iOMP I ~MEN1U
1/
AT1EMATICD
CUADfRNO DE
THAIAlO
I
\
ARMANDO CASARRUBIAS GARCiA
SILVIA GOMEZ MONTALVO
CASARRUBIAS EDITOR
. -.
-
SECUNDARI(A
':":":"--~
~
vfdvgfdfgv000001
,
COMPLEMENTO
CUADERNO
NOMBRE
MATEMATICO
3
DE TRABAJO
DEL ALUMNO:
ESCUELA:
GRUPO:
DOMICILlO:
,
TELEFONO:
HORARIO
,
HORA
LUNES
MARTES
MIERCOLES
JUEVES
VIERNES
MATEMATICAS PROVIENE DEL VOCABLO ~GRIEGO
"MATEMATHA" Y SIGNIFICA: "COSAS QUE SE ARRENDEN"
,
LQUIERES QUE MEXICO SEA GRANDE?
i,Quieres que MEXICO sea grande?, entonces enqrandecete tu mismo. Comienza por
engrandecer tu aspiraci6n, tu voluntad, tu caracter y con esos facto res procura
aumentartus virtudes ytus conocimientos.
Si esto no 10 haces, MEXICO no sera grande. Si cada uno procura su mejoramiento
propio, hasta constituir una mavoria, entonces MEXICO sera mas grande y mas potente.
i,Oe que sirve tener capacidad e inteligencia si no las explotas en tus estudios?
La palabra
ESTUDIOS significa
ES TU DIOS.
Piensa y veras que MEXICO sera mas grande todavfa, cuando cada uno se baste asi
mismo, y esa metamorfosis no esperes que se realice en el futuro; no, infciala hoy mismo
en la e,scuela, en tu hogar, en tus costumbres, en todas tus actividades.
:
Si esperas que el tiempo las realice, estas en un error, el tiempo es indefinido y algo que
por si s610 no hace nada; todo radica en nosotros mismos, todo es consecuencia de
nuestro esfuerzo de nuestra dedicaci6n y de nuestro querer constante de superaci6n.
USA EL PODER DE TU MENTE PARA SER UN TRIUNFADOR.
vfdvgfdfgv000002
COMPLEMENTO
MATEMATICO
CUADERNO DE TRABAJO
TERCER GRADO DE SECUNDARIA
ARMANDO CASARRUBIAS GARCiA
Profesor de Educaci6n Primaria
Profesor de Educaci6n Secundaria
. Maestro ,en Maternaticas
Doctor en Pedagogfa
Profesor de Matematicas en la
Escuela Normal Superior de Mexico
SILVIA GOMEZ MONTALVO
Profesora de Educaci6n Primaria
Profesora de Educaci6n Secundaria
Maestra en Pedagogfa
Maestra en Psicologfa Educativa
Profesora del Laboratorio de Docencia en la
Escuela Nacional de Maestros
1
vfdvgfdfgv000003
Coordinador y editor: Armando Casarrubias Garcia
Diseiio de portada: Silvia Gomez Montalvo
COMPLEMENTO MATEMATICO 3
Cuaderno de trabajo para el Tercer Grado de Secundaria
ISBN 970-91099-6-0
Derechos reservados © por:
Armando Casarrubias Garcia
Cerro Azul No. 210,
Colonia Petrol era,
Delegacion Azcapotzalco,
C.P. 02480,
Mexico, D. F.
Informes: 5561- 6502
Yo decido
como me siento
y me siento
a toda rnaqulna,
La presentaclen y dlspcslclon del cuaderno de trabajo
COMPLEMENTO MATEMATICO 3 son propiedad del
editor. Queda estrictamente prohibida la reproducclon
parcial 0 total de esta obra por cualquier sistema, 0
metodo electronlco, incluso el fotocopiado, sin autorlzaclon del editor.
2
\,
vfdvgfdfgv000004
PRESENTACIO'N
EI principal objetivo de este cuaderno de trabajo, dirigido a los alumnos del Tercer Grado de
la Escuela Secundaria, es facilitar el proceso ensefianza-aprendizaje por medio de una
serie graduada de actividades basadas en el anallsls y deducciones propias del desarrollo
mental del alumno, que reside en su aptitud para comprender nuevas situaciones,
resolviendo problemas y superando cbstaculos.
EI razonamiento de los problemas te ocasiona el principal obstacuto del aprendizaje de las
Matematicas. Un gran descubrimiento es la soluclen de un problema de manera autonoma:
esfuerzate en poner en juego tus facultades inventivas, si 10 resuelves por tus propios
medios, sentlras el encanto del descubrimiento y el goce del triunfo, animate a ser de los
mejores de tu grupo. Tepuedo asegurar por mis 50 afios que tengo en la docencia que tienes
la capacidad para lograrlo.
iSI SE PUEDEi
Participa sin temor en el desarrollo de la clase, un gran amigo es tu maestro (a) de grupo, el
tiene gran interes en tu superacton y quiere que seas de los mejores de su clase, reflexlona y
analiza que las mejores calificaciones tamblen son para ti. Repasa en tu casa los ejercicios
y problemas que realizas en clase para que integres el aprendizaje individual con el
aprendizaje grupal para la adqulslclon del habito de estudio.
Es bueno que aceptes que las Matematicas no solo sirven para resolver problemas, sino
que ademas, son interesantes y divertidas; como 10 ccmprobaras en las lecciones de
actlvacten del pensamiento por medio de "juegos matematlcos como tareas de
aprendizaje" en donde tienes que interesarte para entender a traves de tu propio esfuerzo y
no solo atraves del esfuerzo de tu maestro.
La didactica empleada en este cuaderno de trabajo te permite comunicar informacion en el
proceso ensefianza-aprendizaje,
mediante actividades sencillas, muy detalladas y
ejemplificadas, relacionando los problemas con otras ciencias como: Biologla, Fisica,
Quimica, Geografia, Historia y Civismo, fomentando asi la transferencia de conocimientos,
en donde la reflexi6n y el anal isis te ayudan a que el conocimiento se haga mas perdurable,
formando en tu personalidad un hablto de responsabilidad.
Para la maestra y el maestro de grupo, el cuaderno de trabajo sirve como auxiliar dldacttcc,
ya que contiene los prop6sitos, enfoques y aprendizajes esperados de los Programas de
Estudio 2011, en el marco de la Reforma Integral de la Educaci6n Basica (RIEB);
tacltltandcle la evaluaci6n del desarrollo ccqnltlvo y actividades personales de sus
alumnas y de sus alum nos para comprobar sus avances escolares para que mejoren las
competencias que permitan su desarrollo personal para que cad a estudiante pueda
desenvolverse en una sociedad que Ie demanda nuevos desempefios para relacionarse en
un marco de pluralidad y democracia, y en un mundo global e interdependiente.
" ENSENAR ES PROMOVER EL APRENDIZAJE "
LOS AUTORES
3
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CONTENIDOS
Presentaci6n
Contenidos
Resoluci6n de problemas
3
4
6
BLOQUE I
SENTIDO NUMERICO Y PENSAMIENTO
ALGEBRAICO
8
Conociendo las ecuaciones cuadratlcas
Factorizaci6n de una diferencia de
cuadrados
Ecuaciones incompletas de la forma:
ax2 + c
Resoluci6n de problemas que implican el
uso de ecuaciones cuadratlcas sencillas
Problemas con aplicaci6n en Geometria
Factorizaci6n de binomios: ax:.!+ bx
Ecuaciones incompletas de la forma
ax2 + bx = 0
Resoluci6n de problemas
9
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
Figuras congruentes y semejantes
Analisis de las figuras congruentes
Propiedades de congruencia de triangulos
Criterios de semejanza de triangulos
MANEJO DE LA INFORMACION
Analisis de una relacion de proporcionalidad
Movimiento en la caida libre de los cuerpos
Escala de probabilidad
Eventos mutua mente excluyentes
Eventos independientes
Diseno de una encuesta
Graficas circulares
Grafica de barras
Resuelve problemas modelando la ecuaci6n
cuadranca
Resuelve problemas factorizando la ecuaci6n
cuadranca
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
Traslaci6n y rotaci6n de figuras:
Traslaci6n
Rotaci6n
Simetria Axial
Simetria central
Doble simetria axial de ejes paralelos
Doble simetria axial de ejes perpendiculares
Teorema de Pitagoras:
AnSlisis entre las areas de los cuadrados
sobre los lados de un triangulo rectangulo
Explicitaci6n y uso del teorema de Pitagoras
Resoluci6n de problemas aplicando
el teorema de Pitagoras
10
11
13
14
15
16
18
19
20
21
23
26
27
28
29
31
33
34
35
46
47
48
50
52
54
56
57
59
60
61
63
MANEJO DE LA INFORMACION
Calculo de ocurrencia de dos eventos
mutuamente excluyentes y de eventos
complementarios
65
Activaci6n del pensamiento
Evaluaci6n del segundo bloque
67
68
BLOQUE III
70
SENTIDO NUMERICO Y PENSAMIENTO
ALGEBRAICO
Deduccion de la formula general
Aplicacion de la formula general
Resolucion de problemas
Discriminante de la ecuaci6n
71
72
75
78
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
Activacion del pensamiento
Evaluacion del primer bloque
36
37
BLOQUE II
39
SENTIDO NUMERICO Y PENSAMIENTO
ALGEBRAICO
Cuadrado de un binomio: (x + a)2
Factorizacion de trinomios: ax2 + bx + c
Ecuaciones cuadratlcas por factorizaci6n
Modelando areayecuacion euadranca
Teorema de Tales de Mileto
Construcci6n de figuras homotencas
Resoluci6n de problemas aplicando la
semejanza de triangulos
79
83
87
MANEJO DE LA INFORMACION
40
41
42
44
Graficas de funciones cuadrancas
Graficas de fases del bioxido de carbono
Llenando la cisterna
4
vfdvgfdfgv000006
90
93
94
CONTENIDOS
Calculo de la probabilidad de ocurrencia
de dos eventos independientes
95
Activacion del pensamiento
Evaluacion del tercer bloque
97
98
BLOQUE IV
100
Formulacion de problemas a partir de una
ecuaelon dada
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
Analisis de las secciones que se obtienen
al realizar cortes a un cilindro
Analisis de las secciones que se obtienen:
AI realizar cortes a un cono recto
Cortes paralelos en un cono recto
Construccion de la formula para calcular
el volumen de un cilindro
Construccion de la formula para calcular
el volumen de un cono
Calculo del volumen de cilindros y conos
Material radioactivo para tratamientos
medicos
EI numero de ventas de un teh!fono celular
Analisis de las condiciones para que un
juego de azar sea justo:
juegos de azar equiprobables y
no equiprobables
SENTIDO NUMERICO Y PENSAMIENTO
ALGEBRAICO
Expresion euadrattca para definir el eneslmo
termino de una sucesion
101
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
Recordando los cuerpos geometricos
Cilindro de revoluclen
Cono de revoluclon \
Esfera de revolueton
Desarrollo plano de conos y cilindros rectos
Analisis de las relaciones entre el valor
de la pendiente de una recta
Analisis de las caracteristicas entre el cateto
opuesto, el cateto adyacente y la hipotenusa
Resolucion de triangulos rectanqulos
Tabla triqcnomemca
Resolucion de problemas
104
105
106
107
108
109
111
113
115
116
MANEJO DE LA INFORMACION
Razon de cambio que se modela con la
pendiente de la recta que representa
Medicion de la dispersion de un conjunto
de datos ( desvlaclon media)
BLOQUE V
127
135
136
137
138
139
141
142
143
145
146
Resolucion de 190 problemas tipo ENLACE
148
Examen de exploracion de conocimientos
al inicio del ana escolar.
175
121
124
125
134
Activacion del pensamiento
Evaluacion del quinto bloque
119
Activacion del pensamiento
Evaluacion del cuarto bloque
SENTIDO NUMERICO Y PENSAMIENTO
ALGEBRAICO
Resolucion de problemas que implican el
uso de ecuaciones lineales, cuadraticas
o sistemas de ecuaciones
132
128
5
vfdvgfdfgv000007
RESOLUCION DE PROBLEMAS
Se ha reservado este espacio para dar a conocer a Maestros y Alumnos una serie
de ejemplos semejantes a los que se aplican en las evaluaciones de ENLACE
(Evaluaci6n Nacional del Logro Acadernico en Centros Escolares) y CENEVAL
(Centro Nacional de Evaluaci6n para la Educaci6n Superior) para que el alumno
se familiarice con este modelo de evaluaci6n y su desemperio en el examen sea
exitoso con la ayuda de su Maestro (a) de Matematicas y cualquier persona
interesada en aclarar alguna 0 algunas dudas del alum nos (a) del tercer grado de
la escuela secundaria.
Resuelve estos problemas desde el inicio del ario escolar.
1. l,Cual es el resultado de la siguiente suma de
polinomios?
(Sa + a2 - 14) + (10a + a2 + 35)
6. Observa la siguiente ecuaci6n que representa una
recta en el plano cartesiano: l,Cual es el valor de su
pendiente?
y
A) 0
A) 17a+21
= 3x + 2
B) 1
B) 19a-21
2
C) 2
C) 15a+2a +21
2
D) 3
D) 15a + a + 21
2. l,Cual es el nurnero que resulta de la suma de los
dos dados y que tiene la mayor probabilidad de
salir?
7. La figura que continua la serie es:
~~~.
A) el12
B) el 11
C) el
8
D) el
7
A)~
3. l, Cual es el peri metro de la siguiente figura ?
B)~
8. l,Cuantos
figura?
3X-2
C)~
D~
mosaicos negros tendra la decirna
A) 6x - 4y + 3
B) 8x + 4y + 3
5y,
A)
B)
C)
D)
I\)
x,
C) 6x + 4y - 3
'<
D) 8x + 4y - 3
3x -1
4. l, Cuanto mide la altura del siguiente rectanqulo ?
l
B) 16x
l
A)
l
B)
2
C) 12x
D)
9x
l
5. Observa el siguiente plano cartesiano que seriala
los diferentes cuadrantes. l,En que cuadrante se
localiza el punto (- 2,6) ?
Y
A) I
II
I
x
III
i-
+
C)
2
"3
D)
6
5
IV
A)
10
B)
12
C)
16
D) 20
6
~- -
1
10. Silvia resolvi6 correctamente
la siguiente
operaci6n, "cual fue el resultado que obtuvo?
B) II
C) III
D) IV
DO
DO
9. De los 36 alum nos del tercero "1\', s610 asistieron
24. L que fracci6n del grupo estuvo ausente ?
4xl
A) 32x2
28
36
40
44
vfdvgfdfgv000008
y49+3X5-4+2=
11. Si Tone lanza dos dados y no Ie importa el orden,
sino s610 que caiga un 6 y un 5, <., Que
probabilidad hay de que ocurra esto?
12
8)
18
cfrculo, <.,cuanto mide el area del
A~e~~r:::Ular?
(n ~31((
1
A)
C)
16. En el siguiente
1
8) 8.2 cm2
1
ern-
C) 7.3
24
5 cm
D) 6.5 cm2
D) 3~
12. (..Cuanto
mide el anqulo AOC ?
17.
_C
<.,Cual es la expresi6n
algebraica
que Ie
corresponde al area total del siguiente modelo?
11
A)
I
8) 120
0
C)
D)
2
A) x
B) x2
2
C) x
D) x2
0
100
0
1600
B
0
170
80
0
1 1 1 1 1
xID [[Jl
+ 3x + 3
+ 3x + x
+ 3x + x + 3
+ 3x2 + X + 3
III
A
13.
t. Cual
18. En la siguiente
es el valor de x en la ecuaci6n
4x - 5 = x
+
II
= - 5
x= +4
x= - 3
A)
- 1
8)
B)
+
C)
- 2
D)
+2
C)
D) x =
+
2
14. <.,Cual es el resultado
(2i + 6x-5) (4x) =
2
A) 8x
3
8) 8x
3
C) 8x
2
D) 8x
de la siguiente
operaci6n
?
3
-1, -1, 0, ...
EI nurnero que continua
A) x
+----+
secuencia
9,5,2,0,
1 ?
x
es:
1
19. En una fabrica de ropa se sabe que para cubrir un
pedido en 30 olas, se necesitan 5 empleados.
<.,Cuantos empleados se necesitarfan para cubrir
el pedido en s610 6 dtas ?
+ 24x - 20
+ 24x2 - 20x
+ 24x2 - 20
+ 12x - 20x
A)
18 empleados
B) 25 empleados
C) 30 empleados
D) 36 empleados
15. Un barco navega con una trayectoria de x - 2y = 10,
otro barco navega con una trayectoria de x + y
1.
<.,Enque punto del plano se encontraran
los dos
barcos?
20.
=
Observa
las siguientes
ecuaciones
que
representan 4 rectas en el plano cartesiano:
y = 3x
. y = 3x
I
+
+
1
2
<.,C6mo son entre
A) P (4, 3)
8) P (4, - 3)
A) sec antes
C) P (- 4,3)
B) tan gentes
D) P (- 4, -3)
C) oblicuas
1 Continua en la pagina 146.1
7
vfdvgfdfgv000009
D) paraleas
y
y
si las
=
=
3x - 1
3x - 2
I
.
cuatro rectas ?
BLOQUE I
e Resolver problemas de manera auto noma.
e Comunicar informacion rnaternatica.
e Validar procedimientos y resultados.
e Manejar tecnicas eficientemente.
COMPETENCIAS
QUE SE FAVORECEN:
APRENDIZAJES ESPERADOS:
e Explica la diferencia entre eventos complementarios,
independientes.
mutuamente
excluyentes
e
EJES
SENTIDO NU
Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
MANEJO DE LA INFORMACION
PATRONES Y ECUACIONES
FIGURAS Y CUERPOS
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
e Hesolucion de problemas que
impliquen el uso de ecuaciones
cuadraticas sencillas, utilizando
procedimientos personales u
operaciones inversas.
eConstruccion de figuras
congruentes 0 semejantes
(tnanqulos, cuadrados y
rectanqulos) y anal isis de sus
propiedades.
e Explicacion de los criterios de
congruencia y semejanza de
trianqulos a partir de
construcciones con
informacion determinada.
e Analisis de representaciones
(qraficas, tabulares y
algebraicas) que corresponden
a una misma situacion.
ldentiftcacion de las que
corresponden a una relacion de
proporcionalidad.
e Hepresentaclon tabular y
algebraica de relaciones de
variacion cuadratica,
identificadas en diferentes
situaciones y fenornenos de la
Flsica, la Biologfa, la Economfa
y otras disciplinas.
NOCIONES DE PROBABILIDAD
e Conocimiento de la escala de la
probabilidad. Analisis de las
caracteristlcas de eventos
complementarios y eventos
mutuamente excluyentes e
independientes.
ANALISIS Y REPRESENTACION
DE DATOS.
e Diserio de una encuesta 0 un
experimento e identiticacion de
la poblacion en estudio.
Discusion sobre las formas de
elegir el muestreo. Obtenclon de
datos de una muestra y
busqueda de herramientas
convenientes para su
presentacion.
Las Matematicas son el
alfabeto, con el cual
Dios ha escrito el Universo.
GALl LEO GAll LEI.
8
vfdvgfdfgv000010
CONOCIENDO
LAS ECUACIONES CUADRATICAS
Las ecuaciones de segundo grado 0 cuadraticas juegan un papel importante en el estudio
de las Matematicas y la Fisica, par ejemplo, en la soluci6n de problemas sobre areas de
figuras qeometricas, en el estudio del movimiento uniformemente acelerado, etc.
La forma general de las ecuaciones cuadraticas
En donde:
~
es: ax2
+ bx + c = 0
es el terrnino de segundo grado.
es el termino de primer grado.
es el terrntno independiente.
bx
c
Ejemplos de ecuaciones cuadraticas:
3i
En la ecuaci6n:
+ 4x - 7 = 0 donde a = 3, b = 4 Y c = - 7 se observa que es una
ecuaci6n de segundo grado completa.
En 2i -5x = 0 donde a = 2, b = - 5 Y c = 0 en este ejemplo como c = 0 se trata de una
ecuaci6n incompleta, ya que carece del termino independiente.
En 4x2 - 16 = 0 donde a = 4, b = 0 Y c = -16 se observa que b = 0 por 10 que se trata de una ecuaci6n
incompleta, ya que carece del terrnino de primer grado.
1. Analiza las ecuaciones cuadraticas y anota la palabra completa
caso.
a)
6x2
=
b=
0
c = - 24
a
c)
e)
g)
24 = 0
__ 6_
-
8x2 + 3x = 0
a=-b=-c- ---
2
La ecuaci6n es
b)
Incompleta
La ecuaci6n es
d)
x - 10 + 3x = 0
a- --b=-c- ---
La ecuaci6n es
- 36 + x2 = 0
a- --b- --c-
La ecuaci6n es
- 4x + x2 = 0
a= __
b= __
incompleta, sequn carresponda en cada
4x2 - 6 + 2x = 0
a=__L
b =
2
c = -6
2
9x - 9
a=-b=--
=
La ecuaci6n es
Completa
La ecuaci6n es
0
C=--
f)
- 25x
a=-b=--
+ 25i = 0
La ecuaci6n es
C=--
h)
---
i)
0
40 - 3x
a=-b=--
+ x2 = 0
La ecuaci6n es
C=--
j)
La ecuaci6n es
x2 + 81
a=-b=--
c- ---
C=--
9
vfdvgfdfgv000011
=
0
La ecuaci6n es
FACTORIZACION DE UNA DIFERENCIA DE CUADRADOS:
X2 _ y2
Ejemplos:
r16x2 - 25l = (4x +
)(4x
t. 4x
t
t
Rafz cuadrada positiva del minuendo.
16x2 - 25l = (4x + 5l){4X - 5l)
t
t
~5l
Rafz cuadrada del sustraendo.
~
a) x2
-l
= (x
~
c) 36 - m2
=
+ y) (x - y)
(6
+ m)(6 - m)
uientes factorizaciones de una diferencia de cuadrados.
a) m2
=
- __
c) __
- 64y2
(m
+ 7)(
= (__
b) __
_
+ __
)(6 - 8y)
=(
- 81
d)t2-
= (t-6)(
+ __
)(2x - 9)
+ __
2. Factoriza las siguientes diferencias de cuadrados.
2
a) x - 1
c)
=
f - 16 =
1) d 2 - 9
2
e) 25 - 49y =
=
h) 81-100n2
i) 36h4 - 64
=
j)
a6 - 121
=
=
k) 64t2 -144 =
2
n) 225t -1
=
3. Si tienes un rectanqulo de area igual a
2X2 - 8, i cual es la factorizaci6n que representa
el producto de la base por la altura de ese
rectanqulo ?
q) O.04m2 - O.09n4 =
+ 2)(2x + 4)
8) (2x - 1)( x + 8)
A) (x
~----------------~
C) (x - 2)(2x
D) (x
+ 4)
+ 8)( x + 1)
10
vfdvgfdfgv000012
ECUACIONES INCOMPLETAS DE LA FORMA ax2 + c
1.Resuelve las siguientes ecuaciones
a) 4x2
-
2
100
=0
4x2
= 0 + 100
b) x - 49
=
0
2
y su comprobaci6n:
c) x - 81
=
0
2
4x = 100
2 _
)\ -
x2
100
4
=
25
.J;f =:!:v'25
x =±5
Comprobaci6n:
4x2 - 100 = 0
4 (5)2 - 100 = 0
4 (25) - 100 = 0
100 -100 = 0
e)
2X2
=
32
2
f) 4x - 36 = 0
11
vfdvgfdfgv000013
d) 3x
2
=
75
=0
ECUACIONES INCOMPLETAS DE LA FORMA ax2 + c
i)
3l-
2=0
3X2= 0 + 2
j)
x2 - - 9 = 0
16
k) X2__ 1 = 0
4
I)
i=
49
64
3X2= 2
X2= _g_
3
u=tif
X= t
x1 = +
If
if
2
x = - if
Comprobaci6n:
ff_2)
3(
- 2 =0
3(/f)-
2=0
2
3("3)-2=0
~ - 2=0
2-2 = 0
2
m) 4x - 2 = 0
2
n) 4x - 9 = 0
0)
100i - 25 = 0
,.
12
vfdvgfdfgv000014
p) 10x2 - 50 = 0
=0
RESOLUCI6N DE PROBLEMAS QUE IMPLICAN EL
USC DE ECUACIONES CUADRATICAS SENCILLAS
1. Observa el rectanqulo y contesta las preguntas.
A
2. Analiza la figura y contesta las preguntas.
= 98 m2
A
=
144
m2
a) (.,Con que ecuaci6n puedes representar el area del
rectanqulo ?
a) i. Con cual ecuaci6n cuadratica puedes representar
el area de lafigura ?
b) Resuelve la ecuaci6n cuadratica.
b) Resuelve la ecuaci6n cuadratica,
2X2
=
98
EI 2 esta multiplicado
pasa dividiendo
Raiz cuadrada de
{;.2 = x
Rafz cuadrada de
y;;g x: = - 7
x =
= ±Ji'9
x = ± 7
IX1 = +71
x
I
x2 = - 7
7
1
c) (.,Cuanto mide la base de la figura ?
c) (.,Cuanto mide la base del rectanqulo ?
2x = 2 (7)
=
14 m
d) (.,Cuanto mide la altura de la figura ?
d) (.,Cuanto mide la altura del rectanquto ?
x
=
7
7m
e) (.,Cuanto mide el perimetro del rectanqulo ?
e) (.,Cuanto mide el perimetro de la figura ?
P = 6x = 6 (7) = 42 m
f) (., Con cual ecuaci6n lineal puedes representar el f)
perimetro del rectanqulo ?
6x
(., Con que nombre se conoce al rectanquio que
tiene sus 41ados iguales ?
= 42
g) (.,Con cual ecuaci6n lineal puedes representar el
perimetro del cuadrado mayor?
13
vfdvgfdfgv000015
PROBLEMAS CON APLICACION
2
1. EI area de un rectanqulo es igual a 72 m , y la base es el doble
altura?, zcuanto mide el perfmetro?
2
2x
x2
A = 72 m2
A = bh
~
72 = (2x) (x)
b = 2x
x
72 = 2X2
h=x
x
EN GEOMETRIA
de la altura, l,cuanto miden la base y la
= 72
=
Resultados:
7:}
Base: 12 m
Altura: 6 m
=36
=tv'36
2x
Perfmetro:
12
+ 6 + 12 + 6 = 36 m
2. EIarea de un cuadrado es igual a 121 cm2, l, cuanto mide un lado?, l, cuanto mide el perfmetro?
x
x
A = 121 cm2
x
x
3. EI area de un rectanqulo es igual a 192 cm2 y la base es el triple de la altura, l, cuanto miden la base y la
altura? y i cuanto mide el perfmetro ?
x
A
= 192 cm2
3x
4. EI area de un trianqulo es igual a 50 m2 y la base es cuatro veces mayor que la altura, i cuanto miden la base
ylaaltura?
A = 50 m2
4x
5. EI area de un rectanquto es igual a 90 cm2, si la base es igual a 2.5x y la altura es igual a x, i cuanto miden la
base y la altura?, i cuanto mide el perfmetro ?
xlL--- cm
A=oo
2
I
2.5x
14
vfdvgfdfgv000016
-
FACTORIZACION DE BINOMIOS: ax2
Si el area de un rectanquto es 8x2 + 12x y la altura es 4x,
4x
~
I
b=A
Bh11~
I
?
r:
Para factorizar binomios de la forma
maximo factor cornun. Ejemplos:
~
~
=
h
+ 8x
= 8x (4x
+
4x
base = 2x
+3
I
ai + bx aplicamos el metodo del
->.
8i + 12x = 4x (2x + 3)
32x2
i cual es la base?
8i + 12x = 2x + 3
I
«>:
'~~
+ bx
9x
- 6x
= 3x (3x - 2)
24i - 30x = 6x (4x - 5)
1)
1. Factoriza los siguientes binomios por el metodo del maximo factor cornun.
2
a) 3x - 6x =
b) 4x2 + 12x =
c) 2X2 - 2x =
d) 5x2 - 30x =
e) 7a2
f) 8b - 24b2 =
+
35a =
2
g) 9h - 36h =
i) 4y
+ 28l
k) 10m
+
h) 6t
+ 30t2 =
j) 27u2 - 15u =
=
I) 54n2
20m2 =
+ 36n
=
2
m) 91 - 27f =
n) 11d2 - 33d =
Ii) 8k + 72k2 =
0) 12a2 + 36a =
p) 15x2 - 60x =
q) 20y
r) 13w
+ 39w2
+ 100l =
s) 14u2 - 56u =
=
3. Si el area del rectanqulo es 18h2 + 45h y la base es
2h + 5 i cuanto mide la altura?
2. Observa la siguiente figura:
9x2 + 9x
3x
I
P
De acuerdo con sus datos, <- cuanto mide ellado P ?
15
vfdvgfdfgv000017
1Bh2 + 145h
2h
+
5
I?
ECUACIONES INCOMPLETAS DE LA FORMA ax2 + bx
1.Resuelve las siguientes ecuaciones y su comprobaci6n:
a)
2X2- 8x = 0
b)
i -4x = 0
d) 3x2 + 6x
c) 2X2 = 2x
=0
a) Se factoriza el primer
miembro:
x (2x - 8) = 0
b) Igualamos a cero cad a
uno de los factores:
x1 = 0 (2x - 8) = 0
2x-8=O
Oespejamos a x en
el segundo factor:
=0+8
2x = 8
2x
X
-lL
- 2
x2
=4
Comprobaci6n:
2X2 - 8x
=
0
2 (4)2 - 8 (4)
=
0
2 (16) - 32
32 - 32
=
=
0
0
2
e) x - 9x
=0
f) 4x 2 - 12x
=
0
g) x
2
+ 5x =
16
vfdvgfdfgv000018
0
h) 4x2
+
12x
=0
=0
ECUACIONES INCOMPLETAS DE LA FORMA ax2 + bx
i) 2X2
=
2
j) x + X
12x
= 9x
2
k) 5x - 2x
=0
I)
2l = X2 + X
.
2
m) 4x - 3x
=0
n) 3x2
= 2x
0) 2X2
+ 5x
=
17
vfdvgfdfgv000019
0
p) X
2
+4
= 5x + 4
=0
RESOLUCION DE PROBLEMAS
1. EIdoble del cuadrado de un numero menos el triple del nurnero es igual a cero.z Gual es ese numero ?
2X2 - 3x = 0
Planteamiento:
Resultado:
Comprobaclon:
x (2x - 3) = 0
cuadrado: x2
~x
=0
1
1.5
2 (1.5)2 - 3 (1.5) = 0
el doble: 2X2
2x-3=0
2 (2.25) - 4.5 = 0
- el triple: - 3x
2x = 3
4.50 - 4.5 = 0
x=~
igual a: 0
2
0=0
x2 =
1.5
2. Un numero es igual al doble de su cuadrado, ;. cual es ese nurnero ?
3. EI doble de un nurnero es igiJal a su cuadrado, ;. Cual es ese nurnero ?
4. ;. Guill es el nurnero que la tercera parte de su cuadrado, men os el doble del nurnero sea igual a cero ?
5. ;. Guill es el numero que la cuarta parte de su cuadrado menos el doble del nurnero sea igual a cero ?
18
vfdvgfdfgv000020
CONSTRUCCI6N DE FIGURAS
FIGURAS CONGRUENTES
FIGURAS SEMEJANTES
F
C
L
~I
~
<oV 900 C"~
G",. 53°
37
H
2.5 cm
-4:. A = -4:. D
-4:. B = -4:. E
-4:. C = -4:. F
= DE
BC = EF
AB
CA=
FD
Por 10tanto:
L
ABC == L
.L.__~
£..__.-I.-
J
5 cm
K
~G=~J
~ H =~
K
Los angulos correspondientes u
~ I =~
L
homologos son iguales.
GH _2.5 - 1.1 !!I - _g_ -!1 J§ - 1.5 = .i1
2 .
1. JK - 5 - 2 . KL - 4 - 2. W - 3
DEF
Dos trlanqulos son congruentes si sus
anqulos y sus lados son iguales.
Los lados correspondientes u homotoqos
son proporcionales.
( EI simbolo de congruencia es == )
Por 10tanto: L GHI ,...,LJKL
(EI sfmbolo de semejanza es ,...,)
1. Observa, razona y analiza los lados y los anqulos de las parejas de figuras que son congruentes
semejantes, puedes usar regia, com pas y transportador.
K
M
E
~
G
I
Son figuras congruentes:
I~
R
.____N_I
<V
Q
Son figuras semejantes:
Q-
A= __
B
G
D
P
= __
= __
= __
= __
Dos figuras son semejantes
si sus anqulos son iguales y sus
lados son proporcionales.
