ÍNDICE ÍNDICE ................................................................................................................................... 1 1.1. Ecuación diferencial ........................................................................................................ 2 1.2. Orden de una Ecuación diferencial. ................................................................................. 2 1.3. Grado de una Ecuación diferencial. ................................................................................. 2 1.4. Linealidad de una ecuación Diferencial .......................................................................... 3 1.5. Solución de una Ecuación Diferencial y su curva. .......................................................... 3 1.6. Intervalo de definición de una Ecuación Diferencial ...................................................... 3 1.7. Solución Explicita e Implícita de una Ecuación Diferencial. .......................................... 4 1.8. ¿A qué se debe Problema de valor inicial? ...................................................................... 7 1.9. Escribe el Teorema de existencia y unicidad................................................................... 8 1.10. Define una Ecuación Diferencial Ordinaria .................................................................. 9 1.11. Define una Ecuación Diferencial Parcial....................................................................... 9 1.12. Define un sistema de Ecuaciones Diferenciales. ........................................................... 9 2.0. Define Ecuación Diferencial Homogéneas.................................................................... 11 2.1. Define Ecuación Diferencial No Homogéneas. ............................................................. 12 2.2. Explica el Método de Separación de Variables en una Ecuación Diferencial............... 13 2.3. Define Ecuación Diferencial Exacta.............................................................................. 15 2.4. Define Ecuación Diferencial Lineal .............................................................................. 18 2.5. Define Ecuación Diferencial Bernoulli. ........................................................................ 18 pág. 1 1.1. Ecuación diferencial ¿Qué es? Una ecuación diferencial es una ecuación que involucra una o más funciones desconocidas y sus derivadas. Estas ecuaciones describen relaciones entre una función y sus tasas de cambio, lo que las hace especialmente útiles para modelar situaciones en las que el comportamiento de una cantidad cambia con respecto a otra. Las ecuaciones diferenciales se utilizan en una amplia variedad de campos, como física, ingeniería, biología, economía y muchas otras disciplinas, para describir fenómenos que involucran cambios y procesos dinámicos. Ejemplo. 