Ingeniería Electromagnética Relación de Ejercicios Profesor: Enrique Márquez Segura Curso académico 2014-2015, v 0.2.1415, Grado en Ingeniería de Sistemas de Telecomunicación Contenido 1. Introducción a la radiofrecuencia y microondas 5 2. Análisis de circuitos en Ingeniería Electromagnética 7 3. Medios de transmisión guiados 11 4. Transformación y adaptación de impedancias con líneas de transmisión 19 5. Representación de circuitos con múltiples puertos 21 3 Ejercicios de Ingeniería Electromagnética 1 Introducción a la radiofrecuencia y microondas Ejercicio 1.1. Validez de la teoría de circuitos Considere la tabla que se muestra a continuación donde se muestran las bandas de frecuencias asignadas a diferentes servicios y sistemas de comunicaciones. RF Microondas Milimétricas Banda HF VHF UHF L S C X Ku K Ka Q U V E W F D Frecuencia 3 MHZ-30 MHz 30 MHZ-300 MHz 300 MHZ-1 GHz 1 GHZ - 2GHz 2 GHZ - 4 GHz 4 GHZ - 8 GHz 8 GHZ - 12 GHz 12 GHZ - 18 GHz 18 GHZ - 27 GHz 27 GHZ - 40 GHz 30 GHZ - 50GHz 40 GHZ - 60 GHz 50 GHZ - 75 GHz 60 GHZ - 90 GHz 75 GHZ - 110 GHz 90 GHZ - 140 GHz 110 GHZ - 179 GHz a. Estime las dimensiones máximas de los circuitos para cada una de las bandas de frecuencias de forma que se puedan considerar despreciables los fenómenos de propagación. b. Considere una onda plana propagándose en espacio libre a cada una de las bandas de frecuencia que se muestran en la tabla. Determine la velocidad de fase, la constante de propagación y el retardo en propagar se la onda una distancia de una longitud de onda. Ejercicio 1.2. Propagación en medios En un cierto medio homogéneo, la velocidad de grupo se ha determinado experimentalmente en un determinado ancho de banda. Tras procesar los√datos se ha podido establecer que esta velocidad se puede modelar mediante la expresión vg = Aω donde A es una constante y ω la pulsación. Asumiendo que se trata de un medio no magnético, a. Determina la relación entre la fase y la velocidad de grupo b. Determine una expresión para modelar la permitividad relativa del medio en función de la frecuencia. 2014/2015 5 Ejercicios de Ingeniería Electromagnética 6 2014/2015 Ejercicios de Ingeniería Electromagnética 2 Análisis de circuitos en Ingeniería Electromagnética Ejercicio 2.1. Resonancia serie Suponga el circuito de la figura funcionando en régimen permanente sinusoidal con una tensión de entrada vi (t) de amplitud 12V. Suponiendo que la inductancia es de 12mH y la resistencia de 3 Ω, a. determine el valor de la capacidad necesaria para que el circuito resuene a la frecuencia de 9kHz. b. Determine el valor de la amplitud de la corriente máxima en el circuito y la frecuencia a la que se produce. c. Determine el valor máximo de la tensión en el inductor. d. Determine el valor máximo de la tensión en el condensador. R L + + vi (t) C vo (t) − Ejercicio 2.2. − Bipuerto en T Determine los parámetros impedancia, Z, del circuito de la figura. Z1 Z2 P1 Ejercicio 2.3. Z3 P2 Bipuerto en Pi Determine los parámetros admitancia, Y, del circuito de la figura. Z2 P1 2014/2015 Z1 Z3 P2 7 Ejercicios de Ingeniería Electromagnética Ejercicio 2.4. Circuitos equivalentes a. Demuestre que el circuito mostrado en la figura puede ser un circuito equivalente para un circuito pasivo caracterizado por sus parámetros Z. Z11 − Z12 I1 P1 Z22 − Z12 + + V1 Z12 I2 V2 − P2 − b. Obtenga un circuito empleando elementos concentrados para un bipuerto que presenta una matriz de parámetros Z con Z11 = Z22 = (30 + j20)Ω y Z21 = Z12 = 30Ω Ejercicio 2.5. Conversión de parámetros Demuestre que si el parámetro C es distinto de cero, los parámetros ABCD de un bipuerto pueden transformarse en parámetros Z mediante las siguientes relaciones: Z11 = A/C, Z12 = (AD−BC)/C, Z21 = 1/C, Z22 = D/C. Ejercicio 2.6. Conversión de parámetros a. Determine los