19
vfdvgfdfgv000021
MM-
Q"'" --
F"'" __
C,..., __
R"'"
R"'"
K"'"
K"'"
C- __
__
__
0
ANALISIS DE LAS FIGURAS CONGRUENTES
Activa tu pensamiento: primero observa y analiza las siguientes figuras, y despues completa 10 que se pide:
A
B
C
o
a)
4:.A
b)
c)
E
G
H
a)
<}:
E=
4:B=
b)
<X
F=
<}:C = <}: B
c)
<}:
=
G=
d)
AB =
d)
EF=
e)
AC =
e)
EG =
f)
BC =
f)
EH =
g)
6. ABC
F
BC
g)
==
-
6.
EFH ==
Recuerda que dos trianqulos son congruentes cuando
tienen sus anqulos y sus lados iguales.
o ...--
--,E
S.,-
-.p
R
o
G
F
Se lIaman partes hornoloqas de figuras iguales las que estan dispuestas en el mismo orden.
Anota las partes homoloqas entre estas dos figuras iguales:
a) Lado PO hornoloqo del lade:
_
b) Angulo R hornoloqo del anqulo:
c) Lado SP homoloqo del lado:
_
d) Angulo P hornoloqo del anqulo: ._---'-
e) Lado SR hornoloqo del lado:
_
f) Angulo 0 hornoloqo del anqulo:
g) Lado OR hornoloqo del lado:
_
h) Angulo S hornoloqo del anqulo:
20
vfdvgfdfgv000022
_
__
_
PROPIEDADES DE CONGRUENCIA DE TRIANGULOS
Para determinar la congruencia de dos trianqulos, basta conocer tres elementos, que se definen en los
siguientes criterios:
Dos triangulos son congruentes si:
Los tres lados hornotoqos
resultan iguales
Dos anqulos homoloqos y el
lado cornun son iguales.
Dos lados homoloqos y el
angulo que forman son iguales.
C
C
C
F
G
B
A
B
F
E
E
0
= DE
BC = EF
CA = FD
~=FJ)
AB
~A=~
0
AB = DE
BC = FE
~C=~F
CRITERia LLL
~B=
CRITERia LAL
~E
CRITERia ALA
1. Determina si los trlanpulos JKL y RST de cada inciso san cangruentes. Indica el criteria carrespandiente.
L
a)
b)~L
ro~~~
<:>o~
~OOh0
y
J
c)
~
3 cm
L
20°
"<"-_-----,,.....- __
J
K
T
7 cm
-----'
K
R
K
S
~
R
S
J
S
T
21
vfdvgfdfgv000023
R
,
PROPIEDADES DE CONGRUENCIA DE TRIANGULOS
d)
E
(J
R
J
e)
7cm
J
V
l$-
o"?
R
K 3cm
L
T
cf
'60°
L
T
V
S
R
\)<
K
.q-
K
f)
L
6cm
S
S
T
2. Activa tu pensamiento, observa la figura y completa la demostraci6n de que los trianqulos AEF y BEF son
congruentes.
EF es bisectriz del anqulo AEB y AE = BE
A
B
a)
<1: AEF =
porque EF es bisectriz del
b) EI segmento
c) Adernas, AE
<9:: AEB.
es lado cornun de los trianqulos AEF
=
BE.
d) Entonces, los trianqulos AEF y BEF son congruentes
por el criterio de congruencia
22
vfdvgfdfgv000024
y BEF.
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIANGULOS
c
M
D
F
2cm
P
4cm
~L=~
a
~K=
~
P
Significa que las rectas KM y PR
A
~A
son paralelas ya que los anqulos
hornoloqos son iguales.
6. KLM
-
2.5cm
C
E
aL
P
K
D
a
6
5cm
= ~
B
D ambos anqulos son
anquloe rectos.
~~ =~~
~
=2~5
4 (2.5) = 2 (5)
10 = 10
6. paR
Dos tnanqulos son semejantes si
dos anqulos hornoloqos son
iguales
CRITERIO: AA
6.
6.
Por 10tanto:
ABC DEF
Dos trianqutos son semejantes si
un anqulo hornoloqo es
igual y los lados que 10
forman son proporcionales.
CRITERIO: LAL
A
12
~ =2
12
5
10
10
(6)(10) = (5)(12)
60=60
Por 10tanto:
Dos trianqutos
(5)(8) = (4)(10)
40=40
6. ABC
;:.
"'v
~
b)
~~
64
23
vfdvgfdfgv000025
-
6. paR
son semejantes si
sus lados hornoloqos son
proporcionales.
CRITERIO: LLL
1. Indica si las siguientes parejas de trianqulos son semejantes y explica por que.
a)
4
=8
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIANGULOS
2. Identifiea los trianqulos
semejantes
que se piden en la siguiente
figura.
Q
6. OPO -
6.
_
6. OPO -
6.
_
6.oPo
-
6.
6.oPo
-
6.
o
3. De aeuerdo con la figura formada
en cad a easo.
por triangulos
equllateros,
anota los trianqulos
semejantes
C
A
a)
6.ADI -6.
6.ADI -6.
d) 6. ADI -6.
B
E
6.BEF -
6.
h) 6.BEF -
6.
i)
6.CGH -
6.
j) 6.CGH -
6.
g)
b) 6. ADI -6.
c)
D
e)
6.BEF -
6.
k) 6.CGH -
6.
f)
6.BEF -
6.
I) 6.CGH -
6.
24
vfdvgfdfgv000026
que se piden
CRITERIOS DE SEMEJANZA DE TRIANGULOS
4. A partir de la siguiente informacion, (.,en que easos es posible dibujar trianqulos semejantes ?, (.,en cuales
no? Argumenta tu respuesta.
a) Dos de los lados de un trlanqulo miden 3 em y
5 em, y sus eorrespondientes 6 em y 10 em.
b) Tres lados de uno de los trianqulos miden 2 em,
3 em y 7 em, y sus homolog os en el otro trianqulo
miden 1 em, 1.5 em y 3.5 em.
c) Uno de los lados de un trlanqulo mide 6 em y un
anqulo 60° y en el otro trlanqulo ellado hornoloqo
mide 3 em y el anqulo mide tam bien 60°.
d) Dos de los lados de un trianqulo miden 4 em y 5 em
y el anqulo eomprendido 45° y en el otro trianqulo,
los lados eorrespondientes miden 8 em y 10 em y
el anquto eomprendido 45°.
e) Los tres anqulos de eada uno de los dos trianqulos
miden 45°, 65° Y 70° Y sus lados son
proporcionales.
f) Uno de los lados de un trianqulo mide 7 em y un
anqulo
30° y en otro trianqulo
el lade
eorrespondiente mide 14 em y el anqulo mide
tarnblen 30°.
25
vfdvgfdfgv000027
,
r
ANALISIS DE UNA RELACION DE PROPORCIONALIDAD
EI auto de Javier recorre 16 kil6metros por cada litro de gasolina. Completa la siguiente tabla que relaciona la
gasolina que consume el auto con los kil6metros que recorre.
Gasolina (Iitros)
Distancia (km)
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
16
Representa esta informaci6n por medio de la siguiente qranca:
160
144
128
E
112
«
96
e()
z
~
Cf)
0
,~~~
__
-
80
64
48
32
/'
16/
0
1
2
3
4
5
6
GASOLINA (Iitros)
7
8
9
10
1. Contesta las siguientes preguntas de acuerdo a la qranca;
a) GCuanto es una unidad de
representada en el eje horizontal?
la cantidad
g) Cuando avanzas quince unidades a 10 largo del eje
horizontal, la cantidad de kil6metros en el eje
vertical Gaumenta 0 disminuye?
b) GCuantos kil6metros representan tres unidades
en el eje horizontal?
h) GCuanto aumenta
c) GCuantos kil6metros representan cinco unidades
en el eje horizontal?
0
disminuye ?
i) Si de Mexico, al puerto de Acapulco, consume 24
litros de gasolina, i cual es la distancia de Mexico a
Acapulco?
d) G Con cuantos litros recorre sesenta y cuatro
kil6metros?
j) Si de Mexico a Reynosa consume 68 litros de
gasolina, i cual es la distancia de Mexico a
Reynosa?
e) GCuantos kil6metros representan ocho unidades
en el eje horizontal?
f) GCon cuantos litros recorre ciento setenta y seis
k)
kil6metros?
i Que significa la inclinaci6n de la linea recta que
trazaste en la qrafica ?
26
vfdvgfdfgv000028
RELACION DE VARIACION CUADRATICA
MOVIMIENTO EN LA CAiDA LIBRE DE LOS CUERPOS
(" A que altura se encontrara volando un avi6n, si una piedra que cae de el
tarda en lIegar al suelo 20 segundos ?
Para resolver este problema usamos un modelo maternatlco
aplicado a las ciencias, en este caso a la Fisica.
2
Y -- .J!L
2
a::J
~
~
-~
:..
y: distancia recorrida.
.
'.\
a: aceleraci6n de la gravedad al nivel del mar
9.81m/seg2
x: tiempo
2
2
9.81m/seg x 20
2
Y=
=
9.81x 400
2
EI avi6n se encuentra volando a
. Completa la siguiente tabla que modela este problema.
x
ax2
y=-
=
3 924
2
2. Traza la gratica de la variaci6n cuadratica,
1
2
2
Y = 9.81x 2
222
= 9.81x 4
=
3_9_.2_4
= 19.62
3
I
4
a:
II:
«
0
0
o
w
II:
5
«
o
z
6
~
(f)
0
7
8
9
962 m
1 962 m de altura .
y
2
= 1
500
480
460
440
420
400
380
360
340
320
300
280
260
240
220
200
180
160
140
120
100
80
60
40
20
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
TIEMPO (seg)
27
vfdvgfdfgv000029
10
ESCALA DE PROBABILIDAD
Allanzar un dado, (._cual es la probabilidad de salir un nurnero par?
1
P (E) =
2,4,6
1,2,3,4,
1
3
= - =2
6
,6,
1
P (E) =2
Los resultados en los casos de probabilidad son nurneros entre
ay1
Si la probabilidad es 1 se trata de un evento seguro
y si la probabilidad es 0 se habla de un evento imposible.
(._Cual es la probabilidad de obtener un nurnero mayor que 0 ? P (E) = ~
0.50 =
1
= 1
(._Cua' es la probabilidad de obtener un numero mayor que 7 ? P (E) = ~ =0
0
1. Encuentra la probabilidad
de los eventos
relacionados con ellanzamiento de una moneda.
2. Calcula la probabilidad de obtener los siguientes
eventos allanzar un dado.
a) De que salga aguila.
P (E) =
a) De caer un nurnero menor
b) De caer sol.
P (E)
=
que 6.
b) De salir un nurnero impar.
3. Obten la probabilidad de los eventos relacionados
con una urna que contiene 12 canicas azules y 8
blancas.
4. Encuentra
a) Sacar sin ver, una canica azul.
a) Extraer sin ver una ficha roja.
P (E)
=
P (E) =
b) Extraer sin ver, una ficha verde.
=
P (E) =
c) Extraer sin ver, una ficha roja, blanca, verde
c) Sacar sin ver, una canica negra.
P (E)
=
d) Sacar sin ver, una canica blanca
P (E) =
la probabilidad
de los eventos
relacionados con un caja que contiene 4 fichas
rojas, 3 blancas, 2 verdes y una azul.
b) Sacar sin ver, una canica blanca.
P (E)
P (E) =
0 azul.
P (E) =
0
d) Extraer sin ver una ficha amarilla.
azul.
P (E) =
P (E) =
5. GOual es el mayor valor que puede tener la escala
de probabilidad ?
6. GCual es el menor valor que puede tener la escala
de probabilidad ?
que un fen6meno
7. G Que significa
probabiltdad cero de ocurrir?
8. (._Y que significa que la probabilidad sea uno?
tiene
28
vfdvgfdfgv000030
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Dos 0 mas eventos son mutuamente excluyentes, si al ocurrir uno de los
eventos, excluye que ocurra el otro.
Para determinar la forma en que se puede calcular la probabilidad de
ocurrencia del evento A, del evento 8, del evento C, etc; procedemos
de la siguiente forma:
o
En una caja se tienen 4 canicas azules, 3 canicas verdes y 2 canicas
blancas. Encuentra la probabilidad de que al sacar una canica al azar:
a) Se obtenga una canica azul.
b) Se obtenga una canica verde.
c) Se obtenga una canica blanca.
a) Como 4 de las 9 canicas son azules,
la probabilidad del evento A es:
P (A)
4
= 9"
=
0.444
b) Puesto que 3 de las 9 canicas son verdes,
la probabilidad de evento 8 es:
P (8)
3
1
= 9 = 3" =
0.333
c) Y como 2 de las 9 canicas son blancas, la
probabilidad del evento C es:
P (C) = ~ = 0.222
29
vfdvgfdfgv000031
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
1. La caja contiene 2 fichas verdes, 3 fichas blancas y 1 ficha roja.
a) (. Guill es la probabilidad de que al sacar al azar
una ficha sea blanca?
b) (. Guill es la probabilidad de que al sacar al azar
una ficha sea verde?
c) (. Guill es la probabilidad de que al sacar al azar
una ficha sea roja?
d) (. Guill es la probabilidad de que al sacar al azar
una ficha sea azul?
2. Gonsidera el experimento de lanzar un dado:
a) (. Guill es la probabilidad de que salga un numero
par?
b) (. Guill es la probabilidad de que salga un nurnero
impar?
c) (. Guill es la probabilidad de que salga un nurnero
mayorque6?
d) (. Guill es la probabilidad de que salga un numero
menorque6?
3. En el juego del domin6 son 28 fichas con la cara hacia abajo:
a) (.Guill es la probabilidad de sacar la ficha (6,7) ?
b) (. Guill es la probabilidad de sacar laficha (6, 6)?
4. En un volado:
a) (. Guill es la probabilidad de obtener aquila ?
a) (. Guill es la probabilidad de obtener sol?
30
vfdvgfdfgv000032
EVENTOS INDEPENDIENTES
La noci6n de independencia en situaciones de azar tiene varios matices y su estudio es importante porque la
intuici6n suele lIevar a errores ante problemas relativamente simples. Ejemplo:
Se lanzan cinco volados consecutivos y en todos ellos ha cafdo sol.
I.- Cual es la probabilidad de que en el sexto volado tambien caiga sol?
1er. lanzamiento
P =
sol
aguila, sol
=1.
2do lanzamiento
P
=
sol
aguila, sol
= 1
3er. lanzamiento
P =
sol
aguila, sol
2
2
=
.1.
2
A menos que la moneda y las condiciones dellanzamiento sean cambiadas,
la probabilidad de obtener sol en una serie de volados siempre es de
1.
Los resultados de un lanzamiento y otro son eventos independientes, es
decir, la ocurrencia de uno y otro no afecta la ocurrencia del otro. Por 10 tanto:
6°. Lanzamiento P
=
sol
aguila, sol
1
-2
1. Galcula la probabilidad que se pide en cada evento.
a) Se lanzan siete vol ados consecutivos y en todos
ellos ha caldo aguila. I.- Gual es la probabilldad de
que en el decirno volado tarnbien caiga aguila?
b) Se ha lanzado un dado y ha caido el nurnero 5.
I.- Cual es la probabilidad de que en el siguiente
lanzamiento tam bien caiga el numero 5?
c) Se ha lanzado un dado dos veces consecutivas y
en las dos ha caido un nurnero par. I.- Cual es la
probabilidad de que en el quinto lanzamiento
tambien salga un nurnero par?
d) Se ha lanzado en varias ocasiones una moneda en
el primero, tercero, sexto y octavo lanzamiento
sali6 sol. I.- Cual sera la probabilidad de que en el
vlqesirno lanzamiento tambien caiga sol?
31
vfdvgfdfgv000033
EVENTOS INDEPENDIENTES
Se va a realizar una rifa con doscientos boletos que han sido numerados del1 al
200. Todos los boletos se han vendido. EI boleto ganador sera el primero que se
saque de una urna.
Marfa compr6 los boletos 81, 82,83 Y 84. Jose adquiri6 los boletos 30, 60, 90 Y
120. I.- Ouien tiene mas oportunidades de ganar?
Algunos estudiantes podrian pensar que Jose tiene mas posibilidades de ganar,
porque sus numeros estan mejor distribuidos entre el total; otros podrian pensar
que Maria tiene mejores posibilidades porque sus nurneros son seguidos.
4 boletos
Maria P - 200 boletos
....:....:;:c..::..;.;:=:;_
_ _1_
-50
' P
J ose
4 boletos
= 200
boletos
__ 1
- 50
En ambos casos, cada boleto; independiente del numero que represente tiene la
misma probabilidad de ser sacado.
2. Anota la robabilidad que se pide en cada evento:
a) En una urna se tienen los nurneros del 1 al
6. I.- Que nurneros tienen mayor probabilidad de
salir en primer lugar, los numeros pares 0 los
nurneros mayores que 3 ?
b) En el juego del domin6 son 28 fichas con la cara
hacia abajo. I.- Que ficha tiene mayor probabilidad
de extraerse la (2, 4), la (5, 1) 0 la (6, 0) ?
c) En una urna se tienen los primeros cien nurneros
naturales.
i Que nurneros tienen mayor
probabilidad de salir en primer lugar, los nurneros
naturales impares 0 los nurneros naturales pares?
d) En el juego del domin6 I.- que ficha tiene mayor
probabilidad de extraerse la (0, 0), (1,1), la (2, 2),
la (3,3), la (4, 4), la (5, 5), 0 la (6,6)?
32
vfdvgfdfgv000034
DISENO DE UNA ENCUESTA
En el grupo de Silvia quieren investigar:
i Que tanto nos gusta leer a los mexicanos ? y
i Que tipo 0 clase de materiales de lectura leemos ?
Alberto propone que para realizar esta investigaci6n conviene realizar tres etapas:
1. OBTENER DATOS SOBRE EL TEMA.
a) Recopilar los datos directamente , preguntando a personas
por medio de cuestionarios, entrevistas
0
0
instituciones
por media de la observaci6n.
b) Buscar datos recopilados por otras personas
0
instituciones.
c) i En d6nde buscarfas mayor informaci6n ?
2. ORGANIZAR LOS DATOS Y DESCRIBIRLOS:
Los datos se anotan en tablas:
a)
Materiales de lectura
Libros
Frecuencia
b)
i Que tanto Ie gusta leer?
Peri6dicos
43
Historietas
31
14
32
Le gusta mucho
Frecuencia relativa (%)
Revistas
Le gusta
35.8
26.7
Le gusta poco
25.8
No Ie gusta
11.7
Contesta las siguientes preguntas:
a) i A cuantas personas se entrevistaron ?
b) iCuanto suma el total de las frecuencias relativas?
c) i Cuantas personas representan el 35.8 % ?
d) i Cuantas personas representan e126.7 % ?
e) i A cuantas personas les gusta leer? (redondea a
enteros)
f) i A cuantas personas les gusta leer poco?
g) 6 A cuantas personas no les gusta leer?
h) 6 Que puedes hacer para aumentar el gusto por la
lectura?
33
vfdvgfdfgv000035
GRAFICAS CIRCULARES
LAS GRAFICAS CIRCULARES son mas adecuadas para identificar
las partes que forman un todo.
Para elaborar la griifica circular, obtenemos el factor de proporcionalidad:
0
130600~= 3.6 es el factor de proporclonalldad
1. Calculamos los anqulos para representar los diferentes porcentajes
en la grafica circular. Comptetala:
Le gusta mucho:
35.8 x 3.6
Le gusta:
26.7 x 3.6
Le gusta poco:
25.8 x 3.6
No Ie gusta:
11.7x3.6
100%
Total
129
0
2. Usando regia y transportador y con los anqulos obtenidos traza la grafica circular:
Le gusta
mucho
3. Contesta las siguientes preguntas:
a) ~ Cual es el factor de proporcionalidad
?
b) ~ Cuanto mide el anqulo para Ie gusta ?
c) ~ Cuanto mide el anqulo para Ie gusta poco?
e)
i Cual es el total en la columna de grados ?
g) i Como se obtiene el factor de proporcionalidad ?
d) i Cuanto mide el anqulo para no Ie gusta ?
f) i Que identifican las qraficas circulares ?
a) i Para que sirve el factor de proporcionalidad
34
vfdvgfdfgv000036
?
GRAFICAS DE BARRAS
La suma de las respuestas de los diferentes materiales de lectura es mayor de 100%, 10
que indica que una persona encuestada podrfa decir que lela mas de un material diferente.
Estos datos no se pueden representar en una gril.fica circular, por 10 que, hay que utilizar
una grafica de barras.
Libros
Perlodicos
Revistas
Historietas
Totales
43
32
31
14
Como la cifra mayor que hay que representar sobre el eje
vertical es de 43 %, Ie damos al50 % una altura de 5 cm. de
esta manera el factor de proporcionalidad sera:
5 cm
1
.
50% = 10 cm por cada punto de porcentaie,
120
1. Calcula la altura de las barras para
representar estos porcentajes.
1
Libras
43 x
10
Periodicos
32x
10
Revistas
31 x
1
10
Historietas
14 x
Totales
4.3cm
1
1
10
120
12 cm
Hepresentacion de la qrafica de barras:
2. De acuerdo con la altura de cada barra
obtenida en la tabla anterior completa
la siguiente qrafica,
50
40
-
19c 30
-
Q)
Q)
o
(520
I--
n,
10
I--
I
o
Libras
3. PRESENTACI6N DE INFORMACI6N
Y RESULTADOS
I
Penodicos
I
I
Revistas
I
I
Historietas
Materiales usados
EI proposito de esta etapa es presentar la informacion y los resultados, observar si las preguntas
que se formularan al principio, quedan respondidas con las qraficas y su descripcion.
(. Que tanto nos gusta leer a los mexicanos ? y
(.,Que tipo 0 clase de materiales de lectura leemos ?
35
vfdvgfdfgv000037
ACTIVACION DEL PENSAMIENTO POR MEDIO DE JUEGOS
MATEMATICOS COMO TAREAS DE APRENDIZAJE
EL LECHERO COMPLICADO
Un lechero tiene tres bates para medir la leche, uno de 8 litros, otro de 5 litros y uno mas
de3litros.
Si una persona compra 4 litros, i que procedimiento utiliza ellechero para vender los 4
litros, si solo utiliza los tres bates que tiene?
Procedimientos:
a)
8
0
0
b)
3
5
0
c)
d)
e)
f)
g)
36
vfdvgfdfgv000038
EVALUACION DEL PRIMER BLOQUE
ESCUELA:
MAESTRO
ALUMNO(A):,
___
TURNO: VESPERTINO
SECUNDARIA OFICIAL 0301 JOSÉ DÍAZ COVARRUBIAS
(A): PERFECTO TRUJILLO FLORES
GRADO: 3º
"B"
GRUPO:
CALIFICACION:
ACIERTOS:
l-
1. Si tienes un rectanqulo de area igual a
4, i cual
opci6n representa el producto de la base por la
altura?
_
__
2. En la siguiente
ecuaci6n:
Realiza la multiplicación del binomio que elijas.
A)
(x
+
2) (x - 4)
+
B) (x - 4) (x
C) (x
+
i. Cual debe ser el valor de x para que
se cumpla la igualdad ?
Resuelve la ecuación compruévala.
2)
2) (x - 2)
D) (x - 2) (x - 2)
3. Observa la siguiente
25 = 0
2
x
C)
X
D)
x1
1
1
5. Observa
2 ;
X2
=
3
B)
X1
=
6 ;
X2
=
2
C)
X1
3 ;
X2
X1
0 ;
X2
=
=
6
D)
=
=
A) b
=5
=
5;
h
X
= -5 '
X
= -5
2
C) b
= 5'
X
=5
2
D) b = 10; h =
'
'
2
el siguiente
es igual a 50 m2, y la base
zcuanto miden la base y la
= -1 0
= -5 .
'
3
?
la igualdad
Resuelve la ecuación y compruévala.
A) x = 5;
x = -5
1
B)
=
Representa la ecuación, resuélvela y compruevala.
G Cual debe ser el valor de x para que
se cumpla
X1
4. EI area de un rectanqulo
es el doble de la altura,
altura?
ecuaci6n:
l-
A)
B) b = - 10; h = - 5
= - 10;
h
= -5
5
6. Observa el siguiente cuadrado que tiene inscritas
varias figuras y responde la pregunta:
trianqulo:
I
5cm
I
~
3
G Cual de los siguientes trianqulos
A)
es semejante
?
B)
~
6 Cual de las siguientes
2~
4
afirmaciones
es incorrecta?
A) EI cuadrado grande y el cuadrado 5 son congruentes
1.5
entre si, porque sus angulos miden 90°.
D)
C)
B )EI trianqulo
2 no es congruente
con el 6, porque
sus lados no coinciden.
C )EI trianqulo 3 es congruente
porque sus lados son iguales.
6
5
4
5
D )EI trianqu'o 6 es congruente
lados miden los mismo.
37
con el trlanqulo
con el 4, porque
2,
sus
EVALUACION DEL PRIMER BLOQUE
7. EI triple de un nurnero es igual a su cuadrado,
Gcual es ese numero ?
Representa la ecuación, resuelvelá y compruávala.
8. Maribel escribi6 cuatro numeros en la tarjeta
siguiente:
+3
- 0.5
8) - 3
0.01
A)
6
5
C)
+..!_
D)
1
3
1.25
GCual de ellos es el resultado del calculo de
una probabilidad simple?
3
A) - 0.5
9. EI auto de Sergio recorre 14 kil6metros por cada
litro de gasolina, si de Mexico a San Luis Potosi
consume 30 litros de gasolina, Gcuales la distancia
aproximada de Mexico a San Luis Potosi?
8)
6
5
C) 0.01
D) 1.25
Realiza la operaciones.
A) 500 km
10. GQue altura tiene una torre si una piedra que cae
de ella tarda 4 segundos en lIegar al suelo?
gt2
8) 480 km
.
Considera:
C) 450 km
Realiza la operación.
h
= 2 '9 =
9.81 m/seg2
D) 420 km
A) 54.62 m
8) 65.20 m
11. GCual es la probabilidad frecuencial del evento
C) 78.48 m
"obtener un nurnero par" si allanzar 20 veces un
dado no marcado, se obtuvo par en 12 de ellos ?
Convierte el resultado en decimal y porcentaje.
A)
-20
D) 80.75 m
12. En una urna de 100 canicas, s610 8 son rojas.
GCual es la probabilidad de sacar una al azar que
no sea roja?
Convierte el resultado en decimal y porcentaje.
12
8)
-3
C)
-2
6
5
D) -12
8
100
A)
-
8)
-
92
100
C) -8
92
20
D) -100
92
38
BLOQUE II
COMPETENCIAS
QUE SE FAVORECEN:
•
•
•
•
Resolver problemas de manera aut6noma.
Comunicar informaci6n maternatlca .
Validar procedimientos y resultados.
Manejar tecnicas eficientemente.
APRENDIZAJES ESPERADOS:
• Explica el tipo de transformaci6n (reflexi6n, rotaci6n 0 traslaci6n) que se aplica a una
figura para obtener la figura transformada. Identifica las propiedades que se conservan.
• Resuelve problemas que implican el uso del teorema de Pitaqoras.
EJES
SENTIDO NU
Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
MANEJO DE LA INFORMACION
PATRONES Y ECUACIONES
FIGURAS Y CUERPOS
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
• Uso de ecuaciones cuadraticas
para modelar situaciones y
resolverlas usando la
factorizaci6n.
• Anaiisis de las propiedades de
la rotaci6n y de la traslaci6n de
figuras.
• Calculo de la probabilidad de
ocurrencia de dos eventos
mutuamente excluyentes y de
eventos complementarios
• Construcci6n de disefios que
combinan la simetrfa axial y
central, la rotaci6n y la
traslaci6n de figuras.
(regia de la suma).
MEDIDA
• Analisis de las relaciones entre
las areas de los cuadrados que
se construyen sobre los lados
de un trianqulo rectanqulo,
• Explicitaci6n y uso del teorema
de Pitaqoras,
Las leyes de la naturaleza son
s610 pensamientos
rnatematicos de Dios.
JOHANNES KEPPLER
39
vfdvgfdfgv000041
ECUACIONES CUADRATICAS
CUADRADO DE UN BINOMIO ( x + a )2
m.._
WlI.
Elevar un binomio al cuadrado significa multiplicarlo par si mismo, el resultado
es un trinomio lIamado trinomio cuadrado perfecto, cuyos terminos son:
B~
) t
~
'~
~
a
(x + 0)'
_
x
~
I( -~
+
~ x
a
(2x + 3y)2 = ~2
+
12xy
ax
a
x'
~
x
a
c) (-d + 3)2=
dL6d
Cuadradodel
primertermino
e) (3x - 4)2 = 9x2
g) (6 - 2h)2 = (
)
)
=
5)2
trinomios
cuadrados
- 24h + (
f) (5m2 - n)2 = 25m4
)
Eleva al cuadrado
)+4f2
9 +(
)
+(
los siguientes
+
binomios:
n)2
=
=
=
+ 8)2 =
j) (2f - 5g)2 =
=
n) (10a2 - 5b3)2 =
x3 -
-2ab + b2
h) (-7x - y)2 = 49x2 + (
I) (-10x2 + 2y3)2 =
0) ( ~
)
+(
k) (9h2 -2h)2 =
m) (-11 m3 - 3m2)2
~K\
)
h) (9t
i) (3a + 5b)2 =
~.J
Cuadradode~
segundotermino) -
- (
f) (-7m - 3)2
=
11)/ -
~
perfectos.
d) (2f2 + g)2 =(
d) (3x - 4)2
e) (6f + 2g)2 =
g) (8h - 4)2
Doble p,"ducto de
los dosterminos
+
(Cuadrado dei\(ooble productode Cuadradodel
\primer termino/\Ios dosterminos segundotermino
b) (m
=
l!:J
b) (a - b)2 = (
+ 16
2.
a) (a - 2)2
los siguientes
)
- (
+
~../
(_4X2 + 5y3)2 ~.16x4_ 40x2 y3 + 25y6 ~
) + y2
+(
r:l
+ ~
Cuadradodel Dobleproductode Cuadradodel
primertermino los dos terminos segundotermino
a) (x + y)2 = X2 + (
+
U
~
~?1
2
+a
x2+2ax
+ 9y2 ~
1. Completa
c) (x
U
2
l Y=
y2
40
vfdvgfdfgv000042
)
)
)
,
ECUACIONES CUADRATICAS
FACTORIZACION DE TRINOMIOS: ax2
i Cual es la factorizaci6n de X2 + 3x - 10 ?
Ejemplo 1
b) Se buscan dos nurneros cuya suma sea
b (+3), y como producto c (-10) .
a) Se encuentra el terrnlno cornun
calculando la raiz cuadrada de x2
ex:
+ 3x -10 =
(x
) (x
+
+
-
)
X2 + 3x - 10 = (x + 5) (x - 2)
b) Se buscan dos numeros cuya suma sea
b (-12), Y como producto c (+36).
a) Se encuentra el terrntno comun
calculando la raiz cuadrada de X2
c::-
12x - 36 =
(x
f
)
) (x
~
x2 - 12x + 36 = (x - 6) (x - 6)
-6-6=-12
(-6) (-6) = + 36
i Cual es la factorizaci6n de X2- 4m - 5
Ejemplo 3
b) Se buscan dos nurneros cuya suma sea
b (-4), y como producto c ( -5).
a) Se encuentra el terrnlno cornun
calculando la ralz cuadrada de x2
4x - 5 =
(x
) (x
f
~
)
-5+1=-4
X2 - 4x - 5 = (x - 5) (x + 1)
1. Factoriza los siguientes trinomios.
a) X2 + 7x + 10 =
b) X2 + 10x + 25 =
c) m2 + 4m - 12 =
d) h2 + 11h + 30 =
d) t2 - 12t + 36 =
f) k2 - 5k - 24 =
g) f2 + 9f - 36 =
h) d2 + 18d + 81 =
i) y2 - 3y - 28 =
j) b2 + 4b - 45 =
k) a2 + 4a + 4 =
I) x2. 13x + 42 =
m) h2 -13h + 36 =
n) t2 - 5t + 4 =
Ii) f2 - 10f + 25 =
0) k2. 7k + 10 =
p) d2 - d - 6
+5-2=+3
(+5) (-2) = - 10
i Cual es la factorizaci6n de X2- 12x + 36
Ejemplo 2
ex:-
+ bx + c
=
r) b2. 12b + 20
q) y2 - 16y + 64
=
t) X2- 12x + 27 =
=
s) a2 + 14a + 49
=
u) h2 + 12h + 27 =
41
vfdvgfdfgv000043
(-5) (+1) = - 5
ECUACIONES CUADRATICAS POR FACTORIZACION
X2
Resolver la ecuaci6n:
a) Igualamos el trinomio con cero:
+ 5x
= -6
e) Comprobaci6n:
x2 + 5x + 6 = 0
b) Se factoriza el primer miembro:
(x+3)(x
x+3=0
c) Igualamos con cero cada uno de
los dos factores:
Para x1 =-3
+2)=0
+ 5x + 6
( -3 )2 + 5 (-3) + 6
X2
x+2=0
x=0-3
x=0-2
=0
=0
9-15+6=0
15-15=0
d) Oespejamos a x en los dos
factores:
1) Resuelve y comprueba las siguientes ecuaciones:
a)
X2 -
6x + 8 = 0
b)
3x + 2 = 0
(x - 4) (x - 2) = 0
(x-2) (x-1) = 0
x1 = 4
x1 = 2
x2 = 2
x2 = 1
X2 -
6x
42_ 6(4)
16 - 24
+8
+8
=0
=0
x2
X2
f)
X2 -
+ 2x - 15 = 0
3x + 2 = 0
+2
=
0
4-6+2=0
=0
x2 + 9x = 10
-
(2)2 - 3(2)
+8=0
24 - 24
c)
Comprobaci6n:
Comprobaci6n:
d)
X2 -
6 -6
e)
XL
=0
3x -18 = 0
42
vfdvgfdfgv000044
6x
+8
=
0
,
r
ECUACIONES CUADRATICAS POR FACTORIZACION
g)
X2
=
j)
X2
m)
X2 -
=
0
h)
X2
=
24
k)
X2
+ 3x =
10x = 24
n)
-3x - 4
5x
+
x2
i)
X2 -
9x
+ 20 =
10
I)
X2 -
2x
=
+x
0)
4x - 3
=
42
43
vfdvgfdfgv000045
X2 -
3x
=
15
40
0
MODELANDO AREA Y ECUACION CUADRATICA
EI perfmetro de un rectanqulo mide 50 em. ~ Cuales son algunas de las posibles medidas
de sus lados? Registra en la tabla tales medidas.