𝟓 𝒅𝟐 𝒚 + 𝟒𝒙 = 𝟎 𝒅𝒙𝟐 1.2. Orden de una Ecuación diferencial. El orden de una ecuación diferencial se refiere al orden de la derivada más alta presente en la ecuación. En otras palabras, es el mayor exponente de la derivada que aparece en la ecuación. Ejemplos 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝟐𝒙 𝒅𝟐 𝒚 𝒅𝒙𝟐 𝒅𝟒 𝒚 𝒅𝒙𝟒 1er Orden 𝒅𝒚 + 𝟓𝒙 𝒅𝒙 + 𝟑𝒚 = 𝟎 𝒅𝟐 𝒚 + 𝟑 𝒅𝒙𝟐 + 𝒚 = 𝒆𝟑𝒙 2ndo Orden 4rto Orden 1.3. Grado de una Ecuación diferencial. Se le atribuye grado de la ecuación al exponente de la derivada de mayor orden, siempre y cuando la ecuación diferencial este dada en forma polinomial. Ejemplos. 𝒅𝟐 𝒚 𝒅𝒚 1) 𝒆𝒙 𝒅𝒙𝟐 + 𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒅𝒙 = 𝒙 𝒅𝟑 𝒚 𝟐 𝒅𝒚 𝟒 2) (𝒅𝒙𝟑 ) − 𝟐 (𝒅𝒙) + 𝒙𝒚 = 𝟎 𝒅𝟑 𝒚 𝒅𝟐 𝒚 𝟑 𝒅𝒚 3) 𝒅𝒙𝟑 + 𝟐 (𝒅𝒙𝟐 ) + 𝒅𝒙 = 𝒕𝒂𝒏 𝒙 2ndo Orden / 1 grado 3er Orden / 2ndo grado 3er Orden / 1er grado pág. 2 1.4. Linealidad de una ecuación Diferencial ¿Qué es? Una ecuación diferencial se considera lineal si cumple con la propiedad de linealidad, es decir, si todas sus partes, incluyendo las funciones desconocidas y sus derivadas, están elevadas a la primera potencia y multiplicadas solo por coeficientes constantes o funciones de la variable independiente. En otras palabras, no hay términos como el producto de la función desconocida y sus derivadas, ni hay exponenciación de las funciones desconocidas o sus derivadas. Ejemplos. 1) 𝟐𝒙𝒚′ (𝒙) + 𝒚(𝒙) = 𝒆𝒙 . 2) 𝒚′′(𝒙) + 𝟑𝒙𝒚′(𝒙) − 𝟒𝒚(𝒙) = 𝒄𝒐𝒔(𝒙). 1.5. Solución de una Ecuación Diferencial y su curva. ¿Qué es? Una solución de una ecuación diferencial en la función desconocida f(x) y en la variable función desconocida f(x) y en la variable independiente x en el intervalo I, es una función f(x) que satisface la ecuación diferencial idénticamente para toda x en I. Ejemplo. La función 𝑦 = 3 sin 𝑥, es la solución de la ecuación diferencial ordinaria de tercer orden 4𝑥 𝑑2 𝑦 𝑑2 𝑦 𝑑𝑦 2 + 2𝑥 − 𝑥3 + 12𝑥𝑐𝑜𝑠𝑥 + 3𝑥 3 cos 𝑥 + 6𝑥 2 sin 𝑥 = 0 2 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 en el intervalo (−∞, +∞) 1.6. Intervalo de definición de una Ecuación Diferencial ¿Qué es? Se refiere al rango de valores de la variable independiente para los cuales la ecuación y su solución son de manera cierta/valida. En este intervalo puede ser limitado por ciertas condiciones, como: 1. Singularidades: Si la ecuación diferencial contiene divisiones por cero u otras operaciones no permitidas en ciertos puntos, entonces esos puntos no estarán en el intervalo de definición. pág. 3 2. Restricciones matemáticas: Algunas ecuaciones diferenciales pueden tener restricciones matemáticas basadas en las propiedades de las funciones involucradas. Por ejemplo, una ecuación que involucra funciones logarítmicas podría requerir que el argumento del logaritmo sea positivo. 3. Condiciones iniciales o de contorno: En el contexto de problemas con valores iniciales o de contorno, el intervalo de definición puede estar influenciado por las condiciones dadas en el problema. Por ejemplo, si se especifica una condición inicial en x=a, entonces el intervalo de definición debe incluir a. 4. Propiedades de la solución: La solución de la ecuación diferencial puede tener restricciones impuestas por su propia naturaleza. Por ejemplo, una solución que involucra raíces cuadradas