MÓDULO TEÓRICO DE RAZ. MATEMÁTICO (1)

Academia pre universitaria
“alfa”
MODULO TEORICO
RAZONAMIENTO
MATEMÁTICO
|
MÓDULO TEÓRICO RAZ. MATEMÁTICO
SUCESIONES
Se llama sucesión a la secuencia de términos numéricos, literales
o gráficos; ordenados de acuerdo a una ley de formación o
criterios lógicos.
Regla Práctica: Para hallar a , b y c
c  t0
Tipo de Sucesiones
Sucesión Numérica
Términos de la Sucesión

1º
2º
3º
4º
...
nº




...

t2
t3
t1
t4 ... tn
Donde
 tn 
de toda progresión
Donde:

Sucesión Cuadrática
También se le denomina sucesión aritmética de 2do orden.
: Número de Términos.
,
t3

q2

p1
,
t4

q3

p2
,
t5 , .... , tn

q4

p3

r
Cuando cada término se obtiene multiplicando o dividiendo el
anterior por un valor constante o variable llamada razón
geométrica.
Caso Particular
Es aquella en la cual la razón geométrica  q  se obtiene como la
división de dos términos consecutivos y generalmente se expresa
como un término cualquiera que al multiplicarse por la razón
constante nos resulta el siguiente.
t1 ; t2 ; t3 ; t4 ; ... ; tn

q
tn  an 2  bn  c
n
t2
Progresión Geométrica
n : Número de Términos
Donde a , b y c son constantes cualesquiera,
orden.
Sucesión Geométrica

tn : Término Enésimo
3er
a, b, c y d

6a  r
tn  t1   n  1 r
: Razón Aritmética
,
12a  2b 
aritmética (razón constante) se calcula mediante la expresión:
r

: Número de Términos.

7a  3b  c  q1
  
r r r
En general, el término enésimo
tn
son constantes cualesquiera, a  0 ; n 
a, b, c y d
a  b  c  d  t1
t1 ; t2 ; t3 ; t4 ; ... ; tn
: Primer Término;
...
tn  an3  bn2  cn  d
Regla Práctica: Para hallar
También es llamada Progresión aritmética o sucesión aritmética
de 1er orden.
t1
t4
Sucesión Cúbica

n
Sucesiones Numéricas Importantes
Sucesión Aritmética Lineal

r
t3
También se le denomina sucesión aritmética de
Sea:
Número Ordinal
t2



a  b  p0 p1 p2 p3
  
2a  r r r
t ; t ; t ; ... ; t
1 2 3
n
Pueden ser: Numéricas, Literales, Alfa–Numéricas y Gráficas.
t1
a  0 ; n
El término enésimo
   
q q q q
 tn 
de toda progresión geométrica (razón
constante) se calcula mediante la expresión:
1 ;  1 ; 1 ;  1 ; 1 ;  1 ; ...
tn  t1  q
n 1
Donde:
t1 :
Primer Término
q:
Razón Geométrica
n : Número de Términos
Sucesión Notables
De los Números Naturales

Cuando existen razón aritmética y razón geométrica.
Ejemplo:
tn  n
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; ...
Sucesión Combinada
De los Números Impares

1 ; 4 ; 8 ; 11 ; 22 ; ...
1; 3 ; 5 ; 7 ;
Sucesión Alternada
Son aquellas que alternan una razón cada dos números.
Ejemplo:
9;
tn  2n  1
...
De los Números Triangulares

2;6;5;12;8;36;11;144; ...
Sucesión Literal
Conjunto ordenado de letras de acuerdo a un determinado
criterio, estos criterios son diversos pero los más empleados son:



Lugar que ocupan las letras en el alfabeto. (Sin
considerar la CH ni la LL ; a no ser que se diga lo
contrario).
Iniciales de palabras conocidas.
Formación de palabras.
1
¿Qué letra sigue? A ; D ; H ; K ; U ; ...
Sucesión Alfa – Numéricas
Formada por letras y números.
Ejemplo:
3
;
6
;


1
1  2 
1  2  3
t n
Ejemplo:
;

n  n  1
2
10
; ...

1  2  3  4 
...
 Término General 
De los Números Cuadrados

A1; B3; C 5; D7; ...
Sucesión Especiales

De los Números Primos
1
2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; ...