~
.~.
'~~.
~
Reetangulo
A
B
C
0
E
F
G
H
I
~ ~'...,®
J
~~
~
I .....
'
J
Lado·a
24
Lado b
1
22
2
19
16
8
5
'e7'
14
10
12
a) ~ Cuales son las dimensiones del rectanqulo ':.I" ?
e) ~ Cuales son las dimensiones del rectanqulo "F" ?
b) ~ Cuanto mide el area del rectanqulo ':.I"
f) ~ Cuanto mide el area del rectanqulo "F"
c) Modela el area del rectanqulo ':.I" can una eeuaei6n
cuadratica.
g) Modela el area del rectanqulo "F" can una eeuaei6n
cuadratica,
x(25 - x) = 156
25x - X2
-x2
+ 25x
X2
-
25x
- 156
+
=
156
=0
156 = 0
d) Resuelve la siguiente eeuaei6n cuadratica par
faetarizaci6n.
X2 -
25x
+
156
h) Resuelve la siguiente eeuaei6n cuadratica par
faetorizaci6n.
=0
X2
44
vfdvgfdfgv000046
-
25x
+
136
=0
,
,
,
MODELANDO AREA Y ECUACION CUADRATICA
i) (.,Cuales son las dimensiones del rectanqulo "8" ?
m) (.,Cuales son las dimensiones del rectanqulo "0" ?
j) (.,Cuanto mide el area del rectanqulo "8" ?
n) (.,Cuanto mide el area del rectanqulo "0" ?
k) Modela el area del rectanqulo
ecuaci6n cuadratica,
0) Modela
i) Resuelve la siguiente
factorizaci6n.
X2 - 25x
"8"
con una
ecuaci6n cuadratica
+ 46 =
0
el area del rectanqulo
ecuaci6n cuadratica.
por
"0"
con una
p) Resuelve la siguiente ecuaci6n cuadratica por
factorizaci6n.
x2 - 25x + 100 = 0
45
vfdvgfdfgv000047
RESUELVE PROBLEMAS MODELANDO LA ECUACIDN CUADRATICA
1. Observa el rectanqulo, G cual de las siguientes
factorizaciones presenta correctamente el producto
de su base por su altura?
4. Observa el terreno de lados myel
terreno de
lados n, G cual opci6n representa el area del
terreno PQRSTU ?
p.i---_--!.!.m.:__--, U
Factoriza la ecuación
x2
A) m2 - 2mn
+X-6
B)
m2
-
C) m2
A)
(x +3) (x - 2)
B)
(x
+
D) m2
+n
Q
n
1------,
R
m
n2
+ 2mn
+ n2
n
-n
S
T
1) (x - 6)
C) (x - 3) (x
D) (x - 1) (x
+ 2)
+ 2)
5. G Cual expresi6n algebraica representa el area del
terreno de cultivo?
2. Observa la siguiente figura, de acuerdo con sus
datos, G cuanto debe medir la superficie del area
sombreada?
x
2
A)~
B)~
C)~
I
2x
2
2
Frijol
15
x
A)
I
X2 + 30
B) X2 - 225
C)
D)
1
X2 + 30x
X2 - 30x
1
+ 225
+ 225
Maiz
I--x--j
0
OJ
~
15
O)-.L
4
3. i Cual opci6n representa el area del cuadrado
6. GCual es la ecuaci6n que permite conocer cuanto
miden la base y la altura si el area del rectanqulo es
de64 m2?
EFGH?
E
+
10x
+ 25
B) X2
+
10x
+5
C)
X2
+
10x
+ 25
D)
5x2 + 10x
A)
5x2
x
T
A)
5
B)
1
C) 2X2+ 4x - 64 = 0
x2 + 4x - 64
x2 - 4x - 64
D) 2X2 - 4x - 64
x
H
G
+5
46
vfdvgfdfgv000048
=
=
=
0
0
0
T
1
x
"-------:-----!
I--x
+ 4--1
RESUELVE PROBLEMAS FACTORIZANOO LA ECUACIDN CUAoRATICA
1. Si el area de un rectanqulo es igual a x2 -7x = -10
Y la base es 3 m mayor que la altura, 6 cuanto
mid en las dimensiones del rsctanqulo ?
B) b = 7 ;
=6
h = 4
C)b=6
h=3
A) b
D) b
=9
=
4. 6 En cual de los siguientes
Pepe al realizar la ecuaci6n:
x +2 12 x + 12 =
; h
5 ; h
pasos
26
I
2(26)
II
III
IV
V
VI
= 52
= 52 +
x = 64
x = 8,
x = -8
x
+
12
x
=2
se equivoc6
12
A) II
B) III
C) IV
O)V
2. Marfa afirma que la edad de su abuelita esta dada
por la siguiente ecuaci6n:
x2
i
-
3x
= 70
5. En una granja de conejos cuentan las crias que
nacen cada semana y con los datos obtenidos
hicieron una tabla:
6 Cual de las siguientes
ecuaciones representa
la tasa de natalidad de
los conejos?
Si la edad de Maria es x,
cuantos alios tiene Marfa?
A) 10 aries
8) 11 alios
C) 12 aries
A)
X2
+
2
D) 13 alios
B)
X2
-
2
C)
2X2
+
2
D)
2X2
-
2
3. En una examen se plante61a siguiente ecuaci6n
X2 - 2x
6 Ouien encontr6
= 24
correctamente
la
raiz positiva ?
Semanas
crfas
0
2
1
4
2
10
3
20
4
34
5
52
6. Un profesor de educaci6n fisica, investig6 en un
libro de Matematicas que para saber el largo y el
ancho de una cancha de futbol, debe resolver la
siguiente ecuaci6n:
X2 - 45x = 4050
A) Jorge:
B) Teresa:
C) Sergio:
D) Margot:
=4
x = 6
x = 5
x = 7
x
Resuelve la ecuaci6n y ayudale a encontrar
dimensiones de una cancha de futbol:
A) 100 m y
B) 95 m y
C) 90 m y
D) 85 m y
47
vfdvgfdfgv000049
55 m
50
m
45 m
40 m
las
TRASLACION Y ROTACION DE FIGURAS
Los movimientos que puede tener una figura en un plano, sin que sufra deformacion,
son de dos clases: de TRASLACION y de ROTACION.
TRASLACION DE FIGURAS
Son movimientos de traslacion, si todos los puntas de la figura describen rectas paralelas iguales y del mismo
sentido.
Son..ejemplos de traslacion los deslizamientos de la escuadra
0
de la regia de T.
o
Q
B
La siguiente figura representa la traslacion del cuadrilatero ABCD hasta la posicion A'B'C'D'. A los puntos en
que coinciden las figuras se les llama puntos hornoloqos.
o
directriz del movimiento
________
~~p~~u_d_ == _9...:7_ E!!'
0'
}.'
----------------------------------------
B
B'
Son hornoloqos los puntos A y A', B Y B', C y C', 0 Y 0'.
Tarnbien son homoloqos los lados AB y A'B'; y BC Y B'C'; CD y C'D'; DA y D'A';
y analoqarnente son hornoloqos los anqulos A y A', B Y B', C Y C', 0 Y D'.
La longitud del segmento que une dos puntos hornoloqos en la traslaclon se Ie llama
AMPLITUD del movimiento.
En la traslacion todos los puntos del cuadrilatero ABCD describen trayectorias que son
segmentos iquales y paralelos entre si.
48
vfdvgfdfgv000050
TRASLACI6N DE FIGURAS
Escribe dentro del parentesis una V si el enunciado es verdadero,
0
una F si el enunciado es falso.
(
En una traslacion todos los puntos de la figura movll describen trayectorias que son
) segmentos rectiifneos iguales, paralelos entre si y paralelos a la directriz.
(
) Cualquiera de las trayectorias puede servir como directriz del movimiento.
(
)
(
En una traslacion, toda recta no paralela a la directriz se conserva paralela a su posicion
) primitiva.
(
)
Si dos figuras, EFG y E'F'G', coinciden mediante una translacion, a los puntos en que
coinciden se les llama puntos homoloqos 0 correspondientes.
Dos rectas, situadas en su mismo plano, son paralelas si pueden hacerse coincidir
mediante un movimiento de traslacion.
1. Realiza el trazo de la traslacion de acuerdo a las indicaciones y anota 10 que se pide.
A
M
----------------------------------~---------------------------_.
B
L
----------------------------------~-------~---
----------------------------------~-----------C
K
a) (..Cuando mide la amplitud de movimiento ?
b) (..Cuanto mide la directriz del movimiento?
c) Son hornoloqos los puntos:
d) Son hornoloqos los lados:
Ay
_
ABy
By---
BCy
Cy---
CAy---
e) Son hornoloqos los anqulos:
~Ay~
__
~By~
__
_
_
1) (.. Como son entre Sl las posiciones de cada par de
lados hornoloqos ?
~Cy~--
49
vfdvgfdfgv000051
ROTACION DE FIGURAS
Son movimientos de rotacion, si todos los puntos de la figura describen arcos
concentricos de igual numero de grados alrededor de un mismo centro.
Si se hace girar un segmento cualquiera OA en torno de uno de sus extremos
una vuelta completa, el segmento deterrninara en el plano un circulo.
EI segmento es el radio del circulo. EI extremo fijo es el centro del circulo. EI extremo libre del segmento
genera una circunferencia.
La figura siguiente representa la rotacion del trianqulo ABC hasta la posicion A'B'C'.
->
,~
/'/'
/
I
------180
_----....
/~
/"
....
0
........,
.........
"
,',
',C' \
180
0
I
\
B
\
\
\
,
,
I
I
I
A'
C
B'
En la rotacion de 180 los puntos hornoloqos se encuentran a igual distancia del centro 0 y alineados en
una recta que pasa por dicho centro.
0
Son hornoloqos los puntos A y A', B Y B', C Y C'.
Tarnbien son homolog os los lados AB y A'B'; BC y B'C'; CA y C'A'.
Analoqarnente son hornoloqos los anqulos A y A', By B', C Y C'.
50
vfdvgfdfgv000052
ROTACION DE FIGURAS
Escribe dentro del parentesis una V si el enunciado es verdadero,
una F si el enunciado es falso.
0
(
)
AI movimiento que se ejecuta en el plano, alrededor de un punto fijo, se Ie llama movimiento
de rotaci6n central, el puntofijo es el centro de rotaci6n.
(
)
Los puntos de la figura m6vil recorren arcos de circunferencia cuyo centro es el mismo
centro de rotaci6n.
(
)
Si un rsctanqulo realiza una rotaci6n de 360 tomando como eje uno de sus lados genera un
cilindro.
(
)
Los elementos de ambas posiciones, inicial y final, que coinciden mediante el movimiento,
se lIaman hornoloqos 0 correspondientes.
(
)
Si un trianqulo rectanqulo realiza una rotaci6n de 360 tomando como eje uno de sus
catetos, genera un cono.
(
) Dos puntos homoloqos cualesquiera estan a igual distancia del centro de rotaci6n.
(
) Si un cfrculo realiza una rotaci6n de 360 tomando como eje un diametro, genera una esfera.
0
0
0
1. Completa el trazo de la rotaci6n y contesta 10 que se te pide.
...
...
,, ......
/
/
/
/
I
I
I
I
I
I
I
,
I
I'
I
I
I
I
,,
/
I
/
I
I'
I
I'
I
I
~~ _-------_
... ...
...
,...
... ...
~-_-----_
_------_
...
;'
;'
...... ... ... ... ...
... ...
;'
;'
...
,,
,,,,..-------
.....
,
... ...
I
... ...
... ... ,,
,
\
... ,
,,
Z',
" ,\
\
\
\
,
\
\
\
\
\
\ \ y
\
\
I
\
\
,
\
o
I
I
I
I
I
\
\
\
\
,
,
\
•
,
I
I
I
XI
I
I
I
,
I
\
I
I
\
\
I
I
W/
I
\
\
I
,
I
I
I
I
I
I
.
I'
I'
F
a) iDe cuantos grados es la rotaci6n del cuadrilatero?
b) iC6mo es la distancia de los puntos hornoloqos al
centroO?
c) Son homoloqos los puntos:
Ey
Fy
_
_
d) Son hornoloqos los lados:
Gy
Hy
e) Son hornoloqos los anqulos:
_
EFy
FGy
_
_
_
GHy
HEy
_
_
f) i C6mo son entre Sl las posiciones de cad a par de
lados hornoloqos ?
<9:Gy<9: __
<9: H y <9:
51
vfdvgfdfgv000053
SIMETRIA AXIAL
La siguiente figura se ve reflejada en ellago, la imagen es sirnetrica al objeto real, respecto a la superficie del
lago.
Eje de simetrfa
Si se tienen dos figuras sirnemcas can respecto a un eje, dos puntas simetricos cualesquiera quedaran a igual
dlstancia del eje y sabre una perpendicular a el.
A
B
o
C
C'
B'
A
A'
Son simetrtcos los puntas A y A'; B Y B'; C Y C'; 0 yO'.
Tarnbien son sirnetricos los lados AB y A'B'; BC Y B'C'; CD Y C'D'; DA Y D'A'.
Analoqamente son sirnetricos los anqulos A y A'; By B'; C Y C'; 0 yO'.
En la simetrfa axial (relativo a un eje) cada uno de dos elementos (puntas,
segmentos a anqulos) sirnetricos es la reflexi6n a imagen del otro respecto a una
recta lIamada eje de simetrfa.
52
vfdvgfdfgv000054
,
SIMETRIA AXIAL
1. Ubica los puntos slrnetrlcos de A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, Y K respecto a la recta MN.
N ..~
NlI
-,
G
D
-,
I
~
N
M
E
B
~
K
•~
F
A
,
C
M ."
J
M'''
2. Traza los segmentos simetrtcos de AB, CD, EF, GH, IJ y KL, respecto a la recta PO
O~~
L
\H
P
r-.r-,
s<,
~
Y7
V'
~
r-,
J
v
/\ I V
V
VV
I
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A
~
\
....
....
j
F
\ /
r.
J
VV
./
,
V
~
Q
V
K
V
P ~r
B
" P
3. Construye las figuras simetrlcas de las figuras indicadas, respecto a la recta RS.
<,
<,
/'
R
/'
<,
r-,
/
/'
.......S
....
.....
R
53
_-:.£ .:
t
vfdvgfdfgv000055
I...
I....
S
SIMETRiA CENTRAL
Las siguientes parejas de figuras son simetrlcas can respecto a un punta. Ejemplos:
Dos puntas son simetricos can
respecto a un punta dado.
A"', ,
,,
,,
,,
-,
.
,,
Dos segmentos son sirnetrlcos can
respecto a un punta dado.
B
,....
B'
....
,
o ....
-,,,
,,
"- -,
-,
.... -,
...
.... ..--
'.
,
',0
....
... ... .....
...
-> ~
....
...
"
-,
A'
... ...
-,
Dos figuras son simetricas can respecto a un punta
B
C
o _...
A
centro de simetria
B'
Son simetricos los puntas A y A'; By B'; C Y C'; D yO'.
Tarnbien son slmetricos los lados AB y A'B'; BC Y B'C'; CD Y C'D'; DA Y D'A'.
Analoqamente son slmetricos los anqulos A y A'; By B'; C Y C'; 0 yO'.
Dos figuras son sirnetricas con respecto a un centro de simetrfa, cuando a cada
uno de los puntas de la primera Ie corresponde, en la segunda figura, otro punta
slrnetrico can respecto a dicho centro.
54
vfdvgfdfgv000056
SIMETRfA CENTRAL
1. Traza los elementos simetricos que se piden en cada caso.
a) Encuentra el punto sirnetrico del punto A con
respecto a O.
b) Ubica el centro de simetrfa de los puntos C yD.
•
•
A.
D
C
o•
c) Construye el segmento slmetrico de EF con
respecto al punto O.
E
F
d) Traza el segmento slmetrico de PO con
respecto al punto O.
o
o
o
•
•
P
e) Traza la figura sirnetrica de KLM con respecto a O.
1) Construye
la figura
respecto a O.
simetrlca
D
E
L
o•
M
K
55
vfdvgfdfgv000057
•o
de DEFG con
DOBLE SIMETRIA AXIAL DE EJES PARALELOS
{. A que equivale una doble simetria axial de ejes paralelos ?
Q
N
A"
B
B"
B'
C'
M
a) {. C6mo son los ejes de simetria?
_
b) {. C6mo son los tnanqulos ABC y A'B'C' ?
_
c) {. C6mo son los tnanqulos ABC y A"B"C" ?
A --------------------------------------
_
A"
B
B"
c -------------------------------------C"
d) La doble simetria axial de ejes paralelos equivale a:
e) En la traslaci6n todos los puntos del trianqulo ABC describen trayectorias
que son segmentos rectilineos
y
_
entre si.
56
vfdvgfdfgv000058
DOBLE SIMETRiA AXIAL DE EJES PERPENDICULARES
(.,A que equivale una doble simetrfa axial de ejes perpendiculares ?
N
A'
A
I
I
I
I
- - - - - - - - -II
I
I
I
I
I
I
I
---i---
B
B'
I
I
I
I
I
I
p
Q
B"
I
M
a) (.,C6mo son los ejes de simetria ?
_
b) (.,C6mo son los trtanqulos ABC Y A'B'C' ?
_
c) (.,C6mo son los trianqulos ABC y A"B"C" ?
C"
_
A"
--
-------_
,,
_------_
--
,,
,
.... ,
,,
,,
,
,,
,, ,\
.... ,
,,
C
\
\
\
\
\
\
\
\
".""""r-----
..........
.... ,
\
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I
B
'\
.........
......................
\
'~~\
0
",<:-,
'I
'........
\
\
I
"
" ,
\
\
\
I
I
I
\
C"
\
\
\
\
\
e) Una rotaci6n de 180 equivale a una
central.
\
A"
57
-,_
.._
..
vfdvgfdfgv000059
I
I
I
I
I
I
\
0
I
I
I
I
I
I
\
I
I
I
I
I
\
\
I
I
I
I
I
I
I
I
I
,
.... '-
\
I
\
\
\
\
\
\
\
\
\
\
d) La doble simetria de ejes perpendiculares equivale a:
\
\
\
',\
\
\
\
\
\
\
,
,,\
~
\
\
DOBLE SIMETRIA AXIAL DE EJES PARALELOS Y PERPENDICULARES
1. Realiza el trazo de la doble simetrfa axial como se indica.
a) Con ejes paralelos:
D
A
b) Con ejes perpendiculares:
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
/
I
I
I
I
I
I
p
58
vfdvgfdfgv000060
TEOREMA DE PITAGORAS
En el trianqulo rectanqulo, a los lados que forman el anqulo recto se les llama
catetos, y allado opuesto a dicho anqulo se Ie denomina hipotenusa.
En los siguientes trianqulos rectanqulos, a y b son los catetos y cia hipotenusa (es
ellado de mayor longitud).
b
hipotenusa
a
b
a
hipotenusa
a
c
4
Para serialar un anqulo recto en una figura, se utiliza, a veces, un cuadrito colocado en el vertice de ese anqulo,
como se ve en los trianqulos anteriores.
En el siguiente trianqulo rectanqulo, trazamos un cuadrado sobre la hipotenusa y un cuadrado en cada cateto.
Sin duda alguna el teorema de
Pitaqoras
es una herramienta
fundamental en el calculo qeornetrico
y para que los alumnos -la puedan
usar con soltura es necesario que
conozcan la relaci6n que existe entre
las areas de los cuadrados que se
construyen sobre los lados de un
trianqulo rectanqulo y logren un
manejo adecuado de la f6rmula que
expresa dicha relaci6n.
2
25=9+16
25 = 25
5
4
3
EI cuadrado construido sobre la hipotenusa de un trlanqulo rectanqulo es
equivalente a la suma de los cuadrados construidos sobre los catetos.
AI trianquto rectanqulo con medidas 3, 4 Y 5 se Ie conoce con el nombre de
"trianqulo claslco de Pltaqoras" y tarnbien con el nombre de "escuadra egipcia".
59
vfdvgfdfgv000061
ANALISIS DE LAS AREAS DE LOS CUADRADOS QUE SE CONSTRUYEN
SOBRE LOS LADOS DE UN.,TRIANGULO RECTANGULO
I
COMPROBACION DEL TEOREMA DE PITAGORAS
Traza en un carton, cartulina 0 alqun otro
material resistente el siguiente dibujo, recortalo
y arma en el cuadrado de la hipotenusa los
cuadrados de los catetos.
a) Traza con Ifneas punteadas las diagonales
para encontrar el centro del cuadrado.
-,
,....
b) Traza con linea continua una paralela a la
hipotenusa, que pase por el centro que
encontraste en el cuadrado .
....
,, " ....
....
" ",
""
c) Traza con Ifnea continua una perpendicular a
la hipotenusa, que pase por el centro que
encontraste en el cuadrado.
"
/.
/
d) Colorea las piezas y recortalas,
/
/
I
I
I
II
,
"-/~----___'"
I
-.
e) Arma el rompecabezas.
I
I
4
5
1
a
2
1
c
b
a
c
2
b
3
4
5
60
vfdvgfdfgv000062
3
EXPLICITACION Y USC DEL TEOREMA DE PITAGORAS
1. Aplicando el teorema de Pltaqoras, calcula la longitud de los [ados que se desconocen en los siguientes
tnanqulos rectanqulos,
b)
a)
c)
n
?~
?
24
24
32
2
b =vc
2
a =yc2
-a
- b2
2
c =Va
b =V102-62
a =Y252 - 242
C
b =y100
a =V625
c =y1
- 36
- 576
+ b2
+ 242
2
=V32
024
b=V64
a=V49
c =V16oO
b=8
a = 7
c = 40
d)
e)
f)
20
12
+ 576
?
1a~
?
g)
i)
h)
27
61
vfdvgfdfgv000063
EXPLICITACION Y
usa DEL TEOREMA
DE PITAGORAS
2. Caleula la altura y el area en los siguientes trianqulos.
a)
&5
18
b)
e)
~
12
12
18
14
h
= )252
-182
h
= y625
- 324
h
=V301
h
=
17.34 em
A
=
bh
2
A - (36)(17.34)
2
A = 624.24
2
A
= 312.12
em2
3. Eneuentra la apotema y el area en eada polfgono regular
a)
b)
e)
18
12
Ap
=
12
)202
Ap
=
)400 - 144
Ap
=
=
V256
Ap
- 122
16 m
A=
Pa
2
_ 5 (24)(16)
A2
A = (120)(16)
2
A
=
1920
2
A = 960 m2
62
vfdvgfdfgv000064
14
RESOLUCION DE PROBLEMAS APLICANDO EL TEOREMA DE PITAGORAS
b) Rosario camina 300 m hacia el norte y 300 m hacia
el oeste, y tambien lIega ala escuela.
a) Jesus camina cada mariana 500 m hacia el sur y
100 m hacia el oeste para lIegar a la escuela.
Casa
Escuela
I
I
,,
I
I
I
I
I
I
I
I
?
I
I
I
300
m
,,
I
,,
,
co
o
,,
01
o
o
3
?
"
,,
,,
,
I
o
3
Casa
I
I
I
Escuela
I
100 m
Rosario dice que aunque caminan 10 mismo, ella esta mas cerca
de la escuela. GPuede tener raz6n?
GPorque?
_
d) Sim6n se divierte con su papalote, Ga que altura se
encuentra el papalote ?
c) GCuanto mide la diagonal del siguiente rsctanqulo?
59cm
e) Observa el siguiente cono y calcula cuanto mide la
arista.
f) La Torre Mayor se encuentra en Paseo de la
Reforma de la cuidad de Mexico, de acuerdo con
la figura Gcuanto mide la altura?
122 m
63
vfdvgfdfgv000065
RESOLUCION DE PROBLEMAS APLICANDO EL TEOREMA DE PITAGORAS
g) Calcula la altura del World Trade Center ubicado
en la colonia Napoles de la ciudad de Mexico.
h) Encuentra el radio y el area del siguiente circulo
('It = 3.14) si el lado del cuadrado inscrito mide
14cm.
,
1
1
1
1
',I
- -----+----- 1
1
1
1
1
131 m
i) 6 Cuanto miden el perimetro y el area del siguiente
trianqulo, si el radio de cada circulo mide 10 cm?
j) Calcula cuanto miden el perimetro y el area del
siguiente rectanqulo, si el radio del circulo mide
10cm.
I
I
1
1
1
'6cm
----1----I'
1 '
1\
1
1
1
I
64
vfdvgfdfgv000066
,
,
'
'
CALCULO DE OCURRENCIA DE DOS EVENTOS MUTUAMENTE
EXCLUYENTES Y DE EVENTOS COMPLEMENTARIOS
Para calcular la probabilidad de ocurrencia de dos eventos mutuamente
y de un evento complementario
vamos a realizar el siguiente ejercicio:
excluyentes
o
En una urna se tienen diez bolas numeradas del1 al1 O. Las bolas 1,2,3 Y 4
son blancas, y las bolas 5,6, 7, 8, 9 Y 10 son azules, se mezclan las bolas y
se saca una sin ver
Encuentra
a) Se obtenga
b) Se obtenga
c) Se obtenga
la probabilidad
de que al sacar una bola al azar:
una bola blanca. (Evento excluyente)
una bola con numero par. (Evento excluyente)
una bola blanca 0 una bola con nurnero par. ( Evento complementario)
a) Como 4 de las 10 bolas son blancas,
la probabilidad
del evento A es:
P (A)
4
2
= 10 = 5" = 0.40
b) Puesto que 5 de las 10 bolas tienen numeros
la probabilidad
del evento B es:
P (B)
c)
=
5
10
Y como 9 de las bolas son blancas
pares,
1
= 2 = 0.50
0 tienen
nurnero par la probabilidad
del evento C es:
P (C)
4
5
9
= 10
+ 10 = 10 =
0.90
Aplicamos
la regia de la suma.
65
vfdvgfdfgv000067
EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES Y COMPLEMENTARIOS
1. Considera
a)
i Cual es la probabilidad
el evento: "Ianzar un volado"
de obtener aguila?
a)
i Cual es la probabilidad
P (A) =
P (8)
de obtener sol?
=
ror
\L~
.[(ij'
rJR:Yl :-~
c)
i Cual es la probabilidad
0
un sol?
.~ /7./
2. Considera
i Cual es la probabilidad
numero impar?
el experimento
de que salga un
a)
P (A) =
de lanzar un dado.
i Cual es la probabilidad
nurnero primo?
P (8)
i Cual es la probabilidad
P (C )
~~)}
(!NTAW
195'3
--=--
=
P (8)
a)
de obtener un aguila
de que salga un
=
de que salga un nurnero impar
0
un nurnero primo?
=
3. En el juego del domino son 28 fichas con la cara hacia abajo.
a) i Cual es la probabilidad de que salga la ficha ( 5, 4 )
a) i Cual es la probabilidad
P (A) =
P (8)
de sacar una "mula"?
=
4. Una bolsa contiene 3 canicas verdes, 5 canicas blancas y 4 canicas rojas.
a)
i Cual es la probabilidad
de sacar al azar una
a)
canica blanca?
P (A)
i Cua: es la probabilidad
de sacar al azar una
canica verde?
=
P (8)
i Cual es la probabilidad
=
de sacar al azar una canica blanca
P(C)=
66
vfdvgfdfgv000068
0
una canica verde?
ACTIVACU)N DEL PENSAMIENTO POR MEDIO DE JUEGOS
MATEMATICOS COMO TAREAS DE APRENDIZAJE
~ CUANTOS ANOS TIENE PEPITO ?
A Pepito Ie preguntaron cuantos anos tenia. Esta vez la respuesta fue compleja:
" Tomen dos veces los anos que tenere dentro de dos aries. Restenle dos veces
los anos que tenia hace dos arios y resultara exactamente los aries que tengo
ahora"
i.- Cuantos anos tiene Pepito ahora ?
Planteamiento
Resoluci6n
de la ecuaci6n
Ecuaci6n
Resultado
Edad de Pepito: x
Dentro de 2 aries: x
+2
Comprobaci6n
Dos veces: 2 (x
+ 2)
Hace dos aries: x - 2
Dos veces: 2 (x - 2)
67
vfdvgfdfgv000069
EVALUACION DEL SEGUNDO BLOQUE
ESCUELA:
___
SECUNDARIA OFICIAL 0301 "JOSÉ DIÁZ COVARRUBIAS" TURNO: VESPERTINO
MAESTRO (A):.PERFECTO TRUJILLO FLORES
_
ALUMNO(A):.
~----3° "B" N. L:______
GRUPO:
ACIERTOS:
1. ;. Cual es la soluci6n de la siguiente ecuaci6n ?
Resuelve la ecuación t2
+ 8t +
16
=0
CALIFICACION:
2. En la ecuaci6n x2 - 13x + 30 = 0, ;. cuales son los
valores de x ? Resuelve la ecuación
= -10; x2 =
B) x, = 10; x2 =
A)
A) - 4
B)
+
4
C) - 8
D)
+
8
3. Observa la siguiente figura:
X1
C)
x,
= -15;
D)
X1
=
-3
3
x2 =
2
=
3
15; x2
4. Observa la siguiente figura:
/1X+1
Calcual el área del triángulo
2x
+
1
2x + 5
Calcula el área del rectángulo
Si queremos encontrar el valor de x en la figura, ;'cual
de las siguientes ecuaciones debemos resolver?
Método horizontal
A)
B)
4X2 + 12x - 10
4x2 + 12x + 5
C) 4X2 + 12x + 10
D)
4x2+ 12x-5
=
1--4x
Si queremos calcular nurnericarnente el area
total del trianqulo rectanqulo, ;. cual de las
siguientes ecuaciones debemos de resolver?
Método vertical
+ 8x
+ 4x
4X2 + 4x
4x2 + 4x
A) 8x2
B) 8x2
0
=0
=0
=0
C)
D)
5. Si tienes un rectanqulo de area igual a:
+ 2--1
+2 =0
+2=0
+1=0
+2=0
6. Observa el siguiente paralelogramo:
T
1
-3x2
1---_-----1
I-- 2X2 + 5x - 3 --1
calcula el área del rectángulo
(.,En cual opci6n se expresa su area?
Factoriza el área del rectángulo
(., Cual de las siguientes
factorizaciones
nos
representa el producto de la base por la altura de ese
rectanqulo ? Realiza operaciones
A) (x
+
4) (x - 3)
B) (x - 4) (x
+
3)
C) (x + 6) (x - 2)
D) (x
- 6) (x
+
A) - 6x4 - 15x3
+ 9x2
B) - 6x4 - 15x2
+9
C) - X4 + 2x3
6x2
-
D) - X4 - 2X2 - 6
2)
68
vfdvgfdfgv000070
Realiza la multiplicación
EVALUACION DEL SEGUNDO BLOQUE
8. Observa
el siguiente
SIMETRÍA
AXIAL trapecio is6sceles:
7. En un trianqulo rectanqulo un cateto mide 9 u, el
TRASLACIÓN
otro cateto 40 u, (.,Cuanto mide la hipotenusa?
Realiza operación
1~!rom 7
~
o
c:
A) 39
f-- 20 m---l
A)
Con base en sus datos; GCual es la
longitud de la distancia x ?
Realiza la operación
8 m
8)
10 m
C)
12 m
u
8) 40 u
9u
C) 41 u
0) 50 u
0) 144
10. Si se lanzan dos dados, uno blanco y otro rojo, y
se suman los puntos que aparezcan, (., de
cuantas formas diferentes pueden aparecer los
puntos de los dados ?