podría requerir que la expresión bajo la raíz sea no negativa. Ejemplo. Verificar que la función 𝑓(𝑥) = 𝑦 = 1 𝑥 Es solución de la ecuación diferencial 𝑥 𝑑𝑦 +𝑦 =0 𝑑𝑥 1 Solución: Consideremos la función 𝑦 = 𝑥 para toda 𝑥 ≠ 0. La derivada de esta función es 𝑑𝑦 1 =− 2 𝑑𝑥 𝑥 Para toda 𝑥 ≠ 0. Sustituyamos estas funciones en la ecuación diferencial y verifiquemos que se satisface la igualdad 𝑥 𝑑𝑦 1 1 + 𝑦 = 𝑥 (− 2 ) + 𝑑𝑥 𝑥 𝑥 1 1 =− + 𝑥 𝑥 =0 1.7. Solución Explicita e Implícita de una Ecuación Diferencial. ¿Qué es? pág. 4 Las soluciones de ecuaciones diferenciales pueden clasificarse en dos categorías: soluciones explícitas e implícitas. Estas categorías se refieren a cómo se presenta la función desconocida y cómo se relaciona con la variable independiente en la solución. 1. Solución Explícita: En una solución explícita "𝑦 = 𝑓(𝑥)", la función desconocida se expresa de manera directa como una función de la variable independiente. En otras palabras, se puede resolver la ecuación para y en términos de x, sin ambigüedad. 𝑑𝑦 Ecuación diferencial: 𝑑𝑥 = 2𝑥 Solución explícita: 𝑦 = 𝑥 2 + 𝐶 2. Solución Implícita: En una solución implícita "𝑓(𝑥, 𝑦) = 0”, la relación entre la función desconocida y la variable independiente se establece a través de una ecuación, pero no se resuelve explícitamente para y en términos de x. En lugar de eso, y se mantiene como una función implícita de x. Ecuación diferencial: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 Solución implícita: 𝑥 2 + 𝑦 2 = 25 Ejemplo. Primero notemos que, de acuerdo a la definición de solución implícita, la relación dada se puede escribir como 𝐺(𝑥, 𝑦) = 𝑥 2 + 𝑦 2 − 100 = 0 Derivemos esta ecuación implícitamente. 𝑑 2 𝑑 (𝑥 + 𝑦 2 − 100) = (0) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 2 𝑑 𝑑 𝑑 (𝑥 ) + (𝑦 2 ) − (100) = (0) 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑 2 𝑑 2𝑥 + 𝑦 −0=0 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 2x+2y𝑑𝑥 =0 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑥 De la última relación despejamos 𝑑𝑥 obteniendo así la ecuación diferencial 𝑑𝑥 = − 𝑦. Por lo tanto 𝑥 2 + 𝑦 2 =100 es una solución implícita. El intervalo de solución es 𝛿 = (−10,10) pág. 5 Gráfica de la solución implícita 𝑥 2 + 𝑦 2 =100 La relación 𝑥 2 + 𝑦 2 =100, es una solución implícita ya que no es de la forma 𝑥 2 + 𝑦 2 = 100 sin embargo se puede obtener la solución explícita con sólo despejar a 𝑦. 𝑦 = ±√100 − 𝑥 2 Pero notemos que ahora tenemos dos soluciones. 𝑦1 = √100 − 𝑥 2 y 𝑦2 = −√100 − 𝑥 2 Estas funciones satisfacen respectivamente 𝑥 2 + 𝑦 21 = 100 y 𝑥 2 + 𝑦 2 2 = 100, además de la ecuación diferencial. Por lo tanto, ambas son soluciones explícitas en el mismo intervalo 𝛿 = (−10,10) En las siguientes gráficas se muestran las curvas solución de cada solución explícita. pág. 6 Curva solución 𝑦1 = √100 − 𝑥 2 Curva solución 𝑦2 = −√100 − 𝑥 2 1.8. ¿A qué se debe Problema de valor inicial? ¿Qué es? pág. 7 El "problema de valor inicial" es un concepto que se encuentra principalmente en el contexto de ecuaciones diferenciales, tanto ordinarias como parciales. Se refiere a un tipo de problema en el que se busca encontrar una solución a una ecuación diferencial que satisfaga ciertas condiciones iniciales. Ejemplos. 