De Fibonacci

De Feinberg (“Tribonacci”)
1 ; 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 13 ; 24 ; ...
(La suma de tres términos consecutivos da el siguiente término)
<

De Lucas
1 ; 3 ; 4 ; 7 ; 11 ; 18 ; ...
(La suma de dos términos consecutivos da el siguiente término)

Oscilante
4
;
9
;
16



12
22
32
42
1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; 13 ; ...
(La suma de dos términos consecutivos da el siguiente término,
empieza con dos términos iguales.)
;

tn  n 2

 Término general 
De los Números Pentagonales
; ...
; ...
 n(n  1) 
k  1  2  3  ...  n  

 2 
k 1
n
3
3)
1;
12;
5;
22;
4)
n(3n  1)
( Término General )
tn 
2
k
3
3
 1  2  3  ...  n 
4
4
4
4
4
n  n  1 2n  1  3n2  3n  1
30
n2  n  1  2n 2  2n  1
2
n
k
5
 1  2  3  ...  n 
5
5
5
5
12
k 1
De los Números Hexagonales
2
3
k 1
5)

n
3
n
6)
 2k  2  4  6  ...  (2n)  n(n  1)
k 1
n
1 ; 6
;
;
15
28
;
...
7)
  2k 
3
 23  43  63  ...   2n   2n 2  n  1
3
2
k 1
n
tn  n  2n  1
 Término General 
SERIES Y SUMATORIAS
Progresión Aritmética
Para una progresión aritmética
t t 
t0 ; t1  t2  t3  ...  tn   1 n  .n
 2 
donde el término general es: tn  t0  n.r
8)
 (2k  1)  1  3  5  ...  (2n  1)  n
2
k 1
n
  2k  1
3
 13  33  53  ...   2n  1  n 2  2n 2  1
3
9)
k 1
10)
 k   k  1  1 2  2  3  3  4  ...  n   n  1 
n
k 1
11)
n
1
1
1
1
n  n  1 n  2 
3
1
n
 k  k  1  1 2  2  3  3  4  ...  n   n  1   n  1
k 1
12)
n
1
1
1
1
n
  2k  1 2k  1  1 3  3  5  ...   2n  1 2n  1  2n  1
k 1
Series y Sumatorias
13)
11! 2  2! 3  3! ...  n  n !  (n  1)! 1
14)
1 2 3 4
r
 2  3  4  ... 
;
2
r r
r r
 r  1
Sumatorias: Fórmulas básicas.
1)
n(n  1)
k  1  2  3  ...  n 

2
k 1
2)
n(n  1)(2n  1)
k  1  2  3  ...  n 

6
k 1
n
n
n
2
2
2
2
2
15)
 a   n  k  1 a
i k
 r  1
Ejemplo:
SERIE TELESCÓPICA
Si
tn  es una sucesión cuyo término general es la diferencia
entre
f  n  1 y f  n 
n
o viceversa, la serie
t
k 1
k
asociada a
esta sucesión se llama serie telescópica.
n
t
k 1
n
k
   f  k  1  f  k    f  n  1  f 1
k 1
Para una progresión geométrica infinita:
1
1 1
1
1
 2  3  . . .
;
r r
r
1 r
 r  1
Muy importante:
1
1
1
1
1
n


 ... 


ab bc cd
st t u
au
11 1
   
ra u
Operaciones
Directas
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Número inicial
Multiplicación
Añadimos
Dividimos
Potencia
Radicación
Obtenemos
Operaciones
Inversas
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
Cantidad final
Potenciación
Radicación
Multiplicamos
Restamos
Dividimos
Número inicial
Método del Rombo
C
Donde a, b, c,..., t , u forman una progresión
aritmética de
n términos,
con razón
_
x
r.
_
A
B
Más sumas:
1
1
1
1
1
n.(n  3)



 ... 

1.2.3 2.3.4 3.4.5 4.5.6
n.(n  1).(n  2) 4.(n  1).(n  2)
1.2.3  2.3.4  3.4.5  4.5.6  ...  n.(n  1).(n  2) 
D
n.(n  1).(n  2).(n  3)
4
# d e  In có g n ita D  
A ×C -B
C -D
Método del Rectángulo
MEtodos especiales
Método del Cangrejo
Este método nos permite encontrar soluciones de un problema,
en forma directa; para lo cual se realizan las operaciones
inversas en cada caso, empezando desde el final hacia el
comienzo.



