0
14.300
29.946
31.479
17-18
2782.451
2782.052
15.414
0
15.414
Línea 6
PUNTO
D
19
20
21
22
DISTANCIA
0
23.298
16.651
20.864
27.967
2781.819
2782.051
2783.222
2783.558
2782.367
A
D-19
2781.819
2782
2782.051
23.298
0
18.176
23.298
19-20
2782.051
2782.5
2783
2783.222
16.651
0
6.385
13.494
16.651
20-21
2783.222
2783.5
2783.558
20.864
0
17.262
20.864
21-22
2783.558
2783.5
2783
2782.5
2782.367
27.967
0
1.362
13.103
24.844
27.967
COTA
DE
DIST. DESDE
DE
A
DIST. DESDE
DE
A
DIST. DESDE
DE
DIST. DESDE
A
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES
FIGURA 16.7 Ubicación de las cotas cerradas
FIGURA 16.8 Plano topográfico
313
314
TOPOGRAFÍA
16.3 Nivelación por cuadrícula
Esta metodología se realiza cuando el terreno es de mayor extensión y presenta
diferencias de nivel considerables. Para ejecutarla se procede a elaborar una cuadrícula dentro del terreno, cuyos puntos se materializan con estacas a distancias
equidistantes, que pueden ser 5, 10 o 20 metros (entre menor sea la distancia se
obtiene una mayor precisión); esta cuadrícula se nivela geométricamente y posteriormente se interpolan las curvas entre los puntos de esta, por cada arista de ella
y al menos una diagonal.
Ejemplo práctico:
La figura 16.9 presenta la cuadrícula materializada sobre un terreno de gran
pendiente, con equidistancia de 10 metros. Se materializa una primera línea
con estacas cada 10 metros, preferiblemente sobre el lindero que cubra toda
la extensión del terreno; desde cada estaca se levanta una perpendicular y
se materializan todos los puntos de la cuadrícula.
FIGURA 16.9 Terreno a nivelar
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES
La cuadrícula se define mediante un sistema de coordenadas alfanumérico como
se representa en la figura 16.10. En el terreno se materializa el punto A1, se fija la
visual paralela al lindero del predio y se marca la abscisa cada 10 m (equidistancia
de la cuadrícula), de esta manera se obtienen los 14 puntos numerados
secuencialmente desde A hasta N; a continuación, en cada punto se arma, centra
y nivela el equipo (estación o tránsito), se levanta una perpendicular (90°) a través
del predio y se materializan los puntos requeridos para cubrir el área del predio.
FIGURA 16.10 Coordenadas de la cuadrícula
Una vez materializada la cuadrícula, se procede a nivelar cada punto de la
cuadrícula por medio de una nivelación geométrica, ver figura 16.11. La nivelación
debe complementarse con su correspondiente contranivelación, como se explicó
en el capítulo 12. Nivelación geométrica.
315
316
TOPOGRAFÍA
FIGURA 16.11 Cuadrícula y equipo para nivelación
Para este ejemplo fue necesario hacer una nivelación geométrica compuesta con
contranivelación debido al relieve del predio. La nivelación parte y regresa al NP –
9, cuya cota es 2718.387 m. s. n. m; la tabla 16.4 presenta los datos de la nivelación.
TABLA 16.4 Cálculo de la nivelación
P
V(+)
A Inst.
NP-9
0.054
2718.441
V(i)
V(-)
Cota
2718.387
A 1
0.232
2718.209
B 1
0.894
2717.547
C 1
1.947
2716.494
D 1
2.528
2715.913
E 1
3.449
2714.992
F 1
4.358
2714.083
A 2
4.723
2713.718
B 2
4.227
2714.214
C#1
0.143
2713.606
4.978
2713.463
G 1
0.289
2713.317
C 2
0.464
2713.142
D 2
1.961
2711.645
317
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES
P
V(+)
A Inst.
V(i)
V(-)
Cota
E 2
3.677
2709.929
F 2
4.564
2709.042
G 2
4.904
2708.702
H 1
1.383
2712.223
I 1
1.842
2711.764
J 1
2.557
2711.049
K 1
2.606
2711.000
L 1
1.771
2711.835
M 1
4.192
2709.414
C#2
0.063
2708.685
4.984
2708.622
N 1
1.792
2706.893
H 2
1.078
2707.607
I 2
2.986
2705.699
J 2
3.612
2705.073
K 2
2.386
2706.299
L 2
1.694
2706.991
M 2
2.890
2705.795
N 2
1.761
2706.924
A 3
1.761
2706.924
B 3
1.476
2707.209
C 3
1.968
2706.717
D 3
4.158
2704.527
C#3
0.178
2703.879
4.984
2703.701
E 3
0.898
2 702.981
F 3
1.802
2 702.077
G 3
2.471
2 701.408
H 3
3.130
2 700.749
I 3
3.334
2 700.545
J 3
4.553
2 699.326
K 3
4.933
2 698.946
L 3
4.224
2 699.655
M 3
2.781
2 701.098
N 3
1.768
2 702.111
A 4
4.977
2 698.902
B 4
4.423
2 699.456
C 4
4.508
2 699.371
C#4
0.082
2698.992
4.969
2698.91
318
TOPOGRAFÍA
P
V(+)
A Inst.
V(i)
V(-)
Cota
D 4
2.170
2 696.822
E 4
2.104
2 696.888
F 4
3.118
2 695.874
G 4
4.485
2 694.507
M 4
3.999
2 694.993
N 4
2.336
2 696.656
C#5
0.108
2694.302
4.798
2694.194
H 4
0.728
2 693.574
I 4
0.372
2 693.930
J 4
1.152
2 693.150
K 4
0.392
2 693.910
L 4
0.992
2 693.310
A 5
1.392
2 692.910
B 5
1.374
2 692.928
C 5
1.287
2 693.015
D 5
1.848
2 692.454
E 5
2.684
2 691.618
F 5
3.959
2 690.343
C#6
0.328
2689.725
4.905
2689.397
G 5
0.984
2 688.741
H 5
1.720
2 688.005
I 5
2.004
2 687.721
J 5
1.258
2 688.467
K 5
0.560
2 689.165
L 5
2.643
2 687.082
M 5
1.354
2 688.371
N 5
0.074
2 689.651
A 6
1.140
2 688.585
B 6
2.802
2 686.923
C 6
3.108
2 686.617
D 6
2.831
2 686.894
E 6
2.629
2 687.096
F 6
2.765
2 686.960
G 6
4.831
2 684.894
C#7
0.182
2684.937
4.970
2684.755
H 6
2.287
2 682.650
I 6
2.941
2 681.996
319
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES
P
V(+)
A Inst.
V(i)
V(-)
Cota
J 6
2.510
2 682.427
K 6
2.290
2 682.647
L 6
3.539
2 681.398
M 6
3.456
2 681.481
N 6
3.669
2 681.268
A 7
0.846
2 684.091
B 7
1.883
2 683.054
C 7
3.456
2 681.481
D 7
3.063
2 681.874
E 7
3.259
2 681.678
F 7
4.000
2 680.937
G 7
4.770
2 680.167
C#8
0.154
2680.267
4.824
2680.113
H 7
0.764
2 679.503
I 7
2.383
2 677.884
J 7
3.680
2 676.587
A 8
4.559
2 675.708
B 8
4.206
2 676.061
C 8
3.498
2 676.769
D 8
3.678
2 676.589
E 8
3.314
2 676.953
F 8
3.743
2 676.524
En seguida, se realiza la interpolación entre las cuatro líneas de cada cuadro y
una de las dos diagonales, como se muestra en la figura 16.12. La interpolación
se realiza mediante una regresión lineal o semejanza de triángulos, como se
explicó anteriormente. Como parte del ejemplo se presenta la interpolación de la
cuadrícula en la figura 16.12, para lo cual se define un intervalo vertical de 2 m. La
figura 16.13 presenta el trazo de segmentos y diagonales de parte de la cuadrícula.
320
TOPOGRAFÍA
FIGURA 16.12 Dimensiones de una cuadrícula
• Desde C4 a D4:
∇C4 = 2699.371, ∇D4 = 2696.822, distancia-d- = 10 m
Entre C4 y D4 se encuentra la siguiente cota redonda: CR =2698, ubicada a la
distancia x desde C4.
• Desde C5 a C4:
∇C5 = 2693.015, ∇C4 = 2699.371, distancia-d- = 10 m
Entre C5 y C4 se encuentra las siguientes cotas redondas: CR =2798, 2796 y
2794, ubicadas, cada una, a la distancia x desde C5.
• Desde C5 a D5:
∇C5 = 2693.015, ∇D5 = 2692.454, distancia-d- = 10 m
Entre C5 y D5 no se encuentra ninguna cota redonda.