parámetros ABCD de los bipuertos de la figura. Z/2 P1 P2 P1 Z P2 Z/2 b. A partir de las matrices obtenidas en el apartado anterior, determine la matriz de parámetros ABCD del siguiente bipuerto. Z1 /2 Z2 P1 Z1 /2 8 Z3 /2 P2 Z3 /2 2014/2015 Ejercicios de Ingeniería Electromagnética Ejercicio 2.7. Parámetros admitancia en cascada Dos bipuertos caracterizados por sus parámetros admitancia se conectan en cascada. Determine la matriz admitancia resultante de la conexión. I1 I2 + V1 − Ejercicio 2.8. I3 + V2 − [Ya ] + V3 − I4 [Yb ] + V4 − Adaptación de una antena Una antena diseñada para trabajar a una frecuencia de 500MHz con una impedancia de antena de 75 Ω se conecta a un receptor que presenta una impedancia de salida de 50 Ω. Diseñe un circuito de adaptación paso alto que permita transferir la máxima potencia al receptor por parte de la antena. Ejercicio 2.9. Adaptación de impedancia Un generador de impedancia interna de 50Ω debe entregar su máxima potencia disponible a una carga de 25Ω. Determine un circuito de adaptación que permita cumplir con la especificación mencionada anteriormente. Determine el valor de tensión que debería tener el generador para que la potencia media entregada a la carga sea de 200mW. Ejercicio 2.10. Adaptación de impedancias complejas La impedancia de entrada de un transistor es de 10 Ω en serie con 0.2 µH. Diseñe una red de adaptación de forma que la impedancia de entrada se transforme en 50Ω a la frecuencia de 20MHz. Ejercicio 2.11. Adaptación de impedancias complejas Un circuito presenta una impedancia de entrada de Zin = 100 + j25,1 Ω. Determine una red de adaptación para que a la frecuencia de 50 MHz la impedancia de entrada al conjunto sea de 50 Ω. Ejercicio 2.12. Pérdidas de inserción El circuito de la figura muestra un bipuerto caracterizado por sus parámetros admitancia cargado por una impedancia de carga real RL y excitado por un generador real de resistencia Rg . Rg + Vg I1 + V1 − I2 [Y ] + V2 − Rl a. Asumiendo que se trata de un bipuerto constituido únicamente por inductores y condensadores, exprese el valor de Rl necesario para que el generador entregue la máxima potencia disponible a la carga. b. Determinar las pérdidas de inserción para el valor de Rl calculado en el apartado anterior. 2014/2015 9 Ejercicios de Ingeniería Electromagnética Ejercicio 2.13. Adaptación conjugada a. Determine las frecuencias a las que se produce la transferencia de potencia máxima y mínima. b. Determine las pérdidas de inserción del bipuerto de la figura a la frecuencia en la que la transferencia de potencia a la carga es máxima. Rg = 2Ω C = 1/4F + Vg Rl = 4Ω L = 2H Ejercicio 2.14. Equivalente de Thèvenin El circuito de la figura muestra dos bipuertos caracterizados por sus parámetros impedancia conectados en cascada. A Rg + Vg [Za ] [Zb ] Rl A0 a. Determine el equivalente de Thèvenin visto hacia la izquierda del plano A-A’. b. Determine la impedancia vista a la derecha del plano A-A’. Ejercicio 2.15. Parámetros a partir de medidas Para caraterizar un bipuerto se realizaron las siguientes medidas 1. Con el puerto dos en circuito abierto, se aplicó un generador en el puerto uno de V1 = 100]0◦ resultando las medidas I1 = 10]0◦ y V2 = 50]0◦ . 2. Con el puerto uno en circuito abierto, se aplicó un generador en el puerto dos de V2 = 100]0◦ resultando las medidas I2 = 20]0◦ y V1 = 50]0◦ . A partir de las medidas realizadas: a. Determine la matriz de parámetros Z del bipuerto bajo prueba. b. Determine la potencia entregada a un resistor colocado en el puerto dos de 10Ω cuando se conecta un generador valor Vg = 100]0◦ en el puerto uno. 10 2014/2015 Ejercicios de Ingeniería Electromagnética 3 Medios de transmisión guiados Ejercicio 3.1. Onda estacionaria Conteste a las siguientes cuestiones: a. Un generador se conecta a una línea