Física-1 MRUV

Física
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME Y
UNIFORMEMENTE VARIADO
1
El estudiante está en la capacidad de reconocer:
• El movimiento mecánico y sus elementos.
• Las características del movimiento rectilíneo uniforme y del movimiento rectilíneo uniformemente variado.
Su análisis de la física aristotélica le permitió demostrar la falsedad del postulado
según el cual la aceleración de la caída de los cuerpos, en caída libre, era proporcional
a su peso, y conjeturó que en el vacío todos los cuerpos caen con igual velocidad.
Demostró también que la distancia recorrida por un móvil en caída libre es
inversamente proporcional al cuadrado del tiempo. Limitado por la imposibilidad
de medir tiempos cortos y con la intención de disminuir los efectos de la gravedad,
se dedicó al estudio del plano inclinado, lo que le permitió comprobar la
independencia de las leyes de la caída de los cuerpos respecto de su peso y demostrar
que la aceleración de dichos planos es constante. Basándose en la descomposición
de fuerzas que actúan sobre un móvil, demostró la compatibilidad entre el movimiento
de rotación de la Tierra y los movimientos particulares de los seres y objetos situados
sobre ella.
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tKfV_05_UO8
143
Física
CINEMÁTICA
Se divide según su trayectoria
MOV.
RECTILÍNEO
MOV.
CURVILÍNEO
Se divide en
M.P.C.L.
M.R.U.
M.R.U.V.
Caso particular
M.V.C.L.
MOVIMIENTO MECÁNICO
Llamamos cuerpo de referencia al cuerpo con relación
al cual se define la posición de todos los demás cuerpos del
universo. Comúnmente el cuerpo de referencia es el observador que describe el fenómeno de movimiento.
Por regla, con el cuerpo de referencia se enlazan tres
rectas mutuamente perpendiculares, es decir, los ejes de
coordenadas, de tal forma que la posición de un punto
cualquiera M en el espacio se define por sus coordenadas
x, y, z.
Se denomina sistema de referencia a un sistema de
coordenadas que se encuentra asociado a un cuerpo de
referencia y al conjunto de relojes sincronizados ubicados
en diferentes puntos del sistema de coordenadas.
Se dice que un cuerpo se encuentra en movimiento,
respecto de un sistema de referencia, cuando su posición
cambia continuamente en el tiempo.
A manera de ejemplo, consideremos el caso que un
observador ubicado en la tierra observa un avión que vuela horizontalmente y que de pronto deja caer una bomba.
En el sistema de referencia asociado con el observador, el
proyectil se encuentra en movimiento ya que éste cambia
de posición continuamente al transcurrir el tiempo.
144
Y
d
Observador
Reloj
X
Se denomina desplazamiento a la magnitud vectorial
que expresa el cambio de posición neto que experimenta
un móvil durante su movimiento. Se representa por un
vector d que une la posición inicial con la posición final del
móvil en un cierto intervalo de tiempo.
Se denomina trayectoria a la línea que describe un
móvil durante su movimiento.
Se denomina recorrido a la longitud de la trayectoria
descrita por un móvil durante un cierto intervalo de tiempo.
Física
Es importante señalar el carácter relativo del concepto
de movimiento, ya que las características de éste dependen
del sistema de referencia elegido. Un cuerpo puede describir un movimiento de trayectoria rectilínea respecto de un
sistema de referencia y al mismo tiempo describir un movimiento de trayectoria curvilínea respecto de otro o estar en
movimiento respecto de un sistema de referencia y al mismo tiempo encontrarse en reposo respecto de otro.
v
v
El movimiento de la piedra descrito por un observador
situado sobre el avión es diferente del movimiento
descrito por un observador en la Tierra.
Y
X
Z
v1
v2
145
Física
VELOCIDAD (v)
La velocidad (v) es una magnitud vectorial cuyo módulo mide la rapidez de movimiento de un móvil en cierto
instante, entendiéndose por esto, la rapidez con que éste
cambia de posición respecto de cierto sistema de referencia. Si un cuerpo se encuentra en reposo en cierto sistema
de referencia, su velocidad es nula. Por otro lado, si el cuerpo se encuentra en movimiento, en este sistema de referencia, el cuerpo tiene velocidad. Cuando más rápido se mueve un cuerpo, en ese sistema de referencia, mayor será el
módulo de su velocidad. La dirección de la velocidad del
móvil siempre es tangente a su trayectoria en cada uno de
sus puntos.
En el Sistema Internacional de unidades (SI) la velocidad se mide en metros por segundo (m/s), aunque suele
medirse en kilómetros por hora (km/h).
ACELERACIÓN (a)
Es una magnitud vectorial que mide la rapidez con que
cambia la velocidad de un móvil. Es decir, si la velocidad de
un móvil cambia en módulo o dirección, éste experimenta
una aceleración.
30 km/h
Si un cuerpo se mueve rectilíneamente la aceleración a
tendrá la misma dirección que su velocidad v si el módulo
de ésta se encuentra aumentando y tendrá dirección opuesta
si se encuentra disminuyendo.
a
v
Si el cuerpo se mueve curvilíneamente su aceleración
a siempre apunta hacia la parte cóncava de la trayectoria en
cada punto y formará un ángulo agudo con la velocidad v
si el módulo de ésta se encuentra aumentando o formará
un ángulo obtuso si se encuentra disminuyendo.
X
(1)
30
/h
km
En el ejemplo mostrado en la figura superior decimos
que el auto está acelerando debido a que su velocidad está
cambiando de dirección, aunque su rapidez no cambia.
146
v1
: obtuso
a1
30 km/h
v: aumenta
v: disminuye
60 km/h
En el ejemplo mostrado en la figura superior decimos
que el auto está acelerando debido a que su velocidad está
aumentando en valor.
v
a
(2)
v2
: agudo
a2
Y
En la figura superior, cuando el móvil pasa por el punto (1) el valor de su velocidad en ese instante (v1) se encuentra disminuyendo y cuando pasa por el punto (2) el
valor de su velocidad (v2) se encuentra aumentando.
En el Sistema Internacional de unidades la aceleración
2
se mide en metros por segundo cuadrado (m/s ), aunque
también puede medirse en centímetros por segundo cua2
drado (cm/s ).
Física
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME
Se denomina así a aquel movimiento que se caracteriza porque su velocidad v permanece constante en el tiempo. Esto implica que el móvil se mueve en línea recta y que
su rapidez de movimiento no cambia en el tiempo.
En este tipo de movimiento el móvil recorre distancias
iguales en tiempos iguales.
Como ejemplo de este tipo de movimiento están los
trenes que cuando moviéndose rectilíneamente han alcanzado su velocidad de crucero y la mantienen o las escaleras
eléctricas de un centro comercial.
Analicemos el caso de un móvil que se mueve horizontalmente describiendo un M.R.U.V. recorriendo 3 metros en cada segundo:
t=0
t=1 s
t=2 s
t=3 s
v
v
v
d=3 m
d=3 m
d=3 m
v
Como en cada segundo de tiempo el móvil recorre
una distancia de 3 metros, el módulo de la velocidad constante que caracteriza este movimiento será de 3 metros por
segundo, es decir:
v = 3 m/s
En este tipo de movimiento la distancia d recorrida por
el móvil, y el desplazamiento experimentado, son proporcionales al tiempo transcurrido t, cumpliéndose que:
d=v·t
y por tanto: v  d
t
td
v
Si un móvil que se mueve con M.R.U. con una rapidez
v se encuentra inicialmente en el punto x = xo, su ley de
movimiento será:
x = xo + v · t
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E3L97M8c9rI
147
Física
MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.R.U.V.)
Se denomina así a aquel movimiento rectilíneo que se
caracteriza porque su aceleración a permanece constante
en el tiempo (en módulo y dirección).
En este tipo de movimiento el valor de la velocidad
aumenta o disminuye uniformemente al transcurrir, esto
quiere decir que los cambios de velocidad son proporcionales al tiempo transcurrido, o, lo que es equivalente, en
tiempos iguales la velocidad del móvil aumenta o disminuye en una misma cantidad.
Ejemplo típico de M.R.U.V. es el movimiento que describe un cuerpo cuando es dejado caer desde una pequeña
altura de la Tierra o un cuerpo que se mueve libremente
por un plano inclinado sin considerar ningún tipo de rozamiento.
Tomemos el caso que tenemos un móvil que se mueve
horizontalmente describiendo un M.R.U.V. aumentando su
velocidad en 2 m/s en cada segundo de tiempo.
Como en cada segundo de tiempo su velocidad cambia en 2 metros por segundo, el módulo de su aceleración
es de 2 metros por segundo cuadrado, es decir:
2
a = 2 m/s
Como en este caso los cambios de velocidad son proporcionales al tiempo transcurrido, podemos construir la
tabla mostrada a continuación:
 t (s)  v (m/s)
1
2
2
4
3
6


t
2t
De esta tabla concluimos que el cambio de velocidad
es igual al producto de la aceleración a por el intervalo de
tiempo transcurrido t, es decir:
v  a t
v = vo + a t
En el ejemplo vemos que el móvil se mueve cada vez
más rápido y por tanto las distancias recorridas por el móvil
en cada segundo serán diferentes.
Como en el M.R.U.V. el valor de la velocidad aumenta
o disminuye de manera uniforme, el valor medio de la
velocidad, en un cierto intervalo de tiempo, es igual al promedio de la velocidad inicial y final en este tramo, es decir,
la velocidad media será:
vo  v
2
y como la distancia recorrida se puede determinar multiplicando su velocidad media por el tiempo transcurrido, tenemos que: d = vm · t
vm 
148
Según esto, la distancia recorrida por el móvil en cada
segundo se obtiene multiplicando el valor de su velocidad
media en ese intervalo de tiempo por el tiempo de 1 s.
