Libro de texto de Álgebra: Expresiones, Ecuaciones y Más

1
El Álgebra es el área de las matemáticas donde las letras (como x
o y) u otros símbolos son usados para representar números
desconocidos.
Por ejemplo: en x - 5 = 2, x es desconocido, pero puede
resolverse sumando 5 a ambos lados de el signo igual (=), así:
x-5=2
x-5+5=2+5
x+0=7
x = 7 (la respuesta)
Los números enteros se utilizan en la ciencia y en la vida
cotidiana. Sirven para mostrar altitudes bajo el mar,
variaciones de temperatura, para la elaboración del balance
de una empresa, para hacer cuentas en casa, para mostrar
tendencias, patrones y regularidades.
CAPACIDAD:
DESTREZAS
VALOR - ACTITUD
TAREA 01
CONTENIDOS
MÉTODOS
2
MICROACTITUDES
ÁLGEBRA
EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
FRACCIONES
ALGEBRAICAS
ECUACIONES
MATRICES
INECUACIONES
DETERMINANTES
SISTEMA DE
ECUACIONES E
INECUACIONES
La palabra «álgebra» es de origen
árabe, deriva del tratado escrito
por el matemático persa
Muhammad ibn Musa al-
Jwarizmi
3
Desde el primer instante
en que apareció el hombre,
mucho
antes
de
que
aprendiera a pensar en si
mismo, a razonar o a tener
siquiera el primer concepto,
todo su pequeño mundo
circundante
le
estaba
hablando de Matemática: la
distancia de su cueva al río, el
número de plantas, la
longitud y el peso de una
caña,
los
grupos
de
animales
que
veía,
la
comparación de su velocidad
para correr a la caza de su
presa o para escapar de los
peligros que le acechaban, la
altura para alcanzar los
frutos silvestres el lapso
entre el amanecer y el
anochecer, el transcurrir
incesante de los días, la
cantidad
de
frutos
recogidos, el crecimiento de
su tribu y en fin, todo cuanto
le rodeaba no hacía sino
conducirlo por un camino
inevitable: calcular, contar,
medir, comparar.
Había nacido, pues, la
Matemática junto con el
hombre, no porque éste la
inventara, sino porque el
lenguaje de la naturaleza
está dado en conceptos,
relaciones
y
funciones
matemáticas
Siglo IX. Época en la que trabajó el
matemático y astrónomo musulmán AlJwarizmi, cuyas obras fueron fundamentales
para el conocimiento y el desarrollo del álgebra.
Al-Jwarizmi investigó y escribió acerca de los
números, de los métodos de cálculo y de los
procedimientos algebraicos para resolver
ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Su
nombre latinizado dio origen a la palabra
algoritmo que, usaba primero para referirse a
los métodos de cálculos numéricos en
oposición a los métodos de cálculo con ábaco,
adquirió finalmente su sentido actual de
procedimientos algebraicos para resolver
ecuaciones y sistemas de ecuaciones. Su
nombre latinizado dio origen a la palabra
algoritmo que se usaba primero para referirse a
los métodos de cálculos numéricos en
oposición a los métodos de cálculo con ábaco,
adquiriendo finalmente su sentido actual de
procedimiento sistemático de cálculo. En
cuánto a la palabra álgebra, deriva del título de
su obra más importante, que presenta las
reglas fundamentales del álgebra, Al-jabr wal
muqabala.
ALGEBRA
Un poco de Historia
En el siglo XVI a.C. los egipcios desarrollaron un
álgebra muy elemental que usaron para resolver
problemas cotidianos que tenían que ver con la
repartición de víveres, de cosechas y de
materiales.
Ya para entonces tenían un método para
resolver ecuaciones de primer grado que se
llamaba el "método de la falsa posición". No
tenían notación simbólica pero utilizaron el
jeroglífico hau (que quiere decir montón o pila)
para designar la incógnita.
Alrededor del siglo I d.C. los matemáticos chinos
escribieron el libro Jiu zhang suan shu (que
significa El arte del cálculo), en el que plantearon
diversos métodos para resolver ecuaciones de
primer y segundo grado, así como sistemas de
dos ecuaciones con dos incógnitas. Con su
ábaco (suan zí) tenían la posibilidad de
representar números positivos y negativos.
En el siglo X vivió el gran algebrista
musulmán Abu Kamil, quien continuó los
trabajos de Al-Jwarizmi y cuyos avances en el
álgebra serían aprovechados en el siglo XIII por
el matemático italiano Fibonacci.
En el siglo II, el matemático griego Nicómaco
de Gerasa publicó su Introducción a la Aritmética
y en ella expuso varias reglas para el buen uso
de los números.
Durante este mismo siglo, el matemático
musulmán Abul Wafa al Bujzani, hizo
comentarios sobre los trabajos de Diofanto y AlJwarizmi y gracias a ellos, los europeos
conocieron la Arithmetica de Diofanto.
En el siglo III el matemático griego Diofanto
de Alejandría publicó su Aritmética en la cual,
por primera vez en la historia de las matemáticas
griegas, se trataron de una forma rigurosa no
sólo las ecuaciones de primer grado, sino
también las de segundo. Introdujo un simbolismo
algebraico muy elemental al designar la incógnita
con un signo que es la primera sílaba de la
palabra griega arithmos, que significa número.
Los problemas de álgebra que propuso
prepararon el terreno de lo que siglos más tarde
sería "la teoría de ecuaciones". A pesar de lo
rudimentario de su notación simbólica y de lo
poco elegantes que eran los métodos que usaba,
se le puede considerar como el padre del
álgebra moderna.
1202. Después de viajar al norte de África y
a Oriente, donde aprendió el manejo del
sistema de numeración indoarábigo, Leonardo
de Pisa, mejor conocido como Fibonacci,
publicó el Lider Abaci (Tratado del Ábaco) obra
que en los siguientes tres siglos fue la fuente
principal para todos aquellos estudiosos de la
aritmética y el álgebra.
En el siglo XV, el matemático francés Nicolás
Chuquet introdujo en Europa occidental el uso
de los números negativos, introdujo además
una notación exponencial muy parecida a la
que usamos hoy en día, en la cual se utilizan
indistintamente exponenciales positivos o
negativos.
En el siglo VII los hindúes habían desarrollado
ya las reglas algebraicas fundamentales para
manejar números positivos y negativos.
4
En 1489 el matemático alemán Johann
Widmann d'Eger inventó los símbolos "+" y "-"
para sustituir las letras "p" y "m" que a su vez
eran las iniciales de las palabras piu (más) y
minus (menos) que se utilizaban para expresar la
suma y la resta.
manera sustancial. Los grupos comenzaron
como
sistemas
de
permutaciones
y
combinaciones de las raíces de polinomios,
pero evolucionaron para llegar a ser uno de los
más importantes conceptos unificadores de las
matemáticas en el siglo XIX. Los matemáticos
franceses Galois y Augustin Cauchy, el
británico Arthur Cayley y los noruegos Niels
Abel y Sophus Lie hicieron importantes
contribuciones a su estilo.
En 1525, el matemático alemán Christoph
Rudolff introdujo el símbolo de la raíz cuadrada
que usamos hoy en día. Este símbolo era una
forma estilizada de la letra "r" de radical o raíz.
Las cuaternas fueron descubiertas por el
matemático y astrónomo irlandés William
Rowan Hamilton, quien desarrolló la Aritmética
de los números complejos para las cuaternas;
mientras que los números complejos son de la
forma a + bi , las cuaternas son de la forma a +
bi + cj + dk:
En 1545 y 1560, los matemáticos italianos
Girolamo Cardano y Rafael Bombelli se dieron
cuenta de que el uso de los números imaginarios
era indispensable para poder resolver todas las
ecuaciones de segundo, tercer y cuarto grado.
En 1557 el matemático inglés Robert Recorde
inventó el símbolo de la igualdad, =.
Después del descubrimiento de Hamilton el
matemático alemán Hermann Grassmann
empezó a investigar los vectores. A pesar de su
carácter abstracto, el físico estadounidense
J.W. Gibbs encontró en el Álgebra vectorial un
sistema de gran utilidad para los físicos, del
mismo modo que Hamilton había hecho con las
cuaternas. La amplia influencia de este enfoque
abstracto llevó a George Boole a escribir:
"Investigación sobre las leyes del pensamiento"
(1854), un tratamiento algebraico de la lógica
básica. Desde entonces, el Álgebra moderna también llamada álgebra abstracta- ha seguido
evolucionando; se han obtenido resultados
importantes y se le han encontrado
aplicaciones en todas la ramas de las
matemáticas y en muchas otras ciencias.
En 1591 el matemático francés Francois Viète
desarrolló una notación algebraica muy cómoda,
representa las incógnitas con vocales y las
constantes con consonantes. Debido a este
avance, el Libro III de la Geometría (1637),
escrito por el matemático y filósofo francés René
Descartes se parece bastante a un texto
moderno de Álgebra. Sin embargo, la
contribución más importante de Descartes a las
Matemáticas fue el descubrimiento de la
Geometría Analítica que contiene también los
fundamentos de un curso de teoría de
ecuaciones.
En el siglo XVIII se continuó trabajando en la
teoría de ecuaciones y en 1799 el matemático
alemán Carl Friedrich Gauss publicó la
demostración de que toda ecuación polinómica
tiene al menos una raíz en el plano complejo
(Números complejos).
En los tiempos de Gauss, el Álgebra había
entrado en su etapa moderna. El foco de
atención se trasladó de las ecuaciones
polinómicas al estudio de la estructura de
sistemas
matemáticos
abstractos,
cuyos
axiomas estaban basados en el comportamiento
de objetos matemáticos, como los números
complejos, que los matemáticos habían
encontrado
al
estudiar
las
ecuaciones
polinómicas. Dos ejemplos de dichos sistemas
son los grupos y las cuaternas, que comparten
algunas de las propiedades de los sistemas
numéricos, aunque también difieren de ellos de
5
REVISIÓN DE ELEMENTOS ALGEBRAICOS
El Álgebra, como toda ciencia, es un conjunto de conceptos y definiciones que se relacionan mutuamente.
Para su mejor comprensión es necesario conocer los conceptos básicos como: constante, variable y término
algebraico; de esta manera los temas que continúan se harán mas entendibles y familiares.
1. CONSTANTE
Concepto. Es todo aquello que no cambia de valor.
Recuerda
Las constantes se
Ejemplo:
representan con números.
 El ancho de esta hoja.
 El número de departamentos del Perú.
 La cantidad de dedos de tu mano derecha.
 Las vocales.
Cada uno de los ejemplos anteriores se pueden expresar con número. Así:
 El ancho de esta hoja es.
¿Sabías que?
 Los departamentos del Perú son 24.
 La cantidad de dedos en tu mano derecha es 5.
 Las vocales son 5.
La vocal “e” en matemáticas
representa a una constante su valor es
2,7182…
Ahora tu:
Escribe cuatro ejemplos de constante y expresarlos con números.
 El largo de ___________________________________________
 ____________________________________________________
 ____________________________________________________
 ____________________________________________________
Recuerda
Las variables se
representan con letras.
Los ejemplos anteriores se pueden expresar mediante letras así:




Representación
Literal
La edad de una persona
x
El número de campanadas que da un
y
reloj en una hora cualquiera.
La cantidad de personas en el Perú.
z
El número de peces en el mar.
w
6
¿Sabías que?
Generalmente las variables se
representan con las últimas
letras del alfabeto.
Ahora te toca a ti :
Escribe cuatro ejemplos de variable con su respectiva representación literal.
 ________________________________________
 ________________________________________
Generalmente las variables tienen
números escritos en la parte
superior derecha, estos reciben el
nombre exponentes. Ejem.:
 ________________________________________
x
 ________________________________________
3
Exponente
2. TÉRMINO ALGEBRAICO
Es una expresión matemática que une a las constantes y a las variables mediante la operación de
multiplicación.
Constante
7
Término
Algebraico
x
Ejemplo:
7x
Multiplicamos
Variable
Observa como las constantes y variables se multiplicar para formar términos algebraicos:
Observa
CONSTANTES
VARIABLES
2
x
TÉRMINO
ALGEBRAICO
2x
-13
xy
-13xy
7x = 7x
y el término
-4
x2 y
-4x2y
1x = x
21
x2y3
21x2y3
7
x9y2z3
7x5y2z3
El término algebraico:
1
2
2
Ahora te toca a ti :
En la siguiente tabla multiplica las constantes y las variables para formar términos algebraicos.
CONSTANTES
VARIABLES
3
x
-2
Y
12
xw
-14
xyz
20
x2
32
X2z
-7
x3z2
TÉRMINO ALGEBRAICO
7
3.1
PARTES DE UNA TÉRMINO ALGEBRAICO
Consta de 2 partes.
7 x2y3
Parte
Constante
Parte
Variable
Ejemplo:
En la siguiente tabla identificamos la parte constante y la parte variable:
TÉRMINO
ALGEBRAICO
PARTE
CONSTANTE
PARTE VARIABLE
2x
2
x
-3xy
-3
xy
17xyzw
17
xyzw
-12x2y
-12
x2 y
20x3y2
20
x3y2
-10x8y5z4
-10
x8y5z4
Recuerda
Los exponentes de las
variables siempre deben ser
números.
Ahora te toca a ti :
a) Completa la siguiente tabla:
TÉRMINO
ALGEBRAICO
PARTE
CONSTANTE
PARTE VARIABLE
Los exponentes de las
variables siempre deben
ser números.
5x
-4wz
14ywz
-45x2w
34x3z5
-16x12y7w10
12wz3yx24
-
Recuerda
1 2 3
x yz
2
8
b) A continuación se presentan varias expresiones, escribe (SÍ) si la expresión es algebraica y (NO) si no
lo es.
3
2 1/ 2
1. 2x y  8x y
3
2. 2x
4
1 3
 x
3
3
2 2
3. 8a  7b  c
3
4.  4 x  y
3xy
 2mn
z
5.
2
3
y
2
6. x  x  x  .....
7. x
5
8. 3m
3
2
 2x  1
2
9. 3x  x
1
)
(
)
(
)
(
)
(
)
11. 7x
4
x 5
2
5
 6x y
(
 10
10. 3  x 2
x
12. x  2  3
13. 2x  4y
1
x
14. 2  3
3xy
2
15. 
 2y z
z
16. 4ab  bc  3bc
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
)
(
)
2
(
)
(
)
(
)
3
17.  2x 