terminada en cortocircuito de longitud una longitud igual a una longitud de onda. Dibuje el diagrama de onda estacionaria en la línea. b. Una línea de transmisión en circuito abierto se conecta a una línea que presenta 1.25 longitudes de onda. Dibuje la variación de la tensión en cada punto de la línea. c. Una línea de transmisión de 50 Ω se conecta a una carga resistiva de 25 Ω. Determine el coeficiente de onda estacionaria. d. Una línea de transmisión cuya impedancia es desconocida, se carga con dos impedancias resistivas de 75Ω y 300Ω respectivamente. En el primero de los casos se obtine a partir de medidas un coeficiente de onda estacionaria de 1.5, en el segundo dse los casos la medida resultante es de 2.67. Determine la impedancia característica de la línea bajo prueba. Ejercicio 3.2. Transferencia de potencia Un generador con una potencia disponible de 50mW se conecta a una línea de 50Ω. La impedancia característica de la línea es igual a la impedancia interna del generador. En el otro extremo la línea de transmisión se conecta a una carga que resulta en un coeficiente de onda estacionaria en la línea de 0.5. Determine la potencia disipada en la carga. Ejercicio 3.3. Potencia y atenuación Según una determinada norma, la potencia máxima entregada a una antena ha de ser de 100W para garantizar el cumplimiento de la misma. La antena se conecta a un transmisor con impedancia interna igual a la impedancia de la línea que a su vez viene el mismo valor que la resistencia de radiación de la antena. El cable empleado tiene una longitud de 50m y pérdidas de 5dB/100m. Determine la potencia máxima disponible del transmisor para cumplir con la normativa. Ejercicio 3.4. Línea de transmisión cargada Considere una línea de transmisión que caracterizada por los siguientes parámetros primario: (a) Resistencia por unidad de longitud: Ru = 1,722 × 104 Ω/m (b) Capacidad por unidad de longitud: Cu = 1,320 × 10−10 F/m (c) Inductancia por unidad de longitud: Lu = 5,884 × 10−7 H/m Determinar a la frecuencia de 10 GHz: a. La impedancia característica de la línea b. La constante de propagación de la línea c. La velocidad de fase de la línea d. El retardo que se origina en una línea de 2 km de longitud. 2014/2015 11 Ejercicios de Ingeniería Electromagnética Ejercicio 3.5. Línea de transmisión cargada En una línea de transmisión sin pérdidas que se encuentra trabajando en régimen permanente sinusoidal, de impedancia característica Zo = 50Ω y terminada por una impedancia de carga de 150 + j20Ω, determine para la frecuencia de trabajo de 2 GHz: a. El coeficiente de reflexión en la carga. b. El módulo de las ondas de tensión y de corriente en cada punto de la línea. c. La impedancia vista a 50 cm de la carga. d. El coeficiente de onda estacionaria y su relación con los valores máximos y mínimos de impedancia que presenta la línea. ZL = 150 + j20Ω Zo = 50Ω l l=d Ejercicio 3.6. l=0 Transformador en λ/4 Suponga dos líneas de transmisión con impedancias características Zo1 y Zo2 . Si ambas líneas se conectan entre sí aparecerá una onda reflejada en la unión entre ambas si no poseen la misma impedancia característica. Demostrar que: a. si se inserta entre las dos líneas de transmisión una tercera de impedancia característica √ Zo3 = Zo1 · Zo2 y longitud λ/4 la onda reflejada desaparece y toda la potencia es transmitida a una carga adaptada con la que se termina la línea de impedancia Zo2 . b. si las impedancias de las líneas Zo1 y Zo2 son idénticas, Zo1 = Zo2 , y la línea insertada es de longitud λ/2 no existirán reflexiones. c. la magnitud del coeficiente de reflexión es proporcional a la longitud eléctrica de la línea intermedia si esta es muy corta y se cumple Zo1 = Zo2 . Zo1 Zo3 Zo2 ZL l Ejercicio 3.7. Potencia en la carga Represente la tensión, la corriente