9. Observa
la siguiente figura de una escalera
SIMETRÍA
CENTRAL
apoyada sobre un muro:
Ts'
5I~
A
Representa el espacio Muestral
7m~
8
A) 8
De acuerdo con sus lados, Gcual es la distancia
en el piso del punto A al 8? Realiza la operación
8) 12
C) 18
m
8) 7.20 m
A) 4.89
C)
0)36
8.60 m
D) 12.00
m
11. Todas las mananas Chelo vende tamales verdes,
rojos, de rajas y de dulce; si estos los puede
vender en torta 0 solos, Gcual es la probabilidad
de que un cliente Ie pida, a Chelo una torta de
tamal verde?
Expresa la probabilidad en:
a) Fracción
b) Decimal
A) 1
c) Porcdentaje
'4
8)
C)
m
12. Nancy tiene en una cajita varios carretes de hilo
del mismo tarnario, entre los cuales hay 8 rojas,
5 verdes y 7 azules. Si ella saca un carrete sin ver,
zcua: es la probabilidad de que este sea rojo 0
azul?
Expresa la probabilidad en:
a) Fracción
b) Decimal
Porcdentaje
c)
7
A)
50
1
'5
8)
13
20
1
C)
1
60
0)
'4
6
1
D) "'8
3
69
vfdvgfdfgv000071
BLOQUE III
COMPETENCIAS
QUE SE FAVORECEN:
•
•
•
•
Resolver problemas de manera aut6noma.
Comunicar informaci6n rnaternatlca.
Validar procedimientos y resultados.
Manejar tecnicas eficientemente.
APRENDIZAJES ESPERADOS:
• Resuelve problemas que implican el uso de ecuaciones de segundo grado.
• Resuelve problemas de congruencia y semejanza que implican utilizar estas
propiedades en trlanqulos 0 en cualquier figura.
EJES
SENTI DO NUM RICO
Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
MANEJO DE LA INFORMACION
PATRONES Y ECUACIONES
FIGURAS Y CUERPOS
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
• Resoluci6n de problemas que
implican el uso de ecuaciones
cuadraticas, Aplicaci6n de la
f6rmula general para resolver
dichas ecuaciones.
• Aplicaci6n de los criterios de
congruencia y semejanza de
trianqulos en la resoluci6n de
problemas.
• Resoluci6n de problemas
qeornetrlcos mediante el
teorema de Tales.
• Aplicaci6n de la semejanza en
la construcci6n de figuras
hornoteticas.
• Lectura y construcci6n de
graficas de funciones
cuacratlcas para modelar
diversas situaciones 0
fen6menos.
• Lectura y construcci6n de
qraflcas formadas por secciones
rectas y curvas que modelan
situaciones de movimiento,
lIenado de recipientes, etcetera.
NOCIONES DE PROBABILIDAD.
• Calculo de la probabilidad de
ocurrencia de dos eventos
independientes (regia del
producto).
En 1907 formul6 su celebre
ecuaci6n:
Energia igual amasa (m)
por la velocidad de la
2
luz al cuadrado (c ).
ALBERT EINSTEIN
70
vfdvgfdfgv000072
DEDUCCI6N DE LA F6RMULA GENERAL
Para obtener la f6rmula general de las
ecuaciones de segundo grado,
partimos de la forma general de la
ecuaci6n completa de segundo grado:
ai + bx + c = 0
2
a) Oespejar x en la ecuaci6n:
b) Se traspone
el terrnino
ax
ax
2
2
ax
+
c al segundo
+ bx
+ bx
bx
+c
=0
miembro:
0 -C
= -c
=
c) Multiplicamos
por 4a ambos miembros, para obtener los dos primeros
terrninos del trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro:
2
4a ( ax + bx) = 4a (- c)
2 2
4a x
+
= - 4ac
4abx
2
d) Sumamos b en ambos miembros
perfecto en el primer miembro:
4a
2 2
x
e) Factorizamos
+ 4abx + b2 =
el trinomio
(2ax
+
para obtener
el trinomio
cuadrado
2
b - 4ac
cuadrado
perfecto:
2
b)2 = b - 4ac
f) Sacamos raiz cuadrada en ambos miembros:
+ b)2 = ±
y(2ax
2ax
g) Trasponemos
b al segundo
el terrnino
2ax
h) Se traslada
=±
+b
2
Vb
- 4ac
2
Vb
- 4ac
= - b ± yb2
= - b ± Vb2
de la
- 4ac
el factor 2a al segundo
x
miembro
miembro
como divisor.
- 4ac
2a
i) Obtenemos
(
la f6rmula
general:
x = - b ± )~
Con la f6rmula general se obtienen
signo ± de la rafz cuadrada.
[x, = - b + V2~2 - 4ac
J
- 4ac
las dos raices, al considerar
J (X2 = - b - ~~
71
vfdvgfdfgv000073
- 4ac
J
el doble
APLICACI6N DE LA F6RMULA GENERAL
R~solver la ecuaci6n: 5x2
-
9x = - 4
a) Se traspone el terrnino - 4 al primer miembro:
5x2 - 9x + 4 = 0
b) Se anotan los valores de a, b y c: a
c) Se anota la f6rmula general. x
=5
b
= - b ± ~~2
= -9
-
c
=4
4ac
d) Se sustituyen en la f6rmula a, b y c por sus respectivos valores:
x=
x
=
- (- 9)
±J
(-9
2
) -
Comprobaci6n:
4 (5)(4)
5x2
2 (5)
91)81
- 80
=
10
9
911
10
10
5 ( .!§) - 36
e) Se obtienen las dos raices:
10
9 -1 - ]_
10-10-5
1
-±
Aplica la f6rmula general en las siguientes ecuaciones:
a)
2X2 -
7x + 3 = 0
b)
= -4
25 5
80 _ 36 = _ 4
25 5
.1§ _ 36 - _4
x1 =--:w- = 10 =
x 2--
9x = - 4
424
5 (5) - 9 (5) = - 4
±rr- =
9+ 1
-
2i - 9x + 4 = 0
72
vfdvgfdfgv000074
5
5-
_ 20
5
-4
= _4
= -4
APLICACI6N DE LA F6RMULA GENERAL
c)
4i -20x = - 24
e)
3x - 4x
d)
2
3x - 5x - 2 = 0
2
=-1
f) 4x
2
= -4
h)
g) 5x - 9x
2
2X2
= 9x
-2
+X=
73
vfdvgfdfgv000075
55
APLICACION DE LA FORMULA GENERAL
'I)
k)
m)
3x 2 - 8x
=3
4i -10x = 6
8x2
=
X
+7
j)
7i -3x = 4
I)
5i = 3x + 14
n)
3x2 = 1Ox
74
vfdvgfdfgv000076
+ 25
el area mide 42 m2
La base de un
Planteamiento
a=1
b = 8
x+8
c
x=
= - 84
Datos:
=
A
= 42
x=
bh
2
m
x=
A
=
bh
2
42 = (x
x=
+
+ ./2
Vb
2a
± vi (8)2 - 4 (1)
- (8)
-8
±
(- 84)
Base
=
-8±v4oQ
= x+ 8= 6+8=
Altura =
2
x
=
14 m
6m
Comprobaci6n
20
A=
2
8) (x)
la altura?
AI hablar de las medidas de un
trianqulo usamos cantidades
positivas por 10 que para resolver
este problema solo usaremos la
solucion positiva.
- 4ac
2 (1)
- 8 :f-vl64 + 336
2
2
b=x+8
h=x
-b
miden la base
Resultados
Resoluci6n de la ecuaci6n
2
x + 8x - 84 = 0
~
A
(., Cuanto
14
x6
2
-
- 84
2
= 42
2
2
84 = x + 8x
x + 8x = 84
+ 8x - 84 = 0
2
2
x
x2 =
- 8 - 20
Resuelve
2
=
- 28
2
= -14
los s
(.,Cuanto miden la base
._ancho
altura
y la altura?
0
x
largo 0 base"
x+8
b) La base de un trianqulo
altura?
es 6 m menor que la altura, el area mide 36
x-6
75
vfdvgfdfgv000077
(.,Cuanto miden la base y la
RESOLUCION DE PROBLEMAS APLICANDO ECUACIONES CUADRATICAS
c) Encontrar dos nurneros consecutivos, cuyo producto sea igual a 132. (Obssrvaclon: el consecutivo de
x es x + 1.)
d) Un nurnero, mas el cuadrado del mismo numero es igual a 182 i Cual es dicho nurnero ?
e) La suma de dos numeros consecutivos, cada uno elevado al cuadrado es igual a 85.
nurneros ?
i Cuales son esos
f) Hugo es tres anos mayor que Luis y la suma de los cuadrados de ambas edades es igual a 117. i Que edad
tiene cada uno?
76
vfdvgfdfgv000078
RESOLUCION DE PROBLEMAS APLICANDO ECUACIONES CUADRATICAS
g) EI area de un cfrculo mide 78.5 cm2, si consideramos
que
n = 3.14 (..Cual es la longitud
del radio?
A =1t ~
h) EI area de un trapecio mide 160 m", La base menor es dos metros mayor que la altura y ocho metros menor
que la base mayor. Calcular las dimensiones del trapecio.
i) (.. A que altura se encuentra volando un avi6n sobre la ciudad de Mexico, si una piedra que cae de el tarda en
lIegar al suelo 20 seg ?
Datos:
F6rmula:
Desarrollo:
Resultado:
2
gt
h=
h=y
m/seg2
9
= 9.78
t
= 20 seg
j) En un trianqulo rectanqulo el cateto mayor (a) excede en tres metros al cateto menor (b) y es tres metros
menor que la hiootenusa (c). Calcular sus dimensiones, si de acuerdo al teorema de Pitaqoras, sabemos
que a" + b2 = c~.
B
a
c
A
b
r
C
77
vfdvgfdfgv000079
DISCRIMINANTE DE LA ECUACION CUADRATICA
La expresion b2 - 4ac de la formula general de las ecuaciones de segundo
grado, se llama discriminante de la scuacion.
Si se exam ina el discriminante es posible determinar si la ecuacion tiene dos
soluciones, una solucion 0 carece de soluciones.
Ejemplo:
.---------------------------------------------------~
l + 2x - 8 = 0 Como a = 1, b = 2, c = - 8, el discriminante es:
b2 - 4ac = (2)2 - 4 (1)(-8) = 4
+ 32
=V36
Si el discriminante es positivo, hay dos soluciones para la ecuacion,
ya que todo nurnero positivo tiene dos ralces cuadradas.
i -6x + 9 =
0
Como a = 1, b = - 6, c = 9, el discriminante es:
2
b - 4ac = (- 6)2 - 4 (1)(9) = 36 - 36 =
va-
Si el discriminante es cero, la ecuacion tiene una solucion ya que
cero solo tiene una raiz cuadrada.
x2 - 2x + 2 = 0 Como a = 1, b = - 2, c = 2, el discriminante es:
b2 - 4ac = (- 2) 2 - 4 (1)(2) = 4 - 8 = .IA
v -4
Si el discriminante es negativo la ecuacion no tiene solucion ya
que un nurnero negativo no tiene raiz cuadrada.
1. Calcula el discriminante y determina el nurnero de soluciones de cada ecuacion.
a) EI discriminante de la ecuacion
x2 + X
6
-
b) EI discriminante de la ecuacion
2
=0
x -x+2=O
V25.
v:7
es igual a
por 10 que se
desprende que la ecuacion:
es igual a
por 10 que se
deduce que la ecuacion:
A) No tiene soluclon
A) No tiene solucion
8) Tiene una solucion
8) Tiene una solucion
C) Tiene mas de dos soluciones
C) Tiene mas de dos soluciones
D) Tiene dos soluciones
D) Tiene dos soluciones
c) EI discriminante de la ecuacion
A) No tiene solucion
2
x
+ 4x + 4
=0
8) Tiene una solucion
C) Tiene dos soluciones
es igual a vo.-por 10 que se
comprende que la scuacion:
D) Tiene mas de dos soluciones
78
vfdvgfdfgv000080
TEOREMA DE TALES DE MILETO
Con una regia mide los segmentos
determinados
por las paralelas y
comprueba las razones:
S·,. AB
. BC
=~
2
A' B'
3
B' C'
2
y--=Entonces:
RB'
B'C'
EI teorema de Tales afirma: que todo sistema
de paralelas divide ados transversales en
segmentos proporcionales.
1. Aplica el teorema de Tales y encuentra las medidas
2. Observa la figura y contesta las preguntas.
que se piden.
=
=
a)
E
AB
8
BC
8
BO = 16
EF
6
FG =_
=
F
FH
=
G
a) Si el segmento OP mide 9 unidades,
OS 12 unidades y 00 24 unidades,
el segmento OR ?
H
AE IIBF
AE IICG
el segmento
i cuanto mide
AE IloH
b)
=
b) Si en la figura anterior OR
36 unidades, 00 = 27
unidades y OS = 12 unidades, i cuanto mide OP?
lJ =
JK
= 15
LM
=
12
MN = 18
79
vfdvgfdfgv000081
TODA RECTA PARALELA A UNO DE LOS LADOS DEL TRIANGULO
FORMA OTRO TRIANGULO SEMEJANTE AL PRIMERO
1. Apliea el teorema de Tales en los trianqulos
semejantes ealeulando el valor de x.
a)
C
BC = 42
BE = 12
BD = 10
AB = x
2. EI siguiente trianqulo es equilatero, la longitud de
su lado es 24, y los trianqulos ABC y DBE estan a
eseala3 a 1.
ABIIFE
.6.. ABC"'" .6.. FEC
B
A
a) ~ Cuanto mide el perfmetro del trianqulo DBE ?
NP = 26
NO
=
24
LN = 30
MN =
b) ~ Cual es la longitud del segmento EC?
x
M
LM
.6.. MNL
e) ~ Cuanto mide el perfmetro del trapeeio ACED?
Ilop
,...,.6.. PNO
c)
STlixy
.6.. RST ,...,.6.. RXY
R
RS = 40
d) ~ Cual es la longitud del perfmetro del cuadrilatero
ADEF?
XY = 13
RX
=
16
ST
=
x
e) ~ Cuantos grados mide el anqulo CAB?
S~-------l
f) ~ Cuantos grados mide el anqulo AFE ?
80
vfdvgfdfgv000082
APLICACION DEL TEOREMA DE TALES DE MILETO
Como el teorema de Tales se aplica en la partici6n de un segmento en n partes iguales, esto nos ayuda a la
construcci6n de algunos poligonos regulares.
Ejemplo:
.M
... ....... a) Se traza un circulo 0, su diametro y
un rayo auxiliar AC.
"
....
.......
...
"-
,,
,
\
b) Partiendo de A, y con una abertura del
cornpas, se trazan 7 marcas consecutivas
C\
\
\
\
\
\
c) Se une el punto C con el punto B por medio
de un segmento.
d) Se traza por cada una de las marcas en AC
rectas paralelas a BC de modo que corten a
AB.
e) Con el cornpas se toma la medida del diarnetro
y apoyandote en sus extremos, traza dos arcos
que se corten en la parte superior (M).
f) Se une el punto M con la segunda marca de
divisi6n del diarnetro y se prolonga hasta
cortar la circunferencia en N.
g) EI segmento AN es ellado del heptaqono
regular y con esta medida dividimos la
circunferencia en siete partes iguales.
h) Se unen los siete cortes y se obtiene el
heptaqono regular aproximadamente.
81
vfdvgfdfgv000083
APLICACION DEL TEOREMA DE TALES DE MILETO
1. Aplicando el teorema de Tales, realiza el trazo de los siguientes poligonos.
a) Un pentaqono regular.
c
b) Un hexaqono regular.
c
82
vfdvgfdfgv000084
CONSTRUCCION D'E FIGURAS HOMOTETICAS
Dos poligonos son semejantes cuando:
• Sus anqulos respectivos son iguales y
• Sus lados correspondientes son proporcionales.
A
Los polfgonos:
ABCDE y A'B'C'D'E'
son semejantes.
A'
B
\
E B'
E'
C
A la transformaci6n de dos figuras semejantes
en un plano se Ie llama homotecia. Ejemplos:
D
Se trazan paralelas a:
DEli
AB
EF IIBC
FD IICA
,,
,,
,,
,
,,
,,
"
Los anqulos correspondientes
son congruentes:
,
F
----; ,
----
--- --- ---
/
/
" ':)(--all
C
/
/,
/
/
/
Entonces
DEF es semejante al
en la raz6n 1:3
Centro de
'.tlOmotecia
,
-4: FOE ~ -4: CAB
-4: DEF;; -4: ABC
-4: EFD:; -4: BCA
6.
A
,,
/
/B
6. ABC
/
/
/
/
/
/
/
/
/
En la figura la distancia OA es la tercera parte de 00, la distancia
DC es la tercera parte de OF y la distancia DB tam bien es la tercera
parte de DE.
/
/
E
A
B'
Si el centro de homotecia esta situado
entre las dos figuras hornotencas, la
raz6n de homotecia es negativa.
En el ejemplo los cuadrilateros
ABCD y A'B'C'D' son hornoteticos
y la raz6n de homotecia es 1 a -2.
A'
B
83
vfdvgfdfgv000085
CONSTRUCCION DE FIGURAS HOMOTETICAS
1. Indica cuales polfgonos en las siguientes parejas
son homotetlcos: explica tu respuesta.
a)
3. Encuentra el centro de homotecia de cada pareja
de poligonos.
b)
a)
DD DO
b)
d)
D
D
2. Seriala si la raz6n de homotecia de cada pareja de
poligonos es positiva 0 negativa.
a)
b)
c)
d)
r-------------------------------~
c)
d)
84
\,--
.
-
vfdvgfdfgv000086
CONSTRUCCION DE FIGURAS HOMOTETICAS
La homotecia es una transformaci6n qeornetrlca que nos ayuda a
trazar figuras semejantes y tam bien simetricas. Ejemplos:
Observa c6mo se aplica una homotecia al trianqulo ABC.
A
O.
C
B
Marcamos un punto 0 cualquiera, despues unimos A, B Y C con el
punto 0 y relacionamos las distancias OA, OB y OC con la unidad,
podremos marcar sobre las lineas formadas puntos A', B' Y C'. por
ejemplo a 3 unidades de distancia.
A
E
o
C'
1. De acuerdo con la homotecia realizada anota 10 que se te pide.
a) ;_,Cuanto mide ellado AB del trianqulo ABC?
c) Com para el lado AB con el lado A'B'. ;_,Cuantas
veces es mayor el A'B' ?
e) ;_,Se puede aplicar una homotecia a cualquier
poligono?
g) EI .0. A'B'C' esta en escala
0
del.0. ABC.
b) ;_,Cuanto mide ellado A'S' del trianqulo A'B'C' ?
d) ;_,C6mo son entre si los lados AB y A'B' ?
~ EI .0.ABC esta en escala
D
del .0. A'B'C'.
h) ;_,C6mo puedes aplicar la homotecia para formar
figuras a escala ?
85
vfdvgfdfgv000087
CONSTRUCCION DE FIGURAS HOMOTETICAS
Observa la siguiente transformaclon en la que se apllca la homotecia:
1. De acuerdo con la figura contesta las siguientes preguntas:
a) ;_ A que escala esta la estrella 1 respecto a la
estrella 2 ?
b);_ A que escala esta la estrella 2 respecto a la
estrella 1 ?
c) ;_ Cual es la estrella que quedo girada 180
respecto a la estrella 1 ?
d) ;. Cual es la estrella que quedo girada 180
respecto a la estrella 2 ?
e) ;. Como son la estrella 1 y la estrella 3?
f) ;. Como son la estrella 1 y la estrella 4 ?
g) ;. Como son la estrella 2 y la estrella 4 ?
h) ;. Cuantos grados giro la estrella
transformarse en la estrella 4 ?
0
i) ;. Cuantos grados giro la estrella
transformarse en la estrella 3 ?
1 para
0
2 para
j) ;_Que clase de simetria existe entre la estrella 1 y la
estrella3?
86
vfdvgfdfgv000088
RESOLUCION DE PROBLEMAS APLICANDO LA SEMEJANZA DE TRIANGULOS
En la vida cotidiana se presentan situaciones en las que es necesario calcular alguna distancia sin medir
directamente. A veces se puede calcular esta distancia aplicando la semejanza de trianqulos. Ejemplo:
Calcular la altura de la Torre PEMEX, si a cierta hora de la tarde proyecta una sombra de 42 m.
Se sabe que a esa misma hora una poste que mide 8 m de altura proyecta una sombra de 1.5 m.
Datos:
AC
~
Planteamiento:
II DE
8
ABC ..........
~DBE
x
1.5 = 42
1.5x = 336
x - 336
- 1.5
x = 224
Operaciones:
224
1.513360
36
60
00
1. Calcula la longitud de "x" en las siguientes figuras:
a)
b)
vfdvgfdfgv000089
Resultado:
224m
Aproximadamente
APLICACION DE LA SEMEJANZA DE TRIANGULOS
2. Determina la altura del arbol si proyecta una sombra de 28 m en el momenta que un poste de 7.5 m de altura
proyecta una sombra de 8.4 m.
3. De acuerdo con la figura encuentra el ancho del rio.
==::20.5 ni
T
16.4 m
1
4. Calcular laaltura de la TORRE SEARS (E.U.A. 1974), si proyectauna sombrade41.54
un poste de 8 m de altura proyecta una sombra de 0.75 m.
5. De acuerdo con la siguiente figura, calcula la distancia de la casa a la escuela.
88
vfdvgfdfgv000090
m en el momento que
APLICACION DE LA SEMEJANZA DE TRIANGULOS
6. Encontrar la altura de las TORRES PETRONAS (kuala Lampur, Malasia, 1998), si proyecta una sombra de
52.4 m. Se sabe que esa misma hora un poste que mide 8.6 m proyecta una sombra de 0.99 m.
7. Con la informaci6n presentada en la siguiente figura, calcula el ancho de la grieta.
8. Obtener la altura del CENTRO FINANCIERO DE SHANGAI, (China, 2002), si proyecta una sombra de 60 m,
Se sabe que a esa misma hora un poste que mide 8 m proyecta una sombra de 1.04 m.
9. Tomando como informaci6n la siguiente figura, calcula la longitud MN del LAGO DE CHAPALA que se
encuentra en el Estado de Jalisco.
89
vfdvgfdfgv000091
GRAFICAS DE FUNCIONES CUADRATICAS
Para representar la grafica de la ecuaci6n x2
procedemos de la siguiente manera:
-
x - 2 = 0
Primero tabulamos, despues ubicamos los puntos en el plano
cartesiano y luego unimos los puntos. Ejemplo:
a) tabulaci6n
x
y
-3
-2
10
4
0
-2
-2
0
4
10
-1
0
1
2
3
4
Puntas
A (-3, 10)
B (-2, 4)
C(-1,0)
D ( 0,2 )
E ( 1, -2 )
F ( 2,0 )
G ( 3, 4)
H ( 4, 10)
y =
2
Y = ( -3 )2 - ( - 3 ) - 2 = 9 + 3 - 2 = 10
Y = ( -2 )2 - ( - 2 ) - 2 = 4 + 2 - 2 = 4
Y = ( -1 )2 - ( - 1 ) - 2 = 1 + 1 - 2 = 0
y = (0 )2 - ( 0 ) - 2 = 0 + 0 - 2 = -2
Y = (1 )2 - ( 1 ) - 2 = 1 - 1 - 2 = -2
Y = (2 )2 - ( 2 ) - 2 = 4 - 2 - 2 = 0
y = (3 )2 - ( 3 ) - 2 = 9 - 3 - 2 = 4
X2 - X -
Y = ( 4 )2 - ( 4 ) - 2 = 16 - 4 - 2 = 10
b) Ubicamos los puntos en el plano
cartesiano:
c) Trazamos la qraflca:
.
..
1.1
.. A.,' .. ~.. ; ......
~.. ~ : ,' H.
I
t
M"
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I
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.....:....+.......i ..·:··-r-·
:
:D
:E:
Para determinar las raices de una ecuaci6n cuadratica, se observa
en la qrafica el valor de x en los puntas donde la curva (parabola)
es cortada por el eje de las abscisas:
C(-1,0)
F(2,0)
90
vfdvgfdfgv000092
GRAFICAS DE FUNCIONES CUADRATICAS
Resuelve qraftcarnente las siguientes ecuaciones cuadraticas,
a)
x2 - 11 x + 28
=0
Y
Tabulaci6n
I
",
I
~..
x
2
3
4
Y
Puntos
A (
)
B(
)
C(
)
5
0(
)
6
7
8
9
E(
F(
G(
H(
)
)
)
)
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I
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b)
X2
+8x +
15 =
y
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Rafces
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x1 = --------
-------
a
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)
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-2
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Puntos
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)
B(
)
C(
)
G(
I
y
-4
-1
I
I
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Tabulaci6n
x
-7
-6
-5
I
1
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..
I
I
I
x2 =
--------
I
..
x
x
GRAFICAS DE FUNCIONES CUADRATICAS
2. Ana al resolver la ecuaci6n de segundo grado
= X2 - 6x + 8 encontr6 que tiene dos soluciones
x., = 2 Y x2 = 4, entonces la grafic6. 6Cual de las
siguientes graficas corresponde a la que hizo Ana?
o
y
A)
4. Marfa al resolver la ecuaci6n de segundo grado
x2 - x + 2 = 0, encontr6 que no tiene soluci6n.
GCual de las siguientes qraficas corresponde a la
ecuaci6n que resolvi6 Marfa?
y
x
B)
y
B) -1++++-+++++-+4 ...
A)
x
X
X
y
C)
x
0)
C)
x
3. Jose al resolver la ecuaci6n de segundo grado
x2 - 6x + 9 = 0 observ6 que tiene s610 una soluci6n,
entonces la grafic6. GCual de las siguientes
graficas corresponde a la que hizo Jose?
A)
x
B)
C)
x
0)
0)
y
x
y
B) -++-++'''I-t-1I-7H-++-r.
A)
X
X
y
y
x
x
o
y
y
X
5. Pedro al resolver la ecuaci6n de segundo grado
= 2X2 - 2x - 4, encontr6 que tiene dos soluciones
X1, = 2 Y x2 = -1, entonces la grafic6. 6Cual de las
siguientes graficas corresponde a la que hizo Pedro?
y
y
y
C)
0)
X
92
vfdvgfdfgv000094
X
GRAFICA DE FASES DEL BIOXIDO DE CARBONO (C02)
P
Una sustancia dada se puede presentar en los estados solido,
liquido 0 gaseoso, dependiendo de su temperatura y de la
presion que se ejerza sobre ella.
M
0)
0
N
A
----
...D
I
Consideremos una sustancia con una presion y una temperatura
correspondiente al punto A, esta sustancia se encuentra en
estado solido.
En el punto B la sustancia se encuentra en estado liquido. EI
primer proceso corresponde a un desplazamiento a 10 largo de
BC, y el segundo, a 10 largo de BD. En ambos casos, la
vaporizacion se produce en el momento del cruce de estas lineas
con la curva TN.
0
t
1. Contesta las preguntas de acuerdo a la siguiente grafica, que muestra las fases del CO2 (Bioxido de
carbono).
a) Si el CO2 estuviera sometido a una presion de
50 atm (atmosteras) ya una temperatura de -80 C,
t. en que fase se encuentra ?
0
(EI qrafico no esta trazado a escala uniforme)
p
(atm)
73
b) Cierta masa de CO2 en las mismas condiciones de
temperatura y de presion que tu salon de clases
(aproximadamente 1 atm y 20 C), i en que fase
0
56
. se hatlera?
5.2
v
-57
20
31
WC)
c) En untanquesetiene C02liquido a una presion de
56 atm. AI calentarlo y manteniendo constante la
presion que se ejerce sobre el, "a que temperatura
ernpezara a vaporizarse el CO 2 ?
d) i A que presion y temperatura debemos someter el
CO2 para que sea posible
encontrarlo,
simultaneamente en las tres fases?
93
vfdvgfdfgv000095
LLENANDO LA CISTERNA
EI nurnsro de litros de agua que van lIenado una pequena
la siguiente tabla:
Minutos
1. Completa
la tabla:
cisterna conforme
Litros de aqua
1
4
2
9
3
16
pasan los minutos, se observa en
;,. Cual es la ecuaci6n que representa el numero
de litros en el lIenado de la cisterna de acuerdo
a los minutos ?
4
A)
x2 +
4x
+
4
5
B)
X2
+
3x
+
3
6
C) x2
+
+
2x
+
+
2
7
D) x2
8
2x
1
9
10
2. Traza la grafica:
125
120
3. i Que clase de curva representa
115
110
105
100
95
90
85
C1S
:::J
en
«
CI)
80
75
70
"tI
65
0
60
...
0
::::i
55
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
1 2 3 4
5
6 7 8
9 10
Minutos
94
vfdvgfdfgv000096
la grafica
?
CALCULO DE LA PROBABILIDAD DE OCURRENCIA DE
DOS EVENTOS INDEPENDIENTES
Para calcular la probabilidad de ocurrencia los eventos deben ser independientes,
es decir; la ocurrencia de uno no debe afectar la ocurrencia del otro.
Ejemplo: Allanzar una moneda y un dado, 6 cual es la probabilidad de que
caiga aguila y un cinco?
6 Cual es la probabilidad de que caiga un aguila?
P(E)
6
=
1
Cual es la probabilidad de que caiga un cinco?
P(E) = ~
Los eventos posibles son:
(a,1),
{
Tambien pod emos resolver este problema
por medio de un diagrama de arbol:
(a,2), (a,3), (a,4), (a,5), (a,6)}-
(s,1), (s,2), (s,3), (s,4), (s,5), (s,6)
--I~.(a,1)
--I~.(a,2)
--I~.(a,3)
-~
... (a,4)
---~.(a,5)
---~.(a,6)
<a
s ,;s:::::=----
Los posibles eventos son 12 y s610 uno (a,5) es el que se pide:
P(E) --
1 --~.
2
3
4
5
6
1
-12
La probabilidad del evento (a,5) se obtiene aplicando
la regia del producto.
111
2" x '6 =
12
La probabilidad de que ocurran de manera conjunta P(A y 8)
es: P(A) x P(8), siempre que la ocurrencia de uno no afecte la
ocurrencia dell otro, es decir si los eventos son independientes.
95
vfdvgfdfgv000097
~
~
~
~
~
(s.t)
(s,2)
(s,3)
(s,4)
(s,5)
(s,6)
PROBABILIDAD DE CONCURRENCIA DE DOS EVENTOS INDEPENDIENTES
1) Se lanzan simultanearnente una moneda y un dado.
a) ~ Cual es la probabilidad
y numsro par?
de que caiga aguila
b) ~ Cual es la probabilidad
nurnero mayor que 4?
P (A) =
P (A)
=
P (8) =
P (8)
=
P (A Y 8) =
P (A Y 8) =
de que caiga sol y
2) Una urna contiene 3 canicas azules, 4 blancas y 2 rojas.
b) L Gual es la probabilidad de extraer simuttaneamente
1 canica blanca y 1 canica azul?
a) ~Gual es la probabilidad de extraer simultaneamente
1 canica azul y 1 canica roja ?
=
P (A)
=
P (A)
P (8)
=
P (8) =
P (A Y B)
=
P (A Y B)
=
3) Se lanzan simultaneamente un par de dad os.
a) ~ Cual es la probabilidad de que uno de ellos caiga
5 y en el otro caiga 3?
.
b) i Cual es la probabilidad de que uno de ellos caiga
un numero mayor que 4 y en el otro caiga un
nurnero menor que 3?
p~=
p~=
P (B) =
P (8) =
P~y~=
P~y~=
96
vfdvgfdfgv000098
ACTIVACU1N DEL PENSAMIENTO POR MEDIO DE JUEGOS
MATEMATICOS COMO TAREAS DE APRENDIZAJE
LOS DOS pAJAROS
A ambas orillas de un rio hay dos arboles, uno frente al otro, Uno de los arboles
tiene una altura de 20 m, y el otro de 30 m. La distancia entre sus trancos es de
50 m. En la cima de cada arbol hay un paiaro. De pronto, los dos pajaros ven
un pez que aparece en la superficie del agua entre los dos arboles y se lanzan
para atraparlo. Lo alcanzan al mismo tiempo. ;_,A que distancia del tronco de
cada arbol apareclo el pez ?
paiaro 1
ESQUEMA DE SOLUCION
B
pajaro 2
E
E
o
C')
ro
o
:3
C
~---------50m----------~
97
vfdvgfdfgv000099
EVALUACION DEL TERCER BLOQUE
ESCUELA:
MAESTRO (A):
ALUMNO (A):
___
_
_
GRUPO:
ACIERTOS:
1. La tarea de Silvia es eneontrar el valor de x en la
siguiente ecuaei6n: 5x2 - 9x = - 4 mediante laf6rmula
general. ;"Cual es el valor de la inc6gnita ?
CALIFICACION:
2.;_ Cual de las siguientes figuras eontiene trianqulos
que no son semejantes?
F
B)
A)
Q
A) + 1
E
B) - 3
P
M
C) + 4
Q
M
D) - 5
H
0
J
4. Si se quieren dos nurneros que multiplieados nos
3. EI trianqulo ABC es equilatero, la longitud de su
lado es 24 em, y los trianqulos ABC y OBE estan a
eseala3a 1.