Evaluando:
d1 = 1 m
d2 = 3 m
d3 = 5 m
En general, si un móvil parte del reposo (vo = 0) y se
mueve con M.R.U.V., las distancias recorridas en cada segundo aumentan en la forma que se indica en la figura:
1s
vo=0
1s
d1  a
2
1s
d2  3 a
2
d3  5 a
2
Esta secuencia constituye lo que se conoce con el nombre de números de Galileo, porque fue el primero que se
dio cuenta de esta relación (k; 3k; 5k; 7k; ...).
Las relaciones que se cumplen en el M.R.U.V. son las
siguientes:
N.°
1.°
2.°
3.°
4.°
5.°
Existen
que son las
vo:
v:
a:
FÓRMULA
v  vo  a t
v v
d o
t
 2 
2
d  vo t  1 a t
2
2
2
v  v0  2 a d
2
d  vt – 1 at
2
cinco magnitudes características del M.R.U.V.
siguientes:
velocidad inicial (m/s)
velocidad final (m/s)
2
aceleración (m/s )
t: intervalo de tiempo (s)
d: distancia (m)
En cada una de las relaciones anteriores sólo intervienen cuatro magnitudes y por tanto en cada una no interviene una de las cinco magnitudes características. Así, por ejemplo, en la primera relación no interviene la distancia d; en la
segunda no interviene la aceleración a; en la tercera no
interviene velocidad final v; en la cuarta no interviene el
tiempo t y en la quinta no interviene la velocidad inicial vo.
En un problema en concreto se utilizará la relación que
involucre la relación de las magnitudes que intervienen en
el problema.
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ud_HQ80PEU4
Física
1. Ex. Admisión UNMSM 2005-II
Dos ciclistas, A y B, parten simultáneamente desde
puntos opuestos de un camino recto, separados por
una distancia. Sean vA y vB las velocidades constantes
de los ciclistas A y B, respectivamente. Ambos ciclistas
se encuentran al cabo de un minuto. Si vB=5 m/s y la
distancia recorrida por el ciclista A es igual a
 43 d  ,
2. Ex. Admisión UNMSM 2005-II
Una avioneta tiene una velocidad de 120 km/h respecto del aire. Hay viento favorable de 400 km/h. ¿En
cuánto tiempo recorre una distancia de 320 km?
A) 1,5 h
B) 4 h
C) 2 h
D) 2,5 h
E) 4,5 h
Resolución:
vaire
entonces la velocidad del ciclista A (vA) y la distancia d
será:
vavioneta
2
A) 1,7 m/s y 4 × 10 m
3
B) 20 m/s y 4,8 × 10 m
3
Dato: vavioneta/aire = 120 km/h
vavioneta = vaire + vavioneta/aire
vavioneta = 160 km/h
Nos piden:
d = vavioneta · t  320 = 160 t
t  2h
C) 15 m/s y 1,2 × 10 m
3
D) 10 m/s y 2,4 × 10 m
2
E) 3,3 m/s y 8 × 10 m
Resolución:
60 s
60 s
Rpta.: C
vB=5 m/s
vA
d
4
3d
4
300 m
•
Se tiene del gráfico:
d  300  d  1200 m
4
•
Para el móvil A:
dA = vA · t
900  v  15 m/s
A
60
Rpta.: C
1. Un niño lanza una canica sobre una superficie lisa. la
canica se mueve con velocidad constante y en 5 s recorre 20 m. ¿Con qué velocidad se mueve la canica?
Rpta.: 6 m/s
2. Un auto se mueve con rapidez constante de 72 km/h.
¿Qué distancia en metros recorre en 5 s?
Rpta.: 100 m
3. Ex. Admisión UNI 1993-II
Un automóvil circula por una avenida recta y se ha
observado que la posición x del vehículo está dada
por la ecuación x = 6 t + 12 (t en segundos y x en
metros). Determine la velocidad media, en m/s, del
automóvil en el intervalo de tiempo desde t = 0 hasta
t = 10 s.
A) 4
B) 6
C) 8
D) 10
E) 12
Resolución:
Si un cuerpo se mueve con M.R.U. su ecuación de
movimiento será:
x = xo + v · t
Del problema: x = 12 + 6 t
 
Además, en un M.R.U. se verifica que v  vmedia .

Luego v media  6 m/s
Rpta.: B
3. Del gráfico, calcule d.
15 m/s
5s
d
Rpta.: 75 m
149
Física
4. Un coche viaja a la velocidad de 36 km/h. ¿Qué distancia recorre en 10 s?
Rpta.: 100 m
5. Al cabo de qué tiempo a partir del instante mostrado el
guepardo alcanza a su presa?
18 m/s
3 m/s
75 m
Rpta.: 5 s
6. Un cuerpo parte del reposo con M.R.U.V. y avanza
54 m en los primeros 6 s. ¿Qué aceleración posee el
cuerpo?
Rpta.: 3 m/s
2
7. Un auto se mueve a 30 m/s, aplica los frenos y desacelera durante 10 s hasta que se detiene. ¿Qué distancia
recorre en ese tiempo?
12. Un camión debe recorrer 300 km en 6 h, pero a la
mitad del camino se detiene una hora por un desperfecto mecánico. ¿Con qué velocidad debe continuar su
viaje para llegar a su destino?
Rpta.: 75 km/h
13. Un auto que desarrolla un M.R.U.V. pasa por un punto
con una velocidad de módulo v y luego de recorrer 80
m el módulo de su velocidad es 7v. Determine v si el
auto tardó 10 s en dicho recorrido.
Rpta.: 2 m/s
14. Un misionero inicia su movimiento y en dos segundos
consecutivos recorre 26 m y 30 m. Si el misionero
describe M.R.U.V., determine en qué segundo de su
movimiento recorre 46 m.
Rpta.: duodécimo
15. Una ciclista que realiza un M.R.U.V. pasa frente a un
poste con una velocidad cuyo módulo es de 72 km/h y
dos segundos después pasa frente al siguiente poste.
Determine a qué distancia del segundo poste se detiene.
Rpta.: 150 m
8. Un móvil parte con cierta rapidez y recorre 120 m a
2
razón de 0,5 m/s . Determine qué rapidez tenía al partir si al finalizar tiene 13 m/s.
32 m
Rpta.: 7 m/s
Rpta.: 18 m
9. ¿En qué tiempo los móviles mostrados se encuentran
si avanzan al mismo tiempo?
16. Un auto inicia su movimiento con aceleración cons2
tante de módulo 1 m/s , en el instante que la luz del
semáforo cambia a verde, tal como se muestra. En ese
mismo instante un ciclista está viajando con rapidez
constante de 7 m/s, pero está a 20 m detrás del semáforo. Determine el menor tiempo que debe transcurrir
para que dichos móviles estén juntos.
2 m/s
6 m/s
Rpta.: 3 s
10. Un auto se desplaza con rapidez constante v durante
16 s, recorriendo una determinada distancia. Luego
aumenta su rapidez en 4 m/s, recorriendo la misma
distancia en 14 s. Hallar v.
Rpta.: 28 m/s
11. Un tren de pasajeros avanza con una rapidez de
72 km/h y demora 15 s en pasar delante de una persona. ¿Cuál es la longitud del tren?
Rpta.: 300 m
150
vo=0
7 m/s
1 m/s
20 m
Rpta.: 18 m
Física
1. Identifique la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones:
I. Una partícula tiene velocidad constante cuando
su rapidez es constante.
II. Cuando una partícula se mueve con M.R.U. la trayectoria y el desplazamiento son iguales.
III. La velocidad apunta en la dirección del desplazamiento.
A) FFF
B) VFF
C) FVV
D) VFV
E) FVF
2. Una partícula realiza un M.R.U. con v=+5 m/s. Si en
to=0 se tiene xo=10 m, halle el tiempo transcurrido
cuando la distancia recorrida es 30 m.
A) 5 s
B) 6 s C) 4 s
D) 3 s
E) 2 s
3. Un cuerpo realiza un M.R.U. Si en los 4 primeros segundos recorre 6 m más que en el tercer segundo,
determine la rapidez del auto.
A) 1 m/s
B) 2 m/s
C) 3 m/s
D) 4 m/s
E) 5 m/s
4. Un tren de 100 m de longitud viaja con rapidez constante de 72 km/h. ¿Cuántos segundos tardará en pasar
completamente por un túnel de 400 m?
A) 20 s
B) 25 s
C) 35 s
D) 40 s
E) 50 s
5. Un móvil parte del reposo con una aceleración de
2
4 m/s . Determine su rapidez al cabo de 5 s.
A) 20 m/s
B) 25 m/s
C) 22 m/s
D) 24 m/s
E) 26 m/s
6. Una partícula recorre 60 m en 5 s. Si termina con una
rapidez de 8 m/s, ¿cuál fue la rapidez inicial?
A) 14 m/s
B) 15 m/s
C) 16 m/s
D) 17 m/s
E) 18 m/s
7. Un camión se mueve en línea recta y aumenta su rapi2
dez de 20 m/s a 30 m/s, acelerando a razón de 5 m/s .
¿Qué distancia logró recorrer?
A) 20 m
B) 50 m
C) 24 m
D) 30 m
E) 60 m
9. Un ciclista que se desplaza en una pista rectilínea pasa
frente a un poste con una rapidez constante de 6 m/s.
Si luego de 7 s pasa frente al poste un automóvil con
una rapidez constante de 20 m/s y en la misma dirección que el ciclista, determine luego de cuánto tiempo
el ciclista es alcanzado por el automóvil.