1. Ecuación Diferencial Ordinaria de Primer Orden: 𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥 Condición inicial: 𝑦(0) = 1 En este caso, el problema consiste en encontrar una función 𝑦(𝑥) que satisfaga la ecuación diferencial y también la condición inicial 𝑦(0) = 1. 2. Ecuación Diferencial Ordinaria de Segundo Orden: 𝑑2𝑦 𝑑𝑦 +3 + 2𝑦 = 0 2 𝑑𝑥 𝑑𝑥 Condiciones iniciales: 𝑦(0) = 1 y 𝑦 ′ (0) = −2 Aquí, el problema involucra encontrar una función 𝑦(𝑥) que cumpla con la ecuación diferencial y las condiciones iniciales 𝑦(0) = 1 y 𝑦 ′ (0) = −2 Ecuación de Calor (Ecuación Diferencial Parcial): 𝜕𝑢 𝜕 2𝑢 =𝑘 2 𝜕𝑡 𝜕𝑥 Condiciones iniciales: 𝑢(𝑥, 0) = 𝑒 −𝑥 2 En este caso, se busca encontrar la distribución de temperatura) 𝑢(𝑥, 𝑡) en una barra a lo largo del tiempo, dada la condición inicial 𝑢(𝑥, 0) = 𝑒 −𝑥 2 1.9. Escribe el Teorema de existencia y unicidad ¿Qué es? Estos teoremas determinan las propiedades que deben tener las funciones f para poder asegurar la ecuación diferencial. El teorema de existencia busca probar la existencia de una o más cantidades, sin señalar cuantas son ni como hallarlas. El teorema de unicidad se refiere a que es una solución única. Ejemplo pág. 8 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = −𝑦 con 𝑦(1) = 3 Como 𝑓(𝑥, 𝑦) = −𝑦 es continúa en ℝ2 La solución 𝑦(𝑥) existe Como 𝜕𝑦𝑓(𝑥, 𝑦) = −1 es continua en ℝ2 La solución es única. 1.10. Define una Ecuación Diferencial Ordinaria ¿Qué es? Una ecuación diferencial ordinario (EDO) es una ecuación que involucra una función y sus derivadas en términos de una variable independiente. La forma general de una ecuación diferencial ordinaria es: 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , . . . . . , 𝑦(𝑛 )) = 0 Ejemplos 1. 2. 𝑑𝑦 𝑑𝑥 + 5𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 + 𝑑𝑡 = 2𝑥 + 𝑦 𝑑𝑡 1.11. Define una Ecuación Diferencial Parcial ¿Qué es? Una ecuación diferencial parcial (EDP) es una ecuación que involucra una función desconocida de varias variables independientes y sus derivadas parciales con respecto a esas variables. A diferencia de las ecuaciones diferenciales ordinarias, donde solo hay una variable independiente, las EDPs consideran funciones de múltiples variables y sus cambios en relación con cada una de esas variables. Ejemplo. 1. 2. 𝑑𝑢 𝑑𝑡 = 3𝑥 − 2𝑡 𝑑2 𝑢 𝑑𝑡 2 =0 1.12. Define un sistema de Ecuaciones Diferenciales. ¿Qué es? pág. 9 Un sistema de ecuaciones diferenciales es un conjunto de varias ecuaciones diferenciales con varias funciones incógnitas y un conjunto de condiciones de contorno. Una solución del mismo es un conjunto de funciones diferenciables que satisfacen todas y cada una de las ecuaciones del sistema. Según el tipo de ecuaciones diferenciales puede tenerse un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias o un sistema de ecuaciones en derivadas parciales. 