;" Cuanto mide el perfmetro
del trapeeio ACED?
P
L
den 90, pero que uno sea una unidad menor que el
otro, entonees ;_cual de las siguientes eeuaeiones
resuelve este problema?
A
A)
X2
+ X + 90 =
B) x2
-
A) 48 em
C)-x2
- X
+
B) 56 em
O)_X2
- X
+ 90
X -
0
90 = 0
90
=
=
0
0
C) 64 em
D) 72 em
5. ;_ Cual de las siguientes opeiones representa el
area de la siguiente figura?
6. Caleula la longitud de "x" en la siguiente figura:
x
9
T
7
A)
X2
B)
2X2
+
7x
+
14x
C) (7
+
D)
+ 49
X2
+
49
1,-------,--,
I--
7 -----l
I-x---I
x
A) 15
+ 49
B) 18
X)2
C) 24
D) 27
98
vfdvgfdfgv000100
EVALUACION DEL TERCER BLOQUE
7. (. Cual es el valor de x en la ecuacion:
2
+
8x
8. {'Gual es la figura hornotetica que tiene un trianqulo
de razon 1 con respecto al trlanqulo ABG ?
3 = 15 ?
5
A) - 6
B)
+5
C) - 4
0) + 3
9. Algunos peces crecen de acuerdo a la ecuacion
m = t2 + 1, m (masa), en kilogramos, t (tiempo)
en meses. {. Cual de las siguientes qraficas
representa este crecimiento ?
B)
A)
en
25
0
~ 25 -,
g 20
-.
m 15
=
~ 20
-; 15
g} 10
~5
<,
cu 10
~5
o
0
1 2 3 456
Tiempo (meses)
7
"'"
I
I
I
I~
I
1 2 3 4 5 6
Tiempo (meses)
G)
A
0)
en
25
0
002
/
:i: 20
-; 15
g} 10
~5
0
p
,°~ 2
/
/
';;1
~10
:25
/
/[
[
[
I
1 2 3 456
Tiempo (meses)
7
0
1 2 3 456
Tiempo (meses)
7
10. EI costa de fabricacion de una caja de carton y las ganancias
por su venta S8 muestran en la siguiente qraflca:
35 -----:(. Cual es la ecuaclon que determina las ganancias
dependiendo de las ventas de las cajas ?
A) Y
=
0) Y
=
=
,
,
:
;
,
2X2
,
,
..:---I
"
~
,
,_ ..
_----
I
:
.
25
~
:
~
~
.
en
""
-20 .----:---"
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..
o
""
c:
::::
cu.15....
_',,',
.... _
c:
ro
""
<!J.10.. _.. ~... : .. _.~.. _._~ ...
+2
-
,
.. ---;- .. --
•
I
3x2
B) Y = 3x2
C) Y
30 ._
'
2
•
L •••
+3
2X2 - 3
.5.
o
99
vfdvgfdfgv000101
•
J •••••
•
,
I
' •••••••
•
I
I
I
:
;_.. _~ _.:
•
I
•
I
I
I
•
,
•
,
•
I
I
I
1
2
3
4
cajas vendidas
.
BLOQUE IV
COMPETENCIAS
QUE SE FAVORECEN:
•
•
•
•
Resolver problemas de manera autonorna.
Comunicar informacion rnaternatica.
Validar procedimientos y resultados.
Manejar tecnicas eficientemente.
APRENDIZAJES ESPERADOS:
• Utiliza en casos sencillos expresiones generales cuadraticas para definir el enesirno
terrnino de una sucesion.
• Resuelve problemas que implican el uso de las razones triqonometricas seno, coseno y
tangente.
• Calcula y explica el significado del rango y la desviaclon media.
EJES
SENTIDO NUMERICO
Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
MANEJO DE LA INFORMACION
PATRONES Y ECUACIONES
FIGURAS Y CUERPOS
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
• Obtencion de una expresion
general cuadratica para definir el
enesirno terrnino de una sucesion.
• Analisls de las caracteristicas
de los cuerpos que se generan
al girar sobre un eje, un
trianqulo rectanqulo, un
semicfrculo y un rsctanqulo.
• Calculo y anal isis de la razon de
cambio de un proceso 0
fenorneno que se modela con
una funcion lineal.
ldentificacion de la relacion
entre dicha razon y la inclinacion
o pendiente de la recta que la
representa.
• Construccion de desarrollos
pianos de conos y cilindros
rectos.
ANALISIS Y REPRESENTACION
DE DATOS
MEDIDA
• Analisis de las relaciones entre
el valor de la pendiente de una
recta, el valor del anqulo que
se forma con la abscisa y el
cociente del cateto opuesto
sobre el cateto adyacente.
• Analisis de las relaciones entre
los anqulos agudos y los
cocientes entre los lados de un
trianqulo rectanqulo.
EI que no conoce la
Matematica, muere sin
conocer la verdad cientffica.
• Explicltacion y uso de las
razones triqonornetrtcas sene,
coseno y tangente.
SCHELBACH
100
vfdvgfdfgv000102
• Medicion de la dispersion de un
conjunto de datos mediante el
promedio de las distancias de
cada dato a la media
(desviacion media).
Analisis de las diferencias de la
"desviacion media" con el
"rango" como medidas de la
dispersion.
,
,
,
EXPRESION CUADRATICA
PARA DEFINIR
,
, EL ENESIMO
TERMINO DE UNA SUCESION
1. Observa las siguientes figuras y contesta las preguntas:
a) iCuantas unidades cuadradas (u2) tiene la primera
figura?
2u2
8
u2
u2
b)
i Cuantas u2 tiene la segunda figura ?
c)
i Cuantas u:<tiene la tercera figura ?
d)
i Cuantas u2 tiene la cuarta figura ?
e)
i Cuantas u2 tiene la quinta figura ?
1)
i Cuantas u:<tiene la novena figura ?
g)
i Cuantas
Z
U
AI tabular funciones de segundo grado, observamos
diferencias de las variables dependientes (y).
corresponden a la enesirna figura ?
una constante en las
y = x2
3
4
5
y
1
4
9
16
25
6
36
X
1
2
primera diferencia
3
5>2
7>2
>2
9>2
J
J
Como puedes observar, la segunda
diferencia es constante, significa
que esta sucesi6n es una expresi6n
de segundo grado.
11
segunda diferencia
y=x2+x
x
1
2
3
4
5
6
y
2
6
12
20
30
42
4
6>2
8>2
>2
10> 2
12
J
primera diferencia
segunda diferencia
(I,
1f
,
J
101
vfdvgfdfgv000103
..::::::9
~
-V
:
~
"
l
r
....
q
~
EXPRESION CUADRATICA PARA DEFINIR EL ENESIMO
TERMINO DE UNA SUCESION
2. Encuentra la constante de las diferencias de la variable Yescribe la expresion cuadratica correspondiente:
a)
b)
Y=
Y=
x
1
2
3
Y
x
Y
2
8
18
1
;j
2
3
4
5
6
6
11
4
5
6
c)
IY =
x
1
2
3
d)
Y
3
12
27
IY=
x
Y
1
2
4
7
12
3
4
4
5
6
5
6
a) L Cuantos cubos tendra la figura que ocupe el
lugar8?
3. Dada la siguiente sucesion de figuras:
b) (..cuantos cubos tendra la figura que va en ellugar
15?
c) (.. Cuantos cubos tendra la figura que ocupe el
lugar24 ?
2
3
d) Si n es el lugar que ocupa la figura,
representa el enesimo termino ?
102
vfdvgfdfgv000104
i como se
EXPRESION CUADRATICA PARA DEFINIR EL ENESIMO
TERMINO DE UNA SUCESION
a) (. Cuantos cuadrados tendra la figura que va en el
lugar7?
4. Dada la siguiente sucesi6n de figuras:
-
b) l- Cuantos cuadrados tendra la figura que ocupe el
lugar9?
c) (. Cuantos cuadrados tendra la figura que va en el
lugar 12
1
3
2
4
d) Si x es el lugar que ocupa la figura. i c6mo se
expresa el enesirno terrnino ?
a) l- Cuantos mosaicos blancos tendra la figura que
va en ellugar 8 ?
5. Dada la siguiente sucesi6n de figuras:
b) i Cuantos mosaicos blancos tendra la figura que
ocupe ellugar 12?
1
3
2
4
c) l- Cuantos mosaicos blancos tendra la figura que
vaen ellugar 15?
d) Si m es el lugar que ocupa la figura. l- c6mo se
representa el enesirno terrnino ?
6. Dada la siguiente sucesi6n de figuras:
b) i Cuantos cubos tendra la figura que va en ellugar
10?
iJ
1
a) l- Cuantos cubos tendra la figura que va en ellugar
7?
2
3
c) l- Cuantos cubos tendra la figura que ocupe el
lugar 15?
d) Si x es el lugar que ocupa la figura, l- c6mo se
representa el enesirno termino ?
103
vfdvgfdfgv000105
RECORDANDO LOS CUERPOS GEOMETRICOS
Los cuerpos qeometrlcos limitados por superficies
planas se lIaman POLIEDROS.
Vertice cornun
cusplde
Los cuerpos qeornetrtcos limitados por superficies
curvas se lIaman CUERPOS REDONDOS
J
..;;0
;0-
o
eD
I
I
::::s
1m
,
,
,
,,
/
--
--
I
I
N'
a..,
,.--'-I
I
....
"
Esfera
-_-
Vertice
Cilindro
~"v/
Prisma recto
eD
..,
leD
cara
.I'"j
1-'
Piramide recta
1. Observa y analiza los cuerpos qeometrrcos, son los mismos que conoces desde la escuela primaria y
relaciona correctamente las dos columnas, anotando la letra dentro del parentesls correspondiente.
) Se clasifican en prismas y pirarnides.
A) Prisma
) Poliedro que tiene sus caras laterales en forma.
de paralelogramos.
8) Cuerpos redondos
) Poliedro que tiene sus caras laterales en forma
de trianqulos.
) A este grupo pertenecen el cilindro, el cono y
la esfera.
) Es la intersecci6n de dos caras en un prisma.
) S61ido generado por un rectanqulo que gira
alrededor de uno de sus lad os.
) Vertice cornun de las caras laterales de una
pirarnids.
) S61ido generado por un trianqulo rsctanqulo
que gira alrededor de uno de sus catetos.
) Es la intersecci6n de tres caras en un prisma.
) S61ido generado por un semicfrculo que gira
alrededor de su diametro,
) Es la linea que gira alrededor del eje, todos
sus puntos describen circunferencias cuyos
centres estan en el eje.
104
vfdvgfdfgv000106
C) Cuspide
D) Poliedros
E) Cilindro
F) Arista
G) Generatriz
H) Vertice
I) Plrarnide
J) Esfera
K) Cona
,
r
ANALISIS DE LAS CARACTERISTICAS DE LOS CUERPOS
QUE SE GENERAN AL GIRAR SOBRE UN EJE
,
CILINDRO DE REVOLUCION
Si hacemos girar un rectanqulo alrededor de uno de sus lados como eje, el otro
lade describe una superficie curva lIamada superficie cilfndrica.
(FS3
-I--
directriz
.-..
-
~,®
-
\-~
co
Q)
e
'ar
ro
"-
::J
ro
"-
ro
+-'
+-'
I-
a....
::::J
ro
~
~
CD
::::J
CD
...,
N'
,
- -
-
co
CD
::::J
CD
....
a
....
, N'
r
I---
'"c---
base
eje
-,
I
EI s61ido limitado por la superficie cilindrica y los dos cfrculos generados por los otros
dos lados del rectanqulo se llama cilindro de revoluci6n.
/
Observa y analiza el cilindro que estamos estudiando, anota una V si las
caracterfsticas que se mencionan son verdaderas 0 una F si son falsas.
<,
V
Un cilindro puede ser recto u oblicuo
perpendicular u oblicua a las bases.
sequn que la generatriz
sea
(
)
(
)
(
) En el cilindro de revoluci6n la recta que se mueve se llama generatriz, y la
(
) Para generar el cilindro de revoluci6n la generatriz gira paralela al eje.
(
)
En el cilindro de revoluci6n, las generatrices y las bases no siempre son
respectivamente iguales.
(
)
Todas las secciones rectas de un cilindro son iguales por ser paralelas entre
sf.
(
)
Secci6n recta de un cilindro es la determinada por un plano perpendicular a
las generatrices.
(
) En el cilindro recto la generatriz es igual a la altura.
(
)
Todo cilindro puede ser considerado como ellfmite de un prisma inscrito en
131,
cuyo numsro de caras laterales aumenta indefinidamente.
(
)
Las secciones determinadas en un cilindro por pianos paralelos que cortan
todas las generatrices son iguales.
6 caras
\
r-..
,/
..,/
\
V
Para generar el cilindro de revoluci6n la directriz hace un recorrido de 300
0
•
curva fija directriz.
10 caras
r-
.......
.._
18 caras
42 caras
105
vfdvgfdfgv000107
ANALISIS DE LAS CARACTERISTICAS DE LOS CUERPOS
QUE SE GENERAN AL GIRAR SOBRE UN EJE
CONO DE REVOLUCION
Si hacemos girar un trlanqulo rectanqulo alrededor de uno de sus catetos como eje, la hipotenusa
describe una superficie curva que se llama superficie conica,
_cuspide
---
eje---...::::=-t-~
La longitud de la hipotenusa del trianqulo rectanqulo es el lado lIamado
generatriz 0 altura inclinada del cono.
EI solido limitado por una superficie conica y por un plano, lIamado
base que corta todas las generatrices se llama cono.
Observa y analiza el cono que estamos estudiando, contesta con una V si las
caracteristicas que se mencionan son verdaderas 0 una F si son falsas.
Toda seccion paralela a la base de un cono circular es un circulo.
Para generar el cono de revolucion, la directriz hace un recorrido de 180°.
La altura de un cono es la perpendicular trazada desde el vertice a la
base.
Todo cono puede ser considerado como ellimite de una pirarnide inscrita
en el, cuyo numero de cartas laterales aumenta indefinidamente.
Todas las propiedades, asi como la determinacion de las areas y
volurnenes de las ptrarrudes no son aplicables a los conos.
Dos conos de revolucion son semejantes cuando son generados por
lados homolog os de trianqulos rectanqulos semejantes.
EI area total de un cono de revolucion es igual al area lateral por el area
de la base.
Dos conos circulares de base y altura iguales son equivalentes.
Dos conos de igual base son proporcionales a sus alturas, y dos conos
de igual altura son proporcionales a sus bases.
EI volumen de un co no es el tercio del volumen de un cilindro de base y
altura iguales.
106
vfdvgfdfgv000108
ANALISIS DE LAS CARACTERISTICAS DE LOS CUERPOS
QUE SE GENERAN AL GIRAR SOBRE UN EJE
ESFERA DE REVOLUCION
Si hacemos girar un semicfrculo, tomando como eje su diametro, describe una
superficie curva y cerrada lIamada superficie esterica.
Circulo
semicfrculo
esfera
EI cuerpo 0 s61ido qeometrlco generado por el semicirculo se llama
esfera de revoluci6n.
Observa y analiza la esfera que estamos estudiando, anota una V
si las caracteristicas que se mencionan son verdaderas 0 una F
si son falsas.
) Todos los puntos de la semicircunferencia generatriz son
equidistantes del centro de la esfera.
) EI radio de una esfera es la recta que pasa por el centro
y une dos puntos de la superficie esferica.
) EI plano diametral divide a la esfera en dos partes iguales
lIamados hemisferios.
) Todos los radios de una esfera son iguales, todos los
diarnetros tarnbien.
) Toda secci6n plana de una esfera es un cfrculo.
) EI circulo maximo de una esfera es mayor que el circulo
diametral.
) Algunos circulos menores pasan por el centro de la esfera.
) Todos los cfrculos maxirnos de una esfera son iguales.
) EI centro, todo diametro y todo plano diametral son,
respectivamente centro, eje y plano de simetria de la
superficie estenca y de la esfera.
) Un ejemplo de circulo maximo es el ecuador del planeta
lIamado Tierra.
107
vfdvgfdfgv000109
CONSTRUCCION DE DESARROLLOS PLANOS DE
CILINDROS Y CONOS RECTOS
Para construir el desarrollo plano de un cilindro recto,
procedemos de la siguiente manera:
Para construir el desarrollo plano de un cono recto,
procedemos de la siguiente forma:
1t= 3.1416
6cm
circunferencia
N
.;::
3cm
= 8.17 cm
"§
Q)
c
Q)
0>
circunferencia = 6 cm
1t = 3.1416
a) La superficie de un cilindro recto es un rectanqulo
a)
que tiene por base la circunferencia de la base del
cilindro.
, c)
b) Y por altura la generatriz.
c) Mas los dos cfrculos de las bases.
c)
1. Construye el desarrollo plano de un cilindro recto,
si el diarnetro del cfrculo de la base mide 1.5 cm y la
altura del cilindro mide 4 cm.
La superficie de un co no recto es un sector circular
cuyo radio es la generatriz del cono.
EI arco del sector circular es igual ala longitud de la
circunferencia de la base del mismo cono.
Mas la superficie del circulo de la base.
2. Construye el desarrollo plano de un cono recto si el
diarnetro del cfrculo de la base mide 2.1 cm y con
una generatriz de 3.5 cm.
108
vfdvgfdfgv000110
ANALISIS DE LAS RELACIONES ENTRE EL VALOR DE
LA PENDIENTE DE UNA RECTA
La ecuaci6n que modela una funci6n lineal siendo,
el terrnino dependiente y y la variable xes:
1. Completa las tablas:
a)
y = mx + b
~
2. Traza las qraticas de las funciones lineales.
y = 2x + 1
x
Y ~~
-
7
Y
-2
en donde: m es la pendiente
y: b es la ordenada al origen.
-
-8
u
-1
OJ
0
A
1
2
u
.
b) Y = 2x - 1
c:.
x
Y
-2
-8
I
......
.....- 5
-1
.....
-4
-3
-2
-1
C
1
2
3
..
0
1
"
2
c) Y = 2x
~
+3
x
Y
-2
-1
...
t:
-1
0
'"
1
7
2
~,.
0
..,
d) Y = 2x - 4
x
y
-2
-8
-1
-
a) (.,Las 4 rectas tienen la misma pendiente ?
b) (.,CuAI es el valor de la pendiente ?
0
1
c) (.,C6mo son entre sf las 4 rectas?
2
109
vfdvgfdfgv000111
4
5
JIll"
X
,
ANALISIS DE LAS RELACIONES ENTRE EL VALOR DE
LA PENDIENTE DE UNA RECTA
2. Traza la grafica de cada una de las funciones lineales.
1. Completa las tablas:
a) y
= x+2
y
x
Y
-2
0
J~
0
I
-1
0
0
1
o
2
b) Y
= -x + 2
x
Y
-2
4
.
"
Co
-1
I
0
~
""""l1lI
1
-5
-4
-3
-2
-1
-2
2
3
4
5
..
....
X
n
= 2x + 2
X
1
~
2
c) Y
a
'"
Y
n
....
-2
~,
-1
0
a) GEn que punto del plano cartesiano se cortan las 4 funciones lineales?
1
2
d) Y
b) GC6mo son entre si la funciones lineales
= - 3x + 2
x
Y
-2
8
y=x+2
y y=-x+2?
c) En la funci6n lineal y
= - 3x + 2, Gcual es el valor de la
d) En la funci6n lineal y
= 2x + 2, Gcual es el valor de la pendiente?
-1
0
1
e) GPor que no son paralelas las rectas de las funciones?
2
110
vfdvgfdfgv000112
pendiente?
ANALISIS DE LAS CARACTERISTICAS ENTRE EL CATETO
OPUESTO, EL CATETO ADYACENTE Y LA HIPOTENUSA
Las relaciones que resultan al comparar par medio de un cociente los lados de un trianqulo rectanqulo son las
siguientes razones triqonornetricas:
cateto opuesto
a
3
= - =5
SenoA
hipotenusa
c
cateto adyacente
b
4
B
= - = - Coseno A
hipotenusa
c
5
0
+-'
~c:>'l>~e'\:'
~,<O
~~
Co
en
cateto opuesto
cateto adyacente
cateto adyacente
cateto opuesto
hipotenusa
cateto adyacente
CD
::J
0..
0
0
C')
II
ro Q)
(tj
o
b=4
A
cateto adyacente
C
=
=
=
hipotenusa
cateto opuesto
=
a
b
b
a
c
b
c
a
3
=4
4
=-
Tangente A
=4
Secante A
Cotangente
3
5
5
3
=-
A
Cosecante A
1. En los siguientes trianqulos rectanqulos indica la hipotenusa, el cateto opuesto y el cateto adyacente,
res ecto al an ulo serialado.
c)
b)
a)
E
9
f
d
e
A
F
Hipotenusa -
_
Cateto opuesto -,---Cateto adyacente =
H
D
Cateto adyacente = ---Cateto opuesto =---Hipotenusa =
Cateto opuesto ----Cateto adyacente = ---Hipotenusa -
_
2. Obtener las razones tri onornetricas de los si
ulos serialados.
Z
d)
f)
8
B
7
24
6
25
10
x
R
18
A
S
Sen X = __
SenA=
CosQ=--
CosX=--
CosA=--
TanQ=--
TanX=
SenQ=
__
_
--
111
vfdvgfdfgv000113
TanA=
__
--
VALORES DEL SENO, COSENO Y LA TANGENTE
PARA LOS ANGULOS DE 30°, 45° Y 60°
En el siguiente trianquto cada lado mide 2 unidades y sus
anqulos son iguales y miden 60°,
Obtenemos los valores de las funciones
de los anqulos de 60° y 30°,
Calculamos la altura:
=V
a =V
a
2
2
c
-
2
b
22 - 12
=V
4-1
a=Va
Sen 60°
=V3
Sen 300
=
_1
Cos 60°
= ~
Cos 30°
=
V;
Tan 60°
=V3
-1 = J3
Tan 30°
= V31
2
2
1
1-----1111--1
1-----11211------1
1) Ooten las funciones triqcnometricas
a)
en los siguientes trianqulos.
c)
b)
1
1
1
1
Sen 60°
=
Sen 45°
=
Sen 30° =
Cos 60°
=
Cos 45°
=
Cos 30° =
Tan 60°
=
Tan 45° =
Tan 30° =
2) Anota en el siguiente cuadro los valores que se piden:
Angulo
Seno
Coseno
30°
45°
60°
112
vfdvgfdfgv000114
Tangente
RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS
CUANDO SE CONOCEN
CUANDO SE CONOCEN
DOS LADOS
UN LADO Y UN ANGULO
B
B
c
a
~3
A
8
C
b
42°
A ~---'--------'
Datos:
Datos:
Se desconocen:
a = 3cm
b
=
b=5m
c=
8cm
-<;::'A =
Considera:
Sen 0.3750
~A
=
Cos 42°
Tan O. 3750 = 20°33'
=v7+b =~
c
= 8.544
( c ), aplicamos el
=\19+64 =V73
2
=
TanA=l)
= l_
b
8
Tan 0.370 = 20°33'
a
Sustituyendo:
3) Calculamos el valor del
a = b (Tan A)
= 5 (Tan 42°)
a = 5 (0.9004)
a = 4.502
a
2) Para calcular la hipotenusa ( c ) aplicamos el
Teorema de Pitaqoras.
= 0.3750
c = 6.728 )
(
+
--9::B =
Despejamos a
b (Tan A) = a
a = b (Tan A)
<9::
~A
c=
0.7471
1) Para calcular el cateto opuesto (a) usamos la
funci6n tangente, ya que conocemos el cateto
adyacente (b) .
2) Para obtener el valor del
A usamos la
tangente. (por conocerse los dos catetos).
Tan A =~
a=
Tan 42° = 0.9004
1) Para calcular la hipotenusa
Teorema de Pitaqoras:
C
Se desconocen:
42°
Considera:
-<;::. B =
22°9'
=
C
5
<9:: B
<9:
3) Calculamos el valor del
<9: B = 90°
B.
~
B = 90 -A
~
B = 90° - 20°33'
20°33'
<9: B = 90 <9:
<9: B = 90 42
~
B = 69°27'
69°27'
~
<9::
0
A
+
89°60'
0
-
0
0
-
113
vfdvgfdfgv000115
B
=
48
0
A
,
r
,
RESOLUCION DE TRIANGULOS RECTANGULOS
a)
Se desconocen
Lado a
Angulo A
Angulo 8
Se conocen:
b=5
c=9
8
a
c
b
h
A
C
Se desconocen
b)
a = 17
-4:8 = 35°
Se conocen:
C
(cateto opuesto)
(hipotenusa)
Angulo A
A
b
a
c
8
c)
Se desconocen
a = 5.2
b = 4.5
Se conocen:
(hipotenusa)
8
c
a
b
A
C
114
vfdvgfdfgv000116
Angulo A
Angulo 8
r
TABLA TRIGONOMETRICA
Angulo
0°
1°
2°
3°
4°
5°
6°
7°
8°
9°
10°
11°
12°
13°
14°
15°
16°
17°
18°
19°
20°
21°
22°
23°
24°
25°
26°
2r
28°
29°
30°
31°
32°
33°
34°
35°
36°
3r
38°
39°
40°
41°
42°
43°
44°
45°
SENO
0.000
0.0175
0.0349
0.0523
0.0698
0.0872
0.1045
0.1219
0.1392
0.1564
0.1736
0.1908
0.2079
0.2250
0.2419
0.2588
0.2756
0.2924
0.3090
0.3256
0.3420
0.3584
0.3746
0.3907
0.4067
0.4226
0.4384
0.4540
0.4695
0.4848
0.5000
0.5150
0.5299
0.5446
0.5592
0.5736
0.5878
0.6018
0.6157
0.6293
0.6428
0.6561
0.6691
0.6820
0.6947
0.7071
CaSENa
1.0000
0.9998
0.9994
0.9986
0.9979
0.9962
0.9945
0.9925
0.9903
0.9877
0.9848
0.9816
0.9781
0.9744
0.9703
0.9659
0.9613
0.9563
0.9511
0.9455
0.9397
0.9336
0.9272
0.9205
0.9135
0.9063
0.8988
0.8910
0.8829
0.8746
0.8660
0.8572
0.8480
0.8387
0.8290
0.8192
0.8090
0.7986
0.7880
0.7771
0.7660
0.7547
0.7431
0.7314
0.7193
0.7074
TANGENTE
Angulo
0.0000
0.0175
0.0349
0.0524
0.0699
0.0875
0.1051
0.1228
0.1405
0.1584
0.1763
0.1944
0.2126
0.2309
0.2493
0.2679
0.2867
0.3057
0.3249
0.3443
0.3640
0.3839
0.4040
0.4245
0.4452
0.4663
0.4877
0.5095
0.5317
0.5543
0.5774
0.6009
0.6249
0.6494
0.6745
0.7002
0.7265
0.7536
0.7813
0.8098
0.8391
0.8693
0.9004
0.9325
0.9657
1.0000
46°
47°
48°
49°
50°
51°
52°
53°
54°
55°
56°
5r
58°
59°
60°
61°
62°
63°
64°
65°
66°
67°
68°
69°
70°
71°
72°
73°
74°
75°
76°
7r
78°
79°
80°
81°
82°
83°
84°
85°
86°
8r
88°
89°
90°
115
vfdvgfdfgv000117
SENa
0.7193
0.7314
0.7431
0.7547
0.7660
0.771
0.7880
0.7986
0.8090
0.8192
0.8290
0.8387
0.8480
0.8572
0.8660
0.8746
0.8829
0.8910
0.8988
0.9063
0.9135
0.9205
0.9272
0.9336
0.9397
0.9455
0.9511
0.9563
0.9613
0.9659
0.9703
0.9744
0.9781
0.9816
0.9848
0.9877
0.9903
0.9925
0.9945
0.9962
0.9976
0.9986
0.9994
0.9998
1.0000
caSENO
0.06947
0.6820
0.6691
0.6561
0.6428
0.6293
0.6157
0.6018
0.5878
0.5736
0.5592
0.5446
0.5299
0.5250
0.5000
0.4848
0.4695
0.4540
0.4384
0.4226
0.4067
0.3907
0.3746
0.3584
0.3420
0.3256
0.3090
0.2924
0.2756
0.2588
0.2419
0.2250
0.2079
0..1908
0.1736
0.1564
0.1393
0.1219
0.1045
0.0872
0.0698
0.0523
0.0349
0.0175
0.0000
TANGENTE
1.035
1.0724
1.1106
1.1504
1.1918
1.22349
1.2799
1.3270
1.3764
1.4281
1.4826
1.5399
1.6003
1.6643
1.7321
1.8040
1.8807
1..99626
2.0503
2.1445
2.2460
2.3559
2.4751
2.6051
2.747
2.9042
3.0777
3.2709
3.4874
3.7321
4.0108
4.3315
4.7046
5.1446
5.6713
6.3138
7.1154
8.1443
9.5144
11.4301
14.3007
19.0811
28.6363
57.2900
00
RESOLUCION DE PROBLEMAS
1) Una escalera se encuentra
recargada sobre una pared forman do con el piso un anqulo de 75°.
de la escalera si la distancia de la pared al pie de la escalera es de 2 m.
Calcular la longitud
B
Hipotenusa
C. Adyacente
Angulo A
2
=?
= 2m
=
Cos 75° =-
x Cos 75°
75°
os
75°
A
I
2m
2) La pendiente
=
c. adyacente
hipotenusa
C. opuesto
Hipotenusa
= 120 m
=?
x
A = 8°32'
2
Cos 75°
x
= 0.2588
x
= 7.727
es de 8°32'. ;_Que distancia
Sen 8°32'
=
Hipotenusa
mide 7.73 m.
recorre un autornovil
cuando sube 120 m?
Resultado:
808.6 m.
Oistancia
120 m
120
0.1484
x=
x
la escalera
B~
Sen 8°32'
C.opuesto
Resultado:
120
120
x = -'---"-S en =
como esta dividiendo
pasa
multiplicando
y
como
Cos
75° esta
multi plicando
pasa
dividiendo.
2
C
de un tramo de carretera
a x:
=2
x=
C
Oespejamos
x
8"3?:
~
C
= 808.6
A
3) Una persona se encuentra en la parte mas alta de un edificio de 24 m. de altura y observa un auto
estacionado, mide el anqulo de depresion al auto y obtiene 40°. Calcula la distancia del pie del edificio al auto.
B
',,'
0-------------\-Angulo de 40:"
depresion
/'
,,"
,,/
C. adyacente
C. opuesto
A
,,"
24
""
"
.: "<,
,,/
24
T.
"
~,,/
=
I
40° \
A
an
=?
= 24 m
= 400
Tan 40°
24
x
x Tan 40° = 24
a x
24
=----
x
Tan 40°
24
X=--0.8391
C. opuesto
= =---:----:C. adyacente
x
l!I~a
x
Oespejamos
= 28.60
Resultado:
C
distancia
= 28.6
m.
4) Un edificio de 42 m. de altura proyecta una sombra de 12 m. Calcula la altura del Sol (medida en anqulo) en
ese momento.
C. opuesto
C adyacente
= 42 m
= 12 m
A=?
T.
Ian
42m
Tanx = 42
12
Tan x
= 3.5
C. opuesto
= C.
adyacente
12
Resultado:
C
116
vfdvgfdfgv000118
altura del Sol 74°3'
EXAMEN DE RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS III 3° "A"
Y "B"
RESOLUCION DE PROBLEMAS
5) Calcula la altura de un avi6n que des peg a con un angulo de elevacion de 7° despues de haber volado 10 km.
Considera:
= 0.1228
7° = 0.1219
Tan 7°
Sen
6) Calcular la altura que alcanza una escalera de 12 m que esta recargada sobre una pared si forma con el pi so
un anqulo de 70°.
Considera:
Sen 70°
Tan 70°
= 0.9392
= 2.7475
7) Calcular la altura del Sol sobre el horizonte (medida en anqulo) si un edificio de 24 m de altura proyecta una
sombra de 30 m.
Considera:
,
.----.",
<,
,,
Tan 0.8 = 38° 40'
-,
,,Sen 0 .8
,
,
<,
<,
,
-,
= 4° 40'
,-,
,,
,,
30 m
-,
,-,
,,
-,
8) Un avion pasa por una isla a 1 200 m sobre el nivel del mar en el momento que observa otra isla bajo un
angulo de depresion de 10°. Calcular la distancia entre las dos islas.
Considera:
Tan 10° = 0.1763
Cot 10° = 5.671
----
"
1
I',
1200
1
1
1
~,
117
vfdvgfdfgv000119
.
'_
- -- - ------1
<,
1
1
1
:
-,
1
1
"
',I
;&~!,."
.~
"
-----
10:)
I"~,;_~~
( 10°
----------------
.i"
_.__
~
-_~
.
EXAMEN DE RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS III
3° "A" Y
"B"
HOJA 3
RESOLUCION DE PROBLEMAS
9) Calcula la altura de la Columna
mas altaes de 67°40'.