A) 3 s
B)
2s
C) 4 s
D) 6 s
E) 8 s
10. La figura muestra el instante t=0 s en que dos móviles
se mueven a lo largo del eje X con velocidades constantes. Determine la posición (en m) del móvil A cuando ambos nuevamente se encuentran separados
100 m.
7 m/s
3 m/s
A
x=0
B
x=100
A) +70 m
B) +210 m
D) +180 m
E) +105 m
X(m)
C) +140 m
11. Dos automóviles parten simultáneamente de un mismo punto y en la misma dirección con velocidades de
10 m/s y 40 m/s. 10 s después el automóvil retrasado
toca la bocina. Halle después de cuánto tiempo de
haberse tocado la bocina el automovilista adelantado
escucha el sonido. (vsonido=340 m/s)
A) 25 s
B) 4 s
D) 2 s
E) 1 s
C) 3 s
12. Un tren de 112 m se encuentra a 652 m frente al cerro,
realizando un M.R.U.V. Si en el instante mostrado, desde la parte delantera del tren se emite un bocinazo, ¿al
cabo de qué tiempo una persona ubicada en la parte
posterior del último vagón oirá el eco producido en el
2
cerro? (atren=4 m/s , vsonido=340 m/s)
vo=6 m/s
A) 2 s
B)
3s
C) 4 s
D) 5 s
E) 6 s
8. Dos móviles, A y B, parten del mismo punto con rapi2
deces de 10 m/s y el segundo acelera a razón de 2 m/s
a partir del reposo. Calcule al cabo de qué tiempo se
encuentran separados 200 m.
A) 4 s
B) 6 s C) 8 s
D) 10 s E) 12 s
151
Física
Ecología
LA RECUPERACIÓN DE LA CAPA DE OZONO CONTRIBUYE AL CAMBIO CLIMÁTICO
Esta es, al menos, la conclusión a la que ha llegado un estudio de la organización SCAR (Scientific
Committee for Antarctic Research). Las evidencias empíricas del descenso de la temperatura en la Antártida durante las pasadas décadas han sido utilizadas como argumento negacionista contra el cambio climático. Sin embargo, estos descensos se debían al agujero en la capa de ozono.
La radiación extra que se ‘colaba’ por este agujero tenía un efecto muy significativo sobre las corrientes
de aire en esta zona del planeta, que quedaba ‘blindada’ frente al calentamiento sufrido por el resto de la
Tierra. En los últimos años, sin embargo, el agujero de la capa de ozono está experimentando una importante regeneración, ya que los agentes causantes (los CFCs o clorofluorocarburos) ya han sido prohibidos en
todo el globo. Debido a esto, ahora la Antártida está tan expuesta al cambio climático como el resto del
planeta, y se espera un aumento promedio de temperatura de 3 ºC en las próximas décadas, con un efecto
colateral de importantes deshielos, como ha sucedido hace poco llegando a amenazar Nueva Zelanda.
Resulta una cruel ironía que el mayor éxito medioambiental del siglo XX (la prohibición de los CFCs y la
recuperación de la capa de ozono) también aporte su granito de arena a la mayor catástrofe medioambiental del siglo XXI.
152
Física
• Alumno(a)
:
______________________________________________________________
• Curso
:
____________________________________________ • Aula : __________
• Profesor
:
______________________________________________________________
1. A 170 metros de una persona se produjo una explosión. Si la velocidad del sonido en el aire es de
340 m/s, ¿después de qué tiempo lo logrará esuchar?
A) 0,5 s
B) 1 s
D) 4 s
E) 0,25 s
C) 2 s
2. Dos móviles, A y B, pasan simultáneamente por el
punto de una pista recta con velocidades de 8 m/s y
15 m/s y en la misma dirección. ¿Qué distancia los
separa al cabo de dos minutos?
A) 800 m
B) 720 m
D) 1000 m
E) 100 m
C) 840 m
6. Calcule la distancia recorrida por un móvil en 5 s con
una aceleración de 4 m/s2 si partió con una velocidad
de 2 m/s.
A) 40 m
B) 60 m
D) 24 m
E) 20 m
C) 30 m
7. Un tren de pasajeros viaja a razón de 36 km/h. Al ingresar a un túnel de 200 m de longitud demora 50 s en
salir de él. ¿Cuál es la longitud del tren?
A) 200 m
B) 300 m
D) 250 m
E) 500 m
C) 400 m
8. Un automóvil viaja con una velocidad constante de
3. El chofer de un pequeño coche, que marcha a razón
de 13 m/s, ve a 150 m a otro coche que se acerca y
luego de 6 s estos coches se están cruzando. ¿Cuál es la
velocidad del segundo coche en m/s?
A) 9
B)
10
C) 11
D) 12
E) 13
10 m/s y se dirige hacia una pared. Cuando se encuentra a 1400 m de la pared, el conductor toca la bocina.
¿Después de cuántos segundos el conductor escuchará el eco? Considere la velocidad del sonido en el aire
340 m/s.
A) 8 s
4. Un móvil debe recorrer 300 km en 5 h, pero a la mitad
del camino sufre una avería que lo detiene 1 h. ¿Con
qué velocidad debe continuar su viaje para llegar a
tiempo a su destino?
A) 50 km/h
B) 60 km/h
D) 100 km/h
E) 150 km/h
C) 80 km/h
30 s ha recorrido 1350 m, ¿cuál es su aceleración?
A) 1 m/s2
B) 2 m/s2
D) 4 m/s2
E) 5 m/s2
C) 3 m/s2
4s
C) 2 s
D) 6 s
E) 5 s
9. Dos móviles, A y B, parten simultáneamente del reposo del mismo lugar y en la misma dirección con aceleraciones constantes de 3 m/s2 y 5 m/s2, respectivamente. Luego de qué tiempo estarán separados 100 m.
A) 4 s
5. Un móvil parte del reposo con M.R.U.V. Si luego de
B)
B)
8s
C) 16 s
D) 20 s
E) 10 s
10. Con qué velocidad un tren entra a un túnel de 50 m si
se sabe que logra pasarlo en 10 segundos, acelerando
constantemente con 4 m/s2. La longitud del tren es de
200 m.
A) 4 m/s
B) 5 m/s
D) 7 m/s
E) 8 m/s
C) 6 m/s
153
Física
MOVIMIENTO VERTICAL Y PARABÓLICO
DE CAÍDA LIBRE
2
El estudiante está en la capacidad de:
• Reconocer las características del movimiento vertical de caída libre y del movimiento parabólico de caída
libre.
DREAMWORKS, PARA LOS QUE LES GUSTA LA ADRENALINA
El Giant Drop es el juego mecánico más alto y más rápido del mundo localizado en Dreamworld Australia. la estructura tiene casi 120 metros de alto (casi 40 pisos de altura) y acelera hasta alcanzar una
velocidad de 135 km/h. El Giant Drop abrió en Dreamwork en 1998 y comparte la misma estructura
con la Tower of terror (Torre del terror) que fue abierto el año anterior.
La Tower of terror efectúa un movimiento de caída libre en reversa. El vehículo de pasajeros de 6
toneladas, es accionado electromagnéticamente,
acelerando sus pasajeros rápidamente a 160 km/
h en siete segundos. El coche se eleva casi 38
pisos de altura. El vehículo efectúa una caída
libre durante aproximadamente 6,5 segundos
para luego girar 90 grados y frenar bruscamente
hasta detenerse en la estación.
Si deseas ver al Gian Trop y al Tower of terror
juntos, busca en YouTube con este código:
NA3XIZrlXkQ
Si deseas ver lo que los pasajeros sienten cuando
están cayendo libremente en el Giant Drop
busca en YouTube con este código: pk41eROgj78
154
Física
MOVIMIENTO VERTICAL DE CAÍDA LIBRE
Se denomina movimiento vertical de caída libre al movimiento que
describen los cuerpos al moverse
sólo bajo la influencia de la gravedad y despreciando la acción de cualquier otra fuerza. Se denomina movimiento vertical de caída libre
(M.V.C.L.) al movimiento vertical que
describen los cuerpos al ser dejados
caer o al ser lanzados verticalmente
cerca de la superficie terrestre o, en
general, cerca de cualquier cuerpo
celeste, despreciando la resistencia del aire.
Se comprueba experimentalmente que éste es un movimiento uniformemente acelerado y al valor numérico de
esta aceleración constante se denomina aceleración de la
gravedad y se denota con al letra g. El valor de g y su
valor para zonas no muy alejadas de la superficie terrestre
2
es de aproximadamente 9,8 m/s , aunque hay ligeras variaciones que dependen principalmente de la altitud. El
valor de g en la superficie de la Tierra comúnmente se
2
aproxima a los 10 m/s .
En la tabla mostrada se muestran algunos valores
aproximados de g en la superficie de diferentes cuerpos
celestes.
El M.V.C.L. se puede considerar un caso particular del
M.R.U.V. donde la aceleración constante a, que se reemplaza por g, es conocida de antemano.
Analicemos el caso de un cuerpo que es dejado caer
libremente (vo=0). Cuando el cuerpo desciende verticalmente, en cada segundo la velocidad aumenta en 10 m/s, o
más exactamente, en 9,8 m/s. Según esto:
t(s) v(m/s)
1 v1  10
2 v2  20
3
v3  30
1 s h1
2
LUGAR g(m/s )
Mercurio
2,8
Venus
8,9
Tierra
9,8
Marte
3,7
Júpiter
22,9
Saturno
9,1
Urano
7,8
Neptuno 11,0
Luna
1,6
Si soltamos simultáneamente de una misma altura una
moneda y una pluma de ave, es fácil verificar que primero
llegará al suelo la moneda. Pero si repetimos este experimento en el interior de un recipiente herméticamente cerrado, en donde previamente se le ha extraído el aire, estos se
moverán de una manera idéntica llegando a su base simultáneamente. Galileo conluyó que en el vacío (ausencia de
aire) todos los cuerpos, sin importar su inercia, composición química, tamaño o forma, se mueven de manera idéntica.
v1
1 s h2
v2
1 s h3
v3
Para determinar la altura que desciende el cuerpo en
cada segundo (h1, h2 y h3) procedemos como se hizo en el
caso del M.R.U.V: se determina el valor de la velocidad
media en cada tramo y se multiplica por el tiempo que
tarda el cuerpo en recorrerlo (en esta caso 1 segundo). A
partir de esto se deduce que h1=5 m; h2=15 m; h3=25 m.