y la potencia en función del tiempo en el extremo de una línea de transmisión en los siguientes casos, deduciendo de las figuras la dependencia del valor medio de la potencia con el nivel de desadaptación de la línea: a. La línea de transmisión esta terminada con una carga de valor igual a su impedancia característica. b. La línea de transmisión se encuentra terminada en una carga imaginaria pura. 12 2014/2015 Ejercicios de Ingeniería Electromagnética c. La línea de transmisión se encuentra terminada en una carga que da lugar a un coeficiente de π reflexión de valor ρL = 0,4ej 4 . a) ZL = Z0 b) ZL = jXL π c) ZL = ρL = 0,4ej 4 Zo = 50Ω l l=d Ejercicio 3.8. l=0 Potencia en la carga y onda estacionaria Considere una línea de transmisión sin pérdidas en la que existe una onda estacionaria pura (|ρL = 1|), calcular, en función de los parámetros circuitales: a. Valores instantáneos de la tensión y la corriente en la línea. b. Valores instantáneos y medios de la potencia transmitida. c. Valores instantáneos y medios de la energía eléctrica y magnética almacenada entre un nodo y un vientre sucesivos. ρL = eφ Zo l l=d Ejercicio 3.9. l=0 Circuito equivalente de la línea de transmisión Demostrar mediante la utilización del circuito equivalente de una línea deptransmisión sin pérdidas que la impedancia de entrada de una línea infinitamente larga vale Zo = Lu /Cu . Lu Cu Ejercicio 3.10. Lu Cu Lu Cu Incidencia sobre una discontinuidad Una línea de transmisión sin pérdidas e impedancia característica Zo = 75 se bifurca en dos de igual impedancia característica Zo tal y como se muestra en la figura. La onda de tensión que viaja que viaja a lo largo de ella con V + = 3V incide sobre la discontinuidad generada en la bifurcación. a. Obtener las tensiones de la onda de tensión transmitida en cada una de las líneas de la bifurcación, así como las tensiones de las ondas de tensión reflejadas. b. Calcular la potencia transmitida en cada una de las líneas bifurcadas . 2014/2015 13 Ejercicios de Ingeniería Electromagnética Zo Zo Zo Ejercicio 3.11. Línea de transmisión con generador y carga Un generador de impedancia interna Zg alimenta una línea de transmisión de impedancia característica Zo cargada por una impedancia de carga ZL . a. Determinar la relación existente entre la tensión del generador y la tensión de la onda incidente en la línea. b. Obtener la relación entre la potencia disponible del generador y la potencia transmitida por la onda incidente en los siguientes casos 1. El coeficiente de reflexión en la carga es nulo. 2. El generador está adaptado a la línea de transmisión. Zg Vg + z=0 Ejercicio 3.12. ZL Z0 z=l Línea de transmisión con generador y carga Una posible avería en una línea de transmisión sin pérdidas de impedancia característica Zo = 50Ω puede modelarse como una resistencia de valor R = 150Ω entre los dos conductores de la línea de transmisión. En uno de los extremos la línea de transmisión tiene conectado un generador adaptado a ella y potencia disponible 500 mW. El el extremo final de la línea esta se encuentra adaptada. a. Determinar los valores de las tensiones en las ondas incidentes y reflejas antes y después de la avería. b. Calcular la potencia disipada por la resistencia que modela la avería. c. Obtener la relación porcentual de la potencia entregada a la carga, antes y después de la avería. 1. El coeficiente de reflexión en la carga es nulo. 2. El generador está adaptado a la línea de transmisión. 