Formato Optimización de funciones Datos del estudiante Nombre: Israel Espinoza Avila Matrícula: 22017501 Nombre del Módulo: Cálculo diferencial v1 Nombre de la Evidencia de Aprendizaje: Optimización de funciones Fecha de elaboración: 12-Mayo-2023 Para realizar esta Evidencia de Aprendizaje es necesario que hayas revisado los recursos que se te presentaron en la Unidad 3. Instrucciones: 1. Realiza lo que se te pide. 2. Recuerda incluir el procedimiento. 1.- Determina si la función 𝒚 = 𝒙𝟒 − 𝟒𝒙𝟑 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟑 es creciente o decreciente en 𝒙 = 𝟏 − y 𝒙 = 𝟏. 𝟐 Para determinar si la función es creciente o decreciente en los puntos x = -1/2 y x = 1, podemos examinar la primera derivada de la función. Si la primera derivada es positiva en un punto, la función es creciente en ese punto. Si la primera derivada es negativa, la función es decreciente en ese punto. Primero, calculemos la primera derivada de la función y=x^4-4x^3+3x^2-3. Utilizando las reglas de derivación, obtenemos: dy/dx = 4x^3 - 12x^2 + 6x Ahora, evaluemos la derivada en los puntos x = -1/2 y x = 1: © UVEG. Derechos reservados. El contenido de este formato no puede ser distribuido, ni transmitido, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato, debido a que se trata de información confidencial que sólo puede ser trabajado por personal autorizado para tal fin. Para x = -1/2: f'(-1/2) = 4(-1/2)^3 - 12(-1/2)^2 + 6(-1/2) = -1/2 - 3 + 3/2 = -1/2 Para x = 1: dy/dx = 4(1)^3 - 12(1)^2 + 6(1) = 4 - 12 + 6 = -2 La derivada f'(1) también es negativa, lo que indica que la función es decreciente en x = 1. En conclusión, la función f(x) = x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 3 es decreciente tanto en x = -1/2 como en x = 1. 2.- Determina los intervalos de concavidad de la función 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙𝟑 𝟑 − 𝟖𝒙 − 𝟓. Para determinar los intervalos de concavidad de la función f(x) = (2x^3)/3 - 8x 5, necesitamos examinar la segunda derivada de la función. Dada la función f(x), vamos a calcular su segunda derivada: f''(x) = d²/dx² [(2x^3)/3 - 8x - 5] Calculamos la segunda derivada: f''(x) = (2/3) * d²/dx² (x^3) - 8 * d²/dx² (x) - d²/dx² (5) La derivada de x^3 es: d²/dx² (x^3) = d/dx (3x^2) = 6x La derivada de x es: d²/dx² (x) = d/dx (1) = 0 Dado que la derivada de una constante es siempre cero. La derivada de 5 es: d²/dx² (5) = d/dx (0) = 0 © UVEG. Derechos reservados. El contenido de este formato no puede ser distribuido, ni transmitido, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato, debido a que se trata de información confidencial que sólo puede ser trabajado por personal autorizado para tal fin. Ahora podemos sustituir estas derivadas en la segunda derivada f''(x): f''(x) = (2/3) * (6x) - 8 * (0) - (0) = 4x La segunda derivada f''(x) = 4x nos indica que la concavidad de la función puede cambiar en x = 0. Para determinar los intervalos de concavidad, debemos analizar los signos de la segunda derivada en intervalos alrededor de x = 0. Tomemos tres puntos de prueba: x = -1, x = 0, x = 1. Para x = -1: f''(-1) = 4(-1) = -4 (negativo) Para x = 0: f''(0) = 4(0) = 0 (cero) Para x = 1: f''(1) = 4(1) = 4 (positivo) Basándonos en los signos de la segunda derivada, podemos determinar los intervalos de concavidad: Para x < 0, f''(x) es negativa, lo que indica concavidad hacia abajo. Para x > 0, f''(x) es positiva, lo que indica concavidad hacia arriba. Por lo tanto, la función f(x) = (2x^3)/3 - 8x - 5 es cóncava hacia abajo en el intervalo x < 0 y cóncava hacia arriba en el intervalo x > 0. 