Vemos que la altura recorrida por el cuerpo en cada segundo aumenta en 10 m, o más exactamente, en 9,8 m.
155
Física
Si un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba, cuando sube describe un movimiento que puede considerarse
un M.V.C.L., pero al revés. Cuando el cuerpo se eleva se
mueve contra la gravedad y su velocidad disminuye hasta
alcanzar su altura máxima, pero el valor de su desaceleración sigue siendo g.
Analicemos el caso de que un cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba desde la parte alta de un acantilado con
2
una velocidad inicial vo=20 m/s, considerando g=10m/s .
Si el cuerpo se lanza verticalmente hacia arriba, en cada
segundo la velocidad disminuye en 10 m/s (o más exactamente 9,8 m/s) hasta que alcanza su altura máxima en donde su velocidad se hace cero (instantáneamente) y posteriormente se repite el movimiento de descenso descrito
anteriormente.
h1
1s
h2
1s
1s
v1
v3
1s
v0
Nivel de
lanzamiento
v4
1s
h3
v5
156
La velocidad del cuerpo en cada segundo será:
t(s)
1
2
3
4
5
v(m/s)
10 (  )
0
10 (  )
20 (  )
20 (  )
Notar que los módulos de las velocidades en los instantes de t=1 s y t=3 s, y en los instantes t=0 y t=4 s, son
iguales. De manera análoga al caso anterior se deduce que
los valores de la altura h, que define la posición final del
cuerpo respecto del nivel de lanzamiento en cada instante
de tiempo son: h1=15 m; h2=20 m; h3=15 m; h4=0 m;
h5=–25 m.
Las fórmulas del M.V.C.L. son las mismas que las del
M.R.U.V., pero debemos tener en cuenta algunas consideraciones.
Si el cuerpo comienza su movimiento hacia abajo, esto
es cuando se deja caer o se lanza verticalmente hacia abajo,
se considerará el signo positivo del doble signo (±) y todas
las magnitudes que intervienen en todas las fórmulas tendrán signo positivo.
Si el cuerpo comienza su movimiento hacia arriba, esto
es cuando se lanza verticalmente hacia arriba, se considerará el signo negativo de doble signo (±) y la velocidad
final v y la altura h en las fórmulas podrán tener signo
positivo o negativo (todas las demás magnitudes tendrán
signo positivo). En este caso el signo de la velocidad final v
será positico cuando el cuerpo aún se encuentra subiendo
y negativo cuando ya se encuentra bajando; el signo de la
altura h será positivo cuando el cuerpo se encuentre sobre
el nivel de lanzamiento y negativo cuando se encuentre
debajo. Es importante recalcar que h expresa la distancia
entre la posición inicial y al posición final del cuerpo y no el
recorrido experimentado.
Física
MOVIMIENTO PARABÓLICO DE CAÍDA LIBRE
Círculo
Elipse
Parábola
Hipérbola
Se denomina movimiento parabólico de caída libre
(M.P.C.L.) al movimiento curvilíneo que describen los cuerpos al ser lanzados horizontal u oblícuamente cerca de la
superficie terrestre o, en general, cerca de cualquier cuerpo
celeste, despreciando la resistencia del aire.
Se comprueba experimentalmente que la trayectoria
que describen los cuerpos lanzados horizontal u oblicuamente cerca de la Tierra y sin considerar la resistencia del
aire es una parábola. La parábola es una de las secciones
cónicas conocidas desde la antigüedad.
El movimiento parabólico puede considerarse como
la ejecución simultánea de dos movimientos rectilíneos:
uno horizontal y otro vertical.
Consideremos el caso de un avión que se mueve horizontalmente con velocidad constante y de pronto deja caer
un proyectil. Respecto de la Tierra el proyectil desciende y
al mismo tiempo se desplaza horizontalmente. Si se desprecia la resistencia de aire, se verifica que durante su movimiento de caída el proyectil se encuentra, en todo momento, debajo del avión. Esto indica que el movimiento
horizontal del movimiento parabólico es un movimiento
rectilíneo uniforme.
JN
JN
V G-2 15
1724
02
15
V G-2 15
523
VY
1724
02
15
523
VY
Consideramos el caso de que un cuerpo A se deja caer
desde la parte alta de un acantilado y al mismo tiempo se
lanza horizontalmente un cuerpo B con una cierta veloci-
dad horizontal. ¿Cuál de los dos llega primero al agua? Si
se desprecia la resistencia del aire se verifica que los dos
llegan simultáneamente al agua, es decir, que en todo momento ambos se encuentran en una misma horizontal. Esto
indica que el movimiento vertical del movimiento parabólico es un movimiento vertical de caída libre.
AB
En conclusión, todo movimiento parabólico se puede
considerar como la ejecución simultánea de dos movimientos rectilíneos: un movimiento rectilíneo uniforme de trayectoria horizontal y un movimiento vertical de caída libre
de trayectoria vertical.
Según esto, la componente horizontal de la velocidad
del cuerpo (velocidad horizontal vx) permanece constante
en todo momento y su componente vertical (velocidad vertical vy) cambia uniformemente respecto del tiempo.
A manera de ejemplo, analicemos el movimiento parabólico que describe un cuerpo que es lanzado oblicuamente con una velocidad vo=50 m/s con un ángulo de
lanzamiento   53. Consideraremos, para facilitar los
2
cálculos, que la aceleración de la gravedad es de 10 m/s .
Para comenzar, debemos decir que si la velocidad de
lanzamiento tiene dirección oblicua, ésta debe ser descompuesta en sus dos componentes rectangulares:
vx: componente horizontal de la velocidad
vy: componente vertical de la velocidad
157
Física
v3
t=3
t=5
t=4
v5
v2
t=6
t=2
v6
v1
H
t=7
t=1
v7
v0
R
t=0
t=8
v8
t(s) v y (m/s)
1
2
3
4
5
6
7
8
30 (  )
20 (  )
10 (  )
0
–10 (  )
–20 (  )
–30 (  )
–40 (  )
2
2
v  vx  vy
2
2
2
2
2
2
v1  30  30  42, 43 m/s
v2  30  20  36, 06 m/s
v3  30  10  31,62 m/s
2
2
v4  30  0  30,0 m/s
t(s) X = v x t(m)
t(s)
2
Y = v yt – 1 g t
2
1
Y  40(1) – 5(1)  35
2
2
1
30
2
2
2
60
2
Y  40(2) – 5(2)  60
2
2
3
90
3
Y  40(3) – 5(3)  75
2
2
4
120
4
Y  40(4) – 5(4)  80
5
150
5
Y  40(5) – 5(5)  75
6
180
6
Y  40(6) – 5(6)  60
7
210
7
Y  40(7) – 5(7)  35
8
240
8
Y  40(8) – 5(8)  0
v5  30   –10   31,62 m/s
v6  30   –20   36, 06 m/s
v7  30   –30   42, 43 m/s
v8  30   –40   50, 0 m/s
En este caso, las componentes de su velocidad de lanzamiento son de 30 y 40 m/s respectivamente.
Las componentes verticales de su velocidad al cabo de
1; 2; 3; ...; 8 segundos, se determinan considerando sólo el
movimiento vertical de caída libre. A partir de esto, y a partir
del teorema de Pitágoras, se deduce que la velocidad instantánea vi del cuerpo al cabo de 1; 2; 3; ...; 8 segundos.
Los resultados de muestran en las tablas adjuntas.
158
A continuación determinemos sus posiciones (abscisa
x y ordenada y) en estos instantes de tiempo.
2
2
2
2
2
2
2
2
Concluyendo, el alcance horizontal R de este movimiento parabólico es de 240 m, la altura h que alcanza es
de 80 m y el tiempo de vuelo es de 8 s.
Física
1. Ex. Admisión UNMSM 2001
Un proyectil es lanzado con un ángulo de inclinación
de 60°. tal como se muestra en la figura. Determine la
rapidez mínima inicial para que el proyectil pase por la
barrera con una velocidad horizontal de 12 m/s.
A) 28 m/s
B) 18 m/s
D) 24 m/s
E) 12 m/s
vy=30 m/s
Y
45°
vx=30 m/s
a
C) 16 m/s
h

Resolución:
b
v=12 m/s
•
Eje X:
•
Eje Y:
P
b = vo · t
b = 30(10) = 300
 
 2
y  vo · t  1 g t
2
– h  (30)(10) – 10 (10)
2
2
60°
vy =0
v=12 m/s
•
h = 200 m
En el triángulo sombreado:
tg   200  2
300 3
vo
12 3
Rpta.: D
3. Ex. Admisión UNMSM 2004-I
Con respecto a la figura, determine el tiempo de vuelo
en que la velocidad del proyectil forma un ángulo de
45° con la vertical.