_ 





A
C
CANTIDAD
B
# de




 +




D
 c a n tid a d , p re c io ,e tc  =
(Sobra)
(Falta)
C+D
A -B
REGLA DE LA CONJUNTA
Establece relaciones que existen entre diferentes especies,
conociendo las relaciones intermedias (equivalentes) entre
éstos
Forma Práctica:
1. Se forman equivalencias entre las cantidades
2. El 1er elemento y el último deben ser siempre de la
misma especie.
3. Las cantidades deben colocarse en forma ALTERNADA.
De acuerdo a la estructura que se presentan en los ejercicios,
hablaremos de operadores simples y compuestos.
OPERADORES SIMPLES
Cuando en una operación o conjunto de operaciones interviene
un solo operador, se le denomina operador simple.
Veamos los siguientes ejemplos:
1. Si “#” es un operador tal que:
a # b = 2a  b
Hallar:
OPERADORES
MATEMATICOS
OPERADORES COMPUESTOS
Las diversas formas de combinación de dos o más operadores
simples se denominan operadores compuestos. Así por
ejemplo:
OPERADOR MATEMÁTICO.
Es
aquel
símbolo
que
representa
a
una
3 # 4
operación
matemática. Nos permite reconocer la operación con su
2. Definidas las operaciones:
respectiva regla de definición.
x#y =
Operación
-
Multiplicación
x
División

OPERADORES CONDICIONADOS
Son aquellos operadores cuyas variables están
Radicación
condicionadas a su naturaleza (par o impar), a su relación
Logaritmo
Log.
Valor absoluto
(mayor o menor), o a un intervalo de valores.
 

Sumatoria
.
.
.
.
.
.
Ejemplo: Calcular
 4 & 3 &  5 & 2  , si
2a  3b; a  b
a &b  
3b  a; a  b
RECUERDA:
a  b = a2 + ab + b2
xy
2
[(4 # 6) % (6 # 2)] / [(2 % 3) # (1 % 5)]
+
Sustracción
x%y =
Calcular:
Operador
Adición
2x  y
;
2
OPERADORES DEFINIDOS MEDIANTE TABLA:
n = n2 -n + 1
Son aquellos operadores donde se ha reemplazado la
fórmula por una tabla de valores, en la cual los valores de la
Operador
Matemático
I.
Regla de
Definición
Operador
Matemático
Regla de
Definición
OPERADORES SIMPLES Y COMPUESTOS
primera variable se encuentran en la línea vertical, los de la
segunda variable en la línea horizontal, y el resultado en la
intersección.
Ejemplo: Calcular
 2  3   3 1 , si

1
2
3
1
1
2
3
2
2
3
1
3
3
1
2
 En el cuerpo de la tabla se busca una fila y una columna
igual a la fila y columna de entrada respectivamente.
Donde se intersecten se encontrará el elemento neutro.
a
b
c
d
Se puede usar cualquier símbolo para mi “nueva operación
matemática”



%
...
 En ℕ la suma es cerrada : 3 + 4 = 7
3 ∈ ℕ, 4 ∈ ℕ entonces 7 ∈ ℕ
 En ℕ la multiplicación es cerrada : 8 x 5 = 40
4.
ELEMENTO INVERSO
Es aquel que operando con un número se obtiene el elemento
neutro. El inverso de un número es único para ese número.
 Se verifica que la operación sea conmutativa
 se busca el elemento neutro (e)
 Se aplica lo indicado para el elemento inverso.
Ejemplo:
1) Calcula :
1-1 ; 2-1 y 3-1 en :
8 ∈ ℕ, 5 ∈ ℕ entonces 40 ∈ ℕ
Ejemplos:
 En ℕ la suma es conmutativa.
Solución:
Hallando “e”
8+3=3+4
2+7=7+2
 En ℤ la multiplicación es conmutativa.
*7x2=2x7
ELEMENTO NEUTRO
Es aquel que operando con cualquier número se obtiene el
mismo número.
ELEMENTO NEUTRO EN TABLAS

Se verifica que la operación sea conmutativa.
1
3
1
2

1
2
3
PROPIEDAD CONMUTATIVA
a, b  C  ab  ba
3.
d
b
c
d
a
ELEMENTO INVERSO EN TABLAS
Ejemplo:
*8x3=3x8
c
a
b
c
d
igual
CLAUSURA O CERRADURA
Si a y b pertenecen a un conjunto “C” por ejemplo, la
operación definida también pertenece a dicho conjunto.
2.
b
d
a
b
c
El elemento neutro es “c”
PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES
MATEMÁTICAS.
1.
a
c
d
a
b