18. 10
19. –2
(
)
20. log 2  x  x
(
)
2
1/ 3
REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES
Copia en tu cuaderno y reduce las siguientes expresiones.
16. 3x  4xz  3y  6y  3yz
1.
3x  5x  4 x
2.
b  2b  4b
3.
 x y  2x y  3x y
4.
a  8a  11a  15a  2a
2 2
3
2
2 2
3
3
3
3
2x  xy  12  3x  46  3xy  12
7.
3a  b  2b  4a  b  2a  4a  b
8.
xy  x y  2xy  3x y  x y  3xy
9.
2x  3y  2z  4  2y  3x  12  4z
2
2 2
2
2 2
2
2
2 2
2 2
3
a
b
12. 2x  3y  4z  x  2y  3z
a
b
b
2 2
2
2
2
2
2
2
15. 4xy  2x y  5x y  5xy
2
2
2
2 3
3 2
2 3
3 2
3 2 1
5 2 2 2 3
1 2 1 2
25.  a  ab  b  a  ab  b  b  2ab
4
2
6
3
4
6
3
3
26. 0,3a  0,4b  0,5c  0,6a  0,7b  0,9c  3a  3b  3c
c
5 2
2 5
5 2
2 5
5 2
27. 12x y  6x y  x y  3x y  10x y
a
2
4
24. p q  4p q  2p q  4p q  5p q
2
2
2
2
28.  7p  9q t  5tq  8p  3q t  4tq
14. 0,2x  0,4y  0,3z  2,1y  3,2x  4,8z
2
3
23. 3mn  m  n  4mn  2m  5n  m  2n  mn
13. x  y  4  3y  12x  12
2
2
2
11. a b  a b  ab  2a b  3a b  2ab
c
4
22. 9k  2r  7r  5k  r  3r  2r  5k
3
3
3
21. ab  8bc  7ac  bc  12ab  7bc  5ac  11ab
10. x  x  2xy  3x  4x  3xy
2 2
4
20. 2x  5y  6z  8x  y  13z  x  6y  z
2
b
2
19. 8a  7b  2b  a  5b  3a  10b
3
6.
a
2
18. 7x  6xy  4x  2xy  9x  5xy
y y y y y
3
2
2 2
5.
3
2
17. 14x y  8xy  7xy  8  5x y  xy  3
2
2
2
2
29. xyz  x y  6x y  4xyz  5x y  x y
2
2
2
2
30. 4x  8x  5  3x  x  2x  3x  10
9
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1.
3b1
a) 3
d) 6
2.
b) 4
e) 7
8.
son
c) 5
b1
A
5
b) 12
e) 15
continuación
semejantes: 2x
2
se
n2
9.
c) 28
muestran
4
; 6x ;  7x
1m
términos
. ¿Qué valor
2
4.
b) 13
e) 20
3a 12
a) 4
d) –11
5.
b) 15
e) 7
2 4m1 6
a) 6
d) 64
Término
Algebraico
3x
x
5x3
-2x2y
x3yz2
6 a  2b
; N( x; y)  2x y
c) 19
Parte
Variable
3 7 n2
b) 8
e) 68
11. ¿Cuántas de las siguientes proposiciones
son verdaderas?
I)
Los números son constantes.
II) Las variables se representan con
números.
III) 5 es una variable.
c) 60
La cantidad de meses de un año. (
Los colores del semáforo.
(
Días de la semana.
(
Las vocales.
(
) 7
) 5
) 12
) 3
a) Sólo I y III
d) Sólo III
b) 2
e) 5
b) Sólo II
e) Ninguna
c) Sólo I
12. Luego de hallar el área de las siguientes
figuras indica cual de los resultados son
constantes y cuáles son variables.
¿Cuántas variables existen en la siguiente
oración? Subráyalas.
Pedro y su hijo Mario caminaban a orillas del
mar en una noche despejada de pronto Mario
pregunto papá. ¿Cuál es el número de
estrellas en el universo? Es una cantidad
mucho más grande que el tiempo de tu vida
en la Tierra. Quizás tan grande como la
cantidad de granos de arena en la playa,
contesto Pedro.
a) 1
d) 4
Parte
Constante
y ; Q( x; y)  n x y
Relaciona las siguientes proposiciones con
su respectiva constante:
a)
b)
c)
d)
7.
10. Completa el siguiente cuadro:
Si: P y Q son términos semejantes, halle la
suma de sus coeficientes.
P( x; y)  m x
6.
c) 15
Si M y N son términos semejantes, halle: "2a
+ 3b". M( x; y)  3x y
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
Representa mediante términos algebraicos
las siguientes proposiciones:
a) La edad de una persona.
b) El doble del número de personas en el
mundo.
c) El triple del número de pasajeros que
suben a un autobús.
d) Menos el doble de la altura de un árbol.
asume: m  n ?
a) 10
d) 17
Se tiene las siguientes constantes y
variables: -3, x, 7, y.
Determina cuántos términos algebraicos se
pueden formar multiplicando solo uno de los
dos números con solo una de las dos letras.
Indícalos.
a2
Si:
son
a  1x ; b  2x y abx ,
términos semejantes, halle la suma de
coeficientes.
a) 11
d) 40
3.
11
Si los términos 4xy
;  7xy
semejantes, calcule el valor de "b".
I)
II)
4
4
III)
c) 3
2
a) Constante: III
Variable: I, II
9
b
a
-3 es un término algebraico.
En un término algebraico las variables
pueden tener exponentes negativos.
III) Un término algebraico tiene tres partes:
parte constante, parte variable y
exponentes.
b) Constante: I
Variable: II, III
c) Constante: I, III
Variable: II
d) Todas son constantes
e) Todas son variables
I)
II)
a) I y III
d) I y III
13. Utilizando términos algebraicos representa
las siguientes proposiciones.
a) 4x3
d) 12y8
a) 2
d) 5
b) –xywabpq
d) 5
a) 15
d) 14
e) –x-1
Parte
Constante
Parte
Variable
b) 3
e) 6
b) 17
e) 18
¡Esfuérzate!
Tú puedes
16. Completa la siguiente tabla:
Término
Algebraico
5x-9y2
4x-1wz3
-25x3y8w-4
-14x-4w5z3
c) 10z4
c) 4
20. ¿Cuántos términos algebraicos con parte
variable: x2w5 existen tal que su parte
constante sea un número par de una cifra.
Dar por respuesta aquel término donde la
suma de su parte constante con los
exponentes de la parte variable sea máxima
c) 6
15. ¿Cuál de las siguientes expresiones no es un
término algebraico? ¿Por qué?
a) 7x-2
c) 24799x2y5
b) 8w5
e) 14m7
19. Con las siguientes constantes y variables: 4,
x5, z3. ¿Cuántos términos algebraicos como
máximo se pueden obtener? Indícalos.
14. Se quiere formar términos algebraicos
multiplicando las siguientes constantes y
variables: 7, x2, w. Con la condición que 7
siempre sea parte de los términos a formar.
Determinar el número máximo de estos.
b) 5
e) 3
c) Sólo II
18. Se busca un término algebraico donde la
parte constante sea el doble del exponente
de su parte variable. De los siguientes ¿cuál
cumple con la condición?
a) Dos veces el número de postulantes a la
universidad.
b) Cinco veces el dinero que gaste.
c) Menos tres veces el número de colegios
del Perú.
d) Menos ocho veces el área de un
cuadrado.
a) 2
d) 4
b) Sólo I
e) Todas
Exponentes
1
mn4
3
-2,8a2b5
17. Indicar cuáles de las siguientes proposiciones
son falsas:
10
c) 16
1.
Relaciona las siguientes proposiciones con
su respectiva constante:
d) I y III
7.
a) El número de días del mes de
Agosto.
(
b) El número de estaciones del año. (
c) La cantidad de campanadas de
un reloj al medio día.
(
d) La cantidad de sentidos en el
ser humano.
(
2.
4
) 31
III)
Según los resultados se puede afirmar que:
a) El área de III es un término algebraico.
b) Las áreas de I y II son términos
algebraicos.
c) Sólo el área de II es un término
algebraico.
d) Las áreas de I y III son términos
algebraicos.
e) Todas
las
áreas
son
términos
algebraicos.
c) 1
8.
Utilizando términos algebraicos representa
las siguientes proposiciones.
c) 6
a) Menos cuatro veces el área de un
rectángulo.
b) Menos el doble del área de un triángulo.
c) Menos tres veces el área de un círculo.
d) El cuádruple del área de un cuadrado.
términos
9.
Se tiene los siguientes conjuntos:
A
3
-4
7
B
w2
xy3
z2y5
xw
Parte
Variable
Tomando un elemento del conjunto A y un
elemento del conjunto B. ¿Cuántos términos
algebraicos se pueden formar?
a) 2
d) 4
¿Cuántas de las siguientes proposiciones
son Falsas?
I)
3 es un término algebraico.
II) 3x2yw es un término algebraico.
III) x es un término algebraico.
a) Sólo I
x2y
3
Completa el siguiente cuadro:
Parte
Constante
2
3
5
El dinero de una persona.
El quíntuple de la temperatura ambiental.
Siete veces la distancia Tierra – Sol.
Menos
cuatro
veces
el
tiempo
transcurrido.
Término
Algebraico
-4x
-x
8x5y2z
325x2wa
6.
b) 4
e) 7
Representa con ayuda de
algebraicos las siguientes frases:
a)
b)
c)
d)
5.
b) 2
e) 8
II)
x
Toma solo uno de los siguientes números:
2; 5; 4 y solo una de las siguientes letras: w;
z;
multiplícalos.
¿Cuántos
términos
algebraicos como máximo se formaran?
a) 5
d) 3
4.
)
Halla el área de las siguientes figuras:
I)
En el siguiente texto subraya las variables
que puedas encontrar. ¿Cuántas son?
El número de días del mes febrero es un
problema pues yo siempre celebro el 29 de
febrero el día de mi nacimiento y depende
de esto la edad que tengo.
a) 3
d) 0
3.
) 12
) 5
e) I y II
b) Sólo II
b) 5
e) 3
c) 6
10. ¿Cuál de las siguientes expresiones es un
término algebraico?
I. -35
II. -2x-3 III. z2wx
a) Sólo I
d) I y III
c) Sólo III
11
b) II y III
e) Todas
c) Sólo II
II) x es un término algebraico.
III) El exponente de una variable en un
término algebraico puede ser.
11. Completa la siguiente tabla:
Término
Algebraico
4x5y-1
-x-1
-3x-2
-xy2
5xy2z3w4
Parte
Constante
Parte
Variable
Exponentes
a) I y III
d) Ninguna
b) II y III
e) Todas
c) I y II
13. En cuál de los siguientes términos
algebraicos:
I) 15x3y1
II) 3x2w-1
III) -2xwz5
Se cumple que la suma de su parte
constante con los exponentes de su parte
variable es un número que se puede dividir
entre cinco.
12. Señala cuál o cuales de las siguientes
proposiciones no son ciertas:
I)
Las únicas letras que se pueden utilizar
para representar a la variables son: x,
y, z, w.
a) En II
d) En III
b) En I
c) En I y II
e) En ninguna
SIGNOS DE AGRUPACIÓN
Son símbolos que se utilizan para agrupar expresiones separándolas de otras. Las principales son:
(
)
Paréntesis
{
}
Llaves
[
]
Corchete
Ejemplo:

(x + y) + 3w

[x – 2w] + z

{7x - 2z + y} + 3x

5x – (4w + z)

(3w2 + z) – [2 - w] + 4
¿S abías Que?
Existe otro signo de agrupación llamado
Barra que actualmente no se utiliza. Su
representación es: _______
¡Claro y es muy fácil! Si
quieres enterarte sigue
¿Se pueden eliminar los
leyendo
signos de agrupación?
7w – [x + 2] + (x - 2)
1.
que lleva delante un (+) entonces la
expresión interna no cambia.
SUPRESIÓN DE LOS SIGNOS DE AGRUPACIÓN
Ejemplo:

Si eliminamos un signo de agrupación
+(z + 2) = z + 2
12

+(z – x) = z – x

2 + (x + y) = 2 + x + y

+ {2x - w} = 5 + 2x – w

3x + y + [3 + 4w] = 3x + y + 3 + 4w

-{4 + 5w} = -4 – 5w

-[5x – 3w] = -5x + 3w

2 – {3x + 5y} = 2 – 3x – 5y

2x – (4y + z - 7) = 2x – 4y – z + 7

-y –[2 – 8z + y] = -y – 2 + 8z – y
¿Sabías qu e?
Los paréntesis, corchetes y llaves,
fueron introducidos por Vieta
(Matemático Francés 1840 – 1603) en
1593.
Ahora te t oca a ti:
En cada caso elimina los signos de agrupación y resuelve:
1)
+{2 + x} =
13)
6n   x   x  2x  n  x
2)
+(3y - 4) =
14)
3p  q  2p ´p 2p  3q  p
3)
+[2 + x + w] =
4)
+ (x – 2y) =
15)
5)
5x + [2y – w + z] =
3
5   19
1 
 1
a   b  a   a  b
4
6   12
2 
 2
6)
+{x + y} – 4 + [z + w] =
16)
2p  3  3p  4q 2q  3p  q  p
7)
7x – (2x – 3) + (3x – 4)
17)
x  2x  3  4x  2   3x  1  5  2x  3x  2
8)
 5a   a  2   a  4
18)
 2b  5a  a  a  3b  a  b 12a
9)
 x  2y    2x  y  3x 
10)
 3a  b  2a  b  5a  b
19)
2 
2
2
2


 3x  5y   3x  y   6  x     x  y  









11)
3x  2y  z  2x  2y  z  x  3y
20)
   x    x    y  z     z 
12)
p  3p  8p  3  p  3p  5
Algo con m ás dificul tad:
Reduce.
1)
 8y   7y  3y  7x   2y  8x  5x
2)
  3a  b   a  2a  b   a  b 3b 4a
3)
2
2
2
2
4x    x  xy     3y  2xy     3x  y 
 
 

 
4)
 x   x  y    x  y  z    x  y  y
5)
5xy  2xy   4xy  2  5  3xy

17m  m  7  2m  (m  6)  ( 4  3m)
7)
3 x  y  2 x  x  ( 3y  2 x )  ( x  y )
8)
x
9)
2a   3a   a  7  2a  7


2


13

6)
  2x  y    x  y  z  x z
10) 13x   2x  (3x   x  y  2y)  3y


11)
3x  x  y  2x  y
12)
  a   a  (a  b)  a  b  c   (a)  b
 
d) Sólo III
e) Ninguna
a) Sólo I
b) Sólo I y II
c) Sólo II y III
6.
Relaciona correctamente:
i.
ii.
iii.
iv.
v.
4.
Expresión por reducir
reducida
d) Todos
e) Ninguno
Si (+) antecede a un signo de
agrupación, la expresión interna cambia.
Si (-) antecede a un signo de agrupación,
la expresión interna no cambia.
Si (+) precede a un signo de agrupación,
este no se puede suprimir.
Si (-) precede a un signo de agrupación,
la expresión interna cambia de signo.
Ninguna de las anteriores.
a) III
b) II
a) 2w + [3w - w]
(
)
0
b) (5w + 3y) – 3y
(
)
w
c) 4w – [2w + w]
(
)
4w
d) –{4w - w} + 3w
(
)
5w
En los siguientes problemas suprime los
signos de agrupación y luego simplifica:
8.
3x + {8x2 – 3x} – [-2x + 8x2]
Señala la expresión que se obtiene:
a) -2x
d) x
9.
b) 2x
e) -x
c) 0
-7x2 – (3x + w) + [7x2 + w]
Indica la expresión obtenida:
a) -3x
d) 7x2
Elimina los signos de agrupación en cada
caso:
I)
-(x - y)
II) w + {z - y}
III) -[-z + w] - y
Luego indica la expresión que tiene más
términos negativos.
Expresión
7.
Señala lo correcto: respecto a la supresión
de signos de agrupación:
3.
e) Todas
Luego de eliminar los signos de agrupación
reduce:
5x – (2x – 3x)
Señala la expresión resultante:
a) 2x
b) 6x
c) 4x
d) 0
e) 3x
¿Cuál de los siguientes signos no es de
agrupación?
I)
(
)
II) {
}
III) [
]
2.
2x  x  2y  (5x  2y)  x  y
5.
)
}
a) Sólo II
b) Sólo I
c) Sólo II y III
14)
d) I y II
I)
II) (
III) {


 3m   m  (n  m  4   (m  n)  (2n  3)

¿Cuáles de los siguientes signos son de
agrupación?
1.
 