14 2014/2015 Ejercicios de Ingeniería Electromagnética Zg Vg + Z0 R z = lR z = l z=0 Ejercicio 3.13. ZL Z0 Línea de transmisión con pérdidas Una línea de transmisión bifilar se ha construido con hilos de radio 500 µm y una resistencia por unidad de longitud de 0.03 Ω/m. La separación entre los conductores es de 3 cm y la conductancia de aislamiento es de 10−7 (Ω · m)−1 . Se pretende transmitir una señal con una frecuencia de 100 MHz. a. Determinar si se trata de una línea de bajas pérdidas. b. Calcular la distancia de la línea a la cual el valor de la amplitud de la onda de tensión decrece un 5 % de su valor. Determinar el retardo temporal que se obtiene a esa distancia c. Determinar el retardo temporal que se produce en la línea con la longitud estimada en el apartado anterior. Considere los parámetros de la línea bifilar dados por las siguientes expresiones: D µ0 π0 ln L= H/m C = D π ro ln ro H/m Ejercicio 3.14. Línea de transmisión con bajas pérdidas Se dispone de una línea de transmisión de bajas pérdidas caracterizada por sus parámetros R, L, C, G por unidad de longitud. Determinar la potencia media disipada en R y G para una línea de longitud λ/4 cortocircuitada en su extremo final. Ejercicio 3.15. Transformación de impedancias El circuito de la figura se emplea para transmitir una señal de frecuencia 1GHz.Suponiendo que se trata de una línea de transmisión sin pérdidas: a. Determine la potencia entregada a la carga. b. Calcule la longitud del tramo de línea de impedancia Zo1 = 75Ω que se debería de introducir para que la potencia entregada a la carga fuera máxima. √ Datos: Zg = 50Ω, Z01 = 50Ω, Z02 = 50 2Ω, Z03 = 100Ω, ZL = 100Ω, l = λ/8. Zg Vg Zo1 Zo2 Zo3 ZL l 2014/2015 15 Ejercicios de Ingeniería Electromagnética Ejercicio 3.16. Impedancia de entrada y armónicos Un generador de reloj se conecta a una línea de transmisión de dieléctrico aire como se muestra en la figura. A la frecuencia del primer armónico de la señal de reloj lña longitud de la línea es λ/4. a. Determine la impedancia de entrada a la línea a la frecuencia del primer armónico. b. Determine la impedancia de entrada a la línea a la frecuencia del segundo armónico. √ Datos: Zg = 50Ω, Z01 = 50Ω, Z02 = 50 2Ω, Z03 = 100Ω, ZL = 100Ω, l = λ/8. Zg = Ro Vg ZL = 9Ro Zo = Ro l Ejercicio 3.17. Resonador El circuito de la figura muestra dos líneas de transmisión sin pérdidas de igual longitud conectadas en paralelo y terminadas una de ellas en circuito abierto y la otra en cortocircuito. Determinar las frecuencias de resonancia que aparecen en el circuito. l Ejercicio 3.18. l Resonancia serie Una línea de transmisión terminada en circuito abierto y de longitud un cuarto de longitud de onda se comporta como una resonancia serie en torno a la frecuencia de resonancia. Deducir la relación entre la impedancia característica de la línea y los valores de un circuito RLC serie. Ejercicio 3.19. Guía rectangular. Frecuencias de corte Se dispone de una guía rectangular con lados formados por paredes metálicas de aluminio y dimensiones a = 2cm y b = 1cm rellena con dieléctrico de permitividad 6. a. Determine las frecuencias de corte de los cinco primeros modos que aparecerían en la estructura. b. Determine la atenuación (dB/100m) para el modo fundamental a 1,5fc . Ejercicio 3.20. Guía rectangular. Frecuencias de corte Una guia de onda rectangular con dimensiones a = 2,5cm y b = a/2, opera en un sistema de comunicaciones a 14 GHz. Calcule todos los modos y las correspondientes frecuencias de corte en orden ascendente. 16 2014/2015 Ejercicios de Ingeniería Electromagnética Ejercicio 3.21. Guía rectangular. Dimensiones Determine las dimensiones de una guía rectangular rellena con dieléctrico aire que permite trabajar en régimen monomodo en el rango de frecuencias de 9 a 14 GHz. Ejercicio 3.22. Guía rectangular rellena con dieléctrico a. Determine el rango de frecuencia de funcionamiento donde una guía rectangular de dimensiones a = 2,286cm y b = 1,016cm puede operar en régimen monomodo. b. A continuación esa misma guía se rellena con un dieléctrico con el objetivo de disminuir las frecuencias de funcionamiento en