60°
12 m/s
Del triángulo sombreado:
vo =
24
m/
s
200 m/s
 vo  24 m/s
60°
12 m/s
A) 1,5 s
B) 2,0 s
C) 1,0 s
D) 0,5 s
E) 2,5 s
100 m
Rpta.: D
2. Ex. Admisión UNMSM 2003
La figura muestra un proyectil disparado con una rapi-
Resolución:
dez (vo) de 30 2 m/s, el cual impacta en P después de
vy=0
2
10 s. Determine la tg . (Asumir g=10 m/s )
A)
X
2
3
B)
2
3
Resolución:
D)
2
2
C)
vx=20 m/s
g=10 m/s2
A
3
2
E) 1
20 m/s
B
vo
20 m/s
45°
•
•

P
45°
Nos piden el tiempo entre A y B: tab = t
Eje X: vy = vo + g t
20 = 0 + 10 t
t  2 s
Rpta.: B
159
Física
1. Soltamos una piedra desde cierta altura. Si choca en el
piso con 30 m/s, ¿qué tiempo habrá transcurrido?
Rpta.: 3 s
8. Si un proyectil que es lanzado horizontalmente desde
el punto A con una velocidad vo=30 m/s, choca en el
2
punto B, halle H. (g=10 m/s )
A
2. Lanzamos una tiza hacia arriba con 40 m/s. Calcule el
tiempo que demora en llegar nuevamente a las manos.
H
Rpta.: 8 s
B
60 m
3. Un cuerpo se lanza hacia arriba con 40 m/s. Halle su
altura máxima.
Rpta.: 80 m
4. Carlitos se encuentra en un edificio y decide soltar una
piedra que llega al suelo en 2 s. Calcule la altura del
edificio.
Rpta.: 20 m
5. Señale verdadero (V) o falso (F), según corresponda.
(
)
Todo cuerpo en caída libre tiene movimiento
uniforme.
(
)
Sólo existe gravedad en la Tierra.
(
)
La aceleración de caída libre depende del tamaño de los cuerpos.
Rpta.: 20 m
9. Desde un edificio muy alto, un niño suelta un coco, 3 s
después suelta el siguiente coco. ¿Cuál será la separación entre los cocos 3 s más tarde?
Rpta.: 135 m
10. Se suelta un objeto desde una altura de 250 m. Determine a qué altura del piso se encuentra luego de 6 s de
2
ser soltado. (g=10 m/s )
Rpta.: 70 m
11. Un alumno lanza una canica verticalmente hacia abajo
y nota que ésta después del choque elástico se eleva
como máximo 5 m. Determine con qué rapidez lanzó
2
la canica. (g=10 m/s )
Rpta.: FFF
v
1,8 m
6. Se lanza un objeto en forma horizontal desde la azotea
de un edificio con una rapidez de 20 m/s. Determine el
tiempo que dura el movimiento.
20 m/s
Rpta.: 8 m/s
12. Un cuerpo que cae libremente pasó justo al punto A
con rapidez v. ¿Con qué rapidez pasará junto al punto
B si éste se ubica a una distancia h debajo de A?
g=10 m/s2
Rpta.:
100 m
Rpta.: 5 s
2
v  2gh
13. Un proyectil es lanzado de A con una velocidad
vo=100 m/s. Si cuando pasa por B su velocidad es de
2
75 m/s, señale el tiempo transcurrido. (g=10 m/s )
7. Calcule el tiempo de vuelo.
B
37°
50 m/s
vo
53°
A
Rpta.: 8 s
160
53°
Rpta.: 3,5 s
Física
14. Una pelota desarrolla un M.P.C.L., de tal modo que el
alcance horizontal es L. Si la velocidad de disparo fue
de 50 m/s y el ángulo de lanzamiento fue de 37°, ¿cuál
es el valor de L?
Rpta.: 240 m
16. Una pelota es lanzada con rapidez v, la cual luego de
7 s logra impactar perpendicularmente contra el plano
2
inclinado. Halle v. (g=10 m/s )
v
45°
15. ¿Cuál es el máximo alcance que se logrará lanzando
un proyectil a 30 m/s y describe un M.P.C.L.?
Rpta.: 90 m
1. Una piedra se lanza hacia arriba con una rapidez de 40
m/s. ¿Qué tiempo tardará en subir?
A) 2 s
B) 3 s C) 4 s
D) 5 s
E) 6 s
2. Un cuerpo se lanza con una rapidez de 70 m/s. Determine el tiempo que demora en el aire.
A) 7 s
B) 16 s
C) 14 s
D) 18 s
E) 9 s
3. Se
80
A)
D)
lanza una piedra hacia arriba con una rapidez de
m/s. ¿Qué rapidez tendrá el objeto luego de 5 s?
30 m/s
B) 40 m/s
C) 50 m/s
20 m/s
E) 60 m/s
4. Se suelta un objeto desde cierta altura. Si demora 2 s
en impactar en el piso, ¿con qué rapidez choca?
A) 50 m/s
B) 20 m/s
C) 30 m/s
D) 40 m/s
E) 15 m/s
5. En las Olimpiadas de Atenas 2004, un clavadista se
lanzó desde su tablero con una rapidez de v hacia arriba, llegando al agua luego de 6 s con rapidez 5 v. Halle
v.
37°
Rpta.: 30 2 m/s
6. Una partícula se lanza desde una altura de 45 m con
una rapidez de 15 m/s. Halle x.
15 m/s
A)
B)
C)
D)
E)
45 m
45 m
50 m
55 m
60 m
65 m
x
7. Del gráfico, halle H si cuando llega al piso la componente horizontal de la velocidad es 25 m/s.
15 m/s
g=10 m/s2
H
100 m
v
A)
B)
C)
D)
E)
80 m
75 m
70 m
60 m
50 m
8. Determine el alcance x si la partícula se desprende del
plano inclinado con una velocidad lineal de 50 m/s.
v
37°
5v
A) 20 m/s
D) 10 m/s
B) 4 m/s
E) N.A.
50 m/s
200 m
C) 5 m/s
g=10 m/s2
A)
B)
C)
D)
E)
80 m
90 m
100 m
120 m
160 m
x
161
Física
9. Una pelota se lanza con una velocidad de 50 m/s bajo
un ángulo de 53° sobre la horizontal. Calcule x si el
rebote de la pelota se considera elástico.
g=10 m/s2
50 m/s
200 m
x
A) 40 m
B) 50 m
C) 70 m
D) 100 m
E) 200 m
A) 30 m
D) 60 m
B) 40 m
E) 70 m
11. Un proyectil se lanza desde el punto A tal como se
muestra. Si pasa por el punto P luego de 7 s, determine
2
su rapidez al llegar a dicho punto. (g=10 m/s )
50 m/s
10. Un avión viaja en forma horizontal a razón de
108 km/h y a una altura de 180 m sobre el piso. ¿A qué
distancia horizontal debe dejarse caer una bomba para
dar en el blanco? El blanco es un tanque que se mueve
2
a razón de 20 m/s. (g=10 m/s )
108 km/h
C) 50 m
A
P
45 m

210 m
A)
20 2 m/s
B)
C)
D)
E)
30 2 m/s
30 m/s
40 m/s
452 m/s
12. Si la piedra es lanzada desde A con una velocidad de
módulo 50 m/s, determine el tiempo que emplea la
2
piedra para impactar en B y la distancia d. (g=10 m/s )
B
d
180 m
50 m/s
20 m/s
8°
A
45°
A)
2 s; 30 2 m
B)
3 s; 40 2 m
C)
2 s; 40 2 m
D)
2 s; 60 2 m
E)
3 s; 60 2 m
Curiosidades
•
•
162
Orejas
¿Qué parte del cuerpo crece durante toda la vida?
Las orejas humanas crecen hasta una edad muy avanzada, aunque lo hacen muy lentamente.
Oswiecim
La ciudad polaca de Oswiecim (con tilde en la s y
cedilla en la e, en polaco), a 61 km de Cracovia, es
más conocida por el nombre que le dieron los alemanes nazis cuando invadieron Polonia durante la II
Guerra Mundial (1939-1945), Auschwitz. Esta ciudad tiene el monumento a la iniquidad más importante y grande del mundo: El campo de concentración y exterminio de Auschwitz es considerado como
el mayor cementerio del mundo. Construido en abril/
mayo de 1949 y al mando del sanguinario comandante Rudolf Höss, se estima que allí fueron asesinadas muchos más de 1 millón de personas. Las cifras
exactas no se conocen, pues los archivos fueron destruidos antes de la rendición de Alemania. El campo
fue liberado el 27 de enero de 1945 por los rusos
pero muchos prisioneros habían sido trasladados a
otros campos. Hoy día, se puede visitar el campo con
•
•
sus crematorios de cadáveres y sus cámaras de gas,
donde se probó por primera vez el gas letal Zyklon
B. En la puerta de entrada puede verse la macabra
leyenda: “Arbeit macht frei” (El trabajo os hará libres).
Papel
El papel fue inventado por un eunuco chino llamado Ts'ai Lun en el año 50 de nuestra era. En occidente, los egipcios usaban el tallo de una planta, el papiro, para hacer algo similar al papel y que se ha conservado bien gracias al clima árido. El papiro fue bastante usado incluso en Europa hasta que se amplió
el uso del papel de China en el siglo XII, que fue
fundamental para el uso de la imprenta inventada
por Gutenberg (h 1398-1468) hacia el año 1450.
Perros
¿Cómo rastrean los perros? Cuando damos un paso,
nuestro calzado deja miles de millones de moléculas
olorosas de un ácido llamado butírico. Una vez el
animal identifica ese olor con la persona, es capaz de
saber si ha pisado por un determinado lugar.
Física
• Alumno(a)
:
______________________________________________________________
• Curso
:
____________________________________________ • Aula : __________
• Profesor
:
______________________________________________________________
1. Un cuerpo se deja caer desde lo alto de un edificio de
45 m de altura. ¿Qué tiempo demora en llegar al piso?