13)
b) 3x
e) -2w
c) -w
10. –(4x - 5) + [3x - 13] – {-5x – 8 + w} – {5x - w}
Señale la parte constante del término que
se obtiene:
a) 1
d) -1
c) I
11.
14
b) -2
e) 3
c) 2
–{5w – 7 + y} + [-3 + 4x + y] – {2 + 2w} + {14w – 2 – 4x}
Indique la parte constante del término
algebraico resultante.
a) 3
d) -7
b) 7
e) -3
14. -3x + {5w – [5z – 3x – (-5w + 4z)]} + z
a) –z
d) –x
c) 2
12. 3y – {2y – (3w + 5x) + [-5w + 3y] + 10w}
Señala la suma de las partes constantes
a) -9
d) -3
b) -7
e) 7
15. 4w – {-8x – [8y – 4w + (8x – 8y)]} – 9x
a) 0
d) 3w
c) 9
b) 5
e) 9
b) 7x
e) -7y
c) 7y
16. 3x + {9xw – {2x – 4xw – (5xy2 – 4 – 7x) + [3x
+ 13xw – (-3x + 4)]} + 10xy2}
13. {(3y – 7 - w) + 4 – [-2y – 3x - 3] – 5y} + 10x
Dar por respuesta la suma de las partes
constantes.
a) 3
d) 7
c) –w
b) x
e) 0
a) 12x – 15xy2
b) 15x – 12xy2
c) 15x + 12xy2
c) 8
d) -12x + 15xy2
e) -12x – 15xy2
TAREA DOMICILIARIA
1.
¿Cuáles de los siguientes signos son de
agrupación?
I)
|
|
II)
III) [
]
a) Sólo I y II
b) Sólo I y III
c) Sólo III
2.
5.
b) Sólo II
e) Todos
c) Sólo III
6.
b) Solo I y III
e) Solo III
c) Solo I y II
Luego de suprimir los signos de agrupación
simplifica:
- 8w – {-4w + 11w}
Señala la expresión resultante:
a) 0
d) -15w
Indica el valor de verdad de las siguientes
proposiciones:
a. Si suprimimos un signo de agrupación
precedido por (+) la expresión interna
no cambia.
b. Si suprimimos un signo de agrupación
precedido por (-) la expresión interna
cambia de signo.
c. Los principales signos de agrupación
son 3: ( ) , [ ] , { }
a) VFV
d) VVF
Señala lo correcto:
I)
-(x + w) = - x – w
II) +{z - w} = z – w
III) -[y - z] = -y – z
a) Solo I
d) Solo II
d) Todos
e) Ninguno
¿Cuál de los siguientes signos no es de
agrupación?
I)
{
}
II) (
)
III) [
]
IV) ¡
!
a) Sólo I
d) Sólo IV
3.
4.
b) -19 w
e) 19w
c) 3w
Relaciona correctamente:
Expresión por reducir
reducida
Expresión
a) 2w2 – w – (2w2 - w
( )
7z
b) 3w + z – [-6z + 3w]
( )
-7w
c) –[3z – 5w] + 3w – [-5w – 3z] ( )
d) {4z – 12w} – (-5w + 4z)
( )
0
13w
En los siguientes problemas suprime los
signos de agrupación y luego simplifica:
b) VVV c) VFF
e) FVF
15
7.
-7x – {-5x2 + 7x} + (2x – 5x2)
Indica la expresión que se obtiene:
a) 12x
b) -12x
c) x
d) –x
e) 0
11. -4z + {-2w + (7y – 3w) – [3y – 4z] - y}
Señala la suma de las partes constantes.
a) -2
b) 3
c) 4
d) -5
e) -7
8.
7w2 + [-3y - z] – {-3y – 4z + 7w2}
a) 3z
b) 2z
c) –x
d) 3y
e) 4x
12. {-(-4x – 2 + y) – 7 + [3x – 4w + 5] – 7x} + 12w
Dar por respuesta la suma de las partes
constantes.
a) 4
b) 3
c) 7
d) 5
e) 2
9.
(3x + 2) – [9x + 4 - w] + {-7x – 5 - w} – (7w – 13x - 7)
10.
Señala la parte constante del término
algebraico que se obtiene:
a) 8
b) 6
c) -6
d) -7
e) 7
13. -7w – {-3z – [-8y + 7w + (-3z + 11y)]} – 3y
a) w
b) z
c) 0
d) y
e) –z
(4w – y + 3) - (8y – 3 – 7w) + [-4 – 9w + 9y] – {-2w + 2}
14. -3y – {-8w – [-7z + 3y – (-w – 7z)]} – 9w
a) y
b) z
c) w
d) 0
e) -w
Indica la parte constante del resultado:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
16
La teoría de exponentes estudia todas las clases de
exponentes que existen y las diferentes relaciones que
existen entre ellos, mediante leyes. La operación que da
origen al exponente es la potenciación.
Los polinomios son dos o más expresiones algebraicas que se obtiene mediante el
uso de constantes, variables y operaciones como por ejemplo una suma o resta de
monomios no semejantes
Ejemplos:

4ax4y3 + x2y + 3ab2y3
En este caso el polinomio consta de la suma de tres monomios, cada uno de ellos
es un término del polinomio, luego tiene tres términos., cada uno con
varias letras
CAPACIDAD:
VALOR - ACTITUD
TAREA 01
RAZONAMIENTO Y
DEMOSTRACIÓN
DESTREZAS
RESPONSABILIDAD PUNTUALIDAD
CONTENIDOS
MÉTODOS
17
MICROACTITUDES
TEORÍA DE
EXPONENTES
POTENCIACIÓN
RADICACIÓN
LEYES DE
EXPONENTES
Producto de Bases Iguales
TEOREMAS FUNDAMENTALES
DE RADICALES
Cociente de Bases Iguales
Producto / cociente de bases
diferentes e igual potencia
Potencia de potencia
Exponente negativo
Exponente cero o nulo
Raíz de una potencia
Producto / cociente de
radicales homogéneos
Potencia de un radical
Radical de radical
Si, Ethel, Las Leyes de exponentes nos
ayuda a simplificar las operaciones:
Por ejemplo:
9 elevado a la octava y este exponente
elevado a 1/3 es 81.
18
Los dedos de las manos
como el conjunto auxiliar más
primitivo y cercano que tuvo el
hombre
a
su
permanente
disposición, para compararlo
con otros conjuntos han ejercido
una influencia decisiva en su
carrera hacia la posesión de los
números.
De la relativa abstracción
que significó ya el hecho
importante de comparar dos
conjuntos heterogéneos (el de
los dedos y el de las ovejas, por
ejemplo), un destello de luz
ilumina su mente para asociar
una voz, un sonido a cada dedo
de la mano. Pues así como lo
hacen los niños ahora, así
como
van
separando
sucesivamente un dedo a la
vez que van diciendo: uno,
dos, tres... etc., así también el
hombre primitivo, conforme iba
saliendo
una
oveja
iba
separando un dedo o una
piedrecita, a la vez que fue
encontrando sonidos o voces
especiales para cada una de
esas situaciones numéricas.
En esta forma, de la
primitiva comparación de dos
conjuntos, homogéneos primero
y heterogéneos después (pero
integrados siempre por entes
materiales),
pasa
a
la
comparación de un conjunto
integrado
por
entes
inmateriales (voces o sonidos)
con otro integrado por entes
materiales
(dedos
de
las
manos). Y entonces, al haber
formado el primer conjunto
integrado
por
entes
inmateriales (los sonido, o
voces correspondientes a cada
uno de los dedos de las manos)
abrió un nuevo horizonte para
su progreso y halló un
instrumento
eficaz
para
comenzar a calcular. Había
salido ya de la pre-historia para
ingresar gloriosamente a la
iniciación histórica, legándonos
los hitos de su larga, fecunda y
ascendente trayectoria, que nos
hablan con tanta elocuencia de
sus luchas para desentrañar los
secretos de la naturaleza.
POLINOMIOS
1.
TÉRMINO ALGEBRAICO
Unión de constantes y variables, unidas solo mediante las operaciones de multiplicación, división,
potenciación y radicación.
Partes del término algebraico:
T(x, y) = -7x7 y4
parte literal
 Las bases (x, y)
 Los exponentes (7 y 4)
coeficiente (parte numérica)
CARACTERÍSTICAS DE UN TÉRMINO ALGEBRAICO:
1.
Los exponentes
variables :
no
pueden
ser
2.
T(x, y, z) = 7xyz  no es T.A.
T(x, y) = 8x2 y3  si es T.A
Los exponentes no pueden ser
expresiones numéricas racionales :
T(x, y) = 24 x
2
y3  no es T.A.
T(x, y) = 5x7/9  si es T.A.
En un término algebraico los
exponentes de las variables deben
ser números y no letras.
2.
MONOMIOS
Término algebraico donde los exponentes de la parte literal son numéricos enteros positivos, incluido el
cero.
Ejemplo:
-5x3 y5 z6 = T(x, y, z)
Donde: -5 : parte constante (coeficientes) ; x3 y5 z6 : parte literal
CARACTERÍSTICAS DE UN MONOMIO:
1.
2.
Al expresar M(x, y) indicamos un
monomio de 2 variables.
Ejemplo: M(x, y, z) =
Todo monomio posee 2 grados :
tiene 3 variables
a.
Grado Absoluto (G.A.)
b.
Grado Relativo (G.R.) : se refiere
a una de sus variables
a.
b.
c.
d.
19
Grado Relativo a x :
Grado Relativo a y :
Grado Relativo a z :
Grado Absoluto :
7 7 3 2
x y z 
3
GRx
GRy
GRz
GA
=
=
=
=
4
3
2
9
3.
POLINOMIO
Suma algebraica limitada de monomios no semejantes.
Ejemplo:

5x2 y3 + 7x2 y3 + 12x2 y3 - 24x2 y3 = P(x, y)
Tiene igual parte literal  son monomios semejantes. NO ES POLINOMIO.

P(x, y) = 8x2 y7 + 32xy - 12x3 y + 18xy7
SI ES POLINOMIO (de 4 monomios)
Los términos semejantes son como los integrantes de una familia.
Tienen los mismos apellidos (igual parte variable).
Ejemplo:
Integrantes de una
familia
Juan Torres Salas
Pedro Torres Salas
Igual parte variable entonces son términos
2 5
7x y
semejantes
2 5
-2x y
CARACTERÍSTICAS DE UN POLINOMIO:
1. Al expresar P(x, y) indicamos un polinomio de 2 variables “x” e “y”.
El grado es la característica
principal de un monomio de
un polinomio.
3
10
5x Tiene
; 7x
Tiene grado
grado 10 es
3
más importante
2. Todo polinomio posee 2 grados :
a. Grado Absoluto (G.A.): Dado el monomio de mayor grado.
Ejemplo:
 P(x, y) = 7x2 y3 - 12x3 y8 - 24x2 y7 + 2xy
¿Cuál es mayor?

7x2 y3 - 12x3 y8 - 24x2 y7 + 2xy
5º
11º
9º
2º
 P(x, y) = -5x9 y8 + 13 x2 y7 + 10x12 y5 – 3x
¿Cuál es mayor?
7
-5x9 y8 + 13 x2 y7 + 10x12 y5 – 3x
7
17º
9º
17º
11º es el mayor entonces G.A. : 11

17º es el mayor entonces G.A. : 17
1º
b. Grado Relativo (G.R.): Dado por el mayor exponente de la variable referida
20
Ejemplo:
 P(x, y) = xy + 11x2 y7 – 19xy3 + 3x – 32y9
GR1x = 1
GR1y = 1
GR2x = 2
GR2y = 7
GR3x = 1
GR3y = 7
GR4x = 1
GR4y = 0
GR5x = 0
GR5y = 9
¿Cuál es el mayor GR de x?  2 entones GRx = 2
¿Cuál es el mayor GR de y?  9 entones GRx = 9
 P(x, y) = 2x2 y3 – 24xy12 + 12x3 y4 – 7xy
GR1x = 2
GR1y = 3
GR2x = 1
GR2y = 12
GR3x = 3
GR3y = 4
GR4x = 1
GR4y = 1
¿Cuál es el mayor GR de x?  3 entones GRx = 3
¿Cuál es el mayor GR de y?  12 entones GRx = 12
a) 15
b) 3a
1. Escribe SI o NO según corresponda en cada
paréntesis
Expresión Algebraica
3
¿Es un polinomio?
2
a)
6x  2x  8x  1
b)
6m n  2m n  2mn
c)
ax  bx  cx  d
d)
e)
3
3
h)
j)
k)
1/ 3
3
6 x 3
3 3 4
2
5 n m n m 4
5
1/ 3
2q
x
 2p q  10
4
2