1
2
3
1
3
1
2
2
1
2
3
Luego:
1-1  1 = e
1-1  1 = 2
 1-1 = 3
3
2-1  2 = 2
 2-1 = 2
2
3-1  3 = 2
....
 3-1 = ........
2
1
2
3
3
2
3
1
3
2
3
1
e=2
CONTEO DE FIGURAS
FORMULAS DE CONTEO DE FIGURAS
Número de segmentos (
2
1
1
4
3
2
5
4
3
)
5

m(m  1)
2
Nº
ó

n(n  1)
2
Donde:
m: número de lados adyacentes a la base
n:
número de espacios triangulares
simples
Caso II:
N
..
.
m 2 m1 m
n1 n
7
6
Nº
6
4
3
m(m  1)
Nº seg 
2
n(n  1)
Nº seg 
2
ó
1
Donde:
m: número de puntos extremos de cada
segmento
n:
2
...
3
4
Nº
  
n(n  1) 
 N
 2 
m
Caso III:
. .. . .
.
número de espacios segmentales
simples
2. Número de ángulos agudos (
3
2
)
1
2
1
2
3
4
3

4
Donde:
m y n: indican la cantidad de espacios
triangulares, pero si m  n ; entonces la
fórmula se reduce a la siguiente forma:
n
..
.
m

m(m  1)
2
Nº
ó

n(n  1)
2
3
2
Donde:
m: número de rayos
n: número de ángulos simples
3. Número de Triángulos
2 3
1
...
...
4
( )
Nº
Caso I:
1
n
  n3
Caso IV:
n
n1
1
1
mn(m  n)
2
Nº
m1
Nº
n
3
..
..
..
n
2
1
...
...
1
..
.
2
n
n1
2
2
4
3
3
4
5
...
...
n1 n
m 2 m1
n
n1
..
.
..
.
m
Nº
3
3
2
2
1
1

n(n  1)(n  2)
3
1
Caso VII:
..
Caso IV:
.
n
3
2
1
Nº

1
n(n  1)(n  2)

6
No  =
3
2
4
... n
n  n +1 2n +1
3
Caso V:
4. Número de Cuadriláteros (
)
Caso I:
1
2
3
..
.
n1
n
1
2
No  =
3
4
...
n
n  n +1 n + 8 

Nº
n(n  1)
2
Caso II:
6
1
2
3
..
.
Caso VI:
2
3
Nº

...
4
m
n1
n
n(n  1) m(m  1)

2
2
Caso III:
1
2
No  =
3
4
...
n
n  n +1 2n + 7 
6
1
2
3
...
n
n  n +1  n + 2 
2
o
N Cuadriláteros cóncavos =
12
8. Número de trapecios
5. Número de Cuadrados (
)
1
1
2
4 . .. n
3
2
3
2
.
.
3
.
4
..
.
n
n1
n
n(n  1)
2
Nº sect. 

Nº
n(n  1)(2n  1)
6
9. Número de polígonos superpuestos:
(Hexágonos, Octógonos, etc.)
6. Número de Triángulos Rectángulos
Caso I:
1
2
Caso II:
3
4 . .. n
1
2
2
3
3
4
..
.
n
1 2
3
4
..
.
4 . .. n
n ... 3 2 1
1 2 3 ... n
Nº hexag. 
Nº
 n(n  1)
Nº

n(n  1)
2
n(n  1)
2
n
..
.
7. Número de sectores circulares
Caso I:
3
2
1
1
1
2
3
2
3
..
.
n(n  1)
Nº sect. 
2
.
.
.
n
Nº octog. 
n
n(n  1)
2
10. Número de letras superpuestas
Caso II:
3
n3
1
n
4m
2
2
. ..
. .
.
4
2
1
1
3
1
.
.
.
2
n3
n
Nº
Nº sect. 
n(n  1)
N
2
Nº
4m
(n  1)(n  2)

2
m(m  1)

2
11. Número de semicírculos
Caso I: 3
CONTEO DE FIGURAS GEOMÉTRICAS
EN EL ESPACIO
1. Número de cubos
4D
2
Nº semicir  2D
1
1
5n
2
4
3
4
Caso II:
3
3
2
n5
4
1 ... 2 3 4  C
1
12. Número de triángulos formados por las diagonales de un
polígono regular
Nº
13. Número de segmentos entre rectas
secantes
3
2
2. Número de Paralelepípedos
4p
3
3
2
2
n6 5 4
3 2 1 1
Nº paralelepipedos 
... n
1
2
3
4
.
..
m
n(n  1) m(m  1) p(p  1)