𝑑𝑦1 = 𝐹1 (𝑡, 𝑦1 , 𝑦2 … . , 𝑦𝑛 ) 𝑑𝑡 𝑑𝑦2 = 𝐹2 (𝑡, 𝑦1 , 𝑦2 … . , 𝑦𝑛 ) 𝑑𝑡 𝑑𝑦𝑛 = 𝐹𝑛 (𝑡, 𝑦1 , 𝑦2 … . , 𝑦𝑛 ) 𝑑𝑡 Ejemplo. pág. 10 2.0. Define Ecuación Diferencial Homogéneas. ¿Qué es? Es una ecuación diferencial que tiene la forma en la que todas las partes de la ecuación están "igualadas" a cero. La forma general de una ecuación diferencial homogénea es: 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ , . . . . . , 𝑦(𝑛 )) = 0 Ejemplos. pág. 11 1. Ecuación Diferencial Homogénea de Primer Orden: 𝑥 𝑦′ = − 𝑦 En esta ecuación, al dividir ambos lados por y, todos los términos quedan expresados en función de x e y y están igualados a cero. 2. Ecuación Diferencial Homogénea de Segundo Orden: 𝑦 ′′ − 2𝑦 ′ + 𝑦 = 0 Al restar y′ de ambos lados y simplificar, todos los términos se igualan a cero. 3. Ecuación Diferencial Homogénea de Orden Superior: 𝑦′ ′′′ − 3𝑦 ′′ + 2𝑦 ′ = 0 En este ejemplo, una ecuación de cuarto orden, todos los términos se igualan a cero después de simplificar. 2.1. Define Ecuación Diferencial No Homogéneas. ¿Qué es? Los sistemas lineales no homogénea 𝑎2 (𝑥)𝑦 ′′ + 𝑎1 (𝑥)𝑦 ′ + 𝑎0 (𝑥)𝑦 = 𝑟(𝑥) Los no homogéneos se caracterizan de ser diferente de 0 𝑑𝑦 ≠0 𝑑𝑥 Las soluciones generales a estos sistemas de ecuaciones son de la forma X=Xc+Xp. Hay dos métodos para encontrar Xp, el primero es el de Coeficientes Indeterminados y el segundo es el de Variación de parámetros Ejemplo. Ecuación diferencial lineal de primer orden no homogénea. 𝑑𝑦 + 2𝑦 = 𝑥 𝑑𝑥 Primero, escribimos la ecuación en forma estándar para una ecuación lineal de primer orden: 𝑑𝑦 + 2𝑦 − 𝑥 = 0 𝑑𝑥 pág. 12 La ecuación es no homogénea debido al término −x. Para resolverla, podemos utilizar el método del factor integrante. El factor integrante es e∫2dx=e2x. Multiplicamos ambos lados de la ecuación por el factor integrante: 𝑒 2𝑥 + 2𝑒 2𝑥 𝑦 − 𝑥𝑒 2𝑥 = 0 Ahora, notamos que el lado izquierdo de la ecuación se puede expresar como la derivada del producto de 𝑒 2𝑥 y 𝑦: 𝑑 2𝑥 (𝑒 𝑦) − 𝑥𝑒 2𝑥 = 0 𝑑𝑥 Integramos ambos lados con respecto a x: ∫ 𝑑 2𝑥 (𝑒 𝑦)𝑑𝑥 − ∫ 𝑥𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝐶 𝑑𝑥 𝑒 2𝑥 𝑦 − ∫ 𝑥𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝐶 Integramos el segundo término en el lado derecho usando integración por partes: 1 1 𝑒 2𝑥 𝑦 − 𝑥𝑒 2𝑥 − ∫ 𝑒 2𝑥 𝑑𝑥 = 𝐶 2 2 1 1 𝑒 2𝑥 𝑦 − 𝑥𝑒 2𝑥 − 𝑒 2𝑥 + 𝐷 = 𝐶 2 4 Donde D es otra constante de integración. Ahora, simplificamos la ecuación: 1 1 𝑒 2𝑥 𝑦 − 𝑥𝑒 2𝑥 − 𝑒 2𝑥 = 𝐶 − 𝐷 2 4 1 1 𝑒 2𝑥 𝑦 − 𝑥𝑒 2𝑥 − 𝑒 2𝑥 = 𝐸 2 4 Donde E=C−D es otra constante. Finalmente, resolvemos para y: 1 1 𝑦 = − 𝑥 − = 𝐸𝑒 −2𝑥 2 4 1 1 𝑦 = 𝐸𝑒 2𝑥 + 𝑥 + 2 4 Este es el resultado de la solución general de la ecuación diferencial no homogénea. 