2
(g=10 m/s )
A) 1 s
B)
2s
C) 3 s
D) 4 s
E) 5 s
2. Desde una altura H es lanzado un objeto verticalmente
hacia abajo con una velocidad de 5 m/s llegando al
piso con una velocidad de 15 m/s. Halle H.
2
(g=10 m/s )
A) 5 m
B) 7 m
D) 10 m
E) 15 m
C) 8 m
3. Un objeto se lanza desde el piso verticalmente hacia
arriba con una velocidad de 30 m/s. Halle su altura
2
máxima. (g=10 m/s )
A) 40 m
B) 45 m
D) 55 m
E) 60 m
C) 50 m
7. Dos esferas son lanzadas verticalmente hacia arriba
con 50 m/s y con un intervalo de 4 s. Determine la
separación que existe entre las esferas luego de 2 s de
2
haberse lanzado la primera. (g=10 m/s )
A) 30 m
B) 35 m
D) 45 m
E) 50 m
8. Desde la superficie terrestre y separadas 80 m se lanzan simultáneamente dos pequeñas esferas, A y B, con
30 j(m/s) y 50 j(m/s) respectivamente. ¿Qué distancia
(en m) separará a dichas esferas en el instante en que A
alcanza su altura máxima?
A) 100 m
B) 150 m
D) 200 m
E) 250 m
B) 12 m
D) 16 m
E) 18 m
B) 17 m
D) 11 m
E) 8 m
A) 5 s
B) 15 s
C) 20 s
D) 8 s
E) 10 s
53°
C) 14 m
100 m
5. Una esfera es lanzada horizontalmente desde la azotea
de un edificio de 28 m de altura. ¿A qué distancia del
suelo se encontrará luego de 2 s de haber sido lanza2
do? (g=10 m/s )
A) 20 m
C) 180 m
9. Calcule el tiempo necesario para que la partícula lanzada con una velocidad de 50 m/s colisione con el
piso.
4. Una esfera pequeña es lanzada desde la azotea de un
edificio con +8 i(m/s). Si el edificio es de 20 m de
altura, determine a cuántos metros de la base del edifi2
cio impacta la esfera en el suelo. (g=10 m/s )
A) 10 m
C) 40 m
C) 14 m
10. Determine el módulo de la velocidad (en m/s) de lanzamiento del proyectil que impacte en el punto O.
2
(g=10 m/s )
6. Una pelota de fútbol es lanzada desde el suelo con
O
v
A
4m
37°
25 m/s y con una inclinación de 53° respecto de la
horizontal. Determine el tiempo que tarda para impac2
tar en el piso. (g=10 m/s )
A) 12 m/s
B) 15 m/s
A) 2 s
B) 2,5 s
D) 25 m/s
E) 30 m/s
D) 3,5 s
E) 4 s
C) 3 s
32 m
C) 20 m/s
163
Física
ESTÁTICA I
3
El estudiante está en la capacidad de:
• Reconocer las características de la magnitud vectorial denominada como fuerza.
• Conocer las fuerzas más usuales en este capítulo.
• Realizar correctamente el diagrama de cuerpo libre.
• Utilizar correctamente la primera condición de equilibrio.
ESTÁTICA
Estudia el
EQUILIBRIO
Condiciones
1.ª Condición
de equilibrio
Condición analítica
F  0
164
2.ª Condición
de equilibrio
Condición gráfica
Polígono
cerrado
Condición analítica
M  0
Física
ESTÁTICA
La estática es la parte de la mecánica que estudia los
cuerpos en estado de equilibrio sometidos a la acción de
fuerzas. Ésta constituye una rama muy antigua de la ciencia, ya que algunos de sus principios fundamentales datan
de la época de los egipcios y babilonios. Sin embargo, los
principios en base a los cuales se ha desarrollado esta materia hasta alcanzar su forma actual se deben, principalmente, a Stevinus (1548-1620), quien fue el primero que
empleó el principio del paralelogramo de fuerzas.
A lo largo de este capítulo trabajaremos, a no ser que
se diga lo contrario, con una clase ideal de cuerpos físicos:
los cuerpos rígidos. Un cuerpo rígido es aquel cuerpo ideal
en el que la distancia entre sus partículas no se altera cuando éste se encuentra sometido a la acción de fuerzas externas, es decir, un cuerpo idealmente indeformable.
La función usual de una palanca es multiplicar una
fuerza, es decir, que la pequeña fuerza aplicada en un extremo de una palanca a gran distancia del punto de apoyo,
produzca una fuerza mayor que opere a una distancia más
corta del punto de apoyo en el otro.
El empleo de la palanca está documentado desde el
tercer milenio a.n.e. en sellos cilíndricos de Mesopotamia.
En un manuscrito antiguo aparece la famosa cita atribuida
a Arquímedes: “Dadme un punto de apoyo y moveré el
mundo”.
Si deseas ver una animación resumen de este
capítulo busca en YouTube con este código:
iU8zA2BUFCg
INTRODUCCIÓN
“Dadme un punto de apoyo y moveré el mundo”.
Resistencia
Fuerza
El principio de palanca es un concepto teórico estudiado en el aula, pero que se aplica diariamente a cada actividad que se realiza. Al abrir una botella de vino con un
sacacorchos, al cortar un papel con una tijera, al utilizar una
pinza o tenaza, etc. Sin ir más lejos, nuestro cuerpo utiliza
para moverse diferentes tipos de palancas. Sin embargo,
no se le da la importancia necesaria en la explicación del
funcionamiento de la misma.
Ahora bien, ¿qué es una palanca? Es una barra rígida
que puede girar en torno a un punto de apoyo fijo. La
longitud de la palanca entre el punto de apoyo y el punto
de aplicación de la resistencia se llama brazo de resistencia
y la longitud entre el punto de apoyo y el punto de aplicación de la fuerza se llama brazo de fuerza.
Si deseas ver una animación acerca
de palancas busca en YouTube con este código:
FxuM96y5rYM
Si deseas ver un video de la serie El mundo
de Beakman, que trata sobre este tema, busca
en YouTube con este código: jB06jjaBmv8
165
Física
EQUILIBRIO MECÁNICO
Se dice que un cuerpo se encuentra en equilibrio mecánico cuando su estado de movimiento como conjunto,
respecto de cierto sistema de referencia, no cambia en el
tiempo.
Se distinguen dos clases de equilibrio: equilibrio estático y equilibrio cinético. Se dice que un cuerpo se encuentra en equilibrio estático respecto de un sistema de referencia cuando su centro de masas, o centro de gravedad, se
encuentra en reposo respecto de él.
Se dice que un cuerpo se encuentra en equilibrio cinético respecto de un sistema de referencia cuando su centro
de masas, o centro de gravedad, se encuentra trasladándose con velocidad lineal constante (M.R.U.) y al mismo tiempo se encuentra rotando con una velocidad angular constante (M.C.U.) respecto de él. Si sólo se cumple la primera
condición se dice que el cuerpo se encuentra en equilibrio
traslacional y si sólo se cumple la segunda se dice que se
encuentra en equilibrio rotacional.
FUERZAS
La noción de fuerza surgió al apreciar la tensión muscular (jalar o empujar un cuerpo). Para elevar una piedra,
desplazar un cuerpo, tensar una cuerda, etc. se necesita
cierta tensión de los músculos, diferente en cada caso.
La fuerza es una magnitud vectorial que es una medida del grado de interacción, o acción mutua, que existe
entre los cuerpos o entre sus partículas.
Ésta es la causa que origina que los cuerpos alteren, o
tiendan a alterar, su estado de movimiento. También es la
causa que origina la deformación de los cuerpos reales. Por
ejemplo, cuando una persona patea una lata, puede adquirir movimiento y también deformarse.
Según la ley de Hooke, la fuerza F necesaria para deformar linealmente un cuerpo deformable (resorte) es directamente proporcional a su elongación x (longitud deformada). Matemáticamente:
F=k·x
Donde F (N), x (m) y k (N/m) es la denominada constante de rigidez del resorte.
La naturaleza de las fuerzas que actúan sobre los cuerpos, que no son de escala microscópica, son de origen
gravitatorio o electromagnético. A continuación veamos algunos ejemplos.
Consideremos una persona que empuja una caja que
se encuentra sobre una superficie áspera. La naturaleza de
la interacción entre la persona y la caja es de origen electromagnético (entras las moléculas de la mano de la persona y
las de la caja se genera una repulsión eléctrica). La naturaleza de la interacción entre la caja y la superficie también es
de origen electromagnético, en este caso, de atracción eléctrica.
F
FR
Como segundo ejemplo consideremos un imán que
ejerce una acción a distancia sobre unos clavos. La naturaleza de la interacción entre el imán y los clavos también es
de origen electromagnético (entre las partículas de magnetita del imán y las de los clavos se genera una atracción
magnética).
En el Sistema Internacional de unidades la unidad de
fuerza es el newton (N).
Debido a que resulta fácil medir la deformación de un
cuerpo deformable, cuando sobre él actúa una fuerza, la
pieza principal del instrumento para medir fuerzas, el dinamómetro, es un resorte cuyo grado de deformación depende del valor de la fuerza que se mide (ley de Hooke).
166
Física
Usualmente las fuerzas se suman con el objetivo de
reemplazarlas por una sola denominada fuerza resultante.
Al sumar dos fuerzas que tienen la misma dirección, el
módulo de la fuerza resultante se obtiene sumando aritméticamente los módulos de cada una de ellas.
F2
F1
F1= –F2
15 N
10 N
25 N
Al sumar dos fuerzas que tienen dirección opuesta, el
módulo de la fuerza resultante se obtiene restando aritméticamente los módulos de cada una de ellas.