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES
• Desde D5 a D4:
∇D5 = 2692.454, ∇D4 = 2696.822, distancia-d- = 10 m
Entre D5 y D4 se encuentra la siguiente cota redonda: 2796, ubicada a la
distancia x desde D5.
• Desde C4 a D5:
∇C4 = 2699.371, ∇D5 = 2692.454, distancia-d- = 10 m
Entre C4 y D5 se encuentra las siguientes cotas redondas: CR =2798, 2796 y
2794, ubicadas, cada una, a la distancia x desde C4.
FIGURA 16.13 Líneas y diagonales de la cuadrícula
321
322
TOPOGRAFÍA
La tabla 16.5 presenta las interpolaciones tabuladas para la cuadrícula anterior.
TABLA 16.5 Interpolación de un cuadro de la cuadrícula
10
C5
2693.015
10
2692.454
D5
2696.822
D4
10
14.14214
C4
2699.371
10
DE
A
C5-C4
2693.015
2694
2696
2698
2699.371
DIST. DESDE
10
0
1.550
4.696
7.843
10
DE
C5-D5
2693.015
2692
2692.454
DIST. DESDE
10
0
18.093
10
DE
C4-D4
2699.371
2698
2696.822
DIST. DESDE
10
0
5.379
10
DE
C4-D5
2699.371
2698
2696
2694
2692.454
DIST. DESDE
14.14214
0
2.803
6.892
10.981
14.14214
DE
D5-D4
2692.454
2694
2696
2696.822
10
0
3.539
8.118
10
A
A
A
A
DIST. DESDE
Una vez interpoladas las líneas de todos los cuadros de las cuadrículas, se ubican
en cada cuadro las cotas redondas, como lo muestra la figura 16.14; con el conjunto
de todos los cuadros se trazan las curvas de nivel, como lo presenta la figura 16.15.
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES
FIGURA 16.14 Ubicación de puntos para curvas de nivel en la cuadrícula
FIGURA 16.15 Trazado de las curvas de nivel
323
324
TOPOGRAFÍA
16.4 Método de nivelación trigonométrica
– puntos de quiebre
En la actualidad es el método más empleado para la toma de información en campo
requerida para generar un MDT. En general, con la nivelación trigonométrica
se levantan los puntos de quiebre del terreno y aquellos puntos o líneas que
conforman obras civiles que yacen sobre éste (canales, bordillos, borde de vía,
entre otros), cuya información mejora el MDT.
Como se detalló en el capítulo 13. Nivelación trigonométrica, mediante esta
metodología se toman, para cada punto, el ángulo horizontal, el ángulo vertical,
la distancia horizontal, la altura instrumental y la altura del prisma, con el fin de
determinar las coordenadas norte y este que definen la ubicación del punto (plano
x, y) y la cota que define su altura (plano z).
Levantados los puntos del terreno se dibujan en un plano, de acuerdo con sus
coordenadas y sus respectivas cotas, se unen los puntos formando triángulos.
Sobre cada arista de cada triángulo se interpolan las cotas cerradas, conforme
al intervalo vertical definido mediante una proporcionalidad directa, y, una vez
definida su ubicación, se empalman para conformar las curvas de nivel y, por
ende, el MDT.
Ejemplo práctico
Las figuras 16.16 a, 16.16 b y 16.16 c presentan las carteras de campo de un
levantamiento de un predio para realizar una construcción.
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES
FIGURA 16.16 A Cartera de campo
325
326
TOPOGRAFÍA
FIGURA 16.16 B Cartera de campo
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES
FIGURA 16.16 C Cartera de campo
El levantamiento consiste en una poligonal cerrada por ceros atrás, con brazo
interno y recorrido anti-horario. Desde cada vertice se tomaron diferentes puntos
de quiebre en el terreno, a los cuales se les leyó el ángulo horizontal, el ángulo
vertical, la distancia horizontal, la altura del prisma y la altura de la estación; se
realizó una nivelación geométrica compuesta para obtener las cotas de los vértices
de la poligonal, con base en el NP-9.
327
328
TOPOGRAFÍA
FIGURA 16.17 Cartera de nivelación
La tabla 16.6 presenta el ajuste de la poligonal cerrada, la tabla 16.7 presenta el cálculo de coordenadas para la nube de puntos, la tablas 16.8 a, b y c presentan el ajuste
de la nivelación geométrica y la tabla 16.9 presenta la nivelación geométrica de la
nube de puntos del terreno; todo de acuerdo con los procedimientos antes vistos.
410 .0
300.0
400.0
300.0
400.0
sN .cerroC
n ói s
-ice rP
d r o r rE
138.57
040.04
aD/mucA
aicnatsiD
’‘ 0
‘0
° 063
‘ 83
° 35
° 063
’‘ 43
‘0
° 831
’‘ 0
‘ 14
° 68
’‘ 14
‘ 82
° 0
° 0
’‘ 13
‘0
° 78
‘0
° 562
’‘ 0
‘7
’‘ 0
‘3
° 871
’‘ 14
° 58
’‘ 7
‘ 43
° 853
‘3
’‘ 63
‘ 43
’‘ 7
’‘ 63
° 0
° 19
‘0
‘ 05
’‘ 0
’‘ 73
° 172
° 19
‘ 62
‘ 62
’‘ 55
’‘ 55
° 0
° 04
‘0
‘ 45
° 0
’‘ 0
’‘ 73
‘0
° 953
° 971
’‘ 0
‘ 63
‘ 63
° 831
’‘ 81
’‘ 81
‘ 14
odigerroC .gnÁ
’‘ 14
tumizA
sa dane drooc ed olucláC .lanogilop al ed e tsujA 6 .61 ALBAT
aic
-natsiD
040.04
197.53
179.34
890.53
410.0
009.451
009 .451
720.3-
759.34
509.0-
930.04-
sN
208.911
410 .0 -
18801:1
400 .0 -
769.43-
290.1-
087.53
672.0
wE
Σ
329
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES
5
1
1
1
1
1
.rroC
° 0
nóicce r roC
. m rep r o r rE
‘0
° 1-
.gná r o r rE
’‘ 42
° 0
95
‘
‘0
aciróeT ∑
’‘ 0.95
’‘ 5-
° 063
‘
82
∆
2D
3D
4D
5D
2D
ada v re sb O ∑
‘0
‘
95
1D
° 953
’‘ 0
’‘ 55
° 35
5D
‘
° 0
2D
’‘ 03
83
° 68
4D
’‘ 33
° 0
5D
‘0
‘0
° 78
’‘ 0
’‘ 0
‘7
4D
’‘ 04
° 19
2D
3D
° 0
3D
° 0
° 04
1D
‘0
‘
05
‘0
‘
45
‘0
P
° 0
’‘ 0
’‘ 63
’‘ 0
’‘ 63
’‘ 0
odavresbO .gnÁ
330
TOPOGRAFÍA
Correc. Ew
Ns Corrg.
Ew Corrg.