un 70 % de sus valores originales. Determine la permitividad relativa del dieléctrico necesario. Ejercicio 3.23. Guía rectangular. Frecuencias de corte El alimentador de un reflector parabólico se realiza mediante una bocina excitada por una guía cuadrada de la do a. a. Determine la frecuencia de corte de los cuatro primeros modos de la guía. b. Se pretende trabajar a una frecuencia de 18 GHz. Determine el valor del lado de la guía para que funcione justo a la frecuencia central de funcionamiento del primer modo. Ejercicio 3.24. Guía rectangular, múltiples modos Para una guía rectangular con dimensiones a = 2,286cm y b = 1,016cm, determine las constantes de propagación γmn para el modo TE10 cuando la guía de onda opera a la frecuencia de f = 0,9 · fc10 y f = 1,1 · fc10 Ejercicio 3.25. (Septiembre 2013) Considere el circuito de la figura donde las líneas de transmisión se pueden considerar sin pérdidas. Sabiendo que en la línea de transmisión conectada al generador el coeficiente de onda estacionaria es la unidad a la frecuencia en la cual la longitud de onda en la línea es λ = 100 cm, determine el valor de la impedancia Zl . 60cm Z0 Z0 + Vg Z0 = 300Ω Z0 Zl 25cm Ejercicio 3.26. (Febrero 2014) Una línea de transmisión donde se propaga un modo TEM, con dieléctrico de relleno aire e impedancia característica Z0 = 50Ω, se encuentra funcionando a una frecuencia de 2 GHz. La línea de transmisión se encuentra conectada a una impedancia de carga ZL Esta impedancia se consigue 2014/2015 17 Ejercicios de Ingeniería Electromagnética adaptar a la línea de transmisión mediante un tramo de línea de transmisión de longitud l = 2, 2cm terminada en circuito abierto y conectada en paralelo a una distancia d = 0, 66cm de la carga. Determine el valor de la impedancia de carga ZL . l Z0 Z0 + Vg Z0 ZL Z0 d Ejercicio 3.27. Septiembre 2014 Una guía de onda rellena de aire, con relación de aspecto b=1.8a, se ha empleado para funcionar en régimen monomodo entre 7.5 y 13.5GHz. Para poder bajar la frecuencia de funcionamiento se procede a rellenar con dieléctrico distinto del aire. Determine el valor de la permitividad relativa del dieléctrico necesario para funcionar en régimen monomodo en el rango de frecuencias entre 4.75 y 8.5 GHz. Ejercicio 3.28. (Septiembre 2013) Dos guías rectangulares idénticas con una relación entre su altura y anchura dada por a = 2b y con dieléctricos de relleno diferentes se conectan una a continuación de la otra como se muestra en la figura. La primera de las guías esta rellena de aire, mientras que la segunda de un dieléctrico con 0 permitividad relativa r . 0 a. Determine el máximo valor permitido para r de forma que puedan propagarse el modo fundamental en ambas guías al mismo tiempo. b. Determine una expresión para el ancho de banda de frecuencias de funcionamiento monomodo en ambas guías en función de los parámetros geométricos y materiales. r = 1 r 0 r b a Ejercicio 3.29. (Febrero 2014) Se pretende construir una guía de ondas rectangular rellena con dieléctrico aire de dimensiones a×b, b < a < 2 · b, para operar a la frecuencia de 10GHz con su modo dominante. Como especificaciones se considera que debe operar al menos un 20 % por encima de su frecuencia de corte y al menos un 20 % por debajo de la frecuencia de corte del primer modo superior. 18 2014/2015 Ejercicios de Ingeniería Electromagnética a. Determine un posible valor de las dimensiones a y b para cumplir las condiciones establecidas. b. Explique el porqué de la necesidad de los margenes en frecuencia establecidos para el funcionamiento de la guía de ondas rectangular. r = 1 b a 2014/2015 19 Ejercicios de Ingeniería Electromagnética 20 2014/2015 Ejercicios de Ingeniería Electromagnética 4 Transformación y adaptación de impedancias con líneas de transmisión Ejercicio 4.1. Cálculos con la carta de Smith Para este ejercicio debe emplear la carta de Smith. a. Considerando una impedancia de referencia de 50 Ω, determine el coeficiente de reflexión de las siguientes impedancias y su coeficiente de onda estacionaria. 