30 N
10 N
40 N
PRINCIPIO DE ACCIÓN Y REACCIÓN
Consideremos dos partículas A y B que interactúan
entre sí. Como la fuerza es una medida de la interacción
entre los cuerpos, existirá una fuerza sobre cada una. Estas
fuerzas pueden ser, dependiendo de su naturaleza, atractiva o repulsiva (la fuerza de interacción gravitatoria siempre
es atractiva, mientras que la fuerza de interacción electromagnética puede ser atractiva o respulsiva).
Supongamos que las partículas A y B se atraen entre sí,
es decir, A actúa sobre B atrayéndola hacia sí con una fuerza F AB y, análogamente, B actúa sobre A atrayéndola a su
vez con una fuerza F BA .
FBA
A
FAB
Esto se conoce con el nombre de principio de acción y
reacción, también conocido como tercera ley de Newton y,
matemáticamente, se expresa así:
Facción = –Freacción
Para el caso de la fuerza de atracción gravitatoria entre
la Tierra y una partícula material, la fuerza que ejerce la
Tierra sobre la partícula, denominada fuerza de gravedad
(peso), tiene una dirección vertical que apunta hacia el centro de la Tierra.
Piedra
W
Para el caso de las fuerzas de cohesión (atracción) de
origen electromagnético que mantienen unidas las partes
de un cuerpo sometido a fuerzas externas que tratan de
estirarlo, denominada tensión (T), tiene una dirección que
apunta hacia la otra parte del cuerpo, o lo que es equivalente, “saliendo” del cuerpo que se analiza.
Cuerda
F
A
B
A la fuerza con que un cuerpo actúa sobre otro se
denomina fuerza de acción y a la fuerza con el otro cuerpo
actúa sobre el primero se denomina fuerza de reacción.
Así, para la partícula A F AB será la fuerza de acción y F BA
la fuerza de reacción; para la partícula B F BA será la fuerza
de acción y F AB la fuerza de reacción.
Según esta definición: “Las fuerzas que actúan sobre
un cuerpo son las fuerzas de reacción debido a la interacción de éste con los demás cuerpos del universo, o, lo que
es equivalente, las fuerzas de acción que ejercen los demás
cuerpos del universo sobre él”.
Al analizar diversos tipos de interacciones, Newton llegó a la siguiente conclusión: “Las fuerzas de acción y reacción debido a la interacción entre dos partículas tienen el
mismo módulo, son colineales, pero tienen direcciones
opuestas y se encuentran actuando en cuerpos diferentes”.
F
B
F
T
A
Para el caso de las fuerzas de repulsión de origen electromagnético que otorga rigidez a un cuerpo sólido y le
permite mantener su estructura cuando es sometido a fuerzas externas que tratan de comprimirlo, denominada compresión (C), tiene una dirección que “proviene” de la otra
parte del cuerpo, o lo que es equivalente, “entrando” al
cuerpo que se analiza.
Barra
F
A
F
B
C
A
167
Física
Para el caso de las fuerzas de repulsión electromagnética que se genera cuando dos cuerpos se encuentran en
contacto, la fuerza de reacción con que el otro cuerpo “repele” al cuerpo que se analiza denominada reacción del
apoyo, o simplemente reacción, tiene una dirección que es
“entrando” al cuerpo que se analiza por el punto de apoyo.
Esfera
Si hacemos el D.C.L. de la cuerda, vemos que sobre
ella actúan también dos fuerzas: la fuerza F que ejerce la
persona sobre la cuerda y la tensión T de la cuerda.
Si hacemos el D.C.L del sistema bloque + cuerda, vemos que sobre él actúan también dos fuerzas: la fuerza de
gravedad Fg, que ejerce la Tierra sobre la pesa, y la fuerza F
que ejerce la persona sobre al cuerda. En este caso la tensión es una fuerza interna al sistema y no se grafica.
PRIMERA CONDICIÓN DE EQUILIBRIO
Un cuerpo se encuentra en equilibrio de traslación si la
fuerza resultante de todas las fuerzas externas que actúan
sobre él es nula.
R
DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE
Al analizar un cuerpo cualquiera, lo colocamos en el
centro de nuestra atención y destacamos las fuerzas que
actúan sobre él.
Se denomina diagrama de cuerpo libre (D.C.L.) a la
representación de un cuerpo, o sistema físico, en forma aislada, en el cual se muestran todas las fuerzas externa que el
entorno genera sobre él.
Hay que tener presente que las fuerzas son las medidas de las interacciones entre los cuerpos y si existen fuerzas actuando sobre el cuerpo que se analiza, también deben existir fuerzas actuando sobre los cuerpos con los cuales éste interactúa (principio de acción y reacción).
A manera de ejemplo consideremos un sistema formado por un bloque suspendido de una cuerda de masa despreciable.
F
F
T
F3
F2
F1
F4
F3
F4
F2
F1
Matemáticamente, para el caso de fuerzas coplanares,
se debe cumplir que la suma aritmética de las fuerzas o
componentes que tienen dirección positiva del eje X es
igual a la suma aritmética de las que tienen dirección negativa del mismo. Análogamente, la suma aritmética de las
fuerzas o componentes que tienen dirección positiva del
eje es igual a la suma aritmética de las que tienen dirección
negativa del mismo.
 Fx    Fx –
 Fy   Fy–
Fg
–T
Fg
Si hacemos el D.C.L. de la pesa, vemos que sobre ella
actúan dos fuerzas: la fuerza de gravedad F g que ejerce la
Tierra sobre la pesa y la tensión T de la cuerda.
168
Como la resultante debe ser nula, geométricamente se
debe cumplir que las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en
equilibrio, al ser graficadas de modo tal que el origen de
cada fuerza se grafique a partir del extremo de otro, deben
formar un polígono de fuerzas cerrado.
Y esto debe ser así porque al ser la resultante nula, el
origen de la primera fuerza (F 1 en este caso) debe coincidir
con el extremo de la última (F 4 en este caso).
Para el caso de las tres fuerzas en equilibrio siempre se
forma un triángulo de fuerzas.
Física
A manera de ejemplo consideremos el caso de un bloque de 120 N que se encuentra en equilibrio suspendido
de dos cuerdas en la forma que se indica.
(B)
TB
53°
53°
(A)
TA
Haciendo el D.C.L. del bloque y aplicando la primera
condición de equilibrio se demuestra que la tensión de la
cuerda vertical es de 120 N.
Haciendo el D.C.L. del nudo, construyendo el triángulo de fuerzas y resolviendo el triángulo notable de 37° y
53°, se deduce que las tensiones de las cuerdas A y B son
de 90 N y 150 N respectivamente.
120
TB
120
53°
TA
5k
4k
53°
3k
1. Ex. Admisión UNAC 2002-I
El módulo de la fuerza F que establece el equilibrio del
sistema que se muestra en la figura es de:
A)
B)
C)
D)
E)
F
267 N
200 N
180 N
150 N
800 N
2. Ex. Admisión UNAC 2002
Un cuadro de 3 N es sostenido por dos cuerdas delgadas situadas simétricamente. Si el ángulo que cada
cuerda forma con la vertical es de 60°, halle la tensión
común de las cuerdas.
Cuerda
60°
Cuerda
A) 3 N
B) 2 N
800 N
C) 2 3 N
D) 1,5 N
E) 3 2 N
Resolución:
D.C.L. de cada polea:
Resolución:
Haciendo D.C.L. del cuadro:
F
F
60° 60°
200 N
• Formando el triángulo
de fuerzas:
200 N
60°
400 N
400 N
400 N
Del gráfico:
F = 200 N
3N
T
60°
60°
T
3N
800 N
Del triángulo equilátero:  T = 3N
Rpta.: 200
Rpta.: 3 N
169
Física
3. Ex. Admisión UNI 2000-II
En la figura, el bloque A está en equilibrio estático y
reposa en un plano inclinado sin fricción. Sean T 1 y T2
las tensiones en la cuerdas derecha e izquierda, respectivamente, W el peso del bloque A y N la reacción
normal del plano. Diga cuál de las siguientes figuras
muetsra el diagrama del cuerpo libre del bloque A.
Resolución:
D.C.L. del bloque A:
T2
T1
W
N
Del triángulo equilátero:  T = 3 N
Rpta.: A
A
P
30°
A)
T2
T1
N
W
C)
T2
T1
B)
W
D)
N
E)
T1
T1
T1
T2
N
T2
W
T2
N
1. Si el joven mantiene el bloque en equilibrio ejerciendo una fuerza de 50 N, determine la masa del bloque.
Considere las poleas ideales y lisas. (g=10 m/s2)
3. En la figura mostrada, M=5 kg y cada una de las poleas es de 2 kg. Calcule la reacción en el piso.
2
(g=10 m/s )
F=200 N
Rpta.: 10 kg
2. Para levantar un cuerpo de 200 N con un sistema de
poleas, como se explica en la figura, la fuerza mínima
expresada en N es:
(Despreciar los pesos de las poleas).
Rpta.: 50 N
4. Determine la masa del bloque si la fuerza F que mantiene el equilibrio del sistema es de 120 N.
2
(g=10 m/s )
F
37°
F
Rpta.: 50 N
170
Rpta.: 16 kg
Física
5. Halle la tensión en la cuerda que sostiene a la esfera de
2
40 N de peso. (g=10 m/s )
37°
9. En la figura se muestra una varilla homogénea de 3 kg
en equilibrio. Si ésta se encuentra sostenida por una
cuerda horizontal cuya tensión es de 40 N, ¿cuál es el
valor de la fuerza que ejerce la articulación a dicha
2
varilla? (g=10 m/s )
Liso
Articulación
Rpta.: 50 N
Rpta.: 50 N
6. Si la esfera mostrada pesa 120 N, determine el valor de
la tensión de la cuerda horizontal que la mantiene en
equilibrio.