Norte
Este
P
100 390.885
102 654.313
D2
0.001
-40.036
0.277
100 350.849
102 654.590
D3
0.001
-0.902
35.780
100 349.948
102 690.370
D4
0.001
43.961
-1.091
100 393.909
102 689.279
D5
0.001
-3.024
-34.966
100 390.885
102 654.313
D2
0.004
0.000
0.000
∆
D3
4‘
28 ‘
35 °
67 °
81 °
116 °
166 °
223 °
229 °
257 °
273 °
300 °
342 °
0°
91 °
63 °
84 °
116 °
132 °
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D2
D4
13
14
15
16
4‘
18 ‘
24 ‘
20 ‘
50 ‘
0‘
43 ‘
27 ‘
30 ‘
41 ‘
1‘
55 ‘
44 ‘
11 ‘
32 ‘
41 ‘
54 ‘
18 °
P
1
odavresbO .gnÁ
40 °
52 ‘’
45 ‘’
13 ‘’
38 ‘’
36 ‘’
0 ‘’
8 ‘’
53 ‘’
11 ‘’
32 ‘’
25 ‘’
15 ‘’
7 ‘’
33 ‘’
23 ‘’
41 ‘’
55 ‘’
21 ‘’
36 ‘’
16.466
13.562
15.064
19.949
35.791
9.821
11.785
22.420
16.481
12.987
12.812
10.204
8.810
13.383
20.214
19.889
13.491
40.040
.tsiD
D3
131 °
115 °
84 °
62 °
359 °
121 °
79 °
52 °
36 °
7°
2°
304 °
255 °
220 °
205 °
174 °
157 °
138 °
tumizA
0 ‘’
41 ‘
55 ‘
0‘
56 ‘
36 ‘
24 ‘
9‘
11 ‘
10 ‘
46 ‘
22 ‘
42 ‘
37 ‘
26 ‘
53 ‘
14 ‘
23 ‘
41 ‘
10 ‘’
3 ‘’
31 ‘’
56 ‘’
18 ‘’
49 ‘’
34 ‘’
52 ‘’
13 ‘’
6 ‘’
56 ‘’
48 ‘’
14 ‘’
4 ‘’
22 ‘’
36 ‘’
2 ‘’
41 ‘’
-10.951
-5.928
1.572
9.072
35.790
-5.119
2.216
13.742
13.305
12.868
12.801
5.811
-2.188
-10.186
-18.185
-19.789
-12.454
-30.078
sN
0‘
12.297
12.198
14.982
17.767
-0.247
8.381
11.575
17.715
9.727
1.755
0.533
-8.388
-8.534
-8.680
-8.826
1.995
5.188
26.429
wE
0°
100339.899
100344.922
100352.422
100359.922
100350.849
100385.766
100393.101
100404.627
100404.190
100403.753
100403.686
100396.696
100388.697
100380.699
100372.700
100371.096
100378.431
100390.885
etroN
D1
102666.887
102666.788
102669.572
102672.357
102654.590
102662.694
102665.888
102672.028
102664.040
102656.068
102654.846
102645.925
102645.779
102645.633
102645.487
102656.308
102659.501
102654.313
etsE
so tnu p ed e bun y sella te d sol ed sa dane drooC 7 .61 ALBAT
D2
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES
331
∆
D4
302 °
320 °
226 °
353 °
0°
87 °
17 °
47 °
77 °
91 °
98 °
102 °
108 °
126 °
129 °
146 °
171 °
198 °
206 °
218 °
20
21
22
D3
D5
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
P
19
odavresbO .gnÁ
257 °
42 ‘
9‘
28 ‘
15 ‘
24 ‘
51 ‘
35 ‘
12 ‘
15 ‘
40 ‘
48 ‘
4‘
28 ‘
21 ‘
7‘
0‘
53 ‘
40 ‘
28 ‘
20 ‘
48 ‘
23 ‘’
26 ‘’
2 ‘’
52 ‘’
58 ‘’
43 ‘’
2 ‘’
25 ‘’
12 ‘’
29 ‘’
21 ‘’
54 ‘’
4 ‘’
52 ‘’
40 ‘’
0 ‘’
0 ‘’
19 ‘’
59 ‘’
2 ‘’
19 ‘’
21.587
4.699
17.386
16.324
18.941
24.062
7.381
14.658
22.433
24.162
16.529
9.518
23.187
5.999
43.971
12.999
16.658
7.244
11.070
8.054
.tsiD
18
130 °
117 °
109 °
82 °
57 °
41 °
38 °
19 °
13 °
10 °
3°
348 °
318 °
288 °
271 °
353 °
226 °
320 °
301 °
257 °
257 °
tumizA
9.778
9‘
36 ‘
54 ‘
42 ‘
51 ‘
18 ‘
1‘
39 ‘
42 ‘
7‘
15 ‘
31 ‘
54 ‘
48 ‘
26 ‘
29 ‘
16 ‘
5‘
56 ‘
24 ‘
20 ‘
18 ‘’
21 ‘’
57 ‘’
47 ‘’
53 ‘’
38 ‘’
57 ‘’
20 ‘’
7 ‘’
24 ‘’
16 ‘’
49 ‘’
59 ‘’
47 ‘’
55 ‘’
18 ‘’
37 ‘’
17 ‘’
20 ‘’
37 ‘’
36 ‘’
-13.921
-2.177
-5.922
2.070
10.075
18.074
5.814
13.804
21.795
23.786
16.502
9.328
17.477
1.935
1.112
12.915
-11.514
5.556
5.856
-1.756
-2.142
sN
18 ‘’
16.499
4.164
16.346
16.192
16.039
15.884
4.548
4.930
5.314
4.247
0.938
-1.893
-15.238
-5.679
-43.957
-1.474
-12.039
-4.648
-9.394
-7.860
-9.540
wE
44 ‘
100336.027
100347.770
100344.025
100352.018
100360.023
100368.022
100355.762
100363.752
100371.742
100373.734
100366.450
100359.276
100367.425
100351.882
100349.948
100363.765
100339.336
100356.406
100356.706
100349.094
100348.707
etroN
257 °
102706.869
102694.534
102706.717
102706.563
102706.410
102706.255
102694.918
102695.301
102695.684
102694.617
102691.309
102688.478
102675.133
102684.692
102690.370
102653.116
102642.551
102649.942
102645.196
102646.730
102645.050
etsE
17
332
TOPOGRAFÍA
∆
D5
327 °
330 °
0°
86 °
32 °
38 °
56 °
91 °
91 °
141 °
175 °
210 °
231 °
250 °
277 °
302 °
318 °
40
D4
D2
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
P
39
odavresbO .gnÁ
229 °
11 ‘
7‘
59 ‘
59 ‘
7‘
34 ‘
6‘
41 ‘
50 ‘
37 ‘
49 ‘
9‘
18 ‘
28 ‘
0‘
15 ‘
47 ‘
16 ‘
48 ‘’
46 ‘’
31 ‘’
19 ‘’
6 ‘’
13 ‘’
59 ‘’
31 ‘’
1 ‘’
38 ‘’
55 ‘’
7 ‘’
28 ‘’
30 ‘’
0 ‘’
40 ‘’
31 ‘’
17 ‘’
24.565
19.389
16.626
17.462
19.269
13.771
11.660
14.501
7.967
15.966
7.036
14.342
22.133
35.098
17.780
10.459
11.318
.tsiD
38
136 °
120 °
96 °
69 °
49 °
29 °
353 °
320 °
270 °
270 °
235 °
216 °
210 °
178 °
241 °
239 °
140 °
137 °
tumizA
19.265
46 ‘
42 ‘
34 ‘
33 ‘
41 ‘
8‘
41 ‘
16 ‘
24 ‘
12 ‘
24 ‘
43 ‘
53 ‘
34 ‘
42 ‘
14 ‘
43 ‘
9‘
24 ‘’
22 ‘’
7 ‘’
55 ‘’
42 ‘’
49 ‘’
35 ‘’
7 ‘’
37 ‘’
14 ‘’
31 ‘’
43 ‘’
4 ‘’
36 ‘’
35 ‘’
26 ‘’
12 ‘’
13 ‘’
-17.899
-9.901
-1.902
6.097
12.464
12.027
11.589
11.152
0.057
0.057
-3.994
-11.495
-18.995
-35.087
-8.427
-5.349
-8.761
-14.125
sN
18 ‘’
16.824
16.671
16.517
16.363
14.695
6.707
-1.281
-9.269
-7.967
-15.966
-5.792
-8.577
-11.361
0.872
-15.656
-8.988
7.166
13.101
wE
42 ‘
100376.010
100384.008
100392.007
100400.006
100406.373
100405.936
100405.499
100405.061
100393.966
100393.966
100389.915
100382.414
100374.915
100393.909
100341.521
100344.599
100341.187
100335.823
102705.950
102705.796
102705.642
102703.974
102695.987
102687.998
102680.010
102681.313
102673.313
102683.487
102680.702
102677.918
102689.279
102674.714
102681.383
102697.536
102703.471
401.607201
etroN
225 °
etsE
37
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES
333
334
TOPOGRAFÍA
TABLA 16.8A Coordenadas y cotas – Tablas 13.4 y 13.5
Punto
V (+)
Alt. Inst.
V (-)
BM
4.603
1064.427
C#1
3.987
1068.255
0.159
C#2
0.849
1064.486
Cota
Coor.
Cota Ajust.
1064.268
-0.001
1064.267
4.618
1063.637
-0.001
1063.636
4.660
1069.826
-0.002
1059.824
1059.824
BM
9.439
9.437
ERROR
0.002
TABLA 16.8B Coordenadas y cotas – Tablas 13.4 y 13.5
V(+)
V(-)
De
A
Ls
Li
Dist.
Ls
Li
Dist.
Dist.
Total
Dist.
Acum.
Corr.
BM
C#1
4.661
4.545
11.550
0.278
0.040
23.800
35.350
35.35
0.001
C#1
C#2
4.079
3.895
18.316
4.683
4.553
13.011
31.327
66.677
0.001
C#2
BM
0.925
0.773
15.284
4.755
4.565
19.094
34.378
101.055
0.002
TABLA 16.8C Coordenadas y cotas – Tablas 13.4 y 13.5
Punto
V(+)
Alt. Inst.
NP-9
4.603
1064.427
V(I)
2.468
3.987
Cota
1059.824
D2
C#1
V(-)
1068.254
1061.959
0.159
1064.267
D3
0.764
1067.490
D4
0.729
1067.525
C#2
0.849
1064.485
4.618
D5
3.477
1063.636
1061.008
TABLA 16.9 Nivelación Trigonométrica
Δ
ʘ
Dist.