1. ZA = 50 − j50Ω 2. ZB = −j75Ω 3. ZC = j25Ω 4. ZD = 150Ω b. Considerando una impedancia de referencia de 50 Ω, determine el coeficiente de reflexión de las siguientes admitancias 1. YA = 0,3 + j0,5f 2. YB = 0,1 − j0,25f 3. YC = j0,05f 4. YD = 0,015f Ejercicio 4.2. Cálculos con la carta de Smith Una línea de transmisión de 50Ω y longitud 0.4 λ se encuentra terminada con una admitancia de 0,01 − j0,04f. Haciendo uso de la carta de Smith determine: a. La impedancia de entrada b. La admitancia de entrada c. El coeficiente de reflexión de entrada Ejercicio 4.3. Cálculos con la carta de Smith Una impedancia de carga de valor ZL = 150 − j150Ω se conecta a una línea de transmisión de longitud 2 cm e impedancia característica Z0 = 75Ω. La citada línea presenta una longitud de onda de 6 cm, determine: a. La impedancia de entrada b. la frecuencia de operación si la velocidad de fase es 0.77 veces la velocidad de la luz c. El coeficiente de onda estacionaria 2014/2015 21 Ejercicios de Ingeniería Electromagnética Ejercicio 4.4. Cálculos con la carta de Smith Una línea de transmisión de 50 Ω se usa para realizar un "stub"de adaptación cortocircuitándola a su salida. Empleando la carta de Smith determine la mínima longitud necesaria en longitudes de onda para obtener las siguientes reactancias de entrada: a. Zin = j25Ω b. Zin = j50Ω c. Zin = j150Ω d. Zin = −j50Ω Ejercicio 4.5. Cálculos con la carta de Smith Una impedancia de carga de valor desconocido se conecta a una línea de transmisión sin pérdidas de longitud 0,4λ y 50Ω de impedancia característica. El coeficiente de onda estacionaria medido es de 2 y la fase del coeficeinte de reflexión 20deg. empleando la carta de Smith determine las impedancias de entrada y de carga. Ejercicio 4.6. Adaptación con un stub Una determinada impedancia de carga de valor 100 + j75Ω se desea conectar a un sistema con impedancia de referencia de 50Ω. Determine las longitudes de un tramo de línea de transmisión y una línea de transmisión de conectada en paralelo para conseguir adaptar la carga. Ejercicio 4.7. Adaptación de carga compleja con transformador en lambda/4 Una determinada impedancia de carga de valor 25 − j75Ω se desea conectar a un sistema con impedancia de referencia de 50Ω. Determine la longitude de un tramo de línea de transmisión y de la impedancia de una línea en de longitud λ/4 para conseguir adaptar la carga. Ejercicio 4.8. Adaptación de carga resistiva Adapte una impedancia de carga de 200Ω a un generador real de impedancia 100Ω mediante los siguientes procedimientos. a. elementos concentrados. b. Una línea de transmisión y un stub en serie. c. Un transformador de línea de transmisión de longitud λ/4 Ejercicio 4.9. Adaptación de carga con elementos concentrados Adapte las siguientes impedancias a un generador de 50Ω empleando elementos concentrados y haciendo uso de la carta de Smith. a. ZL = 10 − j5Ω b. ZL = 10 + j30Ω c. ZL = 100 + j50Ω d. ZL = 20 − j40Ω 22 2014/2015 Ejercicios de Ingeniería Electromagnética Ejercicio 4.10. Septiembre 2014 En la posición P de una línea de transmisión sin pérdidas de impedancia característica Z0 = 100Ω ◦ se mide el coeficiente de reflexión ρ = 1/2ej90 . A la derecha de P hay una sección 3λ/4 en cuyo extremo una impedancia ZL cierra la línea. Utilizando únicamente la carta de Smith determine el valor de ZL y del coeficiente de onda estacionaria S. P Z0 2014/2015 ZL 23 Ejercicios de Ingeniería Electromagnética 24 2014/2015 Ejercicios de Ingeniería Electromagnética 5 Representación de circuitos con múltiples puertos Ejercicio 