B
de la Independencia
si a 15 m. de distancia el anqulo de elevaci6n
a la parte
Considera:
Tan
6r40' = 2.434
Sen 67°40'
= 0.925
10) Calcula la altura de una torre de televisi6n si a 47 m de distancia el anqulo de elevaci6n a la parte mas alta de la
torre es de 68°.
(7
-. '.,
".
'.'.
Considera:
'.'.,
"
Sen 68°
Tan 68°
"
= 0.9272
= 2.471
""
".
" -, ,
l' ""'"
t68
11) Sim6n juega con un papalote, si el cord6n se encuentra tense con un anqulo de elevaci6n de 54°25'
longitud de 95 m {. Cual es la altura aproximada de ese papalote ?
0
""
y con una
Considera:
=
...
~'"""..
....,....~~
.
i
Sen 54°26'
0.8134
Tan 54°26' = 1.424
...........95m
".
--::»(--:
~t-~----1%
12) Oesde un barco se ve un faro con un anqulo de elevaci6n de 9° 47' Y se sabe que la altura del faro es de 52 m
sobre el nivel del mar. Calcula la distancia aproximada del barco al faro.
Considera:
Tan 9° 47'
0.1721
Cot 9° 47' = 5.838
=
118
vfdvgfdfgv000120
EXAMEN DE RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS III
,
3°
HOJA 4
"A" Y "B"
r
ANALISIS
DE LA RAZON DE CAMBIO DE UN PROCESO 0
,
FENOMENO QUE SE MODELA CON LA INCLINACION 0
PENDIENTE DE LA RECTA QUE REPRESENTA
r
1. Un autobus a velocidad constante recorre 540 km en 6 horas. Con los datos
anteriores completa la tabla, traza la grafica y contesta 10 que se pide:
Tiempo (hs)
1
2
4
3
5
7
6
8
9
10
540
Recorrido (km)
A la raz6n de cambio de la distancia con respecto al tiempo se Ie conoce como
velocidad:
v =
900
.s.
t
800
700
-E 600
e-
o 500
"'0
.;::
...0
0
400
Q)
((
300
200
100
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Tiempo (horas)
a)
i A que velocidad viaja el autobus ?
b)
i Que distancia recorri6 en 9 horas ?
c)
i Que distancia recorri6 en 15 horas ?
d)
i En que tiempo recorri6 1170 km ?
~)i En que tiempo recorri6 1350 km ?
f)
g) iSi la velocidad se mantiene constante, la recta de
la grafica conservara la misma inclinaci6n 0
pendiente?
i Cual es el cociente de la distancia con respecto al
tiempo?
h) Si el autobus viaja a mayor velocidad i el
anquto de inclinaci6n 0 pendiente. aumenta,
disminuye 0 se conserva igual ?
Se conoce como RAZ6N DE CAMBIO cuando al relacionar dos variables (magnitudes) se mantiene la misma
raz6n.
119
vfdvgfdfgv000121
,
r
ANALISIS
DE LA RAZON DE CAMBIO DE UN PROCESO
0
,
,
FENOMENO QUE SE MODELA CON LA INCLINACION 0
PENDIENTE DE LA RECTA QUE REPRESENTA
2. La cantidad de basura que se genera en una ciudad esta relacionado con el nurnero de habitantes.
Completa la tabla, traza la grafica y contesta 10 que se pide.
Habitantes
(millones)
1
2
3
4
6
5
7
9
8
10
Basura
(miles de ton)
12.5
La siguiente grafica muestra la basura que se genera en las ciudades
mexicanas en promedio cad a dia.
14
12
$'
"0
....
0
o,
C/)
ctl
"0
ctl
(ii
c
0
......
10
8
6
Q)
"0
C/)
4
Q)
I
ctl
....
::J
2
C/)
ctl
co
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Habitantes (millones)
a) ~ Cuanta basura (en kg) en promedio genera un
habitante por dia ?
b) ~ Cuanta basura genera en un dia una ciudad de
un millen de habitantes?
c)~ Cuanta basura genera una ciudad de 3 millones
en un dfa?
d) ~ Cuantos millones de habitantes tiene una ciudad
que genera 12 500 toneladas de basura ?
e) ~Cuanto cambia la cantidad de basura por una f) ~ Cual es el cociente de la qeneracion de basura
con respecto a los habitantes ?
unidad que aumente en el eje horizontal?
g) (.,Cuanta basura genera una ciudad de 8 millones
de habitantes ?
h) ~ Que significa la inclinaclon de la linea recta en
estecaso?
i) De acuerdo al nurnero de habitantes del lugar donde
vives, calcula la basura que se genera cada dia
j) ~ Cual es tu propuesta para reducir la qeneracion
de basura?
120
vfdvgfdfgv000122
MEDICION DE LA DISPERSION DE UN CONJUNTO DE
DATOS MEDIANTE EL PROMEDIO DE LAS DISTANCIAS
DE CADA DATO A LA MEDIA (DESVIACION MEDIA)
Las medidas de dispersion nos indican que tanto se agrupan 0 se alejan los datos
del valor central. Dos medidas de dispersion son el rango y la desviacion media.
EL RANGO: Es la diferencia entre el mayor y el menor de los datos.
Ejemplo: Los aciertos obtenidos por un grupo de tercer grado son los siguientes:
16,
17,
17,
18,
18,
19,
21,
22,
23,
26,
27,
28,
29,
29,
30,
30,
30,
33,
33,
35
36,
36,
39,
40,
40,
42,
43,
43,
44,
45
= 45 - 16 = 29
= 29
R
R
LA
Equivale a un promedio del desvio
la media arltrnetica.
DESVIACION:
MEDIA
0
dispersion de los datos con respecto a
Para los datos:: 7, 8, 8, 9, 9, 10 la media aritrnetica es:
x =
°
7 + 8 + 8 6+ 9 + 9 + 1
= 5~ = 8.5
En este ejemplo la desviacion media seria:
Se calcula el valor absoluto de la desvlacion de cada dato con respecto a la media
aritrnetica.
OM = 17-8.51
OM
=
+18-8.51
+18-8.51
+19-8.51
6
+ 19-8.51
+110-8.51
1-1.51 + 1-0.51 + 1-0.51+ 10.51 + 10.51 + 11.51
6
OM = 1.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + 0.5 + 1.5 = 2.
6
6
=
0.83
OM = 0.83
La desviacion media es el promedio de las desviaciones absolutas.
121
vfdvgfdfgv000123
MEDICION DE LA DISPERSION DE UN CONJUNTO DE
DATOS MEDIANTE EL PROMEDIO DE LAS DISTANCIAS
DE CADA DATO A LA MEDIA (DESVIACION MEDIA)
La desviaci6n media es de gran importancia, ya que al tener dos muestras con la misma media aritmetica nos
ayuda a decidir cual muestra es de mejor calidad.
a) ;_,Cuales calificaciones son mejores, las de Olga
las de Laura?
0
Calificaciones de Olga: 6, 8 Y 10
x =
+ 83 + 10
6
=
b) AI terminar el ano escolar David y Antonio tienen el
mismo promedio, ;_,a quien debe otorgar el primer
lugar en aprovechamiento la direcci6n de la
escuela?
234 = 8
Calificaciones de David: 9, 9, 10, 10, 10,
Calificaciones de Antonio: 8, 10, 10, 10, 10,
Calificaciones de Laura: 7, 8 Y 9
x =
7
+ 8 + 9 = 24 = 8
3
3
Calculamos la desviaci6n media
Olga:
OM
=
16 - 81 + 18 - 81
3
DM
=
1-2 I
OM
+I
°I+I
2
I
+ 110 - 81
= 2
+
3
°+
2
3
4
=3
Laura:
OM
=
OM
= 1-1 I
OM
17 - 81 + 18 - 81
3
+I
°I+
3
11
I
+ 19 - 8 I
= 1
+
°+
1
3
2
=3
La mejor calificaci6n es aquella cuya desviaci6n
media es menor, por 10 tanto las calificaciones de
Laura son de mejor calidad.
122
vfdvgfdfgv000124
EXAMEN DE RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS III
3° "A" Y "B"
HOJA 5
MEDICION DE LA DISPERSI6N DE UN CONJUNTO DE
DATOS MEDIANTE EL PROMEDIO DE LAS DISTANCIAS
DE CADA DATO A LA MEDIA (DESVIACI6N MEDIA)
AI terminar el ana escolar las calificaciones de Manuel son las
siguientes:
6, 7, 7, 8, 9, 10, 8, 8, 9, 7, 10, 7
a) <-Cual es el promedio de las calificaciones ?
~) GCual es el range ?
e) <-Cuill es la desviaci6n
calificaciones ?
b) <-Cual es la mediana de las calificaciones ?
c) GCual es la moda de las calificaciones ?
123
vfdvgfdfgv000125
media
de
dichas
ACTIVACION DEL PENSAMIENTO POR MEDIO DE JUEGOS
MATEMATICOS COMO TAREAS DE APRENDIZAJE
LAS MATEMATICAS
Y ALGO DE MAGIA
Los amigos del "CAM" (Club admiradores de las Maternattcas) se reunen para divertirse
con los numeros:
Armando Ie dice a Sergio - escribe en un papel sin que nadie te vea un nurnero cualquiera
de 3 cifras y a continuaci6n de ese mismo nurnero escrfbelo otra vez y obten una
cantidad de 6 cifras.
Ahara Sergio, pasale ese papel a Jorge para que 10 divida entre 7.
Jorge, pasale unicamente el resultado a Enrique para que 10 divida entre 11.
Enrique, pasale el resultado a Faustino para que 10 divida entre 13.
Ahora Faustino, entreqale el resultado a Sergio.
6 Es ese el nurnero que pensaste Sergio? pregunt6 Armando,
-i EI mismo !- contest6 asombrado, mirando el papel.
Dlviertete y comprueba este truco rnatematico con tus amigos y con tu familia.
124
vfdvgfdfgv000126
100 % EXAMEN
EXAMEN DE RECUPERACIÓN
DE MATEMÁTICAS III
3º
"A"
Y
"B"
EVALUACION DEL CUARTO BLOQUE
ESCUELA:
_
SECUNDARIA OFICIAL 301 JOSE DIAZ COVARRUBIA TURNO VESPERTINO
MAESTRO (A): PERFECTO TRUJILLO FLORES
_
ALUMNO (A):
--,-_
GRUPO:
ACIERTOS:
CALIFICACION:
1) Un artista construye una obra qeornetrica con
piezas iguales: en el primer paso coloca 1 pieza,
en el segundo paso coloca 3, en el tercero coloca
7, en el cuarto coloca 13 y as! sucesivamente.
2) Observa la siguiente sucesion de figuras. i. Cual
expresion algebraica permite calcular el nurnero
de caras visibles en los cubos ubicados en la
enesirna posicion?
(.,Que expresion permite predecir cuantas
piezas colocara en el enesirno paso?
A) n2 + n + 1
B) n2 + 2n -1
C) n2 + 3n - 3
0) n2
-
n + 1
3) EI nurnero de empleados de una empresa en el
primer, segundo y tercer ana son 4, 12 Y 22
respectivamente, l.cual es la expresi6n que
representa
el crecimiento
del nurnero de
empleados?
A) n2
+
B) 2n2
2
+ 1
+
C) n
2
0) 3n
2n
-
3n - 1
n
+
1
4) Si tengo un trianqulo como se ve en la figura y 10
giro 360° rapidarnente varias veces alrededor del
eje Y l. que cuerpo qsornetrico se qenerara ?
Y
A) x2
B) 2X2
C)
0)
+ 3x
+ 2x
2
x + 5x - 2
2X2 + 3x - 1
5) (.,Cual de los desarrollos pianos pertenece al
siguiente cilindro ?
2cm
A)
A) Un prisma triangular
B) Un cono -------¥----------,
C) Una semiesfera
U
0) Una esfera
6) (., Cual de las siguientes expresiones
representa el valor de la medida x?
B)
~---
6.28 em ----+I
E
o
§
C\J
1.40 m
A) (1.40) (sen 55°)
0)
C)~
1 em
2em
2em
X
B) (cos 55°) / 1.40
CCED
C) (1.40) (tan 55°)
0) (tan 55°) / 1.40
125
vfdvgfdfgv000127
X
nos
EXAMEN DE RECUPERACIÓN DE MATEMÁTICAS III
3°
"A"
Y
"B"
EVALUACION DEL CUARTO BLOQUE
7) Margarito quiere fijar una antena de 52 m de altura
con un cable que vaya de la mitad de la misma al
suelo. EI cable hace un anqulo de 40° respecto al
suelo. GCual es la longitud del cable? Considera:
8) G Cual es la raz6n trlqonometrica que nos da el
valor de la funci6n con la que se puede calcular la
medida del anqulo B ?
B
Sen 40° = 0.6427
Cos 40° = 0.7660
52 m
20 cm
A) 80.8976 m
8) 67.8811
A) Cos B
m
=
8=
C) Cos 8
m
D) Cos
9) Observa el siguiente trianqulo, GCual es la longitud
del cateto faltante ? (Considera Sen 60° = 0.86,
Cos 60 = 0.5, Tan 60 = 1.73)
0
10/20
~1
10cm
x cm
A
x/20
20/x
10) Observa la siguiente ecuaci6n que representa
una recta en el plano:
0
~ Cual es el valor de su inclinaci6n
y
1
A)
C)
A)
5.00 cm
B)
8.60 cm
C) 17.30 cm
1
D) 20.00 cm
10 cm
D) 12 000 toneladas
+
5
12) Una escuela tiene varios alumnos agrupados por
edad. ~ Que informaci6n se obtiene de los datos
resaltados en negritas?
Edad en nilios
(10 - 12)
(13 - 15)
(16 - 18)
(19 - 21)
(22 - 24)
~ Cuantas toneladas de basura genera diariamente
una ciudad de 9 miliones de habitantes ?
C) 11 250 toneladas
3
60°
12 500 toneladas de basura
10 miliones de habitantes
B) 10 500 toneladas
= -5x + 3
D) - 5
11) Si la raz6n de cambio es de:
9 790 toneladas
+
0 pendiente?
8) - 3
?
A)
C
8) Cos 8 = 20/10
C) 40.4488 m
D) 33.9405
=
1
No. de alumnos
7
18
25
17
13
A) 25 alumnos estan en el rango de 16 a 18 alios.
B) 25 alumnos tienen 16 aries de edad.
C) 25 alumnos tienen 18 alios de edad.
D) EI total de alumnos encuestados es 25.
126
vfdvgfdfgv000128
BLOQUEV
•
•
•
•
COMPETENCIAS
QUE SE FAVORECEN:
Resolver problemas de manera aut6noma.
Comunicar informaci6n maternatica.
Validar procedimientos y resultados.
Manejar tecnicas eficientemente.
APRENDIZAJES ESPERADOS:
• Resuelve y plantea problemas
que involucran
ecuaciones
lineales, sistemas de
ecuaciones y ecuaciones de segundo grado.
• Resuelve problemas que implican calcular el volumen de cilindros y conos
0
cualquiera
de las variables que intervienen en las f6rmulas que se utilicen.
• Anticipa c6mo cambia el volumen al aumentar
0 disminuir
alguna de las dimensiones.
• Lee y representa qrafica y algebraicamente, relaciones lineales y cuadraticas.
• Resuelve problemas que implican calcular la probabilidad de eventos complementarios,
mutuamente excluyentes e independientes.
EJES
SENTIDO NUMERICO
Y PENSAMIENTO ALGEBRAICO
FORMA, ESPACIO Y MEDIDA
MANEJO DE LA INFORMACION
PATRONES Y ECUACIONES
MEDIDA
PROPORCIONALIDAD Y FUNCIONES
• Resoluci6n de problemas que
implican el uso de ecuaciones
lineales, cuadratlcas 0 sistema de
• Anallsis de las secciones que
se obtienen al realizar cortes a
un cilindro 0 a un cono recto.
ecuaciones.
• Formulaci6n de problemas a partir
de una ecuaci6n dada.
.Analisis de situaciones
problematicas asociadas a
fen6menos de la fisica, la
biologia, la economia y otras
• Calculo de las medidas de
los radios de los cfrculos que
se obtienen al hacer cortes
paralelos en un cono recto.
• Construcci6n de las f6rmulas
para calcular el volumen de
cilindros y conos, tomando
como referencia las f6rmulas
de prismas y piramldes.
disciplinas, en las que existe
variaci6n lineal
0
cuadratica
entre dos conjuntos de
cantidades.
NOCIONES DE PROBABILIDAD
.Analisis de las condiciones
necesarias para que un juego de
azar sea justo, con base en la
• Estimaci6n y calculo del
volumen de cilindros y conos
o de cualquiera de las variables
implicadas en las f6rmulas.
No hay ciencia que hable de
las armonias de la naturaleza
con mas claridad que las
MATEMATICAS.
PAULO CARUSo
127
vfdvgfdfgv000129
noci6n de resultados
equiprobables y no
equiprobables.
PROBLEMAS QUE IMPLICAN EL usa DE ECUACIONES
LINEALES, CUADRATICAS 0 SISTEMA DE ECUACIONES
Se ha reservado este espacio para ofrecer a los alumnos numerosas oportunidades para
plantear y resolver problemas mediante el uso de ecuaciones, sistema de ecuaciones 0
ecuaciones cuadraticas,
1. Maribel pidi61 00 refrescos a una tienda. Los de naranja se los vendieron a $ 8 Y los de cola a $ 7. Si pag6 en
total $ 760, G cuantos refrescos de naranja pidi6?
b) Por medio de un sistema de ecuaciones:
a) Par medio de una ecuaci6n lineal:
Planteamiento:
Planteamiento:
Ecuaci6n:
R. (N): x
R. ( C ) : 100 - x
Ecuaci6n:
(1) x + Y = 100 Multiplicamos par - 71a primera
(2) 8x + 7y = 760 ecuaci6n para eliminar a (y).
8 (x) + 7 (100 - x) = 760
8x + 700 - 7x = 760
8x - 7x = 760 - 700
x = 60
Resultado: 60 refrescos
de naranja
- 7x - 7y = - 700
Resultado: 60 refrescos 8x + 7y = 760
x + 0 =
60
de naranja.
x = 60
EI ejemplo anterior puede resolverse con una ecuaci6n 0 con un sistema de
ecuaciones. Tu puedes resolverlo como mas se te facilite.
2. La base de un trianqulo es 3 m menor que la altura;
el area mide 20 m2 6 cuanto miden la base y la
altura?
Planteamiento:
h:x
3. Ubaldo tiene 36 anos: hace 14 tenia el doble de
Manuel. Gcuantos an os tiene ahora Manuel?
Ecuaci6n:
x2
-
3x - 40 = 0
(x - 8) (x + 5) = 0
b: x - 3
x - 8= 0
A = bh
2
(x - 3) {x)
20
2
2
x - 3x
20 =
2
40 =
i -3x
i -3x =
x2
-
40
3x - 40 = 0
x, = 8
x+5=0
x2 = - 5
Usamos el valor
positivo: x = 8
Resultados:
Base = 5 m
Altura = 8 m
128
vfdvgfdfgv000130
PROBLEMAS QUE IMPLICAN EL usa DE ECUACIONES
LINEALES, CUADRATICAS 0 SISTEMA DE ECUACIONES
4. Se venden bicicletas y triciclos, Angelica Ie pregunta 5. Encontrar dos nurneros
a Julisa: I.- cuantas bicicletas y cuantos triciclos hay,
producto sea igual a 11O?
si en total conte 50 pedales y 64 ruedas ?
6. En una elecci6n el candidato ganador triplic6 los
votos del otro candidato. Si votaron 116 personas,
i cuantos votos recibi6 el candidato ganador?
consecutivos,
cuyo
7. Dos anqulos suplementarios suman 180 si la
diferencia de los anqulos es de 90 i cuanto mide
cada anqulo ?
129
vfdvgfdfgv000131
0
,
0
,
PROBLEMAS QUE IMPLICAN EL usa DE ECUACIONES
LINEALES, CUADRATICAS 0 SISTEMA DE ECUACIONES
8. EIarea de un cfrculo mide 50.24 cm2, si consideramos
que 1[ = 3.14, 6 cual es la longitud del radio?
9. Los lados de un trianqulo estan dados por las
expresiones: x + 2, 2x + 7 y 3x + 4 yel perimetro
del trianqulo es 19 m, 6 cuales son las longitudes
de los lados del trianqulo ?
10. La suma del dinero de Arturo y Javier es de
$ 30 864 Y al restarle al dinero de Arturo el dinero
de Javier se obtienen $ 6 194. 6 Cuanto dinero
tiene cada uno?
11. La suma de dos nurneros consecutivos, cad a uno
elevado al cuadrado es igual a 61. 6 Cuales son
esos numeros ?
130
vfdvgfdfgv000132
PROBLEMAS QUE IMPLICAN EL usa DE ECUACIONES
LINEALES, CUADRATICAS 0 SISTEMA DE ECUACIONES
12. Un alpinista desea cortar una cuerda de 123 m de
longitud en tres tramos. Si cada tramo debe tener
dos metros mas que el anterior, (, como debe
hacer los cortes?
13. La familia Garda fue a la playa y regres6 por un
camino distinto, que era 12 kil6metres mas largo
que el de ida, Si en total recorri6 138 kilometres,
(, que distancia recorri6 en cada camino?
14.
15. Rosi compra cinco tortas y seis refrescos y paga
$ 132. Bety compra siete refrescos y seis tortas
pagando $157. (, Cual es el precio de una torta y
de un refresco ?
Una tabrica
de autornoviles
produce
semanalmente 1 250 unidades, la mayor parte
son autornaticos y el resto estandar. (, Cuantos
autos de cada tipo se preducen semanalmente
si la diferencia entre autornatlcos y estandar es
de 250 unidades ?
131
vfdvgfdfgv000133
;.;_...~.
i '.
FORMULACION DE PROBLEMAS A PARTIR DE
UNA ECUACION DADA
1. Si tenemos
altura?
?
un rectanqulo
2
x
2
euya area es x = - 13x - 36, (.,cual es la faetorizaei6n
que representa
la base y la
= - 13x - 36
?
A) (x + 2) (x + 1B)
8) (x - 3) (x
C) (x + 4) (x
+ 12)
+ 9)
D) (x - 1) (x + 36)
2. (.,Cual de las siguientes
situaeiones
se resuelve mediante
la eeuaei6n
x"L + 2x - 120 = 0 ?
2
A) La base de un trianqulo es 2 em mayor que su altura y su area vale 60 em
8) Ellargo
de un rectanqulo es 4 em mayor que su base y el area equivalente
C) Ellargo
de un rectanqulo
D) La altura de un trianqulo
3. EI area del paralelogramo
es igual a la base mas 2 unidades
2
a 120 em
2
y su area equivale a 60 em
2
es 4 em mayor que el doble de su base y su area es de 120 em
es x"L + x
= 72 Y la
base es 1 m mayor que la altura, (., cuanto mide la altura?
/ xV
x
A)
11 m
8)
10 m
C)
9m
D)
Bm
+
1
4. EI area de la eaneha del Estadio Azteea es x"L + 45x = 4050
aneho, (.,cuales son las medidas de la eaneha ?
m2. si ellargo
x + 45
I
A)
120 Y 75 m
8)
C)
110y65m
D)
Ix
100 Y 55 m
90y 45 m
132
vfdvgfdfgv000134
es 45 m mas grande que su
FORMULACION DE PROBLEMAS A PARTIR DE
UNA ECUACION DADA
5. EI area de un rectanqulo es x2 -12 x
+ 35 = 0,
y la base es 2 m mayor que la altura; (.cuanto mide la altura?
m
A)
5
8)
7m
C)
9
m
0) 11 m
6. La expresi6n x2 - 11x
esta expresi6n ?
= - 30 es un trinomio
de segundo grado, (. cual de los siguientes productos equivale a
A) (x + 6) (x + 5)
8) (x - 6) (x - 5)
C) (7 - x) (7 + x)
0) (x - 7) (x + 7)
7. La siguiente ecuaci6n m = t2 - t + 1 representa el crecimiento de un cultivo de peces, en donde crecen de
modo que su masa (m) en kilogramos depende del tiempo (t) en meses que transcurren. (. Cual de las
siguientes tablas representa este crecimiento ?
A)
t
1
2
3
4
5
t
1
2
3
m
1
4
13
19
4
8
5
0)
C)
8)
m
1
5
10
16
21
t
1
2
3
m
1
3
4
15
20
5
8
t
1
2
3
m
1
3
4
13
21
5
7
8. Observa la siguiente figura, si el area en color azul esta dada por la expresi6n
la factorizaci6n de esta expresi6n ?
1
x
A) (7
8) (x
+ x) (7 - x)
+ 7) (x + 7)
C) (7 - x) (7 - x)
0) (x - 7) (x
x2 - 49
T
1
7
I--
7---1
1
X
+ 7)
133
vfdvgfdfgv000135
i -49, (. cuat
operon presenta
ANALISIS DE LAS SECCIONES QUE SE OBTIENEN AL
REALIZAR CORTES A UN CILINDRO
(. De cuantas formas puedes realizar cortes por un plano a un cilindro ?
-----
_,
-:
~
--
-,
--
- --
1. i Que figura se forma si cortas el cilindro por un
plano horizontal?
2. L Que figura se forma si cortas el cilindro por un
plano vertical?
3. i Puedes cortar el cillndro en mas de dos partes
por un solo plano?
4. i Que figura se forma si cortas el cilindro por un
plano en diagonal?
134
vfdvgfdfgv000136
ANALISIS DE LAS SECCIONES QUE SE OBTIENEN AL
REALIZAR CORTES A UN CO NO RECTO
La curva formada por la interseccton de un plano y una superficie cornea circular
recta se llama SECCION CONICA.
1. (.,Que figura se forma si el corte se realiza por un
plano paralelo a una directriz ?
2. (.,Que figura se forma si el corte se hace por un
plano horizontal?
3. (.,Que figura se forma si el corte se realiza por un
plano diagonal al eje ?
4. (.,Que figura se forma si el corte se realiza por un
plano paralelo al eje ?
Los rnaternaticos griegos de la antigQedad estaban familiarizados
y descubrieron muchas de sus propiedades. Pudieron expresar
por medio de ecuaciones maternaticas. EI contenido de estas
propiedades se incluyen en el estudio de la Geometria Analitica
el transcurso del BACHILLERATO que es el proximo escalon
estudiantil.
135
vfdvgfdfgv000137
con las CONICAS
estas propiedades
ecuaciones y sus
que estudiaras en
de tu preparacion
CORTES PARALELOS EN UN CONO RECTO
1.0bserva la variaci6n que se da en el radio de los diversos clrculos que
se obtienen cuando se hacen cortes paralelos en un cono recto.
a) Si un cono 10 obtienes haciendo girar un trlanqulo rectanqulo cuya base es de 10 cm y su altura es de
16 cm.z cuanto mide el radio de la base del co no ?
b) Si cortas a la mitad de la altura del cono, Gcuanto debera medir el radio de la base?
I---
10--l
c) Si vuelves a cortar el co no a la mitad de su nueva altura, Gcuanto debera medir el radio de la base?
d) Si vuelves a cortar el cono a la mitad de su nueva altura, Gcuanto debera medir el radio de la base?
136
vfdvgfdfgv000138
CONSTRUCCI6N DE LA F6RMULA PARA
CALCULAR EL VOLUMEN DE UN CILINDRO
Si a un prisma se hace aumentar el numero de caras, las areas de las bases se
van acercando a la del circulo base del cilindro y el prisma se convierte
practicarnente en un cilindro.
10 caras
6 caras
18 caras
..._
42 caras
_./
' ......
V
Por 10 tanto: al igual que los prismas para calcular el volumen
de un cilindro se multiplica el area de la base por la altura.
V = Area de la base por altura.
V = Bh
APLICACI6N DE LA F6RMULA: calcula el volumen de los siguientes cilindros.
18 cm
22m
Area de la base
Volumen del cilindro
A =1t r2
V = Bh
A = (3.14) (5)2
V
A = (3.14) (25)
V
A = 78.5 cm2
Resultado: V
Area de la base
A:::1[
= 78.5 (18)
=
A
3
1 413 cm
(3.14) (9)2
A = (3.14) (81)
A
=
=
r2
= 254.34
1 413 cm3
m
Volumen del cilindro
V
=
Bh
V
=
(254.34) (22)
V = 5 595.48 m3
2
Resultado: V = 5 595.48 m3
137
vfdvgfdfgv000139
CONSTRUCCI6N DE LA F6RMULA PARA
CALCULAR EL VOLUMEN DE UN CONO
Si a una pirarnide se aumenta el nurnero de caras indefinidamente, las areas de
las bases se van acercando a la del cfrculo y la pirarnide se convierte en un
cono.
Por 10 tanto: el volumen de un cono, as! como el de la piramide
es igual a un tercio del praducto de su altura par el area de la base.
=
V
Area de la base par altura
V = Bh
3
3
APLICACION DE LA FORMULA: calcula el volumen de los siguientes cones.
7m
Area de la base
Area de la base
Volumen del cono
V =Bh
V =Bh
3
3
A
=
(3.14) (7}2
A = (3.14) (49)
A = 153.86 m2
Resultado: V
V = (153.86) (23)
3
V
=
A
=
(3.14) (122)
A
=
(3.14) (144)
A
= 452.16
V = (452.16) (28)
3
3538.78
3
Resultada: V
1 179.59 m3
138
vfdvgfdfgv000140
V = 12660.48
3
m2
V = 1 179.59 m3
=
Valumen del cono
V
= 4220.16
= 4220.16
m3
m3
CALCULO DEL VOLUMEN DE CILINDROS Y CONOS
a) Un fraseo de loci on Chanel con forma eilfndriea
mide 2 em de dlarnetro y 8 em de altura. ("Cual es
el volumen de locion euando esta lIeno el fraseo?
b) Un barquillo con forma de eono mide 5 em de
diametro y 12 em de altura. (" Que volumen de
helado eontiene el barquillo euando esta Ilene ?
c) Un fraseo de shampoo Pantene de forma eilfndrica
mide 14 em de altura y 5 em de diarnetro. ("Cual es
el volumen de shampoo euando el fraseo esta
lIeno?
d) Una troje (deposito de semi lias) tiene forma de
eono. La altura es de 6.5 myel diametro mide
5.8 m, ("cual es el volumen de la troje euando esta
lIena con granos de mafz ?
e) Un qarrafon Bonafont mide 35 em de altura y 24 em
de diametro. (" Cual es el volumen de agua euando
el qarraton esta a la mitad de su eapaeidad ?
f) En una fabrica de plasticos, eierto produeto
qufmieo por seguridad se almaeena en un
deposito con forma de eono. Si el dlametro de la
base mide 5 m y la altura 4.5 m, i., cual es el
volumen del material qufmieo euando el deposito
esta a la tereera parte de su eapacidad ?
139
vfdvgfdfgv000141
CALCULO DEL VOLUMEN DE CILINDROS Y CONOS
g) Una cisterna Rotoplas de forma eilfndrica tiene un
3
volumen de 6.28 m y el diarnetro mide 2 m.
i Cuanto mide la profundidad de la cisterna?
h) Una casa para aeampar tiene forma cornea, con un
3
volumen de 9.21 m , y el radio de la base mide 2 m.
i Cual es la altura de la casa para acampar?
V
h
h=-
B
i) EI volumen de un frasco cilindrico de fresca pie
Revlon es de 274.75 ern", si se sabe que la altura
del frasco es de 14 cm, i cuanto mide el radio de la
base?
B
=.Y..
h
V
B
j) Un artista construyo
un cono en la playa del mar
con 13.6 m de arena en un diametro de 3.6 m.
i Cual es la altura del eono ?
3
h = 3V
r=ff
B
k) Un pozo cilindrieo tiene una profundidad de 13.8 m
3
y un volumen de 27.6 m , i cuanto mide el radio de
la base del pozo ?
B=h
= 3V
I) Una chimenea con forma conica ocupa un volumen de
3
1.57 m , si la altura de la chimenea es de 6 m,
zcuanto mide el radio de la base de dicha chimenea ?
r=~
B
140
vfdvgfdfgv000142
= _y_
h
r=~
ANALISIS DE SITUACIONES PROBLEMATICAS ASOCIADAS A FENOMENOS DE LA
FISICA, LA BIOLOGIA, LA ECONOMIA, Y OTRAS DISCIPLINAS EN LAS QUE EXISTEN
VARIACION LINEAL 0 CUADRATICA ENTRE DOS CONJUNTOS DE CANTIDADES
,
MATERIAL RADIOACTIVO PARA TRATAMIENTOS MEDICOS
1
r
~~
~.
~
r(
}
"\"
EI material radioactivo ocupado para tratamientos medicos tiene un
porcentaje de deqradacicn conforme pasan los dias.
Para analizar esta problernatica de la deqradacion del material
radioactivo nos auxiliamos con la siguiente ecuacion:
tl~
y
1/
En donde.