Áng. Vertical
Hi
Ho
D1
Cota
ʘ
1061.959
D2
D2
D3
40.040
1.554
1.68
1
13.491
84 °
36 ‘
4 ‘’
1.68
1063.108
2
19.889
82 °
56 ‘
26 ‘’
1.68
1064.296
3
20.214
82 °
29 ‘
52 ‘’
1.68
1064.495
4
13.383
82 °
26 ‘
57 ‘’
1.68
1063.607
335
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES
Δ
D3
D4
ʘ
Dist.
Áng. Vertical
5
8.810
89 °
2‘
6
10.204
89 °
7
12.812
8
Hi
Ho
Cota
15 ‘’
1.68
1061.981
14 ‘
11 ‘’
1.68
1061.969
89 °
20 ‘
34 ‘’
1.68
1061.980
12.987
89 °
22 ‘
57 ‘’
1.68
1061.973
9
16.481
89 °
33 ‘
18 ‘’
1.68
1061.961
10
22.420
89 °
56 ‘
28 ‘’
1.68
1061.856
11
11.785
89 °
43 ‘
40 ‘’
1.68
1061.889
12
9.821
85 °
15 ‘
22 ‘’
2.35
1061.978
D2
1067.490
D4
35.791
1.601
13
19.949
93 °
18 ‘
52 ‘’
1.68
1066.256
14
15.064
91 °
42 ‘
3 ‘’
1.68
1066.964
15
13.562
85 °
45 ‘
47 ‘’
1.68
1068.416
16
16.466
82 °
33 ‘
6 ‘’
1.68
1069.564
17
9.778
81 °
21 ‘
58 ‘’
1.68
1068.896
18
8.054
81 °
59 ‘
15 ‘’
1.68
1068.545
19
11.070
92 °
53 ‘
32 ‘’
1.68
1066.852
20
7.244
95 °
59 ‘
58 ‘’
1.68
1066.650
21
16.658
96 °
52 ‘
52 ‘’
1.68
1065.401
22
12.999
99 °
4‘
46 ‘’
1.68
1065.334
D3
1.68
D3
1067.525
1.487
ʘ
D5
43.971
1.68
23
5.999
88 °
11 ‘
20 ‘’
1.68
1067.522
24
23.187
96 °
25 ‘
6 ‘’
1.68
1064.724
25
9.518
95 °
51 ‘
24 ‘’
1.68
1066.356
26
16.529
96 °
46 ‘
13 ‘’
1.68
1065.370
27
24.162
98 °
30 ‘
27 ‘’
1.68
1063.718
28
22.433
98 °
12 ‘
42 ‘’
1.68
1064.095
29
14.658
99 °
2‘
41 ‘’
1.68
1064.999
30
7.381
96 °
43 ‘
57 ‘’
1.68
1066.461
31
24.062
97 °
28 ‘
48 ‘’
1.68
1064.173
32
18.941
95 °
57 ‘
46 ‘’
1.68
1065.354
33
16.324
92 °
7‘
12 ‘’
1.68
1066.728
34
17.386
88 °
13 ‘
7 ‘’
1.68
1067.873
35
4.699
86 °
2‘
6 ‘’
1.68
1067.658
D4
336
TOPOGRAFÍA
Δ
D5
ʘ
Dist.
Áng. Vertical
36
21.587
85 °
39 ‘
37
19.265
85 °
38
11.318
39
40
Hi
Ho
Cota
32 ‘’
1.68
1068.971
8‘
6 ‘’
1.68
1068.972
83 °
11 ‘
58 ‘’
1.68
1068.682
10.459
81 °
3‘
29 ‘’
1.68
1068.978
17.780
82 °
42 ‘
45 ‘’
1.68
1069.606
D4
1061.008
D2
35.098
1.548
1.68
41
22.133
83 °
13 ‘
3 ‘’
1.68
1063.508
42
14.342
86 °
39 ‘
3 ‘’
1.68
1061.715
43
7.036
88 °
59 ‘
16 ‘’
1.68
1061.000
44
15.966
87 °
41 ‘
59 ‘’
1.68
1061.517
45
7.967
89 °
6‘
22 ‘’
1.68
1061.000
46
14.501
86 °
33 ‘
27 ‘’
1.68
1061.748
47
11.660
86 °
53 ‘
28 ‘’
1.68
1061.509
48
13.771
85 °
19 ‘
57 ‘’
1.68
1062.000
49
19.269
88 °
18 ‘
38 ‘’
1.68
1061.444
50
17.462
89 °
35 ‘
32 ‘’
1.68
1061.000
51
16.626
89 °
34 ‘
18 ‘’
1.68
1061.000
52
19.389
89 °
14 ‘
33 ‘’
1.68
1061.132
53
24.565
85 °
2‘
12 ‘’
1.68
1063.009
ʘ
D5
D5
Una vez determinadas las coordenadas y cotas de los puntos, se procede a dibujar,
a escala en un papel, los puntos según sus coordenadas y se construye entre ellos
una triangulación (modelo TIN), como muestra la figura 16.18.
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES
FIGURA 16.18 Ubicación de los puntos por coordenadas y generación de los triángulos
Sobre cada arista de cada triángulo se interpolan las cotas redondas conforme al
intervalo vertical seleccionado (de acuerdo con la metodología explicada en el
presente capítulo tanto para radiación como para cuadrícula), se ubican las cotas
exactas interpoladas y se empalman para generar las curvas de nivel y de esta
manera el MDT.
El MDT se puede realizar mediante un dibujo directo sobre papel, mediante
los procedimientos explicados o empleando herramientas computacionales
especializadas, tales como Survey, Topo 3, Clip W, Arguis, Civil 3D. Teniendo
en cuenta que la técnica de interpolación para realizar dibujo directo ha sido
suficientemente explicada en las metodologías de radiación y cuadrícula,
se procede a generar para este ejemplo el MDT mediante la aplicación de la
Plataforma Civil de Autodesk.
Lo primero es generar una superficie en la plataforma, la figura 16.19 presenta
este aspecto.
337
338
TOPOGRAFÍA
FIGURA 16.19 Creación de la superficie en Civil 3D
Fuente:Elaborado con Auto CAD Civil 3D – Autodesk
Los puntos para generar el modelo se pueden crear a través de un archivo de
extensión csv delimitada por comas, este archivo se carga en la plataforma de civil
en la paleta de toolspace-prospector-point tal como lo presenta la figura 16.20. Se
define la superficie con base en los puntos cargados (figura 16.21), la figura 16.22
presenta los puntos cargados en la plataforma.
FIGURA 16.20 Creación de los puntos en la plataforma Civil 3D
Fuente:Elaborado con Auto CAD Civil 3D – Autodesk
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES
FIGURA 16.21 Definición de la superficie por puntos en la plataforma Civil 3D
Fuente: Elaborado con Auto CAD Civil 3D – Autodesk
FIGURA 16.22 Puntos en la plataforma Civil 3D
Fuente: Elaborado con Auto CAD Civil 3D – Autodesk
Finalmente, se define la superficie con base en los puntos antes creados y el
intervalo vertical definido, para este caso es de 0.5 m, tal como se presenta en la
figura 16.23.
339
340
TOPOGRAFÍA
FIGURA 16.23 Modelo Digital de Terreno - MDT en la plataforma Civil 3D
Fuente:Elaborado con Auto CAD Civil 3D – Autodesk
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES
16.5 Ejercicios planteados
• Para la cartera de las figuras 16.24 a y 16.24 b, realizar la nivelación de la
radiación trigonométrica y generar el MDT con un IV de 0.5 m.
FIGURA 16.24 A Nivelación de un terreno por radiación
341
342
TOPOGRAFÍA
FIGURA 16.24 B Nivelación de un terreno por radiación
343
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES
• En la tabla 16.10 se presenta una cuadrícula, realizar la nivelación de la misma
y generar el MDT con un IV de 0.5 m.
TABLA 16.10 Nivelación de un terreno por cuadrícula
Punto
NORTE
ESTE
COTA
A1
100 324.254
99 248.564
900.541
A2
100 330.458
99 254.768
903.940
A3
100 336.662
99 260.972
904.560
A4
100 342.866
99 267.176
904.561
B1
100 330.458
99 254.768
903.943
B2
100 336.662
99 260.972
906.008
B3
100 342.866
99 267.176
907.849
B4
100 349.070
99 273.380
909.564
C1
100 336.662
99 260.972
904.185
C2
100 342.866
99 267.176
906.245
C3
100 349.070
99 273.380
908.564
C4
100 355.274
99 279.584
909.540
D1
100 342.866
99 267.176
901.564
D2
100 349.070
99 273.380
904.054
D3
100 355.274
99 279.584
904.587
D4
100 361.478
99 285.788
905.002
• Las figuras 16.25 a y 16.25 b presentan la cartera de nivelación trigonométrica
compuesta de un terreno, realizar la nivelación de la misma y generar el MDT
con un IV de 0.5 m.