10. En el gráfico se muestran dos bloques, A y B, que
permanecen en equilibrio. Determine la deformación
que experimenta el resorte ideal de k=10 N/cm.
2
(Además: mA=1 kg; mB=3 kg, g=10 m/s )
g
A
53°
B
Rpta.: 160 N
k
7. El cajón mostrado es de 600 N y se encuentra en reposo. Calcule la tensión en el cable ideal. Las superficies
2
son lisas. (g=10 m/s )
Rpta.: 2 cm
11. Se muestra un cuerpo de peso 2P en equilibrio. ¿Qué
proposición es verdadera?
60°
30°
37°
Rpta.: 360 N
8. El bloque mostrado es de 10 kg y se encuentra apoyado sobre una superficie lisa. ¿Cuál es el valor de la
fuerza paralela al plano inclinado que se ejerce al blo2
que para mantenerlo en reposo? (g=10 m/s )
Rpta.: La tensión en 3 es 2P
12. Se muestra un cuerpo de peso 2P en equilibrio. ¿Qué
proposición es verdadera?
m 2 kg
F
1
37°
Rpta.: 60 N
M
53°
Rpta.: 20 N
171
Física
13. Cada uno de los cuerpos mostrados se encuentra en
equilibrio. Determine el módulo de la fuerza de reac2
ción del piso sobre el cuerpo A. (g=10 m/s )
15. Si el sistema se encuentra en equilibrio, calcule el módulo de la tensión en la cuerda si las esferas de 10 kg
2
cada una son idénticas. (Superficies lisas, g=10 m/s )
g
B
A
2 kg
127°
4 kg
Rpta.: 20 N
14. Una persona sostiene una esfera sobre un plano inclinado. ¿En cuál de los casos se ejerce menos fuerza
sobre la esfera? Desprecie el rozamiento.
I.
Rpta.: 60 N
16. Si el sistema se encuentra en equilibrio, determine la
lectura de la balanza, siendo la fuerza que ejerce el
líquido sobre el bloque de 8 kg de 60 j N.
2
(m=5 kg, g=10 m/s )
F1

Polea ideal
II.
F2
m

Rpta.: En I
172
Rpta.: 60 N
Física
1. Halle F para que el bloque permanezca en equilibrio.
4. Halle qué longitud está comprimido el resorte de constante k=5000 N/m para que la esfera de masa 80 kg se
encuentre en equilibrio en la posición mostrada.
2
(g=10 m/s )
F
R=200 N
12 N
A) 3 N
D) 8 N
B) 4 N
E) 10 N
C) 5 N
2. Halle la lectura del dinamómetro si el bloque de 50 N
de peso se encuentra en equilibrio.
A) 10 cm
B) 20 cm
D) 40 cm
E) N.A.
C) 30 cm
5. En el sistema mostrado, halle la tensión en el cable
2
horizontal si m=8 kg. (g=10 m/s )
53°
Dinamómetro
m
A) 5 N
D) 25 N
B) 10 N
E) 30 N
C) 20 N
3. Si el bloque de 60 N de peso se encuentra en equilibrio, halle la tensión en la cuerda A.
A) 80 N
B) 60 N
D) 50 N
E) 100 N
C) 70 N
6. El gráfico muestra a un bloque de 9 kg de masa, en
reposo sobre un plano inclinado liso. Determine la
fuerza de contacto sobre el bloque y el plano inclina2
do. (g=10 m/s )
(A)
Liso
37°
A) 5 N
D) 20 N
B) 10 N
E) 25 N
C) 15 N
A) 72 N
B) 54 N
D) 48 N
E) 40 N
C) 36 N
173
Física
7. Si la barra de 80 N de peso se encuentra en equilibrio,
halle la lectura del dinamómetro.
68°
A)
B)
C)
D)
E)
8°
10. La esfera homogénea permanece en reposo apoyada
sobre una superficie semiesférica y atada con una cuerda en donde la tensión es de 48 N. Calcular el módulo
de la fuerza de reacción por parte de la superficie semiesférica. Desprecie el rozamiento.
60 N
90 N
160 N
80 N
120 N
53°
A) 56 N
D) 50 N
8. Si los tres bloques tienen la misma masa, calcule 
para el el equilibrio. (No existe rozamiento)
B) 60 N
E) 36 N
C) 80 N
11. El resorte, de constante k=10 N/cm, sostiene a una
esfera de 24 N de peso. Determine la deformación del
resorte.
16°
m
m
m
Liso

A) 30°
B)
53°
60°
C) 37°
D) 53°
45°
P
174
A)
B)
C)
D)
E)

P
5 cm
4 cm
3 cm
2 cm
1 cm
E) 45°
9. En el sistema mostrado en equilibrio, calcule el valor
de . (  0)

A)
B)
C)
D)
E)
15°
45°
55°
75°
90°
12. Si el cuerpo A de 90 3 N de peso se encuentra en
equilibrio, calcule el módulo de la fuerza F que hace
posible esto. Desprecie el rozamiento.
A
30°
B
F
A) 90 3 N
B) 90 N
C) 80 N
D) 80 3 N
E) 50 N
Física
Ecología
¿DESAPARECERÁ EL DELTA DEL EBRO?
Todas las zonas que se encuentran a menos de 1
metro por encima del nivel del mar podrían desaparecer
en un plazo relativamente corto, debido a la subida del
nivel del mar, consecuencia del cambio climático. Entre
las zonas en peligro se encuentra el delta del Ebro.
Así, lo explicaba el pasado jueves la ministra española de Medio Ambiente, Cristina Narbona, fijando unos
pocos decenios como máximo para que dichas predicciones se cumplan.
El Grupo Internacional de Expertos sobre el Cambio
Climático (GIECC) había avanzado anteriormente las
malas noticias.
Según la ministra, la posible regresión del delta del
Ebro es una preocupación prioritaria para Medio Ambiente, motivo por el cual está previsto un importante
programa de inversiones para salvar la zona.
La ministra añadió que el delta del Ebro no era la
única zona en peligro. Muchas playas de Cataluña, Valencia y Murcia se encuentran en peligro de desaparición.
España se encuentra entre los países más vulnerables al cambio climático, cosa que comporta aumento de
la temperatura, disminución de los recursos hídricos, elevación del nivel del mar, etc.
Narbona advirtió, además, del riesgo de inundación
que corren zonas como Doñana y el Mar Menor.
175
• Alumno(a)
Física
: ______________________________________________________________
• Curso
:
____________________________________________ • Aula : __________
• Profesor
:
______________________________________________________________
5. Si el sistema está en equilibrio, calcule T. (W=50 N)
1. Hacer el D.C.L.
37°
A)
B)
C)
D)
E)
T
37°
F
2. Si el bloque de peso 15 N está subiendo a velocidad
constante, halle F.
Liso
F
A)
B)
C)
D)
E)
2
40 N
50 N
30 N
15 N
60 N
6. Determine el módulo F para levantar el bloque de 11
2
kg si cada polea es de 1 kg. (g=10 m/s )
6N
8N
2N
10 N
4N
A)
B)
C)
D)
E)
5
3. Si la esfera homogénea de peso 45 N está en equilibrio, halle la normal en la pared vertical lisa.
10 N
20 N
30 N
40 N
50 N
F
A)
B)
C)
D)
E)
Liso
53°
45 N
75 N
60 N
15 N
30 N
7. Determine el módulo F para el equilibrio si las poleas
2
1 y 2 son de 1 kg y 2 kg respectivamente. (g=10 m/s )
4. En el sistema en equilibrio, calcule T
si W1=8 N, W2=6 N.
1
F
T
W1
176
W2
A)
B)
C)
D)
E)
7N
10 N
12 N
15 N
18 N
2
28 kg
A)
B)
C)
D)
E)
60 N
20 N
80 N
30 N
50 N
Física
8. Si la polea es de 1 kg determine la masa del bloque B,
siendo, además, el módulo de la reacción del punto
inclinado sobre el bloque A de 80 N.

10. Determinar el módulo de F tal que las esferas homogéneas se encuentren en equilibrio y las superficies
son lisas. (g=10 m/s2)
16 kg
A
53°
37°
F
A)
B)
C)
D)
E)
60 N
80 N
100 N
120 N
160 N
B
A) 1 kg
D) 2,5 kg
B) 1,5 kg
E) 3 kg
C) 2 kg
9. Si el bloque mostrado se encuentra en reposo, determine el valor de la fuerza de rozamiento.
200 N
50 N
100 N
60°
53°
A)
B)
C)
D)
E)
15 N
20 N
25 N
30 N
35 N
20 GALAXIAS PARA CADA QUIEN
Se calcula que en nuestra galaxia la Vía Láctea hay 100
mil millones de estrellas, lo cual es un número tan
grande que aún siendo 5 mil millones de personas en el
mundo, podríamos tener 20 estrellas cada quién. Pero
eso no es todo, se calcula que hay también más de 100
mil millones de galaxias, por lo que cada quién podría
tener al menos 20 galaxias con 2 billones de estrellas en
total.
177
Física
CLAVES
AUTOEVALUACIÓN
1
2
3
4
5
6
A
B
B
B
A
C
7
8
9
10
11
12
B
D
A
C
E
C
CLAVES
AUTOEVALUACIÓN
1
2
3
4
5
6
C
C
A
B
D
A
7
8
9
10
11
12
A
E
A
D
B
D
CLAVES
AUTOEVALUACIÓN
178
1
2
3
4
5
6
A
B
D
B
B
A
7
8
9
10
11
12
C
A
E
C
D
B