2.2. Explica el Método de Separación de Variables en una Ecuación Diferencial. ¿Qué es? La técnica de separación de variables es un método comúnmente utilizado para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) de primer orden, aunque también puede aplicarse pág. 13 en algunos casos a EDO de orden superior. La idea principal detrás de esta técnica es reorganizar la ecuación diferencial de tal manera que las variables dependientes e independientes se puedan "separar" en lados opuestos de la ecuación. Existen una serie de pasos generales para aplicar la técnica de separación de variables en una EDO de primer orden: Supongamos que tienes la siguiente ecuación diferencial de primer orden: 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑦) 𝑑𝑥 Donde 𝑑𝑦 𝑑𝑥 representa la derivada de y con respecto a x. Paso 1: Reorganizar la ecuación La primera tarea es reorganizar la ecuación de manera que todas las variables dependientes (en este caso, y) estén en un lado de la ecuación y todas las variables independientes (en este caso, x) estén en el otro lado. En el ejemplo dado, puedes hacerlo dividiendo ambos lados de la ecuación por 𝑔(𝑦): 1 𝑑𝑦 = 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑦) 𝑑𝑥 Paso 2: Integrar ambos lados Ahora, integra ambos lados de la ecuación con respecto a sus respectivas variables. En el lado izquierdo, integra con respecto a y, y en el lado derecho, integra con respecto a x: ∫ 1 𝑑𝑦 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑔(𝑦) Paso 3: Resolver las integrales Resuelve ambas integrales por separado. Esto te dará una ecuación en la forma: 𝐹(𝑦) = 𝐺(𝑥) + 𝐶 1 Donde 𝐹(𝑦) es la antiderivada de 𝑔(𝑦) con respecto a y, 𝐺(𝑥)es la antiderivada de 𝐹(𝑦) con respecto a 𝑥, y C es la constante de integración. Paso 4: Despejar y si es necesario Si es necesario, despejamos 𝑦 en términos de 𝑥 para obtener la solución final de la EDO. Esto puede requerir una manipulación algebraica, y la solución puede estar implícita o explícita, dependiendo de la EDO original. pág. 14 Esta es la técnica básica de separación de variables para resolver ecuaciones diferenciales de primer orden. Sin embargo, no todas las EDO son susceptibles de ser resueltas mediante esta técnica, y en algunos casos, puede requerir métodos más avanzados o técnicas numéricas para encontrar soluciones. Ejemplo. Aplicar el método de separación de variables para resolver la ecuación diferencial. 𝑑𝑦 1 + 𝑦2 = 𝑑𝑥 (1 + 𝑥 2 )𝑥𝑦 El procedimiento podría ser el siguiente: 𝑑𝑦 1 + 𝑦2 = 𝑑𝑥 (1 + 𝑥 2 )𝑥𝑦 𝑦 1 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 1 + 𝑦2 𝑥(1 + 𝑥 2 ) ∫ 𝑦 1 𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑥 1 + 𝑦2 𝑥(1 + 𝑥 2 ) 1 𝑥 Pero: 𝑥 − 1+𝑥 2 = 𝑦 1 (1+𝑥 2 )−𝑥 2 𝑥(1+𝑥 2 ) 1 = 𝑥(1+𝑥 2 ) 1 ∫ 1+𝑦 2 𝑑𝑦 = ∫ 𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 1+𝑥 2 𝑑𝑥, integrando por cambio de variable: 1 1 𝐼𝑛(1 + 𝑦 2 ) = 𝐼𝑛 𝑥 − 𝐼𝑛(1 + 𝑥 2 ) + 𝐶 2 2 1 1 𝐼𝑛(1 + 𝑦 2 ) + 𝐼𝑛(1 + 𝑥 2 ) = 𝐼𝑛 𝑥 + 𝐶 2 2 1 [𝐼𝑛(1 + 𝑦 2 ) + 𝐼𝑛(1 + 𝑥 2 )] = 𝐼𝑛 𝑥 + 𝐼𝑛 𝐶 2 𝐼𝑛(1 + 𝑦 2 )(1 + 𝑥 2 ) = 2 𝐼𝑛 𝑥 = 𝐼𝑛 (𝑐𝑥)2 Tomando exponencial natural a ambos miembros: (1 + 𝑦 2 )(1 + 𝑥 2 ) = 2 (𝑐𝑥)2 2.3. Define Ecuación Diferencial Exacta. ¿Qué es? pág. 15 Una ecuación diferencial exacta es un tipo especial de ecuación diferencial ordinaria (EDO) que se puede resolver utilizando un método específico debido a su propiedad de ser exacta. Una EDO exacta se puede escribir en la forma: 𝑀(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 + 𝑁(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 