344
TOPOGRAFÍA
FIGURA 16.25 A Nivelación de terrenos por puntos de quiebre
CAPÍTULO 16: NIVELACIÓN DE SUPERFICIES
FIGURA 16.25 B Nivelación de terrenos por puntos de quiebre
345
C A P Í T U L O 17
MOVIMIENTO
DE TIERR AS
17.1 Concepto
E
l cálculo de los movimientos de tierras es también llamado cubicación,
es decir, la determinación de los volúmenes de tierras que se trabajan en
cortes o rellenos. Básicamente se trata de asimilar estos volúmenes a una figura
geométrica que sea fácilmente medible, bien por descomposición en partes o bien
por integración en un modelo que la contenga, son variados los métodos que se
emplean.
Actualmente y dada la incidencia de la informática en todos los procesos es
fácil utilizar modelos digitales y por comparación, adición o sustracción de los
mismos, determinar los volúmenes. Los modelos mencionados se elaboran en
soſtware comerciales Civil 3D, Pitágoras, Sufer, entre otros.
En este documento se centra fundamentalmente en los métodos clásicos y
elementales para resolver el cálculo, entre los cuales se tiene:
• Método de perfiles consecutivos o secciones transversales.
• Método de las curvas de nivel.
348
TOPOGRAFÍA
17.2 Método de perfiles consecutivos o secciones
transversales
Este método se basa en el levantamiento topográfico de un perfil y sus
secciones transversales, desarrollados en los capítulos correspondientes en
este texto.
17.2.1 Diseño de la rasante
Sobre el perfil longitudinal se traza la rasante que representa el perfil de la obra
terminada, es decir, los puntos representativos de la carretera, camino, etc. Esta
rasante puede tener una pendiente constante o variable y, dependiendo del tipo
de proyecto, puede ser un alineamiento vertical compuesto por curvas y rectas, en
el caso de una vía o camino. En definitiva, la rasante representa la geometría de la
obra que se realiza.
En la figura 17.1, se presenta un perfil donde la línea azul representa el terreno y
la roja el diseño del proyecto.
FIGURA 17.1 Perfil y diseño
De esta línea rasante se obtienen las cotas de proyecto o trabajo, que corresponden
a las cotas de diseño proyectadas para el perfil longitudinal (línea roja del perfil),
con base en las dos cotas se determina la altura de trabajo –cota del diseño menos
la cota del terreno–, si el valor da negativo se debe cortar y si es positivo se debe
rellenar, como se muestra en la tabla 17.1.
349
CAPÍTULO 17: M OVIMIENTO DE TIERRAS
TABLA 17.1 Cotas del diseño
Abscisa
Cota terreno
Cota diseño
Alt. Trabajo
K0+000
2632.915
2632.915
0.000
K0+010
2634.627
2631.763
-2.864
K0+020
2632.715
2630.610
-2.105
K0+030
2627.403
2629.458
2.054
K0+040
2625.274
2628.305
3.031
K0+050
2624.433
2627.153
2.720
K0+060
2626.000
2626.000
0.000
Para calcular los movimientos de tierras es necesario contar con los perfiles transversales del eje longitudinal, puesto que sobre estos se traza la rasante transversal,
apoyada en las cotas del proyecto, la cual está compuesta por un ancho de banca,
es decir, el ancho del proyecto. En una carretera corresponde al ancho de los carriles, las bermas y las cunetas; en un proyecto de acueducto o alcantarillado es el
ancho mínimo de excavación, el cual depende del diámetro de la tubería. En este
caso la sección se cierra con líneas que unen el ancho de banca con el terreno, pueden ser verticales, ya que solo se excava, se instala la tubería y se vuelve a rellenar,
o con alguna inclinación, la cual es denominada talud y está dada por estudios de
suelos y geotécnicos.
Regularmente para realizar estudios preliminares, sin tener estudios de suelos,
se utiliza un talud en corte de 0.5:1 y en relleno de 1.5:1, donde la primera parte
representa la distancia horizontal y la segunda la distancia vertical, como se
observa en la figura 17.2.
350
TOPOGRAFÍA
FIGURA 17.2 Sección transversal típica
Los taludes son los planos laterales, generalmente inclinados y uniformes, que
delimitan los volúmenes de los rellenos (terraplenes o pedraplenes) y de las
excavaciones. Un talud se define por el avance horizontal que tiene por metro
vertical, así un talud de medio metro horizontal, por la unidad vertical se
denomina ½: 1 o talud de ½ (0.5H:1V). Un talud de metro y medio horizontal,
por la unidad vertical se denomina 3/2: 1 o talud de 3/2 (1.5H:1V).
FIGURA 17.3 Trazo de la rasante en la sección transversal
Para calcular el volumen entre las secciones es necesario determinar el área de
la sección comprendida entre la rasante y el terreno natural, como se muestra
en la figura 17.4.
CAPÍTULO 17: M OVIMIENTO DE TIERRAS
FIGURA 17.4 Área del diseño en la sección transversal
17.2.2 Cálculo del área en la sección transversal
Con el desarrollo de los soſtware para trabajos topográficos, como el CAD, es
muy sencillo determinar al área de la sección, sin embrago es necesario conocer
los métodos manuales, los cuales son la base analítica de los modelos de soſtware.
Existen dos métodos que se emplearon hace unos años cuando todo el diseño
se manejaba de forma análoga, a saber, el cálculo por planímetro polar o digital
y el cálculo por figuras geométricas. En este momento los más utilizados son el
método de cálculo por coordenadas y el método por cartera de chaflanes o regla
de cruces. A continuación se describirá cada uno de los métodos.
Método de cartera de chaflanes o regla de cruces
El chaflán es la localización del punto donde se intercepta el terreno con el diseño,
el método consiste en determinar las distancias desde el eje y las diferencias de
altura desde la cota del proyecto a los puntos de la sección transversal.
• Lo primero que se determina es la cantidad de puntos que componen la
sección, como se muestra en la figura 17.5.
351
352
TOPOGRAFÍA
FIGURA 17.5 Puntos de la sección transversal
• Después se determinan las distancias y las diferencias de altura a partir del
punto 0 (cota del proyecto), como se muestra en la figura 17.6
FIGURA 17.6 Área por método de cartera de chaflanes
• Con base en esta información se arma la cartera, como se muestra en la tabla
17.2.
353
CAPÍTULO 17: M OVIMIENTO DE TIERRAS
TABLA 17.2 Datos para el área por método de cartera de chaflanes
Izquierdas
PUNTO
Eje
Derechas
3
2
1
4
5
6
0.00
2.17
2.15
1.43
1.43
0.00
1.50
2.58
0.00
2.11
2.20
1.50
• Los puntos 2 y 5 son los chaflanes y los puntos 3 y 6 son los cierres de la banca.
• El método consiste en obtener la sumatoria de las multiplicaciones de los
valores en diagonal, como se muestra en la figura 17.7.
FIGURA 17.7 Multiplicaciones de la regla de cruces
TABLA 17.3 Cálculo del área por método de cartera de chaflanes
Concepto
Dato
Sumatoria 1
18.630
Sumatoria 2
3.017
2
Área (m )
7.806
Esta metodología aplica si la sección es totalmente en corte o relleno, si es una
sección mixta se determina de la siguiente manera:
• Al igual que en el caso anterior, se identifican los puntos (figura 17.8).
354
TOPOGRAFÍA
FIGURA 17.8 Puntos sección transversal mixta
• Los puntos 2, 3, 4 y 5 corresponden al área de corte y los puntos 0, 2, 1, 6,
7, 8 y 9 corresponde al área de relleno. De la misma manera se miden las
distancias y las diferencias de altura a partir del punto 0, como se muestra en
la figura 17.9
FIGURA 17.9 Área por método de cartera de chaflanes. Sección mixta
• Con base en esta información se arma la cartera, como se muestra en la tabla
17.4.
355
CAPÍTULO 17: M OVIMIENTO DE TIERRAS
TABLA 17.4 Datos para el área por método de cartera de chaflanes. Sección mixta
IZQUIERDAS
PUNTO
EJE
DERECHAS
5
4
3
2
1
6
7
8
9
0
y4
y3
0
y1
y6
y7
y8
0
d5
d4
d3
d2
0
d6
d7
d8
d9
• Los puntos 4 y 8 son los chaflanes, 5 y 9 son los cierres de la banca y 2 es el
punto de cambio de corte a relleno.
• El método consiste en obtener la sumatoria de las multiplicaciones de los
valores en diagonal, como se muestra en la figura 17.10.
• Se aplica la misma fórmula, teniendo en cuenta que debe aplicarse a cada una
de las áreas (la de corte y la de relleno).