2
2
2
3. Número de Pirámides
6p
.
.
.
5
m4
n
Nº seg.  n(n  1)(n  2)
4
3
3
2
14. Número de triángulos de la forma
siguiente:
1
... n
2
2
3
n4 1
Nº pirám  nm  (n  1)(m  1)  (n  2)(m  2)  ... p
.
....
.
.
2
1 1
2
  D(D  2)
n(n  3)
D
2
..
3
 n(n  1) 
Nº cubos  
 2 
3
1 23
4
5n
4
Nº semicir  2CD
2
D4
2
4
Nº
3
2
1

n(n  1)(n  2)
6
4. Número de cuadrados en un rectángulo
DIAGRAMAS CON FILAS Y COLUMNAS
Se emplean cuando se trata de dos o más persona con edades
relacionadas en diferentes tiempos.
En las filas (horizontales) se anota la información de cada
personaje y en las columnas (verticales) se distribuyen los datos
sobre el pasado, presente o futuro.
También se debe tener en cuenta lo siguiente:
Los puntos suspensivos indican que
continúan apareciendo más sumandos
hasta que uno de ellos presente como
factor a la unidad.
m
...
m1
..
.
..
.
3
2
1
2
n1
...
4
3
n
Nº cuad.  nm  (n  1)(m  1)  (n  2)(m  2)  ...
Pasado
Presente
Futuro
Ana
a
m
r
Beto
b
n
s
Ejemplos:
1. La diferencia de edades de 2 personas es constante en
cualquier tiempo:
5. Número de cubos en un paralelepípedo
a–b=m–n=r–s
...
..
2. La suma en aspa de valores extremos simétricos es
.
..
...
.
..
constante:
.
a+n=b+m
m+s=n+r
p
...
m
3
n
..
2
... 3
2
1
1
2
a+s=b+r
.
3
Nº cubos  nmp  (n  1)(m  1)(p  1) 
+ (n  2)(m  2)(p  2)  ...
3. Con el año de nacimiento:
Si la persona ya cumplió años
. Año Nacimiento + Edad Actual = Año actual
Si la persona aun no cumple años
. Año Nacimiento + Edad Actual = Año actual – 1 .
EDADES
TIPOS DE PROBLEMAS
DIAGRAMAS LINEALES
Se emplean cuando se trate de un solo personaje cuya edad
a través del tiempo debe marcase sobre una línea que
representará el transcurso del tiempo.
PORCENTAJES
x
x% 
. Se lee “x por ciento”
100
Porcentajes:
Si una cantidad " K " depende del producto de
los factores " a " y " b " , y estos varían de
modo que " m " y " n " son los porcentajes
finales de ambas cantidades; entonces el
porcentaje final " p " de la cantidad inicial " K "
viene dado por:
En General:
p  m.n .
a% N 
a
N
100
Descuentos Y Aumentos Sucesivos
Fórmula Para Aumento Único
a
b
c
m
n
p
d e
q r
 a.b.c.q.r  m.n. p.d .e
 (100  A1 )(100  A2 )(100  A3 )....(100  AN )

AU  
 100 %
100 N 1


RELOJES
Fórmula Para Descuento Único
(100  D1 )(100  D2 )(100  D3 )....(100  DN ) 

DU  100 
%
100 N 1


En este capítulo estudiaremos problemas relacionados
con el tiempo y para mejor entendimiento lo dividiremos del
siguiente modo:
Problemas De Compras Y Ventas
En un Problema donde existe ganancia y perdida se debe tener en
1. Angulo Convexo entre el Horario y el Minutero. Cuando
cuenta lo siguiente:
Pv(Precio de Venta) = Pc(Precio de Costo) + G(Ganancia)
Pv(Precio de Venta) = Pc(Precio de Costo) - P(Perdida)
el reloj marca las H horas con Minutos, el ángulo  formado
por el horario y el minutero se obtiene así:

REGLA DE TRES
Regla de Tres Simple:
Directa
x
b c
a
Cuando el minutero se adelanta al horario:


11
M  30H
2
Cuando

el
horario
se
adelanta
al
minutero:
11
M  30H
2
Regla de Tres Simple
2. Relación entre el Recorrido del Horario RH y el recorrido
del minutero RM.
a  b
c  x
Inversa
a b
x
c
RH
1