Donde M y N son funciones continuamente diferenciables en un dominio abierto de ℝ2 . Para que una ecuación diferencial sea exacta, debe cumplir con la siguiente condición: 𝜕𝑀 𝜕𝑁 = 𝜕𝑦 𝜕𝑥 Esto significa que las derivadas parciales de M con respecto a 𝑦 y de N con respecto a 𝑥 son iguales. El método para resolver una EDO exacta implica encontrar una función potencial 𝐹(𝑥, 𝑦) tal que su derivada parcial con respecto a 𝑥 sea igual a M, y su derivada parcial con respecto a 𝑦 sea igual a N: 𝜕𝐹 =𝑀 𝜕𝑥 𝜕𝐹 =𝑁 𝜕𝑦 Una vez que encuentre de 𝐹(𝑥, 𝑦), la solución general de la EDO exacta es 𝐹(𝑥, 𝑦)=C, donde C es una constante arbitraria. Ejemplo. Resolver la siguiente ecuación diferencial exacta: (2𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥 2 − 3𝑦 2 )𝑑𝑦 = 0 Paso 1: Verificar la exactitud Primero, verificamos si la ecuación es exacta calculando las derivadas parciales de M y 𝜕𝑀 𝜕𝑦 = −1 𝜕𝑁 𝜕𝑥 =2x Las derivadas parciales no son iguales, por lo que esta ecuación no es exacta en su forma actual. Paso 2: Multiplicar por un factor integrante. pág. 16 Para hacer que la ecuación sea exacta, necesitamos encontrar un factor integrante (μ) que, cuando lo multipliquemos a toda la ecuación, haga que se vuelva exacta. El factor integrante μ se calcula de la siguiente manera: μ(x, y) = 1 1 − 𝜕𝑁 𝜕𝑀 𝜕𝑥 𝜕𝑦 En esta caso: μ(x, y) = 1 1 = 2𝑥 − (−1) 2𝑥 + 1 Paso 3: Multiplicar la ecuación por el factor integrante. Multiplicamos toda la ecuación original por el factor integrante μ: 1 ((2𝑥 − 𝑦)𝑑𝑥 + (𝑥 2 − 3𝑦 2 )𝑑𝑦) = 0 2𝑥 + 1 Paso 4: Verificar si la ecuación es exacta ahora. Calculamos nuevamente las derivadas parciales de M y N después de multiplicar por μ: 𝜕𝑀 1 =− 𝜕𝑦 2𝑥 + 1 𝜕𝑁 6𝑦 2 = 2𝑥 − (2𝑥 + 1)2 𝜕𝑥 Ahora, las derivadas parciales son iguales, por lo que la ecuación es exacta en su forma modificada. Paso 5: Encontrar el potencial F(x,y). Para encontrar el potencial F(x,y), integramos M con respecto a x y N con respecto a y: 𝐹(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑀𝑑𝑥 = ∫ 2𝑥 − 𝑦 𝑑𝑥 = 𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝐶1 (𝑦) 2𝑥 + 1 𝑥 2 − 3𝑦 2 𝐹(𝑥, 𝑦) = ∫ 𝑁𝑑𝑦 = ∫ 𝑑𝑦 = −𝑦 3 + 𝑥𝑦 2 + 𝐶2 (𝑥) 2𝑥 + 1 Donde 𝐶1 (𝑦) y 𝐶2 (𝑥) son constantes de integración que pueden depender de una variable. Paso 6: Igualar los potenciales y encontrar la solución general. Igualamos los dos potenciales F(x,y) obtenidos: 𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝐶1 (𝑦) = −𝑦 3 + 𝑥𝑦 2 + 𝐶2 (𝑥) Donde 𝐶1 (𝑦) y 𝐶2 (𝑥) son constantes de integración. Para encontrar la solución general, podemos agrupar los términos de las constantes de integración en una sola constante C: pág. 17 𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝐶1 (𝑦) = −𝑦 3 + 𝑥𝑦 2 + 𝐶2 (𝑥) = 𝐶 Entonces, la solución general de la ecuación diferencial exacta es: 𝑥 2 − 𝑥𝑦 − 𝑦 3 + 𝑥𝑦 2 = 𝐶 Esta es la solución general de la ecuación diferencial dada. Puedes ver que representa una familia de curvas en el plano xy. 2.4. Define Ecuación Diferencial Lineal ¿Qué es? Una ecuación diferencial lineal es una ecuación diferencial ordinaria (EDO) en la que la variable dependiente y sus derivadas aparecen de manera lineal. En otras palabras, una EDO se considera lineal si se puede escribir en la forma general: 𝑑𝑦 + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥) 𝑑𝑥 Uno de los métodos más comunes para resolver una ecuación diferencial lineal de primer grado es el método del factor integrante 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 Ejemplo. 