FIGURA 17.10 Multiplicaciones de la regla de cruces
356
TOPOGRAFÍA
Método de coordenadas
Es la misma metodología del cálculo de áreas por coordenadas cartesianas (norte
y este), con la diferencia de que se coloca el origen cartesiano en el punto 0 (cota
del proyecto), como se muestra en la figura 17.11.
FIGURA 17.11 Origen cartesiano
Donde la Y (diferencia de altura) es positiva hacia arriba de la rasante y negativa
hacia abajo, y la X (distancia) es positiva a la derecha de eje y negativa hacia la
izquierda. Según los datos de la figura 17.6, la cartera de coordenadas quedaría
como se presenta en la tabla 17.5.
TABLA 17.5 Coordenadas de los puntos de la sección
PUNTO
Y
X
0
0.00
0.00
3
0.00
-1.50
2
2.17
-2.58
1
2.15
0.00
4
1.43
2.11
5
1.43
2.20
6
0.00
1.50
0
0.00
0.00
El método consiste, igual que el anterior, en obtener la sumatoria de las
multiplicaciones de los valores en diagonal (figura 17.12).
CAPÍTULO 17: M OVIMIENTO DE TIERRAS
FIGURA 17.12 Multiplicaciones de coordenadas
El área se determina con la misma fórmula del área de regla de cruces. Este método
es aplicado tanto para las secciones simples como para las mixtas, recordando que
para las mixtas hay que calcular de forma separada el área de corte y de relleno.
TABLA 17.6 Cálculo del área por método de coordenadas
Sumatoria
Dato
9.8275
-5.7847
Área (m2)
7.8061
Este mismo valor de área se puede determinar si se tiene el dibujo en CAD con el
comando área, como se muestra en la figura 17.13.
FIGURA 17.13 Área en CAD
357
358
TOPOGRAFÍA
17.2.3 Cálculo de la cubicación
Una vez se han calculado las áreas de las secciones transversales se procede a
calcular el volumen correspondiente entre ellas. Para calcular el volumen hay que
suponer que en cada par de secciones transversales consecutivas existe un sólido
geométrico compuesto de elementos conocidos o identificables, como se muestra
en la figura 17.14.
FIGURA 17.14 Sólido entre secciones transversales
Tales sólidos pueden ser:
1. Prismoide
Sólido limitado en los extremos por las caras laterales correspondientes a las
secciones transversales y lateralmente por los planos de los taludes, el plano
de la banca y la superficie del terreno natural, como se muestra en la figura
17.15.
El volumen del prismoide es:
V = (L / 6) (A1 + A2 + 4Am)
Donde:
L
» A1
= Longitud entre secciones, resta de abscisas.
= Área de la sección 1.
A2
» Am
= Área de la sección 2.
= Área media entre secciones.
»
»
Suponiendo que el área media es:
Am = (A1 + A2) / 2
CAPÍTULO 17: M OVIMIENTO DE TIERRAS
La fórmula para el cálculo del volumen de un prismoide es:
V = L * ((A1 + A2) / 2)
FIGURA 17.15 Prismoide en corte
La fórmula se aplica para secciones completas de corte (figura 17.15) o en relleno
(figura 17.16).
FIGURA 17.16 Prismoide en relleno
359
360
TOPOGRAFÍA
2. Piramoide
Cuando se pasa de una sección completa de corte a una mixta, se forma una
figura que tiene base o área en la sección transversal (A) y termina en punta,
como se muestra en la figura 17.17. Esta figura se asemeja a una pirámide,
por lo tanto su volumen se determina con la fórmula:
V = (A * L) / 3
FIGURA 17.17 Piramoide
3. Tronco de piramoide
Cuando se pasa de una sección completa de corte a una mixta o de una
mixta a otra mixta, se forma una figura que en las dos secciones tiene área
no total sino parcial en la sección, por lo tanto se determina como un tronco
de pirámide, como se muestra en la figura 17.18. El volumen de este sólido se
determina con la fórmula:
V = (L / 3) * (A1 + A2 + √(A1 * A2))
CAPÍTULO 17: M OVIMIENTO DE TIERRAS
FIGURA 17.18 Tronco de piramoide
Generalmente en las secciones si no son las dos en corte o relleno, se pasa de
una de corte a una mixta y luego a una de relleno, por ello, para determinar
el volumen se aplican las fórmulas anteriores combinándolas de acuerdo al
sólido que se forme.
En casos especiales, se forma un sólido diferente, cuando una sección es de
corte y la otra de relleno, como se observa en la figura 17.19, de modo que
no es posible aplicar directamente ninguno de los sólidos anteriormente
descritos.
Para calcular el volumen es necesario determinar el cero longitudinal, o sea,
descomponer la longitud total en una longitud de corte o una de relleno. Estas
longitudes se establecen recurriendo a la longitud total y a las diferencias
entre la cota de terreno y la cota de diseño en cada sección, también llamada
altura de trabajo, en la figura 17.19 son las líneas Yc y Yr.
361
362
TOPOGRAFÍA
FIGURA 17.19 Sección especial
Las fórmulas para determinar estas distancias son:
• Longitud de corte:
Lc = (L * Yc) / (Yc + Yr)
• Longitud de relleno:
Lr = (L * Yr) / (Yc + Yr)
Con base en estas longitudes, se calcula el volumen de corte y relleno como una
cuña:
V = (A * L) / 2
Ejemplo de cálculo de la cubicación
Se tienen las siguientes secciones transversales (figura 17.20):
363
CAPÍTULO 17: M OVIMIENTO DE TIERRAS
FIGURA 17.20 Volumen en secciones. Ejemplo
Las áreas de las secciones se presentan en la tabla 17.7.
TABLA 17.7 Áreas de las secciones. Ejemplo
Área (M2)
Abscisa
Corte
K0+040
6.231
K0+030
5.164
K0+020
Altura
Relleno
Trabajo
0.576
4.681
0.311
7.985
1.185
K0+010
6.994
1.335
K0+000
9.415
1.621
Con base en las áreas, el cálculo del volumen se presenta en la tabla 17.8.
364
TOPOGRAFÍA
TABLA 17.8 Cálculo del volumen. Ejemplo
Área (M2)
Abscisa
Corte
K0+040
6.231
K0+030
5.164
K0+020
K0+010
Altura
Relleno
Corte
Relleno
56.892
15.603
17.213
62.599
18.526
18.774
0.576
4.681
7.985
6.994
Trabajo
Volumen (M3)
0.311
1.185
1.335
82.045
K0+000
9.415
1.621
TOTAL
174.676
Lc
5.298
Lr
4.702
96.977
Entre K0+000 y K0+010 se aplica la fórmula:
V = L ((A1 + A2) / 2)
Entre K0+010 y K0+020 se aplican las fórmulas para determinar la longitud de
corte y relleno:
Lc = (L * Yc) / (Yc + Yr)
Lr = (L * Yr) / (Yc + Yr)
Con base en estas longitudes, se calcula el volumen como una cuña, usando la
fórmula:
V = (A * L) / 2
Entre K0+020 y K0+030 se aplican el piramoide, para determinar el volumen de
corte, y el tronco de piramoide, para determinar el volumen de relleno.
V = (A * L) / 3
Entre el K0+030 y K0+040, al igual que en el caso anterior, pero el piramoide para
el volumen de relleno y el tronco de piramoide para el de corte.
CAPÍTULO 17: M OVIMIENTO DE TIERRAS
17.3 Método de las curvas de nivel
Este método es utilizado para determinar volúmenes de zonas de explanación,
aunque se puede aplicar también a otro tipo de proyectos. Consiste en determinar
el área entre curvas de nivel y el límite del proyecto, tal como se muestra en la figura 17.21, y multiplicarla por la altura promedio, la cual se halla restando la cota
de cada curva de la cota del proyecto.
FIGURA 17.21 Área entre curvas de nivel
Para visualizar de mejor manera las alturas, es conveniente realizar un perfil entre
los puntos de mayor diferencia de nivel y demarcar la cota del proyecto, como se
muestra en la figura 17.22.
FIGURA 17.22 Perfil de la zona de proyecto
365
366
TOPOGRAFÍA
Sobre el perfil se traza la línea de proyecto, para el ejemplo es la cota 55.000, con
la cual se pueden diferenciar la zona de corte y la de relleno, como se muestra en
la figura 17.23.
FIGURA 17.23 Zonas de corte y relleno
367
CAPÍTULO 17: M OVIMIENTO DE TIERRAS
Para determinar el volumen, lo primero es calcular las áreas entre las curvas (A1,
A2, A3, A4 y A5) en las gráficas, las cuales se pueden determinar con cualquiera
de los métodos manuales o con soſtware conocidos, estas áreas se presentan en la
tabla 17.9.