3.- De acuerdo a la función 𝐲 = 𝐱 𝟒 − 𝟒𝐱 𝟑 + 𝟑𝐱 𝟐 − 𝟑 determina los rangos en donde la función es creciente y/o decreciente, así como los rangos de concavidad, favor de señalar el tipo de concavidad que presenta. Para determinar los rangos en los que la función y = x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 3 es creciente o decreciente, así como los rangos de concavidad y el tipo de concavidad, debemos analizar las derivadas primera y segunda de la función. Derivada primera: Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento, calcularemos la primera derivada de la función: f'(x) = d/dx (x^4 - 4x^3 + 3x^2 - 3) f'(x) = 4x^3 - 12x^2 + 6x Igualamos la derivada a cero para encontrar los puntos críticos: © UVEG. Derechos reservados. El contenido de este formato no puede ser distribuido, ni transmitido, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato, debido a que se trata de información confidencial que sólo puede ser trabajado por personal autorizado para tal fin. 4x^3 - 12x^2 + 6x = 0 Factorizamos para encontrar las soluciones: 2x(x - 1)(2x - 3) = 0 Esto nos da tres posibles soluciones: x = 0, x = 1, x = 3/2. Ahora creamos una tabla para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento: Intervalo (-∞, 0) | (0, 1) | (1, 3/2) | (3/2, +∞) f'(x) | - | + | - | + La función es creciente en los intervalos (0, 1) y (3/2, +∞), mientras que es decreciente en el intervalo (-∞, 0) y (1, 3/2). Derivada segunda: Ahora, calcularemos la segunda derivada de la función para determinar los intervalos de concavidad y su tipo: f''(x) = d²/dx² (4x^3 - 12x^2 + 6x) f''(x) = 12x^2 - 24x + 6 Creamos una tabla para determinar los intervalos de concavidad y su tipo: Intervalo (-∞, +∞) f''(x) | + Concavidad: Hacia arriba (convexa) La función es convexa en todo el dominio (-∞, +∞). En resumen: La función es creciente en los intervalos (0, 1) y (3/2, +∞). La función es decreciente en los intervalos (-∞, 0) y (1, 3/2). La función es convexa en todo el dominio (-∞, +∞). © UVEG. Derechos reservados. El contenido de este formato no puede ser distribuido, ni transmitido, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato, debido a que se trata de información confidencial que sólo puede ser trabajado por personal autorizado para tal fin. 4.- Determina los intervalos en los que la función 𝒇(𝒙) = 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟓 es creciente. Para determinar los intervalos en los que la función f(x) = x^2 - 2x + 5 es creciente, necesitamos examinar la primera derivada de la función. Dada la función f(x), vamos a calcular su primera derivada: f'(x) = d/dx (x^2 - 2x + 5) Para encontrar los intervalos de crecimiento, igualamos la derivada a cero y resolvemos la ecuación: f'(x) = 2x - 2 = 0 2x = 2 x=1 Ahora creamos una tabla para determinar los intervalos de crecimiento: Intervalo (-∞, 1) | (1, +∞) f'(x) | - | + La función es creciente en el intervalo (1, +∞). Por lo tanto, la función f(x) = x^2 - 2x + 5 es creciente en el intervalo (1, +∞). © UVEG. Derechos reservados. El contenido de este formato no puede ser distribuido, ni transmitido, parcial o totalmente, mediante cualquier medio, método o sistema impreso, electrónico, magnético, incluyendo el fotocopiado, la fotografía, la grabación o un sistema de recuperación de la información, sin la autorización por escrito de la Universidad Virtual del Estado de Guanajuato, debido a que se trata de información confidencial que sólo puede ser trabajado por personal autorizado para tal fin.