= x2 + 10x
y: nurnero de deqradacion
x: numero de dfas
2. Representa la informacion de la tabla por
medio de una qraflca:
1. Com pieta la tabla:
y=
x2
+
10x
x
Y
1
2
3
4
11
24
Y = (1)2 + 10(1) = 1 + 10 =
Y = (2)~ + 10(2) = 4 + 20 =
5
6
7
120
110
c
'0 100
'(5
(1j
90
11 "Cl
(1j
.... 80
70
24 en
(])
"Cl
60
(])
"0
50
0
....
40
(])
E 30
':::J
z 20
10
0
1
3. Contesta las siguientes preguntas:
a) ;_Cual es el nurnero de deqradaclon en el decimo
c)
2
4
3
5
Dfas transcurridos
6
7
dia ?
b) ;_Cual es el numero de deqradacion en el duodecirno
dfa?
i En que dla el nurnero de deqradaclon es de 144 ?
d)i En que dfa el nurnero de deqradacion es de 231 ?
f) ;_ Que tipo de variacion representa la qraflca: lineal
e)
i Que nombre recibe la figura de la qrafica ?
o cuadratica ?
141
vfdvgfdfgv000143
,
r
EL NUMERO DE VENTAS DE UN TELEFONO CELULAR
En un almacen de autoservicio el numero de ventas de un teletono celular se incrementa considerablemente
al paso de los dias, por 10 que el departamento de producci6n y ventas analiza este positive fen6meno.
Los encargados de esta producci6n analizan y concluyen que por medio de la siguiente ecuaci6n pueden
calcular a futuro estas ventas con la siguiente ecuaci6n:
y = x2 + 6x
En donde:
+9
y: es el nurnero de celulares vendidos
x: es el numero de dias
2. Representa la informaci6n por
medio de una qrafica:
1. Completa la tabla:
y =
110
100
i + 6x + 9
en 90
.g 80
x
y
1
2
3
4
5
6
7
8
16
Y = (1)2 + 6(1)
25
Y=
+ 9 = 16
(2)2 + 6(2) + 9 = 25
:0
c
~
~
....
m
70
60
50
40
:::I
Q) 30
0
20
10
0
1
2
4
3
5
6
Nurnero de dias
7
8
3. Contesta las siguientes preguntas:
a) i Cual es el nurnero de telefonos vendidos el
novenodia?
b) 6 Cual es el nurnero de teletonos vendidos en el
undecirno dla ?
c) 6 En que dia el nurnero de telefonos vendidos es
de232?
d) 6 En que dfa el nurnero de teletonos vendidos es
de306?
e) 6 Que tipo de variaci6n representa la gritfica?
1) i Que nombre recibe la figura de la qrafica ?
142
vfdvgfdfgv000144
ANALISIS DE LAS CONDICIONES NECESARIAS PARA QUE UN JUEGO DE AZAR SEA JUSTO,
CON BASE EN LA NOCION DE RESULTADOS EQUIPROBABLES Y NO EQUIPROBABLES.
JUEGOS DE AZAR EQUIPROBABLES Y NO EQUIPROBABLES
Para participar en un juego de azar primero debemos conocer las condiciones necesarias para que el
juego sea justo, con base en la noci6n de resultados equiprobables y no equiprobables.
Ejemplo: Olga
y Jesus juegan a lanzar dos dados, las reglas son las siguientes:
Primera: En cada lanzamiento se calcula la diferencia entre los puntos de ambos dados, si es 0, 1 0 2 Olga
gana una ficha. Si resulta 3,405, Jesus gana una ficha.
Segunda: EIjuego se inicia con un total de 10 fichas, de las que se toman una cada vez que gana un jugador
el juego termina cuando no quedan mas.
I
Si tuvieras que jugar, i.Cual jugador preferirias ser?, i.Por que?
y
J
Estrategia:
a) Completa la tabla de probabilidad de este juego
para escribir las condiciones en las que se realiza.
Primer dado
-
1 2 3 4 5 6
1 0
0
""0
ctI
""0
0
""0
c
::J
tn
Q)
(J)
2 1
3 2
4 3
5 4
6 5
3
6
36
P (0)
P (3)
=
P (1)
=
P (4)
=
P (2)
=
P (5)
=
d)
LCual es la diferencia
probabilidad de salir?
que
tiene
mayor
e)
LCual es la diferencia
probabilidad de salir?
que
tiene
menor
4
0
=h
CD
...,
CD
::J
0
pj.
2
1
f) Los resultados (0,1,2) y (3,4,5) LSon equiprobables
o no equiprobables?
1 0
Diferencia
b) De acuerdo con la tabla i.Cuantos resultados en
total se obtienen allanzar dos dad os?
g) LCon que resultados preferirias jugar?
c) l.Cual es la probabilidad de que salgan los
siguientes nurneros como resultado de la
diferencia entre los puntos de los dos dados?
h) LCon que resultados deben jugar Olga y Jesus
para hacer el juego equitativo (equiprobable)?
143
vfdvgfdfgv000145
JUEGOS DE AZAR EQUIPROBABLES Y NO EQUIPROBABLES
ELECCION DE ESTRATEGIAS EN FUNCION DEL ANALISIS DE RESULTADOS POSIBLES.
Karla y Luis juegan a lanzar dos dados, las reg las son las siguientes:
Primera:
~~.
Segunda:
Si la suma de los puntos de ambos dados es 7 ninguno de los dos gana.
Tercera:
EIjuego se inicia con un total de 10 fichas, de las que se toma una cad a vez que
gana un jugador y el juego se term ina cuando no quedan mas.
I
_
Si tuvieras que jugar, ;'Cual jugador preferirias ser?, ;'Por que?
In
a
-in
En cada lanzamiento se calcula la suma de los puntos de ambos dados, si
es 2, 3, 4, 5, 0 6, Karla gana una ficha. Si resulta 8,9, 10, 11 012, Luis gana
unaficha.
d
'!
If \~
".
I
Estrategia:
a) Completa la tabla de probabilidad de este juego
para percibir las condiciones en las que se realiza.
Primer dado
+ 1
2
1
0
"0
Cl3
"0
0
"0
c
::J
Ol
Q)
if)
3 4 5 6
P (2)
=
P (8)
=
4
P (3)
=
P (9)
=
P (4)
=
P (10)
=
P (5)
=
P (11)
=
P (6)
=
P (12)
=
2 3
3
7
6
en
c
8
5
3
~
4
d) ;'Cual es la probabilidad de que salgan los
siguientes nurneros como resultado de la suma
de los puntos de los dados?
7
10
5
6
e) iCual es la suma de los puntos de los dados que
tiene la menor probabilidad de salir?
Suma
b) De acuerdo con la tabla ;'Cuantos resultados en
total se obtienen allanzar dos dad os?
f) Los resultados (2, 3, 4, 5, 6) Y (8, 9, 10, 11, 12) ;'Son
equiprobables
c) ;'Cual es la suma que tiene mayor probabilidad de
salir?
0
no equiprobables?
g) ;. Con que resultado preferirias jugar?
144
vfdvgfdfgv000146
ACTIVACION DEL PENSAMIENTO POR MEDIO DE JUEGOS
MATEMATICOS COMO TAREAS DE APRENDIZAJE
EL PENTAcULO MisTICO
EI Pentaculo Mfstico de los pitag6ricos se consideraba un sfmbolo universal de
SALUD, BELLEZA Y AMOR.
Uno de los juegos grabados en las pizarras del tejado del templo de KURMA, en la INDIA
(1700arios a.C.) es encontrar los treinta y cinco trianqulo que estan en el pentaqono.
A
En la obra FAUSTO de Goethe,
el Doctor Fausto utiliza el
Pentaculo Mfstico
para espantar a
Mefist6feles el demonio.
1. Usa literales para anotar los treinta y cinco trianqulos,
ABG
2)6
ABH
3)6
ABC
4)6
AFG
5)6. AJC
6)6. AHO
7)6. AGO
1)~
8)6
15)6
22)6
29)6
9)6
16)6
23)6
30)6
10)6
17)6
24)6
31)6
11)~
18)6
25)6.
32)6
12)6.
19)
6.
14)6.
20)6
6.
27)6.
21)6
28)6.
13)
6.
26)
145
vfdvgfdfgv000147
33)6
34)6
35)6.
EVALUACION DEL QUINTO BLOQUE
ESCUELA:
MAESTRO (A):
ALUMNO (A):
GRUPO:
__
_
---:ACIERTOS:
1. En un rectanqulo ellargo es 3 unidades mayor que
su ancho. Si su area es igual a 30, i. cual es la
ecuaci6n que permite calcular los lados del
rectanqulo ?
A)
B)
C)
D)
l + 3x - 30 = 0
x2 + 3x + 30 = 0
2
x - 3x - 30 = 0
i -3x + 30 = 0
_
CALIFICACION:
2. Un autom6vil y un cami6n salen de Mexico, D. F. al
mismo tiempo, en direcciones opuestas. Cuando
estan a 350 km de distancia, el autom6vil ha
recorrido 70 km mas que el cami6n. G Que
distancia recorri6 el autom6vil ?
A) 210 km
3. Karla tiene 7 cajas de chocolate y 5 sueltos. Si las
cajas contienen el mismo nurnero de chocolates y
en total son 96, G cuantos chocolates hay en la caja ?
B)
180 km
C)
130 km
D)
90 km
4. Si el radio de la base del cono mide una cuarta parte
de 10que mide su altura, G cual es su volumen ?
Considera 1t
= 3.14, V =31
I
2
1t r h
......
A) 10
0)
o
3
B) 11
C) 12
x----
D) 13
1
A) 133.97 cm3
B) 267.94 cm3
C) 401.92 cm3
D) 803.84 cm3
5. Encuentra el area lateral de un cilindro cuya altura
mide 29 cm y la circunferencia de su base 57 cm de
longitud.
6. Un barquillo con forma de cono mide 4 em de
diametro y 10 em de altura. G Que volumen de
helado eontiene el barquillo euando esta lIeno?
A)
3606.0 em2
A) 125.6 em3
B)
1 653.0 cm2
B) 113.5 em3
C)
826.5 cm2
C)
62.1 cm3
D)
28.0 cm2
D)
41.8 ern"
146
vfdvgfdfgv000148
EVALUACION DEL QUINTO BLOQUE
7. i Cual es la figura que se forma si cortas el cilindro
8. i Cual es la figura que se puede ver en el corte
hecho por el plano oblicuo al eje ?
por un plano horizontal?
A) Una parabola
A) Una parabola
8) Una hiperbola
8) Una hiperbola
G) Un circulo
C) Un circulo
D) Una elipse
D) Una elipse
9. i Cual es el volumen en cm3 de una jfcara en forma
cilfndrica donde el diarnetro de la base es de 16 cm
y la altura es de 9 cm ?
Gonsidera
/'"16cm~
E
o
I'-
1t
10. i Cuantos cm3 caben en el siguiente cono ?
Gonsidera
= 3.14
""
0')
-I-
'-,-
- -
......
v
A) 1 808
8) 2324
A) 28.26
C) 2750
8) 31.15
D) 3096
G) 34.30
D) 37.68
147
vfdvgfdfgv000149
1t
= 3.14
i.
RESOLUCI6N DE PROBLEMAS
21. Ninel dice que si un determinado
numero 10
multi plica por - 2 Y Ie suma 5 obtiene como
resultado un numero dado. Luis dice que si ese
mismo nurnero 10 multiplica por - 3 Y Ie suma 7
unidades obtendra el mismo numero dado que
Ninel. (. Cual es la ecuaci6n que se obtiene de la
situaci6n anterior?
A)
B)
C)
D)
+ 5 = 3x
- 2x + 5 = - 3x
- 2x + 5 = 3x
2x + 5 = - 3x
2x
+7
+7
+7
+7
25. Una canastilla de frutas contiene 114 frutas entre
manzanas, peras y ciruelas. Si se sabe que hay
5 manzanas por cada 10 ciruelas y 5 ciruelas por
cada 2 peras, (. cuantas ciruelas contiene
la
canastilla?
A) 22
B) 54
C) 60
D) 92
22. Una empresa de investigaci6n privada aplic6 una
encuesta a 200 familias de las cuales 32 dijeron
tener un hijo, 55 dos hijos, 58 tres hijos, 25 cuatro
hijos y 30 cinco 0 mas hijos. (. Cual es la
probabilidad de que una familia escogida de la
encuesta al azar tenga a 10 mas tres hijos ?
26. EI area de un rectanqulo es de 4x2 + 6x. Si el
ancho
mide 2x, (. cual de las siguientes
expresiones representa la medida de su largo?
A) 8x3
+
A) 72.5 %
B) 4x2
B) 56.5 %
C)
+ 8x
+ 3x
C) 27.5 %
D) 2x
D) 45
2X2
+
12x2
3
%
23. Nely esta mas cerca de Pedro que Eva, Sonia esta
mas lejos que Laura y Eva esta mas cerca que
Laura. (. Oulenes estan mas lejos de Pedro?
27. (. Cual es la figura que resulta de trazar dos lineas
paralelas intersecadas
por dos rectas secantes
paralelas no perpendiculares
?
A) Sonia y Nely
A) Un trapezoide
B) Laura y Sonia
B) Un romboide
C) Sonia
y Eva
C) Un cuadrado
D) Laura y Nely
24. Observa
D) Un trapecio
la siguiente
gr8.fica:
28. Esther para resolver la ecuaci6n
realiz6 el siguiente procedimiento:
7x - 9
7x -
9
=7+
= 7 + 3x
I
15
7x - 3x - 9 = 7
Numere
de
10
vueles
7x - 3x = 7
5
= 16
x = (16)
4x
o
100
110 120 130 140 150
Pasajeres per vuelo
x=
(. Cual es la moda en el nurnero de vuelos?
A)
+9
100 pasajeros
B) 110 pasajeros
C) 120 pasajeros
D) 140 pasajeros
64
(4)
••••.••••••
11
..........
III
..........
IV
...........
V
..........
VI
De acuerdo con Esther, (. en que paso
se equivoc6?
A)
II
B)
III
C) IV
D) V
148
vfdvgfdfgv000150
3x
RESOLUCION DE PROBLEMAS
29. Observa el siguiente sistema de ecuaciones:
2x - y
x+y=5
;_Cuales son los val ores de "x" y de "y" que
satisfacen ?
B)
G)
D)
De
los
una
pareja
I
5 II
4
~
_.l
42 ~6
~
/'1\
3
A) V Y II
de
/1
"'-'0!i7--7
4
rectanqulo:
Si su area es x2 + x - 6, ;_ cual de las siguientes
factorizaciones
presenta
correctamente
el
producto de su base por su altura?
siguiente
trianqulos
congruentes es:
trianqulos
el siguiente
10
x = 3; Y = 2
x = 9; y = - 4
x = - 3; Y = - 2
x = - 9; y = 6
A)
30.
33. Observa
=4
~
A) (x
+ 3)
8) (x
+
(x - 2)
1) (x - 6)
+ 2)
(x + 6)
G) (x - 3) (x
D) (x - 1)
2 1-3-4-.-U-n-n-in-o-t-ie-n-e-e-I-m-is-m-o-n-um-e-ro-d-e-h-e-r-m-a-n-as-q-u-e-l
3
de hermanos, y una de sus hermanas tiene la
mitad de herman as que de hermanos.z Cuantos
nines hay en la familia?
i Cuantos son hombres
5
B) I Y V
Y cuantas mujeres ?
C) III Y I
D) II Y IV
31. i Cual es la soluci6n
S2
+
18S
+
de la ecuaci6n
?
A) 5, 3 hombres
y 2 mujeres
B) 4, 2 hombres
y 2 mujeres
G) 5, 2 hombres y 3 mujeres
D) 7,4 hombres
81 = 0
y 3 mujeres
35. Observa el siguiente
prisma:
~/l~_-f/l
A) S =9
B) S =99
C) 8 =- 9
D) 8=-99
De acuerdo
32. Observa
2x
I
1
+
la siguiente
figura:
8) 3x3
C) 4x3
D) 3x4
4x
1----
+2
-----i
Si queremos calcular nurnericarnente
el area total
del trianqulo rectanqulo,
i cual de las siguientes
ecuaciones debemos de resolver?
B)
+ 8x + 2
8l + 4x + 2
=
36. En una urna se encuentran 8 bolas de tarnano
identico pero de diferente color: rojo, azul, verde,
blanco, negro, gris, amarillo y cafe. i Cual es la
probabilidad de sacar de la urna una bola roja ?
A)
=0
8
C) 4x + 4x + 1 = 0
2
+
4x
+
2
1
B) _1
4
C) _1
0
2
D) 4x
i cual es su volumen ?
A) 4X7
1
A) 8x2
con sus datos,
D)
=0
1
16
149
vfdvgfdfgv000151
RESOLUCION DE PROBLEMAS
37. Un terreno que mide
cuadrados a:
~ m2 equivale en dedmetros
41. Observa el siguiente trianqulo:
(,.Cual de los siguientes trlangulos
es semejante ?
A) 120 dm2
B) 125 dm2
A)
3
2
C) 150 dm
2~
D) 175 dm2
D)
C)
4
38. EI sistema de ecuaciones que representa la
siguiente grafica tiene como soluci6n al punto:
2~.5
7.5
6
B)
5
1.5
'---4---"
5
42. Observa la siguiente figura:
A) (-2,
B) (0, C) (0,
D) (-1,
1)
2)
2)
0)
Si el4: RJS mide 68°
(,.cuanto mide el 4: ROS?
2 3
J
39. ;,.Cual de las siguientes es una caracterlstica de
las graficas que representan cantidades que
varian de forma directamente proporcional ?
A) Tienen rectas que siempre pasan por el origen.
B) Tienen rectas que siempre pasan por un lado del
origen.
C) Tienen curvas que pasan par el origen.
D) Tienen curvas que nunca tocan el origen.
A)
34°
B)
46°
C)
108°
D)
136°
43. EI siguiente tnanqulo es equilatero,
Su lado mide 2 unidades
y su altura mide {3.
EI coseno de 60° es igual a:
2
A) 0.3
B) 0.4
40. Un hombre que mide 1.80 m de alto y un arbol,
a la misma hora del dla, proyectan sus sombras
que miden respectivamente 3 m y 10m. ;,.Cual
es la altura del arbol ?
C) 0.5
D) 0.6
44. Una torre proyecta una sombra de 12 metros
cuando la inclinaci6n de los rayos solares es de
45°, como se muestra a continuaci6n.
La torre mide:
A)
A)
4.2 m
B)
5.4 m
C)
6.0
m
8m
B) 10
m
C) 12 m
D) 14 m
D) 11.6 m
150
vfdvgfdfgv000152
12
m
,
RESOLUCION DE PROBLEMAS
49. La factorizaci6n de 9x2
45. Observa el siguiente dibujo a escala de una hoja:
Si la escala a la que se dibuj6 es: de
10: 1 entonces, (. cual debe ser el
tamario real de la hoja ?
A)
600 mm
8)
60
m
C)
6
m
D)
6cm
60
1
1
A) (3x2
-
-
12 xy +
4l
es igual a:
2y)2
2
+ 2y )2
2
C) (- 3x - 2y)2
8) (- 3x
D) (3x - 2y)2
46. Considerando que la medida de abertura de un
cornpas es la distancia que tiene desde el punto
donde aparece el pico hasta el punto donde
aparece el lapiz, (. cuanto debe medir dicha
abertura para que se pueda trazar un cfrculo con
area igual a 78.5 cm2 (Considera 1t = 3.14)
50. EI producto notable de (x + 2y) (x - 2y) es:
A) x2
8)
-
4y
i -4l
C) x - 2y
D) 2X2_ 4y4
A)
2.5 cm
8)
5 cm
C) 10 cm
D) 49.3 cm
51. AI factorizar x2 - x-56 se obtiene:
47. EI producto notable de (5x - 7)2 es igual a:
A) 25i - 70x + 49
A) (x + 14) (x -4)
8) 25i - 12x + 49
8) (x - 14) (x +4)
C) 25i
C) (x - 14) (x - 4)
D)
+ 2x + 49
25i - 5x + 49
D) (x - 8) (x
48. (. Cual de las siguientes opciones expresa el
52. AI dividir (a2 - 2ax + x2) entre (a - x) la opci6n que
resultado del cociente ~ ?
x
A)
8)
C)
D)
representa al cociente es:
_Q_
A) (a + 1)
i
8) (a + x)
1
+ 7)
;:
C) (a - x)
1
x2
1
2x
D) (- a + x)
151
vfdvgfdfgv000153
RESOLUCION DE PROBLEMAS
53. i Gual es el resultado del siguiente producto notable:
(2X + ~ )
57. i Gual de las expresiones
algebraicas representa
la relaci6n de proporcionalidad
directa de los
valores de la tabla?
(2X - ~ )
9
A) Y
=x+1
8) 4x2_.1
9
8) y
=x ~
G)
2X2 - 9
D) 4x2
D) Y
a la ecuaci6n
y
= x2?
X
el siguiente
y ~
8) 1 6 Y ~6
2
1
1
G) 32 Y 48
1
1
D) 24 Y 32
59. Soluciona
polinomio:
(-3l + 4~ + 2X2)
ecuaci6n:
3x -1 = x
si
=-
A)
A) -7
x
8) x
8
G) - 9
D) 10
56. Hugo fue a comprar un libra, que tiene un 10% de
descuento;
perc como la librerla esta de oferta
hizo otro descuento
del 10%. Adernas a Hugo,
por ser un estudiante Ie descontaron, a la hora del
pago, otro 10%. i Que porcentaje
del precio
original pag6 Hugo por su libro ?
=
+
3
0.5
4
=5
G)
x =..±.
D)
x =
7
2
3. Guatro de los satelites que giran en torno a Saturno,
10 hacen en: Mimas en 0.94dias, Encelado en 1.37
dlas, Tetis en 1.88 dias y Palene en 1.14 dias
aproximadamente.
iEn cual de las siguientes rectas
la flecha marca el tiempo en el que gira uno de los
satelites alrededor del planeta?
A) 1111111111111111111
012
8) 11111111
012
D) 72.9%
la siguiente
3x
~ Cual debe ser su valor nurnerico
suponemos
que x
1?
C) 70.0%
1
1~
=
A)+
D)* E)~x
8) 30.0%
-r-'ll~""'--'I
58. Si se divide una barra de dulce de membrillo en 16
pedazos y luego la mitad de ellos se dividen en
dos, mientras que los restantes se dividen en tres,
i Que fracciones representan los pedazos mas
pequenos
que se obtuvieron
en cada caso,
respectivamente
?
C)x3f-
A)-E B)~
A) 27.1%
'---'1 0~'--5
1
54. i Que qrafica corresponde
8)
~.-::r-!
12...--T1-_
C) Y =- x
2
+9
55. Observa
~---'I-'~
"'--1
-.!
A) 2x2
G) 11111111111
012
D) 11111111111111
012
152
vfdvgfdfgv000154
~
~IIIIIIIIIIII
~
11111111
~IIIIII
RESOLUCION DE PROBLEMAS
65. i.., Cual de las siguientes factorizaciones nos presenta
el producto de la base por la altura del siguiente
rectanqulo ?
61. Un edificio proyecta una sombra de 32 m
cuando la inclinaci6n de los rayos solares es de
45° como se muestra a continuaci6n:
EI edificio mide:
A) (3m - 5m2)2
A) 45 m
B) 40
B) 3m (3m + 5m3)
m
C) 3m (3m - 1 + 5m3)
D) (3m + 5m2) (3m - 5m2)
C) 36 m
D) 32 m
62. Las raices
A)
soluciones de la ecuaci6n
x2 - 6x = - 8 son:
66. Observa el siguiente tnanqulo rectanqulo:
0
(" Cual es la raz6n del coseno
del anqulo A ?
A)
2...
B)
2-
B
5
6 Y- 2
12
3
C)_i_
5
B) -6 Y 2
C) 5 Y - 3
D) __§_
4
D) 4 Y 2
63. Para transformar el binomio
- 6rt en un trinomio
cuadrado perfecto, debemos agregarle el terrnino:
67. Si el anqulo formado por las rectas 2 y 4 es de
100°, i.., cuanto mide el anqulo formado por las
rectas 1 y3?
1
A) 12t2
8) 36t2
2
C) 3t
D) 9t2
A) 12°
8) 25°
C) 50°
D) 75°
64. EI siguiente trianqulo es equilatero, la longitud de
su lado es 36 m, y los trianqulos ABC y DBE estan
a escala3 a 1.
A
68. x = 2; y = 3, es la soluci6n del sistema de
ecuaciones slrnultaneas:
A)
i.., Cuanto mide el perimetro
del trapecio ACED?
x+y=6
x - y = 2
B) 2x+y=5
x - Y= 2
A)
108 u
8)
103 u
C)
96 u
D)
90 u
8
C
C) 2x + Y = 7
x - Y= 3
D)
x+y=5
2x - y = 1
153
vfdvgfdfgv000155
RESOLUCI6N DE PROBLEMAS
69. Liz tiene en una cajita varios carretes de hilo del 73. Sara pidi6 100 refrescos a una tienda. Los de
mismo tamario, entre los cuales hay 8 rojos,
naranja se los vendieron a $ 9 Y los de cola a $ 8.
5 verdes y 7 azules. Si ella saca un carrete sin ver,
Si pag6 en total $ 860, l. cuantos refrescos de
l.cual es la probabilidad de que este sea rojo 0 azul?
naranja pidi6?
A)
7
50
B)~
A) 70
20
1
B) 65
C) 60
C) 10
D) 55
D) l._
4
70. En un parque de diversiones, por su aniversario,
cada tercer visitante recibe una gorra gratis, cada
quinto visitante recibe un cartel y cada decirno
visitante recibe una camiseta. i.- Que nurnero de
visitante sera el primero que reciba los tres
regalos?
74. l. Cual es la raz6n de Jatangente del anqulo B?
A
A) Tan B
C)
EI30
A) ~ kil6metro
B)
4cm
4
="3
C) Tan B
3
=5
D) Tan B
= - 45
D) EI60
71. Si un clclista recorre 90 kil6metros en dos horas,
l. cuantos kil6metros recorrera en un minuto ?
!
B) Tan B
A) EI10
B) EI20
=
BL-- __
........
r....J C
75. Si un terreno tiene un area de 120 m2 y otro tiene
360 m2, Ja raz6n del primero respecto al segundo
es:
A) _1
3
!
kil6metro
B)
.z.
1
C) ~ kil6metro
C) _1_
1
D) ~ kil6metro
D) _1
2
72. En un juego se lanza al mismo tiempo un dado y
una moneda, se gana si sale la combinaci6n "aguila" y
un numero par. De todas las combinaciones posibles
que se pueden dar, l. cuantas seran ganadoras ?
76. En un trianqulo rectanqulo un cateto mide 9 u, el
otro cateto 40 u, l. cuanto mide la hipotenusa?
A) 31
u
B) 40 u
C) 41 u
A)
3
B)
4
C)
8
D)
12
D) 80 u
154
vfdvgfdfgv000156
RESOLUCION DE PROBLEMAS
77. EI maestro Bernardo pidi6 resolver la ecuaci6n
3x2 -192 = 0
cuatro de sus alumnos mostraron sus resultados,
i quien obtuvo la respuesta correcta?
80. Para el convivio de fin de ano se pidi6 cooperaci6n
entre los alumnos y las cantidades que aportaron
fueron las siguientes:
43,40,44,40,47,50,38,44,42,
43, 39, 40, 41, 42.
i Cual es el range de las aportaciones
para el convivio de fin de ario ?
A) Yoyis
32
B) Pedro
V64
V12
C) Eva
0) Jose
A) 12
B) 14
C) 42
64
0) 44
78. Observa y analiza la siguiente figura. Si las rectas
E, 0, N Y A que cortan al triangulo RST son
paralelas entre sf, i cuanto mide el lado RS del
trianqulo ?
\
81. Jose resolvi6 el siguiente sistema de ecuaciones con
el procedimiento que se enumera a continuaci6n:
x = 20 + y
x = 2y + 13
CD -
+Y=
2y
+
13
@- Y + 2y = 13 + 20
.@- 3y = 33; Y = 11
@- x = 20 + (11)
@- x=31
20 em \ 14 em\ 10
EON
20
A
(. En cual de los pasos anteriores, Jose
cornetio el primer error?
A) 24.00 em
A) En 1
B) 28.80 em
B) En 2
C) 35.28 em
C) En 3
0) 52.80 em
0) En 4
79. Lili tiene un caj6n con calcetines viejos, revueltos,
sin pares del mismo color. En el caj6n hay 5
calcetines azules, 7 blancos y 3 negros. Si ella
mete la mana al caj6n sin ver para sacar un
calcetin, i cual es la probabilidad de que sea negro
oazul?
A) 0.0666
82. (. Con cual de las siguientes expresiones se
puede calcular el enesimo terrnino de la siguiente
secesion?
1,5,11,19,
+n+1
n +n - 1
n2 + n - 1
n2 - n + 1
A) 2n
B)
B) 0.4666
C)
C) 0.5333
0)
0) 0.6666
155
vfdvgfdfgv000157
...
RESOLUCION DE PROBLEMAS
83. Carlos y Ernesto compran boletos para la rifa de
$ 5 000.00. Para que tengan mayor oportunidad
de ganar deciden que si gana uno de los dos
compartiran el premio.
87. La sustituci6n de los coeficientes a, by c de la
ecuaci6n: 2X2 + 5x - 8 = 0 en la f6rmula general
corresponde
a:
Si Carlos compr6 3 boletos y Ernesto 4 de un total
de 50 boletos vendidos, Gque probabilidad tienen
deganar?
5 ± Y(5)2 - 4 (2) (8)
~=-------------2 (2)
C)_2_
A) _1_
B)
50
50
_g__
2
B) = - 5
0)50
50
±
-(5)2 - 4 (2) (8)
2 (2)
84. Si el radio de la base de un cilindro mide 2 cm y la
altura 8 cm G cuantos centimetros cubicos
su volumen. (considera
1C = 3.14)
C _ -5
mide
) -
D)
±Y
(5)2 - 4 (2) (- 8)
2 (2)
= -5
±
)(5)2 - 4 (2) (8)
2 (2)
A)
50.24
B)
100.48
C)
200.96
0)
401.92
88. G En cual de 105 siguientes
pianos
correctamente al punto (2, -3) ?
y
85. Si tengo una hoja de papel de mide 16 + x por un
lade y 24 + x por el otro, en la que el area total que
2
ocupa es de 560 cm , Gcon cual de las siguientes
ecuaciones
podemos
calcular el valor de la
inc6gnita x en el area de la hoja de papel?
A)
i + 40x + 176 = 0
8)
x2 + 40 x - 384
C)
~,-3)
=0
x2 + 40x + 384 = 0
2
0) x
+
40x - 176
=
(2,-3)+
A)~x
B)
e)lx
o)lx
~2,-3)
(2,-3~
0
1--------------------1
86. i Cual de las siguientes
figuras qeornetricas
tiene simetria central con respecto al punto?
se situa
89. Si hacemos la grafica de la ecuaci6n
no
5y -7x = 4
dicha grafica es:
A) un cfrculo
B) un cuadrado
C)
una linea recta
D) un trianqulo
156
vfdvgfdfgv000158
x
RESOLUCION DE PROBLEMAS
90. Un ciclista recorre 24 m en 12 segundos,
posteriormente reallza el mismo recorrido en 6
segundos, 10 cual significa que su velocidad:
94. Observa la siguiente ecuaci6n que representa
una recta en el plano cartesiano:
y=_.1.x+.1.
5
A) aumenta un medio
A)
B) no cambia
_.i... "
8
Cual es el valor de su pendiente ?
5
C) disminuye un medio
B)
0) aumenta el doble
C)
3
8
4
5
0)- ~
91. Mario tiene 36 alios, hace 14 tenia el doble de la
edad de Ricardo, " cuantos alios tiene ahora
Ricardo?
95. Malena necesita comprar papel para envolver 8
cajas como regalos, si cada caja se envuelve
con 3/4 de metro de papel, i, CUEtntOS
metros
tiene que comprar ?
A) 2.4
m
A) 11
B) 4 m
B) 12
C) 6 m
C) 22
0) 6.5 m
0) 25
E) 7.2 m
92. " Que tipo de tnanqutos resultan al trazar las
diagonales de un hexaqono regular?
96. Si en un rectangulo el lado mas largo mide el doble
del ancho y el perimetro es igual a 48 unidades, entonces
" cuanto miden ellargo y el ancho respectivamente?
A) Is6sceles
B) Escalenos
A) 16 Y 32 unidades
C)
B) 14 Y 28 unidades
Equilateros
0) Hectanqulos
C) 12 Y 14 unidades
0)
93. EI 78% del aire esta constituido por nltroqeno,
" Cuantos kiloqramos de nitr6geno habra en
cinco kilogramos de aire ?
8 Y 16 unidades
97. Si sen A = ~ entonces el valor de Tan A es:
A) 1.56
A)
B) 2.56
B) ~
4
C) 3.56
0) 3.90
~
C).i...
3
0)2
4
157
vfdvgfdfgv000159
5
A~3
RESOLUCION DE PROBLEMAS
101. En el siguiente trianqulo rectanqulo ABC, la raz6n
98. Observa el siguiente trianqulo rectanqulo:
ac
A
d
B
5~1
corresponde:
b
3
4
~
c
C-'-----...,..a----'B
En relaci6n con los datos del trlanqulo anterior,
A) al coseno del anqulo C
i.. cual de las siguientes razones triqonornetricas
es correcta ?