TABLA 17.9 Áreas entre las curvas de nivel
Número
Curva De Nivel
Área
52.000
A1
2.150
53.000
A2
19.761
54.000
A3
25.599
55.000
A4
15.448
56.000
A5
2.676
57.000
Con base en la cota de proyecto, se calculan las diferencias de altura de cada curva
y se determina la altura promedio, separando corte y relleno; el resultado se presenta en las tablas 17.10 y 17.11.
TABLA 17.10 Cálculo de las diferencias de altura. Relleno
Número
Curva
de Nivel
Área
52.000
A1
Cota
Proyecto
Diferencia
de altura
55.000
3.000
2.150
53.000
A2
2.500
55.000
2.000
19.761
54.000
A3
1.500
55.000
1.000
25.599
55.000
Dif. Alt.
Promedio
0.500
55.000
0.000
368
TOPOGRAFÍA
TABLA 17.11 Cálculo de las diferencias de altura. Corte
Curva
de nivel
Número
Área
Cota
proyecto
Diferencia
de altura
55.000
0.000
55.000
A4
Dif. Alt.
Promedio
15.448
0.500
56.000
55.000
A5
1.000
2.676
1.500
57.000
55.000
2.000
El volumen es la diferencia de altura promedio por el área entre las curvas de
nivel, este volumen se calcula, como ya se ha mencionado, de forma separada. El
volumen final se presenta en las tablas 17.12 y 17.13.
TABLA 17.12 Cálculo volumen de relleno
Número
Curva
de nivel
Área
Dif. Alt.
Promedio
Volumen
2.150
2.500
5.375
19.761
1.500
29.642
25.599
0.500
12.800
TOTAL
47.816
52.000
A1
53.000
A2
54.000
A3
55.000
TABLA 17.13 Cálculo volumen de corte
Número
Curva de
nivel
Área
Dif. Alt.
Promedio
Dif. Alt.
Promedio
15.448
0.500
7.724
2.676
1.500
4.014
TOTAL
11.738
55.000
A4
56.000
A5
57.000
C A P Í T U L O 18
PLANOS
T O P O G RÁ F I C O S
L
os planos topográficos se utilizan para la representación gráfica de superficies
terrestres con sus accidentes y obras civiles que puedan encontrarse. Existen
básicamente dos tipos de mapas topográficos:
• Planimétrico: representa dos dimensiones (X, Y) de los elementos naturales
y artificiales de un terreno. Este tipo de plano se utiliza cuando únicamente se
necesita conocer la ubicación y/o forma de los elementos que se encuentran
en el terreno.
• Altimétrico: representa el relieve del terreno o dimensión (Z) por medio de
las curvas de nivel. Este tipo de planos se utiliza para analizar diferencias
de nivel y posibles movimientos de tierra en el desarrollo de un proyecto de
infraestructura.
La elaboración de planos topográficos se realiza teniendo como base las
coordenadas de los puntos o detalles de un levantamiento. Estas pueden ser
polares (ángulos y distancias con respecto a un punto de base o referencia) o
rectangulares (norte y este).
Aunque actualmente existen varios programas de computador que permiten
realizar planos topográficos más completos y con excelente rendimiento, es
importante que la comunidad académica conozca los procesos manuales
de elaboración de planos y, de esta manera, puedan validar y verificar que los
resultados de cualquier soſtware sean correctos.
370
TOPOGRAFÍA
En proyectos lineales, los planos topográficos comprenden la representación de
la planta con sus respectivas curvas de nivel, perfiles longitudinales y perfiles
transversales o secciones transversales según corresponda. En el texto AutoCAD
para Topografía y vías (de los mismos autores y publicado por ECOE Ediciones) se
explica detalladamente el proceso de escala y presentación de los tipos de planos
mencionados.
Para la elaboración de los planos topográficos se deben definir varios aspectos
como son:
• Formato del plano: tamaño del papel y distribución y contenido del
rótulo correspondiente. Regularmente cada entidad o empresa contratante
establece los tipos de formato que se deben utilizar para la elaboración de los
respectivos planos según el tipo de proyecto que se esté desarrollando. Existen
básicamente dos sistemas para trabajar los tipos de formatos: el sistema ASA
y el sistema DIN.
» El sistema ASA tiene como base el tamaño de pliego (100 cm * 70 cm), sus
derivaciones se presentan en la tabla 18.1. Es importante anotar que entre
más grande sea el tamaño del formato, a mayor escala se podrá representar
el terreno y/o construcción. Regularmente para planos topográficos se
utilizan el pliego y el medio pliego. En las figuras 18.1 y 18.2 se presentan
los formatos de pliego y de medio pliego.
TABLA 18.1 Derivaciones de un pliego
Formato
Tamaño (cm)
1 pliego
100 * 70
½ pliego
70 * 50
¼ de pliego
50 *035
1/8 de pliego
35 * 25
CAPÍTULO 18: PLANOS TOPOGRÁFICOS
FIGURA 18.1 Formato pliego (medidas en milímetros)
FIGURA 18.2 Formato medio pliego (medidas en milímetros)
371
372
TOPOGRAFÍA
»
El sistema DIN define sus magnitudes de ancho y alto de acuerdo al
formato A0 y de este se derivan los otros formatos, tal como se presenta en
la tabla 18.2. En las figuras 18.3 y 18.4 se presentan los formatos A1 y A2.
TABLA 18.2 Formatos DIN
Formato
Área (m)
Dimensiones
(mm)
Margen izq.
Margen der.
A0
1
841 * 1189
30 mm
10 mm
A1
½
594 * 841
30 mm
10 mm
A2
1/4
420 * 594
30 mm
10 mm
A3
1/8
297 * 420
25 mm
5 mm
A4
1/16
210 * 297
25 mm
5 mm
A5
1/32
148 *210
25 mm
5 mm
FIGURA 18.3 Formato A1 (medidas en milímetros)
CAPÍTULO 18: PLANOS TOPOGRÁFICOS
FIGURA 18.4 Formato A2 (medidas en milímetros)
• Escalas: regularmente el tamaño del terreno es de proporciones muchísimo
mayores que el tamaño del formato o del papel, por ello se debe establecer
una relación entre dichos tamaños, tal relación se denomina escala. Una
escala 1:100 significa que cualquier medida del terreno es 1000 veces más
grande que su medida homologa en el plano.
La escala para los planos topográficos la define la entidad o persona
contratante del proyecto, pero debe ser lo suficientemente grande para que
se puedan percibir adecuadamente todos y cada uno de los elementos que se
representarán en el plano. Lógicamente entre más grande sea la escala mucho
mejor.
Para calcular la escala, se debe dividir el tamaño del terreno entre el tamaño
del papel. En las dos direcciones Norte y Este, frente al ancho y al alto del
formato.
En la elaboración de planos topográficos planimétricos regularmente se
utilizan las siguientes escalas: 1:50, 1:100, 1:500, 1:1.000, 1:2.000, 1:5.000,
1:10000 y 1:20000; los perfiles longitudinales, a escalas 1: 500 o 1:1000; y los
planos de secciones transversales se deben realizar a escala 1:100 o 1: 200.
En la tabla 18.3 se presentan las equivalencias de medidas sobre el plano para
cada una de las escalas recomendadas.
373
TOPOGRAFÍA
374
so r te m 1.0
so r te m 2.0
so r te m 5.0
o r tem 1
so r te m 2
so r te m 5
so r te m 01
so r te m 02
so r te m 1
so r te m 2
so r te m 5
so r te m 01
so r te m 02
so r te m 05
so r te m 001
so r te m 002
s o r te m 05
so r te m 001
so r te m 002
so r te m 005
so r te m 0001
so r te m 0002
so r te m 0005
so r te m 00001
so r te m 00002
05:
001:
002:
005:
0001:
0002:
0005:
00001:
00002:
1
1
1
1
1
1
1
1
1
SAÑEUQEP
SANAIDEM
SEDNARG
sadadnemocer sacfiárgopot salacsE
so r te m 5.0
a elaviuqe ortemítneC 1 a elaviuqe orteM 1
so r te m 50.0
a elaviuqe ortemíliM 1
onerret ed sadidem ne aicnelaviuqe /onalp le ne sadideM
sacfiár go po t salacse sal ed saicnelaviuqE 3 .81 ALBAT
CAPÍTULO 18: PLANOS TOPOGRÁFICOS
18.1 Información en planos topográficos
A continuación se relacionan los elementos necesarios que debe contener un
plano topográfico:
• Rótulo: contiene el título del plano, entidad contratante o a quien se presenta
el plano, entidad que elabora o presenta el plano, fecha de elaboración, el
valor numérico de la escala y, en caso de que el proyecto tenga varios planos,
especifica cuál es el plano en mención.