5.1. Propiedades de la matriz de parámetros S El circuito de la figura presenta la siguiente matriz de parámetros S: [S] = 0,2 j0,9 j0,9 0,2 [S] P1 P2 a. Determine si se trata de un dispositivo recíproco y sin pérdidas. b. Determine el coeficiente de reflexión que se obtendría en el puerto 1 si se cortocircuita el dispositivo en el puerto 2. Ejercicio 5.2. Cálculo de parámetros S de bipuertos Calcule la matriz de parámetros S de los bipuertos de la figura. Considere la impedancia en los puertos Z0 Z1 P1 Z1 P2 (a) Ejercicio 5.3. Z2 P1 P2 Z2 P1 (b) P2 (c) Cálculo de parámetros S de línea con discontinuidad Calcule la matriz de prámetros S del bipuerto de la figura. Considere la impedancia en los puertos Z0 . Zx P1 2014/2015 Z0 jβ Z0 jβ λ/8 λ/8 P2 25 Ejercicios de Ingeniería Electromagnética Ejercicio 5.4. Cálculo de parámetros T de bipuertos Calcule la matriz de parámetros T de los bipuertos de la figura. Considere la impedancia en los puertos Z0 . Z1 P1 Z1 P2 Z2 P1 (a) Ejercicio 5.5. P2 Z2 P1 (b) P2 (c) Cálculo de tensiones Un bipuerto caracterizado por sus parámetros S se conecta a una carga ZL como se muestra en la figura. Zg + Vg [S] Zl a. Determine V2 si ZL = Z0 . b. Determine V2 si ZL 6= Z0 . Ejercicio 5.6. Parámetros S de bipuertos en cascada Considere dos bipuertos conectados en cascada como se muestra en la figura. [S (a) ] [S (b) ] a. Demuestre el parámetro S11 resultante viene dado por: (a) (a) (b) (a) S11 = S11 + S21 S12 S11 (a) (b) 1 − S22 S11 b. Demuestre el parámetro S21 resultante viene dado por: (a) (b) S21 = 26 S21 S21 (a) (b) 1 − S22 S11 2014/2015 Ejercicios de Ingeniería Electromagnética Ejercicio 5.7. Ganancias de potencia Demuestre que las expresiones para las diferentes definiciones de potencias en un bipuerto caracterizado por sus parámetros S y excitado por un generador y terminado por una impedancia de carga son correctas. Zg + Vg [S] Pavs Pin Zl Pavout PL a. Ganancia de potencia G= 1 PL 1 − |ρL |2 = |S21 |2 2 Pin 1 − |ρin | |1 − S22 ρL |2 b. Ganancia disponible Gav = Pavout 1 − |ρs |2 1 = |S21 |2 2 Pavs |1 − S11 ρs | 1 − |ρo ut|2 c. Ganancia de transducción GT = Ejercicio 5.8. 2 PL 1 − |ρs |2 2 1 − |ρL | = |S | 21 Pavs |1 − S11 ρs |2 |1 − ρout ρL |2 (Septiembre 2013) Considere el bipuerto de la figura: P1 Z P2 a. Determine la matriz de parámetros S del bipuerto si Z = j15Ω y la impedancia de referencia en los puertos es de Z0 = 50Ω. El bipuerto del apartado anterior se carga con una impedancia Zl tal y como se muestra en la figura: Zg + Vg [S] Zl Zg = 50Ω Vg = 10V b. Determine el coeficiente de reflexión a la entrada del bipuerto cuando éste está cargado por la impedancia de carga de valor Zl = 50 + j10Ω. c. Determine la potencia media disipada en la carga. 2014/2015 27 Ejercicios de Ingeniería Electromagnética Ejercicio 5.9. (Febrero 2014) Considere el circuito de la figura donde se representa el circuito equivalente de un dispositivo activo a la frecuencia de 100 MHz. Datos: Z0 = 50Ω, g = 3f, Ri = 100Ω. P1 + v g·v Ri P2 − a. Determine la matriz de parámetros S del bipuerto considerando Z0 como impedancia de referencia. El bipuerto es conectado a un generador de impedancia interna Z0 en el puerto 1 y a una impedancia de carga de valor Z0 en el puerto 2. Z0 + v + Vg g·v Ri Z0 − b. Determine la potencia entregada a la impedancia de carga en función de la potencia disponible del generador. Con el fin de adaptar el generador a la entrada del dispositivo, se introduce un bipuerto M como se muestra en la figura: Z0 + Vg [M ] + v Ri g·v Z0 − c. Determine la potencia disipada en la carga en esta nueva condición de adaptación a la entrada del dispositivo. Describa, si lo hubiera, el beneficio de introducir el Circuito de adaptación M a la entrada. d. Diseñe el bipuerto M con elementos reactivos puros. 28 2014/2015