RM 12
Recuerda que un minuto de
tiempo equivale a seis grados
sexagesimales.
Regla de tres compuesta:
Causa
¿Quién
lo hace?
Circunstancia
¿Cómo lo
hace?
1 div. <> 6° <> 1 min.
Efecto
¿Qué
hace?
Luego se multiplican los valores que están junto a las líneas.
3. Adelantos y Atrasos. Cuando el reloj se está adelantando,
para ponerlo a la hora correcta se debe retroceder el
adelanto. Cuando el reloj se está atrasando, para ponerlo
en la hora correcta se debe adelantar el atraso.
-Adelanto
Total
+ Atraso
Total
Hora
Retrasada
Hora
Adelantada
Hora
Real
-Atraso
Total
+Adelanto
Total
4. Campanadas. En el caso de problemas con campanadas, se
debe resolver con los intervalos entre campanadas, ya que
el intervalo mide el tiempo entre campanadas
HORARIO Y MINUTERO DE UN RELOJ
Consideraciones previas:
n camp
1 23
1 23
PROBLEMAS SOBRE ÁNGULO FORMADO POR LAS
MANECILLAS
 La circunferencia de un reloj está dividido entre 12 espacios
separados por las marcas horarias.
n - 1 inter
N° intervalos = N° camp. - 1
5. Tiempo
 El espacio comprendido entre dos marcas horarias está
dividido en 5 espacios que corresponden a los minutos.
Transcurrido. Se debe tener en cuente lo
siguiente:
1 día
24 horas
oh
24 h
X
x-0=x
( 24 - x )
Hora
correcta


Tiempo
que falta
Tiempo
Transcurrido

30
12

ángulo avanzado por el
horario desde la 1: 00

3
9


6. Corrección Automática de la Hora

5

marca horaria
Para un reloj que se está adelantando, o atrasando, vuelva a
marchar la hora correcta, deben pasar 12 horas ó 720
Ahora, analicemos los desplazamientos tanto
minutos de adelanto o atraso respectivamente.
6
OBSERVACIONES
del horario como el minutero:
a) Considerar el número de días que atrae cada mes.
Enero Febrero Marzo Abril Mayo Junio Julio
31
28 ó 29
31
30
31
30
31
Año normal Año bisiesto
tiempo
b) Un día se vuelve a repetir cada 7 días.
+7
Martes
1
+7
+7
Martes Martes
8
15
...
+7k
Martes
c) Con respecto a un año.
365 días
Normal
12 meses (febrero trae 28
días)
52 semanas
Año
366 días
Bisiesto
Febrero (29 días)
Se repite cada 4 años ( )
d esp la za m ien to
del horario
d el m in u tero
60 min
30
360
2 min
1
12
x
 
2
6 x
x min
Agosto Setiembre Octubre Noviembre Diciembre
31
30
31
30
31
desplazamiento
Además:
 Cuando el MINUTERO adelanta al SEGUNDERO el ángulo
se calcula de la siguiente manera:
 M  S  (6 M 
S
)  6S
10
 Cuando el SEGUNDERO adelanta al MINUTERO el ángulo
se calcula de la siguiente manera:
 S M  6 S  (6 M 
S
)
10
 Cuando el HORARIO adelanta al SEGUNDERO el ángulo se
calcula de la siguiente manera:
 H  S  (30 H 
M
719
)
S
2
120
 Cuando el SEGUNDERO adelanta al HORARIO el
se calcula de la siguiente manera:
 S H 
Areas sombreadas
Muy importante:
ángulo
mS
m
719
M
S  (30 H 
)
120
2
nS
n
A B C


m
n
p
Donde:
A
H: Hora de referencia.
m
M: Los minutos transcurridos a partir de la hora de referencia.
S: Los segundos transcurridos a partir de la hora de referencia.
C
B
n
p
Casos particulares:
NOTA:
 Cuando las agujas de un reloj forman un ángulo " " por
primera vez significa que el horario está adelantado con
respecto del minutero.
" "
S
S
Áreas: Propiedades importantes.
 Cuando las agujas de un reloj forman un ángulo
por
segunda vez significa que el minutero está adelantado con
respecto del horario.
 El ángulo que forman las agujas de un reloj, se miden en sentido
horario.
 Cuando las agujas del reloj coinciden, quiere decir que están
formando un ángulo igual a cero
  0  .
0
 Cuando las agujas del reloj están opuestas, quiere decir que
están formando un ángulo
  180  .
0
 Recordar que cuando son las 12 horas con tantos minutos, la
hora de referencia se toma como cero
 H  0 .
Además se cumple la siguiente relación:
ERH
5
1


ERM 60 12
Propiedades para paralelogramos:
S
3S
S
3S
S
3S
S
S
2S
S
S
3S
2S
2S
4S
S
3S
S
S
3S
S
S
3S
2S
2S
S
S
4S
3S
S
3S
S
3S
Propiedades para Trapecios y Triángulos:
n
n2 k

 rectángulo.
Área del
n
S
nS
S
mS
m2 k
m
A
a
b
m
S  nmk

 equilátero conociendo uno de sus lados.
Área del
n
A
60º
S
S
ab
2
nS
mS
B
m
S 2  A.B
L
L
60º
60º
A
L2  3
4
L