• Grilla de coordenadas: se hace de 10 centímetros por 10 centímetros según
la escala de ploteo del plano. Por ejemplo, si el plano es escala 1:100 la grilla
de coordenadas debe ser de 100 metros por 100 metros; tal como se presenta
en la figura 18.5. Es indispensable que todo plano topográfico presente la
grilla o cuadrícula de coordenadas.
FIGURA 18.5 Grilla de coordenadas
• Cuadrícula de abscisas y cotas: los planos de perfiles longitudinales deben
tener la cuadrícula donde se relacionen las cotas y abscisas del respectivo
perfil, se recomienda que cuando se ploteé el plano, según la escala, la
cuadrícula menor sea de 1 centímetro y la mayor sea de 5 centímetros.
La cuadrícula mayor se dibuja de un color más oscuro y en esta es donde
se colocan los valores correspondientes de cotas y abscisas, tal como se
presenta en la figura 18.6.
375
376
TOPOGRAFÍA
FIGURA 18.6 Cuadrícula perfil longitudinal
• Distancias al eje y cotas: los planos de secciones transversales deben tener
la cuadrícula en todas y cada una de las secciones, donde se relacionen las
cotas y distancias al eje, se recomienda que cuando se imprima el plano,
según la escala, la cuadrícula menor sea de 1 centímetro y la mayor sea de 5
centímetros. La cuadrícula mayor se debe dibujar de un color más oscuro y en
esta es donde se relacionan los valores correspondientes de cotas y distancias
al eje, ver figura 18.7.
CAPÍTULO 18: PLANOS TOPOGRÁFICOS
FIGURA 18.7 Cuadrícula secciones transversales
• Norte: tal como se percibe en la parte superior derecha de la figura 18.8,
el tamaño de la norte debe estar entre 2 y 4 centímetros, según la escala de
impresión. Es indispensable que en la planta de los planos topográficos se
dibuje la norte y se indique su respectiva dirección.
FIGURA 18.8 Norte dibujada en la planta de un plano topográfico
377
378
TOPOGRAFÍA
• Escala numérica y gráfica: en el rótulo se debe relacionar numéricamente la
escala o escalas del plano, igualmente, con el propósito de medir distancias
en el plano y no tener que realizar multiplicaciones o divisiones que puedan
conducir a errores, se deben dibujar las escalas gráficas. Rectas divididas en
partes iguales anotando en cada una, a partir del cero, la magnitud equivalente
en el terreno, la longitud de estos segmentos se elige de modo que quede
expresada por un número sencillo.
Para utilizar la escala gráfica se toma con un compás, en el plano, la magnitud
cuya equivalencia en el terreno se quiere hallar, entonces se apoya una de las
puntas del compás en la división exacta de la escala que corresponda para que
la otra punta del compás caiga en la división de la izquierda del cero y así se
determinan las distancias con la precisión que tenga la cabeza de escala.
La escala gráfica tiene una longitud de 10 centímetros y un espesor de 4
milímetros, en la figura 18.9 se presentan algunas escalas gráficas, nótese
que para escalas de múltiplos de 2, la cabeza de escala tiene divisiones de 5
mm; para múltiplos de 10, 2 mm; y para múltiplos de 5, de 2 mm.
FIGURA 18.9 Escalas gráficas
• Convenciones topográficas: esquemas que se realizan de los diferentes
elementos que se localizan en un plano topográfico con el objeto de que
se puedan identificar sin necesidad de colocar el texto que lo identifique
aunque no existe ninguna especificación para la elaboración de convenciones
es importante que representen adecuadamente cada elemento según
CAPÍTULO 18: PLANOS TOPOGRÁFICOS
corresponda. A continuación se presentan algunas convenciones que
generalmente se usan en la elaboración de planos topográficos.
FIGURA 18.10 A Convenciones topográficas
FIGURA 18.10 B Convenciones topográficas
379
380
TOPOGRAFÍA
• Textos: el tamaño del texto depende de la jerarquía o importancia que se necesite darle al elemento o descripción del texto correspondiente, se aconseja
que el tamaño de los textos no sea mayor a 2.5 milímetros ni menor a 1.5
centímetros. El estilo de letra no está estandarizado.
18.2 Elaboración de planos correspondientes a
levantamientos topográficos
Si se realizó el levantamiento por cinta o por brújula y cinta, el plano se elabora
usando la misma metodología utilizada en el proceso de campo y los mismos
cálculos. Primero se dibuja el polígono y luego los detalles, para lo cual se utilizan
líneas rectas, líneas curvas, círculos, triángulos, polígonos, perpendiculares; todo
según corresponda a los elementos que representará el plano.
Si se realizó un levantamiento por coordenadas, radiación, doble radiación y/o
poligonal, se deben tener las coordenadas Norte y Este que contenga la totalidad
de los puntos o detalles de los elementos encontrados en el levantamiento
topográfico. Luego se realiza el análisis preliminar para estimar cuántos metros
cubre el plano en las direcciones Norte y cuántos en las direcciones Este para así
determinar el formato, la escala y la orientación del papel.
El plano se dibuja ubicando las coordenadas de cada punto o detalle del
levantamiento, proceso que se explica detalladamente en el libro Planimetría (de
los mismo autores, publicado por Ecoe Ediciones – Universidad Distrital).
BIBLIOGRAFÍA
Botia, Rincón y Vargas (2011). Altimetria. Bogotá: Universidad Distrital.
IGAC (2002). El Uso de Mapas y Fotografías Aéreas.
González, Rincón y Vargas (2012). Diseño geométrico de vías. Bogotá: Universidad
Distrital.
González, Rincón y Vargas (2011). Localización de carreteras. Bogotá: Universidad
Distrital.
(ONU (2013). Sistemas de Información Geográfica y Cartografía Digital,
Publicación.
Rincón, González y Vargas (2012). Planimetría . Bogotá: Ecoe Ediciones Universidad Distrital.
Rincón, González y Vargas (2017). AutoCAD aplicado a Topografía y Vías. Bogotá:
Ecoe Ediciones.
Este libro fue compuesto en carácteres Minion
a 11 puntos, impreso sobre papel Bond de 75
gramos y encuadernado con el método hot melt,
en agosto de 2017, en Bogotá, Colombia.
Incluye
Explicación y desarrollo de los
métodos para la realización de
TOPOGRAFÍA
levantamientos topográficos.
Desarrollo de los diferentes métodos
de ajustes de Poligonales utilizados
CONCEPTOS Y APLICACIONES
profesionalmenteen Colombia.
Presentación de nueva metodología
para levantamientos topográficos en
La topografía es una ciencia que avanza a gran-
obras lineales denominadas
des velocidades y cada día se realizan procesos
poligonales controladas en cada
con una gran eficiencia y mayores precisiones;
delta.
los autores, como fruto de su ejercicio profesio-
Desarrollo de cada tema
nal,
acompañado de planteamientos,
investigativo
y
docente,
presentan
los
ejemplos prácticos y ejercicios para
conceptos actualizados y las aplicaciones de la
que sean desarrollados como
topografía en el desarrollo de obras civiles.
complemento.
Esta obra explica detalladamente los conceptos
principales del área de topografía y las diferentes metodologías para la realización de proyectos, abordando de manera clara y precisa las
temáticas de planimetría, altimetría y su combi-
Mario Artu ro Rincó n Villalba
Tecnólogo en topograf ía, Ingeniero Topográfico
y Especialista en Ambiente y Desarrollo local de
la Universidad Distrital Francisco José de Caldas,
Magister en Construcción de obras viales de la
Universidad Santo Tomás. Docente del programa
nación en la generación de modelos digitales
de terreno y planos topográficos.
curricular de Ingeniería Topográfica de la Universidad Distrital Francisco José de Caldas.
Wilson Ernesto Vargas Vargas
Dirigido a estudiantes, docentes y profesionales
en Ingeniería que tengan relación con el campo
de la topografía y su aplicación a proyectos de
Tecnólogo en topograf ía, Ingeniero Topográfico
y Especialista en Gerencia de Recurso s Naturales
de
la
Universidad
Distrital
Francisco
José
de
Caldas, Magister en Ingeniería – Transporte de la
infraestructura.
Universidad Nacio nal de Colombia. Docente de
las
Colección: Ingeniería y salud en el trabajo
Área: Ingeniería civil
universidades
Distrital
Francisco
José
de
Caldas y Nacio nal de Co lo mbia.
Carlos Javier Go nzález Vergara
Ingeniero en Transportes y Vías de la Universidad
Pedagógica y Tecnológica de Colombia, Especialista en Inf raestructura Vial y de Transporte de la
Universidad de Los Andes, Magister en Ingeniería
Civil de
la
Pontificia Universidad Javeriana.
Docente de las universidades Distrital Francisco
José de Caldas y Nacio nal de Co lo mbia.
ISBN 978-958-771-506-4
9 789587 715064
www.ecoeediciones.com
e-ISBN 978-958-771-507-1
Descargar