x
x
2
1
 8x  12
3
5x  5 y  3xy  y
x x
x
2
d)
8x y
5 6
5
)
e)
 xyz
(
)
f)
2 x y z
(
)
(
)
g)
 5x y
(
)
h)
x y
i)
9 x y
j)
 5m
k)
Q(a; b; c)  3a b c
l)
F( x; y; z)  6 x
(
)
(
)
(
)
3 10 3 2
4 3
a 2a
m m 2m 8m
z
a1 a2 a3
n
p
2 5 4
2 mn mn m2n
y
z
12a 3a 8a
3
4 x  x  7x  1
1 1
  2x  5y
x y
3
 6a b
(
3
2
6
l)
4 2
a b  3a b  2b
2x
x
i)
2
2 6 3
f)
g)
5 2
3
2
c)
2
 9x  6
4
m) H(m; n; p)  15m
(
)
(
)
(
)
(
)
n p
3. En los polinomios dados, calcule el grado
relativo y el grado absoluto.
2. Calcule el grado relativo y el grado absoluto
de los términos siguientes:
21
3
2
a)
x x x
b)
5a  3a  4a  6
c)
a b  a b  ab  b
d)
x  6x y  x y  3y
2
4
3
2 2
3
5
4 3
2 4
4
6
3
2
3
6. El siguiente monomio es de GA = 12. Hallar
“n” : M(x, y) = 2xn-2 y6
e)
a  a  ab
f)
6a b  4a b  ab  5a b
g)
4 7
2
4 2
4
6
3 8
4
8
15
a) 7
d) 0
11
m n  mn  mn  m  n  m
3 2
4 3 2
h)
3x y z  x y z  16
i)
11x
a1 a1
 7x
y
6
a2 a3
 2x
y
4
a3 a2
y
a) 18
d) 12
P( x)  3x  5x  x  2
k)
R( x)  2x  5x  7x  12
l)
Q( x; y)  5x y  2x y  7xy
3
6
2 4
3 5
2
3
a) 4
d) 7
3 2
3
a) 3
d) –9
4
a)
6x  2x  4 x  5x  x  1
b)
5ax  4x  2ab  7ax  9
2 3 6 5 3 1 3 8 2
xy z  x yz  xy z  x
7
5
c)
3
2
3
3
2 2
5
e)
0,3xy  6x y  0,8x y  8x y  6
f)
2xy  3x y  5x y  5
1
2 6
5
2
3
x  x  7x  x  4 x  2
5
3
h)
3
6
2 4
4 6
3 6
2 4
4 3
2 4
a) 7
d) 5
2
3
3y  5y  6y  y  2
b)
 y  8y  5y  4y  6
c)
5x y  6x y  2x  8
d)
2xy  3x y  x y  6x  3
1 2 5 2 2 3
3
6xy z  x y z  y z  6
3
e)
5
6
a) 8
d) 10
3
2 3
4
2 6
2
4
g)
0,6xy  0,8x y  13
h)
4x y  5y  7x y  9y  2
b) 7
e) 4
c) 6
b) 28
e) 18
c) 3
14. En el siguiente polinomio:
P(x) = 2xa-2 – 7xa + 12xa+4. Calcule el valor
de “a” si GA = 12
4 3
 6xy  5x y  3x y  6y  8
6
a) 21
d) 24
3
f)
3 3
c) 2
13. En el monomio M(x, y) = 4x n-3 y4n. Calcule
GRy si GRx = 4
2 3
4 2
b) 6
e) 12
12. Calcule el GRx si GRy = 12 en :
M(x, y) = 12xn-2 yn+4
5
a)
4
c) 9
5
5. Dados los siguientes polinomios, ordénelos
en forma creciente y complételos respecto a
"y".
2
b) 2
e) 5/3
a) 3
b) 4
c) 2
d) 5
e) 6
11. Halle el coeficiente si GRx = 2; GRy = 3 en :
M(x, y) = (a + b - 5)xa+1 yb-3
xy  3x y  x y  x y  y  6
4
c) 5
10. Hallar el coeficiente si GA = 14.
M(x, y) = (n + 2)xn+5 y2n
4
3x yz  2x y z  x yz  12
g)
b) 10
e) 0
5
d)
2
c) –18
9. Calcular “n” si el monomio : M(x, y) = 44 x3n
y2 es de GA = 11
4. Ordene en forma decreciente respecto a la
variable "x" cada polinomio siguiente:
2
b) 15
e) -9
8. Halle el valor de “n” en el siguiente monomio
: M(x, y) = 11xn y7 si sabemos que GA = 12
m) P( x; y)  6ax y  9axy  5x y
5
c) 10
7. Halle el valor del coeficiente si sabemos que
el monomio es de GRx = 3.
M(x, y) = -3nxn-3 y
2
j)
b) 6
e) 8
a) 8
d) 11
3 2
15. En el polinomio:
22
b) 14
e) 10
c) 12
P(x,y) = x2a+4y – 7xay2 – 8xa-3y2. Calcular el
valor de a si GRx = 8
a) 11
d) 7
b) 8
e) 4
a) 2
d) –3
b) 10
e) 8
c) 4
c) 2
18. Halle “a” en P(x) = ax22+a – 12x2 + 27x3 si la
suma de coeficientes es cero.
16. Calcule el valor de “a” si GA = 14 en :
P(x) = 7x2 ya+2 – 12xa+1 ya+3 + 18xa+2
a) 5
d) 6
b) 3
e) -2
a) –15
d) –27
b) 15
e) 18
c) 12
c) 12
19. ¿Cuál es el GRx en el problema anterior?
a) 15
d) 7
17. Calcule la suma de coeficientes si
GRx = 3.
P(x) = xa+1 – axa+2 + xa+3
b) 3
e) 5
c) 2
TAREA DOMICILIARIA Nº 3
5. Halle “b” si GA = 24 en :
M(x, y) = 24xb+2 y2b+1
a) 5
b) 10
d) 21/2
e) -7
1. En los siguientes monomios el valor de los
GR de cada variable es:
a. M(x, y) = 7x2 y9
b. M(x, y) = 8xy9
c) 7
6. Calcule el coeficiente si GA = 11.
M(x, y) = (a + 4)xa+2 y2a
c. M(x, y) = -12x3 y6
a) 7
d) 2
d. M(x, y) = 24xy
b) 9
e) 4
c) 3
e. M(x, y) = -72xy6
7. Calcule el coeficiente si GRx = 12 y
GRy = 9. M(x, y) = (a + b + 24)xb+15 y9+a
2. Hallar el valor de “n” si GA = 12 en :
M(x, y) = 3xn+2 yn
a) 5
d) 8
b) 6
e) 4
a) 22
b) 24
c) 21
d) 12
e) 9
8. En el siguiente polinomio :
P(x) = 2x4 + 4x5 + 6x2 – 3. ¿Cuál es el GA?
c) 7
3. Hallar el coeficiente si sabemos que el
monomio tiene GRy = 13.
M(x, y) = (2n + 3)x4 yn+3
a) 22
d) 20
b) 13
e) 19
a) 4
d) 5
c) 23
b) 10
e) 12
c) 3
9. Calcule la suma de coeficientes si
GRx = 2. P(x) = 2axa – axa-1 + 3xa-2
4. Halle el valor de “n” en el siguiente monomio
: M(x, y) = 25xn yn+2 si
GA = 12.
a) 5
d) 8
b) 2
e) 0
a) 6
d) 5
b) 4
e) 3
c) –2
10. Calcule el valor de “a” si GA = 10 en :
P(x) = -2xya + 7x2 ya – 3x2 y7
c) 6
a) 7
d) –3
23
b) 8
e) 2
c) 10
a) 16
d) 14
11. Calcule el valor de “a” si GRx = 11 en :
P(x, y, z) = -2x2+ayz2 + 2ya+5 – 3xyza+4
a) 9
d) 1
b) 7
e) 6
c) 2
b) 16
e) 13
c) 9
14. Halle el valor de “n” en :
M(x, y) = 2x2 yn – 2yn+2 + 3xn-3 y; si : GA =
12
12. En el problema anterior halle GRy :
a) 7
d) 14
b) 7
e) 13
a) 10
d) 15
b) 5
e) 12
c) 8
c) 8
15. Del problema anterior, ¿cuánto vale el GRy?
13. Del problema 11, ¿cuánto vale GRz?
a) 10
d) 12
b) 6
e) 2
c) 8
OPERACIONES CON POLINOMIOS
1. SUMA Y RESTA DE MONOMIOS
Para sumar o restar Monomios estos deben ser semejantes, es decir, tener la misma parte variable.
Ejemplo:

3x + 2x
Se pueden sumar porque tienen la misma parte variable.

5x + 3x2
No se pueden sumar pues sus partes variables no son iguales.

4w – 5x
No se pueden restar porque las partes variables son diferentes.
Y…
¿Cómo se suman o restan los
Monomios?
¡
Fácil
!
Para sumar o restar Monomios solo se trabaja con las partes constantes y al resultado se le agrega la
parte variable común.
Ejemplo:
5x – 7x
Nos olvidamos de la parte variable, así:
¡Que fácil es sumar o
restar monomios!
(5 – 7) x
Hallamos el resultado, así:
5 – 7 = -2
Resultado
24
Al resultado le agregamos la parte variable común: así:
5x - 7x
=
-2x
¿ Sabías que?
El prefijo MONO significa UNO, es
Parte
Variable Común
decir, Monomio significa un solo
término.
Más ejemplos:

3w + 7w

9w2 - 5w2 = 4w2
= 10w

-4xy + 2xy = -2xy

-7xz3 – 2xz3
= -9xz3
Ahora Te Toca a ti :

4w + 7w
= ……………………

9zy4 – 7zy4
= ………………

5y3 - 8y3 = …………………….

-8wzx – 3wzx
= ....…………..
I. Halla el resultado en cada operación:
12. 4w3 + 2w3 – 8w3 =
1.
2x + 5x =
13. 5z4 + 7z4 – 2z4 =
2.
3w + (-5w) =
14. -12y5 + 3y5 + 2y5 =
3.
8z + (-4z) =
15. -5x7 + 7x7 + 2x7 =
4.
(-7y) + 3y =
16. -3w2 – 2w2 – 4w2 =
5.
(-2x) + 5x =
17. 3z3 – 2z3 – 4z3 =
6.
(-8w) + (-3w) =
18. 10y4 – 4y4 – 3y4 =
7.
2z – 7z =
19. 9xw + 2xw + 4xw =
8.
5y – 3y =
20. -12xy – 3xy – xy =
9.
(-8x) – (-5x) =
III. Dados los siguientes polinomios:
3
2
P( x)  3x  x  4x  6 ;
10. (-4w) – 3w =
3
2
3
2
Q( x)  7x  10x  5 ;
II. Reduce en cada caso:
R( x)  x  4x  x  4 
11. 3x2 + 4x2 + 7x2 =
2
S( x)  8  6x  x  9x
25
3
Calcule:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
P( x)  Q( x)
R( x)  S( x)
P( x)  R( x)
Q( x)  S( x)
P(x)  R(x) S(x)
R( x)  P( x)  Q( x)
2.
b) 5
d) 2
e) 4
Si: mxn + pxn = 10x3
d) 14
a)
De (2x + y) reste (2x – y)
b)
De (4a – 2b) reste (3a + b)
c)
De  2x  2xy  reste  x  xy 




2
3.
e) 11
Si: 3x2y – 10x2y + 5x2y = axmyn
d) 2
De (2a – 3b + c) reste (a – 2b + 2c)
e)
 1 2 3

 3 2 2

De   a  a  1 reste   a  a  8 
4
10
4
5




f)
Reste  2a  2a  3a  de  3a  2a 




3
4.
2
3
Si: -7w3z2 + mw3z2 – 2w3z2 = 3w3z2
Hallar: m
a) 9
b) -9
d) 12
e) 5
3
2
3
4
2
Reste  2x  3x  4 x  de  x  2x  3x  5 




h)
4
3 2
Reste   3ab  2a b  de


Hallar: n + p
 2a 3 b 2  a 2 b 3  ab 4 


a) 1
d) -3
5.
2
2
Reste  5b  3b  6  de  4b  11b  3 




j)
 2 2 2 3 
Reste   x  y  xy  de
4 
 5
6.
3
c)
d)
e)
2
B  7x  4x  11 ;
¿Qué expresión hay que restarle a
igual a
3
2
b) 4 x  3x  6x
3
2
d) 4 x  4 x  6x  1
3
2
c) 4 x  6x  x  3
4
 D  x  4x  1 . Halle:
3
2
3
2
e) 4 x  4 x  6x  1
A  B  D
B  C  D
B  D  A
A  B  C  D
A  C  B  D
7.
Al
3
3
2
3
2
2
6x  Nx  5x  3
restar
Mx  5x  2x  4
se
de
obtiene:
2x  3x  3x  1
Calcule "M – N".
a) 4
d) 10
VI. Resuelve:
1.
c) 3
a) 4 x  6x  x  3
2
A  3x  2x  6x  8 ;
b)
b) 5
e) 2
 12x 3  6x  8  ?