Muy importante:
 equilátero conociendo su altura.
Área del
A
A S
S A
2r
B
A
h
AT  A  B
AT
60º
h2  3
3
60º
Área del trapecio.
2S  r 2 (  2)

Área del
 conociendo 2 lados y el ángulo comprendido.
a
A
Área de Regiones Triangulares

Área del
 conociendo la base y altura

ab
Sen 
2
b
A
h
bh
2

Área del  conociendo los tres lados
(T. de Herón)
Si :
a
b
b
p
abc
2
c
A
h
bh
2
A
p  p  a  p  b  p  c 
b

Área del
 rectángulo conociendo 2 segmentos de la
hipotenusa.
m
A  mn
n
r

Área del
 circunscrito.
A
30º
r
A  pr
rr

Área de
r2
12
 Área de la corona circular.
 inscrito.
A   R2  r 2 
r
R
a
c
A
a bc
4R
 Área del trapecio circular.
R
b
R
 Área de un círculo.
r

  2 2 
R r
360
A
r
A   r2
H
 Área de un sector circular.
A
º
 r2  
360
H
r
NOTA
L1
L2
r
 L  L2 
A 1
H

2

A
r2
2
 Área de un cuadrado conociendo su lado.
r
r
L
A  L2
r
r2
A
4
r
A
r
D
L
r
60º
L
r2
6
L
A
D2
2
 Área de un rectángulo.
ANALISIS
COMBINATORIO
A  bh
h
Factorial:
b
n !  1 2  3  ...(n  1)  n
n !  (n  1)! n
 Área de un rombo.
0!  1
Co-factorial:
A
d
D
Dd
2
1 3  5  ..., sí n es impar
n !!  
2  4  6  ..., sí n es par
Principios fundamentales del Análisis Combinatorio:
 Área de un paralelogramo.
I) Principio de multiplicación:
h
A  bh
b
Si un evento o suceso “A” puede ocurrir, en forma independiente,
de m maneras diferentes y otro suceso “B” de n maneras
diferentes, entonces el número de maneras distintas en que
pueden suceder ambos sucesos es m  n .
II) Principio de adición:
 Área de un trapecio.
Supongamos que un evento “A” se puede realizar de m maneras
y otro evento “B” se puede realizar de n maneras diferentes,
además, no es posible que ambos eventos se realicen juntos
b
 A  B    , entonces
 m  n  maneras.
h
B
Bb 
A  
h
 2 
MÉTODOS DE CONTEO
n
 Combinación: Cr 
A  m h
m
el evento A ó B se realizarán de
h
No hay orden: AB
 Área de un cuadrilátero cualesquiera.
n!
r !(n  r )!
;
 BA
Combinaciones con repetición de
de
k
en
n
elementos tomados
k
Son los diferentes grupos que pueden formarse con los
d

D
A
Dd
 Sen 
2
n
elementos dados, tomados de k en k , en los que cada uno
de los elementos pueden formar parte de la agrupación las
veces que se quiera y sin importar el orden de ellos.
 n  k  1  n  k  1!
CR nk  

k

 k ! (n  1)!

Variación:
Vrn 
Sí hay orden AB
n!
(n  r )!
;
 BA
Variaciones con repetición de
n
3)
Ckn  0; n, k 
4)
C0n  1; n
5)
Ckn  Cnnk ; n  k ; n, k 
6)
Ckn  Ckn1  Ckn11 ; k  ; n 
7)
Ckn  Crm   nk ,rm k  r   nn ,mm,k,rk r  m
8)
Ckn 
n n1
Ck 1 ; n , k 
k
9)
Ckn 
n
Ckn1 ; n , k 
nk
10)
Ckn 
elementos tomados de
k en k
Son los diferentes grupos que pueden formarse con los
elementos dados, tomados de k en
aparecer elementos repetidos.
k
n
, en los que pueden
VRkn  nk
 Permutación
Permutación lineal con elementos diferentes
El número de permutaciones de n objetos diferentes,
estará dado por:
Pn  n !
Estas permutaciones son llamadas lineales, porque los
P cn  (n 1)!
Permutación con repetición:
P
n
r1 , r2 ,..., rk
donde: r1  r2
Nota:

n!
r1 !r2 !...rk !
 ...  rk  n
Vnn  Pn
Algunas Propiedades:
1)
Cnn  1; n
2)
C0n  C1n  C2n  ...  Cnn  2n ; n
n   k  1 n
Ck 1 ; n , k 
k
Teorema de Moivre:
objetos son ordenados en una línea recta de referencia.
Permutación circular:
 nk
Número de soluciones enteras estrictamente positivas de la
ecuación:
x1  x2  x3  x4  ...  xr  n  1  1  1  1  ...  1
( r 1) signos (  )
xi 
,
xi  1
Número de soluciones   nr11 
n  unos
,
PROBABILIDADES
probabilidad de ocurrencia de A se denota por P  A  y está
dado por:
P : R (W) ® [0;1]
SURGIÓ POR LOS JUEGOS DE AZAR
A ® P (A) =
El nacimiento de las probabilidades lo encontramos en el
interés demostrado por los matemáticos en las probabilidades
que tenían de ganar en sus juegos de azar, en los dados, los
naipes.
El primero que se ocupó de esta cuestión analizando el
juego de dados, fue TARTAGLIA
(1500 – 57).
P (A) =
Donde: A   ;
Pero la forma que tiene actualmente el cálculo de
N º de Casos Favorables
N º de Casos Totales
0  P  A  1
PROPIEDADES
probabilidades nació a mediados del siglo XVII, cuando el francés
De Meré consultó sobre el problema de cómo debían repartirse
n (A) A
=
n (W) W
I. Si “A” es un evento definido en  entonces.
0  P  A  1
las apuestas de una partida de dados que debió suspenderse.
Blas Pascal (Francés 1623–62) conjuntamente con Pierre de  Si: P  A   0  A= 
Fermat (Francés), aficionado a las cuestiones matemáticas (1601A es un evento imposible
65), arribaron a conclusiones que dieron nacimiento al cálculo de
probabilidades.

 Si: P  A   1  A= 
A es un evento seguro
EXPERIMENTO ALEATORIO
Es toda prueba o ensayo cuyo resultado no se puede predecir
con seguridad antes de realizarlo.
Por ejemplo:
 Evento seguro: Es el que de todas maneras debe ocurrir
 Evento imposible: Es el que no va a ocurrir
 Eventos complementarios: Si uno ocurre y el otro no.

Lanzar un dado

Extraer una bola de una caja

II. Eventos
 Eventos mutuamente excluyentes: si la ocurrencia de uno
de ellos no depende de las demás
ESPACIO MUESTRAL ()
 Eventos independientes: cuando no tienen ninguna relación
entre si la ocurrencia de uno de ellos no influye en la
ocurrencia del otro.
III. Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes es decir
que: A  B  
Es el conjunto de todos los resultados posibles de un
experimento aleatorio.
A
Por ejemplo:
B
Al lanzar un dado
 = {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Definición Matemática de Probabilidad
Si “A” es un evento de un espacio muestral    entonces la
P  A  B   P  A  P B 
AóB
IV. Si A y B son sucesos no excluyentes es
decir: A  B  
A
B
de ellos es distinta de cero. Sea B un suceso cualquiera del que
se conocen las probabilidades condicionales P ( B / Ai ) . Entonces,
la probabilidad
P( Ai / B) 
P( Ai / B)
viene dada por la expresión:
P( B / Ai ) P( Ai )

P( B)
P (A È B) = P (A)+ P (B)- P (A Ç B)
V. Sea “A” un número definido en el espacio
muestral    entonces:
P (A)+ P (A)= 1
VI. Si A y B son sucesos independientes,
entonces.
P( B / Ai ) P( Ai )
n
 P( B / A ) P( A )
j 1
j
j
Donde:
P ( Ai ) son las probabilidades a priori.
P( B / Ai ) es la probabilidad de B en la hipótesis Ai .
P( Ai / B) son las probabilidades a posteriori.
Esto se cumple
 i  1... n
P  A  B   P  A  P  B 
AyB
VII. Probabilidad Condicional
P  B / A 
P  B  A
P  A
A
B
P  A / B  : Probabilidad de que ocurra el
evento B, dado que el evento
A ha ocurrido.
VIII. Si los eventos A y B son dependientes,
entonces la ocurrencia simultánea de los
eventos es:
P (A Ç B) = P (A)´ P (B / A)
TEOREMA DE BAYES
El teorema de Bayes, enunciado por Thomas Bayes, en la teoría
de probabilidad, es el resultado que da la distribución de
probabilidad condicional de un evento aleatorio A dado B en
términos de la distribución de probabilidad condicional del evento
B dado A y la distribución marginal de sólo A.
Sea
 A ; A ;...; A ;...; A  un conjunto de sucesos mutuamente
1
2
i
n
excluyentes y exhaustivos, y tales que la probabilidad de cada uno
¡LÍDER EN EXIGENCIA ACADÉMICA!