Método de Gauss para encontrar las raíces enteras de un Polinomio Este método para factorizar polinomios que están en función de una sola variable. Es un poco largo, pero el procedimiento es muy mecánico, así que una vez que lo aprendan, les va a resultar re fácil de usar. Gauss se dio cuenta de que los divisores naturales (y enteros) del término independiente (Divididos estos divisores por el coeficiente principal) de un polinomio son las raíces del mismo. (Como así también lo son los mismos números cambiados de signo). ¿Qué es la raíz de un polinomio? Si un número “k” es Raíz de un polinomio que llamamos P(x) P(x) es divisible por (x – k). Entonces, si encontramos las raíces k1, k2, k3, etc. de un polinomio, sabremos cuales son los binomios por los que es divisible el polinomio (x – k1), (x – k2), (x – k3), etc. Para factorizar el polinomio, lo vamos dividiendo por todos los binomios que encontramos, y lo escribimos como el producto de todos esos binomios por el resultado final de la última división. Pasos a seguir para factorizar un polinomio por el método de GAUSS Buscar las posibles raíces del polinomio: En este paso hay que buscar los divisores del coeficiente principal y del término independiente, y hacer los cocientes de los segundos dividido los primeros, y luego recordar que son posibles raíces, todos esos números que hallamos, esos mismos cambiados de signo. Armar los binomios por los cuales es probable que sea divisible el polinomio a factorizar. Ver cuáles de los binomios son efectivamente divisores del polinomio (utilizamos el teorema del Resto). En este paso vamos a verificar cuáles de todos esos binomios son realmente divisores del polinomio. Si el resto da cero es porque el binomio es divisor, y si no da cero lo tachamos porque no nos sirve. Empezar a dividir al polinomio por los binomios del punto anterior. Escribir el polinomio factorizar: Por último escribimos el polinomio como el producto de todos los binomios por los cuales lo fuimos dividiendo, multiplicado el resultado de la última división. Veamos un ejemplo: Factorizar el polinomio P(x)= x3 – 4x2 + x + 6 Primer paso: buscar las posibles raíces, observar que los cocientes serían entre los divisores del término independiente y los divisores del término principal. Segundo paso: armamos los binomios que son posibles divisores: Tercer paso: Ver cuáles de los binomios son efectivamente divisores. Aquí aplicamos el Teorema del Resto para cada binomio. Cuarto paso: Como ya sé que el polinomio P(x)= x3 – 4x2 + x + 6 es divisible por (x+1), (x-2), (x-3), ahora sólo resta dividirlo por estos binomios, en parte para verificar que efectivamente sean raíces y en parte para poder saber cuáles son todos sus factores primos. Empezamos dividiendo por (x + 1) Ahora divido x2 -5x +6 por el siguiente binomio (x - 2) Ahora divido x – 3 por el binomio (x – 3) Ya no hace falta aplicar Ruffini. Como ya sabemos cualquier cosa dividido por si mismo da por resultado: 1 Quinto paso: Escribo el polinomio factorizado: Esto significa escribirlo como el sucesivo producto de todos los binomios “x – kn” siendo kn sus raíces. P(x)= x3 – 4x2 + x + 6 = (x + 1) . (x - 2) . (x - 3) 1) Resolver aplicando 4to caso cuando sea posible: 2) Factorizar aplicando diferencia de cuadrados: 3) Resuelve aplicando 6to caso de factoreo cuando sea posible: 4) Factorizar aplicando el método de GAUSS 5) Factorizar aplicando el caso que corresponda: Las expresiones algebraicas racionales, son fracciones que consisten en un cociente de dos polinomios. Se pueden simplificar fracciones que involucren exponentes y variables de la misma manera como se hace con fracciones aritméticas. Se le denomina simplificación al hecho de eliminar factores idénticos del numerador y el denominador. El procedimiento de factorizar ayuda a simplificar fracciones algebraicas. La simplificación de un número o cualquier expresión algebraica implica reducirla. Ejemplos de expresiones algebraicas racionales El primer ejemplo se llama expresión racional entera en “x” e “y”, pues cada uno de los polinomios en el cociente es un polinomio en “x”, y un polinomio en “y”. La segunda expresión es una expresión racional en “x”, ya que cada uno de los polinomios en el cociente es un polinomio en x. Por razones similares, la tercera expresión es racional en “x”, “y”, y “z”. Las propiedades de las fracciones pueden ser útiles para simplificar expresiones como las anteriores. Veamos un ejemplo: 1) Factorizar y eliminar términos semejantes. Frecuentemente, al simplificar una expresión algebraica se factoriza primero la expresión y después se utilizan las propiedades de las fracciones para reducirla. 2) Factorizar y eliminar términos semejantes Se considera que: (2 – y) = - ( y – 2) 3) Factorizar y eliminar términos semejantes Recuerden que 5 – x = - (x - 5) 5−𝑥 Así que 𝑥−5 = 1