V. Dados los polinomios.
a)
Si: 3x5zm – 7x5zn + 5xpzm = axpz3
 16x 3  4 x 2  9  para que sea


2
3 2 1
 x  xy  y 
2
4

C  7x  5x
c) -12
m +a
i)
3
c) 1
e) -2
g)
2
c) 12
Hallar: a + m + n
a) 4
b) 3
2
d)
4
c) 6
Hallar: m + n + p
a) 10
b) 13
IV. Efectúe las siguientes sustracciones:
4
Hallar: a + b
a) 7
Si: ax2 + bx2 = 7x2
26
b) 6
e) 12
c) 8
TAREA DOMICILIARIA
11. -4zw2 + 8zw2 – 3zw2 =
I. Simplifica cada caso:
1. 9x + 2x =
12. -8x5y3 – 3x5y3 – 4x5y3 =
2. 3w + (-8w) =
13. 4xzw + xzw – 8xzw =
3. 5z + (-3z) =
14. Si: 3xw + 8xw = axw
4. (-4y) + y =
Hallar: a
5. 8x - 10x =
a) 3
d) 7
b) 11
e) 4
c) 8
6. 12w - 3w =
15. Si: 5x2 – 3xn = mx2
7. (-7z) – (-3z) =
Hallar: m + n
8. (-3y) – 9y =
a) 2
d) 16
9. 5x2 + 10x2 + x2 =
b) 4
e) -1
c) 8
10. -2w3 - 3w3 + 4w =
2. SUMA Y RESTA DE POLINOMIOS
Para sumar o restar polinomios debemos recordar que:
SUPRESIÓN DE SIGNOS DE COLECCIÓN
Cuando un signo (+) precede a un signo de colección la expresión
interior no cambia de signo. Cuando un signo (-) precede a un
signo de colección la expresión interior cambia de signo.
Ejemplos:
 (3x + 2) + (2x + 5) =
polinomio
3x + 2
2x + 5
=
5x + 7
términos semejantes
polinomio
 (8x + 4) - (5x + 2)
+
¿S abías que?
=
8x + 4 - 5x - 2
=
3x + 2
El prefijo poli significa varios, es decir,
polinomio significa varios monomios.
términos semejantes
 (2x + 3)
-
(5x - 1)
=
 (-5xy + 3) - (5xy – 1 – x2) =
2x + 3
-
5x + 1
=
-3x + 4
-5xy + 3 - 5xy + 1 + x2 = x2 + 4
27
¡Ahora te toca a t i!
I.

(4x + 5) + (3x + 2) = ………………………………………..

(5x - 5) + (4x - 7) = …………………………………………

(3w - 7) – (w - 1) = …………………………………………

(x2 + 5x) – (x2 – 4x) =………………………………………

(2x + 3x3y) + (4x + 2x2 y + y3) =………………………………….

(3x2 + xy + z4) – (-3x2 + 4xy – z4) = ……………………………….
Opera (suma o resta) los siguientes
polinomios
1) (x + 2) + (2x + 1) =
2) (3w + 5) + (4w + 4) =
5)
(8y4 + 3y) + (4y2 – 8y4 – 2y) =
6)
(3x2 + 4x) – (2x2 - x) =
7)
(4w2 – 5w) – (3w2 – 2w) =
8)
(5z2 – 3z + 8) – (-3z2 – 3z - 4) =
9)
(9y5 – 3y2 + 4y) – (3y2 + 9y5) =
3) (4x2 + 2) + (5x2 + 3) =
4)
(5z2
5)
(9y3
+ 4z) +
+ y) +
(2z2
(3y3
+ 3z) =
+ y) =
10) (-10x2 - 4) – (-3x2 + 4x - 4) =
6) (3x + 2) – (x + 1) =
III.
7) (5w + 4) – (2w + 2) =
8) (8z2 + 5) – (4z2 + 2) =
9)
(7y3
+ 9y) –
(2y3
A = -8x2y + 3xy – 3y3
B = 4y3 – 7x2y + 2xy
Hallar: 2A – 3B
+ 4y) =
d) 5x2y – 18y3
e) 5xy – 18y3
a) 5x2y + 18y3
b) 5x2y – 18y2
c) 5xy2 – 18y3
10) (10x4 + 3x) – (5x4 + 2x) =
II.
Si:
Opera los siguientes polinomios:
IV.
1)
(2x2 + 3x) + (3x2 - x) =
2)
(5x2
3)
(3w2 + w - 4) + (-2w2 – 4w + 2) =
4)
(4z3 – 4z + 3) + (-3z + 2) =
Si:
(mx + n) – (-3x - 2) = 10x – 2
Hallar: m + n
– 4x) +
(2x2
– 3x)
a) 4
d) 8
28
b) 5
e) 3
c) 7
TAREA DOMICILIARIA
I.
Opera los siguientes polinomios
15. Si:
A = -2x – 5
B = 4x2 – 3x + 2
1. (2x + 4) + (3x + 7) =
Hallar: 3A - 2B
2. (4w + 3) + (2w + 1) =
a) -8x2 - 19
b) -8x2 + 19
3. (5z2 + 4) + (4z2 + 2) =
d) 8x2 + 19
e) -8x - 19
c) 8x2 – 19
4.
(7y4
+ 3y) +
(8y4
+ 4y) =
V.
Resuelve los siguientes problemas
5. (3x + 4) – (2x + 1) =
16. Si:
A = 3x2 + x – 7
B = 8x2 – 5x – 10
C = 5x2 + 3x – 1
6. (4w + 8) – (3w + 2) =
7. (10z2 + 3) – (5z2 + 2) =
Hallar: A + B – C
8. (9y3 + 4y) – (8y3 + 2y) =
9. (3x2 + 4x) + (2x2 – 2x) =
a) 6x2 – 7x - 16 d) 6x2 – 7x
b) 6x2 – 7x – 15 e) 6x2 + 7x - 16
c) 6x2 – 7x + 16
10. (5w2 – 3w) + (w2 - w) =
17. Si:
A = w3 – 8w + 4
B = 2w2 – 4w
11. (-3z3 + z - 1) – (2z3 – 2z - 1) =
Hallar: A – 2B
12.
(8y3
+ 2y + 4) –
(-7y3
– 2y) =
a) w3 + 4w2 - 4
d) w3 – 4w2 – 2
b) w3 – 4w2 + 4 e) w3 + 4w2 + 4
c) w3 – 4w2 – 4
13. (-5x4 – x2) – (2x4 – x2 + 4) =
II.
Resuelve los siguientes problemas
14. Si:
18. Si:
(2x + 4) + (3x - 8) = mx + n
(3x + 4) + (5x - 2) = mx + n
Hallar: m – n
Hallar: m + n
a) -1
b) 1
d) 5
e) 4
a) 9
d) 7
c) 0
b) 8
e) 5
¡Estudiemos en
equipos!
29
c) 6