A) sen A
=;
B) cos A
=~
C) tan A
= ~
A
=!
D) csc
B) a la cosec ante del anqulo B
C) a la cotangente
del anqulo C
D) a la tangente del anqulo C
102. En la siguiente figura,
20 m
I--
99. De los siguientes numeros, i.. cual completa la
expresi6n?
----i
la altura del faro esta dada por:
A) 20 tan 30°
A) _1
B) 20 cos 30°
2
B)
C) 20 sen 30°
..£..
D)
5
C)...±..
5
sen 30°
20
103. Observa el siguiente rectanqulo
D) _1
4
2;
100. Si el anqulo central mide 122°, entonces el
angulo inscrito mide:
+
5x -12
Si su area es 2X2 + 5x - 12, i.. cual de las siguientes
factorizaciones presenta correctamente el producto
de su base por su altura?
A) 21°
A) (2x - 3) (x
B) 41°
B) (2
C) 61°
C) (x - 7) (x
D) 71°
D) (2x
+
x) (x - 6)
+ 3)
158
vfdvgfdfgv000160
+ 4)
+ 2)
(x - 9)
RESOLUCI6N DE PROBLEMAS
104. Para calcular el area del cuadritatero
suficiente conocer la longitud de los lados:
es
107. Observa la siguiente tabla:
0
P
M
-2
3
4
10
Y
-4
6
8
20
6 Gual de las siguientes expresiones algebraicas
presenta la relaci6n que existe entre sus valores ?
N
T
x
R
A)
A) PO, OR, RT, PT
B)
_1 x
2
1+x
=
Y
=
Y
2
B) PR, TM, ON
G) 2x
G) PO, OR, TR, PR
0)
0) OR, ON, NR
105. Observa la siguiente figura donde la linea
punteada representa un eje de simetrfa.
~
+ 1=Y
2x
=
Y
108. Un barco navegando a velocidad constante
recorri6 90 millas en 15 horas, 6 A que
velocidad viaj6 el barco?
,
6 Cual es la figura completa que Ie corresponde ?
B)
W
A) 12 millas/horas
0)
~
106. AI iniciar un viaje, el tanque de gasolina de un
coche estaba lIeno hasta las tres cuartas partes de
su capacidad. AI lIegar a su destino Ie quedaba
solamente un tercio del tanque. Si la capacidad
total del tanque es de 60 lltros, 6 cuantos litros de
gasolina consumi6 en el trayecto ?
A) 151itros
B) 20litros
C) 251itros
B)
9 millas/horas
G)
6 millas/horas
0)
8 millas/horas
109. EI papa de Miguel quiere saber si 10 que ha
ahorrado en el banco es suficiente para
comprar un terreno. Para saberlo debe
conocer:
A)
8)
C)
D)
0) 30litros
el precio por metro cuadrado
la medida del frente del terreno
la forma y superficie del terreno
el precio por metro cuadrado y la superficie del
terreno
159
vfdvgfdfgv000161
RESOLUCION DE PROBLEMAS
110. Observa el siguiente trianqulo
rectanqulo:
113. Observa
B
y
la grafica de la ecuaci6n
= x2 + 8x + 15
\
A~
I
\
15
i Cual es la raz6n del coseno
del anqulo A ?
\
12
I
L
1\
A) ~
5
B) _§_
\
IC
A
/
9
3
C)
..!.
D)
_§_
..
1\ J
5
Con base en la qrafica, las soluciones
4
de la ecuaci6n
i + 8x + 15son:
~--------------------------------_,
111. Las raices 0 soluciones de la ecuaci6n
2
x - 6x
= - 8 son:
3Y-5
A)
Y 5
B)
-3
C)
-3Y-5
D)
5
Y-3
114. La soluci6n
de la ecuaci6n:
3x
2
A)
+ 6 = 0 es:.
6 Y- 2
B) - 6 Y
2
C)
5 Y -3
D)
4 Y
2
112. Para transformar el binomio 9x2 - 48xy en un
trinomio cuadrado perfecto, debemos agregarle
elterrnlno:
A) x
= -15
x
=-1
B)
= -4
x = -3
C) x
D)
115. En un trianqulo rectanqulo un cateto mide 36 u,
el otro cateto 27u, i cuanto mide la hipotenusa ?
A) 25y2
B) 36y2
C) 49y2
D) 64y2
A) 40
u
8) 41
u
C) 43
u
D) 45 u
160
vfdvgfdfgv000162
RESOLUCION DE PROBLEMAS
116. Observa
el siguiente
3
+
1
B)
2X2
+
1
C) 2x3
D)
rectanqulo:
t.- CuaJ de las siguientes factorizaciones presenta
correctamente el producto de la base por la altura ?
con sus datos, 6 cuanto mide la altura?
De acuerdo
A) 2x
119. Observa el siguiente
rectanqulo:
+
A)
(x
8) (x - 7)
B)
(x - 8) (x - 7)
C) (x - 8) (x
+
7)
D) (x - 14) (x
+
4)
2X2
117. t.- Cual de las siguientes opciones
_ 28x5y4
resultado del cociente
?
3
7x y
expresa
el
120. Cierto liquido al calentarse muestra el siguiente
comportamiento:
t.-En que tramo de la grafica la temperatura
del
liquido aumenta exponencialmente
mas rapido?
II
A) - x2l
B) - 4xy
A)
C) - 7xy
D)
IV
I
B) En elll
l
2
- 4x
En ell
III
C) En elill
D) En eliV
118. Las homotecias son un tipo de transformaci6n
que preserva la forma, es decir; que los anqulos
de las figuras
no cambian.
Su principal
caracteristica
es que tienen un centro y que su
raz6n esta representada
por el nurnero k. 6 Que
sucedesi k > 1 ?
121. Hector puede pintar una habitaci6n
en 6 horas,
Beto la puede pintar en 3 horas. t.-Cuantas horas
tardaran
en pintar la habitaci6n
si ambos
trabajaran juntos?
A) ~ hora
A) La figura
se amplia.
B) 1 hora
B) La figura
se reduce.
C) 2 horas
C) La figura
se invierte
D) Se obtiene
la misma
y se amplia.
figura
D) 3 horas
pero invertida.
161
vfdvgfdfgv000163
RESOLUCION DE PROBLEMAS
122. (.,Gual es el resultado del siguiente producto notable?
3 ) (5x - -3 )
(5x + -
4
A) 5x2
-
4
125. EI area total de un prisma de bases con forma de
trianqulos rectanqulos: con eatetos de 30 y 40
em de longitud, e hipotenusa y altura del prisma
de50emes:
~
16
8) 10x2 - _lL
16
A) 1 200 em2
C) 15i - 12
16
D) 25x2_~
123. Observa
16
el siguiente
2
em
G) 6000
em
D) 7200
em
2
2
126. Una prarnlde se form6 con un eubo y euatro prismas
triangulares iguales, como 10 muestra la figura siguiente:
rectanqulo
De aeuerdo con sus datos,
(.,cual de las siguientes
f6rmulas expresa su
volumen?
2
x +2x-15
(., Guill de las siguientes
correetamente
el produeto
8) 3600
faetorizaciones
presenta
de su base por su altura?
I---b
--I
~
~
/
---------,
I-a-l
A) V
A)
+
(x
8) (x
+
3) (x
+ 5)
=
b2
+4
2
2
8) V=b3+4(a~
5) (x - 3)
C) V
D)
D) V = (a b
2
-15)
2
124. Si una cireunfereneia
mide 53.38 em, (.,cual es
la medida de su radio si
= 3.14 ?
n
)
= ( ~ ) + b5
G) (x + 1) (x - 15)
(x - 1)(x
2
(a b )
+ b3)
127. Maribel escribi6 euatro
nomeros en la tarjeta siguiente:
6
5
- 0.5
0.01
A)
4.25 em
8)
8.50 em
(., Guill de ellos es el resultado
una probabilidad simple?
G) 17 em
D)
1.25
34 em
A) - 0.5
8)
.s,
5
C) 0.01
D) 1.25
162
vfdvgfdfgv000164
del calculo
de
RESOLUCION DE PROBLEMAS
2
131. A Pepe Ie dejaron de tarea graficar el area de un
circulo en funci6n de su radio. Pepe sabe que el
area es proporcional al cuadrado del radio.
6 Cual es entonces la gratica que hizo de tarea ?
128. EI resultado de ~
es:
- 6x2
A)
_1
3
B)
1
3
G)
1
3
x2
area
area
C)
0
A)
radio
D) -3
•
radio
area
129. 6 Cual de las siguientes situaciones se resuelve
mediante la ecuaci6n:
x2
+
D)
B)~
2x -120 = 0 ?
radio
r
radio
132. Si en un rectanqulo ellado mas largo mide el doble
del ancho y el perfmetro es igual a 48 unidades,
entonces ellargo y ancho miden, respectivamente:
A) La base de un triangulo es 2 cm menor que
su altura y su area vale 60 cm2
8) Ellargo de un rectanqulo es 4 cm mayor que
su base y el area equivale a 12 ern"
G) EI largo de un rectanqulo es igual a la base
mas 2 unidades y su area equivale a 60 ern"
A) 16 Y 32 unidades
8) 14 Y 28 unidades
D) La altura de un triangulo es 4 cm mayor que
el doble de su base y su area es de 120 cm2
G) 12 Y 14 unidades
D)
130. Un autom6vil de carreras hace una prueba y
registra cada segundo sus velocidades, los
valores que se obtienen son los siguientes:
Segundos
1
2
3
4
5
6
Velocidad
(km/h)
25
50
75
100
125
150
6Gual es la velocidad
10,11y12segundos?
8 Y 16 unidades
133. EI triple de un nurnero se incrementa en 5,
el resultado es igual a seis veces el mismo
numero si se resta 4. 6 De que nurnero se trata ?
del autom6vil a los
A) 1
B) 3
A) 150, 175, 200 km/h
G) 5
B) 175, 280, 225 km/h
D) 7
G) 200, 225, 250 km/h
0) 250, 275, 300 km/h
163
vfdvgfdfgv000165
RESOLUCI6N DE PROBLEMAS
134. EI discriminante de la ecuacion
137. EI cuadrado de la diferencia de dos nurneros
menos cinco es igual a cero. Este enunciado se
expresa algebraicamente como:
2>f + 6x - _1 = 0
2
J4Q:
es igual a
por 10 que se
desprende que la ecuacion
x2
A)
B) (x2
- X -
5 = 0
- y2) - = 0
=0
A) no tiene solucion
C) (x2
B) tiene una solucion
D) (x - y)2 - 5 = 0
-
y) - 5
C) tiene dos soluciones
D) tiene mas de dos soluciones
135. EI numero de pasajeros de un transporte
publico va aumentando conforme avanzan las
horas, en la siguiente tabla se observa este
comportamiento:
Hora
1
2
3
4
138. Francistiene que resolverla ecuaeion x2 + 14x + 40,
utilizando el metodo de factorizacion. ~ Cual es la
opcion correcta ?
Pasajeros
4
9
16
25
36
5
~ Cual es la ecuacion que representa el nurnero
de pasajeros que dependen de las horas?
A) (x - 10) (x - 4): x = 10, x = 4
B) x2
+ X+2
+ 2x - 1
C)
x2
+ 2x + 1
D)
x2
+ 4x + 4
A) x2
B) (x - 10) (x + 4): x = 10, x = -4
C) (x+10)(x
- 4):x=-10,x=-4
D) (x+10)(x+4):x=-10,x=-4
136. Observa el comportamiento
siguiente tabla:
de los datos de la
x
3
6
9
12
15
y
20
35
50
65
80
139.
i Que tipo de representacion qrafica es la mas
adecuada de utilizar si deseamos mostrar la
informacion del porcentaje de personas que se
encuentran
activas (trabajando)
en edad
mayores de 40 arios en Mexico con respecto al
total de la poblacion ?
~ Cuat de las siguientes
expresiones algebraicas
representa la relacion entre los datos de la tabla
anterior?
A) Histogramas
A) Y = 5x + 5
B) Pictogramas
= 7x - 1
Y = 2X2 + 2
Y = 3x2 - 7
8) Y
G) Lineas
C)
D) Circular
D)
164
vfdvgfdfgv000166
0
polfgonos.
0
de sectores.
RESOLUCION DE PROBLEMAS
140. Yola dice que si a la cantidad de gente que hay en
su casa Ie suma 2 personas y la multiplica por 3 va
a obtener el mismo nurnero de personas que hay
en su trabajo. Alberto dice que si toma el dato de la
cantidad de gente que hay en casa de Yola 10
multiplica por 5 y Ie quita 2 personas obtencra el
mismo numero de personas que hay en el trabajo
de Yola. z oon cual de las siguientes ecuaciones
no se puede resolver la situacion anterior?
143.
Observa
punteada
la siguiente
figura donde la linea
representa un eje de simetria:
I
I
I
I
I
i Cual
+ 2) = 5x - 2
3x + 6 = 5x - 2
6 (x + 2) = 10x - 4
~ (x + 1) = 5x - 1
es la figura que la completa
?
sirnetricamente
A) 3 (x
8)
C)
D)
A)
I
141. Un grupo de corredores quedo de reunirse en el
deportivo en el punto sefialado como 2.15 km.
i En cual de las siguientes rectas se marca el
punto de reunion?
I I
I I
C)
I
I
~
A)
8)
C)
1"""""""""""""""
o
1 km~
1"""""""""""""""
o
1 km
o
Tiempo
(horas)
iii
,~ ,~~
1km
I
I
I
I
"
*,
I"
",!
~
Nurnero de
bacterias
~m
3km
142. Carlos pidio un prestarno en su trabajo, y durante 6
meses Ie descontaran
de su sueldo $ 224.05
quincenales; adernas, recioira una cornpensacion
extra mensual de $ 405.20 durante ese mismo
tiempo. i Cual es el saldo de los descuentos y
compensaciones de Carlos?
$
257.40
8) $
- 257.40
A)
C)
$ 1 086.90
D)
$ - 1 086.90
de ciertas bacterias en la
~
3 km
~
1"""""""""""""""
D) ~, """,
144. Observa el crecimiento
siguiente tabla:
~
3 km
i Cual
o
1
2
3
4
5
1
2
4
8
16
32
es la expresion
de bacterias ?
A)
2n
8)
211+ 2
C)
211- 1
D)
2
-
2
n
165
vfdvgfdfgv000167
que modela este crecimiento
RESOLUCION DE PROBLEMAS
145. l.Cual sera el resultado de la suma de los 100
primeros nurneros naturales?
148. En la siguiente figura.
el valor del anquto b es
A)
4950
A)
32°
B)
4975
B)
62°
C)
5000
C) 152°
D)
5050
D)
146. A los 35 metros de tela que tiene Silvia en su
tienda cuestan $ p, l. cuai es la expresi6n que
representa el costo de 5 metros de esa misma
tela?
28°
149. Observa la siguiente ecuaci6n de segundo grado:
5x2
+
2x
Su discriminante es
+
1
=
0
Fe
Con esto podemos decir que la ecuaci6n:
A) _E_
5
B) _E_
A) no tienen soluci6n
7
B) tiene una soluci6n
C) 5 (p)
C) tiene dos soluciones
D) 7 (p)
D) tiene multiples soluciones
147.1. En cual de las siguientes opciones se expresa
el resultado del cociente:
A)
x
B) _1
C)
150. En el trianqulo ABC el anqulo x mide:
x
A)
60°
x-5
B)
80°
C) 100°
D) _1
x5
D) 120°
166
vfdvgfdfgv000168
RESOLUCI6N DE PROBLEMAS
154. Pablo colecciona conchas marinas de las que
tenia hace un ano, agrego
~ mas en seis
meses y en el ultimo semestre otros ~ ,6 con
que fracci6n se representa, 10 que agreg6 de
mas con respecto a 10 que tenia antes?
151. Observa la expresi6n:
6 Cual de las siguientes es equivalente ?
A)
5-4
8)
5-3
A)
25
35
B)
46
35
11
C)35
C) (-5 )-4
21
D) 25
D) (-5 )-6
155. Tengo un paralelepipedo con dimensiones de
3 cm, 4 cm y 5 cm de ancho, largo y alto
respectivamente. Si cuadruplico cada una de
sus dimensiones, 6 en cuanto se incrernentara
suvolumen?
152. Observa la siguiente tabla:
x
-2
3
4
10
Y
-4
6
8
20
6 Cual de las siguientes expresiones algebraicas
presenta la relaci6n que existe entre sus valores ?
A)
1x = Y
8) 1 ~ x
C) 2x
+
1
D) 2x
=
Y
=
=
Y
Y
A)
12 veces
B)
35 veces
C)
64 veces
D) 120 veces
153. 6 Con cual de los siguientes desarrollos pianos
obtenemos una pirarnide hexagonal?
A)c%1 B)~
156. 6 Cual es la figura qeometrica que se obtiene al
hacerle un corte transversal a una pirarnide
cuadrangular?
C)
D)~
A)
Trapecio
8)
Cuadrado
C) Rectangulo
D) Trapezoide
167
vfdvgfdfgv000169
RESOLUCION DE PROBLEMAS
157. (.,Cual de los siguientes trlanqulos es semejante
a un trianqulo is6sceles con dos lados de
tarnario 12 y en el otro de tarnario 6 7
160. En la siguiente figura, (.,cuales son los valores de
los angulos X y Y 7
A)
x
=
60°; Y
=
120°
B) x
=
60°; Y
=
30°
A)
3
4
C) x = 45°; Y = 45°
D)
x
= 30°; Y =
0
90
2
158. (., Cuanto suman los anqulos interiores de un
poligono de cinco lados 7
161. En la ecuaci6n cuadratica
son:
X2
+ x = 20, las raices
4 Y - 5
10 Y -2
-10 Y 2
-
159. (.,Cual es la soluci6n de la ecuaci6n
X2 +3X = 407
A)
10 Y - 5
B) - 10 Y
8 Y
5
162. De acuerdo a la figura, cada uno de los anqulos
complementarios mide:
A) 20° Y 70°
B) 30° Y 60°
5
C) 18°
C)-10y-5
D) -
4 Y
Y
72°
D) 16° Y 74°
5
168
vfdvgfdfgv000170
RESOLUCION DE PROBLEMAS
163. (. Cual de las siguientes atirmaciones
congruencia de trianqulos es talsa ?
sobre
166.
EI area de un cfrculo mide
consideramos
que 1t = 3.14,
longitud del radio?
78.5 em", si
L cual es la
A) Dos trianqulos son congruentes, si tienen
dos lados iguales y tarnbien el anqulo
comprendido entre ellos.
B) Dos trlanqulos son congruentes, si tienen
dos anqulos iguales y ellado adyacente a
ambos.
C) Dos trianqulos son congruentes,
anqulos son iguales.
A) 15 cm
si sus tres
B) 12 cm
C) 9cm
0) Dos trianqulos son congruentes,
lados son iguales.
0) 5 cm
si sus tres
164. (. Una rnaquina lIena 150 botellas en 20 minutos. A
esta misma raz6n, (. cuanto tardara el lIenado de
60botellas?
2
167. La expresi6n x + 11 x + 24 es un trinomio de
segundo
grado.
(. Cual de los siguientes
productos equivale a esta expresi6n ?
A)
(x - 3) (x
+8)
+8)
A)
2 minutos
B) (x
8)
4 minutos
C) (x
C)
6 minutos
0) (x - 3) (x - 8)
0)
8 minutos
165. Esta es la posici6n
del dado original:
(. Cual de las siguientes posiciones se obtiene
mediante uno 0 varios giros del dado?
A)~
+ 3 ) (x
+ 3 ) (x
167. Considerando
que en el ano 2010 hubieron
aproximadamente
58.7 miliones de personas
activas en Mexico y el indice de desocupaci6n
laboral ha aumentado
de 5.44 % del mes de
septiembre
a noviembre
del 2010 a 5.70 %
entonces,
(. Cual sera la cantidad de nuevas
personas desocupadas hasta ese momenta ?
B)~
H E
3
H
A) 260000
B) 152000
D)~
C)~
E H
C)
26000
0)
15260
169
.
-
- 8)
vfdvgfdfgv000171
RESOLUCION DE PROBLEMAS
169. En la siguiente figura, la altura del faro esta dada
por:
172. Observa la siguiente grafica:
;. Cual es la orden ada
al origen?
A) 20 tan 30°
2
1
B) 20 cos 30°
,
C) 20 sen 30°
0) 20 cot 30°
.1/
,
-2
:,
A) -3
I
B) 2
20m
C) -2
0) 3
170. La siguiente tabla representa la variaci6n de
crecimiento de una muestra de cristales en una
determinada sal quimica
Tiempo de
crecimiento (x)
Cantidad de
cristales (y)
5
7
12
19
51
99
289
;'Cual expresi6n indica el comportamiento
crecimiento de los cristales?
A) x
Y
B)
C)
D)
4x
=
2; y
=
-1
C) x = -2; Y = 3
0)
o =
X2 - 6x
+
9
encontr6 que tiene s610una soluci6n, entonces
la grafico. ;. Cual de las siguientes graficas
corresponde a la que hizo Julisa?
A)
x
= 2; y =
1
174. Si tienes un rectanqulo de area 2X2- 8, ;. cual de
las siguientes factorizaci6nes nos presenta el
producto de la base por la altura de ese
rectanqulo ?
B)
~V
I. x
I
\
A) ( x + 2) (2x + 4)
0)
C)
---1-++++-1-1- ...
=5
B) x = 7; Y = 26
171. Julisa, al resolver la ecuaci6n de segundo grado
\
+y = 9
del
= x2 +2
Y = 2X2 +2
Y = 2X2 +1
Y = x2 +1
A)
173. ;. Cuales son las soluciones del sistema de
ecuaciones lineales?
3x - y
3
,/
2
X
B) (2x - 1) ( x + 8)
C)( x - 2) (2x + 4)
0) ( x
+ 8) ( x + 1)
170
vfdvgfdfgv000172
RESOLUCION DE PROBLEMAS
175. La expresi6n x2 + 11x + 24 es un trinomio de
segundo grado. " Cual de los siguientes
productos equivale a esta expresi6n?
177. Armandito dice que la edad de su abuelita Chivis
esta dada por la ecuaci6n:
x2 +
14
= 50
i Cual es la edad de Armandito si el
valor de x es su nurnero de aries ?
A) (x - 3) (x+8)
A)
6 aries
B) (x+3) (x+8)
B)
8 anos
C) (x+3) (x - 8)
C)
D)
10 anos
D) (x - 3) (x - 8)
176. A continuaci6n se muestra el procedimiento de
resoluci6n de la ecuaci6n x2 + 76 = 400 que
realizaron en el sal6n de clase varios alumnos.
i Cual de ellos 10 hizo adecuadamente en todas
las operaciones ?
A) Iorio:
X2
X2
X2
+ 76
= 400
= 400
= 476
476
+ 76
x=T
X2
+ 76
i Cual es la caracterfstica de una recta secante
en una circunferencia ?
A) Toca solo un punto de la circunferencia
B)
Corta en dos puntos a la circunferencia
C) Va del centro de la circunferencia a un
punto de la circunferencia.
x = 238
B) Sinfo:
178.
64 aries
= 400
D) Va del centro de la circunferencia ados
puntos no colineales de la circunferencia
x2 = 400 -76
X2
= 324
x = 324
179.
2
x = 162
C) Ruth:
X2
i Ouanto mide el anqulo que se forma entre la
recta tangente a una circunferencia y el radio
que pasa por el punto de tangencia ?
+ 76 = 400
x2 = 400 -76
X2 = 324
x
=~324
x
=
D) Estela: X2
X2
X2
18
+ 76 = 400
= 400
= 476
x =~476
x
= 22
+ 76
A)
45°
B)
90
0
0
C) 120
D) 135
0
171
vfdvgfdfgv000173
RESOLUCION DE PROBLEMAS
180. Observa la siguiente figura don de se muestran
dos trianqulos semejantes:
182. La profesora de Elvia Ie pidi6 que observara
detenidamente
la siguiente figura en la que se
utilizan trlanqulos semejantes:
a
T
3.05m
b
e
'\:
1
a
../
.
Si los datos eorresponden
a la medida del
piso hasta el tablero de basquetbol
y "x"
representa
a Jaime parado sobre el piso
entonees, (. cual debe ser el tarnano de "x"
e
.~
=
. //
.:
.
=
=
Si Ie indie6 que ellado a 4 em, b
2 em y e 3 em,
entonces, (. euanto debe medir el lade d si se esta
aplicando el teorema de Tales para caleularlo ?
A) 1.14 em
A) 0.61
m
8) 1.50 em
8) 0.76 m
C) 2.60 em
C) 1.31m
D) 1.63
181.
D) 3.50 em
m
i. Que
siguiente
problema
es representado
sistema de eeuaciones?
5x
3x
por
el
183. La eaneha para praeticar el lanzamiento
de
disco esta representada en la siguiente imagen:
+ 4y = 22
+ y=9
A) EI punto (22, 9) es la interseeei6n
de las rectas 5x + 4y, 3x + Y
8) EI punto (9, 22) es la interseeei6n
de las reetas 5x + 4y, 3x + Y
Si un jardinero debe pintar el area mayor de
la eaneha, (. cuantos metros pintara ?
C) 5 veces el dinero de Jose mas 4 veees
el dinero de Luis suman $22, despues
de ir a la tienda 3 veces el dinero de
Luis mas el dinero de Jose suman $ 9
D) 5 veees el dinero de Jose mas 4 veees
Considera
A) 27.91
el dinero de Luis suman $ 22, despues
de ir a la tienda 3 veees el dinero de
Jose mas el dinero de Luis suman $ 9
8) 43.82
C) 55.82
D) 87.64
172
vfdvgfdfgv000174
n=
3.14
RESOLUCI6N DE PROBLEMAS
184. Para el deporte olfmpico de lanzamiento de bala
186.
se utiliza una area circular de concreto de 3 m de
radio inscrita en una circunferencia de 4.5 m, la
parte que rodea la circunferencia de concreto
debe lIevar un material lIamado tartan, como se
muestra en la figura:
i Cual de las siguientes situaciones
mediante el sistema de ecuaciones:
se resuelve
= 16
x = 3y
2x + 2y
A)
i Cual es el area de un rectanqulo
sabiendo que su perfmetro mide
16 em y que su base es el triple de
su altura?
B) i Cual es el perfmetro de un rectanqulo
sabiendo que su largo es el doble de su
ancho y que su area es igual a 16 ?
C)
i Cual es el area de un cuadrado sabiendo
que cada lado equivale a 2x - 1 Yque su
perfmetro es igual a 16 ?
i Cuanto mide el area de tartan?
(considera 1t= 3.14)
A) 14.79 m2
D)
B) 28.26 m2
i Cual es el perfmetro de un cuadrado
si cada lado equivale a un cuarto de su
area y esta es igual a 16 ?
C) 35.32 m2
D) 63.58 m2
185. Observe el siguiente cfrculo:
187. La siguiente qraflca representa
la fuerza entre
dos cargas electricas
dependiendo
de la
distancia que hay entre elias:
6.00,-------------5.00
\
~4.00
~
... 3.00
Q)
.t 2.00
1.00
i Cual es la relaci6n entre los anqulos
ayP?
\
\
\
0.00
0
~
2
4
6
8
10
Oistancia (m)
i Cual de las siguientes expresiones algebraicas
representa 10 que muestra la qraflca ?
( F= Fuerza, d= distancia, K= numero constante)
a= 2P
2
B) a= p
A)
C)
a=1[-P
D)
a = (1[/2)
A) F
+/3
=d
C)F=k-d
173
vfdvgfdfgv000175
B) F = kd
D) F
=.t_
d2
RESOLUCION DE PROBLEMAS
188. Observa el siguiente dibujo de un cono que
encontr6 Nico:
190. Observa la siguiente grafica que representa la
energfa cinetica de un cuerpo con masa (m) y
velocidad (v):
I
I
Si variamos la velocidad dejando la masa
constante y sabiendo que la ecuaci6n es
E clnetica = m v2/2
I
I
I
I
h:
I
I
I
'''----t--
9
- ....
R
e----.
9 - generatriz del cono
h - altura del cono
R - radio de la base
20
18
16
14
12
10
Nico sabe que el volumen del cono anterior es de
37.68 u3 y el radio del cfrculo de la base mide 3u.
8
6
4
2
I.- Cual de las siguientes expresiones Ie ayudara a
Nico a obtener la altura del cono ? ( Recuerda la
formula del volumen del cono y opera)
10 20 30 40 50 60 70 80
3(37.68)
3.14(9)
A) Altura
_ 3(37.68)
B) Altura - .[3.14(9)
Altura
C)
D) Altura
=
l., Cual de las siguientes observaciones
es la correcta ?
3(37.68)
3.14(3)2
= 32(37.38)(3.14)
~
189. i. Cual es la longitud del arco formado por el
anquto BAG que mide 40° y que pertenece a una
circunferencia cuya longitud es 90u?
A) La velocidad es mayor entre menor
sea la energfa cinetica.
B) La Energfa cinetlca no aumenta
con la velocidad.
G
La Energfa cinetica no depende
C) de la velocidad.
A)
10u
B)
36u
C) 100u
La velocidad aumenta, entonces
D) la energfa cinetica aumenta.
D) 130u
174
vfdvgfdfgv000176
EVALUACION DE EXPLORACION DE CONOCIMIENTOS
7. Una cisterna tiene forma de un prisma, la base es
un rectanqulo que mide 3 m de largo por 1.5 m de
ancho y la profundidad de la cisterna es de 3 m,
(. cual es el volumen de la cisterna?
8. GCual es el resultado de la siguiente operaclon ?
(2X3
+
6X2 - 5x)
A)
7.25 m3
A) 8x2
+
24x
B)
8.50 m3
B) 6x4
+
10x3 -
C)
9.00 m3
D)
13.50 m3
C) 8x4
+
24x3 - 20x2
D) 2X7
+
6x6 - 5x5
9. (. Cual es el resultado de la siguiente division de un
polinomio entre un monomio?
-28y3
+
(4x)
- 20
x2
10. Si las rectas L y M son paralelas:
L
21 y2 - 42y
7y
a
M
Entonces la medida del a~ulo
A) - 4Y2
+
3y
B) - 4y3
+
3y2
-
6y
6
-
C)
4y2
-
3y
+
6
D)
4y3
-
3y2
+
6
(alfa) es:
11. Sin un ciclista recorre 90 kllometros en dos horas,
A)
1800
B)
158
C)
1450
D)
122
0
0
12. (. Cual es el nurnero
GCuantos kilornetros recorrers en un minuto?
que corresponde
notacion cientffica?
6.01 X 10.3
A) .l_
kil6metro
.a.
4
kil6metro
2
B)
C)+
D)
.z.
3
kil6metro
kil6metro
a
A) 0.00601
B)
C)
0.000601
0.0000601
D) 0.00000601
176
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a la
EVALUACION DE EXPLORACION DE CONOCIMIENTOS
ESCUELA:
__
MAESTRO (A):
ALUMNO (A):
_
-:-
GRUPO:
ACIERTOS:
y = 3x - 2 corresponde
1. La ecuacion
CALIFICACION:
2.
a la
qrafica de una recta.
_
l. Cuanto mide cada anqulo interior en el siguiente
trianqulo ?
3x
l. En cual operon se indica respectivamente el valor
corrector de la pendiente y el punto donde la recta
x
interseca al eje
2x
A) m
= -2:
8) m
=
C) m
= -3;
(0, 0)
m
= 3;
(0,-2)
0)
(0, 0)
A)
2: (0, 3)
3. La slrnplificacion
+
2m2
8) 6m2
+
2m
C) 8m4
-
0) 8m4
+
+
15m2
15m
+
(4m2
+
5m
+
3)
4
Y 60°
0)
Y 30
8)
3
+
3
0
90° , 60
A) - 6x
4
+
5. En los anqulos mostrados en las figuras,
opcion serial a la relaclon correcta ?
{. que
D D
/
C) 60° ,60°
0
4. {. Como se representa la expresion: "Pienso en un
numero, al multiplicarlo por - 6 Y enseguida Ie resto
17, obtengo 13"?
de
+
Y 60°
8) 30° , 50° Y 100°
(2m2 - 3m + 1)
corresponde
a:
A) 6m4
0
40° , 80
+
+
17=-13
6x - 17 =
C) - 6x
+
D) - 6x
- 17 =
+
13
17=- 13
+
13
6. Se necesitan 15 kilogramos de provisiones diarios
para cada 6 estudiantes
que van a una practlca
ecoloqica, l. cuantos kilogramos de provisiones se
necesitan si van 18 estudiantes durante 7 dfas?
:7
A) 45 kilogramos
A) 1 = 2 = 3
8) 4 > 2 < 3
C) 4 = 2 = 3
0) 1 < 2 < 3
8) 90 kilogramos
C) 180 kilogramos
D) 315 kilogramos
175
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