𝑑𝑦 = −4𝑦 = 𝑥 6 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 4 = − 𝑦 = 𝑥5𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 4 𝑃(𝑥) = − 𝑥 𝑥 Entonces el factor integrante es 𝑒 ∫ 𝑃(𝑥)𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑒 −4 ∫ 𝑥 = 𝑒 −4𝐼𝑛|𝑥| = 𝑒 𝐼𝑛𝑥 −4 = 𝑥 −4 𝑑𝑦 − 4𝑥 −5 𝑦 = 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑦 −4 [𝑥 𝑦] = 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑥 −4 𝑥 −4 𝑦 = 𝑥𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 + 𝐶 2.5. Define Ecuación Diferencial Bernoulli. ¿Qué es? pág. 18 Una ecuación diferencial de Bernoulli es un tipo específico de ecuación diferencial ordinaria (EDO) que se puede escribir en la forma general: 𝑑𝑦 + 𝑃(𝑥)𝑦 = 𝑄(𝑥)𝑦 𝑛 𝑑𝑥 Donde: 𝑑𝑦 𝑑𝑥 es la derivada de la función desconocida y con respecto a la variable independiente x. 𝑦 es la función desconocida de 𝑥. 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) son funciones conocidas de x. n es una constante real diferente de 0 y 1. La resolución de una ecuación diferencial de Bernoulli a menudo implica un cambio de variable o una transformación que simplifica la ecuación, convirtiéndola en una ecuación diferencial lineal más fácil de resolver. La transformación comúnmente utilizada es 𝑧 = 𝑦1−𝑛 , que nos permite expresar la ecuación de Bernoulli en términos de 𝑧: 𝑑𝑦 + (1 − 𝑛)𝑃(𝑥)𝑧 = (1 − 𝑛)𝑄(𝑥) 𝑑𝑥 Luego, esta ecuación transformada se puede resolver como una ecuación diferencial lineal utilizando métodos como el método del factor integrante o la sustitución directa. Ejemplo. Resuelve la siguiente ecuación diferencial. 𝑑𝑦 − 2𝑥𝑦 = 3𝑦 2 𝑑𝑥 Esta es una ecuación diferencial de Bernoulli porque la variable dependiente y y su derivada 𝑑𝑦 𝑑𝑥 están presentes de manera no lineal, ya que 𝑦 2 aparece en el término derecho. Para resolver esta ecuación, se puede realizar la transformación común utilizada para convertirla en una ecuación diferencial lineal. Definimos una nueva variable 𝑧 de la siguiente manera: 𝑧 = 𝑦1−2 = 𝑦 −1 Luego, calculamos la derivada de z con respecto x utilizando la regla de la cadena: 𝑑𝑧 𝑑 𝑑𝑦 (𝑦 −1 ) = −𝑦 −2 = 𝑑𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑥 pág. 19 𝑑𝑧 Ahora, sustituimos z y 𝑑𝑥 en la ecuación diferencial original: −𝑦 −2 𝑑𝑦 − 2𝑥𝑦 = 3𝑦 2 𝑑𝑥 Dado que estamos tratando de convertir esto en una ecuación diferencial lineal, podemos multiplicar toda la ecuación por 𝑦 2 para eliminar el denominador: −𝑦 −2 𝑦 2 𝑑𝑦 − 2𝑥𝑦 3 = 3𝑦 4 𝑑𝑥 Simplificamos: − 𝑑𝑦 − 2xy 3 = 3𝑦 4 𝑑𝑥 Esta ecuación es lineal, y podemos resolverla utilizando el método del factor integrante. 𝑑𝑦 Definimos 𝑑𝑥 . Luego, calculamos el factor integrante μ(x) pág. 20
